У дома-Вътрешни стълби-Как да напишем дроб като десетичен знак. Преобразуване на дроб в десетичен и обратно, правила, примери

Как да напишем дроб като десетичен знак. Преобразуване на дроб в десетичен и обратно, правила, примери

В тази статия ще разберем какво е десетична дроб, какви характеристики и свойства има. Отивам! 🙂

Десетичната дроб е специален случай на обикновените дроби (където знаменателят е кратен на 10).

Определение

Десетичните знаци са дроби, чиито знаменатели са числа, състоящи се от единица и няколко нули след нея. Тоест, това са дроби със знаменател 10, 100, 1000 и т.н. В противен случай десетичната дроб може да се характеризира като дроб със знаменател 10 или една от степените на десет.

Примери за дроби:

, ,

Десетичните дроби се записват по различен начин от обикновените дроби. Операциите с тези дроби също са различни от операциите с обикновените. Правилата за работа с тях до голяма степен са подобни на правилата за работа с цели числа. Това по-специално обяснява тяхното търсене на решаване на практически проблеми.

Представяне на дроби в десетичен запис

Десетичната дроб няма знаменател, тя показва числото на числителя. IN общ изгледДесетичната дроб се записва по следната схема:

където X е цялата част от дробта, Y е нейната дробна част, "," е десетичната запетая.

За правилно представяне обикновена дробв десетична форма трябва да е правилен, т.е. с подчертана цяла част (ако е възможно) и числител, който е по-малък от знаменателя. Тогава в десетичния запис цялата част се записва пред десетичната запетая (X), а числителят на обикновената дроб се записва след десетичната запетая (Y).

Ако числителят съдържа число с по-малко цифри от броя на нулите в знаменателя, тогава в част Y липсващият брой цифри в десетичния запис се запълва с нули пред цифрите на числителя.

Пример:

Ако една обикновена дроб е по-малка от 1, т.е. няма цяла част, тогава за X в десетична форма напишете 0.

В дробната част (Y) след последната значима (ненулева) цифра може да се въведе произволен брой нули. Това не влияе на стойността на фракцията. Обратно, всички нули в края на дробната част на десетичната запетая могат да бъдат пропуснати.

Четене на десетични числа

Част X обикновено се чете, както следва: „X цели числа“.

Частта Y се чете според числото в знаменателя. За знаменател 10 трябва да прочетете: „Y десети“, за знаменател 100: „Y стотни“, за знаменател 1000: „Y хилядни“ и така нататък... 😉

Друг подход към четенето, базиран на преброяването на броя на цифрите на дробната част, се счита за по-правилен. За да направите това, трябва да разберете, че дробните цифри се намират в огледална картинапо отношение на цифрите на цялата част от дробта.

Имената за правилно четене са дадени в таблицата:

Въз основа на това четенето трябва да се основава на съответствие с името на цифрата на последната цифра на дробната част.

  • 3.5 се чете "три точка пет"
  • 0,016 чете "нула цяло шестнадесет хилядни"

Преобразуване на произволна дроб в десетична

Ако знаменателят на обикновена дроб е 10 или някаква степен на десет, тогава преобразуването на дробта се извършва, както е описано по-горе. В други ситуации са необходими допълнителни трансформации.

Има 2 метода за превод.

Първи метод на прехвърляне

Числителят и знаменателят трябва да бъдат умножени по такова цяло число, че знаменателят да произвежда числото 10 или една от степените на десет. И след това дробта се представя в десетична система.

Този метод е приложим за дроби, чийто знаменател може да бъде разширен само до 2 и 5. И така, в предишния пример . Ако разлагането съдържа др основни фактори(например ), тогава ще трябва да прибегнете до втория метод.

Втори метод на превод

Вторият метод е да разделите числителя на знаменателя в колона или на калкулатор. Цялата част, ако има такава, не участва в трансформацията.

Правилото за дълго деление, което води до десетична дроб, е описано по-долу (вижте Деление на десетични дроби).

Преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб

За да направите това, трябва да запишете неговата дробна част (вдясно от десетичната запетая) като числител, а резултатът от прочитането на дробната част като съответното число в знаменателя. След това, ако е възможно, трябва да намалите получената фракция.

Крайна и безкрайна десетична дроб

Десетична дроб се нарича крайна дроб, чиято дробна част се състои от краен брой цифри.

Всички примери по-горе съдържат крайни десетични дроби. Въпреки това, не всяка обикновена дроб може да бъде представена като крайна десетична дроб. Ако първият метод на преобразуване не е приложим за дадена дроб и вторият метод показва, че делението не може да бъде завършено, тогава може да се получи само безкрайна десетична дроб.

Невъзможно е да се напише безкрайна дроб в пълна форма. В непълна форма такива фракции могат да бъдат представени:

  1. в резултат на намаляване до желания брой десетични знаци;
  2. като периодична дроб.

Дробта се нарича периодична, ако след десетичната запетая е възможно да се различи безкрайно повтаряща се поредица от цифри.

Останалите дроби се наричат ​​непериодични. За непериодични дроби е разрешен само първият метод на представяне (закръгляване).

Пример за периодична дроб: 0,8888888... Тук има повтарящо се число 8, което очевидно ще се повтаря безкрайно, тъй като няма причина да се предполага друго. Тази фигура се нарича период на фракцията.

Периодичните фракции могат да бъдат чисти или смесени. Чиста десетична дроб е тази, чийто период започва веднага след десетичната запетая. U смесена фракцияима 1 или повече цифри преди десетичната запетая.

54.33333… – периодична чиста десетична дроб

2.5621212121… – периодична смесена дроб

Примери за писане на безкрайни десетични дроби:

Вторият пример показва как правилно да форматирате точка в запис на периодична дроб.

Преобразуване на периодични десетични дроби в обикновени дроби

За да преобразувате чиста периодична дроб в обикновен период, запишете го в числителя и запишете число, състоящо се от деветки в количество, равно на броя на цифрите в периода, в знаменателя.

Смесената периодична десетична дроб се превежда, както следва:

  1. трябва да образувате число, състоящо се от числото след десетичната запетая преди точката и първата точка;
  2. От полученото число извадете числото след десетичната запетая преди точката. Резултатът ще бъде числителят на обикновената дроб;
  3. в знаменателя трябва да въведете число, състоящо се от число деветки, равно на броя на цифрите на периода, последвано от нули, чийто брой е равен на броя на цифрите на числото след десетичната запетая преди 1-во Период.

Сравнение на десетични дроби

Десетичните дроби се сравняват първоначално с целите им части. Дробта, чиято цяла част е по-голяма, е по-голяма.

Ако целите части са еднакви, тогава сравнете цифрите на съответните цифри на дробната част, като започнете от първата (от десетите). Тук важи същият принцип: по-голямата дроб е тази с повече десети; ако цифрите на десетите са равни, цифрите на стотните се сравняват и т.н.

Тъй като

, тъй като при равни цели части и равни десети в дробната част, 2-рата дроб има по-голяма цифра на стотните.

Събиране и изваждане на десетични знаци

Десетичните знаци се добавят и изваждат по същия начин като целите числа, като съответните цифри се записват една под друга. За да направите това, трябва да имате десетични точки една под друга. Тогава единиците (десетките и т.н.) на цялата част, както и десетите (стотните и т.н.) на дробната част ще бъдат в съответствие. Липсващите цифри на дробната част се попълват с нули. Директно Процесът на събиране и изваждане се извършва по същия начин, както при цели числа.

Умножаване на десетични числа

За да умножите десетичните числа, трябва да ги напишете един под друг, подравнени с последната цифра и без да обръщате внимание на местоположението на десетичните точки. След това трябва да умножите числата по същия начин, както когато умножавате цели числа. След получаване на резултата трябва да преизчислите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби и да разделите общия брой дробни цифри в полученото число със запетая. Ако няма достатъчно цифри, те се заменят с нули.

Умножение и деление на десетични знаци с 10n

Тези действия са прости и се свеждат до преместване на десетичната запетая. П При умножаване десетичната запетая се премества надясно (дробта се увеличава) с брой цифри, равен на броя на нулите в 10n, където n е произволна цяло число. Тоест, определен брой цифри се прехвърлят от дробната част към цялата част. При разделяне, съответно, запетаята се премества наляво (числото намалява), а някои от цифрите се прехвърлят от целочислената част към дробната част. Ако няма достатъчно числа за прехвърляне, тогава липсващите битове се запълват с нули.

Деление на десетична запетая и цяло число на цяло число и десетична запетая

Разделянето на десетична запетая на цяло число е подобно на деленето на две цели числа. Освен това трябва да вземете предвид само позицията на десетичната запетая: когато премахвате цифрата на място, последвана от запетая, трябва да поставите запетая след текущата цифра на генерирания отговор. След това трябва да продължите да делите, докато получите нула. Ако в дивидента няма достатъчно знаци за пълно деление, като тях трябва да се използват нули.

По същия начин 2 цели числа се разделят в колона, ако всички цифри на дивидента са премахнати и пълното деление все още не е завършено. В този случай, след премахване на последната цифра от дивидента, в получения отговор се поставя десетична запетая, а нулите се използват като премахнати цифри. Тези. дивидентът тук по същество е представен като десетична дроб с нулева дробна част.

За да разделите десетична дроб (или цяло число) на десетично число, трябва да умножите делителя и делителя по числото 10 n, в което броят на нулите е равен на броя на цифрите след десетичната запетая в делителя. По този начин се отървавате от десетичната запетая в дробта, на която искате да разделите. Освен това процесът на разделяне съвпада с описания по-горе.

Графично представяне на десетични дроби

Десетичните дроби се представят графично с помощта на координатна линия. За да направите това, отделните сегменти се разделят допълнително на 10 равни части, точно както сантиметрите и милиметрите се маркират едновременно на линийка. Това гарантира, че десетичните знаци се показват точно и могат да бъдат сравнени обективно.

За да бъдат еднакви разделенията на отделните сегменти, трябва внимателно да прецените дължината на самия сегмент. Тя трябва да бъде такава, че да може да се осигури удобството за допълнително разделяне.

дробно число.

Десетичен запис на дробно числое набор от две или повече цифри от $0$ до $9$, между които има т. нар. \textit (десетична точка).

Пример 1

Например $35,02$; $100,7 $; $123\456,5$; $54,89 $.

Най-лявата цифра в десетичния запис на число не може да бъде нула, като единственото изключение е, когато десетичната запетая е непосредствено след първата цифра $0$.

Пример 2

Например $0,357$; $0,064 $.

Често десетичната точка се заменя с десетична точка. Например $35,02$; $100,7 $; $123\456,5$; $54,89 $.

Десетично определение

Определение 1

Десетични знаци-- това са дробни числа, които са представени в десетична система.

Например $121,05; $67,9 $; $345,6700 $.

Десетичните дроби се използват за по-компактно записване на правилни дроби, чиито знаменатели са числата $10$, $100$, $1\000$ и т.н. и смесени числа, чиито знаменатели на дробната част са числата $10$, $100$, $1\000$ и др.

Например обикновената дроб $\frac(8)(10)$ може да се запише като десетичен знак $0,8$, а смесеното число $405\frac(8)(100)$ може да бъде записан като десетичен знак $405,08$.

Четене на десетични числа

Десетичните дроби, които съответстват на обикновените дроби, се четат по същия начин като обикновените дроби, само фразата „нулево цяло число“ се добавя отпред. Например обикновената дроб $\frac(25)(100)$ (да се чете „двадесет и пет стотни“) съответства на десетичната дроб $0,25$ (да се чете „нула точка двадесет и пет стотни“).

Десетичните дроби, които съответстват на смесени числа, се четат по същия начин като смесените числа. Например смесеното число $43\frac(15)(1000)$ съответства на десетичната дроб $43,015$ (да се чете „четиридесет и три кома и петнадесет хилядни“).

Места в десетични знаци

При писане на десетична дроб значението на всяка цифра зависи от нейната позиция. Тези. в десетичните дроби концепцията също се прилага категория.

Местата в десетичните дроби до десетичната запетая се наричат ​​по същия начин като местата в естествените числа. Десетичните знаци след десетичната запетая са посочени в таблицата:

Снимка 1.

Пример 3

Например в десетичната дроб $56.328$ цифрата $5$ е на мястото на десетиците, $6$ е на мястото на единиците, $3$ е на мястото на десетите, $2$ е на мястото на стотните, $8$ е на мястото на хилядните място.

Местата в десетичните дроби се разграничават по приоритет. Когато четете десетична дроб, преместете отляво надясно - от Старширанг към по-млад.

Пример 4

Например в десетичната дроб $56,328$ най-значимото (най-високото) място е мястото на десетките, а най-ниското (най-ниското) място е мястото на хилядните.

Десетична дроб може да бъде разширена в цифри подобно на разлагането на цифри на естествено число.

Пример 5

Например, нека разбием десетичната дроб $37,851$ на цифри:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Крайни десетични знаци

Определение 2

Крайни десетични знацисе наричат ​​десетични дроби, чиито записи съдържат краен брой знаци (цифри).

Например $0,138$; $5,34 $; $56,123456 $; 350 972,54 долара.

Всяка крайна десетична дроб може да бъде преобразувана в дроб или смесено число.

Пример 6

Например крайната десетична дроб $7,39$ съответства на дробното число $7\frac(39)(100)$, а крайната десетична дроб $0,5$ съответства на правилната обикновена дроб $\frac(5)(10)$ (или всяка дроб, която е равна на него, например $\frac(1)(2)$ или $\frac(10)(20)$.

Преобразуване на дроб в десетичен знак

Преобразуване на дроби със знаменатели $10, 100, \dots$ в десетични знаци

Преди да конвертирате някои правилни дроби в десетични знаци, те първо трябва да бъдат „подготвени“. Резултатът от такава подготовка трябва да бъде същият брой цифри в числителя и същия брой нули в знаменателя.

Същността на „предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби е добавянето на такъв брой нули отляво в числителя, че общият брой цифри да стане равен на броя на нулите в знаменателя.

Пример 7

Например, нека подготвим дробта $\frac(43)(1000)$ за преобразуване в десетична и да получим $\frac(043)(1000)$. А обикновената дроб $\frac(83)(100)$ не се нуждае от подготовка.

Да формулираме правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател $10$, или $100$, или $1\000$, $\dots$ в десетична дроб:

    напишете $0$;

    след него поставете десетична точка;

    запишете числото от числителя (заедно с добавени нули след подготовка, ако е необходимо).

Пример 8

Преобразувайте правилната дроб $\frac(23)(100)$ в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото $100$, което съдържа $2$ и две нули. Числителят съдържа числото $23$, което се записва с $2$.цифри. Това означава, че няма нужда да подготвяте тази дроб за преобразуване в десетична.

Нека запишем $0$, поставим десетична запетая и запишем числото $23$ от числителя. Получаваме десетичната дроб $0,23$.

Отговор: $0,23$.

Пример 9

Запишете правилната дроб $\frac(351)(100000)$ като десетичен знак.

Решение.

Числителят на тази дроб съдържа $3$ цифри, а броят на нулите в знаменателя е $5$, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. За да направите това, трябва да добавите $5-3=2$ нули отляво в числителя: $\frac(00351)(100000)$.

Сега можем да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, запишете $0$, след това добавете запетая и запишете числото от числителя. Получаваме десетичната дроб $0,00351$.

Отговор: $0,00351$.

Да формулираме правило за преобразуване на неправилни дроби със знаменатели $10$, $100$, $\dots$ в десетични дроби:

    запишете числото от числителя;

    Използвайте десетична точка, за да отделите толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.

Пример 10

Преобразувайте неправилната дроб $\frac(12756)(100)$ в десетична.

Решение.

Нека запишем числото от числителя $12756$, след което разделим цифрите $2$ отдясно с десетична запетая, т.к. знаменателят на оригиналната дроб $2$ е нула. Получаваме десетичната дроб $127,56$.

Като:

± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 …

където ± е знакът за дроб: или +, или -,

, е десетична точка, която служи като разделител между целите и дробните части на числото,

dk- десетични числа.

В този случай редът на числата преди десетичната запетая (вляво от нея) има край (като min 1 на цифра), а след десетичната запетая (вдясно) може да бъде както краен (като опция, може изобщо да няма цифри след десетичната запетая) и безкрайно.

Десетична стойност ± d m … д 1 д 0 , д -1 д -2 … е реално число:

което е равно на сумата от краен или безкраен брой членове.

Представянето на реални числа с помощта на десетични дроби е обобщение на писането на цели числа в десетичната бройна система. Десетичното представяне на цяло число няма цифри след десетичната запетая, така че представянето изглежда така:

± d m … д 1 д 0 ,

И това съвпада със записването на нашето число в десетичната бройна система.

десетична- това е резултатът от разделянето на 1 на 10, 100, 1000 и така нататък. Тези дроби са доста удобни за изчисления, т.к те се основават на същата позиционна система, на която се основава броенето и записването на цели числа. Благодарение на това нотацията и правилата за работа с десетични дроби са почти същите като при цели числа.

Когато пишете десетични дроби, не е необходимо да отбелязвате знаменателя, той се определя от мястото, което заема съответната цифра. Първо записваме цялата част на числото, след което поставяме десетична точка отдясно. Първата цифра след десетичната запетая показва броя на десетите, втората - броя на стотните, третата - броя на хилядните и т.н. Числата, които се намират след десетичната запетая са десетични знаци.

Например:

Едно от предимствата на десетичните дроби е, че те могат много лесно да бъдат сведени до обикновени дроби: числото след десетичната запетая (за нас е 5047) е числител; знаменателравно на н-та степен на 10, където н- броят на десетичните знаци (за нас това е n=4):

Когато в десетичната дроб няма цяло число, поставяме нула пред десетичната запетая:

Свойства на десетичните дроби.

1. Десетичната запетая не се променя, когато се добавят нули отдясно:

13.6 =13.6000.

2. Десетичният знак не се променя, когато нулите в края на десетичния знак се премахнат:

0.00123000 = 0.00123.

внимание!Не можете да премахвате нули, които НЕ са разположени в края на десетичната дроб!

3. Десетичната дроб се увеличава с 10, 100, 1000 и така нататък пъти, когато преместим десетичната запетая съответно на 1, 2, 2 и така нататък надясно:

3,675 → 367,5 (фракцията е увеличена сто пъти).

4. Десетичната дроб става десет, сто, хиляда и т.н. пъти по-малка, когато преместим десетичната запетая съответно на 1, 2, 3 и така нататък вляво:

1536.78 → 1.53678 (фракцията стана хиляда пъти по-малка).

Видове десетични дроби.

Десетичните дроби се делят на финал, безкраенИ периодични десетични знаци.

Последната десетична дроб етова е дроб, съдържащ краен брой цифри след десетичната запетая (или изобщо няма такива), т.е. изглежда така:

Едно реално число може да бъде представено като крайна десетична дроб само ако това число е рационално и когато е написано като несъкратима дроб p/qзнаменател рняма прости множители, различни от 2 и 5.

Безкраен десетичен знак.

Съдържа безкрайно повтаряща се група от извикани числа Период. Периодът е изписан в скоби. Например 0,12345123451234512345… = 0.(12345).

Периодичен десетичен знак- това е безкрайна десетична дроб, в която последователността от цифри след десетичната запетая, започвайки от определено място, е периодично повтаряща се група от цифри. С други думи, периодична дроб- десетична дроб, която изглежда така:

Такава дроб обикновено се записва накратко, както следва:

Група числа b 1 … b l, което повтаря, е период на фракцията, броят на цифрите в тази група е продължителност на периода.

Когато в периодична дроб точката идва веднага след десетичната запетая, това означава, че дробта е чист периодичен. Когато има числа между десетичната запетая и 1-вата точка, тогава дробта е смесен периодичен, а групата от цифри след десетичната запетая до 1-вата цифра на периода е дроб предпериод.

Например, дробта 1,(23) = 1.2323... е чисто периодична, а дробта 0.1(23) = 0.12323... е смесена периодична.

Основното свойство на периодичните дроби, поради което се отличават от цялото множество десетични дроби, се крие във факта, че периодичните дроби и само те представляват рационални числа. По-точно се получава следното:

Всяка безкрайно периодична десетична дроб представлява рационално число. Обратно, когато едно рационално число се разгъне в безкрайна десетична дроб, това означава, че тази дроб ще бъде периодична.

Урок: Десетичен запис на дробни числа

Дробни числа

Знакът на дробта може да се изрази с всяко реално число. Дробни числа, в които знакът е 10; 100; 1000;... се съгласи да подпише без да знае. Всяко дробно число, в знак на нещо 10; 100; 1000 и т.н. (т.е. единица с няколко nu-la-mi), може да бъде представена под формата на de-sya-tic-no-pi-si (под формата на de-sya-tic- no фракция). Първо записват цялата част, след това числото на дробната част и цялата част от дробната част след петата.

Например,

Ако липсва цялата част, т.е. дроб е правилна, тогава цялата част се записва като 0.

Записване на десетична дроб

За да се напише правилно десетична дроб, числителят на дробната част трябва да има толкова знаци, колкото нули има в дробната част.

1. Запишете го под формата на дроб.

2. Представете намаляваща дроб под формата на дроб или смесено число.

3. Про-чи-тай-тези де-ся-тич фракции.

12,4 - 12 цяло 4 десети;

0,3 - 0 цели 3 десети;

1.14 - 1 точка 14 стотни;

2.07 - 2 точка 7 стотни;

0,06 - 0 точки 6 стотни;

0,25 - 0 точки 25;

1.234 - 1 точка 234 хиляди;

1.230 - 1 точка 230 хиляди;

1.034 - 1 точка 34 хиляди;

1.004 - 1 точка 4 хиляди;

1.030 - 1 точка 30 хиляди;

0,010101 - 0 цяло 10101 милиона.

4. Пе-ре-не-си-те петата във всяка цифра 1 ред вляво и повторете числата.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Pe-re-ne-si-te петата във всяко от числата един ред вдясно и прочетете следващото число.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. Вие-ра-зи-тези в метри и сан-ти-метри.

3,28 m = 3 m + .

7. Вие-ра-зи-тези в тонове и килограми.

24.030 t = 24 t.

8. Запишете частното под формата на де-ся-тична дроб.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =


В тази статия ще разгледаме как преобразуване на дроби в десетични знаци, а също така разгледайте обратния процес - преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще очертаем правилата за преобразуване на дроби и ще дадем подробни решениятипични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на дроби в десетични знаци

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на дроби в десетични знаци.

Първо, ще разгледаме как да представим дроби със знаменатели 10, 100, 1000, ... като десетични знаци. Това е така, защото десетичните знаци са по същество компактна формаписане на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ….

След това ще продължим и ще покажем как да напишем всяка обикновена дроб (не само тези със знаменатели 10, 100, ...) като десетична дроб. Когато обикновените дроби се третират по този начин, се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега нека поговорим за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби

Някои правилни дроби изискват "предварителна подготовка", преди да бъдат преобразувани в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не се нуждае от подготовка.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите подходяща дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

  • напишете 0;
  • след него поставяме десетична точка;
  • Записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Нека разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули. Числителят съдържа числото 37, неговото обозначение има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя и получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да затвърдим уменията за преобразуване на правилни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме.

Всичко, което остава, е да се създаде необходимата десетична дроб. За да направите това, първо, пишем 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107, в резултат на което имаме десетична дроб 0,0000107.

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните дроби не изискват никаква подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични знаци:

  • запишете числото от числителя;
  • Използваме десетична точка, за да отделим толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на оригиналната дроб.

Нека да разгледаме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилната дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична запетая.

Решение.

Първо, записваме числото от числителя 56888038009 и второ, разделяме 5-те цифри вдясно с десетична запетая, тъй като знаменателят на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетичната дроб 568880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб и след това да преобразувате получената дроб в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа с дробен знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

  • ако е необходимо, изпълнете " предварителна подготовка» дробна част от първоначалното смесено число, добавяне необходимо количествонули отляво в числителя;
  • запишете цялата част от първоначалното смесено число;
  • поставете десетична точка;
  • Записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека да разгледаме пример, при решаването му ще направим всичко необходимите стъпкиза представяне на смесено число като десетичен знак.

Пример.

Преобразувайте смесеното число в десетичен знак.

Решение.

Знаменателят на дробната част има 4 нули, но числителят съдържа числото 17, състоящо се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на цифрите там да стане равен на броя на нули в знаменателя. След като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, и получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Разбира се, беше възможно първо да се представи смесеното число като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така: .

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на дроби в крайни и безкрайни периодични десетични знаци

Можете да преобразувате не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетична дроб, но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (вижте привеждане на обикновена дроб към нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дробта 4/10, която според правила, обсъдени в предишния параграф, лесно се преобразува в десетична дроб 0, 4 .

В други случаи трябва да използвате друг метод за преобразуване на обикновена дроб в десетична, който сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин, както делението на колона от естествени числа, като в частното се поставя десетична точка, когато разделянето на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте дробта 621/4 в десетична.

Решение.

Нека представим числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавим десетична запетая и няколко нули след нея. Първо, нека добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от дългото деление естествени числа, след тях стигаме до следната картина:

Така стигаме до десетичната запетая в дивидента, а остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме да делим в колона, без да обръщаме внимание на запетаите:

Това завършва делението и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте дробта 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, разделяме с колона от десетичната дроб 21 000... на 800. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, това завършва преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетична дроб и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб пак да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи безкрайно дълго. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично и числата в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната дроб се преобразува в безкрайно периодична десетична дроб. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете дробта 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична, извършете деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното се повтарят числата 1 и 8. Така първоначалната обикновена дроб 19/44 се преобразува в периодична десетична дроб 0,43181818...=0,43(18).

Отговор:

0,43(18) .

За да завършим тази точка, ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме несъкратима обикновена дроб пред нас (ако дробта е съкратима, тогава първо намаляваме дробта) и трябва да разберем в коя десетична дроб може да се превърне - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да се сведе до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да се преобразува в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. Не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чийто знаменател е поне едно от числата 10, 100, .... И кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, ... ще ни позволят да отговорим на този въпрос и те са както следва: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... От това следва, че делителите са 10, 100, 1000 и т.н. Може да има само числа, чието разлагане на прости множители съдържа само числата 2 и (или) 5.

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични:

  • ако при разлагането на знаменателя на прости множители присъстват само числата 2 и (или) 5, тогава тази дроб може да се преобразува в крайна десетична дроб;
  • ако освен двойки и петици в разширението на знаменателя има и други прости числа, тогава тази дроб се преобразува в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми кои от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб и кои могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.

Решение.

Знаменателят на дробта 47/20 се разлага на прости множители като 20=2·2·5. В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на знаменателя на дробта 7/12 на прости множители има формата 12=2·2·3. Тъй като съдържа прост множител 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като краен десетичен знак, но може да бъде преобразуван в периодичен десетичен дроб.

Фракция 21/56 – контрактилен, след контракция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8 и следователно равната дроб 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб.

И накрая, разширяването на знаменателя на самата дроб 31/17 е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в крайна десетична дроб, но 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодична дроб.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни непериодични десетични знаци

Информацията в предишния абзац поражда въпроса: „Може ли разделянето на числителя на дроб на знаменателя да доведе до безкрайна непериодична дроб?“

Отговор: не. При преобразуване на обикновена дроб резултатът може да бъде или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, тоест ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава остатъкът може да бъде само едно от числата 0, 1, 2 , ..., q−1. Следва, че след като колоната завърши разделянето на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, в не повече от q стъпки ще възникне една от следните две ситуации:

  • или ще получим остатък от 0, това ще приключи делението и ще получим крайната десетична дроб;
  • или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), това ще доведе до безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразуване на десетични числа в дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена дроб. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични дроби в обикновени дроби. След това ще разгледаме метод за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични знаци в дроби

Получаването на дроб, която е записана като краен десетичен знак, е доста лесно. Правилото за преобразуване на последна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

  • първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
  • второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
  • трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме решенията на примерите.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая от оригиналната десетична дроб, получаваме числото 3025. Отляво няма нули, които бихме изхвърлили. И така, записваме 3,025 в числителя на желаната дроб.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.

Получаваме обикновената дроб 3025/1000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

Записваме едно с четири нули в знаменателя, тъй като оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена дроб е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част от оригиналната последна десетична дроб е различна от нула, тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на крайна десетична дроб в смесено число:

  • числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
  • в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на първоначалната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво;
  • в знаменателя на дробната част трябва да запишете числото 1, към което добавете толкова нули вдясно, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
  • ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Нека да разгледаме пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната дроб 152,06005 като смесено число

Свързани публикации: