Дискриминант с отрицателна стойност. Дискриминант от по-висок порядък

В съвременното общество способността да се работи с уравнения, съдържащи квадратна променлива, може да бъде полезна в много области на дейност и се използва широко в практиката в научните и технически разработки. Това може да се докаже от проектирането на морски и речни кораби, самолети и ракети. С помощта на такива изчисления се определят траекториите на движение на различни тела, включително космически обекти. Примери за решение квадратни уравнениясе използват не само в икономическото прогнозиране, при проектирането и строителството на сгради, но и в най-обикновени ежедневни обстоятелства. Те може да са необходими при къмпинг пътувания, на спортни събития, в магазини при пазаруване и в други много често срещани ситуации.

Нека разделим израза на компонентни фактори

Степента на уравнение се определя от максималната стойност на степента на променливата, която съдържа дадения израз. Ако е равно на 2, тогава такова уравнение се нарича квадратно уравнение.

Ако говорим на езика на формулите, тогава тези изрази, независимо как изглеждат, винаги могат да бъдат приведени във вида, когато лявата страна на израза се състои от три термина. Сред тях: ax 2 (тоест променлива на квадрат с нейния коефициент), bx (неизвестно без квадрат с неговия коефициент) и c (свободен компонент, тоест обикновено число). Всичко това от дясната страна е равно на 0. В случай, че такъв полином няма нито един от съставните му членове, с изключение на акси 2, той се нарича непълно квадратно уравнение. Първо трябва да се разгледат примери с решение на такива задачи, при които не е трудно да се намери стойността на променливите.

Ако изразът изглежда така, сякаш има два члена от дясната страна на израза, по-точно ax 2 и bx, най-лесно е да намерите x, като поставите променливата в скоби. Сега нашето уравнение ще изглежда така: x(ax+b). Освен това става очевидно, че или x=0, или проблемът се свежда до намиране на променлива от следния израз: ax+b=0. Това е продиктувано от едно от свойствата на умножението. Правилото гласи, че произведението на два фактора води до 0 само ако един от тях нула.

Пример

x=0 или 8x - 3 = 0

В резултат на това получаваме два корена на уравнението: 0 и 0,375.

Уравнения от този вид могат да опишат движението на телата под действието на гравитацията, които са започнали да се движат от определена точка, взета за начало. Тук се използва математическата нотация следната форма: y = v 0 t + gt 2 /2. Чрез заместване на необходимите стойности, приравняване на дясната страна към 0 и намиране на възможни неизвестни, можете да разберете времето, изминало от момента на издигане на тялото до момента на падане, както и много други величини. Но за това ще говорим по-късно.

Факторизиране на израз

Правилото, описано по-горе, прави възможно решаването на тези проблеми и в повече трудни случаи. Разгледайте примери с решението на квадратни уравнения от този тип.

X2 - 33x + 200 = 0

Това квадратен триномзавършено е. Първо, трансформираме израза и го разлагаме на фактори. Има два от тях: (x-8) и (x-25) = 0. В резултат на това имаме два корена 8 и 25.

Примери с решение на квадратни уравнения в клас 9 позволяват на този метод да намери променлива в изрази не само от втори, но дори и от трети и четвърти порядък.

Например: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Когато разлагате дясната страна на фактори с променлива, има три от тях, тоест (x + 1), (x-3) и (x + 3).

В резултат на това става очевидно, че това уравнение има три корена: -3; -един; 3.

Извличане на квадратен корен

Друг случай непълно уравнениевторият ред е израз, изразен на езика на буквите по такъв начин, че дясната страна е изградена от компонентите ax 2 и c. Тук, за да се получи стойността на променливата, свободният член се прехвърля към правилната страна, и след това от двете части на равенството, Корен квадратен. Трябва да се отбележи, че в този случай обикновено има два корена на уравнението. Единствените изключения са равенствата, които изобщо не съдържат термина c, където променливата е равна на нула, както и варианти на изрази, когато дясната страна се окаже отрицателна. В последния случай изобщо няма решения, тъй като горните действия не могат да се извършват с корени. Трябва да се разгледат примери за решения на квадратни уравнения от този тип.

В този случай корените на уравнението ще бъдат числата -4 и 4.

Изчисляване на площта на земята

Необходимостта от този вид изчисления се появи в древни времена, тъй като развитието на математиката в онези далечни времена до голяма степен се дължи на необходимостта да се определят площите и периметрите на парцелите с най-голяма точност.

Трябва да разгледаме и примери с решението на квадратни уравнения, съставени на базата на задачи от този вид.

И така, да кажем, че има правоъгълно парче земя, чиято дължина е с 16 метра повече от ширината. Трябва да намерите дължината, ширината и периметъра на обекта, ако е известно, че площта му е 612 m 2.

Като се заемем с работата, първо ще направим необходимото уравнение. Нека да обозначим ширината на секцията като x, тогава нейната дължина ще бъде (x + 16). От написаното следва, че площта се определя от израза x (x + 16), който според условието на нашата задача е 612. Това означава, че x (x + 16) \u003d 612.

Решаването на пълни квадратни уравнения, а този израз е точно това, не може да се направи по същия начин. Защо? Въпреки че лявата му страна все още съдържа два фактора, произведението от тях изобщо не е равно на 0, така че тук се използват други методи.

Дискриминанта

На първо място правим необходимите трансформации, след това външен видтози израз ще изглежда така: x 2 + 16x - 612 = 0. Това означава, че сме получили израз във формата, съответстваща на предварително зададения стандарт, където a=1, b=16, c=-612.

Това може да бъде пример за решаване на квадратни уравнения чрез дискриминанта. Тук се правят необходимите изчисления по схемата: D = b 2 - 4ac. Тази спомагателна стойност не само прави възможно намирането на желаните стойности в уравнението от втори ред, но и определя броя настроики. В случай D>0 има две от тях; за D=0 има един корен. В случай Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

За корените и тяхната формула

В нашия случай дискриминантът е: 256 - 4(-612) = 2704. Това показва, че нашият проблем има отговор. Ако знаете, решението на квадратни уравнения трябва да продължи с формулата по-долу. Позволява ви да изчислите корените.

Това означава, че в представения случай: x 1 =18, x 2 =-34. Вторият вариант в тази дилема не може да бъде решение, тъй като размерът на парцела не може да бъде измерен в отрицателни стойности, което означава, че x (тоест ширината на парцела) е 18 м. От тук изчисляваме дължината: 18+16=34, а периметърът 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Примери и задачи

Продължаваме изучаването на квадратните уравнения. По-долу ще бъдат дадени примери и подробно решение на няколко от тях.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Да преместим всичко на лява странаравенство, ще направим трансформация, тоест ще получим формата на уравнението, която обикновено се нарича стандартна, и ще го приравним на нула.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

След като добавихме подобни, определяме дискриминанта: D = 49 - 48 = 1. Така че нашето уравнение ще има два корена. Изчисляваме ги по горната формула, което означава, че първият от тях ще бъде равен на 4/3, а вторият 1.

2) Сега ще разкрием гатанки от различен вид.

Нека разберем дали тук изобщо има корени x 2 - 4x + 5 = 1? За да получим изчерпателен отговор, привеждаме полинома в съответната позната форма и изчисляваме дискриминанта. В този пример не е необходимо да се решава квадратното уравнение, тъй като същността на проблема изобщо не е в това. В този случай D \u003d 16 - 20 \u003d -4, което означава, че наистина няма корени.

Теоремата на Виета

Удобно е да се решават квадратни уравнения чрез горните формули и дискриминанта, когато от стойността на последния се извлича квадратен корен. Но това не винаги се случва. Въпреки това, има много начини да получите стойностите на променливите в този случай. Пример: решаване на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета. Той е кръстен на човек, който е живял във Франция от 16-ти век и е имал брилянтна кариера благодарение на своя математически талант и връзки в двора. Неговият портрет може да се види в статията.

Моделът, който известният французин забеляза, беше следният. Той доказа, че сумата от корените на уравнението е равна на -p=b/a, а тяхното произведение съответства на q=c/a.

Сега нека разгледаме конкретни задачи.

3x2 + 21x - 54 = 0

За простота, нека трансформираме израза:

x 2 + 7x - 18 = 0

Използвайки теоремата на Виета, това ще ни даде следното: сумата от корените е -7, а произведението им е -18. От тук получаваме, че корените на уравнението са числата -9 и 2. След като направихме проверка, ще се уверим, че тези стойности на променливите наистина се вписват в израза.

Графика и уравнение на парабола

Понятията за квадратна функция и квадратни уравнения са тясно свързани. Примери за това вече бяха дадени по-рано. Сега нека разгледаме някои математически пъзели малко по-подробно. Всяко уравнение от описания тип може да бъде представено визуално. Такава зависимост, начертана под формата на графика, се нарича парабола. Различните му видове са показани на фигурата по-долу.

Всяка парабола има връх, тоест точка, от която излизат нейните клонове. Ако a>0, те отиват високо до безкрайност, а когато a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Визуалните представяния на функциите помагат за решаването на всякакви уравнения, включително и квадратни. Този метод се нарича графичен. И стойността на променливата x е координатата на абсцисата в точките, където линията на графиката се пресича с 0x. Координатите на върха могат да бъдат намерени по формулата, която току-що е дадена x 0 = -b / 2a. И, замествайки получената стойност в оригиналното уравнение на функцията, можете да разберете y 0, тоест втората координата на върха на параболата, принадлежаща на оста y.

Пресечната точка на клоните на параболата с оста на абсцисата

Има много примери с решението на квадратни уравнения, но има и общи модели. Нека ги разгледаме. Ясно е, че пресичането на графиката с оста 0x за a>0 е възможно само ако y 0 приема отрицателни стойности. И за а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. В противен случай D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

От графиката на парабола можете също да определите корените. Обратното също е вярно. Тоест, ако не е лесно да се получи визуално представяне на квадратична функция, можете да приравните дясната страна на израза към 0 и да решите полученото уравнение. И като се знаят точките на пресичане с оста 0x, е по-лесно да се начертае.

От историята

С помощта на уравнения, съдържащи квадратна променлива, в старите времена не само правеха математически изчисления и определяха площта на геометричните фигури. Древните са имали нужда от такива изчисления за грандиозни открития в областта на физиката и астрономията, както и за правене на астрологични прогнози.

Както предполагат съвременните учени, жителите на Вавилон са сред първите, които решават квадратни уравнения. Това се случи четири века преди настъпването на нашата ера. Разбира се, техните изчисления бяха коренно различни от приетите в момента и се оказаха много по-примитивни. Например месопотамските математици нямаха представа за съществуването на отрицателни числа. Те също не бяха запознати с други тънкости от тези, известни на всеки ученик от нашето време.

Може би дори по-рано от учените от Вавилон, мъдрецът от Индия, Баудаяма, се зае с решението на квадратните уравнения. Това се случило около осем века преди настъпването на ерата на Христос. Вярно е, че уравненията от втори ред, методите за решаване на които той даде, бяха най-простите. Освен него, китайските математици също се интересуваха от подобни въпроси навремето. В Европа квадратните уравнения започват да се решават едва в началото на 13-ти век, но по-късно те са използвани в работата си от такива велики учени като Нютон, Декарт и много други.

Дискриминантът, както и квадратните уравнения, започват да се изучават в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминанта и с помощта на теоремата на Виета. Методиката за изучаване на квадратни уравнения, както и дискриминантната формула, доста неуспешно се насажда на учениците, както много в реалното образование. Следователно учебните години минават, образованието в 9-11 клас замества "висше образование" и всеки отново търси - "Как да решим квадратно уравнение?", "Как да намеря корените на уравнение?", "Как да намерим дискриминанта?" И...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратното уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 - уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много сайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че който знае как да приложим това, моля, пишете на пощата Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Корените на уравнението се намират по формулата
Ако коефициентът на променливата в квадрата е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминанта, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират по формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, разгледайте тази част от него, която се отнася до редуцираните квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Vieta е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с противоположен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Формулите на теоремата на Виета имат нотация.
Извличането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение по отношение на прости фактори
Както виждате, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модула на корените или разликата в модула на корените е 1, 2. Например, следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени




Анализът на до 4 уравнения трябва да изглежда така. Произведението на корените на уравнението е 6, така че корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположен знак. Сборът от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са равни на x=2; х=3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението между делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. В началото това изглежда трудно да се направи, но с практика върху редица квадратни уравнения, тази техника ще бъде по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и начини за намиране на решения на уравнението е лишена от практически смисъл - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“.

Нека се опитаме да го разберем какво описва дискриминантът?

В курса на алгебрата те изучават функции, схеми за изучаване на функции и изобразяване на функции. От всички функции важно място заема парабола, чието уравнение може да се запише във формата
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата в квадрата съответства на това дали клоните на параболата на графиката ще се издигнат (a>0),

или парабола с разклонения надолу (а<0) .

Върхът на параболата се намира по средата между корените

Физическото значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две пресечни точки с оста Ox.
Ако дискриминантът е равен на нула (D=0), тогава параболата в горната част докосва оста x.
И последният случай, когато дискриминантът по-малко от нула(Д<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Непълни квадратни уравнения

Надявам се, че след като изучавате тази статия, ще научите как да намерите корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията "Решаване на непълни квадратни уравнения".

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? Това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.

D \u003d b 2 - 4ac.

В зависимост от това каква стойност има дискриминантът, ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. реши уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Отговор: - 3,5; един.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения по схемата на фигура 1.

Тези формули могат да се използват за решаване на всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате уравнението е записано като полином стандартен изглед

но х 2 + bx + c,в противен случай можете да направите грешка. Например, като напишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение за пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е записано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде записано като полином от стандартната форма (моноломът с най-голям показател трябва да бъде на първо място, т.е. но х 2 , след това с по-малко – bx, а след това и свободния срок от

При решаване на горното квадратно уравнение и квадратното уравнение с четен коефициент за втория член могат да се използват и други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение с втория член коефициентът е четен (b = 2k), тогава уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича редуцирано, ако коефициентът при х 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да се даде за решаване или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента ностоящ при х 2 .

Фигура 3 показва диаграма на решението на намаления квадрат
уравнения. Помислете за примера за прилагане на формулите, разгледани в тази статия.

Пример. реши уравнението

3х 2 + 6x - 6 = 0.

Нека решим това уравнение с помощта на формулите, показани на фигура 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3

Можете да видите, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. След това нека се опитаме да решим уравнението с помощта на формулите, показани на фигурната диаграма D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и разделяйки, получаваме редуцираното квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 = 0 Решаваме това уравнение, използвайки формулите за редуцираното квадратно уравнение
уравнения на фигура 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3.

Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получаваме същия отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Сред целия курс на училищната програма по алгебра една от най-обемните теми е темата за квадратните уравнения. В този случай квадратното уравнение се разбира като уравнение от формата ax 2 + bx + c \u003d 0, където a ≠ 0 (това се чете: умножено по x на квадрат плюс be x плюс ce е равно на нула, където a не е равно на нула). В този случай основното място се заема от формулите за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение от посочения тип, което се разбира като израз, който ви позволява да определите наличието или отсъствието на корени в квадратно уравнение, както и техния брой (ако има такъв).

Формула (уравнение) на дискриминанта на квадратно уравнение

Общоприетата формула за дискриминанта на квадратно уравнение е, както следва: D \u003d b 2 - 4ac. Чрез изчисляване на дискриминанта по посочената формула може не само да се определи наличието и броят на корените на квадратно уравнение, но и да се избере метод за намиране на тези корени, от които има няколко, в зависимост от вида на квадратното уравнение.

Какво означава, ако дискриминантът е нула \ Формула на корените на квадратно уравнение, ако дискриминантът е нула

Дискриминантът, както следва от формулата, се обозначава латинска букваГ. В случай, когато дискриминантът е равен на нула, следва да се заключи, че квадратното уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, има само един корен, който се изчислява по опростена формула . Тази формула се прилага само когато дискриминантът е нула и изглежда така: x = –b/2a, където x е коренът на квадратното уравнение, b и a са съответните променливи на квадратното уравнение. За да се намери коренът на квадратно уравнение, е необходимо да се раздели отрицателната стойност на променливата b на удвоената стойност на променливата a. Полученият израз ще бъде решение на квадратно уравнение.

Решаване на квадратно уравнение чрез дискриминанта

Ако при изчисляване на дискриминанта по горната формула се получи положителна стойност (D е по-голяма от нула), тогава квадратното уравнение има два корена, които се изчисляват по следните формули: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Най-често дискриминантът не се изчислява отделно, а коренният израз под формата на дискриминантна формула просто се заменя със стойността D, от която се извлича коренът. Ако променливата b има четна стойност, тогава за изчисляване на корените на квадратно уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, можете да използвате и следните формули: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, където k = b/2.

В някои случаи, за практическото решение на квадратни уравнения, можете да използвате теоремата на Vieta, която казва, че за сумата от корените на квадратно уравнение от формата x 2 + px + q \u003d 0, стойността x 1 + x 2 \u003d -p ще бъде вярно, а за произведението на корените на посоченото уравнение - израз x 1 xx 2 = q.

Може ли дискриминантът да бъде по-малък от нула?

При изчисляване на стойността на дискриминанта може да се срещне ситуация, която не попада в нито един от описаните случаи - когато дискриминантът има отрицателна стойност (т.е. по-малка от нула). В този случай е общоприето, че квадратно уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, няма реални корени, следователно неговото решение ще бъде ограничено до изчисляване на дискриминанта и горните формули тъй като корените на квадратното уравнение няма да се прилагат в този случай ще. В същото време в отговора на квадратното уравнение е записано, че „уравнението няма реални корени“.

Обяснително видео:

С тази програма по математика можете решаване на квадратно уравнение.

Програмата не само дава отговора на проблема, но и показва процеса на решение по два начина:
- използване на дискриминанта
- използване на теоремата на Виета (ако е възможно).

Освен това отговорът се показва точен, а не приблизителен.
Например, за уравнението \(81x^2-16x-1=0\), отговорът се показва в тази форма:

Тази програмаможе да бъде полезно за ученици от гимназията при подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпита, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашното си по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучението на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на квадратен полином, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на квадратен полином

Всяка латинска буква може да действа като променлива.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.н.

Числата могат да се въвеждат като цели числа или дроби.
Освен това дробните числа могат да бъдат въведени не само под формата на десетична, но и под формата на обикновена дроб.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
При десетичните дроби дробната част от цялото число може да бъде разделена с точка или запетая.
Например, можете да въведете десетични знацитака че: 2,5x - 3,5x^2

Правила за въвеждане на обикновени дроби.
Само цяло число може да действа като числител, знаменател и цяла част на дроб.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

При въвеждане на числова дроб числителят се отделя от знаменателя със знак за деление: /
Цялата част се отделя от дроба с амперсанд: &
Вход: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Резултат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

При въвеждане на израз можете да използвате скоби. В този случай при решаване на квадратно уравнение въведения израз първо се опростява.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля Изчакай сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачати решаваш какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Квадратно уравнение и неговите корени. Непълни квадратни уравнения

Всяко от уравненията
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
има формата
\(ax^2+bx+c=0, \)
където x е променлива, a, b и c са числа.
В първото уравнение a = -1, b = 6 и c = 1,4, във второто a = 8, b = -7 и c = 0, в третото a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такива уравнения се наричат квадратни уравнения.

Определение.
квадратно уравнениесе извиква уравнение от вида ax 2 +bx+c=0, където x е променлива, a, b и c са някои числа и \(a \neq 0 \).

Числата a, b и c са коефициентите на квадратното уравнение. Числото a се нарича първи коефициент, числото b е вторият коефициент, а числото c е отсечката.

Във всяко от уравненията от вида ax 2 +bx+c=0, където \(a \neq 0 \), най-голямата степен на променливата x е квадрат. Оттук и името: квадратно уравнение.

Забележете, че квадратното уравнение се нарича още уравнение от втора степен, тъй като лявата му страна е полином от втора степен.

Извиква се квадратно уравнение, в което коефициентът при x 2 е 1 намалено квадратно уравнение. Например, дадените квадратни уравнения са уравненията
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ако в квадратното уравнение ax 2 +bx+c=0 поне един от коефициентите b или c е равен на нула, тогава такова уравнение се нарича непълно квадратно уравнение. И така, уравненията -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 са непълни квадратни уравнения. В първия от тях b=0, във втория c=0, в третия b=0 и c=0.

Непълните квадратни уравнения са три вида:
1) ax 2 +c=0, където \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, където \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Помислете за решението на уравнения на всеки от тези видове.

За да се реши непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +c=0 за \(c \neq 0 \), свободният му член се прехвърля в дясната страна и двете части на уравнението се разделят на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Стрелка надясно x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Тъй като \(c \neq 0 \), то \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ако \(-\frac(c)(a)>0 \), то уравнението има два корена.

Ако \(-\frac(c)(a) За да решите непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \), разложете на множители лявата му страна и получете уравнението
\(x(ax+b)=0 \Стрелка надясно \наляво\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Стрелка надясно \наляво\( \begin (масив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(масив) \вдясно \)

Следователно, едно непълно квадратно уравнение от вида ax 2 +bx=0 за \(b \neq 0 \) винаги има два корена.

Непълно квадратно уравнение от формата ax 2 = 0 е еквивалентно на уравнението x 2 = 0 и следователно има един корен 0.

Формулата за корените на квадратно уравнение

Нека сега разгледаме как се решават квадратни уравнения, в които и двата коефициента на неизвестните и свободния член са различни от нула.

Решаваме квадратното уравнение в общ вид и в резултат получаваме формулата на корените. Тогава тази формула може да се приложи за решаване на всяко квадратно уравнение.

Решете квадратното уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделяйки и двете му части на a, получаваме еквивалентното намалено квадратно уравнение
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Преобразуваме това уравнение, като подчертаваме квадрата на бинома:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Стрелка надясно \)

Извиква се коренният израз дискриминант на квадратно уравнение ax 2 +bx+c=0 (“дискриминант” на латински - разграничител). Обозначава се с буквата D, т.е.
\(D = b^2-4ac\)

Сега, използвайки нотацията на дискриминанта, пренаписваме формулата за корените на квадратното уравнение:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), където \(D= b^2-4ac \)

Очевидно е, че:
1) Ако D>0, тогава квадратното уравнение има два корена.
2) Ако D=0, тогава квадратното уравнение има един корен \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ако D Така, в зависимост от стойността на дискриминанта, квадратното уравнение може да има два корена (за D > 0), един корен (за D = 0) или без корени (за D При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула , препоръчително е да направите следния начин:
1) изчислете дискриминанта и го сравнете с нула;
2) ако дискриминантът е положителен или равен на нула, тогава използвайте формулата за корен, ако дискриминантът е отрицателен, запишете, че няма корени.

Теоремата на Виета

Даденото квадратно уравнение ax 2 -7x+10=0 има корени 2 и 5. Сборът на корените е 7, а произведението е 10. Виждаме, че сумата на корените е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Всяко намалено квадратно уравнение, което има корени, има това свойство.

Сборът от корените на даденото квадратно уравнение е равен на втория коефициент, взет с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.

Тези. Теоремата на Виета гласи, че корените x 1 и x 2 на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0 имат свойството:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)