Ред на разлагане. Сложни случаи на факторинг на полиноми

Разлагането на полиноми на множители е идентично преобразуване, в резултат на което един полином се трансформира в произведение на няколко фактора - полиноми или мономи.

Има няколко начина за разлагане на многочлени.

Метод 1. Сглобяване на общия фактор.

Тази трансформация се основава на разпределителния закон на умножението: ac + bc = c(a + b). Същността на трансформацията е да се отдели общият фактор в двата разглеждани компонента и да се „изнесе“ от скобите.

Нека разложим на множители полинома 28x 3 - 35x 4.

Решение.

1. Намираме общ делител за елементи 28x3 и 35x4. За 28 и 35 ще бъде 7; за x 3 и x 4 - x 3. С други думи, нашият общ фактор е 7x3.

2. Представяме всеки един от елементите като произведение на фактори, един от които
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Скоби на общия фактор
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

Метод 2. Използване на съкратени формули за умножение. „Майсторството“ на овладяването на този метод е да забележите в израза една от формулите за съкратено умножение.

Нека разложим на множители полинома x 6 - 1.

Решение.

1. Можем да приложим формулата за разликата на квадратите към този израз. За да направите това, ние представяме x 6 като (x 3) 2, а 1 като 1 2, т.е. 1. Изразът ще приеме формата:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Към получения израз можем да приложим формулата за сбора и разликата на кубовете:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Така,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Метод 3. Групиране. Методът на групиране се състои в комбиниране на компонентите на полином по такъв начин, че да е лесно да се извършват операции с тях (събиране, изваждане, изваждане на общ фактор).

Разлагаме на множители полинома x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Решение.

1. Групирайте компонентите по този начин: 1-вият с 2-ри и 3-тият с 4-ти
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. В получения израз изваждаме общите множители от скоби: x 2 в първия случай и 5 във втория.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Изваждаме общия множител x - 3 и получаваме:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Така,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2 + 5).

Да оправим материала.

Разложете полинома на множители a 2 - 7ab + 12b 2 .

Решение.

1. Представяме монома 7ab като сумата 3ab + 4ab. Изразът ще приеме формата:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Нека отворим скобите и получим:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Групирайте компонентите на полинома по този начин: 1-вият с 2-ия и 3-ият с 4-ия. Получаваме:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Нека извадим общите фактори:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Нека извадим общия множител (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Така,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (а – 3 b) ∙ (а – 4b).

сайт, с пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

В общия случай тази задача включва творчески подход, тъй като няма универсален метод за решаването й. Нека обаче се опитаме да дадем няколко съвета.

В по-голямата част от случаите разлагането на полинома на фактори се основава на следствието от теоремата на Безут, тоест коренът е намерен или избран и степента на полинома се намалява с единица чрез разделяне на. Полученият полином се търси за корен и процесът се повтаря до пълно разширение.

Ако коренът не може да бъде намерен, тогава се използват специфични методи за декомпозиция: от групиране до въвеждане на допълнителни взаимно изключващи се термини.

По-нататъшното представяне се основава на уменията за решаване на уравнения от по-високи степени с целочислени коефициенти.

Включване в скоби на общия фактор.

Нека започнем с най-простия случай, когато свободният термин нула, тоест полиномът има формата .

Очевидно коренът на такъв полином е , тоест полиномът може да бъде представен като .

Този метод не е нищо друго освен изваждането на общия множител от скоби.

Пример.

Разложете полином от трета степен на фактори.

Решение.

Очевидно е, че е коренът на полинома, т.е. хможе да се постави в скоби:

Намерете корените на квадратен трином

По този начин,

Най-горе на страницата

Разлагане на множители на полином с рационални корени.

Първо, разгледайте метода за разширяване на полином с цели коефициенти от вида , коефициентът в най-високата степен е равен на единица.

В този случай, ако полиномът има цели числа, тогава те са делители на свободния член.

Пример.

Решение.

Нека проверим дали има цели числа. За да направите това, ние изписваме делителите на числото -18 : . Тоест, ако полиномът има цели числа, те са сред изписаните числа. Нека проверим тези числа последователно според схемата на Хорнер. Неговото удобство се крие и във факта, че в крайна сметка ще получим и коефициентите на разширение на полинома:

Това е, х=2и х=-3са корените на оригиналния полином и той може да бъде представен като произведение:

Остава да се разложи квадратен трином.

Дискриминантът на този трином е отрицателен, следователно няма реални корени.

Отговор:

коментар:

вместо схемата на Хорнер може да се използва изборът на корен и последващото разделяне на полином с полином.

Сега разгледайте разширяването на полином с цели коефициенти от вида , като коефициентът в най-високата степен не е равен на единица.

В този случай полиномът може да има дробно рационални корени.

Пример.

Разложете израза на множители.

Решение.

Чрез промяна на променливата y=2x, преминаваме към полином с коефициент, равен на единица в най-висока степен. За да направите това, първо умножаваме израза по 4 .

Ако получената функция има цели числа, те са сред делителите на свободния член. Нека ги запишем:

Изчислете последователно стойностите на функцията g(y)в тези точки до достигане на нула.

Факторизирането на уравнение е процесът на намиране на термини или изрази, които, когато се умножат, водят до първоначалното уравнение. Разлагането на множители е полезно умение за решаване на основни алгебрични задачи и се превръща в практическа необходимост при работа с квадратни уравнения и други полиноми. Разлагането на множители се използва за опростяване на алгебричните уравнения, за да се улеснят решаването им. Факторирането може да ви помогне да изключите някои възможни отговори по-бързо, отколкото можете, като решите ръчно уравнението.

Стъпки

Разлагане на числа и основни алгебрични изрази

1. Факторизиране на числата.Концепцията за разлагането на множители е проста, но на практика разлагането на множители може да бъде сложно (при условие на сложно уравнение). Следователно, за начало ще разгледаме концепцията за разлагане на множители, използвайки примера на числата, продължете с прости уравненияи след това преминете към сложни уравнения. Факторите на дадено число са числата, които при умножение дават първоначалното число. Например, факторите на числото 12 са числата: 1, 12, 2, 6, 3, 4, тъй като 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • По същия начин можете да мислите за факторите на число като за негови делители, тоест числата, на които се дели даденото число.
   • Намерете всички фактори на числото 60. Често използваме числото 60 (например 60 минути за час, 60 секунди за минута и т.н.) и това число има доста голям броймножители.
     • 60 множителя: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Помня:термините на израз, съдържащ коефициент (число) и променлива, също могат да бъдат разложени на множители. За да направите това, намерете множителите на коефициента при променливата. Знаейки как да разлагате на множители членовете на уравненията, можете лесно да опростите това уравнение.

   • Например, терминът 12x може да бъде записан като произведението на 12 и x. Можете също да запишете 12x като 3(4x), 2(6x) и т.н., като разложите 12 в коефициентите, които работят най-добре за вас.
     • Можете да изложите 12 пъти няколко пъти подред. С други думи, не трябва да спирате на 3(4x) или 2(6x); продължете разширяването: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, 3(4x)=3(2(2x)) и т.н.)

3. Приложете разпределителното свойство на умножението, за да разложите на множители алгебрични уравнения.Знаейки как да разлагате на множители числа и термини на израз (коефициенти с променливи), можете да опростите простите алгебрични уравнения, като намерите общия множител на число и член на израз. Обикновено, за да опростите уравнението, трябва да намерите най-големия общ делител (gcd). Такова опростяване е възможно поради разпределителното свойство на умножението: за всякакви числа a, b, c е вярно равенството a (b + c) = ab + ac.

   • Пример. Разложете на множители уравнението 12x + 6. Първо намерете gcd на 12x и 6. 6 е най-голямото число, което разделя и 12x, и 6, така че можете да разложите това уравнение на: 6(2x+1).
   • Този процес е валиден и за уравнения, които имат отрицателни и дробни членове. Например, x/2+4 може да се разложи на 1/2(x+8); например -7x+(-21) може да се разложи на -7(x+3).

   Факторизиране на квадратни уравнения

   1. Уверете се, че уравнението е в квадратна форма (ax 2 + bx + c = 0).Квадратните уравнения са: ax 2 + bx + c = 0, където a, b, c са числови коефициенти, различни от 0. Ако ви е дадено уравнение с една променлива (x) и това уравнение има един или повече члена от втори ред променлива, можете да преместите всички членове на уравнението от едната страна на уравнението и да го приравните на нула.

      • Например, като се има предвид уравнението: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Може да се преобразува в уравнението x 2 + 6x + 9 = 0, което е квадратно уравнение.
      • Уравнения с променлива x от големи порядки, например x 3 , x 4 и т.н. не са квадратни уравнения. Това са кубични уравнения, уравнения от четвърти порядък и т.н. (само ако такива уравнения не могат да бъдат опростени до квадратни уравнения с променливата x на степен 2).

   2. Квадратните уравнения, където a = 1, се разлагат на (x + d) (x + e), където d * e \u003d c и d + e \u003d b.Ако даденото ви квадратно уравнение има формата: x 2 + bx + c = 0 (тоест коефициентът при x 2 е равен на 1), тогава такова уравнение може (но не е гарантирано) да бъде разложено на горното фактори. За да направите това, трябва да намерите две числа, които при умножение дават "c", а когато се добавят - "b". След като намерите тези две числа (d и e), заменете ги в следния израз: (x+d)(x+e), който при отваряне на скобите води до оригиналното уравнение.

      • Например, като се има предвид квадратното уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, така че можете да разширите уравнението в (x+3)(x+2).
      • За отрицателни термини направете следните малки промени в процеса на факторизация:
        • Ако квадратното уравнение има формата x 2 -bx + c, то се разлага на: (x-_) (x-_).
        • Ако квадратното уравнение има формата x 2 -bx-c, то се разлага на: (x + _) (x-_).
      • Забележка: интервалите могат да се заменят с дроби или десетични числа. Например, уравнението x 2 + (21/2)x + 5 = 0 се разлага на (x + 10) (x + 1/2).

   3. Разлагане на множители чрез проба и грешка.Простите квадратни уравнения могат да бъдат разложени на множители чрез просто заместване на числа възможни решениядокато намериш правилно решение. Ако уравнението има формата ax 2 +bx+c, където a>1, възможните решения се записват като (dx +/- _)(ex +/- _), където d и e са числови коефициенти, различни от нула, които при умножение дават a. Или d, или e (или и двата коефициента) могат да бъдат равни на 1. Ако и двата коефициента са равни на 1, тогава използвайте метода, описан по-горе.

      • Например, като се има предвид уравнението 3x 2 - 8x + 4. Тук 3 има само два фактора (3 и 1), така че възможните решения се записват като (3x +/- _)(x +/- _). В този случай, замествайки -2 за интервали, ще намерите правилния отговор: -2*3x=-6x и -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, тоест такова разширение при отваряне на скобите ще доведе до членовете на оригиналното уравнение.

Всеки алгебричен полином от степен n може да бъде представен като произведение на n-линейни фактори от вида и постоянно число, което е коефициентите на полинома от най-висока степен x, т.е.

където - са корените на полинома.

Коренът на полинома е число (реално или комплексно), което превръща полинома в нула. Корените на полином могат да бъдат както реални корени, така и сложни спрегнати корени, тогава полиномът може да бъде представен в следната форма:

Разгледайте методите за разширяване на полиноми от степен "n" в произведението на фактори от първа и втора степен.

Метод номер 1.Метод на неопределени коефициенти.

Коефициентите на такъв трансформиран израз се определят по метода на неопределените коефициенти. Същността на метода е, че видът на факторите, на които се разлага дадения полином, е известен предварително. Когато се използва методът на неопределените коефициенти, следните твърдения са верни:

P.1. Два полинома са идентично равни, ако техните коефициенти са равни при еднакви степени на x.

P.2. Всеки полином от трета степен се разлага в произведение на линейни и квадратни фактори.

P.3. Всеки полином от четвърта степен се разлага на произведение на два полинома от втора степен.

Пример 1.1.Необходимо е да се разложи на множители кубичният израз:

P.1. В съответствие с приетите твърдения, идентичното равенство е вярно за кубичния израз:

P.2. Дясната страна на израза може да бъде представена като термини, както следва:

P.3. Съставяме система от уравнения от условието за равенство на коефициентите за съответните степени на кубичния израз.

Тази система от уравнения може да бъде решена чрез метода за избор на коефициенти (ако е проста академична задача) или методите за решаване нелинейни системиуравнения. Решаване тази системауравнения, получаваме, че неопределените коефициенти се дефинират, както следва:

По този начин оригиналният израз се разлага на фактори в следната форма:

Този метод може да се използва както в аналитични изчисления, така и в компютърно програмиране за автоматизиране на процеса на намиране на корена на уравнение.

Метод номер 2.Виета формули

Формулите на Vieta са формули, свързващи коефициентите на алгебричните уравнения от степен n и неговите корени. Тези формули са имплицитно представени в трудовете на френския математик Франсоа Виета (1540 - 1603). Поради факта, че Виет разглежда само положителни реални корени, той не е имал възможност да напише тези формули в обща изрична форма.

За всеки алгебричен полином от степен n, който има n реални корени,

валидни са следните отношения, които свързват корените на полином с неговите коефициенти:

Формулите на Vieta са удобни за използване за проверка на правилността на намиране на корените на полином, както и за съставяне на полином от дадени корени.

Пример 2.1.Помислете как корените на полинома са свързани с неговите коефициенти, като използвате кубичното уравнение като пример

В съответствие с формулите на Vieta, връзката между корените на полинома и неговите коефициенти е както следва:

Подобни отношения могат да бъдат направени за всеки полином от степен n.

Метод номер 3. Разлагане квадратно уравнениевъв фактори с рационални корени

От последната формула на Vieta следва, че корените на полинома са делители на неговия свободен член и водещ коефициент. В тази връзка, ако условието на задачата съдържа полином от степен n с цели коефициенти

тогава този полином има рационален корен (неприводима дроб), където p е делителят на свободния член, а q е делителят на водещия коефициент. В този случай полином от степен n може да бъде представен като (теоремата на Безут):

Полином, чиято степен е с 1 по-малка от степента на началния полином, се определя чрез разделяне на полинома от степен n на бином, например, като се използва схемата на Хорнер или повечето по прост начин- "колона".

Пример 3.1.Необходимо е полиномът да се разложи на множители

P.1. Поради факта, че коефициентът при най-високия член е равен на единица, тогава рационалните корени на този полином са делители на свободния член на израза, т.е. могат да бъдат цели числа . Замествайки всяко от представените числа в оригиналния израз, откриваме, че коренът на представения полином е .

Нека разделим оригиналния полином на бином:

Да използваме схемата на Хорнер

Коефициентите на оригиналния полином се задават в горния ред, докато първата клетка на горния ред остава празна.

Намереният корен се записва в първата клетка на втория ред (в този пример е изписано числото "2"), а следните стойности в клетките се изчисляват по определен начин и те са коефициентите на полинома, който ще се получи от разделянето на полинома на бинома. Неизвестните коефициенти се дефинират, както следва:

Стойността от съответната клетка на първия ред се прехвърля във втората клетка на втория ред (в този пример е изписано числото "1").

Третата клетка на втория ред съдържа стойността на произведението на първата клетка и втората клетка на втория ред плюс стойността от третата клетка на първия ред (в този пример 2 ∙ 1 -5 = -3) .

Четвъртата клетка на втория ред съдържа стойността на произведението на първата клетка от третата клетка на втория ред плюс стойността от четвъртата клетка на първия ред (в този пример 2 ∙ (-3) +7 = 1 ).

Така оригиналният полином се разлага на множители:

Метод номер 4.Използване на съкратени формули за умножение

Съкратените формули за умножение се използват за опростяване на изчисленията, както и за разлагането на полиноми на фактори. Съкратените формули за умножение позволяват да се опрости решаването на отделни задачи.

Формули, използвани за факторинг

Имайки предвид умножението на полиноми, запомнихме няколко формули, а именно: формули за (a + b)², за (a - b)², за (a + b) (a - b), за (a + b)³ и за (a – b)³.

Ако даден полином се окаже, че съвпада с една от тези формули, тогава ще бъде възможно да се разложи на множители. Например, полиномът a² - 2ab + b², както знаем, е равен на (a - b)² [или (a - b) (a - b), тоест успяхме да разделим a² - 2ab + b² в 2 фактори]; също

Помислете за втория от тези примери. Виждаме, че даденият тук полином отговаря на формулата, получена чрез квадратура на разликата от две числа (квадратът на първото число, минус произведението на две от първото число и второто, плюс квадрата на второто число): x 6 е квадратът на първото число и следователно , самото първо число е x 3, квадратът на второто число е последният член на дадения полином, т.е. 1, самото второ число е следователно също 1; произведението на две от първото число, а второто е членът -2x 3, тъй като 2x 3 = 2 x 3 1. Следователно нашият полином е получен чрез квадратура на разликата между числата x 3 и 1, т.е. той е равен до (x 3 - 12 . Помислете за друг 4-ти пример. Виждаме, че този полином a 2 b 2 - 25 може да се разглежда като разлика на квадратите на две числа, а именно квадратът на първото число е a 2 b 2, следователно, самото първо число е ab, квадратът на второто число е 25, защо самото второ число е 5. Следователно нашият полином може да се счита за получен чрез умножаване на сбора от две числа по тяхната разлика, т.е.

(ab + 5) (ab - 5).

Понякога се случва в даден полином термините да не са в реда, с който сме свикнали например.

9a 2 + b 2 + 6ab - мислено можем да пренаредим втория и третия член и тогава ще ни стане ясно, че нашият тричлен = (3a + b) 2.

... (умствено пренаредете първия и втория член).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 и т.н.

Помислете за друг полином

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Виждаме, че първият му член е квадратът на числото a, а третият член е квадратът на числото 2b, но вторият член не е произведение на два пъти първото число и второто, такова произведение би било равно на 2 a 2b = 4ab. Следователно е невъзможно да се приложи формулата за квадрата на сбора от две числа към този полином. Ако някой е написал, че a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, тогава това би било погрешно - трябва внимателно да разгледате всички условия на полинома, преди да приложите факторизация към него по формули.

40. Комбинацията от двата метода. Понякога при разлагането на полиноми на фактори е необходимо да се комбинират както техниката на изваждане на общия множител от скоби, така и техниката на прилагане на формули. Ето няколко примера:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Първо изваждаме общия фактор 2a от скобите и получаваме 2a (a 2 - b 2). Факторът a 2 - b 2 от своя страна се разлага по формулата на фактори (a + b) и (a - b).

Понякога е необходимо да се прилага методът на разширяване по формули многократно:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Виждаме, че първият фактор a 2 + b 2 не отговаря на нито една от познатите формули; освен това, припомняйки специалните случаи на деление (раздел 37), ще установим, че a 2 + b 2 (сборът от квадратите на две числа) изобщо не е фактор. Вторият от получените фактори a 2 - b 2 (разликата от квадрата на две числа) се разлага на фактори (a + b) и (a - b). Така,

41. Прилагане на специални случаи на делба. Въз основа на т. 37 можем веднага да запишем, че напр.