Как да разложим на множители квадратен трином: формула. Квадратният трином и неговите корени

Сред различните изрази, които се разглеждат в алгебрата, важно мястоса суми от мономи. Ето примери за такива изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Сборът от мономи се нарича полином. Членовете в полинома се наричат членове на полинома. Монономите също се наричат полиноми, като се разглежда монономът като полином, състоящ се от един член.

Например, полином
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
може да се опрости.

Представяме всички термини под формата на мономи стандартен изглед:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Даваме подобни термини в получения полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатът е полином, всички членове на който са мономи със стандартна форма и сред тях няма подобни. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартен вид.

Отзад полиномна степенстандартната форма взема най-големите правомощия на своите членове. И така, биномът \(12a^2b - 7b \) има трета степен, а тричленът \(2b^2 -7b + 6 \) има втората.

Обикновено термините на полиноми със стандартна форма, съдържащи една променлива, са подредени в низходящ ред на нейните експоненти. Например:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Сборът от няколко полинома може да бъде преобразуван (опростен) в полином със стандартна форма.

Понякога членовете на полинома трябва да бъдат разделени на групи, като всяка група се огражда в скоби. Тъй като скобите са противоположни на скобите, е лесно да се формулира правила за отваряне на скоби:

Ако знакът + се постави пред скобите, тогава термините, затворени в скоби, се изписват със същите знаци.

Ако пред скобите е поставен знак "-", тогава термините, затворени в скоби, се изписват с противоположни знаци.

Преобразуване (опростяване) на произведението на моном и полином

Използвайки разпределителното свойство на умножението, може да се трансформира (опрости) произведението на моном и полином в полином. Например:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Произведението на моном и полином е идентично равно на сбора от произведенията на този моном и всеки от членовете на полинома.

Този резултат обикновено се формулира като правило.

За да се умножи един моном по полином, трябва да се умножи този моном по всеки от членовете на полинома.

Многократно сме използвали това правило за умножение по сума.

Произведение на полиноми. Преобразуване (опростяване) на произведението на два полинома

Най-общо, произведението на два полинома е идентично равно на сбора от произведението на всеки член на единия полином и всеки член на другия.

Обикновено използвайте следното правило.

За да умножите полином по полином, трябва да умножите всеки член от един полином по всеки член на другия и да добавите получените продукти.

Съкратени формули за умножение. Сума, разлика и квадрати на разлика

Някои изрази в алгебричните трансформации трябва да се обработват по-често от други. Може би най-често срещаните изрази са \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), тоест квадратът на сбора, квадрат на разликата и квадратна разлика. Забелязали сте, че имената на тези изрази изглеждат непълни, така че например \((a + b)^2 \), разбира се, не е просто квадратът на сбора, а квадратът на сбора от а и б. Но квадратът на сбора от a и b не е толкова често срещан, като правило вместо буквите a и b съдържа различни, понякога доста сложни изрази.

Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) са лесни за преобразуване (опростяване) в полиноми от стандартната форма, всъщност вече сте се сблъсквали с такава задача при умножаване на полиноми :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Получените идентичности са полезни за запомняне и прилагане без междинни изчисления. Кратките словесни формулировки помагат за това.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - сума на квадрат е равно на суматаквадрати и двоен продукт.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратът на разликата е сумата от квадратите без удвояване на произведението.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е равна на произведението на разликата и сбора.

Тези три идентичности позволяват в трансформациите да се заменят левите им части с десни и обратно – десните части с левите. Най-трудното в този случай е да видите съответните изрази и да разберете какви променливи a и b са заменени в тях. Нека разгледаме няколко примера за използване на съкратени формули за умножение.

Полиномът е алгебрична конструкция, представляваща сумата или разликата от елементи. Много готови формули се отнасят до биноми, но е по-скоро за извеждане на нови за конструкции. висок редне е голяма работа. Позволено е, да речем, да се строи тричленв квадрат .

Инструкция

1. Полиномът е основното представяне за решаване на алгебрични уравнения и представяне на степенна, разумна и други функции. Тази структура включва най-често срещаните в училищния курс на предмета квадратуравнение.

2. Често, тъй като масивното изражение става по-леко, става необходимо да се изгради тричленв квадрат. Няма готова формула за това, но има няколко начина. Да кажем представете си квадрат тричлени като продукт на 2 еднакви израза.

3. Помислете за пример: повиши до квадрат тричлен 3 х? + 4 х - 8.

4. Промяна на записа (3 x? + 4 x - 8)? чрез (3 x? + 4 x - 8) (3 x? + 4 x - 8) и използвайте правилото за полиномно умножение, което се състои в последователно изчисляване на произведения. Първо, умножете първия компонент на първата скоба по произволен член от втората, след това направете същото с втория и накрая с третия: (3 x? + 4 x - 8) (3 x? + 4 x - 8) \u003d 3 x ? (3 x? + 4 x - 8) + 4 x (3 x? + 4 x - 8) - 8 (3 x? + 4 x - 8) \u003d 9 x ^ 4 + 12 x? - 24 х? + 12 х? + 16 х? – 32 х – 24 х? – 32 x + 64 = 9 x^4 + 24 x? - 32 х? - 64 х + 64.

5. Можете да стигнете до същия резултат, ако си спомните, че в резултат на умножаване на 2 тричлен ov остава сборът от шест елемента, три от които са квадрат ami от произволен термин, а останалите три - чрез техните различни по двойки произведения в удвоена форма. Тази елементарна формула просто изглежда така: (a + b + c)? = а? +b? +c? + 2 a b + 2 a c + 2 b c.

6. Приложете го към вашия пример: (3 x? + 4 x - 8)? = (3 x? + 4 x + (-8))? =(3 х?)? + (4 х)? + (-8)? + 2 (3 x?) (4 x) + 2 (3 x?) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x? + 64 + 24 х? - 48 х? – 64 x = 9 x^4 + 24 x? - 32 х? - 64 х + 64.

7. Както можете да видите, резултатът е същият и отне по-малко манипулация. Това е изключително важно, когато мономиите сами по себе си са трудни конструкции. Този методприложим за тричлени всяка степен и произволен брой променливи.

При решаване на аритметични и алгебрични задачи от време на време се изисква конструиране фракцияв квадрат. За всеки е по-лесно да направи това, когато фракция decimal - доста обикновен калкулатор. Въпреки това, ако фракцияобикновени или смесени, тогава при повишаване на такова число до квадратмогат да възникнат някои трудности.

Ще имаш нужда

калкулатор, компютър, ексел приложение.

Инструкция

1. За да построите десетичен знак фракцияв квадрат, вземете инженерен калкулатор, напишете върху него този, който се вгражда квадрат фракцияи натиснете клавиша за степенуване. На повечето калкулатори този бутон е обозначен с "x?". На стандартен калкулатор на Windows, повишаването до квадратизглежда като "x^2". Да речем квадратдесетичната дроб 3,14 ще бъде равна на: 3,14? = 9,8596.

2. За вграждане квадратдесетичен фракцияна обикновен (счетоводен) калкулатор, умножете това число по себе си. Между другото, в някои модели калкулатори, вероятността да се повиши число до квадратдори и да няма специален бутон. Затова предварително прочетете инструкциите за конкретен калкулатор. Понякога на задната корица или на кутията на калкулатора са дадени примери за "хитро" степенуване. Да речем, на много калкулатори за повишаване на число до квадратпросто натиснете бутоните "x" и "=".

3. За ерекция в квадратобикновена дроб (състоящ се от числителя и знаменателя), повишете до квадратотделно числителя и знаменателя на тази дроб. Тоест, използвайте следното правило: (h / s)? = h? / s?, където h е числителят на дроба, s е знаменателят на дроба Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Ако е издигната в квадрат фракция- смесен (състои се от цяла част и обикновена дроб), след което го приведете до обичайната му форма предварително. Тоест, приложете следната формула: (c h / z)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / з?, където ц е цялата част от смесената дроб Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Ако е издигната в квадратобикновени (не десетични) дроби се въвеждат непрекъснато, след което използвайте MS Excel. За да направите това, въведете следната формула в една от клетките на таблицата: \u003d DEGREE (A2; 2), където A2 е адресът на клетката, в която ще бъде въведена стойността, която се повишава квадрат фракция.За да информира програмата, че входният номер трябва да се третира като нормален фракция yu (т.е. не го преобразувайте в десетичен), въведете преди фракциятата цифра "0" и знака "интервал". Тоест, за да въведете, да речем, дроб 2/3, трябва да въведете: "0 2/3" (и натиснете Enter). В този случай на входния ред ще се покаже десетичното представяне на въведената дроб. Стойността и представянето на фракцията в клетката ще бъдат запазени в оригиналния си вид. Освен това, когато се прилагат математически функции, чиито аргументи са обикновени дроби, резултатът също ще бъде представен като дроб. Следователно квадратдроб 2/3 ще бъде представен като 4/9.

Математическите пъзели понякога са толкова пристрастяващи, че искате да се научите как да ги създавате, а не просто да ги решавате. Вероятно най-вълнуващото нещо за начинаещите е да създадат магически квадрат, който представлява квадрат със страни nxn, вписани с реални числа от 1 до n2, така че сборът от числата по хоризонталите, вертикалите и диагоналите на квадрата да е идентичен и е равно на едно число.

Инструкция

1. Преди да направите своя квадрат, научете, че няма магически квадрати от втори ред. Наистина има само един магически квадрат от трети порядък, останалите му производни се получават с помощта на завъртане или отражение на главния квадрат по оста на симетрия. Колкото по-голям е редът, толкова по-големи са допустимите магически квадрати от този ред.

2. Научете основите на строителството. Правилата за изграждане на различни магически квадрати са разделени на три групи според реда на квадрата, а именно той може да бъде нечетен, равен на удвояване или четворно нечетно число. Понастоящем няма универсална методология за изграждане на всички квадрати, въпреки че са широко разпространени различни схеми.

3. Възползвам се компютърна програма. Изтеглете подходящото приложение и въведете желаните стойности на квадрата (2-3), самата програма генерира необходимите цифрови комбинации.

4. Изградете квадрат самостоятелно. Вземете n x n матрица и постройте стъпаловиден ромб вътре в нея. В него попълнете всички квадратчета вляво и нагоре по всеки диагонал с поредица от нечетни числа.

5. Определете стойността на централната клетка O. Поставете следните числа в ъглите на магическия квадрат: горната дясна клетка е O-1, долната лява клетка е O + 1, долната дясна клетка е O-n, а горната лява клетка клетката е O + n. Попълнете празните клетки в ъгловите триъгълници, като използвате доста примитивни правила: в редовете отляво надясно числата се увеличават с n + 1, а в колоните отгоре надолу числата се увеличават с n-1.

6. Намирането на всички квадрати с ред, равен на n, се получава само за n \ le 4, следователно, отделни процедури за конструиране на магически квадрати с n > 4. За всеки е по-лесно да изчисли проекцията на такъв квадрат от нечетен ред. Използвайте специална формула, където трябва примитивно да поставите необходимите данни, за да получите желания резултат. Да кажем константата на квадрат, построен по схемата на фиг. 1 се изчислява по формулата: S = 6a1 +105b, където a1 е 1-ви член на прогресията, b е разликата на прогресията.

7. За квадрата, показан на фиг. 2, формула: S=6*1+105*2=216

8. Освен това има алгоритми за конструиране на пандиагонални квадрати и перфектни магически квадрати. Използвайте специални програми за изграждане на тези модели.

Забележка!
Магическите или магическите квадрати са привличали математиците от най-древни времена, но до днес няма представяне на всички допустими квадрати. Най-лесният магически квадрат според стария Китайска легендае изобразен на гърба на голяма свещена костенурка.

„Уравнение“ в математиката е запис, който съдържа някои математически или алгебрични операции и задължително включва знак за равенство. Но по-често това представяне означава не идентичността в съвкупността, а само нейната лява страна. Следователно задачата за издигане уравненияв квадратпо-скоро всеки предполага използването на тази операция само за моном или полином от лявата страна на равенството.

Инструкция

1. Умножете уравнението само по себе си - това е операцията за повишаване на втора степен, т.е. квадрат. Ако първоначалният израз съдържа променливи до каквато и да е степен, тогава експонентът трябва да се удвои. Да кажем (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Ако цифровите показатели, присъстващи в уравнението, не могат да бъдат умножени наум, тогава използвайте калкулатор, онлайн калкулатор или го направете на хартия, „в колона“.

2. Ако първоначалният израз съдържа няколко добавени или извадени променливи с числови индикатори (тоест е полином), тогава операцията за умножение ще трябва да се извърши според съответните правила. Това означава, че целият член трябва да се умножи уравнения-умножено по целия член уравнения-множител и след това опростете получения израз. Фактът, че във вашия случай и двете уравненияидентичен, не променя нищо в това правило. Да кажем, ако вградим квадратизисква се уравнението x? + 4-3 * x, тогава цялата операция може да бъде написана в този вид: (x? + 4-3 * x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Полученият израз трябва да се опрости и, ако е възможно, да се подредят степенните членове в низходящ ред на степента: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? =x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Строителни формули в квадратнякои особено често срещани изрази е по-добре да се запомнят наизуст. В училище те обикновено са включени в списък, наречен „формули за съкратено умножение“. Включва по-специално формули за повишаване на сумата от 2 променливи (x + y) на втора степен? = x?+2*x*y+y?, техните разлики (x-y)? = x?-2*x*y+y?, суми от 3 члена (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z и разлика от 3 члена (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Подобни видеа

Методът за подчертаване на квадрата на бином се използва за улесняване на масивни изрази, както и за решаване на квадратни уравнения. На практика обикновено се комбинира с други техники, включително факторизация, групиране и т.н.

Инструкция

1. Начинът за избор на пълния квадрат на бином се основава на използването на 2 формули за съкратеното умножение на полиноми. Тези формули са специални случаи на биномен Нютон за 2-ра степен и ви позволяват да опростите желания израз, така че да е възможно да се извърши допълнително намаляване или разлагане на множители: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. Съгласно този метод се изисква да се извлекат квадратите на 2 монома и сумата/разликата на двойното им произведение от първоначалния полином. Използването на този метод има смисъл, ако най-високата степен на членовете е не по-малка от 2. Представете си, че имате задачата да разложите на множители следния израз с намаляваща степен: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. За да решите проблема, трябва да използвате метода за избор на пълен квадрат. Оказва се, че изразът се състои от 2 монома с променливи от четна степен. Следователно е позволено да се обозначава всеки от тях с m и n:m = 2 y²; n = z2.

4. Сега трябва да приведем първоначалния израз във формата (m + n)². Той съдържа по-точно квадратите на тези термини, но липсва двойното произведение. Трябва да го добавите неестествено и след това да извадите: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. В получения израз можете да видите формулата за разликата на квадратите: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Оказва се, че методът се състои от 2 етапа: избор на мономи от пълния квадрат m и n, събиране и изваждане на двойното им произведение. Методът за извличане на пълния квадрат на бином може да се използва не само самостоятелно, но и в комбинация с други методи: поставяне в скоби на универсалния фактор, замяна на променлива, групиране на термини и др.

7. Пример 2. Изберете пълния квадрат в израза: 4 y² + 2 y z + z² Решение 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z)² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. Методът се използва за намиране на корените квадратно уравнение. Лява странауравнението е тричлен от вида a y? + b y + c, където a, b и c са някои числа, а a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Тези изчисления водят до представянето на дискриминанта, този, който е равен на (b? - 4 a c)/(4 a), а корените на уравнението са: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

Има няколко начина за решаване квадратуравнения, особено добре познатото - изолирайте от тричленбиномен квадрат. Този метод води до изчисляване на дискриминанта и осигурява едновременно търсене на двата корена.

Инструкция

1. Алгебрично уравнение от 2-ра степен се нарича квадратно уравнение. Класическата форма на лявата страна на това уравнение е полиномът a x? + b x + c. За да се изведе формула за решението, е необходимо да изберете от тричленбиномен квадрат. Това може да стане по два начина. Преместете свободния член от до правилната странасъс знак минус: a x? + b x = -c.

2. Умножете двете страни на уравнението по 4 a:4 a? х? + 4 a b x = -4 a c.

3. Добавете израз b?:4 a? х? + 4 a b x + b? = -4 a c + b?.

4. Очевидно вляво се оказа разширената форма на квадрата на бинома, състоящ се от членовете 2 a x и b. Сгънете дадения тричлен в пълен квадрат: (2 a x + b)? =b? – 4 a c ? 2 a x + b \u003d ±? (b? - 4 a c)

5. Където: x1,2 = (-b ± ? (b? - 4 a c)) / 2 a. Разликата под знака на корена се нарича дискриминант и формулата е добре известна за решаване на подобни уравнения.

6. Вторият метод предполага избор на двойно произведение на елементи от моном от първа степен. Тези. е необходимо да се определи от сбора на формата b x какви фактори могат да се използват за пълен квадрат. Този методпо-добре да се види на примера: x? + 4 x + 13 = 0

7. Вижте монома 4 x. Очевидно може да се представи като 2 (2 x), т.е. двойно произведение на x и 2. Следователно е необходимо да се избере квадратът на сбора (x + 2). За пълна картина липсва терминът 4, който може да се вземе от свободния член: x? + 4x + 4 - 9? (x + 2)? = 9

8. Вземете квадратния корен: x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Методът за извличане на квадрата на бином се използва широко за улесняване на масива алгебрични изразинаравно с други методи: групиране, заместване на променлива, изваждане на универсалния фактор от скобата и др. Перфектният квадрат е една от формулите за намалено умножение и специален случай на бинома на Нютон.

Способността за умствено броене на квадратите от числа може да бъде полезна в различни житейски ситуации, например за бърза оценка на инвестиционни транзакции, за изчисляване на площи и обеми и в много други случаи. В допълнение, способността да броите квадрати в главата ви може да послужи като демонстрация на вашите интелектуални способности. Тази статия анализира методите и алгоритмите, които ви позволяват да научите това умение.

Квадратът на сбора и квадратът на разликата

Един от най-лесните начини за изграждане двуцифрени числана квадрат е техника, базирана на използването на формулите на квадрата на сбора и квадрата на разликата:

За да използвате този метод, трябва да разложите двуцифрено число в сбора от кратно на 10 и число, по-малко от 10. Например:

37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Почти всички техники за квадратура (които са описани по-долу) се основават на формулите за квадратната сума и квадратната разлика. Тези формули позволиха да се идентифицират редица алгоритми, които опростяват квадратурата в някои специални случаи.

Площад близо до известен площад

Ако числото, което правим на квадрат, е близко до числото, на което знаем квадрата, можем да използваме една от четирите техники за просто умствено броене:

още 1:

методология:към квадрата на число с едно по-малко, добавете самото число и числото едно по-малко.

31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 по-малко:

методология:от квадрата на числото още извадете самото число и още едно число.

19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

още 2

методология:към квадрата на число с 2 по-малко, добавете два пъти сумата от самото число и числото 2 по-малко.

22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 по-малко

методология:от квадрата на числото още 2, извадете два пъти сумата от самото число и числото 2 повече.

48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Всички тези техники могат лесно да бъдат доказани чрез извеждане на алгоритми от формулите на квадратната сума и квадратната разлика (които бяха обсъдени по-горе).

Квадрат от числа, завършващи на 5

За квадратни числа, завършващи на 5. Алгоритъмът е прост. Числото до последните пет, умножете по същото число плюс едно. Добавяме 25 към останалото число.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Това важи и за по-сложни примери:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Квадратни числа, близки до 50

Пребройте квадрата на числата, които са в диапазон от 40 до 60, може да бъде много по прост начин. Алгоритъмът е следният: добавяме (или изваждаме) към 25 толкова, колкото числото е по-голямо (или по-малко) от 50. Умножаваме тази сума (или разлика) по 100. Към това произведение добавяме квадрата на разликата между числото е на квадрат и петдесет. Вижте как работи алгоритъмът с примери:

44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Трицифрено число квадрат

Квадратирането на трицифрените числа може да се направи с помощта на една от съкратените формули за умножение:

Не може да се каже, че този метод е удобен за устно броене, но по-специално трудни случаиможе да се приеме:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

тренировка

Ако искате да подобрите уменията си по темата на този урок, можете да използвате следната игра. Точките, които получавате, се влияят от правилността на вашите отговори и времето, прекарано за преминаване. Моля, имайте предвид, че числата са различни всеки път.

Помислете сега за квадратурата на бинома и, прилагайки аритметичната гледна точка, ще говорим за квадрата на сбора, т.е. (a + b)² и квадрата на разликата от две числа, т.е. (a - b)² .

Тъй като (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

тогава намираме: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², т.е.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Полезно е да запомните този резултат както под формата на горното равенство, така и с думи: квадратът на сбора от две числа е равен на квадрата на първото число плюс произведението на две от първото число и второто число, плюс квадрата на второто число.

Знаейки този резултат, можем веднага да напишем, например:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Нека да разгледаме втория от тези примери. Трябва да изведем на квадрат сбора от две числа: първото число е 3ab, второто е 1. Трябва да се получи: 1) квадратът на първото число, т.е. (3ab)², което е равно на 9a²b²; 2) произведението на две от първото число и второто, т.е. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) квадратът на 2-ро число, т.е. 1² \u003d 1 - всички тези три термина трябва да се съберат заедно.

По същия начин получаваме формула за квадратура на разликата от две числа, т.е. за (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

тоест квадратът на разликата на две числа е равен на квадрата на първото число, минус произведението на две от първото число и второто, плюс квадрата на второто число.

Знаейки този резултат, можем веднага да извършим квадратурата на биномите, представляващи от гледна точка на аритметиката разликата на две числа.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 и т.н.

Нека обясним 2-рия пример. Тук имаме в скоби разликата на две числа: първото число 5ab 3 и второто число 3a 2 b. Резултатът трябва да бъде: 1) квадратът на първото число, т.е. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) произведението на две на 1-во и 2-ро число, т.е. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 и 3) квадратът на второто число, т.е. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; първият и третият член трябва да се вземат с плюс, а вторият с минус, получаваме 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. За да изясним 4-ия пример, отбелязваме само, че 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... е необходимо експонентата да се умножи по 2 и 2) произведението на две по 1-во число и по 2-ро = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Ако вземем гледната точка на алгебрата, тогава и двете равенства: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² и 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² изразяват едно и също нещо, а именно: квадратът на бинома е равен на квадрата на първия член плюс произведението на числото (+2) по първия член и втория, плюс квадрата на втория член. Това е ясно, защото нашите равенства могат да бъдат пренаписани като:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

В някои случаи е удобно получените равенства да се интерпретират по този начин:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Тук биномът е на квадрат, чийто първи член = -4a, а вторият = -3b. Тогава получаваме (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² и накрая:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Също така би било възможно да се получи и запомни формулата за квадратура на тричлен, четиричлен и изобщо всеки полином. Ние обаче няма да направим това, защото рядко се налага да използваме тези формули и ако трябва да квадратираме който и да е полином (с изключение на бином), тогава ще сведем въпроса до умножение. Например:

31. Приложете получените 3 равенства, а именно:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

към аритметиката.

Нека бъде 41 ∙ 39. Тогава можем да го представим във формата (40 + 1) (40 - 1) и да сведем материята до първото равенство - получаваме 40² - 1 или 1600 - 1 = 1599. Благодарение на това , лесно е да се извършват умножения като 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 и др.

Нека е 41 ∙ 41; същото е като 41² или (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Също така 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Ако имате нужда от 37 ∙ , тогава е равно на (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Такива умножения (или квадратура на двуцифрени числа) са лесни за изпълнение, с известно умение, в ума.

При решаване на аритметични и алгебрични задачи понякога се изисква изграждане фракцияв квадрат. Най-лесният начин да направите това е когато фракциядесетичен - обикновен калкулатор е достатъчен. Въпреки това, ако фракцияобикновени или смесени, тогава при повишаване на такова число до квадратмогат да възникнат някои трудности.

Ще имаш нужда

калкулатор, компютър, ексел приложение.

Инструкция

За повишаване на десетичната запетая фракцияв квадрат, вземете един инженерен, наберете как се вгражда квадрат фракцияи натиснете клавиша за степенуване. На повечето калкулатори този бутон е обозначен с "x²". На стандартен калкулатор на Windows, повишаването до квадратизглежда като "x^2". Например, квадратдесетичната дроб 3,14 ще бъде равна на: 3,14² = 9,8596.

Да се повиши до квадратдесетичен фракцияна обикновен (счетоводен) калкулатор, умножете това число по себе си. Между другото, в някои модели калкулатори е възможно да се повиши число до квадратдори и да няма специален бутон. Затова първо прочетете инструкциите за конкретен калкулатор. Понякога на задната корица или на калкулатора са дадени „сложни“ степенувания. Например на много калкулатори за повишаване на число до квадратпросто натиснете бутоните "x" и "=".

За ерекция в квадратобикновена дроб (състоящ се от числителя и знаменателя), повишете до квадратотделно числителя и знаменателя на тази дроб. Тоест, използвайте следното правило: (h / z)² = h² / z², където h е числителят на дроба, z е знаменателят на дроба Пример: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Ако е издигната в квадрат фракция- смесен (състои се от цяла част и обикновена дроб), след което първо го доведете до обикновен вид. Тоест, приложете следната формула: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² = (ts * s + h) ² / s², където ts е цялата част от смесена дроб Пример: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

Ако в квадрат(не) дробите са постоянни, тогава използвайте MS Excel. За да направите това, въведете следната формула в една от таблиците: \u003d DEGREE (A2; 2) където A2 е адресът на клетката, в която ще бъде въведена стойността, която се повишава квадрат фракция.За да каже на програмата, че входният номер трябва да се обработва като фракция yu (т.е. не го преобразувайте в десетичен), въведете преди фракциятата цифра "0" и знака "интервал". Тоест, за да въведете, например, дроб 2/3, трябва да въведете: "0 2/3" (и натиснете Enter). В този случай на входния ред ще се покаже десетичното представяне на въведената дроб. Стойността и представянето на частта директно в ще бъдат запазени в оригиналния си вид. Освен това, когато се използват математически функции, чиито аргументи са дроби, резултатът също ще бъде представен като дроб. Следователно квадратдроб 2/3 ще бъде представен като 4/9.