Розташування дотичної. Стосовна пряма

\[(\Large(\text(Центральні та вписані кути)))\]

Визначення

Центральний кут – це кут, вершина якого лежить у центрі кола.

Вписаний кут - це кут, вершина якого лежить на колі.

Градусна міра дуги кола – це градусна міра центрального кута, що на неї спирається.

Теорема

Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, яку він спирається.

Доведення

Доказ проведемо у два етапи: спочатку доведемо справедливість затвердження для випадку, коли одна із сторін вписаного кута містить діаметр. Нехай точка \(B\) - вершина вписаного кута \(ABC\) і \(BC\) - діаметр кола:

Трикутник \(AOB\) - рівнобедрений, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) - зовнішній, тоді \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), звідки \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Тепер розглянемо довільний вписаний кут (ABC). Проведемо діаметр кола \(BD\) з вершини вписаного кута. Можливі два випадки:

1) діаметр розрізав кут на два кути \(\angle ABD, \angle CBD\) (для кожного з яких теорема вірна за доведеним вище, отже вірна і для вихідного кута, який є сумою цих двох і означає дорівнює напівсумі дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, яку він спирається). Рис. 1.

2) діаметр не розрізав кут на два кути, тоді у нас з'являється ще два нових вписаних кута \(\angle ABD, \angle CBD\) , у яких сторона містить діаметр, отже, для них теорема вірна, тоді вірна і для вихідного кута (який дорівнює різниці цих двох кутів, отже, дорівнює напіврізності дуг, на які вони спираються, тобто дорівнює половині дуги, на яку він спирається). Рис. 2.

Наслідки

1. Вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні.

2. Вписаний кут, що спирається на півколо, прямий.

3. Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту саму дугу.

\[(\Large(\text(Дотична до кола)))\]

Визначення

Існує три типи взаємного розташування прямої та кола:

1) пряма (a) перетинає окружність у двох точках. Така пряма називається січною. У цьому випадку відстань від центру кола до прямої менша за радіус кола (рис. 3).

2) пряма (b) перетинає коло в одній точці. Така пряма називається дотичною, які загальна точка \(B\) – точкою дотику. В цьому випадку (d = R) (рис. 4).

Теорема

1. Стосовна кола перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

2. Якщо пряма проходить через кінець радіуса кола і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною до кола.

Слідство

Відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні.

Доведення

Проведемо до кола з точки \(K\) дві дотичні \(KA\) і \(KB\) :

Отже, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) як радіуси. Прямокутні трикутники \(\triangle KAO\) і \(\triangle KBO\) рівні по катету та гіпотенузі, отже, \(KA=KB\) .

Слідство

Центр кола \(O\) лежить на бісектрисі кута \(AKB\), утвореного двома дотичними, проведеними з однієї точки \(K\).

\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з кутами)))\]

Теорема про вугілля між січними

Кут між двома січними, проведеними з однієї точки, дорівнює напіврізності градусних заходів більшої і меншої дуг, що висікаються ними.

Доведення

Нехай \(M\) – точка, з якої проведено дві січені як показано на малюнку:

Покажемо, що \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) – зовнішній кут трикутника \(MAD\) тоді \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), звідки \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), але кути \(\angle DAB\) та \(\angle MDA\) – вписані, тоді \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), що й потрібно було довести.

Теорема про вугілля між хордами, що перетинаються.

Кут між двома хордами, що перетинаються, дорівнює півсумі градусних заходів дуг, що ними висікаються: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Доведення

\(\angle BMA = \angle CMD\) як вертикальні.

З трикутника \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Але \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), звідки укладаємо, що \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]

Теорема про вугілля між хордою та дотичною

Кут між дотичною і хордою, що проходить через точку торкання, дорівнює половині градусної міри дуги, що стягується хордою.

Доведення

Нехай пряма \(a\) стосується кола в точці \(A\) , \(AB\) - хорда цього кола, \(O\) - її центр. Нехай пряма, що містить \(OB\), перетинає \(a\) у точці \(M\). Доведемо, що \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Позначимо \(\angle OAB = \alpha\). Оскільки \(OA\) та \(OB\) – радіуси, то \(OA = OB\) та \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким чином, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Оскільки \(OA\) – радіус, проведений у точку торкання, то \(OA\perp a\) , тобто \(\angle OAM = 90^\circ\) , отже, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Теорема про дуги, що стягуються рівними хордами

Рівні хорди стягують рівні дуги, менші півкола.

І навпаки: рівні дуги стягуються рівними хордами.

Доведення

1) Нехай \(AB=CD\). Доведемо, що менші півкола дуги .

По трьох сторонах, отже, \(\angle AOB=\angle COD\) . Але т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) - центральні кути, що спираються на дуги \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)відповідно, то \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Якщо \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\)з обох боків \(AO=BO=CO=DO\) і кут між ними \(\angle AOB=\angle COD\) . Отже, і (AB = CD) .

Теорема

Якщо радіус ділить хорду навпіл, він їй перпендикулярний.

Вірно і зворотне: якщо радіус перпендикулярний хорді, то точкою перетину він ділить її навпіл.

Доведення

1) Нехай \ (AN = NB \). Доведемо, що \(OQ\perp AB\) .

Розглянемо \(\triangle AOB\): він рівнобедрений, т.к. \ (OA = OB \) - Радіуси кола. Т.к. \(ON\) – медіана, проведена до основи, вона також є і висотою, отже, \(ON\perp AB\) .

2) Нехай \(OQ\perp AB\). Доведемо, що (AN = NB) .

Аналогічно \(\triangle AOB\) - рівнобедрений, \(ON\) - висота, отже, \(ON\) - медіана. Отже, \ (AN = NB \).

\[(\Large(\text(Теореми, пов'язані з довжинами відрізків)))\]

Теорема про створення відрізків хорд

Якщо дві хорди кола перетинаються, то добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди.

Доведення

Нехай хорди \(AB\) і \(CD\) перетинаються в точці \(E\).

Розглянемо трикутники \(ADE\) та \(CBE\). У цих трикутниках кути \(1\) і \(2\) рівні, тому що вони вписані і спираються на ту саму дугу \(BD\) , а кути \(3\) і \(4\) рівні як вертикальні. Трикутники \(ADE\) та \(CBE\) подібні (за першою ознакою подібності трикутників).

Тоді \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), Звідки \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Теорема про дотичну та січну

Квадрат відрізка дотичної дорівнює добутку січе на її зовнішню частину.

Доведення

Нехай дотична проходить через точку \(M\) і стосується кола в точці \(A\). Нехай січна проходить через точку \(M\) і перетинає коло в точках \(B\) і \(C\) так що \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Розглянемо трикутники \(MBA\) та \(MCA\) : \(\angle M\) – загальний, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). По теоремі про вугілля між дотичною та січною, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Таким чином, трикутники \(MBA\) і \(MCA\) подібні по двох кутах.

З подоби трикутників \(MBA\) та \(MCA\) маємо: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)що рівносильно \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Слідство

Твір січної, проведеної з точки \(O\), на її зовнішню частину не залежить від вибору січної, проведеної з точки \(O\).

Стаття дає докладне роз'яснення визначень геометричного сенсу похідної з графічними позначеннями. Буде розглянуто рівняння дотичної прямої з наведенням прикладів, знайдено рівняння щодо кривих 2 порядку.

Кут нахилу прямої y = k x + b називається кут α, який відраховується від позитивного напрямку осі о х до прямої y = k x + b у позитивному напрямку.

На малюнку напрямок позначається за допомогою зеленої стрілки і у вигляді зеленої дуги, а кут нахилу за допомогою червоної дуги. Синя лінія відноситься до прямої.

Визначення 2

Кутовий коефіцієнт прямої y = k x + b називають числовим коефіцієнтом k.

Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу нахилу прямої, інакше кажучи, k = t g α .

• Кут нахилу прямої дорівнює 0 тільки при паралельності про х і кутовий коефіцієнт, що дорівнює нулю, тому як тангенс нуля дорівнює 0 . Отже, вид рівняння буде y = b.
• Якщо кут нахилу прямого y = k x + b гострий, тоді виконуються умови 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , причому є зростання графіка.
• Якщо α = π 2 тоді розташування прямої перпендикулярно о х. Рівність визначається за допомогою рівності x = c зі значенням с, що є дійсним числом.
• Якщо кут нахилу прямого y = k x + b тупий, то відповідає умовам π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Сікучою називають пряму, яка проходить через 2 точки функції f(x) . Інакше висловлюючись, січна – це пряма, яка проводиться через будь-які дві точки графіка заданої функції.

На малюнку видно, що АВ є січною, а f(x) – чорна крива, α - червона дуга, що означає кут нахилу січної.

Коли кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу, то видно, що тангенс з прямокутного трикутника АВС можна знайти по відношенню протилежного катета до прилеглого.

Визначення 4

Отримуємо формулу для знаходження січного виду:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , де абсцисами точок А і є значення x A , x B , а f (x A) , f (x B) - це значення функції у цих точках.

Очевидно, що кутовий коефіцієнт січної визначається за допомогою рівності k = f (x B) - f (x A) x B - x A або k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причому рівняння необхідно записати як y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) або
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B).

Секущая ділить графік візуально на 3 частини: зліва від точки А, від А до В, праворуч від В. На малюнку видно, що є три січні, які вважаються збігаються, тобто задаються за допомогою аналогічного рівняння.

За визначенням видно, що пряма та її січна у цьому випадку збігаються.

Сікаюча може множино разів перетинати графік заданої функції. Якщо є рівняння виду у = 0 для січної, тоді кількість точок перетину з синусоїдою нескінченна.

Визначення 5

Щодо графіка функції f (x) у точці x 0 ; f (x 0) називається пряма, що проходить через задану точку x 0; f (x 0) з наявністю відрізка, який має безліч значень х, близьких до x 0 .

Приклад 1

Розглянемо докладно на наведеному нижче прикладі. Тоді видно, що пряма, задана функцією y = x + 1 вважається дотичною до y = 2 x у точці з координатами (1 ; 2) . Для наочності необхідно розглянути графіки з наближеними до (1 ; 2) значеннями. Функція y = 2 x позначена чорним кольором, синя лінія – дотична, червона – точка перетину.

Очевидно, що y = 2 x зливається із прямою у = х + 1 .

Для визначення дотичної слід розглянути поведінку дотичної АВ при нескінченному наближенні точки до точки А. Для наочності наведемо малюнок.

Сікуча АВ, позначена за допомогою синьої лінії, прагне положення самої дотичної, а кут нахилу секущей α почне прагнути до кута нахилу самої дотичної α x .

Визначення 6

Стосовною до графіка функції y = f (x) у точці А вважається граничне положення січної А В при прагненні до А, тобто B → A .

Тепер перейдемо до розгляду геометричного сенсу похідної функції у точці.

Перейдемо до розгляду січної А В для функції f (x) , де А і В з координатами x 0 , f (x 0) і x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x позначаємо як збільшення аргументу . Тепер функція набуде вигляду ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наочності наведемо приклад малюнок.

Розглянемо отриманий прямокутний трикутник АВС. Використовуємо визначення тангенсу для розв'язання, тобто отримаємо відношення ∆ y ∆ x = t g α . З визначення дотичної слідує, що lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . За правилом похідної у точці маємо, що похідну f (x) у точці x 0 називають межею відносин прирощення функції до прирощення аргументу, де ∆ x → 0 тоді позначимо як f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Звідси випливає, що f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , де k x позначають як кутовий коефіцієнт дотичної.

Тобто отримуємо, що f '(x) може існувати в точці x 0 причому як і дотична до заданого графіка функції в точці дотику дорівнює x 0 f 0 (x 0) , де значення кутового коефіцієнта дотичної в точці дорівнює похідній в точці x 0 . Тоді отримуємо, що k x = f "(x 0).

Геометричний сенс похідної функції у точці у цьому, що дається поняття існування дотичної до графіку у цій точці.

Щоб записати рівняння будь-якої прямої на площині, необхідно мати кутовий коефіцієнт з точкою, якою вона проходить. Його позначення приймається як х 0 при перетині.

Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) у точці x 0 , f 0 (x 0) набуває вигляду y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).

Мається на увазі, що кінцевим значенням похідної f "(x 0) можна визначити положення дотичної, тобто вертикально за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ і lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ або відсутність зовсім за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).

Розташування дотичної залежить від значення її кутового коефіцієнта k x = f "(x 0). k x > 0 убуває при k x< 0 .

Приклад 2

Зробити складання рівняння дотичної до графіка функції y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 у точці з координатами (1 ; 3) з визначенням кута нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що функція визначається всім дійсних чисел. Отримуємо, що точка з координатами, заданими за умовою, (1 ; 3) є точкою дотику, тоді x 0 = - 1 f (x 0) = - 3 .

Необхідно знайти похідну у точці зі значенням -1. Отримуємо, що

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y "(-1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Значення f ' (x) у точці торкання є кутовим коефіцієнтом дотичної, який дорівнює тангенсу нахилу.

Тоді k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Звідси випливає, що x = a r c t g 3 3 = π 6

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Для наочності наведемо приклад у графічній ілюстрації.

Чорний колір використовується для графіка вихідної функції, синій колір - дотичне зображення, червона точка - точка дотику. Малюнок, розташований праворуч, показує у збільшеному вигляді.

Приклад 3

З'ясувати наявність існування щодо графіка заданої функції
y = 3 · x - 1 5 + 1 у точці з координатами (1; 1) . Скласти рівняння та визначити кут нахилу.

Рішення

За умовою маємо, що область визначення заданої функції вважається безліч всіх дійсних чисел.

Перейдемо до знаходження похідної

y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5

Якщо x 0 = 1 тоді f '(x) не визначена, але межі записуються як lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ і lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , що означає існування вертикальної дотичної в точці (1; 1) .

Відповідь:рівняння набуде вигляду х = 1 , де кут нахилу дорівнюватиме π 2 .

Для наочності зобразимо графічно.

Приклад 4

Знайти точки графіка функції y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 де

1. Стосовна не існує;
2. Дотична розташовується паралельно з х;
3. Дотична паралельна прямий y = 8 5 x + 4 .

Рішення

Необхідно звернути увагу на область визначення. За умовою маємо, що функція визначена на багатьох дійсних чисел. Розкриваємо модуль і вирішуємо систему з проміжками x ∈ - ∞; 2 і [-2; + ∞). Отримуємо, що

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)

Потрібно продиференціювати функцію. Маємо, що

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [-2; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)

Коли х = - 2 тоді похідна не існує, тому що односторонні межі не рівні в цій точці:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Обчислюємо значення функції в точці х = - 2 де отримуємо, що

1. y(-2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , тобто дотична в точці (- 2 ; - 2) не існуватиме.
2. Стосовна паралельна о х, коли кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тоді k x = t g α x = f "(x 0). Тобто необхідно знайти значення таких х, коли похідна функції звертає її в нуль. Тобто значення f '(x) і будуть точками дотику, де дотична є паралельною о х .

Коли x ∈ - ∞; - 2 тоді - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , а при x ∈ (- 2 ; + ∞) отримуємо 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞

Обчислюємо відповідні значення функції

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y(-7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Звідси - 5; 8 5 -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 вважаються точками графіка функції, що шукаються.

Розглянемо графічне зображення рішення.

Чорна лінія – графік функції, червоні точки – точки торкання.

1. Коли прямі розташовуються паралельно, кутові коефіцієнти рівні. Тоді необхідно зайнятися пошуком точок графіка функції, де кутовий коефіцієнт дорівнюватиме значення 8 5 . Для цього потрібно вирішити рівняння виду y "(x) = 8 5 . Тоді, якщо x ∈ - ∞ ; - 2; + ∞), Тоді 15 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Перше рівняння не має коріння, оскільки дискримінант менший за нуль. Запишемо, що

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28< 0

Інше рівняння має два дійсні корені, тоді

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞

Перейдемо до знаходження значень функції. Отримуємо, що

y 1 = y(-1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Крапки зі значеннями - 1; 4 15, 5; 8 3 є точками, в яких дотичні паралельні до прямої y = 8 5 x + 4 .

Відповідь:чорна лінія - графік функції, червона лінія - графік y = 8 5 x + 4, синя лінія - дотичні в точках - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Можливе існування нескінченної кількості дотичних для заданих функцій.

Приклад 5

Написати рівняння всіх дотичних функцій y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , які розташовуються перпендикулярно до прямої y = - 2 x + 1 2 .

Рішення

Для складання рівняння дотичної необхідно знайти коефіцієнт та координати точки дотику, виходячи з умови перпендикулярності прямих. Визначення звучить так: добуток кутових коефіцієнтів, які перпендикулярні до прямого, дорівнює - 1 , тобто записується як k x · k ⊥ = - 1 . З умови маємо, що кутовий коефіцієнт розташовується перпендикулярно до прямої і дорівнює k ⊥ = - 2 , тоді k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Тепер потрібно знайти координати точок торкання. Потрібно виявити х, після чого його значення для заданої функції. Зазначимо, що з геометричного сенсу похідної у точці
x 0 отримуємо, що k x = y "(x 0). З цієї рівності знайдемо значення х для точок торкання.

Отримуємо, що

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Це тригонометричне рівняння буде використано для обчислення ординат точок торкання.

3 2 x 0 - π 4 = r c sin - 1 9 + 2 πk або 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk або 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk або x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk

Z – безліч цілих чисел.

Знайдено х точок торкання. Тепер необхідно перейти до пошуку значень у:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 або y 0 = - 4 5 + 1 3

Звідси отримуємо, що 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 13 є точками торкання.

Відповідь:необхідні рівняння запишуться як

y = 1 2 x - 2 3 ? , k ∈ Z

Для наочного зображення розглянемо функцію та дотичну на координатній прямій.

Малюнок показує, що розташування функції йде на проміжку [- 10; 10 ] , де чорна пряма – графік функції, сині лінії – дотичні, які розташовуються перпендикулярно до заданої прямої виду y = - 2 x + 1 2 . Червоні точки – це точки торкання.

Канонічні рівняння кривих 2 порядку є однозначними функціями. Рівняння дотичних їм складаються за відомими схемами.

Стосовно кола

Для завдання кола з центром у точці x c e n t e r; y c e n t e r і радіусом R застосовується формула x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Ця рівність може бути записана як об'єднання двох функцій:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Перша функція розташовується вгорі, а друга внизу, як показано малюнку.

Для складання рівняння кола в точці x 0; y 0 , яка розташовується у верхньому або нижньому півкола, слід знайти рівняння графіка функції виду y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r або y = - R 2 - x - x c e n t e r t e n

Коли в точках x c e n t e r; y c e n t e r + R і x c e n t e r ; y c e n t e r - R дотичні можуть бути задані рівняннями y = y c e n t e r + R і y = y c e n t e r - R , а в точках x c e n t e r + R ; y c e n t e r і
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будуть паралельними о у, тоді отримаємо рівняння виду x = x c e n t e r + R і x = x c e n t e r - R .

Стосовна до еліпсу

Коли еліпс має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r з півосями a і b , тоді він може бути заданий за допомогою рівняння x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Еліпс і коло може бути позначатися з допомогою об'єднання двох функцій, саме: верхнього і нижнього полуэллипса. Тоді отримуємо, що

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Якщо дотичні розташовуються на вершинах еліпса, тоді вони паралельні о х або у. Нижче для наочності розглянемо рисунок.

Приклад 6

Написати рівняння щодо до еліпсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 у точках зі значеннями x рівного х = 2 .

Рішення

Необхідно знайти точки дотику, які відповідають значенню х = 2. Виробляємо підстановку в наявне рівняння еліпса та отримуємо, що

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Тоді 2; 5 3 2 + 5 та 2 ; - 5 3 2 + 5 є точками торкання, що належать верхньому та нижньому півеліпсу.

Перейдемо до знаходження та вирішення рівняння еліпса щодо y. Отримаємо, що

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно, що верхній напівеліпс задається за допомогою функції виду y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 а нижній y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Застосуємо стандартний алгоритм у тому, щоб скласти рівняння дотичної до графіку функції у точці. Запишемо, що рівняння для першої дотичної у точці 2; 5 3 2 + 5 матиме вигляд

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Отримуємо, що рівняння другої дотичної зі значенням у точці
2; - 5 3 2 + 5 набуває вигляду

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графічно дотичні позначаються так:

Щодо гіперболи

Коли гіпербола має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r і вершини x c e n t e r + α; y c e n t e r і x c e n t e r - α; y c e n t e r , має місце завдання нерівності x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , якщо з вершинами x c e n t e r ; y c e n t e r + b і x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тоді задається за допомогою нерівності x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Гіпербола може бути представлена ​​у вигляді двох об'єднаних функцій виду

y = b a · (x - x c e n t e r ) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r ) 2 - a 2 + y c e n t e r + y · 2 (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

У першому випадку маємо, що дотичні паралельні о у, а в другому паралельні о х.

Звідси випливає, що для того, щоб знайти рівняння щодо гіперболи, необхідно з'ясувати, якій функції належить точка торкання. Щоб визначити це, необхідно зробити підстановку рівняння і перевірити їх на тотожність.

Приклад 7

Скласти рівняння дотичної до гіперболи x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 у точці 7; -3 3-3.

Рішення

Необхідно перетворити запис рішення знаходження гіперболи за допомогою двох функцій. Отримаємо, що

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 і л і y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3

Необхідно виявити, якої функції належить задана точка з координатами 7 ; -3 3-3.

Очевидно, що для перевірки першої функції необхідно y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 тоді точка графіку не належить, так як рівність не виконується.

Для другої функції маємо, що y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, отже, точка належить заданому графіку. Звідси слід знайти кутовий коефіцієнт.

Отримуємо, що

y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Відповідь:рівняння дотичної можна уявити як

y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3

Наочно зображається так:

Щодо параболи

Щоб скласти рівняння дотичної до параболи y = a x 2 + b x + c у точці x 0 , y (x 0) , необхідно використовувати стандартний алгоритм, тоді рівняння набуде вигляду y = y " (x 0) · x - x 0 + y ( x 0) Така дотична у вершині паралельна о х.

Слід задати параболу x = a y 2 + b y + c як поєднання двох функцій. Тому потрібно розв'язати рівняння щодо у. Отримуємо, що

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графічно зобразимо як:

Для з'ясування належності точки x 0 , y (x 0) функції ніжно діяти за стандартним алгоритмом. Така дотична буде паралельна відносно параболи.

Приклад 8

Написати рівняння дотичної до графіка x-2y2-5y+3, коли маємо кут нахилу дотичної 150°.

Рішення

Починаємо рішення з представлення параболи як дві функції. Отримаємо, що

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (-5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Значення кутового коефіцієнта дорівнює значенню похідної у точці x 0 цієї функції та дорівнює тангенсу кута нахилу.

Отримуємо:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150° = - 1 3

Звідси визначимо значення x точок торкання.

Перша функція запишеться як

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно, що дійсних коренів немає, тому що отримали негативне значення. Робимо висновок, що дотичної з кутом 150° для такої функції не існує.

Друга функція запишеться як

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Маємо, що точки дотику - 23 4; - 5+3 4 .

Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду

y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4

Графічно зобразимо це так:

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Пряма, що має з колом лише одну загальну точку, називається дотичною до кола, а їх загальна точка називається точкою торкання прямої та кола.

Теорема (властивість щодо кола)

Стосовна кола перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку торкання.

Дано

А – точка торкання

Довести: р ОА

Доведення.

Доведемо методом «від неприємного».

Припустимо, що р ОА, тоді ОА - похила до прямої р.

Якщо з точки Про провести перпендикуляр ВІН до прямої р, то його довжина буде меншою за радіус: ВІН< ОА=r

Отримаємо, що відстань від центру кола до прямої р (ВІН) менша за радіус (r) , значить пряма р – січна (тобто має з колом дві спільні точки), що суперечить умові теореми (р-дотична).

Значить, припущення невірно, отже пряма р перпендикулярна ОА.

Теорема (Властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки)

Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і становлять рівні кути з прямої, що проходить через цю точку та центр кола.

Дано: окр. (О; r)

АВ та АС – дотичні до окр. (О; r)

Довести: АВ=АС

Доведення

1) ОВ АВ, ОС АС, як радіуси, проведені в точку торкання (властивість дотичної)

2) Розглянемо тр. АОВ та тр. АОС – п/в

АТ – загальна

ОВ = ОС (як радіуси)

Значить, АВО = АОС (з гіпотенузи та катету). Отже,

АВ = АС,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Теорема (Ознака дотичної)

Якщо пряма проходить через кінець радіусу, що лежить на колі, і перпендикулярна до цього радіусу, то вона є дотичною.

Дано: ОА – радіус кола

Довести: р- дотична до кола

Доведення

ОА - радіус кола (за умовою) (ОА = r)

ОА - перпендикуляр з О до прямої р (ОА = d)

Отже, r=ОА=d , отже пряма р і коло мають одну загальну точку.

Отже, пряма р - дотична до кола. ч.т.д.

3. Властивість хорд і січучих.

Властивості дотичної та сіючої

ВИЗНАЧЕННЯ

Окружністюназивається геометричне місце точок, рівновіддалених від однієї точки, яка називається центром кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордий(На малюнку це відрізок). Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметромкола.

1. Дотична перпендикулярна радіусу, проведеному в точку торкання.

2. Відрізки дотичних, проведених із однієї точки, рівні.

3. Якщо з точки, що лежить поза коло, проведено дотичну і січні, то квадрат довжини дотичної дорівнює добутку січеної на її зовнішню частину.

Найчастіше саме геометричні завдання викликають складнощі у абітурієнтів, випускників, учасників математичних олімпіад. Якщо подивитися статистику ЄДІ 2010 року, то видно, що геометричне завдання С4 приступило близько 12% учасників, а отримало повний бал лише 0,2% учасників, а в цілому завдання виявилося найскладнішим із усіх запропонованих.

Очевидно, що чим раніше ми запропонуємо школярам красиві або несподівані за способом вирішення завдання, тим більша ймовірність зацікавити і залучити всерйоз і надовго. Але, як важко знайти цікаві та складні завдання на рівні 7 класу, коли тільки починається систематичне вивчення геометрії. Що можна запропонувати школяреві, який цікавиться математикою, знає лише ознаки рівності трикутників, властивості суміжних і вертикальних кутів? Проте, можна запровадити поняття дотичної до кола, як прямий, має з колом одну загальну точку; прийняти, що радіус, проведений у точку торкання, перпендикулярний дотичній. Звичайно, варто розглянути всі можливі випадки розташування двох кіл і загальних до них, яких можна провести від нуля до чотирьох. Довівши нижче запропоновані теореми, можна значно розширити набір задач для семикласників. При цьому принагідно довести важливі або просто цікаві та цікаві факти. Причому, оскільки багато тверджень не входять до шкільного підручника, то обговорювати їх можна і на заняттях гуртка та з випускниками при повторенні планіметрії. Актуальними ці факти виявилися минулого навчального року. Так як багато діагностичних робіт і сама робота ЄДІ містили завдання, для вирішення якої необхідно було використовувати властивість відрізка дотичної, що доводиться нижче.

Т 1 Відрізки дотичних до кола, проведені з
однієї точки рівні (рис. 1)

Саме з теоремою можна спочатку познайомити семикласників.
У процесі доказу використовували ознаку рівності прямокутних трикутників, зробили висновок про те, що центр кола лежить на бісектрисі кута ВСА.
Принагідно згадали, що бісектриса кута є геометричним місцем точок внутрішньої області кута, рівновіддалених від його сторін. На цих доступних навіть лише початківцям вивчати геометрію фактах ґрунтується вирішення вже далеко нетривіального завдання.

1. Бісектриси кутів А, Ві Зопуклого чотирикутника АВСDперетинаються в одній точці. Промені АВі DCперетинаються у точці Е, а промені
НДі АDу точці F. Доведіть, що у неопуклого чотирикутника AECFсуми довжин протилежних сторін дорівнюють.

Рішення (рис. 2).Нехай Про- Точка перетину даних бісектрис. Тоді Прорівновіддалена від усіх сторін чотирикутника АВСD, тобто
є центром кола вписаного в чотирикутник. По теоремі 1 вірні рівності: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Почленно складемо ліві та праві частини, отримаємо правильну рівність:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + CT) = AF + (ЄC + PC). Так як СТ = РС, то АЕ + FC = AF + ЄC, що й потрібно було довести.

Розглянемо незвичне за формулюванням завдання, для вирішення якого достатньо знання теореми 1 .

2. Чи існує n-кутник, сторони якого послідовно 1, 2, 3, …, n, в який можна вписати коло?

Рішення. Допустимо, такий n-кутник існує. А 1 А 2 =1, …, А n-1 А n = n– 1,А n А 1 = n. B 1 , …, B n – відповідні точки торкання. Тоді за теоремою 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n.За якістю відрізків дотичних A n B n = A n B n-1. Але, A n B n-1< A n-1 А n = n – 1. Протиріччя. Отже, ні n-кутника, що задовольняє умову задачі

Т 2Суми протилежних сторін чотирикутника, описаного близько
кола, рівні (рис. 3)

Школярі, як правило, легко доводять цю властивість описаного чотирикутника. Після доказу теореми 1 , Воно є тренувальною вправою. Можна узагальнити цей факт - суми сторін описаного четнокутника, взятих через одну, рівні. Наприклад, для шестикутника ABCDEFвірно: AB+CD+EF=BC+DE+FA.

Рішення (рис. 1). Оскільки чотирикутники ABEF та ECDF вписані, то за теоремою 2 Р ABEF = 2(AB + EF) та Р ECDF = 2(CD + EF), за умовою

Р ABEF - Р ECDF = 2 (AB + EF) - 2 (CD + EF) = 2p. AB - CD = p. АВ = а+р.

Рішення (рис. 5).По теоремі 1 МВ = МХ та РС = РХ.Тому периметр трикутника АМРдорівнює сумі відрізків АВі АС.Або подвоєного дотичного, проведеного до вписаного кола для трикутника АМР . Величина кута МОР вимірюється половиною величини кута ВОС, який не залежить від вибору точки Х.

Рішення (рис. 6). Спосіб перший (алгебраїчний). Нехай АК = AN = x,тоді BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. АС = AN + NC,тоді можемо скласти рівняння щодо х: b = x + (a - c + x).Звідки .

Спосіб другий (геометричний). Звернемося до схеми. Відрізки рівних дотичних, взяті по одному, у сумі дають півпериметр
трикутник. Червоний та зелений складають бік а.Тоді цікавий для нас відрізок х = р – а.Безперечно, отримані результати збігаються.

. З

4. Знайдіть радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник з катетами а, bта гіпотенузою с. Рішення (рис. 8). Тяк OMCN –квадрат, то радіус вписаного кола дорівнює відрізку дотичної CN. .

5. Доведіть, що точки торкання вписаного та вписаного кола зі стороною трикутника симетричні щодо середини цієї сторони.

Рішення (рис. 9).Зауважимо, АК – відрізок дотичного вписаного кола для трикутника АВС.За формулою (2) . ВМ- Відрізок дотичного вписаного кола для трикутника АВС.За формулою (1) . АК = ВМ,а це і означає, що точки К і Мрівновіддалені від середини боку АВ,що й потрібно було довести.

6. До двох кіл проведені дві загальні зовнішні дотичні і одна внутрішня. Внутрішня дотична перетинає зовнішні в точках А, Ві стосується кіл у точках А 1і В 1 .Доведіть, що АА 1 = ВР 1 .

Рішення (рис. 10). Стоп… Та що тут вирішувати? Це ж просто інше формулювання попереднього завдання. Очевидно, що одне з кіл є вписаним, а інше вписаним для якогось трикутника АВС.А відрізки АА 1 та ВВ 1відповідають відрізкам АКі ВМЗавдання 5. Примітно, що завдання, що пропонувалося на Всеросійській олімпіаді школярів з математики, вирішується так очевидно.

7. Сторони п'ятикутника в порядку обходу дорівнюють 5, 6, 10, 7, 8. Довести, що до цього п'ятикутника не можна вписати коло.

Рішення (рис. 11). Припустимо, що у п'ятикутник АВСDEможна вписати коло. Причому сторони AB, BC, CD, DEі ЕAрівні відповідно 5, 6, 10, 7 та 8. Зазначимо послідовно точки дотику – F, G, H, Mі N. Нехай довжина відрізка AFдорівнює х.

Тоді BF = FD – AF = 5 – x = BG. GC = BC – BG = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. І так далі: HD = DM = 9 – x; ME = EN = x – 2, AN = 10 – х.

Але, AF = AN. Тобто 10 – х = х; х= 5. Однак, відрізок дотичної AFне може дорівнювати стороні АВ. Отримане суперечність і доводить, що цей п'ятикутник не можна вписати окружність.

8. У шестикутник вписано коло, його сторони в порядку обходу дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5. Знайти довжину шостої сторони.

Рішення. Звичайно, можна відрізок дотичної позначити за х, як і в попередній задачі, скласти рівняння та отримати відповідь. Але, набагато ефективніше та ефектніше використовувати примітку до теореми 2 : суми сторін описаного шестикутника, взятих через одну, дорівнюють.

Тоді 1+3+5=2+4+ х, де х- невідома шоста сторона, х = 3.

Рішення (рис.12). Оскільки довжини всіх сторін є цілими числами, то дорівнюють дробові частини довжин відрізків BT, BP, DM, DN, AKі AT. Маємо, АТ + ТБ= 1, та дробові частини довжин відрізків ATі TBрівні. Це можливо лише тоді, коли АТ + ТБ= 0,5. По теоремі 1 ВТ + ВР.
Значить, ВР= 0,5. Зауважимо, що умова СD= 3 виявилося незатребуваним. Очевидно, автори завдання передбачали якесь інше рішення. Відповідь: 0,5.

10. У чотирикутнику ABCD AD=DC, AB=3, BC=5.Кола, вписані в трикутники ABDі CBDстосуються відрізка BDу точках Mі Nвідповідно. Знайти довжину відрізка MN.

Рішення (рис. 13). MN = DN - DM.За формулою (1) для трикутників DBAі DBСвідповідно, маємо:

11. У чотирикутник ABCDможна вписати коло. Кола, вписані в трикутники ABDі CBDмають радіуси Rі rвідповідно. Знайти відстань між центрами цих кіл.

Рішення (рис. 13). Оскільки за умовою чотирикутник ABCDвписаний, за теоремою 2 маємо: AB+DC=AD+BC.Скористаємося ідеєю вирішення попереднього завдання. . Це означає, що точки дотику кіл з відрізком DMзбігаються. Відстань між центрами кіл дорівнює сумі радіусів. Відповідь: R+r.

Фактично доведено, що умова – у чотирикутник ABCDможна вписати коло, рівносильно умові - у опуклому чотирикутнику ABCDкола, вписані в трикутники ABCі ADCстосуються одне одного. Правильне протилежне.

Довести ці два взаємно-зворотні твердження пропонується в наступному завданні, яке можна вважати узагальненням даної.

12. У опуклому чотирикутнику ABCD (Рис. 14) кола, вписані в трикутники ABCі ADCстосуються одне одного. Доведіть, що кола, вписані в трикутники ABDі BDCтакож стосуються одне одного.

13. У трикутнику АВСзі сторонами а, bі cна стороні НДвідзначено точку Dтак, що кола, вписані в трикутники АВDі ACDстосуються відрізка ADв одній точці. Знайти довжину відрізка BD.

Рішення (рис. 15). Застосуємо формулу (1) для трикутників ADCі ADB, вирахувавши DMдвома

Виявляється, D– точка торкання зі стороною НДкола, вписаного в трикутник АВС. Правильне зворотне: якщо вершину трикутника з'єднати з точкою торкання вписаного кола на протилежній стороні, то кола, вписані в трикутники, що виходять, стосуються один одного.

14. Центри Про 1 , Про 2 та Про 3 трьох кіл, що не перетинаються, однакового радіуса розташовані у вершинах трикутника. З точок Про 1 , Про 2 , Про 3 проведені дотичні до цих кіл так, як показано на малюнку.

Відомо, що ці дотичні, перетинаючи, утворили опуклий шестикутник, сторони якого через одну пофарбовані у червоний та синій кольори. Доведіть, що сума довжин червоних відрізків дорівнює сумі довжин синіх.

Рішення (рис. 16). Важливо зрозуміти, як використовувати той факт, що задані кола мають однакові радіуси. Зауважимо, що відрізки ВRі DМрівні, що випливає з рівності прямокутних трикутників Про 1 ВRі O 2 BM. Аналогічно DL = DP, FN = FK. Почленно складаємо рівності, потім віднімаємо з отриманих сум однакові відрізки дотичних, проведених з вершин А, З, і Ешестикутника ABCDEF: АRі AK, CLі CM, ENі EP. Отримуємо потрібне.

Ось приклад завдання з стереометрії, що пропонувалося на XII Міжнародному математичному турнірі старшокласників "Кубок пам'яті А. Н. Колмогорова".

16. Дана п'ятикутна піраміда SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .Існує сфера w ,яка стосується всіх ребер піраміди та інша сфера w 1 ,яка стосується всіх сторін основи A 1 A 2 A 3 A 4 A 5та продовжень бічних ребер SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5за вершини основи. Доведіть, що вершина піраміди рівновіддалена від вершин основи. (Берлов С. Л., Карпов Д. В.)

17. ЄДІ. Діагностична робота 8.12.2009 р, С-4.Дана трапеція ABCD, підстави якої BC = 44,AD = 100, AB = CD= 35. Окружність, що стосується прямих ADі AC, стосується сторони CDу точці K. Знайдіть довжину відрізка CK.ВDС та ВDА, стосуються сторони ВDу точках Еі F. Знайдіть довжину відрізка EF.

Рішення. Можливі два випадки (рис. 20 та рис. 21). За формулою (1) знайдемо довжини відрізків DEі DF.

У першому випадку AD = 0,1АС, СD = 0,9AC. У другому - AD = 0,125АС, СD = 1,125AC. Підставляємо дані та отримуємо відповідь: 4,6 або 5,5.

Завдання для самостійного вирішення/

1. Периметр рівнобедреної трапеції, описаної біля кола дорівнює 2р.Знайдіть проекцію діагоналі трапеції на більшу основу. (1/2р)

2. Відкритий банк завдань ЄДІ з математики. В 4. До кола, вписаного в трикутник ABC (рис. 22),проведено три дотичні. Периметри відсічених трикутників дорівнюють 6, 8, 10. Знайдіть периметр даного трикутника. (24)

3. У трикутник АВСвписано коло. MN –дотична до кола, M АС, N ВС, ВС = 13, АС = 14, АВ = 15.Знайдіть периметр трикутника MNC. (12)

4. До кола, вписаного в квадрат зі стороною а, проведено дотичну, що перетинає дві його сторони. Знайдіть периметр відсіченого трикутника. (а)

5. Коло вписано в п'ятикутник зі сторонами а, d, c, dі e. Знайдіть відрізки, на які точка торкання поділяє сторону, рівну а.

6. У трикутник зі сторонами 6, 10 та 12 вписано коло. До кола проведена дотична так, що вона перетинає дві великі сторони. Знайдіть периметр відсіченого трикутника. (16)

7. CD– медіана трикутника ABC. Кола, вписані в трикутники ACDі BCD, стосуються відрізка CDу точках Mі N. Знайдіть MN, якщо АС – НД = 2. (1)

8. У трикутнику АВСзі сторонами а, bі cна стороні НДвідзначено точку D. До кіл, вписаних у трикутники АВDі ACD, проведена загальна дотична, що перетинає ADу точці М. Знайти довжину відрізка АМ. (Довжина АМне залежить від положення точки Dі
дорівнює ½ ( c + b – a))

9. У прямокутний трикутник вписано коло радіусу а. Радіус кола, що стосується гіпотенузи та продовжень катетів, дорівнює R.Знайдіть довжину гіпотенузи. ( R – a)

10. У трикутнику АВСвідомі довжини сторін: АВ = з, АС = b, НД = а. Вписане в трикутник коло стосується сторони АВу точці З 1. Вписане коло стосується продовження сторони АВза точку Ау точці З 2. Визначте довжину відрізка З 1 З 2. (b)

11. Знайдіть довжини сторін трикутника, розділених точкою торкання вписаного кола радіуса 3 см на відрізки 4 см і 3 см. (7, 24 і 25 см у прямокутному трикутнику)

12. Соросівська олімпіада 1996 р, 2 тур, 11 клас. Даний трикутник АВС, на сторонах якого відзначені точки А 1, В 1, З 1. Радіуси кіл вписаних у трикутники АС 1 В 1, НД 1 А 1, СА 1 В 1рівні по r. Радіус кола, вписаного в трикутник А 1 В 1 З 1дорівнює R. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник АВС. (R +r).

Завдання 4-8 взяті із задачника Гордіна Р. К. “Геометрія. Планіметрія. Москва. Видавництво МЦНМВ. 2004.

Пряма ( MN), що має з колом лише одну загальну точку ( A), називається дотичної до кола.

Загальна точка називається у цьому випадку точкою торкання.

Можливість існування дотичної, і до того ж проведеної через будь-яку точку кола, як точку торкання, доводиться такою теорема.

Нехай потрібно провести до колаз центром O дотичнучерез точку A. Для цього з точки A,як із центру, описуємо дугурадіусом AO, А з точки Oяк центру, перетинаємо цю дугу в точках Bі Зрозчином циркуля, що дорівнює діаметру даного кола.

Провівши потім хорди OBі OС, з'єднаємо крапку Aз точками Dі E, у яких ці хорди перетинаються з цим колом. Прямі ADі AE - дотичні до кола O. Справді, з побудови видно, що трикутники AOBі AOС рівнобедрені(AO = AB = AС) з основами OBі OС, рівними діаметру кола O.

Так як ODі OE- радіуси, то D - середина OB, а E- середина OС, значить ADі AE - медіани, Проведені до основ рівнобедрених трикутників, і тому перпендикулярні до цих основ. Якщо ж прямі DAі EAперпендикулярні до радіусів ODі OE, то вони - дотичні.

Наслідок.

Дві дотичні, проведені з однієї точки до кола, рівні та утворюють рівні кути з прямою, що з'єднує цю точку з центром.

Так AD=AEта ∠ OAD = ∠OAEтому що прямокутні трикутники AODі AOE, що мають спільну гіпотенузу AOта рівні катети ODі OE(Як радіуси), рівні. Зауважимо, що тут під словом "стосується" мається на увазі власне " відрізок дотичної” від цієї точки до точки торкання.