Параметричне рівняння прямої на площині. Параметричні рівняння Рівняння прямої у параметричному вигляді у просторі

Обов'язково прочитайте цей параграф!Параметричні рівняння, звичайно, не альфа і омега просторової геометрії, але робоча мураха багатьох завдань. Причому цей вид рівнянь часто застосовується несподівано, і я б сказав, витончено.

Якщо відома точка , що належить прямої, і напрямний вектор даної прямої, параметричні рівняння цієї прямої задаються системою :

Про поняття параметричних рівнянь я розповідав на уроках Рівняння прямої на площиніі Похідна параметрично заданої функції.

Все простіше пареної ріпи, тому доведеться приперчити завдання:

Приклад 7

Рішення: Прямі задані канонічними рівняннями і першому етапі слід знайти якусь точку, що належить прямої, і її напрямний вектор.

а) З рівнянь знімаємо крапку та напрямний вектор: . Крапку можна вибрати й іншу (як це зробити – розказано вище), але краще взяти саму очевидну. До речі, щоб уникнути помилок, завжди підставляйте її координати на рівняння.

Складемо параметричні рівняння даної прямої:

Зручність параметричних рівнянь у тому, що з допомогою дуже легко знаходити інші точки прямий. Наприклад, знайдемо точку , координати якої, скажімо, відповідають значенню параметра:

Таким чином:

б) Розглянемо канонічні рівняння. Вибір точки тут нескладний, але підступний: (будьте уважні, не переплутайте координати!). Як витягнути напрямний вектор? Можна поміркувати, чому паралельна дана пряма, а можна використовувати простий формальний прийом: у пропорції знаходяться «гравець» і «зет», тому запишемо напрямний вектор, а на місце поставимо нуль: .

Складемо параметричні рівняння прямої:

в) Перепишемо рівняння у вигляді, тобто «зет» може бути будь-яким. А якщо будь-яким, то нехай, наприклад, . Таким чином, точка належить даній прямій. Для знаходження напрямного вектора використовуємо наступний формальний прийом: у вихідних рівняннях знаходяться «ікс» та «ігрок», і в напрямному векторі на даних місцях записуємо нулі: . На місце, що залишилося, ставимо одиницю: . Замість одиниці підійде будь-яке число, крім нуля.

Запишемо параметричні рівняння прямої:

Для тренування:

Приклад 8

Скласти параметричні рівняння наступних прямих:

Рішення та відповіді наприкінці уроку. Отримані вами відповіді можуть дещо відрізнятися від моїх відповідей, річ у тому, що параметричні рівняння можна записати не єдиним способом. Важливо, щоб ваші та мої напрямні вектори були колінеарними, і ваша точка «підходила» до моїх рівнянь (ну, або навпаки, моя точка до ваших рівнянь).

Як ще можна задати пряму у просторі? Хочеться щось вигадати з вектором нормалі. Однак номер не пройде, у просторової прямої нормальні вектори можуть дивитися зовсім у різні боки.

Ще про один спосіб вже згадувалося на уроці Рівняння площинита на початку цієї статті.

КУТ між площинами

Розглянемо дві площини α 1 і α 2 задані відповідно рівняннями:

Під кутомміж двома площинами розумітимемо один із двогранних кутів, утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин 1 і 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Т.к. і , то

.

приклад.Визначити кут між площинами x+2y-3z+4=0 та 2 x+3y+z+8=0.

Умови паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а отже .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і лише тоді, коли коефіцієнти за відповідних координат пропорційні:

або

Умови перпендикулярності площин.

Зрозуміло, що дві площини перпендикулярні і тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, отже, або .

Таким чином, .

приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

ВЕКТОРНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОЮ.

ПАРАМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Положення прямий у просторі цілком визначається завданням якоїсь її фіксованої точки М 1 і вектор , паралельний цій прямій.

Вектор , паралельний прямий, називається напрямнимвектор прямий.

Отже, хай пряма lпроходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М(x, y, z)на прямий. З малюнка видно, що .

Вектори та колінеарні, тому знайдеться таке число t, що , де множник tможе набувати будь-яке числове значення в залежності від положення точки Mна прямий. Множник tназивається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 та Мвідповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторнимрівнянням прямої. Воно показує, що кожному значення параметра tвідповідає радіус-вектор деякої точки М, що лежить на прямий.

Запишемо це рівняння у координатній формі. Зауважимо, що , і звідси

Отримані рівняння називаються параметричнимирівняннями прямий.

При зміні параметра tзмінюються координати x, yі zі крапка Мпереміщається прямою.

КАНОНІЧНІ РІВНЯННЯ ПРЯМИЙ

Нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і - Її напрямний вектор. Знову візьмемо на пряму довільну точку М(x, y, z)і розглянемо вектор.

Зрозуміло, що вектори та колінеарні, тому їх відповідні координати мають бути пропорційними, отже,

– канонічнірівняння прямої.

Зауваження 1.Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Справді, з параметричних рівнянь отримуємо або .

приклад.Записати рівняння прямої у параметричному вигляді.

Позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Примітка 2.Нехай пряма перпендикулярна до однієї з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді напрямний вектор прямий перпендикулярний Ox, отже, m=0. Отже, параметричні рівняння прямий набудуть вигляду

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямий у вигляді

Проте й у разі умовимося формально записувати канонічні рівняння прямої як . Таким чином, якщо в знаменнику одного з дробів стоїть нуль, то це означає, що пряма перпендикулярна до відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна до осей Oxі Ойабо паралельна осі Oz.

приклади.

ЗАГАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПРЯМОГО, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕРОСИННЯ ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які дві з них, перетинаючи, визначають її у просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно, являють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві не паралельні площини, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннямипрямий.

приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої достатньо знайти будь-які її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOyотримаємо з рівнянь прямий, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y= 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейти до її канонічних або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий та напрямний вектор прямий.

Координати точки М 1 отримаємо з цієї системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для пошуку напрямного вектора, зауважимо, що цей вектор має бути перпендикулярним до обох нормальних векторів. і . Тому за напрямний вектор прямий lможна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

приклад.Привести загальні рівняння прямої до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y= 0 і розв'яжемо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму, мають координати. Тому напрямний вектор прямий буде

. Отже, l: .

КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

Кутомміж прямими в просторі будемо називати будь-який із суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай у просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і . Так як , то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

Одним із підпунктів теми «Рівняння прямої на площині» є питання складання параметричних рівнянь прямої на площині у прямокутній системі координат. У статті нижче розглядається принцип складання подібних рівнянь за певних відомих даних. Покажемо, як від параметричних рівнянь переходити до рівнянь іншого виду; Розберемо рішення типових завдань.

Конкретна пряма може бути визначена, якщо задати точку, що належить цій прямій, та напрямний вектор прямий.

Допустимо, нам задана прямокутна система координат O x y. А також задані пряма а із зазначенням точки М 1 (x 1 , y 1), що лежить на ній, і напрямний вектор заданої прямої a → = (a x , a y) . Дамо опис заданої прямої a використовуючи рівняння.

Використовуємо довільну точку М (x, y) та отримаємо вектор М 1 М →; обчислимо його координати за координатами точок початку та кінця: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Опишемо отримане: пряма задана безліччю точок М (x , y) , проходить через точку М 1 (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (a x , a y) . Вказана множина задає пряму тільки тоді, коли вектори M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) та a → = (a x , a y) є колінеарними.

Існує необхідна та достатня умова колінеарності векторів, яку в даному випадку для векторів M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) і a → = (a x , a y) можна записати у вигляді рівняння:

M 1 M → = λ · a → , де λ – деяке дійсне число.

Визначення 1

Рівняння M 1 M → = λ · a → називають векторно-параметричним рівнянням прямою.

У координатній формі воно має вигляд:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Рівняння отриманої системи x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ називають назву параметричних рівнянь прямої на площині в прямокутній системі координат. Суть назви в наступному: координати всіх точок прямої можна визначити за параметричними рівняннями на площині виду x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборі всіх дійсних значень параметра λ

Відповідно до вищесказаного, параметричні рівняння прямої на площині x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ визначають пряму лінію, яка задана у прямокутній системі координат, проходить через точку М 1 (x 1 , y 1) і має напрямний вектор a → = (a x , a y) . Отже, якщо задані координати деякої точки прямої та координати її напрямного вектора, то можна відразу записати параметричні рівняння заданої прямої.

Приклад 1

Необхідно скласти параметричні рівняння прямої на площині в прямокутній системі координат, якщо задані точка М 1 (2 , 3), що належить їй, і її напрямний вектор a → = (3, 1).

Рішення

На основі вихідних даних отримаємо: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Параметричні рівняння матимуть вигляд:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Наочно проілюструємо:

Відповідь: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необхідно зазначити: якщо вектор a → = (a x , a y) служить напрямним вектором прямої а, а точки М 1 (x 1 , y 1) і М 2 (x 2 , y 2) належать до цієї прямої, то її можливо визначити, задаючи параметричними рівняннями виду: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а також і таким варіантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ.

Наприклад, нам задані напрямний вектор прямий a → = (2 , - 1) , а також точки М 1 (1 , - 2) і М 2 (3 , - 3), що належать цій прямій. Тоді пряму визначають параметричні рівняння: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ або x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Слід звернути увагу і на такий факт: якщо a → = (a x , a y) - напрямний вектор прямий a , то її напрямний вектор буде і будь-який з векторів μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , де μ R , μ ≠ 0 .

Таким чином, пряма а на площині в прямокутній системі координат може бути визначена параметричними рівняннями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при будь-якому значенні μ відмінному від нуля.

Припустимо, пряма а задана параметричними рівняннями x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Тоді a → = (2 , - 5) - напрямний вектор цієї прямої. А також будь-який із векторів μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 стане напрямним вектором для заданої прямої. Для наочності розглянемо конкретний вектор - 2 · a → = (- 4 , 10) йому відповідає значення μ = - 2 . У такому разі задану пряму можна також визначити параметричними рівняннями x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Перехід від параметричних рівнянь прямої на площині до інших рівнянь заданої прямої та назад

У вирішенні деяких завдань застосування параметричних рівнянь є не оптимальним варіантом, тоді виникає необхідність переведення параметричних рівнянь прямої в рівняння прямої іншого виду. Розглянемо, як це зробити.

Параметричним рівнянням прямої виду x = x 1 + a x · y = y 1 + a y · λ відповідатиме канонічне рівняння прямої на площині x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Дозволимо кожне з параметричних рівнянь щодо параметра λ прирівняємо праві частини отриманих рівностей і отримаємо канонічне рівняння заданої прямої:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

При цьому не повинно бентежити, якщо a x або a y дорівнюють нулю.

Приклад 2

Необхідно здійснити перехід від параметричних рівнянь прямої x = 3 y = - 2 - 4 · λ до канонічного рівняння.

Рішення

Запишемо задані параметричні рівняння в наступному вигляді: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Виразимо параметр λ у кожному з рівнянь: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Прирівняємо праві частини системи рівнянь та отримаємо необхідне канонічне рівняння прямої на площині:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Відповідь: x - 3 0 = y + 2 - 4

У разі коли необхідно записати рівняння прямої виду A x + B y + C = 0 , при цьому задані параметричні рівняння прямої на площині, необхідно спочатку здійснити перехід до канонічного рівняння, а потім до загального рівняння прямої. Запишемо всю послідовність дій:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Приклад 3

Необхідно записати загальне рівняння прямої, якщо задані визначальні її параметричні рівняння: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Рішення

Для початку здійснимо перехід до канонічного рівняння:

x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Отримана пропорція ідентична рівності - 3 · (x + 1) = 2 · y. Розкриємо дужки та отримаємо загальне рівняння прямої: - 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Відповідь: 3 x + 2 y + 3 = 0

Наслідуючи вищевказану логіку дій, для отримання рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, рівняння прямої у відрізках або нормального рівняння прямої необхідно отримати загальне рівняння прямої, а від нього здійснювати подальший перехід.

Тепер розглянемо зворотну дію: запис параметричних рівнянь прямої при іншому заданому вигляді рівнянь цієї прямої.

Найпростіший перехід: від канонічного рівняння до параметричних. Нехай задано канонічне рівняння виду: x - x1 a x = y - y 1 a y. Кожне із відносин цієї рівності приймемо рівним параметру λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Дозволимо отримані рівняння щодо змінних x та y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Приклад 4

Необхідно записати параметричні рівняння прямої, якщо відомо канонічне рівняння прямої на площині: x - 2 5 = y - 2 2

Рішення

Прирівняємо частини відомого рівняння до параметра λ: x - 25 = y - 22 = λ. З отриманої рівності отримаємо параметричні рівняння прямої: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Відповідь: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Коли необхідно здійснити перехід до параметричних рівнянь від заданого загального рівняння прямої, рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом або рівняння прямої у відрізках необхідно вихідне рівняння привести до канонічного, а потім здійснювати перехід до параметричних рівнянь.

Приклад 5

Необхідно записати параметричні рівняння прямої за відомого загального рівняння цієї прямої: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Рішення

Задане загальне рівняння перетворимо на рівняння канонічного виду:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Прирівняємо обидві частини рівності до параметра λ і отримаємо необхідні параметричні рівняння прямої:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = - 1 3 + 4 · λ

Відповідь: x = 3 · λ y = - 1 3 + 4 · λ

Приклади та завдання з параметричними рівняннями прямої на площині

Розглянемо найчастіше типи завдань з використанням параметричних рівнянь прямої на площині в прямокутній системі координат.

1. У задачах першого типу задані координати точок, що належать чи ні прямої, описаної параметричними рівняннями.

Розв'язання таких завдань спирається на наступний факт: числа (x, y), що визначаються з параметричних рівнянь x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при деякому дійсному значенні λ є координатами точки, що належить прямої, яка описується цими параметричними рівняннями.

Приклад 6

Необхідно визначити координати точки, яка лежить на прямій, заданій параметричними рівняннями x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Рішення

Підставимо у задані параметричні рівняння відоме значення λ = 3 і здійснимо обчислення шуканих координат: x = 2 - 1 6 · 3 y = - 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Відповідь: 1 1 2 , 5

Також можливе таке завдання: нехай задана деяка точка M 0 (x 0 , y 0) на площині в прямокутній системі координат і потрібно визначити, чи належить ця точка прямий, що описується параметричними рівняннями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ.

Щоб вирішити подібне завдання, необхідно підставити координати заданої точки у відомі параметричні рівняння прямої. Якщо буде визначено, що можливе таке значення параметра = 0, при якому будуть вірними обидва параметричні рівняння, тоді задана точка є заданою прямою.

Приклад 7

Задано точки М 0 (4, - 2) і N 0 (- 2, 1). Необхідно визначити, чи вони належать прямої, визначеної параметричними рівняннями x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Рішення

Підставимо координати точки М 0 (4 - 2) в задані параметричні рівняння:

4 = 2 · λ - 2 = - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Робимо висновок, що точка М 0 належить заданої прямої, т.к. відповідає значенню λ = 2.

2 = 2 · λ 1 = - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очевидно, що немає такого параметра λ , якому буде відповідати точка N 0 . Інакше кажучи, задана пряма не проходить через точку N 0 (- 2 , 1) .

Відповідь:точка М 0 належить заданої прямої; точка N 0 не належить заданої прямої.

1. У задачах другого типу потрібно скласти параметричні рівняння прямої на площині прямокутної системі координат. Найпростіший приклад такого завдання (при відомих координатах точки прямої та напрямного вектора) було розглянуто вище. Тепер розберемо приклади, де спочатку потрібно знайти координати напрямного вектора, та був записати параметричні рівняння.

Задано точку M 1 1 2 , 2 3 . Необхідно скласти параметричні рівняння прямої, що проходить через цю точку і паралельна пряма x 2 = y - 3 - 1 .

Рішення

За умовою задачі пряма, рівняння якої ми маємо випередити, паралельна прямій x 2 = y - 3 - 1 . Тоді як напрямний вектор прямої, що проходить через задану точку, можна використовувати напрямний вектор прямий x 2 = y - 3 - 1 , який запишемо у вигляді: a → = (2 , - 1) . Тепер відомі всі необхідні дані для того, щоб скласти параметричні рівняння, що шукаються:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (-1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Відповідь: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

Приклад 9

Задано точку М 1 (0 , - 7) . Необхідно записати параметричні рівняння прямої, що проходить через цю точку перпендикулярно до прямої 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Рішення

Як напрямний вектор прямої, рівняння якої треба скласти, можна взяти нормальний вектор прямої 3 x – 2 y – 5 = 0 . Його координати (3 , - 2). Запишемо необхідні параметричні рівняння прямої:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (-2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Відповідь: x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

1. У задачах третього типу потрібно здійснити перехід від параметричних рівнянь заданої прямої до інших видів рівнянь, що її визначають. Вирішення подібних прикладів ми розглядали вище, наведемо ще один.

Дано пряму на площині в прямокутній системі координат, що визначається параметричними рівняннями x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Необхідно знайти координати будь-якого нормального вектора цієї прямої.

Рішення

Щоб визначити координати нормального вектора, здійснимо перехід від параметричних рівнянь до загального рівняння:

x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 = - 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коефіцієнти змінних x та y дають нам необхідні координати нормального вектора. Таким чином, нормальний вектор прямий x = 1 - 3 4 · y = - 1 + λ має координати 1 , 3 4 .

Відповідь: 1 , 3 4 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Параметричні рівняння прямої елементарно виходять з канонічного рівняння цієї прямої, що має вигляд . Приймемо за параметр величину, яку можна помножити ліву і праву частини канонічного рівняння.

Так як один із знаменників обов'язково відмінний від нуля, а відповідний чисельник може приймати будь-які значення, то областю зміни параметра є вся вісь дійсних чисел: .

Ми отримаємо або остаточно

Рівняння (1) і є потрібні параметричні рівняння прямої. Ці рівняння припускають механічну інтерпретацію. Якщо вважати, що параметр - це час, що відраховується від деякого початкового моменту, параметричні рівняння визначають закон руху матеріальної точки по прямій лінії з постійною швидкістю (такий рух відбувається за інерцією).

приклад 1.Скласти на площині параметричні рівняння прямої, що проходить через точку, що має напрямний вектор .

Рішення. Підставляємо дані точки і напрямного вектора (1) і отримуємо:

Часто у завданнях потрібно перетворити параметричні рівняння прямої на інші види рівнянь, та якщо з рівнянь інших видів отримати параметричні рівняння прямої. Розберемо кілька прикладів. Для перетворення параметричних рівнянь прямої в загальне рівняння прямоїспочатку слід привести їх до канонічного вигляду, а потім з канонічного рівняння отримати загальне рівняння прямої

приклад 2.Записати рівняння прямої

у загальному вигляді.

Рішення. Спочатку наводимо параметричні рівняння прямої до канонічного рівняння:

Подальшими перетвореннями наводимо рівняння до загального вигляду:

Дещо складніше перетворення загального рівняння в параметричні рівняння прямої, але й цієї дії можна скласти точний алгоритм. Спочатку можна перетворити загальне рівняння на рівняння з кутовим коефіцієнтомі знайти з нього координати будь-якої точки, що належить прямий, надаючи одній з координат довільне значення. Коли відомі координати точки та напрямного вектора (із загального рівняння), можна записати параметричні рівняння прямої.

приклад 3.Записати рівняння прямої як параметричних рівнянь.

Рішення. Наводимо загальне рівняння прямої рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Знаходимо координати деякої точки, що належить прямій. Надамо одній з координат точки довільне значення

З рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом отримуємо іншу координату точки:

Таким чином, нам відомі точка та напрямний вектор . Підставляємо їх дані (1) і отримуємо шукані параметричні рівняння прямої:

приклад 4.Знайти кутовий коефіцієнт прямої, заданої параметричними рівняннями

Рішення. Параметричні рівняння прямої спочатку слід перетворити на канонічне, потім у загальне і, нарешті, на рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Таким чином, кутовий коефіцієнт заданої прямої:

Приклад 5.Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямої

Прирівнюючи в канонічних рівняннях прямий кожний із дробів деякому параметру t:

Отримаємо рівняння, що виражають поточні координати кожної точки прямої через параметр t.

таким чином параметричні рівняння прямої мають вигляд:

Рівняння прямої через дві задані точки.

Нехай задані дві точки М1 (x 1, y 1, z 1)та М 2 (x 2, y 2, z 2). Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, виходять так само, як аналогічне таке рівняння на площині. Тому відразу наведемо вигляд цього рівняння.

Пряма на перетині двох площин. Загальне рівняння прямої у просторі.

Якщо розглянути дві не паралельні площини, їх перетином буде пряма.

Якщо нормальні вектори та неколенеарні.

Нижче при розгляді прикладів ми покажемо спосіб перетворення таких рівнянь до канонічних рівнянь.

5.4 Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих.

Кутом між двома прямими в просторі будемо називати будь-який з кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даним.

Нехай дві прямі задано своїми канонічними рівняннями.

За кут між двома прямими приймемо кут між напрямними векторами.

і

Умова перпендикулярності двох прямих зводиться до умови перпендикулярності напрямних векторів і , тобто до рівності нулю скалярного твору: або в координатній формі: .

Умова паралельності двох прямих зводиться до умови паралельності їх напрямних векторів

5.5 Взаємне розташування прямої та площини.

Нехай задані рівняння прямої:

та площині. Кутом між прямою та площиною будемо називати будь-який із двох суміжних кутів, утворених прямою та її проекцією на площину (Рис 5.5).

Рис 5.5

У разі перпендикулярності прямої до площини напрямний вектор прямий та нормальний вектор до площини колінеарні. Таким чином, умова перпендикулярності прямої та площини зводиться до умови колінеарності векторів.

У разі паралельності прямої та площини їх зазначені вище вектори взаємно перпендикулярні. Тому умова паралельності прямої та площини зводиться до умови перпендикулярності векторів; тобто. їх скалярний добуток дорівнює нулю чи координатної формі: .

Нижче розглянуто приклади вирішення завдань, пов'язаних із темою глави 5.

Приклад 1:

Скласти рівняння площини, що проходить через точку А (1,2,4) перпендикулярну до прямої, заданої рівнянням:

Рішення:

Скористаємося рівнянням площини, що проходить через задану точку, перпендикулярну заданому вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+З(z-z 0)=0

Як точка візьмемо точку А (1,2,4), через яку проходить за умовою площину.

Знаючи канонічні рівняння прямої, ми знаємо вектор, паралельний прямий.

В силу того, що за умовою пряма перпендикулярна площині, що шукає, напрямний вектор може бути взятий в якості нормального вектора площини.

Таким чином, рівняння площини отримаємо у вигляді:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Приклад 2:

Знайти на площині 4х-7у+5z-20=0таку точку Р, на яку ОР становить з осями координат однакові кути.

Рішення:

Зробимо схематичне креслення. (Мал. 5.6)

у

Рис 5.6

Пуст точка Р має координати. Оскільки вектор становить однакові кути з осями координат, то напрямні косинуси цього вектора рівні між собою

Знайдемо проекції вектора:

тоді легко знаходяться напрямні косинуси цього вектора.

З рівності напрямних косінусів випливає рівність:

х р = у р = z р

Так як точка Р лежить на площині, то підстановка координат цієї точки рівняння площині перетворює його на тотожність.

4х р -7х р +5х р -20 = 0

2х р = 20

х р = 10

Відповідно: у р=10; z р=10.

Таким чином шукана точка Р має координати Р(10; 10; 10)

Приклад 3:

Дано дві точки А (2,-1,-2) і В (8,-7,5). Знайти рівняння площини, що проходить через точку, перпендикулярну відрізку АВ.

Рішення:

Для вирішення задачі скористаємось рівнянням площини, що проходить через задану точку перпендикулярну заданому вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+C(z-z 0)=0

В якості точки використовуємо точку (8,-7,5), а в якості вектора, перпендикулярного площині вектор . Знайдемо проекції вектора:

тоді рівняння площини отримаємо у вигляді:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Приклад 4:

Знайти рівняння площини, паралельної осі Y і проходить через точки К(1,-5,1) і М(3,2,-2).

Рішення:

Так як площина паралельна осі ОY, то скористаємося неповним рівнянням площини.

Ax+Cz+D=0

З огляду на те, що точки К і М лежать на площині, отримаємо дві умови.

Виразимо з цих умов коефіцієнти А і через D.

Підставимо знайдені коефіцієнти в неповне рівняння площини:

оскільки , то скорочуємо D:

Приклад 5:

Знайти рівняння площини через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Рішення:

Скористаємося рівнянням площини, що проходить через 3 задані точки.

підставляючи координати точок М,К,R як першої, другої та третьої отримаємо:

розкриємо визначник по 1-му рядку.

Приклад 6:

Знайти рівняння площини, що проходить через точки М1 (8,-3,1); М 2 (4,7,2) і перпендикулярно до площини 3х+5у-7z-21=0

Рішення:

Зробимо схематичне креслення (Рис 5.7)

Рис 5.7

Позначимо задану площину Р 2, а потрібну площину Р 2. . З рівняння заданої площини Р 1 визначаємо проекції вектора перпендикулярного площині Р 1.

Вектор шляхом паралельного перенесення може бути переміщений в площину Р 2, так як за умовою задачі площина Р 2 перпендикулярна площині Р 1, а це означає, що вектор паралельний площині Р 2 .

Знайдемо проекції вектора, що лежить у площині Р 2:

тепер ми маємо два вектори та , що лежать у площині Р 2 . очевидно вектор , що дорівнює векторному добутку векторів і буде перпендикулярний площині Р 2, тому що він перпендикулярний і тому його нормального вектора площині Р 2.

Вектори задані своїми проекціями тому:

Далі використовуємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярну вектору. Як точку можна взяти будь-яку з точок М 1 або М 2 наприклад М 1 (8,-3,1); Як нормальний вектор до площини Р 2 беремо .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Приклад 7:

Пряма задана перетином двох площин. Знайти канонічні рівняння прямої.

Рішення:

Маємо рівняння у вигляді:

Треба знайти точку ( х 0 ,у 0 ,z 0), якою проходить пряма і напрямний вектор .

Виберемо довільно одну з координат. Наприклад, z=1, Тоді отримаємо систему двох рівнянь із двома невідомими:

Таким чином, ми знайшли точку, що лежить на прямій (2,0,1).

В якості напрямного вектора прямий візьмемо векторне твори векторів і , що є нормальними векторами т.к. , А значить паралельно шуканої прямої.

Таким чином, напрямний вектор прямої має проекції . Використовуючи рівняння прямої проходить через задану точку паралельно заданому вектору:

Отже шукане канонічне рівняння має вигляд:

Приклад 8:

Знайти координати точки перетину прямої та площині 2x+3y+3z-8=0

Рішення:

Запишемо задане рівняння прямої у параметричному вигляді.

х = 3t-2; y=-t+2; z=2t-1

кожній точці прямої відповідає єдине значення параметра t. Для знаходження параметра tвідповідного пункту перетину прямої і площини підставимо в рівняння площині вираз х, у, zчерез параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

тоді координати шуканої точки

шукана точка перетину має координати (1; 1; 1).

Приклад 9:

Знайти рівняння площини, що проходить через паралельні прямі.

Зробимо схематичне креслення (Рис 5.9)

Рис 5.9

Із заданих рівнянь прямих і визначаємо проекції напрямних векторів цих прямих. Знайдемо проекції вектора, що лежить у площині Р, а точки і беремо з канонічних рівнянь прямих М1(1,-1,2) та М2(0,1,-2).