Визначити довжину та напрямні косинуси перпендикуляра. Напрямні косинуси векторів

Нехай дано вектор. Одиничний вектор того ж напрямку, що й (орт вектора ) знаходиться за формулою:

.

Нехай вісь утворює з осями координат кути
.Напрямними косинусами осі називаються косинуси цих кутів:. Якщо напрямок поставлено одиничним вектором , то напрямні косинуси служать його координатами, тобто:

.

Напрямні косинуси пов'язані між собою співвідношенням:

Якщо напрямок задано довільним вектором , то знаходять орт цього вектора і, порівнюючи його з виразом для одиничного вектора , отримують:

Скалярний добуток

Скалярним твором
двох векторів і називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними:
.

Скалярний твір має такі властивості:

Отже,
.

Геометричний сенс скалярного твору: скалярний твір вектора на одиничний вектор одно проекції вектора на напрямок, що визначається , тобто.
.

З визначення скалярного твору випливає наступна таблиця множення ортів
:

.

Якщо вектори задані своїми координатами
і
, тобто.
,
, то, перемножуючи ці вектори скалярно та використовуючи таблицю множення ортів, отримаємо вираз скалярного твору
через координати векторів:

.

Векторний витвір

Векторний витвір векторана вектор називається вектор , Довжина та напрямок якого визначається умовами:

Векторний твір має такі властивості:

З перших трьох властивостей слід, що векторное множення суми векторів у сумі векторів підпорядковується звичайним правилам перемноження многочленов. Треба тільки стежити за тим, щоб порядок проходження множників не змінювався.

Основні орти перемножуються так:

Якщо
і
, з урахуванням властивостей векторного твору векторів, можна вивести правило обчислення координат векторного твору за координатами векторів-співмножників:

Якщо взяти до уваги отримані вище правила перемноження ортів, то:

Більш компактну форму запису висловлювання для обчислення координат векторного твору двох векторів можна побудувати, якщо ввести поняття визначника матриці.

Розглянемо окремий випадок, коли вектор і належать площині
, тобто. їх можна уявити як
і
.

Якщо координати векторів записати у вигляді таблиці так:
, можна сказати, що з них сформована квадратна матриця другого порядку, тобто. розміром
, що складається з двох рядків та двох стовпців. Кожній квадратній матриці ставиться у відповідність число, яке обчислюється з елементів матриці за певними правилами і називається визначником. Визначник матриці другого порядку дорівнює різниці творів елементів головної діагоналі та побічної діагоналі:

.

В такому випадку:

Абсолютна величина визначника, таким чином, дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах.

Якщо порівняти цей вираз із формулою векторного твору (4.7), то:

Цей вираз є формулою для обчислення визначника матриці третього порядку по першому рядку.

Таким чином:

Визначник матриці третього порядкуобчислюється так:

і є алгебраїчну суму шести доданків.

Формулу для обчислення визначника матриці третього порядку легко запам'ятати, якщо скористатися правиломСаррюса, яке формулюється наступним чином:

Кожне доданок є добутком трьох елементів, розташованих у різних стовпцях та різних рядках матриці;

Знак "плюс" мають добутки елементів, що утворюють трикутники зі стороною, паралельною головній діагоналі;

Знак “мінус” мають твори елементів, що належать до побічної діагоналі, і два твори елементів, що утворюють трикутники зі стороною, паралельної до побічної діагоналі.

Напрямні косінуси вектор.

Напрямні косинуси вектор a– це косинуси кутів, які вектор утворює із позитивними півосями координат.

Щоб знайти напрямні косинуси вектора необхідно відповідні координати вектора поділити на модуль вектора.

Властивість:Сума квадратів напрямних косінусів дорівнює одиниці.

Так у разі плоского завданнянапрямні косинуси вектора a = (ax; ay) знаходяться за формулами:

Приклад обчислення напрямних косінусів вектора:

Знайти напрямні косинуси вектора a = (3; 4).

Рішення: | =

Так у у разі просторового завданнянапрямні косинуси вектора a = (ax; ay; az) знаходяться за формулами:

Приклад обчислення напрямних косінусів вектора

Знайти напрямні косинуси вектора a = (2; 4; 4).

Рішення: | =

"Як знайти напрямні косинуси вектора"

Позначте через альфа, бета і гама кути, утворені вектором з позитивним напрямком координатних осей (див. рис.1). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора.

Оскільки координати а декартової прямокутної системі координат рівні проекціям вектора на координатні осі, то а1 = |a|cos(альфа), a2 = |a|cos(бета), a3 = |a|cos(гама). Звідси: cos(альфа)=a1||a|, cos(бета)=a2||a|, cos(гама)=a3/|a|. У цьому |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значить cos (альфа) = a1 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (бета) = a2 | a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Слід зазначити основну властивість напрямних косінусів. Сума квадратів напрямних косінусів вектора дорівнює одиниці. Справді, cos^2(альфа)+cos^2(бета)+cos^2(гама)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Перший спосіб

Приклад: дано: вектор а = (1, 3, 5). Знайти його напрямні косинуси. Рішення. Відповідно до знайденого випису: | а | = sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2 + az ^ 2) = sqrt (1 +9 +25) = sqrt (35) = 5,91. Таким чином, відповідь можна записати в наступній формі: (cos(альфа), cos(бета), cos(гама))=(1/sqrt(35), 3/sqrt (35), 5/(35))=( 0,16; 0,5; 0,84).

Другий спосіб

При знаходженні напрямних косінусів вектора а можна використовувати методику визначення косінусів кутів за допомогою скалярного твору. В даному випадку на увазі є кути між а та напрямними одиничними векторами прямокутних декартових координат i, j і k. Їхні координати (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), відповідно. Скалярний добуток векторів визначається так.

Якщо кут між векторами ф, то скалярний добуток двох вітрів (за визначенням) – це число, що дорівнює добутку модулів векторів на cosф. (a, b) = | a | | b | cos ф. Тоді, якщо b=i, то (a, i) = |a||i|cos(альфа), або a1 = |a|cos(альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1 з урахуванням координат j і k.

це косинуси кутів, які вектор утворює із позитивними півосями координат. Напрямні косинуси однозначно задають напрямок вектора. Якщо вектор має довжину 1, його напрямні косинуси рівні його координатам. У випадку для вектора з координатами ( a; b; c) напрямні косинуси рівні:

де a, b, g – кути, що складаються вектором з осями x, y, zвідповідно.

21) Розкладання вектора по ортам. Орт координатної осі позначається через , осі через , осі через (рис. 1).

Для будь-якого вектора, що лежить у площині, має місце наступне розкладання:

Якщо вектор розташований у просторі, то розкладання по ортам координатних осей має вигляд:

22)Скалярним творомдвох ненульових векторів і називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

23) Кут між двома векторами

Якщо кут між двома векторами гострий, їх скалярне твір позитивно; якщо кут між векторами тупий, то скалярне твір цих векторів є негативним. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, і тоді, коли ці вектори ортогональні.

24) Умова паралельності та перпендикулярності двох векторів.

Умови перпендикулярності векторів
Вектори є перпендикулярними тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю. Дано два вектори a(xa;ya) та b(xb;yb). Ці вектори будуть перпендикулярні, якщо вираз xaxb+yayb=0.

25) Векторні твір двох векторів.

Векторним твором двох неколлінеарних векторів називається такий вектор c=a×b, який відповідає наступним умовам: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Вектори a, b, з утворюють праву трійку векторів.

26) Колінеарні та компланарні вектори.

Вектори колінеарні, якщо абсцис першого вектора відноситься до абсцис другого так само, як ордината першого - до ординати другого. Дані два вектори a (xa;ya) та b (xb;yb). Ці вектори колінеарні, якщо x a = x bі y a = y b, де R.

Вектори −→ a,−→bта −→ cназиваються компланарнимиякщо існує площина, якою вони паралельні.

27) Змішане твір трьох векторів. Змішаний твір векторів- скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів b і c. Знайти змішаний добуток векторів a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Рішення:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Відстань між двома точками на площині. Відстань між двома даними точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць однойменних координат цих точок.

29) Поділ відрізка у цьому відношенні. Якщо точка М(x; y) лежить на прямій, що проходить через дві дані точки ( , ) і ( ) і дано відношення , в якому точка М ділить відрізок , то координати точки М визначаються за формулами

Якщо точка М є серединою відрізка, то її координати визначаються за формулами

30-31. Кутовим коефіцієнтом прямоїназивається тангенс кута нахилу цієї прямої. Кутовий коефіцієнт прямої зазвичай позначають буквою k. Тоді за визначенням

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтоммає вигляд , де k- кутовий коефіцієнт прямий, b- Деяке дійсне число. Рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом можна задати будь-яку пряму, не паралельну осі Ой(Для прямої паралельно осі ординат кутовий коефіцієнт не визначений).

33. Загальне рівняння прямої на площині. Рівняння виду є загальне рівняння прямої Oxy. Залежно від значень постійних А, В і С можливі такі окремі випадки:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – пряма проходить через початок координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0) - пряма паралельна осі Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 (Ax + C = 0) – пряма паралельна осі Оу

В = С = 0, А ≠0 - пряма збігається з віссю Оу

А = С = 0, В ≠0 - пряма збігається з віссю Ох

34.Рівняння прямої у відрізкахна площині у прямокутній системі координат Oxyмає вигляд , де aі b- Деякі відмінні від нуля дійсні числа. Ця назва не випадкова, оскільки абсолютні величини чисел аі bрівні довжинам відрізків, які пряма відсікає на координатних осях Oxі Ойвідповідно (відрізки відраховуються від початку координат). Таким чином, рівняння прямої у відрізках дозволяє легко будувати цю пряму на кресленні. Для цього слід зазначити в прямокутній системі координат на площині точки з координатами і , і за допомогою лінійки з'єднати їх прямою лінією.

35.Нормальне рівняння прямої має вигляд

де - Відстань від прямої до початку координат;  – кут між нормаллю до прямої та віссю.

Нормальне рівняння можна отримати із загального рівняння (1), помноживши його на нормуючий множник , знак протилежний знаку , щоб .

Косинуси кутів між прямою та осями координат називають напрямними косинусами,  – кут між прямою та віссю ,  – між прямою та віссю :

тим самим, нормальне рівняння можна записати як

Відстань від точки до прямоївизначається за формулою

36. Відстань між точкою та прямою обчислюється за такою формулою:

де x 0 та y 0 координати точки, а A, B та С коефіцієнти із загального рівняння прямої

37. Приведення загального рівняння до нормального. Рівняння і площину в даному контексті не відрізняються один від одного чимось, крім кількості доданків в рівняннях та розмірності простору. Тому спочатку скажу все про площину, а наприкінці зроблю застереження щодо прямої.
Нехай дано загальне рівняння площини: Ax+By+Cz+D=0.
;. отримуємо систему: g; Mc = cosb, MB = cosa Приведемо його до нормального вигляду. Для цього помножимо обидві частини рівняння на нормуючий множник М. Отримуємо: Мах+Мву+МСz+MD=0. При цьому МА = cos;. g; Mc = cosb, MB = cosa отримуємо систему:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Склавши всі рівняння системи, отримуємо М * (А2 + В2 + С2) = 1 Тепер залишається тільки висловити звідси М, щоб знати, на який нормуючий множник треба помножити вихідне загальне рівняння для приведення його до нормального вигляду:
M=-+1/КОРІНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD повинен бути завжди меншим за нуль, отже знак числа М береться протилежний знаку числа D.
З рівнянням прямої все те саме, тільки з формули для М слід просто прибрати доданок С2.

38.Загальним рівнянням площини у просторі називається рівняння виду

де A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

У тривимірному просторі в декартовій системі координат будь-яка площина описується рівнянням 1-го ступеня (лінійним рівнянням). І навпаки, будь-яке лінійне рівняння визначає площину.

40.Рівняння площини у відрізках.У прямокутній системі координат Oxyzу тривимірному просторі рівняння виду , де a, bі c– відмінні від нуля дійсні числа, називається рівнянням площини у відрізках. Абсолютні величини чисел a, bі cрівні довжинам відрізків, які відсікає площину на координатних осях Ox, Ойі Ozвідповідно, рахуючи від початку координат. Знак чисел a, bі cпоказує, у якому напрямку (позитивному чи негативному) відкладаються відрізки на координатних осях

41) Нормальне рівняння площини.

Нормальним рівнянням площини називається її рівняння, написане як

де , , - напрямні косинуси нормали площини,

p - відстань від початку координат до площини. При обчисленні напрямних косінусів нормалі слід вважати, що вона спрямована від початку координат до площини (якщо площина проходить через початок координат, то вибір позитивного напрямку нормалі байдужий).

42) Відстань від точки до площини.Нехай площина задана рівнянням і дана точка. Тоді відстань від точки до площини визначається за формулою

Доведення. Відстань від точки до площини - це, за визначенням, довжина перпендикуляра, опущеного з точки на площину

Кут між площинами

Нехай площині і задані відповідно до рівнянь і . Потрібно знайти кут між цими площинами.

Площини, перетинаючи, утворюють чотири двогранні кути: два тупі і два гострі або чотири прямі, причому обидва тупі кути рівні між собою, і обидва гострі теж рівні між собою. Ми завжди шукатимемо гострий кут. Для визначення його величини візьмемо точку на лінії перетину площин і в цій точці в кожній

площин проведемо перпендикуляри та до лінії перетину.

Властивість:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

б) визначення лінійних операцій

сумою двох неколлінеарних векторів і називається вектор, що йде із загального початку векторів по діагоналі паралелограма, побудованого на цих векторах

Різницею векторів і називається сума вектора та вектора, протилежного вектору: . З'єднаємо початку векторів і тоді вектор направлений з кінця вектора в кінець вектора .

Твором вектора на число називається вектор з модулем, причому при і при. Геометрично множення на число означає "розтяг" вектора в раз зі збереженням напрямку при і зміною на протилежне при .

З наведених вище правил складання векторів та множення їх на число випливають очевидні твердження:

1. (Додаток комутативно);

2. (Складання асоціативно);

3. (Існування нульового вектора);

4. (Існування протилежного вектора);

5. (Складання асоціативно);

6. (множення на число дистрибутивно);

7. (Складання векторів дистрибутивно);

в) скалярний твір та його основні властивості

Скалярним творомдвох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із двох векторів нульовий, то кут між ними не визначений, а скалярний твір вважається рівним нулю. Скалярний добуток векторів і позначається

, де - довжини векторів і відповідно, а - кут між векторами і .

Скалярне твір вектора себе називається скалярним квадратам.

Властивості скалярного твору.

Для будь-яких векторів і справедливі такі властивості скалярного твору:

властивість комутативності скалярного твору;

властивість дистрибутивності або ;

сполучна властивість або , де - довільне дійсне число;

скалярний квадрат вектора завжди не негативний, причому тоді і тільки тоді, коли вектор нульовий.

Г) векторний твір та його властивості

векторним творомвектор a на вектор b називається вектор c, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах a і b, перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, щоб найменше обертання від a до b навколо вектора c здійснювалося проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора c

Формули обчислення векторного твору векторів

Векторний витвірдвох векторів a = (a x ; a y ; a z ) і b = (b x ; b y ; b z ) в декартовій системі координат - це вектор, значення якого можна обчислити, використовуючи наступні формули:

• Векторні твори двох не нульових векторів a і b дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори колінеарні.
• Вектор c, рівний векторному добутку не нульових векторів a і b, перпендикулярний до цих векторів.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Рівняння прямої на площині

А) рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Кутовим коефіцієнтом прямоїназивається тангенс кута нахилу цієї прямої.

Кутовий коефіцієнт прямої зазвичай позначають буквою k. Тоді за визначенням.

Якщо пряма паралельна осі ординат, то кутовий коефіцієнт не існує (у цьому випадку також кажуть, що кутовий коефіцієнт перетворюється на нескінченність).

Позитивний кутовий коефіцієнт прямої вказує на зростання її графіка функції, негативний кутовий коефіцієнт - спадання. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом має вигляд формула y=kx+b де k - кутовий коефіцієнт прямий, b - деяке дійсне число. Рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом можна задати будь-яку пряму, не паралельну до осі Oy (для прямої паралельно осі ординат кутовий коефіцієнт не визначений).

Б) види рівнянь прямої

Рівняння називається загальним рівнянням прямоїна площині.

Будь-яке рівняння першого ступеня з двома змінними xі yвиду , де А, Ві З- Деякі дійсні числа, причому Аі Водночасно не рівні нулю, задає пряму лінію у прямокутній системі координат Oxyна площині, і будь-яка пряма на площині задається рівнянням виду .

Рівняння прямого виду , де aі b- Деякі дійсні числа відмінні від нуля, називається рівнянням прямої у відрізках. Ця назва не випадкова, оскільки абсолютні величини чисел аі bрівні довжинам відрізків, які пряма відсікає на координатних осях Oxі Ойвідповідно (відрізки відраховуються від початку координат).

Рівняння прямого виду , де xі y- Змінні, а kі b- Деякі дійсні числа, називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом (k- Кутовий коефіцієнт)

Канонічне рівняння прямої на площиніу прямокутній декартовій системі координат Oxyмає вид , Де і - деякі дійсні числа, причому і одночасно не дорівнюють нулю.

Очевидно, що пряма лінія, яка визначається канонічним рівнянням прямої, проходить через точку . У свою чергу числа і , що стоять у знаменниках дробів, є координатами напрямного вектора цієї прямої. Таким чином, канонічне рівняння прямої у прямокутній системі координат Oxyна площині відповідає прямий, що проходить через точку та має напрямний вектор .

Параметричні рівняння прямої на площинімають вигляд , де - деякі дійсні числа, причому і одночасно не рівні нулю, а - параметр, що приймає будь-які дійсні значення.

Параметричні рівняння прямої встановлюють неявну залежність між абсцисами та ординатами точок прямої лінії за допомогою параметра (звідси і назва цього виду рівнянь прямої).

Пара чисел , які обчислюються за параметричними рівняннями прямої при деякому дійсному значенні параметра , є координати деякої точки прямої. Наприклад, маємо , Тобто точка з координатами лежить на прямій.

Слід зазначити, що коефіцієнти при параметрі в параметричних рівняннях прямої є координатами напрямного вектора цієї прямої

Рівняння прямої, що проходить через дві точки

Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) і M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо якийсь із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. На площині записане вище рівняння прямої спрощується

якщо х 1 ≠ х 2 і х = х 1 якщо х 1 = х 2 .

Дроб = k називається кутовим коефіцієнтомпрямий.

В) обчислення кута між двома прямими

якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Г) умови паралельності та перпендикулярності двох прямих

Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 .

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1.

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Межа функції

а) межа послідовності

Поняття межі використовувалося ще Ньютоном у другій половині XVII століття та математиками XVIII століття, такими як Ейлер та Лагранж, проте вони розуміли межу інтуїтивно. Перші суворі визначення межі послідовності дали Больцано у 1816 році та Коші у 1821 році.

Число називається межею числової послідовностіякщо послідовність є нескінченно малою, тобто всі її елементи, починаючи з деякого, за модулем менше будь-якого заздалегідь взятого позитивного числа.

У разі, якщо у числової послідовності існує межа у вигляді речовинного числа, її називають схожій до цього числа. В іншому випадку, послідовність називають розходиться . Якщо ще й вона необмежена, її межа вважають рівним нескінченності.

Крім того, якщо всі елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають позитивний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює плюс нескінченності .

Якщо ж елементи необмеженої послідовності, починаючи з деякого номера, мають негативний знак, то кажуть, що межа такої послідовності дорівнює мінус нескінченності .

Б) межа функції

Межа функції (граничне значення функції) у заданій точці, граничної області визначення функції, - така величина, якої прагне значення аналізованої функції при прагненні її аргументу до цієї точки.

Межа функціїє узагальненням поняття межі послідовності: спочатку під межею функції у точці розуміли межу послідовності елементів області значень функції, складеної з образів точок послідовності елементів області визначення функції, що сходить до заданої точки (межа якої розглядається); якщо така межа існує, то кажуть, що функція сходить до зазначеного значення; якщо такої межі немає, то кажуть, що функція розходиться.

Межа функції- одне з основних понять математичного аналізу. Значення називається межею (граничним значенням) функції в точці , якщо для будь-якої послідовності точок , що сходить до , але не містить в якості одного зі своїх елементів (тобто в проколоті околиці ), послідовність значень функції сходить до .

Значення називається межею (граничним значенням) функції в точці , якщо для будь-якого наперед взятого позитивного числа знайдеться позитивне число, що відповідає йому таке, що для всіх аргументів , що задовольняють умові , виконується нерівність .

В) дві чудові межі

· Перша чудова межа:

Наслідки

·

·

·

· Друга чудова межа:

Наслідки

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

Г) нескінченно малі та нескінченно великі функції

Функція y=f(x)називається нескінченно малоїпри x→aабо при x→∞, якщо або , тобто. нескінченно мала функція – це функція, межа якої у цій точці дорівнює нулю.

якщо функція y=f(x)представима при x→aу вигляді суми постійного числа bта нескінченно малої величини α(x): f(x)=b+ α(x)то.

Назад, якщо , то f(x)=b+α(x), де a(x)- нескінченно мала при x→a.

Наслідок 1.Якщо і, то.

Наслідок 2.Якщо і c= const, то .

Якщо функція f(x)є нескінченно великий при x→a, то функція 1 /f(x)є нескінченно малою при x→a.

Якщо функція f(x)- нескінченно мала при x→a(або x→∞)і не звертається в нуль, то y= 1/f(x)є нескінченно великою функцією. найпростіші властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій можна записати за допомогою наступних умовних співвідношень: A≠ 0

Д) розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя

основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль ( 0 на 0), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль у ступені нуль , нескінченність у ступені нуль .

Правило Лопіталядуже широко застосовується для обчислення межколи має місце невизначеність виду нуль ділити на нуль, нескінченність ділити на нескінченність.

До цих видів невизначеностей зводяться невизначеності нуль помножити на нескінченність і нескінченність мінус нескінченність

Якщо , і якщо функції f(x)і g(x)– диференційовані на околиці точки , то

У разі коли невизначеність не зникає після застосування правила Лопіталя, то його можна застосовувати знову.

Обчислення похідних

А) правило диференціювання складної функції

Нехай є складною функцією де функція – проміжний аргумент. Покажемо, як знайти похідну складної функції, знаючи похідну функції (її позначатимемо через ) і похідну функції .

Теорема 1. Якщо функція має похідну у точці xа функція має похідну в точці (), то складна функція в точці xмає похідну, причому =.

Інакше, похідна складної функції дорівнює добутку похідної цієї функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу.

Б) диференціювання функції, заданої параметрично

Нехай функція задана у параметричній формі, тобто у вигляді:

де функції та визначені та безперервні на деякому інтервалі зміни параметра. Знайдемо диференціали від правих та лівих частин кожної з рівностей:

Для знаходження другої похідної виконаємо наступні перетворення:

В) поняття логарифмічної похідної функції

Логарифмічної похідної позитивної функції називається похідна. Оскільки , то за правилом диференціювання складної функції отримаємо таке співвідношення для логарифмічної похідної:

.

За допомогою логарифмічної похідної зручно обчислювати звичайну похідну у тих випадках, коли логарифмування спрощує вигляд функції.

Суть такого диференціювання полягає в наступному: спочатку знаходиться логарифм заданої функції, а потім обчислюється від нього похідна. Нехай задана певна функція. Прологарифмуємо ліву та праву частини даного виразу:

А тоді, висловлюючи похідну , в результаті маємо:

Г) похідна зворотної функції

Якщо y=f(x) і x=g(y) - пара взаємно зворотних функцій, і функція y=f(x) має похідну f"(x), то похідна зворотної функції g"(x)=1/f" (x).

Таким чином, похідні взаємно зворотних функцій – зворотні величини. Формула для похідної зворотної функції:

Д) похідна неявної функції

Якщо функція однієї змінної описується рівнянням y=f(x), де змінна yзнаходиться в лівій частині, а права частина залежить лише від аргументу x, то кажуть, що функція задана у явному вигляді. Наприклад, такі функції задані явно:

y=sin x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.

Багато завдань, однак, функція може бути задана неявним чином, тобто. у вигляді рівняння

F(x,y)=0.

для знаходження похідної y′( x) неявно заданої функції немає необхідності перетворювати її на явну форму. Для цього, знаючи рівняння F(x,y)=0, достатньо виконати такі дії:

Спочатку необхідно продиференціювати обидві частини рівняння по змінній x, припускаючи, що y− це функція, що диференціюється xта використовуючи правило обчислення похідної від складної функції. При цьому похідна нуля (у правій частині) також дорівнюватиме нулю.
Зауваження: Якщо права частина відмінна від нуля, тобто неявне рівняння має вигляд

f(x,y)=g(x,y),

то диференціюємо ліву та праву частини рівняння.

Вирішити отримане рівняння щодо похідної y′( x).

Поняття похідної

А) визначення похідної

Похідна функції диференціюванням інтегруванням.

y xx

Визначення похідної

Розглянемо функцію f(x x 0. Тоді функція f(x) є диференційованау точці x 0, та її похіднавизначається формулою

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Похідна функції− одне з основних понять математики, а в математичному аналізі похідна поряд з інтегралом посідає центральне місце. Процес знаходження похідної називається диференціюванням. Зворотня операція – відновлення функції за відомою похідною – називається інтегруванням.

Похідна функції у певній точці характеризує швидкість зміни функції у цій точці. Оцінку швидкості зміни можна отримати, обчисливши відношення зміни функції Δ yдо відповідної зміни аргументу Δ x. У визначенні похідної таке відношення розглядається у межі за умови Δ x→0. Перейдемо до більш строгого формулювання:

Визначення похідної

Розглянемо функцію f(x), область визначення якої містить деякий відкритий інтервал навколо точки x 0. Тоді функція f(x) є диференційованау точці x 0, та її похіднавизначається формулою

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Б) геометричний сенс похідної

Похідна функції, обчислена при заданому значенні, дорівнює тангенсу кута, утвореного позитивним напрямом осі та позитивним напрямом дотичної, проведеної до графіка цієї функції в точці з абсцисою:

Якщо функція має кінцеву похідну в точці, то в околиці її можна наблизити лінійною функцією

Функція називається дотичною до точки Число.

Г) таблиця похідних найпростіших елементарних функцій

Опр. 1.5.6. Напрямними косинусамивектора а назвемо косинуси тих кутів, які цей вектор утворює з базисними векторами, відповідно, i , j , k .

Напрямні косинуси вектора а = (х, у, z) знаходяться за формулами:

Сума квадратів напрямних косінусів дорівнює одиниці:

Напрямні косинуси вектора a є координатами його орта: .

Нехай базисні орти i , j , k відкладені із загальної точки Про. Вважатимемо, що орти задають позитивні напрямки осей Ох, Оу, Oz. Сукупність точки Про (початку координат) та ортонормованого базису i , j , k називається декартовою прямокутною системою координат у просторі. Нехай А- Довільна точка простору. Вектор а = ОА= x i + y j + z k називається радіусом-векторомточки А, координати цього вектора ( x, y, z) називаються також координатами точки А(позначення: А(x, y, z)). Осі координат Ох, Оу, Ozназивають також відповідно віссю абсцис, віссю ординат, віссю аплікат.

Якщо вектор заданий координатами своєї початкової точки В 1 (x 1 , y 1 , z 1) і кінцевої точки В 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координати вектора рівні різниці координат кінця і початку: (оскільки ).

Декартові прямокутні системи координат на площині та на прямійвизначаються абсолютно аналогічно з відповідними кількісними (відповідно до розмірності) змінами.

Вирішення типових завдань.

приклад 1.Знайти довжину та напрямні косинуси вектора а = 6i – 2j -3k .

Рішення.Довжина вектора: . Напрямні косинуси: .

приклад 2.Знайти координати вектора а , що утворює з координатними осями рівні гострі кути, якщо довжина цього вектора дорівнює .

Рішення.Оскільки , то підставляючи формулу (1.6), отримаємо . Вектор а утворює з координатними осями гострі кути, тому орт . Отже, знаходимо координати вектора .

Приклад 3.Задано три некомпланарні вектори e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Розкласти вектор d = i + 5j - 2k по базису e 1 , e 2 , e 3 .