Miesto dotyčnice. Tangenta

\[(\Veľký(\text(stredný a vpísaný uhol)))\]

Definície

Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol leží v strede kruhu.

Vpísaný uhol je uhol, ktorého vrchol leží na kružnici.

Miera stupňa oblúka kruhu je miera stupňa stredového uhla, ktorý na ňom spočíva.

Veta

Veľkosť vpísaného uhla je polovicou veľkosti oblúka, ktorý pretína.

Dôkaz

Dôkaz vykonáme v dvoch etapách: najprv preukážeme platnosť tvrdenia pre prípad, keď jedna zo strán vpísaného uhla obsahuje priemer. Nech bod \(B\) je vrcholom vpísaného uhla \(ABC\) a \(BC\) je priemer kružnice:

Trojuholník \(AOB\) je rovnoramenný, \(AO = OB\) , \(\uhol AOC\) je vonkajší, potom \(\uhol AOC = \uhol OAB + \uhol ABO = 2\uhol ABC\), kde \(\uhol ABC = 0,5\cdot\uhol AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Teraz zvážte ľubovoľný vpísaný uhol \(ABC\) . Nakreslite priemer kruhu \(BD\) z vrcholu vpísaného uhla. Možné sú dva prípady:

1) priemer rozreže uhol na dva uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\) (pre každý z nich platí veta, ako je dokázané vyššie, teda platí aj pre pôvodný uhol, ktorý je súčtom týchto dva, a preto sa rovná polovici súčtu oblúkov, o ktoré sa opierajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, o ktorý sa opiera). Ryža. jeden.

2) priemer nezrezal uhol do dvoch uhlov, potom máme ďalšie dva nové vpísané uhly \(\uhol ABD, \uhol CBD\) , ktorých strana obsahuje priemer, preto pre nich platí veta, potom to platí aj pre pôvodný uhol (ktorý sa rovná rozdielu týchto dvoch uhlov, čo znamená, že sa rovná polovičnému rozdielu oblúkov, na ktorých spočívajú, to znamená, že sa rovná polovici oblúka, na ktorom odpočíva). Ryža. 2.

Dôsledky

1. Vpísané uhly založené na rovnakom oblúku sú rovnaké.

2. Vpísaný uhol založený na polkruhu je pravý uhol.

3. Vpísaný uhol sa rovná polovici stredového uhla založeného na rovnakom oblúku.

\[(\Veľký(\text(Tečná ku kruhu)))\]

Definície

Existujú tri typy vzájomného usporiadania čiary a kruhu:

1) priamka \(a\) pretína kružnicu v dvoch bodoch. Takáto čiara sa nazýva sečna. V tomto prípade je vzdialenosť \(d\) od stredu kruhu k priamke menšia ako polomer \(R\) kruhu (obr. 3).

2) priamka \(b\) pretína kružnicu v jednom bode. Takáto priamka sa nazýva dotyčnica a ich spoločný bod \(B\) sa nazýva dotykový bod. V tomto prípade \(d=R\) (obr. 4).

Veta

1. Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku.

2. Ak priamka prechádza koncom polomeru kružnice a je kolmá na tento polomer, potom je dotyčnicou kružnice.

Dôsledok

Segmenty dotyčníc nakreslené z jedného bodu ku kružnici sú rovnaké.

Dôkaz

Nakreslite dve dotyčnice \(KA\) a \(KB\) ku kružnici z bodu \(K\):

Takže \(OA\perp KA, OB\perp KB\) ako polomery. Pravouhlé trojuholníky \(\trojuholník KAO\) a \(\trojuholník KBO\) sú rovnaké v ramene a prepone, teda \(KA=KB\) .

Dôsledok

Stred kružnice \(O\) leží na osi uhla \(AKB\) tvoreného dvoma dotyčnicami vedenými z rovnakého bodu \(K\) .

\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa uhlov)))\]

Veta o uhle medzi sekansami

Uhol medzi dvoma sečnami nakreslenými z toho istého bodu sa rovná polovičnému rozdielu mier väčšieho a menšieho oblúka, ktorý vyrežú.

Dôkaz

Nech \(M\) je bod, z ktorého sú nakreslené dva sečny, ako je znázornené na obrázku:

Ukážme to \(\uhol DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\uhol DAB\) je potom vonkajší roh trojuholníka \(MAD\) \(\uhol DAB = \uhol DMB + \uhol MDA\), kde \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA\), ale uhly \(\uhol DAB\) a \(\uhol MDA\) sú vpísané, potom \(\uhol DMB = \uhol DAB - \uhol MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), čo sa malo dokázať.

Uhlová veta medzi pretínajúcimi sa tetivami

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa tetivami sa rovná polovici súčtu mier stupňov oblúkov, ktoré vyrežú: \[\uhol CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dôkaz

\(\uhol BMA = \uhol CMD\) ako vertikálny.

Z trojuholníka \(AMD\) : \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol BDA - \uhol CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ale \(\uhol AMD = 180^\circ - \uhol CMD\), z čoho sme dospeli k záveru, že \[\uhol CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ úsmev\over(CD)).\]

Veta o uhle medzi tetivou a dotyčnicou

Uhol medzi dotyčnicou a tetivou prechádzajúcou bodom dotyčnice sa rovná polovici miery oblúka odčítanej tetivou.

Dôkaz

Nech sa priamka \(a\) dotýka kruhu v bode \(A\) , \(AB\) je tetiva tejto kružnice, \(O\) je jej stred. Nech priamka obsahujúca \(OB\) pretína \(a\) v bode \(M\) . Dokážme to \(\uhol BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Označte \(\uhol OAB = \alpha\) . Pretože \(OA\) a \(OB\) sú polomery, potom \(OA = OB\) a \(\uhol OBA = \uhol OAB = \alpha\). teda \(\buildrel\smile\over(AB) = \uhol AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Pretože \(OA\) je polomer nakreslený k bodu dotyčnice, potom \(OA\perp a\) , t.j. \(\uhol OAM = 90^\circ\) , preto, \(\uhol BAM = 90^\circ - \uhol OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Veta o oblúkoch stiahnutých rovnakými akordmi

Rovnaké akordy tvoria rovnaké oblúky, menšie polkruhy.

A naopak: rovnaké oblúky sú stiahnuté rovnakými akordmi.

Dôkaz

1) Nech \(AB=CD\) . Dokážme, že menšie polkruhy oblúka .

Na troch stranách teda \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Ale odvtedy \(\uhol AOB, \uhol COD\) - stredové uhly založené na oblúkoch \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) respektíve potom \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Ak \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), potom \(\trojuholník AOB=\trojuholník COD\) pozdĺž dvoch strán \(AO=BO=CO=DO\) a uhol medzi nimi \(\uhol AOB=\uhol COD\) . Preto \(AB=CD\) .

Veta

Ak polomer pretína tetivu, potom je na ňu kolmý.

Platí to aj naopak: ak je polomer kolmý na tetivu, potom ho priesečník pretína.

Dôkaz

1) Nech \(AN=NB\) . Dokážme, že \(OQ\perp AB\) .

Uvažujme \(\trojuholník AOB\) : je rovnoramenný, pretože \(OA=OB\) – polomery kruhu. Pretože \(ON\) je medián nakreslený k základni, potom je to aj výška, teda \(ON\perp AB\) .

2) Nech \(OQ\perp AB\) . Dokážme, že \(AN=NB\) .

Podobne \(\trojuholník AOB\) je rovnoramenný, \(ON\) je výška, takže \(ON\) je stred. Preto \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Vety týkajúce sa dĺžok segmentov)))\]

Veta o súčine segmentov akordov

Ak sa pretínajú dva akordy kruhu, potom sa súčin segmentov jedného akordu rovná súčinu segmentov druhého akordu.

Dôkaz

Nech sa akordy \(AB\) a \(CD\) pretnú v bode \(E\) .

Uvažujme trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) . V týchto trojuholníkoch sú uhly \(1\) a \(2\) rovnaké, pretože sú vpísané a spoliehajú sa na rovnaký oblúk \(BD\) a uhly \(3\) a \(4\) sú rovnaké ako vertikálne. Trojuholníky \(ADE\) a \(CBE\) sú podobné (podľa prvého kritéria podobnosti trojuholníkov).

Potom \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), odkiaľ \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teoréma tangenty a sekansu

Druhá mocnina dotyčnicového segmentu sa rovná súčinu sečny a jej vonkajšej časti.

Dôkaz

Nechajte dotyčnicu prechádzať cez bod \(M\) a dotknite sa kružnice v bode \(A\) . Nechajte sečnicu prechádzať bodom \(M\) a pretínajte kružnicu v bodoch \(B\) a \(C\) tak, aby \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Uvažujme trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) : \(\uhol M\) je všeobecný, \(\uhol BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Podľa vety o uhle medzi dotyčnicou a sečnicou, \(\uhol BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \uhol BCA\). Trojuholníky \(MBA\) a \(MCA\) sú teda podobné v dvoch uhloch.

Z podobnosti trojuholníkov \(MBA\) a \(MCA\) máme: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), čo je ekvivalent \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Dôsledok

Súčin sečnice vytiahnutej z bodu \(O\) a jej vonkajšej časti nezávisí od výberu sečnice vytiahnutej z bodu \(O\) .

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivátu s grafickým zápisom. Rovnicu dotyčnice budeme uvažovať na príkladoch, nájdeme rovnice dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Uhol sklonu priamky y \u003d k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y \u003d k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer ox označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y \u003d k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Sklon sa rovná sklonu priamky, inými slovami k = t g α .

• Sklon priamky je 0 iba vtedy, keď o x je rovnobežné a sklon sa rovná nule, pretože dotyčnica nuly je 0. Takže tvar rovnice bude y = b.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom sú podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafe je nárast.
• Ak α \u003d π 2, potom je umiestnenie čiary kolmé na x. Rovnosť je určená rovnosťou x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sečna je priamka, ktorá prechádza 2 bodmi funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priamka, ktorá prechádza cez ľubovoľné dva body na grafe danej funkcie.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Keď sa sklon priamky rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu pravouhlého trojuholníka A B C možno nájsť vo vzťahu k protiľahlej vetve k susednej vetve.

Definícia 4

Získame vzorec na nájdenie sekansu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A , x B a f (x A), f (x B) sú funkcie hodnôt v týchto bodoch.

Je zrejmé, že sklon sečnice je definovaný pomocou rovnosti k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, pričom rovnicu treba zapísať ako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) resp.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Secant vizuálne rozdeľuje graf na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sekty, ktoré sa považujú za rovnaké, to znamená, že sú nastaviť pomocou podobnej rovnice.

Podľa definície je jasné, že čiara a jej sečna sa v tomto prípade zhodujú.

Sečna môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y \u003d 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidom nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) sa nazýva priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0) s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0 .

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je možné vidieť, že priamka daná funkciou y = x + 1 sa považuje za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1 ; 2) . Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je vyznačená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica, červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y \u003d 2 x sa zlúči s čiarou y \u003d x + 1.

Na určenie dotyčnice zvážte správanie dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A. Kvôli prehľadnosti uvádzame obrázok.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode A je limitná poloha sečnice A B v B smerujúcej k A, teda B → A.

Teraz prejdeme k úvahe o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k uvažovaniu sečnice A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) a ∆ x je označené ako prírastok argumentu . Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť si uveďme obrázok ako príklad.

Uvažujme výsledný pravouhlý trojuholník A B C. Na riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame pomer ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa derivačného pravidla v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0, potom označujeme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplýva, že f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že dostaneme, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a rovnako ako dotyčnica k danému grafu funkcie v bode dotyku rovná x 0 , f 0 (x 0), kde hodnota sklonu dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f "(x 0) .

Geometrický význam derivácie funkcie v bode je, že je daný pojem existencie dotyčnice ku grafu v tom istom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky v rovine je potrebné mať sklon s bodom, ktorým prechádza. Jeho označenie sa berie ako x 0 na križovatke.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Znamená to, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určiť polohu dotyčnice, teda vertikálne za podmienky lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ alebo neprítomnosť vôbec za podmienky lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej sklonu k x \u003d f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme, že k k \u003d 0, keď je rovnobežná s oy - k x \u003d ∞, a tvar rovnice dotyčnice x \u003d x 0 rastie s k x > 0 , klesá ako k x< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) s definíciou uhla sklon.

rozhodnutie

Predpokladom je, že funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Dostaneme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1 ; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou -1. Chápeme to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f ’ (x) v bode dotyku je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá pre pôvodný funkčný graf, modrá farba je dotyčnicový obrázok, červená bodka je dotykový bod. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Zistite existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

rozhodnutie

Predpokladom je, že definičným oborom danej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1 , potom f ' (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existenciu vertikálnej dotyčnice pri bod (1 ; 1) .

odpoveď: rovnica bude mať tvar x \u003d 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to nakreslíme do grafu.

Príklad 4

Nájdite body funkčného grafu y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kde

1. Tangenta neexistuje;
2. Dotyčnica je rovnobežná s x;
3. Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4 .

rozhodnutie

Je potrebné venovať pozornosť oblasti definície. Predpokladom je, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozbaľte modul a vyriešte sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; +∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; +∞)

Funkciu treba odlíšiť. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; +∞)

Keď x = - 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity nie sú v tomto bode rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x \u003d - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, teda dotyčnica na bod (- 2; - 2) nebude existovať.
2. Tangenta je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takéhoto x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. Teda hodnoty ​​\u200b\u200bof '(x) a budú to dotykové body, kde dotyčnica je rovnobežná s x .

Keď x ∈ - ∞ ; - 2, potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítame zodpovedajúce hodnoty funkcie

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 r 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Preto - 5; 85,-4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Zvážte grafické znázornenie riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

1. Keď sú čiary rovnobežné, sklony sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body grafu funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5 . Aby ste to urobili, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) = 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ak x ∈ ( - 2; + ∞), potom 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 85.

Prvá rovnica nemá korene, pretože diskriminant je menší ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, kde dotyčnice sú rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4 .

odpoveď:čierna čiara - graf funkcie, červená čiara - graf y \u003d 8 5 x + 4, modrá čiara - dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pre dané funkcie je možné mať nekonečný počet dotyčníc.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , ktoré sú kolmé na priamku y = - 2 x + 1 2 .

rozhodnutie

Pre zostavenie dotyčnicovej rovnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice dotyčnicového bodu na základe podmienky kolmosti priamok. Definícia znie takto: súčin svahov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že je napísaný ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že sklon je kolmý na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Teraz musíme nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x, po ktorom je jeho hodnota pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x \u003d y "(x 0) . Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre dotykové body.

Chápeme to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ x sin 3 π 4 = - 19

Táto trigonometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc bodov dotyku.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

Našlo sa x styčných bodov. Teraz musíte prejsť na vyhľadávanie hodnôt y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Odtiaľto dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že umiestnenie funkcie je na intervale [-10; 10 ] , kde čierna čiara je graf funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú kolmé na danú čiaru tvaru y = - 2 x + 1 2 . Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Ak chcete nastaviť kruh so stredom v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a polomer R sa používa vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R2.

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kruhu v bode x 0 ; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, mali by ste nájsť rovnicu funkčného grafu tvaru y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y \u003d - R 2 - x - x c e r 2 y c e n t e r v určenom bode.

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s y, potom dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď je elipsa vycentrovaná v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b , potom ho možno zadať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsu a kružnicu možno označiť kombináciou dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polelipsy. Potom to dostaneme

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Kvôli prehľadnosti zvážte obrázok nižšie.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2.

rozhodnutie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Urobíme substitúciu do existujúcej rovnice elipsy a získame ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polelipse.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zrejmé, že horná polelipsa je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a dolná y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Použijeme štandardný algoritmus, aby sme sformulovali rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode. Píšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2 ; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dostaneme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 sa stáva

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené takto:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - α; y c e n t e r , je daná nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b je potom dané nerovnicou x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e r alebo y = b a (x - x c - y = b a (x - x c - e) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom prípade sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, ku ktorej funkcii dotyčný bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné vykonať substitúciu v rovniciach a skontrolovať ich identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu dotyčnice k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

rozhodnutie

Záznam riešenia nájdenia hyperboly je potrebné transformovať pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 alebo y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné zistiť, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie je potrebné y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, potom bod nepatrí do grafu, pretože nie je splnená rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť koeficient sklonu.

Chápeme to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je vizualizovaný nasledovne:

Tangenta k parabole

Na zostavenie rovnice dotyčnice k parabole y \u003d a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0) , musíte použiť štandardný algoritmus, potom bude mať rovnica tvar y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takáto dotyčnica vo vrchole je rovnobežná s x.

Parabola x = a y 2 + b y + c by mala byť definovaná ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Znázornime to ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0 , y (x 0) patrí funkcii, jemne postupujte podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s y vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme sklon dotyčnice 150°.

rozhodnutie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici sklonu.

Dostaneme:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre dotykové body.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150 °.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že dotykové body - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Znázornime to takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Priamka, ktorá má iba jeden spoločný bod s kružnicou, sa nazýva dotyčnica kružnice a ich spoločný bod sa nazýva bod dotyku medzi priamkou a kružnicou.

Veta (vlastnosť dotyčnice ku kružnici)

Dotyčnica ku kružnici je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyčnice.

Dané

A - kontaktné miesto

dokázať:p oa

Dôkaz.

Dokážme metódu „protirečením“.

Predpokladajme, že p je OA, potom OA je šikmá k priamke p.

Ak z bodu O nakreslíme kolmicu OH na priamku p, jej dĺžka bude menšia ako polomer: OH< ОА=r

Dostaneme, že vzdialenosť od stredu kružnice k priamke p (OH) je menšia ako polomer (r), čo znamená, že priamka p je sečna (to znamená, že má s kružnicou dva spoločné body), čo odporuje podmienke vety (p-tangens).

Takže predpoklad je nepravdivý, preto je priamka p kolmá na OA.

Veta (Vlastnosť dotyčnicových segmentov nakreslených z jedného bodu)

Segmenty dotyčníc ku kružnici nakreslené z jedného bodu sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s priamkou prechádzajúcou týmto bodom a stredom kružnice.

Dané: približne. (O; r)

AB a AC sú dotyčnice k env. (O; r)

dokázať: AB=AC

Dôkaz

1) OB AB, OS AC, ako polomery nakreslené k bodu dotyku (vlastnosť dotyčnice)

2) Uvažujme tr. AOV atď. AOS - p / y

AO - celkom

OB=OC (ako polomery)

Takže, ABO \u003d AOC (pozdĺž prepony a nohy). teda

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Veta (znamenie tangenty)

Ak priamka prechádza koncom polomeru ležiaceho na kružnici a je na tento polomer kolmá, ide o dotyčnicu.

Dané: ОА – polomer kruhu

dokázať: p- dotyčnica ku kružnici

Dôkaz

OA - polomer kruhu (podľa podmienky) (OA \u003d r)

OA - kolmá z O na čiaru p (OA \u003d d)

Takže, r=OA=d, takže priamka p a kružnica majú jeden spoločný bod.

Preto sa priamka p dotýka kružnice. h.t.d.

3. Vlastnosť akordov a sekánov.

Vlastnosti dotyčnice a sečny

DEFINÍCIA

obvod nazývaný lokus bodov rovnako vzdialených od jedného bodu, ktorý sa nazýva stred kružnice.

Úsečka, ktorá spája dva body na kružnici, sa nazýva akord(na obrázku je to segment). Tetiva prechádzajúca stredom kruhu sa nazýva priemer kruhy.

1. Dotyčnica je kolmá na polomer nakreslený k bodu dotyku.

2. Segmenty dotyčníc nakreslené z jedného bodu sú rovnaké.

3. Ak sú dotyčnica a sečna nakreslená z bodu ležiaceho mimo kružnice, potom sa druhá mocnina dĺžky dotyčnice rovná súčinu sečny jej vonkajšou časťou.

Najčastejšie sú to geometrické úlohy, ktoré spôsobujú ťažkosti uchádzačom, absolventom, účastníkom matematických olympiád. Ak sa pozriete na štatistiku USE v roku 2010, môžete vidieť, že približne 12 % účastníkov začalo s geometrickou úlohou C4 a iba 0,2 % účastníkov získalo plné skóre a vo všeobecnosti sa táto úloha ukázala ako najťažšie zo všetkých navrhovaných.

Je zrejmé, že čím skôr školákom ponúkneme krásne alebo nečakané úlohy z hľadiska spôsobu ich riešenia, tým je pravdepodobnejšie, že ich vážne a nadlho zaujme a zaujme. Ale, aké ťažké je nájsť zaujímavé a zložité úlohy na úrovni 7. ročníka, keď sa systematické štúdium geometrie ešte len začína. Čo možno ponúknuť študentovi so záujmom o matematiku, ktorý pozná len znamienka rovnosti trojuholníkov, vlastnosti susedných a zvislých uhlov? Je však možné zaviesť pojem dotyčnica ku kružnici ako priamku, ktorá má s kružnicou jeden spoločný bod; akceptujte, že polomer nakreslený k bodu dotyku je kolmý na dotyčnicu. Samozrejme, stojí za zváženie všetky možné prípady umiestnenia dvoch kružníc a spoločných dotyčníc k nim, ktoré možno nakresliť od nuly do štyroch. Dokázaním nižšie navrhnutých teorém je možné výrazne rozšíriť súbor úloh pre žiakov siedmeho ročníka. Zároveň na ceste dokážte dôležité alebo jednoducho zaujímavé a zábavné fakty. Navyše, keďže mnohé výroky nie sú zahrnuté v školskej učebnici, možno ich prediskutovať v triede aj s maturantmi pri opakovaní planimetrie. Tieto skutočnosti sa ukázali ako relevantné v minulom akademickom roku. Keďže mnohé diagnostické práce a samotná práca USE obsahovali problém, na riešenie ktorého bolo potrebné použiť nižšie preukázanú vlastnosť dotyčnicového segmentu.

T 1 Segmenty dotyčníc ku kružnici nakreslenej z
jeden bod sa rovná (obr. 1)

To je všetko s vetou, môžete najprv predstaviť siedmakov.
V procese dokazovania sme použili znamienko rovnosti pravouhlých trojuholníkov, pričom sme dospeli k záveru, že stred kruhu leží na osi uhla BCA.
Medzitým sme si spomenuli, že os uhla je miestom bodov vnútornej oblasti uhla, rovnako vzdialených od jeho strán. Na týchto faktoch je založené riešenie zďaleka nie triviálneho problému, dostupného aj pre začiatočníkov v štúdiu geometrie.

1. Osy uhlov ALE, AT a S konvexný štvoruholník A B C D pretínajú v jednom bode. Lúče AB a DC pretínajú v bode E, a lúče
slnko a AD v bode F. Dokážte, že nekonvexný štvoruholník AECF súčet dĺžok protiľahlých strán je rovnaký.

Riešenie (obr. 2). Nechať byť O je priesečník týchto priesečníkov. Potom O v rovnakej vzdialenosti od všetkých strán štvoruholníka A B C D, t.j
je stred kružnice vpísanej do štvoruholníka. Podľa vety 1 rovnosť je správna: AR = AK, ER = EP, FT = FK. Pridávame ľavú a pravú časť po členoch, dostaneme správnu rovnosť:

(AR + ER) + FT = (AK +FK) + EP; AE + (FC + CT) = AF + (EÚ + PC). Ako ST = RS, potom AE + FC = AF + EÚ, čo sa malo dokázať.

Uvažujme o úlohe s nezvyčajnou formuláciou, na riešenie ktorej stačí poznať vetu 1 .

2. Je tam? n-gon, ktorého strany sú za sebou 1, 2, 3, ..., n do ktorého kruhu možno vpísať?

rozhodnutie. Povedzme také n-gon existuje. ALE 1 ALE 2 =1, …, ALE n-1 ALE n= n– 1,ALE n ALE 1 = n. B 1 , …, B n sú zodpovedajúce dotykové body. Potom podľa vety 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Vlastnosťou dotyčnicových segmentov A n B n= A n B n-1. Ale, A n B n-1< A n-1 ALE n= n- 1. Rozpor. Preto nie n-gon, ktorý spĺňa podmienku problému.

T 2 Súčty protiľahlých strán štvoruholníka opísaného o
kruhy sú rovnaké (obr. 3)

Školáci spravidla ľahko dokazujú túto vlastnosť opísaného štvoruholníka. Po dokázaní vety 1 , ide o tréningové cvičenie. Túto skutočnosť možno zovšeobecniť - súčty strán opísaného párneho uholníka, brané cez jeden, sú rovnaké. Napríklad pre šesťuholník A B C D E F správny: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Riešenie (obr. 1). Keďže štvoruholníky ABEF a ECDF sú vpísané, vetou 2 Р ABEF = 2(AB + EF) a Р ECDF = 2 (CD + EF), podľa podmienky

PABEF - P ECDF = 2 (AB + EF) - 2 (CD + EF) = 2 p. AB-CD=p. AB = a + p.

Riešenie (obr. 5). Podľa vety 1 MB = MX a PC = RX. Takže obvod trojuholníka TY SI POVEDAL rovná súčtu segmentov AB a AS. Alebo dvojitá dotyčnica nakreslená k kružnici pre trojuholník TY SI POVEDAL . Hodnota uhla MOP sa meria polovičnou hodnotou uhla WOS, ktorý nezávisí od výberu bodu X.

Riešenie (obr. 6). Metóda jedna (algebraická). Nechať byť AK \u003d AN \u003d x, potom BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC, potom môžeme napísať rovnicu pre x: b \u003d x + (a - c + x). Kde .

Metóda dva (geometrická). Obráťme sa na schému. Segmenty rovnakých dotyčníc, brané po jednom, tvoria polobvod
trojuholník. Červená a zelená tvoria jednu stranu a. Potom segment, ktorý nás zaujíma x = p - a. Samozrejme, dosiahnuté výsledky sú konzistentné.

. W

4. Nájdite polomer kružnice vpísanej do pravouhlého trojuholníka s nohami a, b a preponu s Riešenie (obr. 8). T ako OMCN-štvorec, potom sa polomer vpísanej kružnice rovná úsečke dotyčnice CN. .

5. Dokážte, že dotykové body kružnice vpísanej a kružnice so stranou trojuholníka sú symetrické vzhľadom na stred tejto strany.

Riešenie (obr. 9). Všimnite si, že AK je segment dotyčnice kružnice pre trojuholník ABC. Podľa vzorca (2) . VM- úsečka tangens incircle pre trojuholník ABC. Podľa vzorca (1) . AK = VM, a to znamená, že body K a M v rovnakej vzdialenosti od stredu strany AB, Q.E.D.

6. Dve spoločné vonkajšie dotyčnice a jedna vnútorná dotyčnica sú nakreslené na dve kružnice. Vnútorná dotyčnica pretína vonkajšie v bodoch A, B a dotýka sa kruhov v bodoch A 1 a V 1. Dokáž to AA 1 \u003d BB 1.

Riešenie (obr. 10). Stop... Ale čo sa má rozhodnúť? Je to len ďalšia formulácia predchádzajúceho problému. Je zrejmé, že jeden z kruhov je vpísaný a druhý je kruhový pre nejaký trojuholník ABC. A segmenty AA 1 a BB 1 zodpovedajú segmentom AK a VMúlohy 5. Je pozoruhodné, že problém navrhnutý na celoruskej olympiáde pre školákov v matematike je vyriešený takým zjavným spôsobom.

7. Strany päťuholníka sú v obiehajúcom poradí 5, 6, 10, 7, 8. Dokážte, že do tohto päťuholníka nemožno vpísať kruh.

Riešenie (obr. 11). Predpokladajme, že päťuholník A B C D E môžete vpísať kruh. Navyše, strany AB, pred Kr, CD, DE a EA sa rovnajú 5, 6, 10, 7 a 8. F, G, H, M a N. Nechajte dĺžku segmentu AF rovná sa X.

Potom bf = FD – AF = 5 – X = BG. GC = pred Kr – BG = = 6 – (5 – X) = 1 + X = CH. Atď: HD = DM = 9 – X; JA = EN = X – 2, AN = 10 – X.

Ale, AF = AN. To je 10- X = X; X= 5. Avšak segment dotyčnice AF nemôže mať rovnakú stranu AB. Výsledný rozpor dokazuje, že do daného päťuholníka nemožno vpísať kruh.

8. Kruh je vpísaný do šesťuholníka, jeho strany v poradí obtoku sú 1, 2, 3, 4, 5. Nájdite dĺžku šiestej strany.

rozhodnutie. Samozrejme, dotyčnicový segment možno označiť ako X, ako v predchádzajúcej úlohe, napíšte rovnicu a získajte odpoveď. Je však oveľa efektívnejšie a efektívnejšie použiť poznámku k vete 2 : súčty strán opísaného šesťuholníka, brané cez jeden, sú rovnaké.

Potom 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, kde X- neznáma šiesta strana, X = 3.

Riešenie (obr. 12). Keďže dĺžky všetkých strán sú celé čísla, zlomkové časti dĺžok segmentov sú rovnaké BT, BP, DM, DN, AK a AT. Máme AT + TV= 1 a zlomkové časti dĺžok segmentov AT a TV sú si rovní. To je možné len vtedy AT + TV= 0,5. Podľa vety 1 WT + BP.
znamená, BP= 0,5. Všimnite si, že podmienka CD= 3 sa ukázalo ako nenárokované. Je zrejmé, že autori problému predpokladali iné riešenie. Odpoveď: 0,5.

10. V štvoruholníku ABCD AD=DC, AB=3, BC=5. Kruhy vpísané do trojuholníkov ABD a CBD dotknite sa segmentu BD v bodoch M a N resp. Nájdite dĺžku segmentu MN.

Riešenie (obr. 13). MN = DN - DM. Podľa vzorca (1) pre trojuholníky DBA a DBC respektíve máme:

11. V štvoruholníku A B C D môžete vpísať kruh. Kruhy vpísané do trojuholníkov ABD a CBD majú polomery R a r resp. Nájdite vzdialenosť medzi stredmi týchto kruhov.

Riešenie (obr. 13). Keďže podľa podmienky štvoruholník A B C D vpísané, podľa vety 2 máme: AB + DC = AD + BC. Využime myšlienku riešenia predchádzajúceho problému. . To znamená, že body dotyku kružníc so segmentom DM zápas. Vzdialenosť medzi stredmi kružníc sa rovná súčtu polomerov. odpoveď: R + r.

V skutočnosti je dokázané, že stav je v štvoruholníku A B C D môžete vpísať kruh, ktorý je ekvivalentný podmienke - v konvexnom štvoruholníku A B C D kruhy vpísané do trojuholníkov ABC a ADC dotýkať sa navzájom. Opak je pravdou.

Navrhuje sa dokázať tieto dve vzájomne inverzné tvrdenia v nasledujúcom probléme, ktorý možno považovať za zovšeobecnenie tohto tvrdenia.

12. V konvexnom štvoruholníku A B C D (ryža. štrnásť) kruhy vpísané do trojuholníkov ABC a ADC dotýkať sa navzájom. Dokážte, že kruhy sú vpísané do trojuholníkov ABD a bdc sa aj navzájom dotýkať.

13. V trojuholníku ABC so stranami a, b a c na strane slnko označený bod D tak, že kruhy vpísané do trojuholníkov ABD a ACD dotknite sa segmentu AD v jednom bode. Nájdite dĺžku segmentu BD.

Riešenie (obr. 15). Pre trojuholníky použijeme vzorec (1). ADC a adb, výpočet DM dva

Ukazuje sa, D- bod dotyku so stranou slnko kruh vpísaný do trojuholníka ABC. Opak je pravdou: ak je vrchol trojuholníka spojený s dotykovým bodom vpísanej kružnice na opačnej strane, potom sa kružnice vpísané do výsledných trojuholníkov navzájom dotýkajú.

14. Strediská O 1 , O 2 a O 3 tri nepretínajúce sa kružnice s rovnakým polomerom sú umiestnené vo vrcholoch trojuholníka. Z bodov O 1 , O 2 , O 3 sú dotyčnice k týmto kružniciam nakreslené tak, ako je znázornené na obrázku.

Je známe, že tieto dotyčnice, ktoré sa pretínajú, vytvorili konvexný šesťuholník, ktorého strany cez jednu sú zafarbené na červeno a modro. Dokážte, že súčet dĺžok červených segmentov sa rovná súčtu dĺžok modrých segmentov.

Riešenie (obr. 16). Je dôležité pochopiť, ako využiť skutočnosť, že dané kruhy majú rovnaké polomery. Všimnite si, že segmenty BR a DM sú rovnaké, čo vyplýva z rovnosti pravouhlých trojuholníkov O 1 BR a O 2 BM. Podobne DL = D.P., FN = FK. Pridávame rovnosti po členoch a potom od výsledných súčtov odčítame rovnaké segmenty dotyčníc nakreslených z vrcholov ALE, S a Ešesťuholník A B C D E F: AR a AK, CL a CM, EN a EP. Dostávame to, čo potrebujeme.

Tu je príklad stereometrického problému navrhnutého na XII. medzinárodnom matematickom turnaji pre stredoškolákov „A. N. Kolmogorov Memory Cup“.

16. Daná päťuholníková pyramída SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Existuje rozsah w, ktorá sa dotýka všetkých hrán pyramídy a ďalšej gule w 1, ktorý sa dotýka všetkých strán základne A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 a rozšírenia bočných rebier SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 pre vrcholy základne. Dokážte, že vrchol pyramídy je rovnako vzdialený od vrcholov základne. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

17. POUŽÍVAŤ. Diagnostické práce 8. decembra 2009, С–4. Dana lichobežník A B C D, ktorého základy BC = 44,AD = 100, AB = CD= 35. Kružnica dotyčnica k čiaram AD a AC sa dotýka strany CD v bode K. Nájdite dĺžku segmentu CK.VDC a BDA, dotknite sa strany BD v bodoch E a F. Nájdite dĺžku segmentu EF.

rozhodnutie. Možné sú dva prípady (obr. 20 a obr. 21). Pomocou vzorca (1) nájdeme dĺžky segmentov DE a D.F..

V prvom prípade AD = 0,1AC, CD = 0,9AC. V druhom - AD = 0,125AC, CD = 1,125AC. Dosadíme údaje a dostaneme odpoveď: 4.6 alebo 5.5.

Úlohy na samostatné riešenie /

1. Obvod rovnoramenného lichobežníka vpísaného okolo kruhu je 2r. Nájdite priemet uhlopriečky lichobežníka na väčšiu základňu. (1/2r)

2. Otvorená banka problémov USE v matematike. AT 4. Do kruhu vpísaného do trojuholníka ABC (obr. 22), sú nakreslené tri dotyčnice. Obvody zrezaných trojuholníkov sú 6, 8, 10. Nájdite obvod tohto trojuholníka. (24)

3. Do trojuholníka ABC vpísaný kruh. MN- dotyčnica ku kružnici MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Nájdite obvod trojuholníka MNC. (12)

4. Ku kružnici vpísanej do štvorca so stranou a sa nakreslí dotyčnica, ktorá pretína dve jej strany. Nájdite obvod odrezaného trojuholníka. (a)

5. Do päťuholníka so stranami je vpísaný kruh a, d, c, d a e. Nájdite segmenty, na ktoré bod kontaktu rozdeľuje rovnakú stranu a.

6. Do trojuholníka so stranami 6, 10 a 12 je vpísaný kruh. Ku kružnici je nakreslená dotyčnica tak, že pretína dve veľké strany. Nájdite obvod odrezaného trojuholníka. (šestnásť)

7. CD je stredná hodnota trojuholníka ABC. Kruhy vpísané do trojuholníkov ACD a BCD, dotknite sa segmentu CD v bodoch M a N. Nájsť MN, ak AC – slnko = 2. (1)

8. V trojuholníku ABC so stranami a, b a c na strane slnko označený bod D. Do kruhov vpísaných do trojuholníkov ABD a ACD, je nakreslená spoločná dotyčnica, ktorá sa pretína AD v bode M. Nájdite dĺžku segmentu AM. (Dĺžka AM nezávisí od polohy bodu D a
rovná sa ½ ( c + b - a))

9. Kruh s polomerom je vpísaný do pravouhlého trojuholníka a. Polomer kruhu dotyčnica k prepone a predĺženiam nôh je R. Nájdite dĺžku prepony. ( R-a)

10. V trojuholníku ABC dĺžky strán sú známe: AB = s, AC = b, slnko = a. Kruh vpísaný do trojuholníka sa dotýka jednej strany AB v bode Od 1. Kružnica je dotyčnicou k predĺženiu strany AB za bod ALE v bode Od 2. Určite dĺžku segmentu S 1 S 2. (b)

11. Nájdite dĺžky strán trojuholníka, delené bodom dotyku vpísanej kružnice s polomerom 3 cm na časti 4 cm a 3 cm (7, 24 a 25 cm v pravouhlom trojuholníku)

12. Sorosova olympiáda 1996, 2. kolo, 11. ročník. Trojuholník daný ABC, na ktorých stranách sú vyznačené body A1, B1, C1. Polomery kružníc vpísaných do trojuholníkov AC1B1, BC1A1, CA1B1 rovný v r. Polomer kruhu vpísaného do trojuholníka A 1 B 1 C 1 rovná sa R. Nájdite polomer kruhu vpísaného do trojuholníka ABC. (R +r).

Úlohy 4–8 sú prevzaté z knihy problémov R. K. Gordina „Geometria. Planimetrie." Moskva. Vydavateľstvo MTSNMO. 2004.

Priamy ( MN), ktorý má iba jeden spoločný bod s kružnicou ( A), sa nazýva dotyčnica do kruhu.

Spoločný bod sa v tomto prípade nazýva bod dotyku.

Možnosť existencie dotyčnica, a navyše pretiahnutý cez akýkoľvek bod kruhy, ako styčný bod, dokazuje nasledovné teorém.

Nech sa to vyžaduje kruhy vycentrovaný O dotyčnica cez bod A. Z tohto dôvodu A, ako z centra, popíš oblúk polomer AO a od veci O, ako stred pretíname tento oblúk v bodoch B a S riešenie kompasu rovnajúce sa priemeru daného kruhu.

Po strávení potom akordy OB a OS, spojte bodku A s bodkami D a E kde tieto tetivy pretínajú daný kruh. Priamy AD a AE - dotyčnica ku kružnici O. Z konštrukcie je totiž zrejmé, že trojuholníky AOB a AOC rovnoramenné(AO = AB = AC) so základňami OB a OS, ktorý sa rovná priemeru kruhu O.

Ako OD a OE sú teda polomery D - stredná OB, a E- stredný OS, znamená AD a AE - mediányťahané k základniam rovnoramenných trojuholníkov, a teda kolmé na tieto základne. Ak priamo DA a EA kolmo na polomery OD a OE, potom sú dotyčnice.

Dôsledok.

Dve dotyčnice nakreslené z toho istého bodu ku kružnici sú rovnaké a zvierajú rovnaké uhly s čiarou spájajúcou tento bod so stredom.

Takže AD=AE a ∠ OAD = ∠OAE pretože pravouhlé trojuholníky AOD a AOE majúci spoločný hypotenzia AO a rovní nohy OD a OE(ako polomery) sú rovnaké. Všimnite si, že slovo „tangens“ tu znamená skutočný „ dotyčnicový segment“ z daného bodu do bodu kontaktu.