Parametrická rovnica priamky na rovine. Parametrické rovnice Rovnica priamky v parametrickom tvare v priestore
Tento odsek si určite prečítajte! Parametrické rovnice, samozrejme, nie sú alfou a omegou priestorovej geometrie, ale pracovným mravcom mnohých problémov. Navyše, tento typ rovníc sa často aplikuje nečakane a povedal by som, že elegantne.
Ak je známy bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom sú parametrické rovnice tejto priamky dané systémom:
O samotnom koncepte parametrických rovníc som hovoril na hodinách Rovnica priamky na rovine a Derivácia parametricky definovanej funkcie.
Všetko je jednoduchšie ako dusená repa, takže úlohu musíte okoreniť:
Príklad 7
rozhodnutie: Priamky sú dané kanonickými rovnicami a v prvej fáze treba nájsť nejaký bod patriaci priamke a jej smerový vektor.
a) Odstráňte bod a smerový vektor z rovníc: . Môžete si vybrať iný bod (ako to urobiť je popísané vyššie), ale je lepšie vziať ten najzrejmejší. Mimochodom, aby ste sa vyhli chybám, vždy dosaďte do rovníc jeho súradnice.
Zostavme parametrické rovnice tejto priamky:
Výhodou parametrických rovníc je, že s ich pomocou je veľmi ľahké nájsť ďalšie body priamky. Nájdime napríklad bod, ktorého súradnice povedzme zodpovedajú hodnote parametra:
takto:
b) Zvážte kanonické rovnice. Výber bodu je tu jednoduchý, no zákerný: (pozor, nepomýliť si súradnice!!!). Ako vytiahnuť vodiaci vektor? Môžete špekulovať, s čím je táto čiara rovnobežná, alebo môžete použiť jednoduchý formálny trik: pomer je „Y“ a „Z“, takže napíšeme smerový vektor a do zvyšného priestoru vložíme nulu: .
Zostavíme parametrické rovnice priamky:
c) Prepíšme rovnice v tvare , čiže „Z“ môže byť čokoľvek. A ak nejaké, tak nech napr. Bod teda patrí do tejto línie. Na nájdenie smerového vektora používame nasledujúcu formálnu techniku: v počiatočných rovniciach sú "x" a "y" a do smerového vektora na týchto miestach píšeme nuly: . Na zostávajúce miesto položíme jednotka: . Namiesto jednotky bude stačiť akékoľvek číslo okrem nuly.
Napíšeme parametrické rovnice priamky:
Na školenie:
Príklad 8
Napíšte parametrické rovnice pre nasledujúce riadky:
Riešenia a odpovede na konci hodiny. Vaše odpovede sa môžu mierne líšiť od mojich, faktom je, že parametrické rovnice je možné písať viacerými spôsobmi. Je dôležité, aby váš a môj smerový vektor boli kolineárne a aby váš bod „sedel“ s mojimi rovnicami (dobre, alebo naopak, môj bod s vašimi rovnicami).
Ako inak môžete definovať priamku v priestore? Chcel by som vymyslieť niečo s normálnym vektorom. Číslo však nebude fungovať, pre medzerník môžu normálne vektory vyzerať úplne inými smermi.
Iná metóda už bola spomenutá v lekcii Rovinná rovnica a na začiatku tohto článku.
UHOL MEDZI ROVINAMI
Uvažujme dve roviny α 1 a α 2 dané rovnicami:
Pod uhol medzi dvoma rovinami máme na mysli jeden z uhlov dvojsteny, ktoré tieto roviny zvierajú. Je zrejmé, že uhol medzi normálovými vektormi a rovinami α 1 a α 2 sa rovná jednému z naznačených susedných dihedrických uhlov resp. 
. Takže 
. Pretože 
a 
, potom
.
Príklad. Určte uhol medzi rovinami X+2r-3z+4 = 0 a 2 X+3r+z+8=0.
Podmienka rovnobežnosti dvoch rovín.
Dve roviny α 1 a α 2 sú rovnobežné práve vtedy, ak ich normálové vektory a sú rovnobežné, a teda 
.
Takže dve roviny sú navzájom rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú koeficienty na zodpovedajúcich súradniciach úmerné:
alebo
Podmienka kolmosti rovín.
Je jasné, že dve roviny sú kolmé práve vtedy, ak sú ich normálové vektory kolmé, a teda alebo .
Teda, .
Príklady.
PRIAMO V PRIESTORU.
VEKTOROVÁ ROVNICE PRIAMA.
PARAMETRICKÉ ROVNICE PRIAME
Poloha priamky v priestore je úplne určená určením ktoréhokoľvek z jej pevných bodov M 1 a vektor rovnobežný s touto čiarou.
Vektor rovnobežný s priamkou sa nazýva vedenie vektor tejto čiary.
Tak nech rovno l prechádza cez bod M 1 (X 1 , r 1 , z 1) ležiace na priamke rovnobežnej s vektorom .
Zvážte svojvoľný bod M(x,y,z) na priamke. Z obrázku je vidieť, že 
.
Vektory a sú kolineárne, takže existuje také číslo t, čo , kde je násobiteľ t môže nadobudnúť akúkoľvek číselnú hodnotu v závislosti od polohy bodu M na priamke. Faktor t sa nazýva parameter. Označenie vektorov polomerov bodov M 1 a M respektíve prostredníctvom a , získame . Táto rovnica sa nazýva vektor priamka rovnica. Ukazuje, že hodnota každého parametra t zodpovedá vektoru polomeru nejakého bodu M ležiace na priamke.
Túto rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare. Všimni si , 
a odtiaľto
Výsledné rovnice sú tzv parametrické priamkové rovnice.
Pri zmene parametra t zmena súradníc X, r a z a bodka M sa pohybuje v priamom smere.
KANONICKÉ ROVNICE PRIAME
Nechať byť M 1 (X 1 , r 1 , z 1) - bod ležiaci na priamke l a 
je jeho smerový vektor. Opäť vezmite ľubovoľný bod na priamke M(x,y,z) a zvážte vektor .
Je jasné, že vektory a sú kolineárne, takže ich príslušné súradnice musia byť proporcionálne
– kanonický priamkové rovnice.
Poznámka 1. Všimnite si, že kanonické rovnice priamky možno získať z parametrických rovníc odstránením parametra t. V skutočnosti z parametrických rovníc, ktoré získame 
alebo .
Príklad. Napíšte rovnicu priamky 
parametrickým spôsobom.
Označiť 
, teda X = 2 + 3t, r = –1 + 2t, z = 1 –t.
Poznámka 2. Nech je čiara kolmá na jednu zo súradnicových osí, napríklad na os Vôl. Potom je smerový vektor priamky kolmý Vôl, teda, m=0. V dôsledku toho nadobúdajú tvar parametrické rovnice priamky
Vylúčenie parametra z rovníc t, dostaneme rovnice priamky v tvare
Aj v tomto prípade však súhlasíme s formálnym zápisom kanonických rovníc priamky do formulára 
. Ak je teda menovateľ jedného zo zlomkov nula, znamená to, že čiara je kolmá na príslušnú súradnicovú os.
Podobne aj kanonické rovnice 
zodpovedá priamke kolmej na osi Vôl a Oj alebo rovnobežná os Oz.
Príklady.
VŠEOBECNÉ ROVNICE PRIAMA ČIARA AKO PRIESTOROVÁ ČIARA DVOCH ROVINEK
Cez každú priamku v priestore prechádza nekonečný počet rovín. Akékoľvek dva z nich, ktoré sa pretínajú, ho definujú v priestore. Preto rovnice akýchkoľvek dvoch takýchto rovín, uvažované spolu, sú rovnicami tejto priamky.
Vo všeobecnosti akékoľvek dve nerovnobežné roviny dané všeobecnými rovnicami
určiť ich priesečník. Tieto rovnice sa nazývajú všeobecné rovnice rovno.
Príklady.
Zostrojte priamku danú rovnicami 
Na zostrojenie priamky stačí nájsť dva ľubovoľné jej body. Najjednoduchším spôsobom je vybrať priesečníky úsečky so súradnicovými rovinami. Napríklad priesečník s rovinou xOy získame z rovníc priamky za predpokladu z= 0:
Pri riešení tohto systému nachádzame pointu M 1 (1;2;0).
Podobne za predpokladu r= 0, dostaneme priesečník priamky s rovinou xOz:
Od všeobecných rovníc priamky možno prejsť k jej kanonickým alebo parametrickým rovniciam. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť nejaký bod M 1 na priamke a smerový vektor priamky.
Súradnice bodu M 1 získame z tejto sústavy rovníc, pričom jednej zo súradníc priradíme ľubovoľnú hodnotu. Ak chcete nájsť smerový vektor, všimnite si, že tento vektor musí byť kolmý na oba normálové vektory 
a 
. Preto pre smerový vektor priamky l môžete vziať krížový súčin normálnych vektorov:
.
Príklad. Uveďte všeobecné rovnice priamky 
na kánonickú formu.
Nájdite bod na priamke. Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľne jednu zo súradníc, napr. r= 0 a vyriešte sústavu rovníc:
Normálne vektory rovín definujúcich priamku majú súradnice 
Preto bude smerový vektor rovný
. teda l: 
.
UHOL MEDZI PRÁVAMI
rohu medzi priamkami v priestore budeme nazývať ktorýkoľvek zo susedných uhlov tvorených dvomi priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.
Nech sú v priestore dané dve rovné čiary:
Je zrejmé, že uhol φ medzi čiarami možno považovať za uhol medzi ich smerovými vektormi a . Vzhľadom k tomu, potom podľa vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi dostaneme
Jedným z podbodov témy „Rovnica priamky na rovine“ je problematika zostavovania parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Nasledujúci článok pojednáva o princípe zostavovania takýchto rovníc pre určité známe údaje. Ukážme si, ako prejsť od parametrických rovníc k rovniciam iného tvaru; Poďme analyzovať riešenie typických problémov.
Konkrétnu čiaru je možné definovať zadaním bodu, ktorý k danej čiare patrí, a smerového vektora čiary.
Predpokladajme, že máme obdĺžnikový súradnicový systém O x y . A je daná aj priamka a označujúca na nej ležiaci bod M 1 (x 1, y 1) a smerový vektor danej priamky. a → = (a x, a y) . Uvádzame popis danej priamky a pomocou rovníc.
Použijeme ľubovoľný bod M (x, y) a získame vektor M1M ->; vypočítajte jeho súradnice zo súradníc začiatočného a koncového bodu: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Popíšme výsledok: priamka je daná množinou bodov M (x, y), prechádza bodom M 1 (x 1, y 1) a má smerový vektor. a → = (a x, a y) . Uvedená množina definuje priamku iba vtedy, keď vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) sú kolineárne.
Pre kolinearitu vektorov je nutná a postačujúca podmienka, ktorú v tomto prípade pre vektory M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) a a → = (a x , a y) môžeme zapísať ako rovnica:
M 1 M → = λ · a → , kde λ je nejaké reálne číslo.
Definícia 1
Rovnica M 1 M → = λ · a → sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.
V súradnicovom tvare to vyzerá takto:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Rovnice výslednej sústavy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sa nazývajú parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave. Podstata názvu je nasledovná: súradnice všetkých bodov priamky je možné určiť parametrickými rovnicami v rovine tvaru x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ pri iterácii cez všetky reálne hodnoty parametra λ
Podľa vyššie uvedeného parametrické rovnice priamky v rovine x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ určujú priamku, ktorá je daná v pravouhlom súradnicovom systéme, prechádza cez bod M 1 (x 1, y 1) a má vodiaci vektor a → = (a x, a y) . Ak sú teda uvedené súradnice určitého bodu priamky a súradnice jej smerového vektora, potom je možné okamžite zapísať parametrické rovnice danej priamky.
Príklad 1
Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave, ak je daný k nej patriaci bod M 1 (2, 3) a jej smerový vektor. a → = (3, 1) .
rozhodnutie
Na základe počiatočných údajov dostaneme: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrické rovnice budú vyzerať takto:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Ukážme si to jasne:
Odpoveď: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Treba poznamenať: ak vektor a → = (a x , a y) slúži ako smerový vektor priamky a a body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2) patria do tejto priamky, potom ju možno určiť nastavením parametrických rovníc tvaru: x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , ako aj túto možnosť: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .
Napríklad dostaneme smerový vektor priamky a → \u003d (2, - 1), ako aj body M 1 (1, - 2) a M 2 (3, - 3) patriace do tejto čiary. Potom je priamka určená parametrickými rovnicami: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ alebo x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .
Pozor si treba dať aj na nasledujúcu skutočnosť: ak a → = (a x, a y) je smerový vektor priamky a , potom ktorýkoľvek z vektorov bude tiež jeho smerovým vektorom μ a → = (μ a x, μ a y), kde μ ϵ R, μ ≠ 0 .
Teda priamku a v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme možno definovať parametrickými rovnicami: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ pre akúkoľvek hodnotu μ, ktorá je odlišná od nuly.
Predpokladajme, že priamka a je daná parametrickými rovnicami x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Potom a → = (2 , - 5) - smerový vektor tejto čiary. A tiež ktorýkoľvek z vektorov μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 sa stane smerovým vektorom pre danú priamku. Pre názornosť uvažujme konkrétny vektor - 2 · a → = (- 4 , 10) , zodpovedá hodnote μ = - 2 . V tomto prípade možno danú priamku určiť aj parametrickými rovnicami x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .
Prechod z parametrických rovníc priamky na rovine k iným rovniciach danej priamky a naopak
Pri riešení niektorých problémov nie je použitie parametrických rovníc najoptimálnejšou možnosťou, potom je potrebné preložiť parametrické rovnice priamky na rovnice priamky iného typu. Pozrime sa, ako na to.
Parametrické rovnice priamky x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ budú zodpovedať kanonickej rovnici priamky v rovine x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Každú z parametrických rovníc vyriešime vzhľadom na parameter λ, prirovnáme pravé časti získaných rovníc a získame kanonickú rovnicu danej priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
V tomto prípade by nemalo byť trápne, ak sa x alebo a y budú rovnať nule.
Príklad 2
Je potrebné vykonať prechod z parametrických rovníc priamky x = 3 y = - 2 - 4 · λ na kanonickú rovnicu.
rozhodnutie
Uvedené parametrické rovnice zapíšeme v tomto tvare: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ
Parameter λ vyjadríme v každej z rovníc: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Vyrovnáme správne časti sústavy rovníc a získame požadovanú kanonickú rovnicu priamky v rovine:
x - 30 = y + 2 - 4
odpoveď: x - 30 = y + 2 - 4
V prípade, že je potrebné zapísať rovnicu priamky tvaru A x + B y + C = 0 , pričom sú dané parametrické rovnice priamky v rovine, je potrebné najskôr vyhotoviť prechod na kanonickú rovnicu a potom na všeobecnú rovnicu priamky. Zapíšme si celú postupnosť akcií:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
Príklad 3
Všeobecnú rovnicu priamky je potrebné zapísať, ak sú dané parametrické rovnice, ktoré ju definujú: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ
rozhodnutie
Najprv urobme prechod na kanonickú rovnicu:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Výsledný podiel je zhodný s rovnosťou - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorme zátvorky a získajme všeobecnú rovnicu priamky: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .
Odpoveď: 3x + 2 roky + 3 = 0
Podľa vyššie uvedenej logiky činností je na získanie rovnice priamky so sklonom, rovnice priamky v segmentoch alebo normálnej rovnice priamky potrebné získať všeobecnú rovnicu priamky. a z nej vykonať ďalší prechod.
Teraz zvážte opačnú akciu: písanie parametrických rovníc priamky pre iný daný tvar rovníc tejto priamky.
Najjednoduchší prechod: od kanonickej rovnice k parametrickým. Nech je daná kanonická rovnica tvaru: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Každý zo vzťahov tejto rovnosti považujeme za rovný parametru λ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Vyriešme výsledné rovnice pre premenné x a y:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Príklad 4
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať, ak je známa kanonická rovnica priamky v rovine: x - 2 5 = y - 2 2
rozhodnutie
Prirovnajme časti známej rovnice k parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Zo získanej rovnosti získame parametrické rovnice priamky: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Odpoveď: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Keď je potrebné z danej všeobecnej rovnice priamky, rovnice priamky so sklonom alebo rovnice priamky v segmentoch prejsť na parametrické rovnice, je potrebné uviesť pôvodnú rovnicu do kanonickú a potom vykonajte prechod na parametrické rovnice.
Príklad 5
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať známou všeobecnou rovnicou tejto priamky: 4 x - 3 y - 3 = 0 .
rozhodnutie
Danú všeobecnú rovnicu transformujeme na rovnicu kanonického tvaru:
4 x - 3 r - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 r + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 r + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Obe časti rovnosti prirovnáme k parametru λ a získame požadované parametrické rovnice priamky:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Príklady a úlohy s parametrickými rovnicami priamky v rovine
Uvažujme o najbežnejších typoch problémov pomocou parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme.
- V úlohách prvého typu sú uvedené súradnice bodov, či už patria alebo nepatria k priamke opísanej parametrickými rovnicami.
Riešenie takýchto úloh je založené na nasledujúcej skutočnosti: čísla (x, y) určené z parametrických rovníc x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ pre nejakú reálnu hodnotu λ sú súradnice a bod patriaci do priamky, ktorý je popísaný týmito parametrickými rovnicami.
Príklad 6
Je potrebné určiť súradnice bodu, ktorý leží na priamke danej parametrickými rovnicami x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pre λ = 3 .
rozhodnutie
Známu hodnotu λ = 3 dosadíme do daných parametrických rovníc a vypočítame požadované súradnice: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
odpoveď: 1 1 2 , 5
Možný je aj nasledujúci problém: nech je daný nejaký bod M 0 (x 0, y 0) na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme a je potrebné určiť, či tento bod patrí do priamky opísanej parametrickými rovnicami x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ.
Na vyriešenie takéhoto problému je potrebné dosadiť súradnice daného bodu do známych parametrických rovníc priamky. Ak sa zistí, že je možná taká hodnota parametra λ = λ 0, v ktorej platia obe parametrické rovnice, potom daný bod patrí danej priamke.
Príklad 7
Uvedené sú body M 0 (4, - 2) a N 0 (- 2, 1). Je potrebné určiť, či patria do priamky definovanej parametrickými rovnicami x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .
rozhodnutie
Súradnice bodu M 0 (4, - 2) dosadíme do daných parametrických rovníc:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Dospejeme k záveru, že bod M 0 patrí danej priamke, pretože zodpovedá hodnote λ = 2 .
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Je zrejmé, že neexistuje taký parameter λ, ktorému bude zodpovedať bod N 0. Inými slovami, daná čiara neprechádza bodom N 0 (- 2 , 1) .
odpoveď: bod M 0 patrí danej priamke; bod N 0 nepatrí do danej priamky.
- V úlohách druhého typu sa vyžaduje zostavenie parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Najjednoduchší príklad takéhoto problému (so známymi súradnicami bodu priamky a smerového vektora) sme uvažovali vyššie. Teraz sa pozrime na príklady, v ktorých musíte najskôr nájsť súradnice smerového vektora a potom zapísať parametrické rovnice.
Bod M 1 1 2 , 2 3 je daný. Je potrebné zostaviť parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom a rovnobežnej priamky x 2 \u003d y - 3 - 1.
rozhodnutie
Podľa stavu problému je priamka, ktorej rovnicu musíme predbehnúť, rovnobežná s priamkou x 2 \u003d y - 3 - 1. Potom ako smerový vektor priamky prechádzajúcej daným bodom je možné použiť smerovací vektor priamky x 2 = y - 3 - 1, ktorý zapíšeme v tvare: a → = (2, - 1). Teraz sú známe všetky potrebné údaje na zostavenie požadovaných parametrických rovníc:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ
odpoveď: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.
Príklad 9
Bod M 1 (0, - 7) je daný. Je potrebné napísať parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom kolmo na priamku 3 x – 2 y – 5 = 0 .
rozhodnutie
Ako smerový vektor priamky, ktorej rovnicu treba zostaviť, je možné vziať normálový vektor priamky 3 x - 2 y - 5 = 0 . Jeho súradnice sú (3 , - 2) . Napíšeme požadované parametrické rovnice priamky:
x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- V úlohách tretieho typu sa vyžaduje prechod od parametrických rovníc danej priamky k iným typom rovníc, ktoré ju určujú. Riešenie takýchto príkladov sme zvážili vyššie, dáme ešte jeden.
Daná je priamka na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom parametrickými rovnicami x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Je potrebné nájsť súradnice nejakého normálového vektora tejto priamky.
rozhodnutie
Aby sme určili požadované súradnice normálneho vektora, prejdeme z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
Koeficienty premenných x a y nám dávajú požadované súradnice normálového vektora. Normálový vektor priamky x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ má teda súradnice 1 , 3 4 .
odpoveď: 1 , 3 4 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Parametrické rovnice priamky sa elementárne získavajú z kanonickej rovnice tejto priamky, ktorá má tvar . Zoberme si ako parameter hodnotu, ktorou možno vynásobiť ľavú a pravú časť kanonickej rovnice.
Keďže jeden z menovateľov sa nevyhnutne líši od nuly a príslušný čitateľ môže nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, rozsah parametra je celá os reálnych čísel: .
Prijmeme alebo konečne
Rovnice (1) sú požadované parametrické rovnice priamky. Tieto rovnice umožňujú mechanickú interpretáciu. Ak predpokladáme, že parametrom je čas nameraný od nejakého počiatočného momentu, potom parametrické rovnice určujú zákon pohybu hmotného bodu po priamke konštantnou rýchlosťou (takýto pohyb nastáva zotrvačnosťou).
Príklad 1 Zostavte v rovine parametrické rovnice priamky prechádzajúcej bodom a majúcej smerový vektor.
rozhodnutie. Dosadíme údaje bodu a smerového vektora do (1) a dostaneme:
V problémoch je často potrebné transformovať parametrické rovnice priamky na iné typy rovníc a z rovníc iných typov získať parametrické rovnice priamky. Pozrime sa na niekoľko takýchto príkladov. Transformovať parametrické rovnice priamky na všeobecná rovnica priamky najprv by sa mali zredukovať na kanonickú formu a potom z kanonickej rovnice, aby sa získala všeobecná rovnica priamky
Príklad 2 Napíšte rovnicu priamky
všeobecne.
rozhodnutie. Najprv privedieme parametrické rovnice priamky do kanonickej rovnice:
Ďalšie transformácie privádzajú rovnicu do všeobecného tvaru:
Je o niečo ťažšie previesť všeobecnú rovnicu na parametrické rovnice priamky, ale pre túto akciu je možné zostaviť aj jasný algoritmus. Najprv môžeme transformovať všeobecnú rovnicu na sklonová rovnica a nájdite z neho súradnice nejakého bodu prislúchajúceho k priamke, pričom jednej zo súradníc dáte ľubovoľnú hodnotu. Keď sú známe súradnice bodu a smerového vektora (zo všeobecnej rovnice), je možné písať parametrické rovnice priamky.
Príklad 3 Napíšte rovnicu priamky vo forme parametrických rovníc.
rozhodnutie. Prinášame všeobecnú rovnicu priamky do rovnice so sklonom:
Nájdeme súradnice nejakého bodu prislúchajúceho k priamke. Jednej zo súradníc bodu priraďte ľubovoľnú hodnotu
Z rovnice priamky so sklonom získame ďalšiu súradnicu bodu:
Poznáme teda bodový a smerový vektor . Ich údaje dosadíme do (1) a získame požadované parametrické rovnice priamky:
Príklad 4 Nájdite sklon priamky zadanej parametrickými rovnicami
rozhodnutie. Parametrické rovnice priamky sa musia najskôr previesť na kanonické, potom na všeobecné a nakoniec na rovnicu sklonu.
Takže sklon danej priamky:
Príklad 5 Zostavte parametrické rovnice priamky prechádzajúcej bodom a kolmice
Prirovnanie každého zlomku v kanonických rovniciach priamky k nejakému parametru t:
Prostredníctvom parametra získame rovnice vyjadrujúce aktuálne súradnice každého bodu priamky t.
teda parametrické rovnice priamky majú tvar:
Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body.
Nech dva body M 1 (x1,y1,z1) a M2 (x2,y2,z2). Rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body sa získajú rovnakým spôsobom ako podobná rovnica v rovine. Preto okamžite dáme tvar tejto rovnice.
Priamka na priesečníku dvoch rovín. Všeobecná rovnica priamky v priestore.
Ak vezmeme do úvahy dve nerovnobežné roviny, ich priesečník bude priamka.
Ak normálové vektory a 
nekolineárne.
Nižšie, keď budeme zvažovať príklady, ukážeme spôsob, ako transformovať takéto priame rovnice na kanonické rovnice.
5.4 Uhol medzi dvoma priamkami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok.
Uhol medzi dvoma priamkami v priestore je ktorýkoľvek z uhlov tvorených dvoma priamkami vedenými cez ľubovoľný bod rovnobežný s údajmi.
Nech sú dve čiary dané ich kanonickými rovnicami.
Pre uhol medzi dvoma priamkami budeme brať uhol medzi smerovými vektormi.
a 
Podmienka kolmosti dvoch priamok sa redukuje na podmienku kolmosti ich smerových vektorov, teda na nulu skalárneho súčinu: alebo v súradnicovom tvare: .
Podmienka rovnobežnosti dvoch priamok sa redukuje na podmienku rovnobežnosti ich smerových vektorov a
5.5 Vzájomné usporiadanie priamky a roviny.
Nech sú dané rovnice priamky:
a lietadlá. Uhol medzi priamkou a rovinou bude ktorýkoľvek z dvoch susedných uhlov tvorených priamkou a jej priemetom do roviny (obrázok 5.5).
 |
|||||||
Obrázok 5.5
Ak je priamka kolmá na rovinu, smerový vektor priamky a normálový vektor k rovine sú kolineárne. Podmienka kolmosti priamky a roviny sa teda redukuje na podmienku kolineárnych vektorov
V prípade rovnobežnosti priamky a roviny sú ich vektory uvedené vyššie navzájom kolmé. Preto sa podmienka rovnobežnosti priamky a roviny redukuje na podmienku kolmosti vektorov; tie. ich bodový súčin je nula alebo v súradnicovom tvare: .
Nižšie sú uvedené príklady riešenia problémov súvisiacich s témou kapitoly 5.
Príklad 1:
Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodom A (1,2,4) kolmou na priamku danú rovnicou:
rozhodnutie:
Používame rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Ako bod berieme bod A (1,2,4), cez ktorý prechádza rovina podľa podmienky.
Keď poznáme kanonické rovnice priamky, poznáme vektor rovnobežný s priamkou.
Vzhľadom na skutočnosť, že podľa podmienky je priamka kolmá na požadovanú rovinu, smerový vektor možno považovať za normálový vektor roviny.
Tak dostaneme rovnicu roviny v tvare:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
Príklad 2:
Nájdite v lietadle 4x-7y+5z-20=0 bod P, pre ktorý OP zviera rovnaké uhly so súradnicovými osami.
rozhodnutie:
Urobme si schematický nákres. (Obrázok 5.6)
 |
pri
Obrázok 5.6
Prázdny bod Р má súradnice . Pretože vektor zviera rovnaké uhly so súradnicovými osami, smerové kosínusy tohto vektora sú rovnaké
Poďme nájsť projekcie vektora:
potom sa dajú ľahko nájsť smerové kosínusy tohto vektora.
Z rovnosti smerových kosínusov vyplýva rovnosť:
x p \u003d y p \u003d z p
keďže bod P leží v rovine, dosadením súradníc tohto bodu do rovnice roviny sa zmení na totožnosť.
4x p -7x p +5x p -20=0
2x p \u003d 20
x p \u003d 10
Respektíve: r=10; z p=10.
Požadovaný bod P má teda súradnice P (10; 10; 10)
Príklad 3:
Vzhľadom na dva body A (2, -1, -2) a B (8, -7,5). Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodom B, kolmej na úsečku AB.
rozhodnutie:
Na vyriešenie úlohy použijeme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
Ako bod použijeme bod B (8, -7,5) a ako vektor kolmý na rovinu vektor. Poďme nájsť projekcie vektora:
potom dostaneme rovnicu roviny v tvare:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6x-48-6y-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
Príklad 4:
Nájdite rovnicu roviny rovnobežnej s osou OY a prechádzajúcej bodmi K(1,-5,1) a M(3,2,-2).
rozhodnutie:
Keďže rovina je rovnobežná s osou OY, použijeme neúplnú rovnicu roviny.
Ax+Cz+D=0
Vzhľadom na to, že body K a M ležia na rovine, získame dve podmienky.
Vyjadrime z týchto podmienok koeficienty A a C pomocou D.
Nájdené koeficienty dosadíme do neúplnej rovnice roviny:
od , potom znížime D:
Príklad 5:
Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)
rozhodnutie:
Využime rovnicu roviny prechádzajúcej 3 danými bodmi.
dosadením súradníc bodov M, K, R za prvý, druhý a tretí dostaneme:
rozšírte determinant pozdĺž 1. riadku.
Príklad 6:
Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) a kolmo na rovinu 3x+5y-7z-21=0
rozhodnutie:
Urobme si schematický nákres (obrázok 5.7)
Obrázok 5.7
Označíme danú rovinu P 2 a požadovanú rovinu P 2. . Z rovnice danej roviny Р 1 určíme priemet vektora kolmého na rovinu Р 1.
Vektor je možné posunúť do roviny P 2 pomocou rovnobežného posunu, keďže podľa podmienky úlohy je rovina P 2 kolmá na rovinu P 1, čo znamená, že vektor je rovnobežný s rovinou P 2. .
Nájdite projekcie vektora ležiaceho v rovine Р 2:
teraz máme dva vektory ležiace v rovine R 2 . Je zrejmé, že vektor sa rovná vektorovému súčinu vektorov a bude kolmý na rovinu P2, pretože je kolmý na rovinu P2, a teda aj jeho normálový vektor.
Vektory a sú dané ich projekciami, teda:
Ďalej použijeme rovnicu roviny prechádzajúcej daným bodom kolmo na vektor. Ako bod si môžete vziať ktorýkoľvek z bodov M 1 alebo M 2, napríklad M 1 (8, -3.1); Ako normálny vektor k rovine Р 2 berieme .
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
Príklad 7:
Priamka je definovaná priesečníkom dvoch rovín. Nájdite kanonické rovnice priamky.
rozhodnutie:
Máme rovnicu v tvare:
Treba nájsť pointu x 0, y 0, z 0), cez ktorý prechádza priamka a smerový vektor.
Jednu zo súradníc volíme ľubovoľne. Napríklad, z = 1, potom dostaneme systém dvoch rovníc s dvoma neznámymi:
Takto sme našli bod ležiaci na požadovanej priamke (2,0,1).
Ako smerový vektor požadovanej priamky berieme krížový súčin vektorov a , ktoré sú normálovými vektormi od r. 
, čo znamená rovnobežne s požadovanou čiarou.
Smerový vektor priamky má teda projekcie . Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej daným bodom rovnobežným s daným vektorom:
Takže požadovaná kanonická rovnica má tvar:
Príklad 8:
Nájdite súradnice priesečníka priamky 
a lietadlom 2x+3y+3z-8=0
rozhodnutie:
Danú rovnicu priamky napíšme v parametrickom tvare.
x = 3t-2; y = -t+2; z = 2t-1
každý bod priamky zodpovedá jednej hodnote parametra t. Ak chcete nájsť parameter t zodpovedajúci priesečníku priamky a roviny dosadíme výraz do rovnice roviny x, y, z cez parameter t.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t = 1
potom súradnice požadovaného bodu
požadovaný priesečník má súradnice (1;1;1).
Príklad 9:
Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej rovnobežnými priamkami.
Urobme si schematický nákres (obrázok 5.9)
Obrázok 5.9
Z daných rovníc priamok a určíme priemety smerových vektorov týchto priamok. Nájdeme projekcie vektora ležiaceho v rovine P a vezmeme body a z kanonických rovníc priamok M 1 (1, -1,2) a M 2 (0,1, -2).
