Przedstawienie liczb naturalnych za pomocą kropek na osi liczbowej. Moduł liczby (wartość bezwzględna liczby), definicje, przykłady, właściwości

Wiemy już, że zbiór liczb rzeczywistych $R$ tworzą liczby wymierne i niewymierne.

Liczby wymierne można zawsze przedstawić jako ułamki dziesiętne (okresowe skończone lub nieskończone).

Liczby niewymierne są zapisywane jako nieskończone, ale niepowtarzalne ułamki dziesiętne.

Zbiór liczb rzeczywistych $R$ zawiera również elementy $-\infty $ i $+\infty $, dla których nierówności $-\infty

Rozważ sposoby przedstawiania liczb rzeczywistych.

Wspólne ułamki

Ułamki zwykłe zapisuje się za pomocą dwóch liczb naturalnych i poziomej kreski ułamkowej. Słupek ułamkowy faktycznie zastępuje znak podziału. Liczba pod linią to mianownik (dzielnik), liczba nad linią to licznik (podzielny).

Definicja

Ułamek nazywamy właściwym, jeśli jego licznik jest mniejszy niż mianownik. I odwrotnie, ułamek nazywany jest niewłaściwym, jeśli jego licznik jest większy lub równy jego mianownikowi.

Dla zwykłych ułamków istnieją proste, praktycznie oczywiste reguły porównania ($m$,$n$,$p$ są liczbami naturalnymi):

1. z dwóch ułamków o tych samych mianownikach, ten z większym licznikiem jest większy, tj. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ dla $m>n$;
2. z dwóch ułamków o tych samych licznikach, ten z mniejszym mianownikiem jest większy, tj. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ dla $ m
3. właściwy ułamek jest zawsze mniejszy niż jeden; ułamek niewłaściwy jest zawsze większy niż jeden; ułamek, którego licznik jest równy mianownikowi, jest równy jeden;
4. Każdy ułamek niewłaściwy jest większy niż jakikolwiek ułamek właściwy.

Liczby dziesiętne

Zapis liczby dziesiętnej (ułamek dziesiętny) ma postać: część całkowita, kropka dziesiętna, część ułamkowa. Zapis dziesiętny zwykłego ułamka można uzyskać, dzieląc „kąt” licznika przez mianownik. Może to skutkować albo skończonym ułamkiem dziesiętnym, albo nieskończonym okresowym ułamkiem dziesiętnym.

Definicja

Cyfry ułamkowe nazywane są miejscami dziesiętnymi. W takim przypadku pierwsza cyfra po przecinku nazywana jest cyfrą dziesiątą, druga - cyfra setna, trzecia - cyfra tysięczna itd.

Przykład 1

Określamy wartość liczby dziesiętnej 3,74. Otrzymujemy: 3,74 $=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Liczbę dziesiętną można zaokrąglić. W takim przypadku należy określić cyfrę, do której wykonywane jest zaokrąglanie.

Zasada zaokrąglania jest następująca:

1. wszystkie cyfry na prawo od tej cyfry są zastępowane zerami (jeśli te cyfry są przed przecinkiem) lub odrzucane (jeśli te cyfry są po przecinku);
2. jeżeli pierwsza cyfra po podanej cyfrze jest mniejsza niż 5, to cyfra tej cyfry nie ulega zmianie;
3. jeżeli pierwsza cyfra po podanej cyfrze wynosi 5 lub więcej, to cyfra tej cyfry jest zwiększana o jeden.

Przykład 2

1. Zaokrąglijmy liczbę 17302 do najbliższego tysiąca: 17000.
2. Zaokrąglijmy liczbę 17378 do najbliższej setki: 17400.
3. Zaokrąglijmy liczbę 17378,45 do dziesiątek: 17380.
4. Zaokrąglijmy liczbę 378.91434 do najbliższej setnej części: 378,91.
5. Zaokrąglijmy liczbę 378.91534 do najbliższej setnej części: 378,92.

Konwersja liczby dziesiętnej na zwykły ułamek.

Przypadek 1

Liczba dziesiętna jest końcowym dziesiętnym.

Sposób konwersji pokazano w poniższym przykładzie.

Przykład 2

Mamy: 3,74 $=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Zredukuj do wspólnego mianownika i uzyskaj:

Ułamek można zmniejszyć: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Przypadek 2

Liczba dziesiętna to nieskończona cykliczna liczba dziesiętna.

Metoda transformacji opiera się na fakcie, że okresową część okresowego ułamka dziesiętnego można uznać za sumę elementów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Przykład 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Pierwszym elementem progresji jest $a=0.74$, mianownik progresji to $q=0.01$.

Przykład 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Pierwszy element progresji to $a=0,08$, mianownik progresji to $q=0,1$.

Suma wyrazów nieskończenie malejącego ciągu geometrycznego jest obliczana według wzoru $s=\frac(a)(1-q) $, gdzie $a$ jest pierwszym wyrazem, a $q$ jest mianownikiem ciągu $ \lewo (0

Przykład 6

Zamieńmy nieskończony okresowy ułamek dziesiętny $0,\left(72\right)$ na zwykły.

Pierwszy element progresji to $a=0.72$, mianownik progresji to $q=0.01$. Otrzymujemy: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Czyli $0,\left(72\right)=\frac(8)(11)$.

Przykład 7

Zamieńmy nieskończony okresowy ułamek dziesiętny $0,5\left(3\right)$ na zwykły.

Pierwszy element progresji to $a=0,03$, mianownik progresji to $q=0,1$. Otrzymujemy: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Czyli $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez punkty na osi liczbowej.

W tym przypadku oś liczbową nazywamy nieskończoną linią, na której zaznaczony jest początek (punkt $O$), kierunek dodatni (wskazywany strzałką) i skala (do wyświetlania wartości).

Pomiędzy wszystkimi liczbami rzeczywistymi a wszystkimi punktami osi liczbowej istnieje zależność jeden do jednego: każdy punkt odpowiada jednej liczbie i odwrotnie, każda liczba odpowiada jednemu punktowi. Dlatego zbiór liczb rzeczywistych jest ciągły i nieskończony w taki sam sposób, w jaki oś liczb jest ciągła i nieskończona.

Niektóre podzbiory zbioru liczb rzeczywistych nazywane są interwałami liczbowymi. Elementami przedziału liczbowego są liczby $x\in R$ spełniające pewną nierówność. Niech $a\in R$, $b\in R$ i $a\le b$. W takim przypadku rodzaje luk mogą wyglądać następująco:

1. Odstęp $\lewy(a,\; b\prawy)$. W tym samym czasie $ a
2. Segment $\lewy$. Co więcej, $a\le x\le b$.
3. Półodcinki lub półodstępy $\left$. W tym samym czasie $ a \le x
4. Nieskończone rozpiętości, np. $a

Duże znaczenie ma też rodzaj interwału, zwany sąsiedztwem punktu. Sąsiedztwo danego punktu $x_(0) \in R$ jest dowolnym przedziałem $\left(a,\; b\right)$ zawierającym ten punkt w sobie, tj. $a 0$ - 10. promień.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna (lub moduł) liczby rzeczywistej $x$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą $\left|x\right|$, określoną wzorem: $\left|x\right|=\left\(\ początek(tablica)(c) (\; \; x\; \; (\rm wł.)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm wł.)\; \; x

Geometrycznie $\left|x\right|$ oznacza odległość między punktami $x$ i 0 na osi rzeczywistej.

Własności wartości bezwzględnych:

1. z definicji wynika, że ​​$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. dla modułu sumy i modułu różnicy dwóch liczb, nierówności $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ oraz $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. moduł iloczynu i moduł ilorazu dwóch liczb spełniają równania $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ i $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Na podstawie definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby $a>0$ można również ustalić równoważność następujących par nierówności:

1. jeśli $ \left|x\right|
2. jeśli $\left|x\right|\le a$ to $-a\le x\le a$;
3. jeśli $\left|x\right|>a$ to albo $xa$;
4. jeśli $\left|x\right|\ge a$, to albo $x\le -a$ albo $x\ge a$.

Przykład 8

Rozwiąż nierówność $\left|2\cdot x+1\right|

Ta nierówność jest równoważna nierównościom $-7

Stąd otrzymujemy: $-8

Linia liczbowa, oś liczbowa, to linia, na której przedstawione są liczby rzeczywiste. Na linii prostej wybierany jest początek - punkt O (punkt O reprezentuje 0) i punkt L, reprezentujący jednostkę. Punkt L zwykle znajduje się na prawo od punktu O. Segment OL nazywany jest segmentem jednostkowym.

Punkty na prawo od punktu O reprezentują liczby dodatnie. Kropki po lewej stronie kropki. Och, przedstaw liczby ujemne. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę dodatnią x, to odległość OX = x. Jeżeli punkt X reprezentuje liczbę ujemną x, to odległość OX = - x.

Liczba wskazująca położenie punktu na linii prostej nazywana jest współrzędną tego punktu.

Punkt V pokazany na rysunku ma współrzędną 2, a punkt H ma współrzędną -2,6.

Moduł liczby rzeczywistej to odległość od początku do punktu odpowiadającego tej liczbie. Wyznacz moduł liczby x, więc: | x |. Oczywiście | 0 | = 0.

Jeśli liczba x jest większa od 0, to | x | = x, a jeśli x jest mniejsze od 0, to | x | =-x. Na tych właściwościach modułu opiera się rozwiązanie wielu równań i nierówności za pomocą modułu.

Przykład: Rozwiąż równanie | x-3 | = 1.

Rozwiązanie: Rozważ dwa przypadki - pierwszy przypadek, gdy x -3 > 0, i drugi przypadek, gdy x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

W tym przypadku | x-3 | = x - 3.

Równanie przyjmuje postać x - 3 \u003d 1, x \u003d 4, 4\u003e 3 - spełniają pierwszy warunek.

2. x -3 0, x 3.

W tym przypadku | x-3 | = - x + 3

Równanie przyjmuje postać x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - spełniają drugi warunek.

Odpowiedź: x = 4, x = -2.

Wyrażenia liczbowe.

Wyrażenie numeryczne to zbiór co najmniej jednej liczby i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami.
Przykłady wyrażeń numerycznych:

Wartość wyrażenia liczbowego jest liczbą.
Operacje w wyrażeniach liczbowych wykonywane są w następującej kolejności:

1. Akcje w nawiasach.

2. Obliczanie funkcji.

3. Potęgowanie

4. Mnożenie i dzielenie.

5. Dodawanie i odejmowanie.

6. Operacje tego samego typu wykonuje się od lewej do prawej.

Zatem wartością pierwszego wyrażenia będzie sama liczba 12,3
Aby obliczyć wartość drugiego wyrażenia, wykonamy czynności w następującej kolejności:

1. Wykonaj czynności w nawiasach w następującej kolejności - najpierw podnosimy 2 do trzeciej potęgi, a następnie od otrzymanej liczby odejmujemy 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Pomnóż 3 przez 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Wykonaj operacje sekwencyjnie od lewej do prawej:

12 + (-3) = 9.
Wyrażenie ze zmiennymi to zbiór jednej lub więcej liczb, zmiennych i funkcji połączonych operatorami arytmetycznymi i nawiasami. Wartości wyrażeń ze zmiennymi zależą od wartości zawartych w nim zmiennych. Kolejność operacji jest tutaj taka sama jak w przypadku wyrażeń liczbowych. Czasami przydatne jest uproszczenie wyrażeń ze zmiennymi poprzez wykonanie różnych czynności - nawiasy, rozwinięcie nawiasów, grupowanie, redukcja ułamków, redukcja podobnych itp. Ponadto, aby uprościć wyrażenia, często stosuje się różne formuły, na przykład skrócone formuły mnożenia, właściwości różnych funkcji itp.

Wyrażenia algebraiczne.

Wyrażenie algebraiczne to jedna lub więcej wielkości algebraicznych (liczb i liter) połączonych znakami działań algebraicznych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem, a także wyciąganiem pierwiastka i podnoszeniem do potęgi całkowitej (co więcej, pierwiastek i wykładnik muszą koniecznie być liczbami całkowitymi) i znakami kolejności tych działań (zwykle różnego rodzaju nawiasy). Liczba wartości zawartych w wyrażeniu algebraicznym musi być skończona.

Przykład wyrażenia algebraicznego:

„Wyrażenie algebraiczne” jest pojęciem składniowym, to znaczy, że coś jest wyrażeniem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzega pewnych reguł gramatycznych (patrz Gramatyka formalna). Jeśli litery w wyrażeniu algebraicznym są uważane za zmienne, to wyrażenie algebraiczne nabiera znaczenia funkcji algebraicznej.

nr 1. Własności liczb wymiernych.

 porządek . Dla dowolnych liczb wymiernych i istnieje zasada, która pozwala jednoznacznie zidentyfikować między nimi jedną i tylko jedną z trzech relacje: "", "" lub "". Ta zasada nazywa się reguła zamawiania i jest sformułowany w następujący sposób: dwie liczby dodatnie są połączone tą samą relacją, co dwie liczby całkowite; dwie liczby niedodatnie i są powiązane taką samą relacją jak dwie liczby nieujemne i; jeśli nagle nie negatywne, ale negatywne, to.

sumowanie ułamków

 Operacja dodawania . reguła sumowania, co stawia je w zgodności z pewną liczbą wymierną . W tym przypadku sam numer nazywa się suma oznaczamy liczby u, a proces znajdowania takiej liczby nazywamy podsumowanie. Reguła sumowania ma następującą postać: .

 operacja mnożenia . Dla dowolnych liczb wymiernych i istnieje tzw reguła mnożenia, co stawia je w zgodności z pewną liczbą wymierną . W tym przypadku sam numer nazywa się praca liczby ii są oznaczone, a proces znajdowania takiej liczby jest również nazywany mnożenie. Zasada mnożenia jest następująca: .

 Przechodniość relacje porządku. Dla dowolnej trójki liczb wymiernych , a jeśli coraz mniej, to mniej, a jeśli równe i równe, to równe.

 przemienność dodatek. Od zmiany miejsc wyrażeń racjonalnych suma się nie zmienia.

 Łączność dodatek. Kolejność dodawania trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

 Dostępnośćzero . Istnieje liczba wymierna 0, która po zsumowaniu zachowuje każdą inną liczbę wymierną.

 Obecność liczb przeciwnych. Każda liczba wymierna ma przeciwną liczbę wymierną, która po zsumowaniu daje 0.

 Przemienność mnożenia. Zmieniając miejsca czynników racjonalnych, produkt się nie zmienia.

 Łączność mnożenia. Kolejność mnożenia trzech liczb wymiernych nie wpływa na wynik.

 Dostępnośćjednostki . Istnieje liczba wymierna 1, która zachowuje każdą inną liczbę wymierną po pomnożeniu.

 Dostępnośćliczby odwrotne . Każda niezerowa liczba wymierna ma odwrotną liczbę wymierną, której pomnożenie daje 1.

 dystrybucyjność mnożenie ze względu na dodawanie. Operacja mnożenia jest zgodna z operacją dodawania poprzez prawo dystrybucji:

 Połączenie relacji zlecenia z operacją dodawania. Po lewej i prawej stronie nierówności wymiernej można dodać tę samą liczbę wymierną.

 Powiązanie relacji porządku z operacją mnożenia. Lewą i prawą stronę nierówności wymiernej można pomnożyć przez tę samą dodatnią liczbę wymierną.

 Aksjomat Archimedesa . Niezależnie od liczby wymiernej , możesz wziąć tyle jednostek, że ich suma przekroczy.

nr 2. Moduł liczby rzeczywistej.

Definicja . Modułem nieujemnej liczby rzeczywistej x jest sama liczba: | x | = x; moduł ujemnej liczby rzeczywistej x jest liczbą przeciwną: I x | =-x.

W skrócie jest to napisane tak:

2. Geometryczne znaczenie modułu liczby rzeczywistej

Wróćmy do zbioru R liczb rzeczywistych i jego geometrii modele- Numer linii. Zaznaczamy na linii dwa punkty a i b (dwie liczby rzeczywiste a i b), oznaczamy przez (a, b) odległość między punktami a i b (- litera alfabetu greckiego „ro”). Ta odległość jest równa b - a, jeśli b > a (ryc. 101), jest równa a - b, jeśli a > b (ryc. 102), ostatecznie wynosi zero, jeśli a = b.

Wszystkie trzy przypadki objęte są jedną formułą:

b) Równanie | x + 3,2 | = 2 przepisz w postaci | x - (- 3,2) | \u003d 2 i dalej (x, - 3,2) \u003d 2. Na linii współrzędnych znajdują się dwa punkty, które są usuwane z punktu - 3,2 w odległości równej 2. Są to punkty - 5,2 i - 1,2 (ryc. 104). Więc równanie ma dwa źródło: -5,2 i -1,2.

№4.ZESTAW RZECZYWISTYCH LICZB

Suma zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych nazywa się zbiorem ważny (lub materiał ) liczby . Zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczony symbolem R. Oczywiście, .

Liczby rzeczywiste są wyświetlane na oś liczbowa Oh kropki (ryc.). W tym przypadku każda liczba rzeczywista odpowiada pewnemu punktowi osi liczbowej, a każdy punkt osi odpowiada określonej liczbie rzeczywistej.

Dlatego zamiast słów „liczba rzeczywista” można powiedzieć „punkt”.

Nr 5. luki liczbowe.

Numer 6. Funkcja liczbowa.

Niech zostanie podany zestaw liczb Jeśli każdej liczbie przyporządkowana jest jedna liczba tak, wtedy mówimy, że na planie D numeryczny funkcjonować :

Pęczek D nazywa zakres funkcji i oznaczone D (f (x)). Zestaw wszystkich elementów f (x), gdzie nazywa się zakres funkcji i oznaczone mi (f (x)).

Numer x często dzwonisz argument funkcji lub zmienna niezależna, a liczba tak- zmienna zależna, a właściwie funkcjonować zmienny x. Numer odpowiadający wartości nazywa się wartość funkcji w punkcie i oznaczają lub

Aby ustawić funkcję f, musisz określić:

1) jego dziedzina definicji D (f (x));

2) określić regułę f, zgodnie z którym każda wartość jest powiązana z jakąś wartością tak = f (x).

№7. funkcja odwrotna,

Funkcja odwrotna

Jeśli role argumentu i funkcji są odwrócone, to x staje się funkcją tak. W tym przypadku mówi się o nowej funkcji o nazwie funkcja odwrotna. Załóżmy, że mamy funkcję:

v = ty 2 ,

gdzie ty- argument, a v- funkcja. Jeśli odwrócimy ich role, otrzymamy ty jako funkcja v :

Jeśli oznaczymy argument w obu funkcjach jako x , a funkcja przez tak, wtedy mamy dwie funkcje:

z których każdy jest odwrotnością drugiego.

PRZYKŁADY. Te funkcje są odwrotne do siebie:

1) grzech x i arcsin x, ponieważ jeśli tak= grzech x, następnie x= Arcsin tak;

2) cos x i Arccos x, ponieważ jeśli tak= cos x, następnie x= Arccos tak;

3) tan x i Arctan x, ponieważ jeśli tak= tan x, następnie x= Arktan tak;

4) mi x i nie x, ponieważ jeśli tak= mi x, następnie x=ln tak.

Odwrotne funkcje trygonometryczne- funkcje matematyczne odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Odwrotne funkcje trygonometryczne zwykle zawierają sześć funkcji:

arcus sinus(symbol: arcsin)

cosinus łuku(symbol: arccos)

łuk styczny(oznaczenie: arctg; w literaturze zagranicznej arctan)

łuk styczny(oznaczenie: arcctg; w literaturze zagranicznej arccotan)

arcsecans(symbol: arcsec)

arccosecans(oznaczenie: arccosec; w literaturze zagranicznej arccsc)

№8. Podstawowe funkcje elementarne. Podstawowe funkcje

Warto zauważyć, że odwrotne funkcje trygonometryczne są wielowartościowe (nieskończenie istotne), operując nimi stosuje się tzw. wartości główne.

№9. Liczby zespolone

są napisane jako: a+ bi. Tutaj a oraz b – liczby rzeczywiste, a i – jednostka urojona, tj. i 2 = –1. Numer a nazywa odcięta, a b – rzędna Liczba zespolona a+ b.i. Dwie liczby zespolone a+ bi oraz a – bi nazywa sprzężony Liczby zespolone.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez punkty na linii prostej, jak pokazano na rysunku, gdzie punkt A reprezentuje liczbę 4, a punkt B reprezentuje liczbę -5. Te same liczby mogą być również reprezentowane przez segmenty OA, OB, biorąc pod uwagę nie tylko ich długość, ale także kierunek.

Każdy punkt M na osi liczbowej przedstawia pewną liczbę rzeczywistą (racjonalną, jeśli odcinek OM jest współmierny do jednostki długości, i nieracjonalny, jeśli jest niewspółmierny). Tak więc na osi liczbowej nie ma miejsca na liczby zespolone.

Ale liczby zespolone mogą być reprezentowane na płaszczyźnie liczbowej. W tym celu wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie, o tej samej skali na obu osiach.

Liczba zespolona a + b ja reprezentowany przez punkt M, w którym odcięta x jest równa odciętej a liczba zespolona, ​​a rzędna y jest równa rzędnej b Liczba zespolona.

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy wartość bezwzględna liczby. Podamy różne definicje modułu liczby, wprowadzimy notację i podamy ilustracje graficzne. W tym przypadku rozważymy różne przykłady znajdowania modułu liczby z definicji. Następnie wymieniamy i uzasadniamy główne właściwości modułu. Na końcu artykułu porozmawiamy o tym, jak określa się i znajduje moduł liczby zespolonej.

Nawigacja po stronach.

Moduł liczby - definicja, zapis i przykłady

Najpierw przedstawiamy oznaczenie modułu. Moduł liczby a zapiszemy jako , to znaczy po lewej i prawej stronie liczby wstawimy pionowe linie tworzące znak modułu. Podajmy kilka przykładów. Na przykład modulo -7 można zapisać jako ; moduł 4,125 jest zapisany jako , a moduł jest zapisany jako .

Poniższa definicja modułu odnosi się do, a zatem do i do liczb całkowitych oraz do liczb wymiernych i niewymiernych, jako części składowych zbioru liczb rzeczywistych. Porozmawiamy o module liczby zespolonej w.

Definicja.

Moduł jest albo samą liczbą a, jeśli a jest liczbą dodatnią, albo liczbą −a, przeciwnie do liczby a, jeśli a jest liczbą ujemną, lub 0, jeśli a=0.

Dźwięczna definicja modułu liczby jest często zapisywana w następującej formie: , ten zapis oznacza, że ​​jeśli a>0 , jeśli a=0 i jeśli a<0 .

Rekord można przedstawić w bardziej zwartej formie . Ten zapis oznacza, że ​​jeśli (a jest większe lub równe 0 ) i jeśli a<0 .

Jest też rekord . Tutaj przypadek, w którym a=0 należy wyjaśnić osobno. W tym przypadku mamy , ale −0=0 , ponieważ zero jest uważane za liczbę przeciwną do siebie.

Przynieśmy przykłady znajdowania modułu liczby z podaną definicją. Na przykład znajdźmy moduły liczb 15 i . Zacznijmy od znalezienia . Ponieważ liczba 15 jest dodatnia, jej moduł jest z definicji równy tej liczbie, czyli . Jaki jest moduł liczby? Ponieważ jest liczbą ujemną, to jej moduł jest równy liczbie przeciwnej do liczby, czyli liczbie . Zatem, .

Na zakończenie tego akapitu podajemy jeden wniosek, który jest bardzo wygodny do zastosowania w praktyce przy ustalaniu modułu liczby. Z definicji modułu liczby wynika, że moduł liczby jest równy liczbie pod znakiem modułu, niezależnie od jego znaku, a z przykładów omówionych powyżej widać to bardzo wyraźnie. Stwierdzenie dźwięczne wyjaśnia, dlaczego moduł liczby jest również nazywany wartość bezwzględna liczby. Tak więc moduł liczby i wartość bezwzględna liczby są jednym i tym samym.

Moduł liczby jako odległość

Geometrycznie moduł liczby można interpretować jako dystans. Przynieśmy wyznaczanie modułu liczby w funkcji odległości.

Definicja.

Moduł to odległość od początku linii współrzędnych do punktu odpowiadającego liczbie a.

Definicja ta jest zgodna z definicją modułu liczby podaną w akapicie pierwszym. Wyjaśnijmy ten punkt. Odległość od początku do punktu odpowiadającego liczbie dodatniej jest równa tej liczbie. Zero odpowiada początkowi, więc odległość od początku do punktu o współrzędnej 0 wynosi zero (żadnego pojedynczego odcinka ani żadnego odcinka stanowiącego ułamek jednostkowego odcinka nie trzeba przełożyć, aby dostać się z punktu O do punktu ze współrzędną 0). Odległość od początku do punktu o ujemnej współrzędnej jest równa liczbie przeciwnej do współrzędnej danego punktu, ponieważ jest równa odległości od początku do punktu, którego współrzędna jest przeciwna.

Na przykład moduł liczby 9 wynosi 9, ponieważ odległość od początku do punktu o współrzędnej 9 wynosi dziewięć. Weźmy inny przykład. Punkt o współrzędnej -3,25 znajduje się w odległości 3,25 od punktu O, więc .

Brzmiona definicja modułu liczby jest szczególnym przypadkiem definiowania modułu różnicy dwóch liczb.

Definicja.

Moduł różnicowy dwóch liczb a i b są równe odległości między punktami linii współrzędnych o współrzędnych a i b .

To znaczy, jeśli dane są punkty na linii współrzędnych A(a) i B(b), to odległość od punktu A do punktu B jest równa modułowi różnicy między liczbami a i b. Jeśli przyjmiemy punkt O (punkt odniesienia) jako punkt B, to otrzymamy definicję modułu liczby podanej na początku tego paragrafu.

Wyznaczanie modułu liczby za pomocą arytmetycznego pierwiastka kwadratowego

Czasami znaleziony wyznaczanie modułu przez arytmetyczny pierwiastek kwadratowy.

Na przykład obliczmy moduły liczb -30 i w oparciu o tę definicję. Mamy . Podobnie obliczamy moduł dwóch trzecich: .

Definicja modułu liczby w postaci arytmetycznego pierwiastka kwadratowego jest również zgodna z definicją podaną w pierwszym akapicie tego artykułu. Pokażmy to. Niech a będzie liczbą dodatnią, a −a będzie liczbą ujemną. Następnie oraz , jeśli a=0 , to .

Właściwości modułu

Moduł posiada szereg charakterystycznych wyników - właściwości modułu. Teraz podamy główne i najczęściej używane z nich. Uzasadniając te własności, będziemy opierać się na definicji modułu liczby w kategoriach odległości.

Zacznijmy od najbardziej oczywistej właściwości modułu − moduł liczby nie może być liczbą ujemną. W postaci dosłownej ta właściwość ma postać dowolnej liczby a . Ta właściwość jest bardzo łatwa do uzasadnienia: modułem liczby jest odległość, a odległość nie może być wyrażona jako liczba ujemna.

Przejdźmy do kolejnej właściwości modułu. Moduł liczby jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba wynosi zero. Z definicji moduł zerowy wynosi zero. Zero odpowiada początkowi, żaden inny punkt na linii współrzędnych nie odpowiada zero, ponieważ każda liczba rzeczywista jest powiązana z pojedynczym punktem na linii współrzędnych. Z tego samego powodu każda liczba inna niż zero odpowiada punktowi innemu niż początek. A odległość od początku do dowolnego punktu innego niż punkt O nie jest równa zeru, ponieważ odległość między dwoma punktami jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy te punkty się pokrywają. Powyższe rozumowanie dowodzi, że tylko moduł zero jest równy zeru.

Pójść dalej. Liczby przeciwne mają równe moduły, to znaczy dla dowolnej liczby a . Rzeczywiście, dwa punkty na linii współrzędnych, których współrzędne są przeciwstawnymi liczbami, znajdują się w tej samej odległości od początku, co oznacza, że ​​moduły o przeciwnych liczbach są równe.

Następna właściwość modułu to: moduł iloczynu dwóch liczb jest równy iloczynowi modułów tych liczb, tj, . Z definicji moduł iloczynu liczb a i b wynosi albo a b jeśli , albo -(a b) jeśli . Z reguł mnożenia liczb rzeczywistych wynika, że ​​iloczyn modułów liczb a i b jest równy albo a b , albo −(a b) , if , co dowodzi rozważanej własności.

Moduł ilorazu dzielenia a przez b jest równy ilorazowi dzielenia modułu a przez moduł b, tj, . Uzasadnijmy tę właściwość modułu. Ponieważ iloraz jest równy iloczynowi, to . Na mocy poprzedniej własności mamy . Pozostaje tylko użyć równości , która jest ważna ze względu na definicję modułu liczby.

Następująca właściwość modułu jest zapisana jako nierówność: , a , b i c to dowolne liczby rzeczywiste. Zapisana nierówność to nic innego jak nierówność trójkąta. Aby to wyjaśnić, weźmy punkty A(a) , B(b) , C(c) na linii współrzędnych i rozważmy zdegenerowany trójkąt ABC, którego wierzchołki leżą na tej samej linii. Z definicji moduł różnicy jest równy długości segmentu AB, - długości segmentu AC, oraz - długości segmentu CB. Ponieważ długość dowolnego boku trójkąta nie przekracza sumy długości pozostałych dwóch boków, nierówność , zatem nierówność również się utrzymuje.

Udowodniona właśnie nierówność występuje znacznie częściej w formie . Pisana nierówność jest zwykle traktowana jako odrębna własność modułu ze sformułowaniem: „ Moduł sumy dwóch liczb nie przekracza sumy modułów tych liczb”. Ale nierówność wynika bezpośrednio z nierówności , jeśli wstawimy do niej −b zamiast b i przyjmiemy c=0 .

Moduł liczb zespolonych

Dajmy wyznaczanie modułu liczby zespolonej. Dajmy się Liczba zespolona, zapisany w formie algebraicznej , gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, reprezentującymi odpowiednio część rzeczywistą i urojoną danej liczby zespolonej z, i jest jednostką urojoną.

Definicja.

Moduł liczby zespolonej z=x+i y nazywamy arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym z sumy kwadratów części rzeczywistych i urojonych danej liczby zespolonej.

Moduł liczby zespolonej z jest oznaczony jako , to brzmiała definicja modułu liczby zespolonej może być zapisana jako .

Ta definicja pozwala obliczyć moduł dowolnej liczby zespolonej w notacji algebraicznej. Na przykład obliczmy moduł liczby zespolonej. W tym przykładzie część rzeczywista liczby zespolonej to , a część urojona to minus cztery. Wtedy z definicji modułu liczby zespolonej mamy .

Interpretację geometryczną modułu liczby zespolonej można podać w kategoriach odległości, analogicznie do interpretacji geometrycznej modułu liczby rzeczywistej.

Definicja.

Moduł liczb zespolonych z jest odległością od początku płaszczyzny zespolonej do punktu odpowiadającego liczbie z na tej płaszczyźnie.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa odległość od punktu O do punktu o współrzędnych (x, y) jest określana jako , a zatem , gdzie . Dlatego ostatnia definicja modułu liczby zespolonej zgadza się z pierwszą.

Ta definicja pozwala również od razu wskazać, jaki jest moduł liczby zespolonej z, jeśli jest zapisany w formie trygonometrycznej jako lub w formie wykładniczej. Tutaj . Na przykład moduł liczby zespolonej wynosi 5 , a moduł liczby zespolonej to .

Można również zauważyć, że iloczyn liczby zespolonej i jej sprzężenia zespolonego daje sumę kwadratów części rzeczywistej i urojonej. Naprawdę, . Wynikowa równość pozwala nam podać jeszcze jedną definicję modułu liczby zespolonej.

Definicja.

Moduł liczb zespolonych z jest arytmetycznym pierwiastkiem kwadratowym iloczynu tej liczby i jej sprzężenia zespolonego, czyli .

Podsumowując, zauważamy, że wszystkie właściwości modułu sformułowane w odpowiednim podrozdziale obowiązują również dla liczb zespolonych.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik na 8 komórek. instytucje edukacyjne.
• Lunts G.L., Elsgolts L.E. Funkcje zmiennej złożonej: podręcznik dla uczelni.
• Privalov I.I. Wprowadzenie do teorii funkcji zmiennej zespolonej.

Wiemy już, że zbiór liczb rzeczywistych $R$ tworzą liczby wymierne i niewymierne.

Liczby wymierne można zawsze przedstawić jako ułamki dziesiętne (okresowe skończone lub nieskończone).

Liczby niewymierne są zapisywane jako nieskończone, ale niepowtarzalne ułamki dziesiętne.

Zbiór liczb rzeczywistych $R$ zawiera również elementy $-\infty $ i $+\infty $, dla których nierówności $-\infty

Rozważ sposoby przedstawiania liczb rzeczywistych.

Wspólne ułamki

Ułamki zwykłe zapisuje się za pomocą dwóch liczb naturalnych i poziomej kreski ułamkowej. Słupek ułamkowy faktycznie zastępuje znak podziału. Liczba pod linią to mianownik (dzielnik), liczba nad linią to licznik (podzielny).

Definicja

Ułamek nazywamy właściwym, jeśli jego licznik jest mniejszy niż mianownik. I odwrotnie, ułamek nazywany jest niewłaściwym, jeśli jego licznik jest większy lub równy jego mianownikowi.

Dla zwykłych ułamków istnieją proste, praktycznie oczywiste reguły porównania ($m$,$n$,$p$ są liczbami naturalnymi):

1. z dwóch ułamków o tych samych mianownikach, ten z większym licznikiem jest większy, tj. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ dla $m>n$;
2. z dwóch ułamków o tych samych licznikach, ten z mniejszym mianownikiem jest większy, tj. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ dla $ m
3. właściwy ułamek jest zawsze mniejszy niż jeden; ułamek niewłaściwy jest zawsze większy niż jeden; ułamek, którego licznik jest równy mianownikowi, jest równy jeden;
4. Każdy ułamek niewłaściwy jest większy niż jakikolwiek ułamek właściwy.

Liczby dziesiętne

Zapis liczby dziesiętnej (ułamek dziesiętny) ma postać: część całkowita, kropka dziesiętna, część ułamkowa. Zapis dziesiętny zwykłego ułamka można uzyskać, dzieląc „kąt” licznika przez mianownik. Może to skutkować albo skończonym ułamkiem dziesiętnym, albo nieskończonym okresowym ułamkiem dziesiętnym.

Definicja

Cyfry ułamkowe nazywane są miejscami dziesiętnymi. W takim przypadku pierwsza cyfra po przecinku nazywana jest cyfrą dziesiątą, druga - cyfra setna, trzecia - cyfra tysięczna itd.

Przykład 1

Określamy wartość liczby dziesiętnej 3,74. Otrzymujemy: 3,74 $=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Liczbę dziesiętną można zaokrąglić. W takim przypadku należy określić cyfrę, do której wykonywane jest zaokrąglanie.

Zasada zaokrąglania jest następująca:

1. wszystkie cyfry na prawo od tej cyfry są zastępowane zerami (jeśli te cyfry są przed przecinkiem) lub odrzucane (jeśli te cyfry są po przecinku);
2. jeżeli pierwsza cyfra po podanej cyfrze jest mniejsza niż 5, to cyfra tej cyfry nie ulega zmianie;
3. jeżeli pierwsza cyfra po podanej cyfrze wynosi 5 lub więcej, to cyfra tej cyfry jest zwiększana o jeden.

Przykład 2

1. Zaokrąglijmy liczbę 17302 do najbliższego tysiąca: 17000.
2. Zaokrąglijmy liczbę 17378 do najbliższej setki: 17400.
3. Zaokrąglijmy liczbę 17378,45 do dziesiątek: 17380.
4. Zaokrąglijmy liczbę 378.91434 do najbliższej setnej części: 378,91.
5. Zaokrąglijmy liczbę 378.91534 do najbliższej setnej części: 378,92.

Konwersja liczby dziesiętnej na zwykły ułamek.

Przypadek 1

Liczba dziesiętna jest końcowym dziesiętnym.

Sposób konwersji pokazano w poniższym przykładzie.

Przykład 2

Mamy: 3,74 $=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Zredukuj do wspólnego mianownika i uzyskaj:

Ułamek można zmniejszyć: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Przypadek 2

Liczba dziesiętna to nieskończona cykliczna liczba dziesiętna.

Metoda transformacji opiera się na fakcie, że okresową część okresowego ułamka dziesiętnego można uznać za sumę elementów nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Przykład 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Pierwszym elementem progresji jest $a=0.74$, mianownik progresji to $q=0.01$.

Przykład 5

$0.5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Pierwszy element progresji to $a=0,08$, mianownik progresji to $q=0,1$.

Suma wyrazów nieskończenie malejącego ciągu geometrycznego jest obliczana według wzoru $s=\frac(a)(1-q) $, gdzie $a$ jest pierwszym wyrazem, a $q$ jest mianownikiem ciągu $ \lewo (0

Przykład 6

Zamieńmy nieskończony okresowy ułamek dziesiętny $0,\left(72\right)$ na zwykły.

Pierwszy element progresji to $a=0.72$, mianownik progresji to $q=0.01$. Otrzymujemy: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11)$. Czyli $0,\left(72\right)=\frac(8)(11)$.

Przykład 7

Zamieńmy nieskończony okresowy ułamek dziesiętny $0,5\left(3\right)$ na zwykły.

Pierwszy element progresji to $a=0,03$, mianownik progresji to $q=0,1$. Otrzymujemy: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30)$.

Czyli $0.5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30 ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane przez punkty na osi liczbowej.

W tym przypadku oś liczbową nazywamy nieskończoną linią, na której zaznaczony jest początek (punkt $O$), kierunek dodatni (wskazywany strzałką) i skala (do wyświetlania wartości).

Pomiędzy wszystkimi liczbami rzeczywistymi a wszystkimi punktami osi liczbowej istnieje zależność jeden do jednego: każdy punkt odpowiada jednej liczbie i odwrotnie, każda liczba odpowiada jednemu punktowi. Dlatego zbiór liczb rzeczywistych jest ciągły i nieskończony w taki sam sposób, w jaki oś liczb jest ciągła i nieskończona.

Niektóre podzbiory zbioru liczb rzeczywistych nazywane są interwałami liczbowymi. Elementami przedziału liczbowego są liczby $x\in R$ spełniające pewną nierówność. Niech $a\in R$, $b\in R$ i $a\le b$. W takim przypadku rodzaje luk mogą wyglądać następująco:

1. Odstęp $\lewy(a,\; b\prawy)$. W tym samym czasie $ a
2. Segment $\lewy$. Co więcej, $a\le x\le b$.
3. Półodcinki lub półodstępy $\left$. W tym samym czasie $ a \le x
4. Nieskończone rozpiętości, np. $a

Duże znaczenie ma też rodzaj interwału, zwany sąsiedztwem punktu. Sąsiedztwo danego punktu $x_(0) \in R$ jest dowolnym przedziałem $\left(a,\; b\right)$ zawierającym ten punkt w sobie, tj. $a 0$ - 10. promień.

Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględna (lub moduł) liczby rzeczywistej $x$ jest nieujemną liczbą rzeczywistą $\left|x\right|$, określoną wzorem: $\left|x\right|=\left\(\ początek(tablica)(c) (\; \; x\; \; (\rm wł.)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm wł.)\; \; x

Geometrycznie $\left|x\right|$ oznacza odległość między punktami $x$ i 0 na osi rzeczywistej.

Własności wartości bezwzględnych:

1. z definicji wynika, że ​​$\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
2. dla modułu sumy i modułu różnicy dwóch liczb, nierówności $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\ left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ oraz $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y \right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
3. moduł iloczynu i moduł ilorazu dwóch liczb spełniają równania $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ i $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Na podstawie definicji wartości bezwzględnej dla dowolnej liczby $a>0$ można również ustalić równoważność następujących par nierówności:

1. jeśli $ \left|x\right|
2. jeśli $\left|x\right|\le a$ to $-a\le x\le a$;
3. jeśli $\left|x\right|>a$ to albo $xa$;
4. jeśli $\left|x\right|\ge a$, to albo $x\le -a$ albo $x\ge a$.

Przykład 8

Rozwiąż nierówność $\left|2\cdot x+1\right|

Ta nierówność jest równoważna nierównościom $-7

Stąd otrzymujemy: $-8