Czym są czynniki pierwsze. Faktoring liczby

Co to znaczy podzielić na czynniki pierwsze? Jak to zrobić? Czego można się nauczyć z rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

Definicje:

Liczba pierwsza to liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki.

Liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

rozkładać się Liczba naturalna do czynników oznacza przedstawienie go jako iloczynu liczb naturalnych.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

Uwagi:

• W rozwinięciu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jednemu, a drugi jest równy tej liczbie.
• Nie ma sensu mówić o rozkładzie jedności na czynniki.
• Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy różni się od 1.

Podczas rozkładania dużych liczb na czynniki pierwsze używa się wpisu w kolumnie:

	Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2. Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.
	Wynikowa liczba 108 jest podzielna przez 2. Zróbmy podział. W rezultacie otrzymujemy 54.
	Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2. Po podzieleniu otrzymujemy 27.
	Liczba 27 kończy się liczbą nieparzystą 7. Ono Niepodzielna przez 2. Następna liczba pierwsza to 3. Podziel 27 przez 3. Otrzymujemy 9. Najmniejsza liczba pierwsza Liczba podzielna przez 9 to 3. Trójka sama w sobie jest liczbą pierwszą, podzielną przez siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. W rezultacie otrzymaliśmy 1.

• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które są częścią jej rozwinięcia.
• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

Rozważ przykłady:

Znajdź iloraz dzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli te liczby są rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Oświecenie, 1989.
4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na zajęcia z matematyki klasy 5-6. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Zasiłek dla uczniów klas 6 szkoła korespondencyjna MEPhI. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 liceum. - M .: Edukacja, Biblioteka Nauczycieli Matematyki, 1989.

1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

Zadanie domowe

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemozina, 2012. nr 127, nr 129, nr 141.
2. Inne zadania: nr 133, nr 144.

Dowolną liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Istnieje kilka sposobów rozkładu. Każda metoda daje ten sam wynik.

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze? wygodnym sposobem? Zastanówmy się, jak zrobić to lepiej na konkretnych przykładach.

Przykłady. 1) Rozłóż liczbę 1400 na czynniki pierwsze.

1400 jest podzielne przez 2. 2 to liczba pierwsza, nie ma potrzeby rozkładania jej na czynniki. Otrzymujemy 700. Dzielimy przez 2. Otrzymujemy 350. Dzielimy również 350 przez 2. Otrzymaną liczbę 175 można podzielić przez 5. Wynik to z5 - ponownie dzielimy przez 5. Razem - 7. Może być tylko podzielone przez 7. Otrzymaliśmy 1, dzielenie zakończone.

Ta sama liczba może być inaczej rozłożona na czynniki pierwsze:

1400 wygodnie dzieli się przez 10. 10 nie jest liczbą pierwszą, więc musi być rozłożone na czynniki pierwsze: 10=2∙5. Wynik to 140. Ponownie dzielimy przez 10=2∙5. Otrzymujemy 14. Jeśli 14 dzielimy przez 14, to należy to również rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych: 14=2∙7.

W ten sposób ponownie doszliśmy do tego samego rozkładu, co w pierwszym przypadku, ale szybciej.

Wniosek: przy rozkładaniu liczby nie jest konieczne dzielenie jej tylko przez dzielniki pierwsze. Dzielimy przez to, co jest wygodniejsze, na przykład przez 10. Musimy tylko pamiętać, aby rozłożyć złożone dzielniki na proste czynniki.

2) Rozłóż liczbę 1620 na czynniki pierwsze.

Liczbę 1620 najwygodniej podzielić przez 10. Ponieważ 10 nie jest liczbą pierwszą, przedstawiamy ją jako iloczyn czynników pierwszych: 10=2∙5. Mamy 162. Wygodnie jest podzielić ją przez 2. Wynik to 81. Liczbę 81 można podzielić przez 3, ale 9 jest wygodniejsze. Ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą, rozkładamy ją jako 9=3∙3. Mamy 9. Również dzielimy przez 9 i rozkładamy na iloczyn czynników pierwszych.

Co to znaczy rozkładać na czynniki? Jak to zrobić? Czego można się nauczyć z rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

Definicje:

Liczba pierwsza to liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki.

Liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

Faktoryzacja liczby naturalnej oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb naturalnych.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

Uwagi:

• W rozwinięciu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jednemu, a drugi jest równy tej liczbie.
• Nie ma sensu mówić o rozkładzie jedności na czynniki.
• Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy różni się od 1.

Podczas rozkładania dużych liczb na czynniki pierwsze używa się wpisu w kolumnie:

	Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2. Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.
	Wynikowa liczba 108 jest podzielna przez 2. Zróbmy podział. W rezultacie otrzymujemy 54.
	Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2. Po podzieleniu otrzymujemy 27.
	Liczba 27 kończy się liczbą nieparzystą 7. Ono Niepodzielna przez 2. Następna liczba pierwsza to 3. Podziel 27 przez 3. Otrzymujemy 9. Najmniejsza liczba pierwsza Liczba podzielna przez 9 to 3. Trójka sama w sobie jest liczbą pierwszą, podzielną przez siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. W rezultacie otrzymaliśmy 1.

• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które są częścią jej rozwinięcia.
• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

Rozważ przykłady:

Znajdź iloraz dzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli te liczby są rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka 6 klasa. - Gimnazjum. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Oświecenie, 1989.
4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na zajęcia z matematyki klasy 5-6. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów VI klasy szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: MEPhI ZSh, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 liceum. - M .: Edukacja, Biblioteka Nauczycieli Matematyki, 1989.

1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

Zadanie domowe

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemozina, 2012. nr 127, nr 129, nr 141.
2. Inne zadania: nr 133, nr 144.

Każda liczba złożona może być wyrażona jako iloczyn jej dzielników pierwszych:

28 = 2 2 7

Odpowiednie części uzyskanych równości nazywają się rozkład na czynniki pierwsze numery 15 i 28.

Rozłożenie danej liczby złożonej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie tej liczby jako iloczynu jej dzielników pierwszych.

Rozkład danej liczby na czynniki pierwsze odbywa się w następujący sposób:

1. Najpierw musisz wybrać najmniejszą liczbę pierwszą z tabeli liczb pierwszych, przez którą ta liczba złożona jest podzielna bez reszty, i dokonać dzielenia.
2. Następnie należy ponownie wybrać najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą otrzymany iloraz zostanie podzielony bez reszty.
3. Wykonanie drugiej czynności powtarza się aż do uzyskania jednostki w ilorazu.

Jako przykład rozłóżmy na czynniki liczbę 940. Znajdź najmniejszą liczbę pierwszą dzielącą 940. Ta liczba to 2:

Teraz wybieramy najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą podzielna jest 470. Ta liczba to znowu 2:

Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 235 to 5:

Liczba 47 jest liczbą pierwszą, więc najmniejszą liczbą pierwszą, przez którą dzieli się 47, jest sama liczba:

W ten sposób otrzymujemy liczbę 940, rozłożoną na czynniki pierwsze:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Jeśli rozkład liczby na czynniki pierwsze skutkował kilkoma identycznymi czynnikami, to dla zwięzłości można je zapisać jako stopień:

940 = 2 2 5 47

Najwygodniej jest zapisać rozkład na czynniki pierwsze w następujący sposób: najpierw zapisujemy podaną liczbę złożoną i po prawej stronie narysujemy pionową linię:

Po prawej stronie wiersza zapisujemy najmniejszy prosty dzielnik, przez który dana liczba złożona jest podzielna:

Dokonujemy podziału i pod dywidendą wypisujemy otrzymany iloraz:

Z ilorazu robimy to samo, co z daną liczbą złożoną, czyli wybieramy najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą jest podzielna bez reszty i dokonujemy dzielenia. I tak powtarzamy aż do uzyskania jednostki w ilorazu:

Zwróć uwagę, że czasami dość trudno jest rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, ponieważ podczas rozkładu możemy napotkać dużą liczbę, którą trudno określić na bieżąco, czy jest to liczba pierwsza, czy złożona. A jeśli jest złożony, to nie zawsze łatwo jest znaleźć jego najmniejszy dzielnik pierwszy.

Spróbujmy na przykład rozłożyć liczbę 5106 na czynniki pierwsze:

Po osiągnięciu ilorazu 851 trudno od razu określić jego najmniejszy dzielnik. Przechodzimy do tabeli liczb pierwszych. Jeśli jest w nim liczba, która sprawia nam trudności, to jest podzielna tylko przez siebie i przez jeden. Liczba 851 nie znajduje się w tabeli liczb pierwszych, co oznacza, że ​​jest złożona. Pozostaje tylko podzielić go na liczby pierwsze metodą sekwencyjnego wyliczania: 3, 7, 11, 13, ... i tak dalej, aż znajdziemy odpowiedni dzielnik pierwszy. Korzystając z metody wyliczenia, stwierdzamy, że 851 jest podzielne przez liczbę 23.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, za pomocą których można zidentyfikować konkretną osobę lub skontaktować się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie, gdy się z nami skontaktujesz.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić oraz sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy przesyłasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe, aby wysyłać Ci ważne powiadomienia i komunikaty.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i udzielania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie ujawniamy informacji otrzymanych od Ciebie stronom trzecim.

Wyjątki:

• W razie potrzeby - zgodnie z prawem, nakaz sądowy, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawniać swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli ustalimy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub z innych względów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane przez nas dane osobowe odpowiedniemu następcy strony trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – w celu ochrony Twoich danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz surowo egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.