Hvordan identifisere tilstøtende og vertikale vinkler. Hvilke vinkler kalles tilstøtende? Hva er summen av to tilstøtende vinkler

I prosessen med å studere løpet av geometri, begrepene "vinkel", " vertikale vinkler”, “tilstøtende hjørner'er ganske vanlige. Å forstå hvert av begrepene vil bidra til å forstå oppgaven og løse den riktig. Hva er tilstøtende vinkler og hvordan bestemmer man dem?

Tilstøtende hjørner - definisjon av konseptet

Begrepet "tilstøtende vinkler" karakteriserer to vinkler dannet av en felles stråle og ytterligere to halvlinjer som ligger på samme linje. Alle tre strålene kommer fra samme punkt. Den felles halvlinjen er samtidig siden av både den ene og den andre vinkelen.

Tilstøtende hjørner - grunnleggende egenskaper

1. Basert på formuleringen av tilstøtende vinkler, er det lett å se at summen av slike vinkler alltid danner en rett vinkel, hvis gradmål er 180 °:

Hvis μ og η er tilstøtende vinkler, så er μ + η = 180°.
Når man kjenner verdien av en av de tilstøtende vinklene (for eksempel μ), kan man enkelt beregne gradmålet for den andre vinkelen (η) ved å bruke uttrykket η = 180° - μ.

2. Denne egenskapen til vinkler lar deg lage følgende utgang: En vinkel som ligger inntil en rett vinkel vil også være en rett vinkel.

3. Vurderer trigonometriske funksjoner(sin, cos, tg, ctg), basert på reduksjonsformlene for tilstøtende vinkler μ og η, er følgende sant:

sinη = sin(180° - μ) = sinμ,
cosη = cos(180° - μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° - μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° - μ) = -ctgμ.

Tilstøtende hjørner - eksempler

Eksempel 1

Gitt en trekant med toppunktene M, P, Q – ΔMPQ. Finn vinklene ved siden av vinklene ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

La oss utvide hver side av trekanten som en rett linje.
Når vi vet at tilstøtende vinkler utfyller hverandre til en rett vinkel, finner vi ut at:

ved siden av vinkelen ∠QMP er ∠LMP,

ved siden av vinkelen ∠MPQ er ∠SPQ,

den tilstøtende vinkelen for ∠PQM er ∠HQP.

Eksempel 2

Verdien av en tilstøtende vinkel er 35°. Hva er gradmålet for den andre tilstøtende vinkelen?

To tilstøtende vinkler gir opp til 180°.
Hvis ∠μ = 35°, så tilstøtende ∠η = 180° – 35° = 145°.

Eksempel 3

Bestem verdiene til tilstøtende vinkler, hvis det er kjent at gradmålet til en av bunnene er tre ganger større enn gradmålet til den andre vinkelen.

La oss betegne verdien av én (mindre) vinkel gjennom – ∠μ = λ.
Deretter, i henhold til tilstanden til problemet, vil verdien av den andre vinkelen være lik ∠η = 3λ.
Basert på den grunnleggende egenskapen til tilstøtende vinkler, følger μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Så den første vinkelen er ∠μ = λ = 45°, og den andre vinkelen er ∠η = 3λ = 135°.

Evnen til å appellere til terminologi, samt kunnskap om de grunnleggende egenskapene til tilstøtende vinkler, vil bidra til å takle løsningen av mange geometriske problemer.

injeksjon til utvidet, det vil si lik 180 °, derfor, for å finne dem, trekk fra dette den kjente verdien av hovedvinkelen α₁ \u003d α₂ \u003d 180° -α.

Fra dette er det. Hvis to vinkler er både tilstøtende og like på samme tid, så er de rette vinkler. Hvis en av de tilstøtende vinklene er rett, det vil si at den er 90 grader, så er den andre vinkelen også rett. Hvis en av de tilstøtende vinklene er spiss, vil den andre være stump. Tilsvarende, hvis en av vinklene er stumpe, vil den andre henholdsvis være spiss.

Skarpt hjørne- dette er en hvis gradmål er mindre enn 90 grader, men større enn 0. En stump vinkel har et gradmål som er større enn 90 grader, men mindre enn 180.

En annen egenskap for tilstøtende vinkler er formulert som følger: hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem også like. Dette er at hvis det er to vinkler hvor gradmålet er det samme (for eksempel er det 50 grader) og samtidig en av dem har en tilstøtende vinkel, så verdiene av disse tilstøtende vinklene faller også sammen (i eksemplet vil gradmålet deres være 130 grader).

Kilder:

Stor Encyclopedic Dictionary- Tilstøtende hjørner
180 graders vinkel

Ordet "" har ulike tolkninger. I geometri er en vinkel en del av et plan avgrenset av to stråler som kommer ut av ett punkt - et toppunkt. Når vi snakker om rette, spisse, utviklede vinkler, så menes geometriske vinkler.

Som enhver form i geometri, kan vinkler sammenlignes. Likheten av vinkler bestemmes av bevegelse. En vinkel er lett å dele i to like deler. Å dele i tre deler er litt vanskeligere, men det kan likevel gjøres med linjal og kompass. Forresten virket denne oppgaven ganske vanskelig. Det er geometrisk enkelt å beskrive at en vinkel er større eller mindre enn en annen.

Måleenheten for vinkler er 1/180

Hvordan finne en tilstøtende vinkel?

Matematikk er den eldste eksakte vitenskapen, som er obligatorisk studert på skoler, høyskoler, institutter og universiteter. Grunnleggende kunnskap legges imidlertid alltid ned på skolen. Noen ganger får barnet ganske vanskelige oppgaver, og foreldrene kan ikke hjelpe, fordi de rett og slett glemte noen ting fra matematikk. For eksempel hvordan finne en tilstøtende vinkel ved verdien av hovedvinkelen osv. Oppgaven er enkel, men den kan være vanskelig å løse fordi man ikke vet hvilke vinkler som kalles tilstøtende og hvordan man finner dem.

La oss se nærmere på definisjonen og egenskapene til tilstøtende hjørner, samt hvordan vi beregner dem fra dataene i problemet.

Definisjon og egenskaper ved tilstøtende hjørner

To stråler som kommer fra samme punkt danner en figur som kalles en "flat vinkel". I dette tilfellet kalles dette punktet toppen av vinkelen, og strålene er sidene. Hvis en av strålene fortsettes lenger enn startpunktet langs en rett linje, dannes det en annen vinkel, som kalles tilstøtende. Hver vinkel i dette tilfellet har to tilstøtende vinkler, siden sidene av vinkelen er ekvivalente. Det vil si at det alltid er en tilstøtende vinkel på 180 grader.

Hovedegenskapene til tilstøtende vinkler inkluderer

Tilstøtende hjørner har en felles toppunkt og en side;
Summen av tilstøtende vinkler er alltid 180 grader, eller pi hvis beregningen er i radianer;
Sinusene til tilstøtende vinkler er alltid like;
Cosinusene og tangentene til tilstøtende vinkler er like, men har motsatte fortegn.

Hvordan finne tilstøtende hjørner

Vanligvis gis tre varianter av problemer for å finne verdien av tilstøtende vinkler

Verdien av hovedvinkelen er gitt;
Forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel er gitt;
Verdien av den vertikale vinkelen er gitt.

Hver versjon av problemet har sin egen løsning. La oss vurdere dem.

Gitt verdien av hovedvinkelen

Hvis verdien av hovedvinkelen er angitt i oppgaven, er det veldig enkelt å finne den tilstøtende vinkelen. For å gjøre dette er det nok å trekke verdien av hovedvinkelen fra 180 grader, og du vil få verdien av den tilstøtende vinkelen. Denne løsningen kommer fra egenskapen til en tilstøtende vinkel - summen av tilstøtende vinkler er alltid 180 grader.

Hvis verdien av hovedvinkelen er gitt i radianer og i oppgaven er det nødvendig å finne den tilstøtende vinkelen i radianer, så er det nødvendig å trekke verdien av hovedvinkelen fra tallet Pi, siden verdien av den fulle vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Gitt forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel

I oppgaven kan forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel gis i stedet for grader og radianer av størrelsen på hovedvinkelen. I dette tilfellet vil løsningen se ut som en proporsjonsligning:

Vi betegner andelen av andelen av hovedvinkelen som variabelen "Y".
Andelen relatert til det tilstøtende hjørnet er betegnet som variabelen "X".
Antall grader som faller på hver andel, betegner vi for eksempel "a".
Den generelle formelen vil se slik ut - a*X+a*Y=180 eller a*(X+Y)=180.
Vi finner fellesfaktoren til ligningen "a" ved formelen a=180/(X+Y).
Deretter multipliserer vi den oppnådde verdien av fellesfaktoren "a" med brøkdelen av vinkelen som må bestemmes.

På denne måten kan vi finne verdien av den tilstøtende vinkelen i grader. Men hvis du trenger å finne verdien i radianer, trenger du bare å konvertere grader til radianer. For å gjøre dette, multipliser vinkelen i grader med pi og del på 180 grader. Den resulterende verdien vil være i radianer.

Gitt verdien av den vertikale vinkelen

Hvis verdien av hovedvinkelen ikke er gitt i oppgaven, men verdien av den vertikale vinkelen er gitt, kan den tilstøtende vinkelen beregnes ved å bruke samme formel som i første ledd, hvor verdien av hovedvinkelen er gitt .

En vertikal vinkel er en vinkel som kommer fra samme punkt som hovedvinkelen, men som samtidig er rettet i nøyaktig motsatt retning. Slik viser det seg speilrefleksjon. Dette betyr at den vertikale vinkelen er lik den viktigste. I sin tur er den tilstøtende vinkelen til den vertikale vinkelen lik den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen. Takket være dette er det mulig å beregne den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen. For å gjøre dette, trekk ganske enkelt verdien av vertikalen fra 180 grader og få verdien av den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen i grader.

Hvis verdien er gitt i radianer, er det nødvendig å trekke verdien av den vertikale vinkelen fra tallet Pi, siden verdien av hele vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Du kan også lese vår nyttige artikler og .

Spørsmål 1. Hvilke vinkler kalles tilstøtende?
Svar. To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles og de andre sidene av disse vinklene er komplementære halvlinjer.
I figur 31 er hjørnene (a 1 b) og (a 2 b) tilstøtende. De har en felles side b, og sidene a 1 og a 2 er ytterligere halvlinjer.

Spørsmål 2. Bevis at summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Svar. Teorem 2.1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Bevis. La vinkelen (a 1 b) og vinkelen (a 2 b) gis tilstøtende vinkler (se fig. 31). Strålen b passerer mellom sidene a 1 og a 2 av den utviklede vinkelen. Derfor er summen av vinklene (a 1 b) og (a 2 b) lik den utviklede vinkelen, dvs. 180 °. Q.E.D.

Spørsmål 3. Bevis at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem også like.
Svar.

Fra teoremet 2.1 Det følger at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like.
La oss si at vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like. Vi må bevise at vinklene (a 2 b) og (c 2 d) også er like.
Summen av tilstøtende vinkler er 180°. Det følger av dette at a 1 b + a 2 b = 180° og c 1 d + c 2 d = 180°. Derfor, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b og c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Siden vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like, får vi at a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Av egenskapen transitivitet til likhetstegnet følger det at a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Spørsmål 4. Hvilken vinkel kalles rett (spiss, stump)?
Svar. En vinkel lik 90° kalles en rett vinkel.
En vinkel mindre enn 90° kalles en spiss vinkel.
En vinkel større enn 90° og mindre enn 180° kalles en stump vinkel.

Spørsmål 5. Bevis at en vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.
Svar. Fra teoremet om summen av tilstøtende vinkler følger det at vinkelen ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Spørsmål 6. Hva er de vertikale vinklene?
Svar. To vinkler kalles vertikale hvis sidene til en vinkel er de komplementære halvlinjene til sidene til den andre.

Spørsmål 7. Bevis at de vertikale vinklene er like.
Svar. Teorem 2.2. Vertikale vinkler er like.
Bevis. La (a 1 b 1) og (a 2 b 2) gis vertikale vinkler (fig. 34). Hjørnet (a 1 b 2) ligger inntil hjørnet (a 1 b 1) og hjørnet (a 2 b 2). Herfra, ved teoremet om summen av tilstøtende vinkler, konkluderer vi med at hver av vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) komplementerer vinkelen (a 1 b 2) opp til 180 °, dvs. vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) er like. Q.E.D.

Spørsmål 8. Bevis at hvis i skjæringspunktet mellom to linjer en av vinklene er en rett vinkel, så er de tre andre vinklene også rette.
Svar. Anta at linjene AB og CD skjærer hverandre i punkt O. Anta at vinkelen AOD er 90°. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180°, får vi at AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB-vinkelen er vertikal til AOD-vinkelen, så de er like. Det vil si at vinkelen COB = 90°. COA er vertikalt til BOD, så de er like. Det vil si at vinkelen BOD = 90°. Dermed er alle vinkler lik 90 °, det vil si at de er i orden. Q.E.D.

Spørsmål 9. Hvilke linjer kalles perpendikulære? Hvilket tegn brukes for å indikere vinkelrett på linjer?
Svar. To linjer kalles vinkelrette hvis de skjærer hverandre i rett vinkel.
Vinkelvinkelen til linjer er betegnet med \(\perp\). Oppføringen \(a\perp b\) lyder: "Linje a er vinkelrett på linje b".

Spørsmål 10. Bevis at gjennom et hvilket som helst punkt på en linje kan man tegne en linje vinkelrett på den, og bare én.
Svar. Teorem 2.3. Gjennom hver linje kan du tegne en linje vinkelrett på den, og bare en.
Bevis. La a være en gitt linje og A være et gitt punkt på den. Angi med 1 en av halvlinjene med den rette linjen a med startpunktet A (fig. 38). Sett til side fra halvlinjen a 1 vinkelen (a 1 b 1) lik 90 °. Da vil linjen som inneholder strålen b 1 være vinkelrett på linjen a.

Anta at det er en annen linje som også går gjennom punktet A og er vinkelrett på linjen a. Angi med c 1 halvlinjen til denne linjen som ligger i samme halvplan med strålen b 1 .
Vinkler (a 1 b 1) og (a 1 c 1), lik 90° hver, er lagt ut i ett halvplan fra halvlinjen a 1 . Men fra halvlinjen a 1 kan bare én vinkel lik 90° settes til side i dette halvplanet. Derfor kan det ikke være en annen linje som går gjennom punktet A og vinkelrett på linjen a. Teoremet er bevist.

Spørsmål 11. Hva er en vinkelrett på en linje?
Svar. Vinkelrett på en gitt linje er et linjestykke vinkelrett på den gitte, som har en av endene i skjæringspunktet. Denne enden av segmentet kalles basis vinkelrett.

Spørsmål 12. Forklar hva bevis ved motsigelse er.
Svar. Bevismetoden som vi brukte i teorem 2.3 kalles bevis ved motsigelse. Denne bevismåten består i at vi først gjør en antagelse motsatt av det som står i teoremet. Så, ved å resonnere, stole på aksiomene og beviste teoremer, kommer vi til en konklusjon som motsier enten betingelsen til teoremet, eller en av aksiomene, eller den tidligere beviste teoremet. På dette grunnlaget konkluderer vi med at vår antakelse var feil, noe som betyr at påstanden til teoremet er sann.

Spørsmål 13. Hva er en vinkelhalveringslinje?
Svar. Halveringslinjen til en vinkel er en stråle som kommer fra vinkelens toppunkt, passerer mellom sidene og deler vinkelen i to.

To vinkler som ligger på samme rette linje og har ett toppunkt kalles tilstøtende.

Ellers, hvis summen av to vinkler på samme linje er 180 grader og de har én side til felles, så er disse tilstøtende vinkler.

1 tilstøtende vinkel + 1 tilstøtende vinkel = 180 grader.

Tilstøtende vinkler er to vinkler som har en side felles og de to andre sidene danner en rett linje som helhet.

Summen av to tilstøtende vinkler er alltid 180 grader. For eksempel, hvis en vinkel er 60 grader, vil den andre nødvendigvis være lik 120 grader (180-60).

Vinkler AOC og BOC er tilstøtende vinkler, fordi alle betingelsene for å karakterisere tilstøtende vinkler er oppfylt:

1.OS - felles side av to hjørner

2.AO - side av vinkelen AOC, OB - side av vinkelen BOS. Sammen danner disse sidene en rett linje AOB.

3. Det er to vinkler og summen deres er 180 grader.

Når vi husker skolegeometrikurset, kan vi si følgende om tilstøtende vinkler:

tilstøtende vinkler har en side til felles, og de to andre sidene tilhører samme rette linje, det vil si at de er på samme rette linje. Hvis i henhold til figuren, så er vinklene SOV og BOA tilstøtende vinkler, summen av disse er alltid lik 180, siden de deler en rett vinkel, og en rett vinkel er alltid lik 180.

Tilstøtende vinkler er et enkelt konsept innen geometri. Tilstøtende vinkler, vinkel pluss vinkel legger opp til 180 grader.

To tilstøtende hjørner - dette vil være ett utfoldet hjørne.

Det er noen flere eiendommer. Med tilstøtende hjørner er det enkelt å løse problemer og bevise teoremer.

Tilstøtende vinkler dannes når en stråle trekkes fra et vilkårlig punkt på en rett linje. Så viser dette vilkårlige punktet seg å være toppunktet til vinkelen, strålen er fellessiden av de tilstøtende vinklene, og linjen som strålen er trukket fra er de to gjenværende sidene av de tilstøtende vinklene. Tilstøtende vinkler kan enten være de samme i tilfellet med en perpendikulær, eller forskjellige i en skrå bjelke. Det er lett å se at summen av tilstøtende vinkler er 180 grader, eller bare en rett linje. På en annen måte kan denne vinklingen forklares enkelt eksempel- du gikk først i én retning i en rett linje, så ombestemte du deg, bestemte deg for å gå tilbake og snudde 180 grader og gikk i samme rette linje i motsatt retning.

Så hva er en tilstøtende vinkel? Definisjon:

Ved siden av er to vinkler med felles toppunkt og en felles side, og de to andre sidene av disse vinklene ligger på samme rette linje.

Og liten video en leksjon hvor det på en fornuftig måte vises om tilstøtende vinkler, vertikale vinkler, pluss om vinkelrette linjer, som er et spesialtilfelle av tilstøtende og vertikale vinkler

Tilstøtende vinkler er vinkler som har en side til felles og den andre er en enkelt linje.

Tilstøtende vinkler er vinkler som er avhengige av hverandre. Det vil si at hvis den vanlige siden er litt rotert, vil en vinkel reduseres med noen få grader og automatisk vil den andre vinkelen øke med samme antall grader. Denne egenskapen til tilstøtende vinkler tillater i geometri å løse ulike oppgaver og gjennomføre bevis på ulike teoremer.

Den totale summen av tilstøtende vinkler er alltid 180 grader.

Fra geometrikurset, (så vidt jeg husker for 6. klasse), kalles to vinkler tilstøtende, hvor den ene siden er felles, og de andre sidene er tilleggsstråler, er summen av de tilstøtende vinklene 180. Hver av de to tilstøtende vinkler utfyller den andre til en dreid vinkel. Eksempel på tilstøtende hjørner:

Tilstøtende vinkler er to vinkler med felles toppunkt, hvor den ene siden er felles, og de resterende sidene ligger på samme rette linje (ikke sammenfallende). Summen av tilstøtende vinkler er hundre og åtti grader. Generelt er alt dette veldig enkelt å finne i Google eller en lærebok om geometri.