Logaritme. natuurlijke logaritme

De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme, grafiek, definitiedomein, verzameling van waarden, basisformules, afgeleide, integraal, expansie in een machtreeks en weergave van de functie ln x door middel van complexe getallen worden gegeven.

Definitie

natuurlijke logaritme is de functie y = ln x, inverse van de exponent, x \u003d e y , en wat de logaritme is van de basis van het getal e: ln x = log e x.

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in de wiskunde omdat de afgeleide de eenvoudigste vorm heeft: (ln x)′ = 1/ x.

gebaseerd definities, de basis van de natuurlijke logaritme is het getal e:
e 2.718281828459045...;
.

Grafiek van de functie y = ln x.

Grafiek van de natuurlijke logaritme (functies y = ln x) wordt verkregen uit de exponentplot spiegelbeeld ten opzichte van de rechte lijn y = x .

De natuurlijke logaritme is gedefinieerd voor positieve waarden van x. Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Als x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig ( - ∞ ).

Als x → + ∞ is de limiet van de natuurlijke logaritme plus oneindig ( + ∞ ). Voor grote x neemt de logaritme vrij langzaam toe. Elke machtsfunctie x a met een positieve exponent a groeit sneller dan de logaritme.

Eigenschappen van de natuurlijke logaritme

Definitiedomein, waardenverzameling, extrema, toename, afname

De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extrema. De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme zijn weergegeven in de tabel.

ln x-waarden

logboek 1 = 0

Basisformules voor natuurlijke logaritmen

Formules die voortkomen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basis vervangende formule

Elke logaritme kan worden uitgedrukt in natuurlijke logaritmen met behulp van de formule voor basisverandering:

De bewijzen van deze formules worden gepresenteerd in de sectie "Logaritme".

Omgekeerde functie

Het omgekeerde van de natuurlijke logaritme is de exponent.

Als dan

Als dan .

Afgeleide ln x

Afgeleide van de natuurlijke logaritme:
.
Afgeleide van de natuurlijke logaritme van de modulo x:
.
Afgeleide van de nde orde:
.
Afleiding van formules > > >

Integraal

De integraal wordt berekend door integratie in delen:
.
Dus,

Uitdrukkingen in termen van complexe getallen

Beschouw een functie van een complexe variabele z :
.
Laten we de complexe variabele uitdrukken z via module r en argument φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme hebben we:
.
Of
.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. Als we zetten
, waarbij n een geheel getal is,
dan zal het hetzelfde getal zijn voor verschillende n.

Daarom is de natuurlijke logaritme, als functie van een complexe variabele, geen functie met één waarde.

Uitbreiding vermogensreeks

Voor , vindt de uitbreiding plaats:

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics voor ingenieurs en studenten van instellingen voor hoger onderwijs, Lan, 2009.

neem vaak een nummer e = 2,718281828 . Logaritmen in deze basis heten natuurlijk. Bij het uitvoeren van berekeningen met natuurlijke logaritmen is het gebruikelijk om met het teken te werken ikn, maar niet log; terwijl het nummer 2,718281828 , het definiëren van de basis, niet aangeven.

Met andere woorden, de formulering ziet er als volgt uit: natuurlijke logaritme nummers X is de exponent waartoe het getal moet worden verhoogd e, Verkrijgen x.

Dus, ln(7.389...)= 2 omdat e 2 =7,389... . De natuurlijke logaritme van het getal zelf e= 1 omdat e 1 =e, en de natuurlijke logaritme van eenheid nul, omdat e 0 = 1.

Het nummer zelf e definieert de limiet van een monotone begrensde reeks

berekend dat e = 2,7182818284... .

Om een ​​nummer in het geheugen vast te leggen, worden de cijfers van het vereiste nummer vaak geassocieerd met een openstaande datum. De snelheid waarmee de eerste negen cijfers van een getal worden onthouden e achter de komma zal toenemen als u opmerkt dat 1828 het geboortejaar van Leo Tolstoj is!

Tot op heden zijn er vrij volledige tabellen met natuurlijke logaritmen.

natuurlijke loggrafiek(functies y=ln x) is een gevolg van de plot van de exponent als een spiegelbeeld ten opzichte van de rechte lijn y = x en ziet eruit als:

De natuurlijke logaritme kan worden gevonden voor elk positief reëel getal a als het gebied onder de curve ja = 1/x van 1 voordat a.

Het elementaire karakter van deze formulering, die past bij vele andere formules waarin de natuurlijke logaritme een rol speelt, was de aanleiding voor de vorming van de naam "natuurlijk".

Als we analyseren natuurlijke logaritme, als een reële functie van een reële variabele, dan werkt het omgekeerde functie tot een exponentiële functie, die reduceert tot de identiteiten:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Naar analogie met alle logaritmen, zet de natuurlijke logaritme vermenigvuldiging om in optellen, delen in aftrekken:

ln(xy) = ln(x) + ln(ja)

ln(x/y)= lnx - lny

De logaritme kan worden gevonden voor elke positieve basis die niet gelijk is aan één, niet alleen voor e, maar logaritmen voor andere basen verschillen van de natuurlijke logaritme alleen door een constante factor, en worden meestal gedefinieerd in termen van de natuurlijke logaritme.

Na analyse natuurlijke loggrafiek, we krijgen dat het bestaat voor positieve waarden van de variabele x. Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Bij x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig ( -∞ ).Bij x → +∞ de limiet van de natuurlijke logaritme is plus oneindig ( + ∞ ). in het algemeen x de logaritme neemt vrij langzaam toe. Elke power-functie x a met een positieve exponent a neemt sneller toe dan de logaritme. De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extrema.

Gebruik natuurlijke logaritmen zeer rationeel in de passage van hogere wiskunde. Het gebruik van de logaritme is dus handig voor het vinden van het antwoord op vergelijkingen waarin de onbekenden als exponent verschijnen. Het gebruik van natuurlijke logaritmen in berekeningen maakt het mogelijk om de een groot aantal van wiskundige formules. basislogaritmen e zijn aanwezig bij het oplossen van een aanzienlijk aantal fysieke problemen en maken van nature deel uit van wiskundige beschrijving individuele chemische, biologische en andere processen. Zo worden logaritmen gebruikt om de vervalconstante te berekenen voor een bekende halfwaardetijd, of om de vervaltijd te berekenen bij het oplossen van problemen met radioactiviteit. Ze treden op in hoofdrol in veel takken van wiskunde en praktische wetenschappen worden ze op het gebied van financiën gebruikt om een ​​groot aantal problemen op te lossen, ook bij de berekening van samengestelde rente.

De logaritme van een positief getal b tot grondtal a (a>0, a is niet gelijk aan 1) is een getal c zodat a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Merk op dat de logaritme van een niet-positief getal niet is gedefinieerd. Ook moet het grondtal van de logaritme een positief getal zijn, niet gelijk aan 1. Als we bijvoorbeeld -2 kwadrateren, krijgen we het getal 4, maar dit betekent niet dat de logaritme met grondtal -2 van 4 gelijk is aan 2.

Basis logaritmische identiteit

Het is belangrijk dat de domeinen van definitie van de rechter en linker delen van deze formule verschillend zijn. Linkerkant is alleen gedefinieerd voor b>0, a>0 en a ≠ 1. De rechterkant is gedefinieerd voor elke b en is helemaal niet afhankelijk van a. Zo kan de toepassing van de logaritmische basis "identiteit" bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden leiden tot een verandering in de DPV.

Twee voor de hand liggende gevolgen van de definitie van de logaritme

Inderdaad, wanneer we het getal a tot de eerste macht verhogen, krijgen we hetzelfde getal, en wanneer we het verhogen tot de macht nul, krijgen we er één.

De logaritme van het product en de logaritme van het quotiënt

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ik wil schoolkinderen waarschuwen voor het ondoordachte gebruik van deze formules bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden. Wanneer ze "van links naar rechts" worden gebruikt, wordt de ODZ smaller, en bij het verplaatsen van de som of het verschil van logaritmen naar de logaritme van het product of quotiënt, breidt de ODZ uit.

De uitdrukking log a (f (x) g (x)) wordt inderdaad in twee gevallen gedefinieerd: wanneer beide functies strikt positief zijn of wanneer f(x) en g(x) beide kleiner dan nul zijn.

Door deze uitdrukking om te zetten in de som log a f (x) + log a g (x) , zijn we genoodzaakt ons alleen te beperken tot het geval waarin f(x)>0 en g(x)>0. Er is een vernauwing van het bereik van toelaatbare waarden, en dit is absoluut onaanvaardbaar, omdat dit kan leiden tot het verlies van oplossingen. Een soortgelijk probleem bestaat voor formule (6).

De graad kan uit het teken van de logaritme worden gehaald

En nogmaals, ik zou willen pleiten voor nauwkeurigheid. Beschouw het volgende voorbeeld:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

De linkerkant van de gelijkheid is uiteraard gedefinieerd voor alle waarden van f(x) behalve nul. De rechterkant is alleen voor f(x)>0! Door de kracht uit de logaritme te halen, verkleinen we de ODZ opnieuw. De omgekeerde procedure leidt tot een uitbreiding van het bereik van toelaatbare waarden. Al deze opmerkingen zijn niet alleen van toepassing op de macht van 2, maar ook op elke even macht.

Formule om naar een nieuwe basis te verhuizen

Dat zeldzame geval wanneer de ODZ niet verandert tijdens de conversie. Als je de basis c verstandig hebt gekozen (positief en niet gelijk aan 1), is de formule om naar een nieuwe basis te verhuizen volkomen veilig.

Als we het getal b als nieuw grondtal c kiezen, krijgen we een belangrijk speciaal geval formules (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Enkele eenvoudige voorbeelden met logaritmen

Voorbeeld 1 Bereken: lg2 + lg50.
Oplossing. lg2 + lg50 = lg100 = 2. We gebruikten de formule voor de som van logaritmen (5) en de definitie van de decimale logaritme.

Voorbeeld 2 Bereken: lg125/lg5.
Oplossing. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. We gebruikten de nieuwe basisovergangsformule (8).

Tabel met formules gerelateerd aan logaritmen

logaritme van een bepaald getal wordt de exponent genoemd waarnaar een ander getal moet worden verheven, genaamd basis logaritme om het gegeven getal te krijgen. De logaritme van het getal 100 tot grondtal 10 is bijvoorbeeld 2. Met andere woorden, 10 moet worden gekwadrateerd om het getal 100 te krijgen (10 2 = 100). Als een n- een bepaald nummer, b- stichting en ik is de logaritme, dan bl = n. Nummer n ook wel de basis antilogaritme genoemd b nummers ik. De antilogaritme van 2 tot grondtal 10 is bijvoorbeeld 100. Dit kan worden geschreven als log b n = ik en antilog b l = n.

De belangrijkste eigenschappen van logaritmen:

Elk positief getal anders dan één kan de basis van logaritmen zijn, maar helaas blijkt dat als b en n zijn rationale getallen, dan is er in zeldzame gevallen zo'n rationaal getal ik, wat bl = n. Het is echter mogelijk om te definiëren irrationeel nummer ik, bijvoorbeeld zodanig dat 10 ik= 2; het is een irrationeel getal ik kan worden benaderd met elke vereiste nauwkeurigheid rationele nummers. Het blijkt dat in dit voorbeeld ik is ongeveer 0,3010, en deze geschatte waarde van de logaritme met grondtal 10 van 2 kan worden gevonden in tabellen met vier cijfers van decimale logaritmen. Logaritmen met grondtal 10 (of decimale logaritmen) worden zo vaak in berekeningen gebruikt dat ze worden genoemd normaal logaritmen en geschreven als log2 = 0.3010 of log2 = 0.3010, zonder de expliciete aanduiding van het grondtal van de logaritme. basislogaritmen e, een transcendentaal getal dat ongeveer gelijk is aan 2,71828, worden genoemd natuurlijk logaritmen. Ze komen voornamelijk voor in werken over wiskundige analyse en de toepassingen ervan om verschillende wetenschappen. Natuurlijke logaritmen worden ook geschreven zonder de basis expliciet aan te geven, maar met de speciale notatie ln: bijvoorbeeld ln2 = 0,6931, omdat e 0,6931 = 2.

Tabellen met gewone logaritmen gebruiken.

De gewone logaritme van een getal is de exponent waarmee je 10 moet verhogen om het gegeven getal te krijgen. Aangezien 10 0 = 1, 10 1 = 10 en 102 = 100, krijgen we meteen log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, enzovoort. voor het vergroten van gehele machten van 10. Evenzo 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 en dus log0.1 = -1, log0.01 = -2, enzovoort. voor alle negatieve gehele machten van 10. De gebruikelijke logaritmen van de overige getallen zijn ingesloten tussen de logaritmen van de dichtstbijzijnde gehele machten van 10; log2 moet worden ingesloten tussen 0 en 1, log20 tussen 1 en 2, en log0.2 tussen -1 en 0. De logaritme bestaat dus uit twee delen, een geheel getal en decimale fractie tussen 0 en 1. Het gehele deel wordt genoemd karakteristiek logaritme en wordt bepaald door het getal zelf, het fractionele deel wordt genoemd mantisse en is te vinden in tabellen. Ook log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. De logaritme van 2 is 0.3010, dus log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010. Evenzo log0.2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. Door af te trekken krijgen we log0.2 = -0.6990. Het is echter handiger om log0.2 weer te geven als 0.3010 - 1 of als 9.3010 - 10; kan worden geformuleerd en algemene regel: alle getallen verkregen uit een gegeven getal door vermenigvuldiging met een macht van 10 hebben dezelfde mantisse gelijk aan de mantisse van het gegeven getal. In de meeste tabellen worden de mantissen van getallen van 1 tot 10 gegeven, aangezien de mantissen van alle andere getallen kunnen worden verkregen uit die in de tabel.

De meeste tabellen geven logaritmen met vier of vijf cijfers achter de komma, hoewel er tabellen met zeven cijfers zijn en tabellen met nog meer cijfers achter de komma. Leren hoe u dergelijke tabellen kunt gebruiken, is het gemakkelijkst met voorbeelden. Om log3.59 te vinden, merken we allereerst op dat het getal 3.59 tussen 10 0 en 10 1 ligt, dus het kenmerk ervan is 0. We vinden het getal 35 (links) in de tabel en gaan langs de rij naar de kolom met het cijfer 9 bovenaan; het snijpunt van deze kolom en rij 35 is 5551, dus log3.59 = 0.5551. Om de mantisse van een getal met vier te vinden significante cijfers, is het noodzakelijk om toevlucht te nemen tot interpolatie. In sommige tabellen wordt interpolatie vergemakkelijkt door de proportionele delen in de laatste negen kolommen aan de rechterkant van elke tabelpagina. Zoek nu log736.4; het getal 736.4 ligt tussen 10 2 en 10 3, dus het kenmerk van zijn logaritme is 2. In de tabel vinden we de rij links daarvan 73 en kolom 6. Op het snijpunt van deze rij en deze kolom is het getal 8669. Onder de lineaire delen vinden we kolom 4 Op het snijpunt van rij 73 en kolom 4 is het getal 2. Als we 2 bij 8669 optellen, krijgen we de mantisse - deze is gelijk aan 8671. Dus log736.4 = 2.8671.

natuurlijke logaritmen.

Tabellen en eigenschappen van natuurlijke logaritmen zijn vergelijkbaar met tabellen en eigenschappen van gewone logaritmen. Het belangrijkste verschil tussen de twee is dat het gehele deel van de natuurlijke logaritme niet significant is bij het bepalen van de positie van de komma, en daarom speelt het verschil tussen de mantisse en het kenmerk geen speciale rol. Natuurlijke logaritmen van getallen 5.432; 54,32 en 543.2 zijn respectievelijk 1,6923; 3.9949 en 6.2975. De relatie tussen deze logaritmen wordt duidelijk als we de verschillen ertussen bekijken: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; het laatste getal is niets anders dan de natuurlijke logaritme van het getal 10 (als volgt geschreven: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; het laatste cijfer is 2ln10. Maar 543.2 \u003d 10ґ54.32 \u003d 10 2 ґ5.432. Dus, door de natuurlijke logaritme van een bepaald getal a je kunt de natuurlijke logaritmen van getallen vinden, gelijk aan de producten van het getal a in welke mate dan ook n nummer 10 als k ln a ln10 optellen vermenigvuldigd met n, d.w.z. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Bijvoorbeeld ln0.005432 = ln(5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155. Daarom bevatten tabellen van natuurlijke logaritmen, net als tabellen van gewone logaritmen, meestal alleen de logaritmen van getallen van 1 tot 10. In het systeem van natuurlijke logaritmen kan men spreken van antilogaritmen, maar vaker spreekt men van een exponentiële functie of een exponentiële functie. . Als een x=ln ja, dan ja = ex, en ja de exponent genoemd x(voor het gemak van typografische zetwerk schrijven ze vaak ja=exp x). De exponent speelt de rol van de antilogaritme van het getal x.

Met behulp van tabellen met decimale en natuurlijke logaritmen, kunt u tabellen met logaritmen maken in een ander grondtal dan 10 en e. Als log b a = x, dan b x = a, en dus log c b x= log c a of x log c b= log c a, of x= log c a/log c b= log b a. Gebruik daarom deze inversieformule van de tabel met logaritmen naar het grondtal c je kunt logaritmetabellen bouwen in elke andere basis b. Vermenigvuldiger 1/log c b genaamd overgangsmodule vanaf de grond c naar de basis b. Niets verhindert bijvoorbeeld het gebruik van de inversieformule, of de overgang van het ene stelsel van logaritmen naar het andere, om natuurlijke logaritmen te vinden uit de tabel met gewone logaritmen of om de omgekeerde overgang te maken. Bijvoorbeeld log105.432 = log e 5.432/log e 10 \u003d 1.6923 / 2.3026 \u003d 1.6923´0.4343 \u003d 0.7350. Het getal 0,4343, waarmee de natuurlijke logaritme van een bepaald getal moet worden vermenigvuldigd om de gewone logaritme te verkrijgen, is de modulus van de overgang naar het stelsel van gewone logaritmen.

Bijzondere tafels.

Logaritmen zijn oorspronkelijk uitgevonden om hun eigenschappenlog te gebruiken ab= log a+log b en log a/b= log a–log b, zet producten om in sommen en quotiënten in verschillen. Met andere woorden, als log a en log b bekend zijn, kunnen we met behulp van optellen en aftrekken gemakkelijk de logaritme van het product en het quotiënt vinden. In de astronomie echter vaak voor gegeven waarden van log a en log b moet logboek vinden ( a + b) of logboek( a – b). Natuurlijk zou men eerst kunnen vinden uit tabellen met logaritmen a en b, voer vervolgens de gespecificeerde optelling of aftrekking uit en, opnieuw verwijzend naar de tabellen, vind de vereiste logaritmen, maar een dergelijke procedure zou drie reizen naar de tabellen vereisen. Z. Leonelli publiceerde in 1802 de tabellen van de zogenaamde. Gauss-logaritmen- logaritmen van optelling van sommen en verschillen - die het mogelijk maakten om de toegang tot tabellen te beperken.

In 1624 stelde I. Kepler tabellen van proportionele logaritmen voor, d.w.z. logaritmen van getallen a/x, waar a is een positieve constante. Deze tabellen worden voornamelijk gebruikt door astronomen en navigators.

Proportionele logaritmen bij a= 1 worden genoemd logaritmen en worden gebruikt in berekeningen wanneer men te maken heeft met producten en quotiënten. De logaritme van een getal n gelijk aan de logaritme van de reciproke; die. colog n= log1/ n= -log n. Als log2 = 0.3010, dan is colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. Het voordeel van het gebruik van logaritmen is dat bij het berekenen van de waarde van de logaritme van uitdrukkingen van de vorm pq/r drievoudige som van positieve decimalen log p+log q+ colo r is gemakkelijker te vinden dan de gemengde som en het verschil van log p+log q–log r.

Verhaal.

Het principe dat aan elk systeem van logaritmen ten grondslag ligt, is al heel lang bekend en kan worden teruggevoerd op de oude Babylonische wiskunde (circa 2000 voor Christus). In die tijd interpolatie tussen tabelwaarden van gehele getallen positieve graden hele getallen werden gebruikt om samengestelde rente te berekenen. Veel later gebruikte Archimedes (287–212 v.Chr.) de krachten van 108 om een ​​bovengrens te vinden voor het aantal zandkorrels dat nodig was om het destijds bekende universum volledig te vullen. Archimedes vestigde de aandacht op de eigenschap van de exponenten die ten grondslag ligt aan de effectiviteit van logaritmen: het product van de machten komt overeen met de som van de exponenten. Aan het einde van de Middeleeuwen en het begin van de New Age begonnen wiskundigen steeds meer te verwijzen naar de relatie tussen meetkundige en rekenkundige reeksen. M. Stiefel in zijn essay Integer rekenkunde(1544) gaf een tabel met positieve en negatieve machten van het getal 2:

Stiefel merkte op dat de som van de twee getallen in de eerste rij (de rij exponenten) gelijk is aan de exponent van twee, wat overeenkomt met het product van de twee corresponderende getallen in de onderste rij (de rij exponenten). In verband met deze tabel formuleerde Stiefel vier regels, gelijk aan vier moderne regels bewerkingen op exponenten of vier regels voor bewerkingen op logaritmen: de som in de bovenste regel komt overeen met het product in de onderste regel; de aftrekking in de bovenste rij komt overeen met de verdeling in de onderste rij; vermenigvuldiging in de bovenste rij komt overeen met machtsverheffing in de onderste rij; de verdeling in de bovenste rij komt overeen met de wortelextractie in de onderste rij.

Blijkbaar leidden regels die vergelijkbaar waren met de regels van Stiefel ertoe dat J. Naper formeel het eerste systeem van logaritmen in het essay introduceerde. Beschrijving van de verbazingwekkende logaritmetabel, gepubliceerd in 1614. Maar Napier's gedachten zijn bezig met het probleem van het omzetten van producten in bedragen sinds meer dan tien jaar voor de publicatie van zijn werk, Napier ontving het nieuws uit Denemarken dat zijn assistenten van Tycho Brahe's observatorium een ​​methode hadden om werken om te zetten in bedragen. De methode beschreven in de communicatie van Napier was gebaseerd op het gebruik van: trigonometrische formules type

dus de Napier-tabellen bestonden voornamelijk uit logaritmen trigonometrische functies. Hoewel het begrip grondtal niet expliciet was opgenomen in de door Napier voorgestelde definitie, werd de rol die equivalent is aan het grondtal van het stelsel van logaritmen in zijn stelsel gespeeld door het getal (1 - 10 -7)ґ10 7, ongeveer gelijk aan 1/ e.

Onafhankelijk van Neuper en bijna gelijktijdig met hem, werd een systeem van logaritmen, vrij gelijkend in type, uitgevonden en gepubliceerd door J. Bürgi in Praag, die in 1620 publiceerde Rekenkundige en geometrische progressietabellen. Dit waren tabellen met antilogaritmen in grondtal (1 + 10 –4) ґ10 4 , een redelijk goede benadering van het getal e.

In het systeem van Napier werd de logaritme van het getal 107 als nul genomen, en naarmate de getallen afnamen, namen de logaritmen toe. Toen G. Briggs (1561-1631) Napier bezocht, waren beiden het erover eens dat het handiger zou zijn om het getal 10 als basis te gebruiken en de logaritme van één gelijk te stellen aan nul. Dan, naarmate de aantallen toenemen, zouden hun logaritmen toenemen. Zo kregen we modern systeem decimale logaritmen, een tabel waarvan Briggs publiceerde in zijn essay Logaritmische rekenkunde(1620). basislogaritmen e, hoewel niet helemaal degenen die door Napier zijn geïntroduceerd, worden vaak Napier's genoemd. De termen "karakteristiek" en "mantisse" werden door Briggs voorgesteld.

De eerste logaritmen gebruikten om historische redenen benaderingen voor de getallen 1/ e en e. Iets later begon het idee van natuurlijke logaritmen te worden geassocieerd met de studie van gebieden onder een hyperbool xy= 1 (afb. 1). In de 17e eeuw werd aangetoond dat het gebied begrensd door deze kromme, de as x en ordinaat x= 1 en x = a(in Fig. 1 is dit gebied bedekt met dikkere en zeldzamere stippen) neemt de rekenkundige progressie toe wanneer a exponentieel toeneemt. Het is deze afhankelijkheid die ontstaat in de regels voor acties op exponenten en logaritmen. Dit gaf aanleiding om de Napier-logaritmen "hyperbolische logaritmen" te noemen.

Logaritmische functie.

Er was een tijd dat logaritmen alleen als een rekenmiddel werden beschouwd, maar in de 18e eeuw, voornamelijk dankzij het werk van Euler, werd het concept van een logaritmische functie gevormd. De grafiek van zo'n functie ja=ln x, waarvan de ordinaat toeneemt in rekenkundige progressie, terwijl de abscis toeneemt in geometrische progressie, wordt getoond in Fig. 2, a. Grafiek van de inverse of exponentiële (exponentiële) functie y = e x, waarvan de ordinaat exponentieel toeneemt en de abscis de rekenkunde toeneemt, wordt respectievelijk weergegeven in Fig. 2, b. (Curven ja= log x en ja = 10x vergelijkbaar in vorm met rondingen ja=ln x en ja = ex.) Alternatieve definities van de logaritmische functie zijn ook voorgesteld, bijvoorbeeld

kpi; en evenzo zijn de natuurlijke logaritmen van -1 complexe getallen van de vorm (2 k + 1)pi, waar k is een geheel getal. Soortgelijke uitspraken gelden ook voor algemene logaritmen of andere logaritmen. Bovendien kan de definitie van logaritmen worden veralgemeend met behulp van de Euler-identiteiten om de complexe logaritmen van complexe getallen op te nemen.

Een alternatieve definitie van de logaritmische functie wordt verschaft door functionele analyse. Als een f(x) is een continue functie van een reëel getal x, die de volgende drie eigenschappen heeft: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (jij) + f (v), dan f(x) wordt gedefinieerd als de logaritme van het getal x door reden b. Deze definitie heeft een aantal voordelen ten opzichte van de definitie die aan het begin van dit artikel is gegeven.

Toepassingen.

Logaritmen werden oorspronkelijk alleen gebruikt om berekeningen te vereenvoudigen, en deze toepassing is nog steeds een van hun belangrijkste. De berekening van producten, quotiënten, machten en wortels wordt niet alleen vergemakkelijkt door de brede beschikbaarheid van gepubliceerde tabellen met logaritmen, maar ook door het gebruik van de zogenaamde. rekenliniaal - een rekenhulpmiddel waarvan het principe is gebaseerd op de eigenschappen van logaritmen. De liniaal is uitgerust met logaritmische schalen, d.w.z. afstand van nummer 1 tot een willekeurig nummer x gekozen gelijk aan log x; door de ene schaal ten opzichte van de andere te verschuiven, is het mogelijk om de sommen of verschillen van logaritmen te plotten, wat het mogelijk maakt om producten of delen van de corresponderende getallen direct uit de schaal af te lezen. Om te profiteren van de presentatie van getallen in een logaritmische vorm, kunnen de zogenaamde. logaritmisch papier om te plotten (papier met logaritmische schalen erop gedrukt langs beide coördinaatassen). Als de functie voldoet aan een machtswet van de vorm y = kx n, dan ziet de logaritmische grafiek eruit als een rechte lijn, omdat log ja= log k + n log x is een lineaire vergelijking met betrekking tot log ja en log x. Integendeel, als de logaritmische grafiek van een functionele afhankelijkheid de vorm heeft van een rechte lijn, dan is deze afhankelijkheid een machtswet. Semi-logaritmisch papier (waarbij de y-as logaritmisch is en de abscis uniform) is handig wanneer exponentiële functies moeten worden geïdentificeerd. Vergelijkingen van de vorm y = kb rx treedt op wanneer een hoeveelheid, zoals populatie, radioactief materiaal of banksaldo, afneemt of toeneemt met een snelheid die evenredig is aan de huidige populatie, radioactief materiaal of geld. Als een dergelijke afhankelijkheid wordt toegepast op semi-logaritmisch papier, ziet de grafiek eruit als een rechte lijn.

De logaritmische functie ontstaat in verband met een verscheidenheid aan natuurlijke vormen. Bloemen in zonnebloembloeiwijzen staan ​​in logaritmische spiralen, schelpen van weekdieren draaien Nautilus, hoorns van een bergschaap en snavels van papegaaien. Al deze natuurlijke vormen zijn voorbeelden van de kromme die bekend staat als de logaritmische spiraal, omdat de vergelijking in poolcoördinaten is r = ae bq, of ln r=ln a + bq. Zo'n kromme wordt beschreven door een bewegend punt, waarvan de afstand tot de pool exponentieel toeneemt, en de hoek beschreven door zijn straalvector wordt rekenkundig. De alomtegenwoordigheid van een dergelijke kromme, en bijgevolg van de logaritmische functie, wordt goed geïllustreerd door het feit dat deze voorkomt in gebieden zo ver weg en heel verschillend als de contouren van een excentrische nok en de baan van bepaalde insecten die naar het licht vliegen.

Les en presentatie over de onderwerpen: "Natuurlijke logaritmen. Basis van een natuurlijke logaritme. Logaritme van een natuurlijk getal"

Aanvullende materialen
Beste gebruikers, vergeet niet om uw opmerkingen, feedback, suggesties achter te laten! Alle materialen worden gecontroleerd door een antivirusprogramma.

Leermiddelen en simulatoren in de online winkel "Integral" voor klas 11
Interactieve handleiding voor de rangen 9-11 "Trigonometrie"
Interactieve handleiding voor de rangen 10-11 "Logaritmen"

Wat is natuurlijke logaritme

Het is vermeldenswaard dat de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie $y=e^x$ in het punt (0;1) 45° is. Dan is de helling van de raaklijn aan de grafiek van de natuurlijke logaritme in het punt (1; 0) ook gelijk aan 45°. Beide raaklijnen zullen evenwijdig zijn aan de lijn $y=x$. Laten we de raaklijnen schetsen:

Eigenschappen van de functie $y=\ln(x)$

In de loop van de hogere wiskunde is bewezen dat: de afgeleide van een inverse functie is de reciproke van de afgeleide van de gegeven functie.
Het heeft niet veel zin om in het bewijs te duiken, laten we gewoon de formule schrijven: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Voorbeeld.
Bereken de waarde van de afgeleide van de functie: $y=\ln(2x-7)$ op het punt $x=4$.
Oplossing.
BIJ algemeen beeld onze functie vertegenwoordigt de functie $y=f(kx+m)$, we kunnen de afgeleiden van zulke functies berekenen.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Laten we de waarde van de afgeleide op het vereiste punt berekenen: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Antwoord: 2.

Voorbeeld.
Teken een raaklijn aan de grafiek van de functie $y=ln(x)$ in het punt $x=e$.
Oplossing.
De vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van de functie, op het punt $x=a$, herinneren we ons nog goed.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Laten we achtereenvolgens de vereiste waarden berekenen.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
De raaklijnvergelijking in het punt $x=e$ is de functie $y=\frac(x)(e)$.
Laten we de natuurlijke logaritme en de tangens plotten.

Voorbeeld.
Onderzoek de functie voor monotoniciteit en extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Oplossing.
Domein van de functie $D(y)=(0;+∞)$.
Zoek de afgeleide van de gegeven functie:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
De afgeleide bestaat voor alle x uit het domein van definitie, dan kritieke punten nee. Laten we stationaire punten zoeken:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Het punt $х=-1$ behoort niet tot het domein van definitie. Dan hebben we één stationair punt $х=1$. Zoek de intervallen van toename en afname:

Het punt $x=1$ is het minimum punt, dan $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Antwoord: De functie neemt af op het segment (0;1], de functie neemt toe op de straal $)