Hoe een wiskundige uitdrukking te vereenvoudigen. Videozelfstudie "Uitdrukkingen vereenvoudigen

Opmerking 1

Een logische functie kan worden geschreven met behulp van een logische uitdrukking, en dan kun je naar het logische circuit gaan. Het is noodzakelijk om logische uitdrukkingen te vereenvoudigen om een ​​zo eenvoudig mogelijk (en dus goedkoper) logisch circuit te krijgen. In feite zijn een logische functie, een logische uitdrukking en een logisch circuit drie verschillende talen die over dezelfde entiteit praten.

Gebruik . om logische uitdrukkingen te vereenvoudigen wetten van de algebra van de logica.

Sommige transformaties zijn vergelijkbaar met de transformaties van formules in de klassieke algebra (tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor, met behulp van commutatieve en associatieve wetten, enz.), terwijl andere transformaties zijn gebaseerd op eigenschappen die klassieke algebra-bewerkingen niet hebben (met behulp van de verdelingswet voor conjunctie, wetten van absorptie, lijmen, de Morgan's regels, enz.).

De wetten van de algebra van de logica zijn geformuleerd voor elementaire logische bewerkingen - "NIET" - inversie (negatie), "AND" - conjunctie (logische vermenigvuldiging) en "OF" - disjunctie (logische optelling).

De wet van dubbele ontkenning houdt in dat de "NIET"-bewerking omkeerbaar is: als u deze twee keer toepast, verandert de logische waarde uiteindelijk niet.

De wet van het uitgesloten midden stelt dat elke logische uitdrukking waar of onwaar is (“er is geen derde”). Dus als $A=1$, dan is $\bar(A)=0$ (en vice versa), wat betekent dat de conjunctie van deze grootheden altijd gelijk is aan nul en de disjunctie gelijk is aan één.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Laten we deze formule vereenvoudigen:

figuur 3

Dit houdt in dat $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Antwoorden: studenten $B$, $C$ en $D$ schaken, maar student $A$ speelt niet.

Bij het vereenvoudigen van logische uitdrukkingen kunt u de volgende reeks acties uitvoeren:

1. Vervang alle "niet-basis" bewerkingen (equivalentie, implicatie, exclusieve OF, enz.) met hun uitdrukkingen door de basisbewerkingen van inversie, conjunctie en disjunctie.
2. Breid inversies van complexe uitdrukkingen uit volgens de regels van de Morgan op zo'n manier dat alleen individuele variabelen ontkenningsoperaties hebben.
3. Vereenvoudig vervolgens de uitdrukking met behulp van haakjesuitbreiding, gemeenschappelijke factoren tussen haakjes en andere wetten van de algebra van de logica.

Voorbeeld 2

Hier worden achtereenvolgens de regel van De Morgan, de distributieve wet, de wet van het uitgesloten midden, de commutatieve wet, de wet van herhaling, de weer commutatieve wet en de wet van absorptie gebruikt.

Een letterlijke uitdrukking (of een uitdrukking met variabelen) is wiskundige uitdrukking, die bestaat uit cijfers, letters en tekens van wiskundige bewerkingen. De volgende uitdrukking is bijvoorbeeld letterlijk:

a+b+4

Met behulp van letterlijke uitdrukkingen kunt u wetten, formules, vergelijkingen en functies opschrijven. Het vermogen om letterlijke uitdrukkingen te manipuleren is de sleutel tot een goede kennis van algebra en hogere wiskunde.

Elk serieus probleem in de wiskunde komt neer op het oplossen van vergelijkingen. En om vergelijkingen op te lossen, moet je kunnen werken met letterlijke uitdrukkingen.

Om met letterlijke uitdrukkingen te werken, moet je de basisrekenkunde goed bestuderen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, basiswetten van de wiskunde, breuken, acties met breuken, verhoudingen. En niet alleen om te studeren, maar om grondig te begrijpen.

Variabelen

Letters die zijn opgenomen in letterlijke uitdrukkingen worden genoemd variabelen. Bijvoorbeeld, in de uitdrukking a+b+4 letters zijn variabelen a en b. Als we in plaats van deze variabelen getallen vervangen, dan is de letterlijke uitdrukking a+b+4 verandert in een numerieke uitdrukking waarvan de waarde kan worden gevonden.

Getallen die worden vervangen door variabelen worden genoemd variabele waarden. Laten we bijvoorbeeld de waarden van de variabelen wijzigen a en b. Gebruik het isgelijkteken om waarden te wijzigen

a = 2, b = 3

We hebben de waarden van de variabelen gewijzigd a en b. variabele a een waarde toegekend 2 , variabel b een waarde toegekend 3 . Als gevolg hiervan is de letterlijke uitdrukking a+b+4 converteert naar een normale numerieke uitdrukking 2+3+4 waarvan de waarde kan worden gevonden:

2 + 3 + 4 = 9

Wanneer variabelen worden vermenigvuldigd, worden ze samen geschreven. Bijvoorbeeld de invoer ab betekent hetzelfde als de invoer a×b. Als we substitueren in plaats van variabelen a en b nummers 2 en 3 , dan krijgen we 6

2x3 = 6

Samen kun je ook de vermenigvuldiging van een getal met een uitdrukking tussen haakjes schrijven. Bijvoorbeeld, in plaats van a×(b + c) kan worden geschreven een (b + c). Door de distributieve wet van vermenigvuldiging toe te passen, verkrijgen we: a(b + c)=ab+ac.

Kansen

In letterlijke uitdrukkingen kun je vaak een notatie vinden waarin bijvoorbeeld een getal en een variabele samen worden geschreven 3a. In feite is dit een afkorting voor het vermenigvuldigen van het getal 3 met een variabele. a en dit bericht ziet eruit als 3×a .

Met andere woorden, de uitdrukking 3a is het product van het getal 3 en de variabele a. Nummer 3 in dit werk heet coëfficiënt. Deze coëfficiënt geeft aan hoe vaak de variabele zal worden verhoogd a. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " a drie keer of drie keer a", of "verhoog de waarde van de variabele a drie keer", maar wordt meestal gelezen als "drie a«

Als bijvoorbeeld de variabele a is gelijk aan 5 , dan de waarde van de uitdrukking 3a zal gelijk zijn aan 15.

3x5 = 15

praten duidelijke taal, is de coëfficiënt het getal dat voor de letter komt (vóór de variabele).

Er kunnen bijvoorbeeld meerdere letters zijn 5abc. Hier is de coëfficiënt het getal 5 . Deze coëfficiënt laat zien dat het product van variabelen abc vijf keer toeneemt. Deze uitdrukking kan worden gelezen als " abc vijf keer" of "verhoog de waarde van de uitdrukking abc vijf keer" of "vijf abc«.

Als in plaats van variabelen abc vervang de nummers 2, 3 en 4, dan de waarde van de uitdrukking 5abc zal gelijk zijn aan 120

5x2x3x4 = 120

Je kunt je mentaal voorstellen hoe de getallen 2, 3 en 4 voor het eerst werden vermenigvuldigd en de resulterende waarde vijf keer toenam:

Het teken van de coëfficiënt verwijst alleen naar de coëfficiënt en is niet van toepassing op variabelen.

Overweeg de uitdrukking −6b. Min voor de coëfficiënt 6 , is alleen van toepassing op de coëfficiënt 6 , en is niet van toepassing op de variabele b. Als u dit feit begrijpt, kunt u in de toekomst geen fouten maken met tekens.

Zoek de waarde van de uitdrukking −6b Bij b = 3.

−6b −6×b. Voor de duidelijkheid schrijven we de uitdrukking −6b in uitgebreide vorm en vervang de waarde van de variabele b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Voorbeeld 2 Vind de waarde van een uitdrukking −6b Bij b = −5

Laten we de uitdrukking schrijven −6b in uitgebreide vorm

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Voorbeeld 3 Vind de waarde van een uitdrukking −5a+b Bij een = 3 en b = 2

−5a+b is de korte vorm voor −5 × a + b, daarom schrijven we voor de duidelijkheid de uitdrukking −5×a+b in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen a en b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Soms worden letters bijvoorbeeld zonder coëfficiënt geschreven a of ab. In dit geval is de coëfficiënt één:

maar de eenheid wordt traditioneel niet opgeschreven, dus schrijven ze gewoon a of ab

Als er een min voor de letter staat, dan is de coëfficiënt een getal −1 . Bijvoorbeeld de uitdrukking -a ziet er eigenlijk uit als −1a. Dit is het product van min één en de variabele a. Het kwam er zo uit:

−1 × a = −1a

Hier ligt een kleine truc. In de uitdrukking -a min voor variabele a verwijst eigenlijk naar de "onzichtbare eenheid" en niet naar de variabele a. Daarom moet u voorzichtig zijn bij het oplossen van problemen.

Bijvoorbeeld, gegeven de uitdrukking -a en ons wordt gevraagd om de waarde ervan te vinden bij een = 2, dan hebben we op school een deuce vervangen in plaats van een variabele a en antwoord krijgen −2 , niet echt focussen op hoe het bleek. In feite was er een vermenigvuldiging van min één met een positief getal 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Als een uitdrukking wordt gegeven -a en het is vereist om de waarde ervan te vinden op a = −2, dan vervangen we −2 in plaats van een variabele a

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Om fouten te voorkomen, kunnen in eerste instantie onzichtbare eenheden expliciet worden geschreven.

Voorbeeld 4 Vind de waarde van een uitdrukking abc Bij a=2 , b=3 en c=4

Uitdrukking abc 1×a×b×c. Voor de duidelijkheid schrijven we de uitdrukking abc een , b en c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Voorbeeld 5 Vind de waarde van een uitdrukking abc Bij a=−2 , b=−3 en c=−4

Laten we de uitdrukking schrijven abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een , b en c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Voorbeeld 6 Vind de waarde van een uitdrukking − abc Bij a=3 , b=5 en c=7

Uitdrukking − abc is de korte vorm voor −1×a×b×c. Voor de duidelijkheid schrijven we de uitdrukking − abc in uitgebreide vorm en vervang de waarden van de variabelen een , b en c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Voorbeeld 7 Vind de waarde van een uitdrukking − abc Bij a=−2 , b=−4 en c=−3

Laten we de uitdrukking schrijven − abc uitgebreid:

−abc = −1 × a × b × c

Vervang de waarde van de variabelen a , b en c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hoe de coëfficiënt te bepalen?

Soms is het nodig om een ​​probleem op te lossen waarbij het nodig is om de coëfficiënt van een uitdrukking te bepalen. In principe is deze taak heel eenvoudig. Het is voldoende om getallen correct te kunnen vermenigvuldigen.

Om de coëfficiënt in een uitdrukking te bepalen, moet u de getallen in deze uitdrukking afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. De resulterende numerieke factor is de coëfficiënt.

voorbeeld 1 7m×5a×(−3)×n

De uitdrukking bestaat uit verschillende factoren. Dit is duidelijk te zien als de uitdrukking in uitgevouwen vorm is geschreven. Dat wil zeggen, werkt 7m en 5a schrijf in het formulier 7×m en 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

We passen de associatieve wet van vermenigvuldiging toe, die ons in staat stelt om factoren in willekeurige volgorde te vermenigvuldigen. Vermenigvuldig namelijk afzonderlijk de cijfers en vermenigvuldig afzonderlijk de letters (variabelen):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

De coëfficiënt is −105 . Na voltooiing wordt het lettergedeelte bij voorkeur alfabetisch gerangschikt:

−105 uur

Voorbeeld 2 Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

De coëfficiënt is 6.

Voorbeeld 3 Bepaal de coëfficiënt in de uitdrukking:

Laten we cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

De coëfficiënt is -1. Houd er rekening mee dat de eenheid niet wordt geregistreerd, omdat de coëfficiënt 1 meestal niet wordt geregistreerd.

Deze schijnbaar eenvoudige taken kunnen een zeer wrede grap met ons uithalen. Vaak blijkt dat het teken van de coëfficiënt verkeerd is ingesteld: ofwel wordt een minpunt weggelaten of juist tevergeefs. Om deze vervelende fouten te voorkomen, moet het op een goed niveau worden bestudeerd.

Termen in letterlijke uitdrukkingen

Als je meerdere getallen bij elkaar optelt, krijg je de som van die getallen. Getallen die optellen worden termen genoemd. Er kunnen meerdere termen zijn, bijvoorbeeld:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Wanneer een uitdrukking uit termen bestaat, is het veel gemakkelijker om het te berekenen, omdat het gemakkelijker is om op te tellen dan af te trekken. Maar de uitdrukking kan niet alleen optellen, maar ook aftrekken bevatten, bijvoorbeeld:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

In deze uitdrukking worden de getallen 3 en 5 afgetrokken, niet opgeteld. Maar niets weerhoudt ons ervan aftrekken te vervangen door optellen. Dan krijgen we weer een uitdrukking die bestaat uit termen:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Het maakt niet uit dat de cijfers -3 en -5 nu met een minteken zijn. Het belangrijkste is dat alle getallen in deze uitdrukking verbonden zijn door het optelteken, dat wil zeggen dat de uitdrukking een som is.

Beide uitdrukkingen 1 + 2 − 3 + 4 − 5 en 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) gelijk zijn aan dezelfde waarde - min één

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

De waarde van de uitdrukking zal dus niet lijden onder het feit dat we aftrekken ergens vervangen door optellen.

U kunt aftrekken ook vervangen door optellen in letterlijke uitdrukkingen. Beschouw bijvoorbeeld de volgende uitdrukking:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Voor alle waarden van variabelen a, b, c, d en s uitdrukkingen 7a + 6b - 3c + 2d - 4s en 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) zal gelijk zijn aan dezelfde waarde.

Je moet erop voorbereid zijn dat een leraar op school of een leraar aan een instituut termen kan noemen, zelfs die getallen (of variabelen) die dat niet zijn.

Als het verschil bijvoorbeeld op het bord staat a-b, dan zal de leraar dat niet zeggen a is het minend, en b- aftrekbaar. Hij zal beide variabelen één gemeenschappelijk woord noemen - termen. En dat allemaal omdat de uitdrukking van de vorm a-b wiskundige ziet hoe de som een + (−b). In dit geval wordt de uitdrukking een som en de variabelen a en (−b) componenten worden.

Vergelijkbare termen

Vergelijkbare termen zijn termen met hetzelfde lettergedeelte. Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 7a + 6b + 2a. voorwaarden 7a en 2a hebben hetzelfde lettergedeelte - variabel a. Dus de voorwaarden 7a en 2a Zijn hetzelfde.

Meestal worden soortgelijke termen toegevoegd om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen of een vergelijking op te lossen. Deze operatie heet vermindering van soortgelijke termen.

Om gelijke termen te krijgen, moet je de coëfficiënten van deze termen optellen en het resultaat vermenigvuldigen met het gewone lettergedeelte.

We geven bijvoorbeeld vergelijkbare termen in de uitdrukking 3a + 4a + 5a. In dit geval zijn alle termen vergelijkbaar. We tellen hun coëfficiënten op en vermenigvuldigen het resultaat met het gewone lettergedeelte - met de variabele a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Dergelijke termen worden meestal in de geest gegeven en het resultaat wordt onmiddellijk vastgelegd:

3a + 4a + 5a = 12a

Je kunt ook zo redeneren:

Er waren 3 variabelen a , er werden nog 4 variabelen a en 5 variabelen a toegevoegd. Als resultaat kregen we 12 variabelen a

Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van het verminderen van vergelijkbare termen. Aangezien dit onderwerp erg belangrijk is, zullen we eerst elk detail in detail opschrijven. Ondanks dat alles hier heel eenvoudig is, maken de meeste mensen veel fouten. Meestal door onoplettendheid, niet door onwetendheid.

voorbeeld 1 3a + 2a + 6a + 8 a

We tellen de coëfficiënten in deze uitdrukking op en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

ontwerp (3 + 2 + 6 + 8)×a je kunt het niet opschrijven, dus we schrijven het antwoord meteen op

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Voorbeeld 2 Breng gelijke termen in de uitdrukking 2a+a

Tweede semester a geschreven zonder een coëfficiënt, maar in feite wordt het voorafgegaan door een coëfficiënt 1 , die we niet zien vanwege het feit dat het niet is opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + 1a

Nu presenteren we vergelijkbare termen. Dat wil zeggen, we voegen de coëfficiënten toe en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Laten we de oplossing in het kort schrijven:

2a + a = 3a

2a+a, je kunt op een andere manier argumenteren:

Voorbeeld 3 Breng gelijke termen in de uitdrukking 2a - a

Laten we aftrekken vervangen door optellen:

2a + (−a)

Tweede semester (−a) geschreven zonder een coëfficiënt, maar in feite lijkt het erop (−1a). Coëfficiënt −1 weer onzichtbaar omdat het niet wordt opgenomen. De uitdrukking ziet er dus als volgt uit:

2a + (−1a)

Nu presenteren we vergelijkbare termen. We tellen de coëfficiënten op en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Meestal korter geschreven:

2a − a = a

Gelijke termen in de uitdrukking brengen 2a−a Je kunt ook op een andere manier argumenteren:

Er waren 2 variabelen a , afgetrokken van één variabele a , als resultaat was er maar één variabele a

Voorbeeld 4 Breng gelijke termen in de uitdrukking 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Nu presenteren we vergelijkbare termen. We tellen de coëfficiënten op en vermenigvuldigen het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Laten we de oplossing in het kort schrijven:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Er zijn uitdrukkingen die verschillende groepen van vergelijkbare termen bevatten. Bijvoorbeeld, 3a + 3b + 7a + 2b. Voor dergelijke uitdrukkingen gelden dezelfde regels als voor de rest, namelijk het optellen van de coëfficiënten en het vermenigvuldigen van het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte. Maar om fouten te voorkomen, is het handig om verschillende groepen termen met verschillende regels te onderstrepen.

Bijvoorbeeld, in de uitdrukking 3a + 3b + 7a + 2b die termen die een variabele bevatten a, kan met één regel worden onderstreept, en die termen die een variabele bevatten b, kan worden onderstreept met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen brengen. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte. Dit moet voor beide groepen termen worden gedaan: voor termen die een variabele bevatten a en voor termen die de variabele bevatten b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Nogmaals, we herhalen, de uitdrukking is eenvoudig, en soortgelijke termen kunnen in de geest worden gegeven:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Voorbeeld 5 Breng gelijke termen in de uitdrukking 5a - 6a - 7b + b

Waar mogelijk vervangen we aftrekken door optellen:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Onderstreep gelijke termen met verschillende regels. Termen die variabelen bevatten a onderstrepen met één regel, en de termen inhoud zijn variabelen b, onderstreept met twee regels:

Nu kunnen we soortgelijke termen brengen. Dat wil zeggen, voeg de coëfficiënten toe en vermenigvuldig het resultaat met het gemeenschappelijke lettergedeelte:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Als de uitdrukking gewone getallen zonder alfabetische factoren bevat, worden deze afzonderlijk opgeteld.

Voorbeeld 6 Breng gelijke termen in de uitdrukking 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Laten we vergelijkbare termen presenteren. Cijfers −5 en 7 hebben geen letterlijke factoren, maar het zijn vergelijkbare termen - je hoeft ze alleen maar op te tellen. en de term 2b blijft ongewijzigd, omdat het de enige in deze uitdrukking is die een letterfactor heeft b, en er is niets om het toe te voegen met:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Laten we de oplossing in het kort schrijven:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termen kunnen zo worden geordend dat die termen met hetzelfde lettergedeelte zich in hetzelfde gedeelte van de uitdrukking bevinden.

Voorbeeld 7 Breng gelijke termen in de uitdrukking 5t+2x+3x+5t+x

Omdat de uitdrukking de som is van verschillende termen, kunnen we deze in willekeurige volgorde evalueren. Daarom zijn de termen die de variabele bevatten t, kan aan het begin van de uitdrukking worden geschreven, en de termen die de variabele bevatten x aan het einde van de uitdrukking:

5t+5t+2x+3x+x

Nu kunnen we soortgelijke termen toevoegen:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Laten we de oplossing in het kort schrijven:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

De som van tegengestelde getallen is nul. Deze regel werkt ook voor letterlijke uitdrukkingen. Als de uitdrukking dezelfde termen bevat, maar met tegenovergestelde tekens, dan kunnen ze worden geëlimineerd in het stadium van het verminderen van soortgelijke termen. Met andere woorden, laat ze gewoon uit de uitdrukking vallen omdat hun som nul is.

Voorbeeld 8 Breng gelijke termen in de uitdrukking 3t − 4t − 3t + 2t

Laten we aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

voorwaarden 3t en (−3t) zijn tegengesteld. De som van tegengestelde termen is gelijk aan nul. Als we deze nul uit de uitdrukking verwijderen, verandert de waarde van de uitdrukking niet, dus verwijderen we hem. En we zullen het verwijderen door de gebruikelijke verwijdering van de voorwaarden 3t en (−3t)

Als resultaat krijgen we de uitdrukking (−4t) + 2t. In deze uitdrukking kun je soortgelijke termen toevoegen en het uiteindelijke antwoord krijgen:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Laten we de oplossing in het kort schrijven:

Vereenvoudiging van de uitdrukking

"vereenvoudig de uitdrukking" en het volgende is de uitdrukking die vereenvoudigd moet worden. Expressie vereenvoudigen betekent om het eenvoudiger en korter te maken.

In feite hebben we het al gehad over de vereenvoudiging van uitdrukkingen bij het verkleinen van breuken. Na de reductie werd de breuk korter en beter leesbaar.

Beschouw het volgende voorbeeld. Vereenvoudig de uitdrukking.

Deze taak kan letterlijk als volgt worden opgevat: "Doe wat je kunt doen met deze uitdrukking, maar maak het eenvoudiger" .

In dit geval kunt u de breuk verkleinen, namelijk de teller en noemer van de breuk delen door 2:

Wat kan er nog meer worden gedaan? U kunt de resulterende breuk berekenen. Dan krijgen we de decimale 0,5

Als resultaat werd de breuk vereenvoudigd tot 0,5.

De eerste vraag die je jezelf moet stellen bij het oplossen van dergelijke problemen zou moeten zijn: "Wat gedaan kan worden?" . Want er zijn dingen die je kunt doen en er zijn dingen die je niet kunt doen.

Een ander belangrijk punt Het ding om in gedachten te houden is dat de waarde van een uitdrukking niet mag veranderen nadat de uitdrukking is vereenvoudigd. Laten we terugkeren naar de uitdrukking. Deze uitdrukking is een deling die kan worden uitgevoerd. Nadat we deze deling hebben uitgevoerd, krijgen we de waarde van deze uitdrukking, die gelijk is aan 0,5

Maar we hebben de uitdrukking vereenvoudigd en hebben een nieuwe vereenvoudigde uitdrukking gekregen. De waarde van de nieuwe vereenvoudigde uitdrukking is nog steeds 0,5

Maar we hebben ook geprobeerd de uitdrukking te vereenvoudigen door deze te berekenen. Het uiteindelijke antwoord was dus 0,5.

Dus, hoe we de uitdrukking ook vereenvoudigen, de waarde van de resulterende uitdrukkingen is nog steeds 0,5. Dit betekent dat de vereenvoudiging in elke fase correct werd uitgevoerd. Dit is waar we naar moeten streven bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen - de betekenis van de uitdrukking mag niet lijden onder onze acties.

Het is vaak nodig om letterlijke uitdrukkingen te vereenvoudigen. Voor hen gelden dezelfde vereenvoudigingsregels als voor numerieke uitdrukkingen. U kunt elke geldige actie uitvoeren, zolang de waarde van de uitdrukking niet verandert.

Laten we een paar voorbeelden bekijken.

voorbeeld 1 Expressie vereenvoudigen 5,21s × t × 2,5

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u de getallen afzonderlijk vermenigvuldigen en de letters afzonderlijk vermenigvuldigen. Deze taak lijkt erg op de taak die we hebben overwogen toen we leerden de coëfficiënt te bepalen:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Dus de uitdrukking 5,21s × t × 2,5 vereenvoudigd tot 13.025st.

Voorbeeld 2 Expressie vereenvoudigen −0.4×(−6.3b)×2

tweede werk (−6.3b) kan worden vertaald in een voor ons begrijpelijke vorm, namelijk geschreven in de vorm ( −6.3)×b , vermenigvuldig dan afzonderlijk de cijfers en vermenigvuldig de letters afzonderlijk:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6.3) × b × 2 = 5.04b

Dus de uitdrukking −0.4×(−6.3b)×2 vereenvoudigd tot 5.04b

Voorbeeld 3 Expressie vereenvoudigen

Laten we deze uitdrukking in meer detail schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers zijn en waar de letters zijn:

Nu vermenigvuldigen we de getallen afzonderlijk en vermenigvuldigen de letters afzonderlijk:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot abc. Deze oplossing kan korter worden geschreven:

Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen kunnen breuken worden verkleind tijdens het oplossen, en niet helemaal aan het einde, zoals we deden met gewone breuken. Als we bijvoorbeeld tijdens het oplossen een uitdrukking van de vorm tegenkomen, dan is het helemaal niet nodig om de teller en noemer te berekenen en zoiets als dit te doen:

Een breuk kan worden verkleind door zowel de factor in de teller als de noemer te kiezen en deze factoren te verminderen met hun grootste gemene deler. Met andere woorden, gebruik , waarin we niet in detail beschrijven waarin de teller en noemer werden verdeeld.

Bijvoorbeeld, in de teller, de factor 12 en in de noemer, kan de factor 4 worden verminderd met 4. We houden de vier in onze gedachten, en door 12 en 4 te delen door deze vier, schrijven we de antwoorden naast deze getallen, nadat ik ze eerder had doorgestreept

Nu kunt u de resulterende kleine factoren vermenigvuldigen. In dit geval zijn het er niet veel en kun je ze in gedachten vermenigvuldigen:

Na verloop van tijd zult u merken dat bij het oplossen van een bepaald probleem uitdrukkingen beginnen te "vetmesten", dus het is raadzaam om te wennen aan snelle berekeningen. Wat in de geest kan worden berekend, moet in de geest worden berekend. Wat snel kan worden gesneden, moet snel worden gesneden.

Voorbeeld 4 Expressie vereenvoudigen

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

Voorbeeld 5 Expressie vereenvoudigen

We vermenigvuldigen cijfers afzonderlijk en letters afzonderlijk:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot mn.

Voorbeeld 6 Expressie vereenvoudigen

Laten we deze uitdrukking in meer detail schrijven om duidelijk te zien waar de cijfers zijn en waar de letters zijn:

Nu vermenigvuldigen we de cijfers afzonderlijk en de letters afzonderlijk. Voor het gemak van berekeningen, de decimale breuk −6.4 en gemengd getal kan worden omgezet in gewone breuken:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

De oplossing voor dit voorbeeld kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

Voorbeeld 7 Expressie vereenvoudigen

We vermenigvuldigen cijfers apart en letters apart. Voor het gemak van de berekening kunnen het gemengde getal en de decimale breuken 0.1 en 0.6 worden omgezet in gewone breuken:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot abcd. Als u de details overslaat, kan deze oplossing veel korter worden geschreven:

Merk op hoe de breuk is verkleind. Nieuwe vermenigvuldigers, die worden verkregen door de vorige vermenigvuldigers te verlagen, kunnen ook worden verlaagd.

Laten we het nu hebben over wat we niet moeten doen. Bij het vereenvoudigen van uitdrukkingen is het ten strengste verboden om cijfers en letters te vermenigvuldigen als de uitdrukking een som is en geen product.

Als u bijvoorbeeld de uitdrukking wilt vereenvoudigen 5a + 4b, dan kan het niet als volgt worden geschreven:

Dit komt overeen met het feit dat als we zouden worden gevraagd om twee getallen op te tellen, we ze zouden vermenigvuldigen in plaats van ze op te tellen.

Bij het vervangen van waarden van variabelen a en b uitdrukking 5a+4b verandert in een eenvoudige numerieke uitdrukking. Laten we aannemen dat de variabelen a en b hebben de volgende betekenissen:

a = 2 , b = 3

Dan is de waarde van de uitdrukking 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Eerst wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd en vervolgens worden de resultaten opgeteld. En als we zouden proberen deze uitdrukking te vereenvoudigen door cijfers en letters te vermenigvuldigen, zouden we het volgende krijgen:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Het blijkt een heel andere betekenis van de uitdrukking. In het eerste geval bleek het 22 , in het tweede geval 120 . Dit betekent dat de vereenvoudiging van de uitdrukking 5a + 4b verkeerd werd uitgevoerd.

Na vereenvoudiging van de uitdrukking, zou de waarde ervan niet moeten veranderen met dezelfde waarden van de variabelen. Als bij het vervangen van variabele waarden in de oorspronkelijke uitdrukking één waarde wordt verkregen, moet na vereenvoudiging van de uitdrukking dezelfde waarde worden verkregen als vóór vereenvoudiging.

Met uitdrukking 5a + 4b er kan eigenlijk niets aan gedaan worden. Makkelijker wordt het niet.

Als de uitdrukking soortgelijke termen bevat, kunnen deze worden toegevoegd als het ons doel is om de uitdrukking te vereenvoudigen.

Voorbeeld 8 Expressie vereenvoudigen 0.3a−0.4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (-0,4a) + a = (0,3 + (-0,4) + 1)×a = 0,9a

of korter: 0,3a - 0,4a + a = 0.9a

Dus de uitdrukking 0.3a−0.4a+a vereenvoudigd tot 0.9a

Voorbeeld 9 Expressie vereenvoudigen −7.5a − 2.5b + 4a

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u soortgelijke termen toevoegen:

−7.5a − 2.5b + 4a = −7.5a + (−2.5b) + 4a = ((−7.5) + 4)×a + (−2.5b) = −3.5a + (−2.5b)

of korter −7.5a − 2.5b + 4a = −3.5a + (−2.5b)

termijn (−2.5b) bleef onveranderd, aangezien er niets was om het mee te vouwen.

Voorbeeld 10 Expressie vereenvoudigen

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u soortgelijke termen toevoegen:

De coëfficiënt was voor het gemak van de berekening.

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot

Voorbeeld 11. Expressie vereenvoudigen

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u soortgelijke termen toevoegen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot .

BIJ dit voorbeeld het zou logischer zijn om eerst de eerste en laatste coëfficiënt toe te voegen. In dit geval zouden we een korte oplossing krijgen. Het zou er als volgt uitzien:

Voorbeeld 12. Expressie vereenvoudigen

Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u soortgelijke termen toevoegen:

Dus de uitdrukking vereenvoudigd tot .

De term bleef ongewijzigd, omdat er niets aan toe te voegen was.

Deze oplossing kan veel korter worden geschreven. Het zal er als volgt uitzien:

De korte oplossing laat de stappen weg om aftrekken te vervangen door optellen en een gedetailleerd verslag van hoe de breuken werden teruggebracht tot een gemeenschappelijke noemer.

Een ander verschil is dat in gedetailleerde oplossing: het antwoord lijkt op , maar in het kort als . Eigenlijk is het dezelfde uitdrukking. Het verschil is dat in het eerste geval aftrekken wordt vervangen door optellen, aangezien in het begin toen we de oplossing schreven in gedetailleerd overzicht, we hebben aftrekken waar mogelijk vervangen door optellen, en deze vervanging is bewaard gebleven voor het antwoord.

identiteiten. Identieke gelijke uitdrukkingen

Nadat we een uitdrukking hebben vereenvoudigd, wordt deze eenvoudiger en korter. Om te controleren of de uitdrukking correct is vereenvoudigd, volstaat het om alle waarden van de variabelen eerst te vervangen door de vorige uitdrukking, die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens in de nieuwe, die vereenvoudigd was. Als de waarde in beide uitdrukkingen hetzelfde is, wordt de uitdrukking correct vereenvoudigd.

Beschouwen het eenvoudigste voorbeeld. Laat het nodig zijn om de uitdrukking te vereenvoudigen 2a × 7b. Om deze uitdrukking te vereenvoudigen, kunt u de cijfers en letters afzonderlijk vermenigvuldigen:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Laten we eens kijken of we de uitdrukking correct hebben vereenvoudigd. Om dit te doen, vervangt u alle waarden van de variabelen a en b eerst naar de eerste uitdrukking, die vereenvoudigd moest worden, en vervolgens naar de tweede, die vereenvoudigd werd.

Laat de waarden van de variabelen a , b zal als volgt zijn:

a = 4 , b = 5

Vervang ze in de eerste uitdrukking 2a × 7b

Laten we nu dezelfde waarden van de variabelen vervangen in de uitdrukking die het resultaat is van de vereenvoudiging 2a×7b, namelijk in de uitdrukking 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Dat zien we bij a=4 en b=5 de waarde van de eerste uitdrukking 2a×7b en de waarde van de tweede uitdrukking 14ab Gelijk

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Hetzelfde zal gebeuren voor alle andere waarden. Laat bijvoorbeeld a=1 en b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Dus, voor alle waarden van de variabelen, de uitdrukkingen 2a×7b en 14ab gelijk zijn aan dezelfde waarde. Dergelijke uitdrukkingen worden genoemd identiek gelijk.

We concluderen dat tussen de uitdrukkingen 2a×7b en 14ab je kunt een gelijkteken plaatsen, omdat ze gelijk zijn aan dezelfde waarde.

2a × 7b = 14ab

Een gelijkheid is elke uitdrukking die wordt vergezeld door een gelijkteken (=).

En de gelijkheid van de vorm 2a×7b = 14ab genaamd identiteit.

Een identiteit is een gelijkheid die geldt voor alle waarden van de variabelen.

Andere voorbeelden van identiteiten:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, de wetten van de wiskunde die we hebben bestudeerd zijn identiteiten.

Echte numerieke gelijkheden zijn ook identiteiten. Bijvoorbeeld:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Beslissen moeilijke opdracht, om de berekening te vergemakkelijken, wordt de complexe uitdrukking vervangen door een eenvoudigere uitdrukking die identiek is aan de vorige. Zo'n vervanging heet identieke transformatie van de uitdrukking of gewoon uitdrukking conversie.

We hebben bijvoorbeeld de uitdrukking vereenvoudigd 2a × 7b en krijg een eenvoudigere uitdrukking 14ab. Deze vereenvoudiging kan de identiteitstransformatie worden genoemd.

Je kunt vaak een taak vinden die zegt: "bewijzen dat gelijkheid identiteit is" en dan wordt de te bewijzen gelijkheid gegeven. Meestal bestaat deze gelijkheid uit twee delen: het linker- en het rechterdeel van de gelijkheid. Onze taak is om identieke transformaties uit te voeren met een van de delen van de gelijkheid en het andere deel te krijgen. Of voer identieke transformaties uit met beide delen van de gelijkheid en zorg ervoor dat beide delen van de gelijkheid dezelfde uitdrukkingen bevatten.

Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Vereenvoudig de linkerkant van deze gelijkheid. Vermenigvuldig hiervoor de cijfers en letters afzonderlijk:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2.5ab = 2.5ab

Als resultaat van een kleine identieke transformatie, linkerkant gelijkheid werd gelijk aan de rechterkant van de gelijkheid. Dus we hebben bewezen dat de gelijkheid 0,5a × 5b = 2,5ab is een identiteit.

Van identieke transformaties hebben we geleerd getallen op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, breuken te verkleinen, gelijke termen te brengen en ook enkele uitdrukkingen te vereenvoudigen.

Maar dit zijn lang niet alle identieke transformaties die in de wiskunde bestaan. Er zijn veel meer identieke transformaties. Dit zullen we in de toekomst vaker zien.

Taken voor zelfstandige oplossing:

Vond je de les leuk?
Word lid van onze nieuwe Vkontakte-groep en ontvang meldingen van nieuwe lessen

Het vereenvoudigen van algebraïsche uitdrukkingen is een van de sleutels tot het leren van algebra en een uiterst nuttige vaardigheid voor alle wiskundigen. Met vereenvoudiging kunt u een complexe of lange uitdrukking reduceren tot een eenvoudige uitdrukking waarmee u gemakkelijk kunt werken. Basisvaardigheden voor vereenvoudiging zijn goed, zelfs voor degenen die niet enthousiast zijn over wiskunde. Een paar houden eenvoudige regels, kunt u veel van de meest voorkomende soorten algebraïsche uitdrukkingen vereenvoudigen zonder speciale wiskundige kennis.

Stappen

Belangrijke definities

1. Gelijkaardige leden. Dit zijn leden met een variabele van dezelfde volgorde, leden met dezelfde variabelen, of vrije leden (leden die geen variabele bevatten). Met andere woorden, gelijke termen omvatten één variabele in dezelfde mate, bevatten meerdere identieke variabelen of bevatten helemaal geen variabele. De volgorde van de termen in de uitdrukking doet er niet toe.

   • 3x 2 en 4x 2 zijn bijvoorbeeld gelijkaardige termen omdat ze de variabele "x" van de tweede orde (in de tweede macht) bevatten. X en x 2 zijn echter geen vergelijkbare leden, omdat ze de variabele "x" van verschillende orden bevatten (eerste en tweede). Evenzo zijn -3yx en 5xz geen vergelijkbare leden omdat ze verschillende variabelen bevatten.

2. Factorisatie. Dit is het vinden van zulke getallen, waarvan het product leidt tot het oorspronkelijke getal. Elk origineel nummer kan verschillende factoren hebben. Het getal 12 kan bijvoorbeeld worden ontleed in de volgende reeks factoren: 1 × 12, 2 × 6 en 3 × 4, dus we kunnen zeggen dat de getallen 1, 2, 3, 4, 6 en 12 factoren zijn van de getal 12. De factoren zijn hetzelfde als delers, dat wil zeggen, de getallen waardoor het oorspronkelijke getal deelbaar is.

   • Als u bijvoorbeeld het getal 20 wilt ontbinden, schrijft u het als volgt: 4×5.
   • Merk op dat bij factoring rekening wordt gehouden met de variabele. Bijvoorbeeld 20x = 4(5x).
   • Priemgetallen kunnen niet worden ontbonden omdat ze alleen deelbaar zijn door zichzelf en 1.

3. Onthoud en volg de volgorde van bewerkingen om fouten te voorkomen.

   • haakjes
   • Rang
   • Vermenigvuldiging
   • Divisie
   • Toevoeging
   • aftrekken

   Casten als leden

   1. Schrijf de uitdrukking op. Protozoa algebraïsche uitdrukkingen(die geen breuken, wortels, enzovoort bevatten) kunnen in slechts enkele stappen (vereenvoudigd) worden opgelost.

      • Vereenvoudig bijvoorbeeld de uitdrukking 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definieer vergelijkbare leden (leden met een variabele van dezelfde volgorde, leden met dezelfde variabelen of vrije leden).

      • Zoek vergelijkbare termen in deze uitdrukking. De termen 2x en 4x bevatten een variabele van dezelfde orde (eerste). Ook zijn 1 en -3 gratis leden (bevatten geen variabele). Dus, in deze uitdrukking, de termen 2x en 4x zijn vergelijkbaar, en de leden 1 en -3 zijn ook vergelijkbaar.

   3. Geef vergelijkbare termen. Dit betekent optellen of aftrekken en de uitdrukking vereenvoudigen.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Herschrijf de uitdrukking rekening houdend met de gegeven termen. U krijgt een eenvoudige uitdrukking met minder termen. De nieuwe uitdrukking is gelijk aan het origineel.

      • In ons voorbeeld: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, dat wil zeggen, de oorspronkelijke uitdrukking is vereenvoudigd en gemakkelijker om mee te werken.

   5. Let op de volgorde waarin bewerkingen worden uitgevoerd bij het casten van soortgelijke termen. In ons voorbeeld was het gemakkelijk om vergelijkbare termen te gebruiken. In het geval van complexe uitdrukkingen waarin leden tussen haakjes staan ​​en breuken en wortels aanwezig zijn, is het echter niet zo eenvoudig om dergelijke termen te brengen. Volg in deze gevallen de volgorde van bewerkingen.

      • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Hier zou het een vergissing zijn om 3x en 2x meteen als gelijkaardige termen te definiëren en ze te citeren, omdat je eerst de haakjes moet uitbreiden. Voer de bewerkingen daarom in hun volgorde uit.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. nutsvoorzieningen, wanneer de uitdrukking alleen optel- en aftrekbewerkingen bevat, kunt u soortgelijke termen casten.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   De vermenigvuldiger tussen haakjes plaatsen

   1. Vind de grootste gemene deler (ggd) van alle coëfficiënten van de uitdrukking. GCD is het grootste getal waarmee alle coëfficiënten van de uitdrukking deelbaar zijn.

      • Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking 9x 2 + 27x - 3. In dit geval is ggd=3, aangezien elke coëfficiënt van deze uitdrukking deelbaar is door 3.

   2. Deel elke term van de uitdrukking door ggd. De resulterende termen zullen kleinere coëfficiënten bevatten dan in de oorspronkelijke uitdrukking.

      • In ons voorbeeld deelt u elke uitdrukkingsterm door 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Het bleek de uitdrukking 3x2 + 9x-1. Het is niet gelijk aan de oorspronkelijke uitdrukking.

   3. Schrijf de oorspronkelijke uitdrukking als gelijk aan het product van ggd maal de resulterende uitdrukking. Dat wil zeggen, zet de resulterende uitdrukking tussen haakjes en zet de GCD tussen haakjes.

      • In ons voorbeeld: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Vereenvoudiging van fractionele uitdrukkingen door de vermenigvuldiger tussen haakjes te halen. Waarom de vermenigvuldiger gewoon tussen haakjes halen, zoals eerder werd gedaan? Om vervolgens te leren hoe u complexe uitdrukkingen, zoals fractionele uitdrukkingen, kunt vereenvoudigen. In dit geval kan het weghalen van de breuk (van de noemer) helpen om de factor buiten de haakjes te plaatsen.

      • Beschouw bijvoorbeeld de fractionele uitdrukking (9x 2 + 27x - 3)/3. Gebruik haakjes om deze uitdrukking te vereenvoudigen.
        • Factor uit de factor 3 (zoals je eerder deed): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Merk op dat zowel de teller als de noemer nu het getal 3 hebben. Dit kan worden verminderd, en je krijgt de uitdrukking: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Aangezien elke breuk met het getal 1 in de noemer net gelijk is aan de teller, wordt de oorspronkelijke fractionele uitdrukking vereenvoudigd tot: 3x2 + 9x-1.

   Aanvullende vereenvoudigingstechnieken

4. Beschouw een eenvoudig voorbeeld: √(90). Het getal 90 kan worden ontleed in de volgende factoren: 9 en 10, en uit 9 extract Vierkantswortel(3) en haal er 3 onder de wortel uit.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Vereenvoudiging van uitdrukkingen met bevoegdheden. In sommige uitdrukkingen zijn er bewerkingen van vermenigvuldiging of deling van termen met een graad. In het geval van vermenigvuldiging van termen met één grondtal, worden hun graden opgeteld; in het geval van het delen van termen met hetzelfde grondtal, worden hun graden afgetrokken.

   • Beschouw bijvoorbeeld de uitdrukking 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). In het geval van vermenigvuldigen, tel je de exponenten op en in het geval van delen, trek je ze af.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Hieronder volgt een uitleg van de regel voor het vermenigvuldigen en delen van termen met een graad.
     • Het vermenigvuldigen van termen met bevoegdheden is gelijk aan het vermenigvuldigen van termen alleen. Bijvoorbeeld, aangezien x 3 = x × x × x en x 5 = x × x × x × x × x, dan is x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), of x 8 .
     • Evenzo is het delen van termen met bevoegdheden gelijk aan het delen van termen door zichzelf. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Aangezien vergelijkbare termen die zowel in de teller als in de noemer voorkomen, kunnen worden verkleind, blijft het product van twee "x" of x 2 in de teller.

• Let altijd op de tekens (plus of min) voor de termen van een uitdrukking, aangezien veel mensen moeite hebben met het kiezen van het juiste teken.
• Vraag indien nodig om hulp!
• Het is niet eenvoudig om algebraïsche uitdrukkingen te vereenvoudigen, maar als je het onder de knie hebt, kun je deze vaardigheid een leven lang gebruiken.

Elke taal kan dezelfde informatie uitdrukken verschillende woorden en omzet. Wiskundige taal is geen uitzondering. Maar dezelfde uitdrukking kan op verschillende manieren equivalent worden geschreven. En in sommige situaties is een van de items eenvoudiger. In deze les gaan we het hebben over het vereenvoudigen van uitdrukkingen.

Mensen communiceren op verschillende talen. Voor ons is een belangrijke vergelijking het paar "Russische taal - wiskundige taal". Dezelfde informatie kan in verschillende talen worden gerapporteerd. Maar daarnaast kan het in één taal anders worden uitgesproken.

Bijvoorbeeld: "Peter is bevriend met Vasya", "Vasya is bevriend met Petya", "Peter en Vasya zijn vrienden". Anders gezegd, maar een en hetzelfde. Door elk van deze zinnen zouden we begrijpen wat er op het spel staat.

Laten we naar deze zin kijken: "De jongen Petya en de jongen Vasya zijn vrienden." We begrijpen wat: in kwestie. We houden echter niet van hoe deze zin klinkt. Kunnen we het niet vereenvoudigen, hetzelfde zeggen, maar eenvoudiger? "Jongen en jongen" - je kunt één keer zeggen: "Jongens Petya en Vasya zijn vrienden."

"Jongens" ... Blijkt uit hun namen niet dat het geen meisjes zijn. We verwijderen de "jongens": "Petya en Vasya zijn vrienden." En het woord "vrienden" kan worden vervangen door "vrienden": "Petya en Vasya zijn vrienden." Als gevolg hiervan werd de eerste, lange, lelijke zin vervangen door een equivalente uitspraak die gemakkelijker te zeggen en gemakkelijker te begrijpen is. We hebben deze zin vereenvoudigd. Vereenvoudigen betekent het makkelijker zeggen, maar niet verliezen, de betekenis niet verdraaien.

Hetzelfde gebeurt in wiskundige taal. Hetzelfde kan anders gezegd worden. Wat betekent het om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Dit betekent dat er voor de oorspronkelijke uitdrukking veel equivalente uitdrukkingen zijn, dat wil zeggen, uitdrukkingen die hetzelfde betekenen. En uit al deze veelheid moeten we naar onze mening de eenvoudigste of de meest geschikte kiezen voor onze verdere doeleinden.

Denk bijvoorbeeld aan een numerieke uitdrukking. Het zal gelijk zijn aan .

Het zal ook gelijk zijn aan de eerste twee: .

Het blijkt dat we onze uitdrukkingen hebben vereenvoudigd en de kortste equivalente uitdrukking hebben gevonden.

Voor numerieke uitdrukkingen moet u altijd al het werk doen en de equivalente uitdrukking als een enkel getal krijgen.

Overweeg een voorbeeld van een letterlijke uitdrukking . Uiteraard zal het eenvoudiger zijn.

Bij het vereenvoudigen van letterlijke uitdrukkingen moet u alle mogelijke acties uitvoeren.

Is het altijd nodig om een ​​uitdrukking te vereenvoudigen? Nee, soms is een equivalente maar langere notatie handiger voor ons.

Voorbeeld: Trek het getal van het getal af.

Het is mogelijk om te berekenen, maar als het eerste getal zou worden weergegeven met de equivalente notatie: , dan zouden de berekeningen onmiddellijk zijn: .

Dat wil zeggen, een vereenvoudigde uitdrukking is niet altijd gunstig voor ons voor verdere berekeningen.

Desalniettemin worden we heel vaak geconfronteerd met een taak die klinkt als "vereenvoudig de uitdrukking".

Vereenvoudig de uitdrukking: .

Oplossing

1) Voer acties uit tussen de eerste en tweede haakjes: .

2) Bereken de producten: .

Het is duidelijk dat de laatste uitdrukking een eenvoudiger vorm heeft dan de eerste. We hebben het vereenvoudigd.

Om de uitdrukking te vereenvoudigen, moet deze worden vervangen door een equivalent (gelijk).

Om de equivalente uitdrukking te bepalen, moet u:

1) voer alle mogelijke acties uit,

2) gebruik de eigenschappen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen om berekeningen te vereenvoudigen.

Eigenschappen van optellen en aftrekken:

1. Commutatieve eigenschap van optellen: de som verandert niet door de herschikking van de termen.

2. Associatieve eigenschap van optellen: om een ​​derde getal op te tellen bij de som van twee getallen, kun je de som van het tweede en derde getal bij het eerste getal optellen.

3. De eigenschap van het aftrekken van een som van een getal: om de som van een getal af te trekken, kun je elke term afzonderlijk aftrekken.

Eigenschappen van vermenigvuldigen en delen

1. De commutatieve eigenschap van vermenigvuldiging: het product verandert niet door een permutatie van factoren.

2. Associatieve eigenschap: om een ​​getal te vermenigvuldigen met het product van twee getallen, kun je het eerst vermenigvuldigen met de eerste factor en vervolgens het resulterende product vermenigvuldigen met de tweede factor.

3. De distributieve eigenschap van vermenigvuldiging: om een ​​getal met een som te vermenigvuldigen, moet je het met elke term afzonderlijk vermenigvuldigen.

Laten we eens kijken hoe we eigenlijk mentale berekeningen doen.

Berekenen:

Oplossing

1) Stel je voor hoe

2) Laten we de eerste vermenigvuldiger voorstellen als de som van bittermen en de vermenigvuldiging uitvoeren:

3) je kunt je voorstellen hoe en vermenigvuldigen:

4) Vervang de eerste factor door een equivalente som:

De distributieve wet kan ook in de tegenovergestelde richting worden gebruikt: .

Volg deze stappen:

1) 2)

Oplossing

1) Voor het gemak kunt u de distributiewet gebruiken, gebruik deze gewoon in de tegenovergestelde richting - haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes.

2) Laten we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes halen

Het is noodzakelijk om linoleum te kopen in de keuken en gang. Keukenhoek - hal -. Er zijn drie soorten linoleums: voor en roebels voor. Hoeveel zal elk van drie soorten linoleum? (Figuur 1)

Rijst. 1. Illustratie voor de toestand van het probleem

Oplossing

Methode 1. U kunt afzonderlijk vinden hoeveel geld het kost om linoleum in de keuken te kopen, en het vervolgens aan de gang toevoegen en de resulterende werken optellen.

Het is bekend dat men in de wiskunde niet zonder het vereenvoudigen van uitdrukkingen kan. Dit is nodig voor correcte en snelle beslissing een breed scala aan problemen, evenals verschillende soorten vergelijkingen. De besproken vereenvoudiging impliceert een vermindering van het aantal acties dat nodig is om het doel te bereiken. Hierdoor worden berekeningen merkbaar vereenvoudigd en wordt er aanzienlijk tijd bespaard. Maar hoe de uitdrukking te vereenvoudigen? Hiervoor worden gevestigde wiskundige relaties gebruikt, vaak formules genoemd, of wetten waarmee u uitdrukkingen veel korter kunt maken, waardoor berekeningen worden vereenvoudigd.

Het is geen geheim dat het tegenwoordig niet moeilijk is om de uitdrukking online te vereenvoudigen. Hier zijn links naar enkele van de meer populaire:

Dit is echter niet bij elke uitdrukking mogelijk. Daarom zullen we meer traditionele methoden in meer detail bekijken.

Een gemeenschappelijke deler eruit halen

In het geval dat er in één uitdrukking monomials zijn die dezelfde factoren hebben, kun je de som van de coëfficiënten ermee vinden en vervolgens vermenigvuldigen met de gemeenschappelijke factor voor hen. Deze bewerking wordt ook wel "een gemeenschappelijke deler aftrekken" genoemd. Consequent gebruiken deze methode, soms is het mogelijk om de uitdrukking aanzienlijk te vereenvoudigen. Algebra is immers in het algemeen, als geheel, gebouwd op het groeperen en hergroeperen van factoren en delers.

De eenvoudigste formules voor verkorte vermenigvuldiging

Een van de gevolgen van de eerder beschreven methode zijn de gereduceerde vermenigvuldigingsformules. Hoe uitdrukkingen met hun hulp te vereenvoudigen, is veel duidelijker voor degenen die deze formules niet eens uit hun hoofd hebben geleerd, maar weten hoe ze zijn afgeleid, dat wil zeggen, waar ze vandaan komen, en bijgevolg hun wiskundige aard. De vorige stelling blijft in principe geldig in alle moderne wiskunde, van het eerste leerjaar tot de hogere vakken van de departementen Mechanica en Wiskunde. Het verschil van kwadraten, het kwadraat van het verschil en de som, de som en het verschil van kubussen - al deze formules worden veel gebruikt in zowel elementaire als hogere wiskunde, in gevallen waarin het nodig is om de uitdrukking te vereenvoudigen om de problemen op te lossen . Voorbeelden van dergelijke transformaties zijn gemakkelijk te vinden in elk schoolboek over algebra, of, nog eenvoudiger, op de uitgestrektheid van het wereldwijde web.

Graadwortels

Elementaire wiskunde, als je het als geheel bekijkt, is gewapend met niet zo veel manieren waarop je de uitdrukking kunt vereenvoudigen. Graden en acties met hen zijn in de regel relatief eenvoudig voor de meeste studenten. Pas nu hebben veel moderne schoolkinderen en studenten aanzienlijke problemen wanneer het nodig is om de uitdrukking met wortels te vereenvoudigen. En het is totaal ongegrond. Omdat de wiskundige aard van de wortels niet verschilt van de aard van dezelfde graden, waarmee in de regel veel minder moeilijkheden zijn. Het is bekend dat de vierkantswortel van een getal, variabele of uitdrukking niets anders is dan hetzelfde getal, variabele of uitdrukking tot de macht "één seconde", de derdemachtswortel is hetzelfde tot de macht "één derde", en dus per correspondentie.

Uitdrukkingen vereenvoudigen met breuken

Overweeg ook een veelvoorkomend voorbeeld van het vereenvoudigen van een uitdrukking met breuken. In gevallen waarin de uitdrukkingen zijn natuurlijke breuken, moet u een gemeenschappelijke factor selecteren uit de noemer en teller en vervolgens de breuk ermee verkleinen. Wanneer de monomials dezelfde vermenigvuldigers tot machten hebben, is het noodzakelijk om de gelijkheid van de bevoegdheden te controleren bij het optellen ervan.

Vereenvoudiging van de eenvoudigste trigonometrische uitdrukkingen

Wat apart is het gesprek over het vereenvoudigen van de trigonometrische uitdrukking. Het breedste deel van trigonometrie is misschien wel de eerste fase waarin wiskundestudenten enigszins abstracte concepten, problemen en methoden om ze op te lossen zullen tegenkomen. Hier zijn er overeenkomstige formules, waarvan de eerste de trigonometrische basisidentiteit is. Met een voldoende wiskundige denkwijze kan men de systematische afleiding van deze identiteit van alle hoofdzaken traceren trigonometrische identiteiten en formules, waaronder formules voor het verschil en de som van argumenten, dubbele, drievoudige argumenten, reductieformules en vele andere. Natuurlijk mogen hier de allereerste methoden, zoals het weghalen van een gemeenschappelijke factor, niet worden vergeten, die volledig worden gebruikt samen met nieuwe methoden en formules.

Om samen te vatten, volgen hier enkele algemene tips voor de lezer:

• Veeltermen moeten worden ontbonden, dat wil zeggen, ze moeten worden weergegeven in de vorm van een product van een bepaald aantal factoren - monomials en polynomen. Als een dergelijke mogelijkheid bestaat, moet de gemeenschappelijke factor tussen haakjes worden verwijderd.
• Het is beter om alle verkorte vermenigvuldigingsformules zonder uitzondering te onthouden. Er zijn er niet zo veel, maar ze vormen de basis voor het vereenvoudigen van wiskundige uitdrukkingen. Je moet ook de methode van het markeren van perfecte vierkanten in trinomialen niet vergeten, wat de inverse actie is van een van de verkorte vermenigvuldigingsformules.
• Alle bestaande breuken in de uitdrukking moeten zo vaak mogelijk worden verkleind. Vergeet daarbij niet dat alleen vermenigvuldigers worden verlaagd. Wanneer de noemer en teller algebraïsche breuken vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat verschilt van nul, veranderen de waarden van de breuken niet.
• Over het algemeen kunnen alle uitdrukkingen worden getransformeerd door acties of door een ketting. De eerste methode heeft meer de voorkeur, omdat. de resultaten van tussentijdse acties zijn gemakkelijker te verifiëren.
• Heel vaak moet je in wiskundige uitdrukkingen de wortels eruit halen. Onthoud dat de wortels van even graden alleen kunnen worden geëxtraheerd uit een niet-negatief getal of uitdrukking, en de wortels van oneven graden kunnen volledig worden geëxtraheerd uit alle uitdrukkingen of getallen.

We hopen dat ons artikel u in de toekomst zal helpen wiskundige formules te begrijpen en u te leren hoe u ze in de praktijk kunt toepassen.