ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸ್ಥಳ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆ

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು)))\]

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಅಳತೆಯು ಅದು ಪ್ರತಿಬಂಧಿಸುವ ಚಾಪದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ.

ಪುರಾವೆ

ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಿಂದು \(B\) ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನ \(ABC\) ಶೃಂಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು \(BC\) ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿ:

ತ್ರಿಕೋನ \(AOB\) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, \(AO = OB\) , \(\ಆಂಗಲ್ AOC\) ಹೊರಗಿದೆ, ನಂತರ \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), ಎಲ್ಲಿ \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

ಈಗ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ABC\) . ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು \(BD\) ಎಳೆಯಿರಿ. ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

1) ವ್ಯಾಸವು ಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಿ \(\ಆಂಗಲ್ ABD, \angle CBD\) (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಂತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎರಡು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಒಲವು ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಒಲವು ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಕ್‌ನ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ). ಅಕ್ಕಿ. ಒಂದು.

2) ವ್ಯಾಸವು ಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಹೊಸ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \(\ಆಂಗಲ್ ABD, \angle CBD\) , ಅದರ ಬದಿಯು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯವು ಅವರಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಮೂಲ ಕೋನಕ್ಕೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಇದು ಈ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುವ ಚಾಪಗಳ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅರ್ಧ ಚಾಪಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ವಿಶ್ರಾಂತಿ). ಅಕ್ಕಿ. 2.

ಪರಿಣಾಮಗಳು

1. ಅದೇ ಚಾಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

3. ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಅದೇ ಚಾಪವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ)))\]

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮೂರು ವಿಧದ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿವೆ:

1) \(a\) ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಯವರೆಗಿನ ಅಂತರವು \(d\) ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ \(R\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

2) \(b\) ಸಾಲು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು \(B\) ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ \(d=R\) (ಚಿತ್ರ 4).

ಪ್ರಮೇಯ

1. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಂತ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ ಮತ್ತು ಈ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(K\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ \(KA\) ಮತ್ತು \(KB\) ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ:

ಆದ್ದರಿಂದ \(OA\perp KA, OB\perp KB\) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಾಗಿ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು \(\ತ್ರಿಕೋನ KAO\) ಮತ್ತು \(\ತ್ರಿಕೋನ KBO\) ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ \(KA=KB\) .

ಪರಿಣಾಮ

\(O\) ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು \(AKB\) ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ \(K\) .

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು)))\]

ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯ

ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಬಿಂದು \(M\) ಆಗಿರಲಿ:

ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರ ಮೂಲೆಯಾಗಿದೆ \(MAD\) , ನಂತರ \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), ಎಲ್ಲಿ \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), ಆದರೆ ಕೋನಗಳು \(\ಆಂಗಲ್ DAB\) ಮತ್ತು \(\ಆಂಗಲ್ MDA\) ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಬೇಕಿತ್ತು.

ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯ

ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವರು ಕತ್ತರಿಸಿದ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

ಪುರಾವೆ

\(\angle BMA = \angle CMD\) ಲಂಬವಾಗಿ.

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ಆದರೆ \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), ಎಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ಸ್ಮೈಲ್\ಓವರ್(ಸಿಡಿ)).\]

ಸ್ವರಮೇಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮೇಯ

ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸ್ವರಮೇಳದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾದ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(a\) ರೇಖೆಯು \(A\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ, \(AB\) ಈ ವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿರಲಿ, \(O\) ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರಲಿ. \(OB\) ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯು \(a\) ಅನ್ನು \(M\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\ಆಂಗಲ್ OAB = \alpha\) . \(OA\) ಮತ್ತು \(OB\) ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ \(OA = OB\) ಮತ್ತು \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). ಹೀಗಾಗಿ, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, \(OA\perp a\) , ಅಂದರೆ \(\angle OAM = 90^\circ\) , ಆದ್ದರಿಂದ, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಂದ ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ

ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಸಮಾನ ಆರ್ಕ್‌ಗಳು, ಸಣ್ಣ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ: ಸಮಾನ ಚಾಪಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಂದ ಸಂಕುಚಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

1) ಅವಕಾಶ \(AB=CD\) . ಆರ್ಕ್ನ ಸಣ್ಣ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ \(\angle AOB=\angle COD\) . ಆದರೆ ಅಂದಿನಿಂದ \(\angle AOB, \angle COD\) - ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಗಳು \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)ಕ್ರಮವಾಗಿ, ನಂತರ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) ವೇಳೆ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), ನಂತರ \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB=\ತ್ರಿಕೋನ COD\)ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ \(AO=BO=CO=DO\) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ \(\angle AOB=\angle COD\) . ಆದ್ದರಿಂದ, \(AB=CD\) .

ಪ್ರಮೇಯ

ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಅದನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

1) ಅವಕಾಶ \(AN=NB\) . \(OQ\perp AB\) ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪರಿಗಣಿಸಿ \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB\) : ಇದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, ಏಕೆಂದರೆ \(OA=OB\) – ವೃತ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯ. ಏಕೆಂದರೆ \(ON\) ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸರಾಸರಿ, ನಂತರ ಅದು ಎತ್ತರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ \(ON\perp AB\) .

2) ಅವಕಾಶ \(OQ\perp AB\) . \(AN=NB\) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಹಾಗೆಯೇ, \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB\) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, \(ON\) ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ \(ON\) ಮಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \(AN=NB\) .

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು)))\]

ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ವಿಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮೇಯ

ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(AB\) ಮತ್ತು \(CD\) ಸ್ವರಮೇಳಗಳು \(E\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ADE\) ಮತ್ತು \(CBE\) . ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, \(1\) ಮತ್ತು \(2\) ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆರ್ಕ್ \(BD\) , ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು \(3\) ಮತ್ತು \(4\) ಲಂಬವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು \(ADE\) ಮತ್ತು \(CBE\) ಹೋಲುತ್ತವೆ (ಮೊದಲ ತ್ರಿಕೋನ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ).

ನಂತರ \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), ಎಲ್ಲಿಂದ \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ವಿಭಾಗದ ವರ್ಗವು ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಸ್ಪರ್ಶಕವು \(M\) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ ಮತ್ತು \(A\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. ಸೆಕೆಂಟ್ \(M\) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ ಮತ್ತು \(B\) ಮತ್ತು \(C\) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) : \(\ಆಂಗಲ್ M\) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, \(\ಆಂಗಲ್ BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), ಇದು \(MB\cdot MC = MA^2\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

\(O\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರ ಭಾಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು \(O\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಲೇಖನವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಗ್ರಾಫಿಕ್ ಸಂಕೇತದೊಂದಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ. ಸ್ಪರ್ಶ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, 2 ನೇ ಕ್ರಮದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

y \u003d k x + b ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕೋನ α ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು x- ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ y \u003d k x + b ಗೆ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಎತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹಸಿರು ಬಾಣ ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕೆಂಪು ಚಾಪದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀಲಿ ರೇಖೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2

y \u003d k x + b ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕ k ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇಳಿಜಾರು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ k = t g α .

• ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು o x ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ ಮಾತ್ರ 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೂನ್ಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕವು 0 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವು y = b ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
• ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು y = k x + b ಆಗಿದ್ದರೆ, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , ಮತ್ತು ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವಿದೆ.
• α \u003d π 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಳವು x ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯನ್ನು x = c ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು c ಮೌಲ್ಯವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
• y = k x + b ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು π 2 ಷರತ್ತುಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

ಸೆಕೆಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಎಫ್ (x) ಕಾರ್ಯದ 2 ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರವು A B ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್, ಮತ್ತು f (x) ಕಪ್ಪು ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ, α ಎಂಬುದು ಕೆಂಪು ಆರ್ಕ್ ಆಗಿದೆ, ಇದು ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದಾಗ, ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ A B C ಯಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಕಾಲುಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4

ಫಾರ್ಮ್ನ ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , ಇಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ಗಳು x A , x B , ಮತ್ತು f (x A) , f (x ಬಿ) ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿವೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸಮಾನತೆ k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A ಅಥವಾ k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ B, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ಅಥವಾ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

ಸೆಕೆಂಟ್ ದೃಷ್ಟಿಗೋಚರವಾಗಿ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು 3 ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ: ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ಎಡಕ್ಕೆ, A ನಿಂದ B ಗೆ, B ಯ ಬಲಕ್ಕೆ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವು ಮೂರು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವುಗಳು ಇದೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಹೊಂದಿಸಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಸೆಕೆಂಟ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಹಲವು ಬಾರಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗೆ y \u003d 0 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವಿದ್ದರೆ, ಸೈನುಸಾಯ್ಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5

x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ; f (x 0) ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು x 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; f (x 0), x 0 ಗೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅನೇಕ x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗದ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡೋಣ. ನಂತರ y = x + 1 ಕ್ರಿಯೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1 ; 2) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ y = 2 x ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, (1; 2) ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಗ್ರಾಫ್ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. y = 2 x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ, ನೀಲಿ ರೇಖೆಯು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, y \u003d 2 x y \u003d x + 1 ಸಾಲಿನೊಂದಿಗೆ ವಿಲೀನಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, A B ಬಿಂದುವು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸಿದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕ A B ಯ ವರ್ತನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ನೀಲಿ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ A B, ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ α ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು ಸ್ಪರ್ಶಕ α x ನ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 6

A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು A ಗೆ ಒಲವು ತೋರುವ B ನಲ್ಲಿ ಸೆಕೆಂಟ್ A B ಯ ಸೀಮಿತ ಸ್ಥಾನವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ B → A.

ಈಗ ನಾವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ತಿರುಗುತ್ತೇವೆ.

x 0, f (x 0) ಮತ್ತು x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ಮತ್ತು ∆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ A ಮತ್ತು B ಗಳು f (x) ಗಾಗಿ ಸೆಕೆಂಟ್ A B ಯ ಪರಿಗಣನೆಗೆ ಹೋಗೋಣ. x ಅನ್ನು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ಕಾರ್ಯವು ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಚಿತ್ರವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ A B C ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ∆ y ∆ x = t g α ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಲಿಮ್ ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x ಎಂದು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ f (x) ಅನ್ನು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ∆ x → 0, ನಂತರ f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ಇಲ್ಲಿ k x ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶದ ಇಳಿಜಾರು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂದರೆ, f ' (x) x 0 ಬಿಂದುದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಬಹುದು ಮತ್ತು x 0 , f 0 (x 0) ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದಂತೆ, ಮೌಲ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರು x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ನಾವು k x = f "(x 0) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಅದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು, ಅದು ಹಾದುಹೋಗುವ ಬಿಂದುವಿನೊಂದಿಗೆ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದರ ಪದನಾಮವನ್ನು ಛೇದಕದಲ್ಲಿ x 0 ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

x 0, f 0 (x 0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವು y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0)

ಇದರರ್ಥ f "(x 0) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದ ಅಂತಿಮ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಲಂಬವಾಗಿ lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ಮತ್ತು lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ಅಥವಾ ಗೈರುಹಾಜರಿಯು ಲಿಮ್ x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಸ್ಥಳವು ಅದರ ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ k x \u003d f "(x 0). x ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದಾಗ, ನಾವು k k \u003d 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಸುಮಾರು y - k x \u003d ∞, ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪ x \u003d x 0 k x > 0 ನೊಂದಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, k x ನಂತೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ< 0 .

ಉದಾಹರಣೆ 2

y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ (1; 3) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿ ಒಲವು.

ನಿರ್ಧಾರ

ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಷರತ್ತು (1 ; 3) ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದುವು ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - 1 . ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

ಸಂಪರ್ಕದ ಹಂತದಲ್ಲಿ f ’ (x) ಮೌಲ್ಯವು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ನ ಇಳಿಜಾರು, ಇದು ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

ಇದು α x = a r c t g 3 3 = π 6 ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾವು ಗ್ರಾಫಿಕ್ ವಿವರಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಮೂಲ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಕಪ್ಪು ಬಣ್ಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನೀಲಿ ಬಣ್ಣವು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರವು ವಿಸ್ತೃತ ನೋಟವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
y = 3 x - 1 5 + 1 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ (1 ; 1) . ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ನಿರ್ಧಾರ

ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್ ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 , ಆಗ f ' (x) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲಿಮ್ x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 5 1 + 0 = + ∞ ಮತ್ತು ಲಿಮ್ x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ಅಂದರೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಲಂಬ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪಾಯಿಂಟ್ (1; 1) .

ಉತ್ತರ:ಸಮೀಕರಣವು x \u003d 1 ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರಿನ ಕೋನವು π 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಅದನ್ನು ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡೋಣ.

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, ಅಲ್ಲಿ

1. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ;
2. ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
3. ಸ್ಪರ್ಶಕವು y = 8 5 x + 4 ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಗೆ ಗಮನ ಕೊಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಿ x ∈ - ∞ ; 2 ಮತ್ತು [- 2 ; +∞) . ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಅದು ಇದೆ

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; +∞)

ಯಾವಾಗ x = - 2, ಆಗ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

ನಾವು x \u003d - 2 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, ಅಂದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪಾಯಿಂಟ್ (- 2; - 2) ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
2. ಇಳಿಜಾರು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). ಅಂದರೆ, ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದಾಗ ಅಂತಹ x ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಅಂದರೆ, ಮೌಲ್ಯಗಳು f '(x) ನ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ x ∈ - ∞ ; - 2 , ನಂತರ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , ಮತ್ತು x ∈ (- 2 ; + ∞) ಗಾಗಿ ನಾವು 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

ಆದ್ದರಿಂದ - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರದ ಚಿತ್ರಾತ್ಮಕ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದೆ, ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

1. ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವಾಗ, ಇಳಿಜಾರು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಇಳಿಜಾರು ಮೌಲ್ಯ 8 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು y "(x) = 8 5 ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಂತರ, x ∈ - ∞; - 2 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, ಮತ್ತು x ∈ (- 2 ; + ∞) ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು ಯಾವುದೇ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ ತಾರತಮ್ಯವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

ಇನ್ನೊಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ನೈಜ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಹೋಗೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಳು - 1; 4 15, 5; 8 3 ಎಂಬುದು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು y = 8 5 x + 4 ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:ಕಪ್ಪು ರೇಖೆ - ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್, ಕೆಂಪು ರೇಖೆ - ಗ್ರಾಫ್ y \u003d 8 5 x + 4, ನೀಲಿ ರೇಖೆ - ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು - 1; 4 15, 5; 8 3

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ಕಾರ್ಯದ ಲಭ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಇದು y = - 2 x + 1 2 ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಿನ ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ರೀತಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ: ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ - 1, ಅಂದರೆ, ಇದನ್ನು k x · k ⊥ = - 1 ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತಿನಿಂದ ನಾವು ಇಳಿಜಾರು ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು k ⊥ = - 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

ಈಗ ನಾವು ಟಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನೀವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಅದರ ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಅದರ ಮೌಲ್ಯ. ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದಿಂದ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
x 0 ನಾವು k x \u003d y "(x 0) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 ಪಾಪ 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ x 0 - 2 4 = - 1 9

ಟಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳ ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಈ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

3 2 x 0 - π 4 = a r c ಪಾಪ - 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c ಪಾಪ - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c ಪಾಪ 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ಅಥವಾ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z ಎಂಬುದು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ.

ಸಂಪರ್ಕದ x ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಈಗ ನೀವು y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಹುಡುಕಾಟಕ್ಕೆ ಹೋಗಬೇಕಾಗಿದೆ:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ಅಥವಾ y 0 = - 4 5 + 1 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + ಎ ಆರ್ ಸಿ ಸಿನ್ 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಉತ್ತರ:ಅಗತ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c ಪಾಪ 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

ದೃಶ್ಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅಂಕಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ [ - 10 ; 10 ] , ಕಪ್ಪು ರೇಖೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀಲಿ ರೇಖೆಗಳು y = - 2 x + 1 2 ರೂಪದ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ. ಕೆಂಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಏಕ-ಮೌಲ್ಯದ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲ. ಅವರಿಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಯೋಜನೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

x c e n t e r ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲು; y c e n t e r ಮತ್ತು R ತ್ರಿಜ್ಯ, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವು ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು x 0 ನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು; y 0 , ಇದು ಮೇಲಿನ ಅಥವಾ ಕೆಳಗಿನ ಅರ್ಧವೃತ್ತದಲ್ಲಿದೆ, ನೀವು y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ಅಥವಾ y \u003d - R 2 - e x - ರೂಪದ ಫಂಕ್ಷನ್ ಗ್ರಾಫ್ನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಹಂತದಲ್ಲಿ y c e n t e r.

ಯಾವಾಗ x c e n t e r ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ; y c e n t e r + R ಮತ್ತು x c e n t e r; y c e n t e r - R ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಬಹುದು y = y c e n t e r + R ಮತ್ತು y = y c e n t e r - R , ಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x c e n t e r + R ; ವೈ ಸಿ ಇ ಎನ್ ಟಿ ಇ ಆರ್ ಮತ್ತು
x c e n t e r - R; y c e n t e r y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನಾವು x = x c e n t e r + R ಮತ್ತು x = x c e n t e r - R ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ದೀರ್ಘವೃತ್ತವು x c e n t e r ನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾದಾಗ; y c e n t e r with semiaxes a ಮತ್ತು b , ನಂತರ ಅದನ್ನು x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀಡಬಹುದು.

ದೀರ್ಘವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರೆ-ದೀರ್ಘವೃತ್ತ. ನಂತರ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಅವು x ಅಥವಾ ಸುಮಾರು y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6

x = 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ x ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ

x = 2 ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಟಚ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

ನಂತರ 2; 5 3 2 + 5 ಮತ್ತು 2 ; - 5 3 2 + 5 ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಅರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಡೆಗೆ ಹೋಗೋಣ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

ಮೇಲಿನ ಅರೆ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಒಂದು y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 ರೂಪದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ; 5 3 2 + 5 ಹಾಗೆ ಕಾಣಿಸುತ್ತದೆ

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ ವೈ = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

ಬಿಂದುವಿನ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
2; - 5 3 2 + 5 ಆಗುತ್ತದೆ

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹೈಪರ್ಬೋಲ್ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವು x c e n t e r ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ; y c e n t e r ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು x c e n t e r + α ; y c e n t e r ಮತ್ತು x c e n t e r - α ; y c e n t e r , ಅಸಮಾನತೆ x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ಅನ್ನು ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದರೆ x c e n t e r ; y c e n t e r + b ಮತ್ತು x c e n t e r; y c e n t e r - b ಅನ್ನು ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆ x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 ನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ರೂಪದ ಎರಡು ಸಂಯೋಜಿತ ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

y = b a ) 2 + a 2 + y c e n t e r

ಮೊದಲನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಅವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಹೈಪರ್ಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಮಾಡುವುದು ಮತ್ತು ಗುರುತುಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಪಾಯಿಂಟ್ 7 ರಲ್ಲಿ ಹೈಪರ್ಬೋಲಾ x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ; - 3 3 - 3 .

ನಿರ್ಧಾರ

2 ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪರ್ಬೋಲಾವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪರಿಹಾರದ ದಾಖಲೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ಅಥವಾ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ 7 ರೊಂದಿಗಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವು ಯಾವ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ; - 3 3 - 3 .

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಿಮಗೆ y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ಅಗತ್ಯವಿದೆ, ನಂತರ ಪಾಯಿಂಟ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿ ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ, ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಿದ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀವು ಇಳಿಜಾರಿನ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

x 0, y (x 0) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ y \u003d a x 2 + b x + c ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ನೀವು ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು, ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು y \u003d y ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವು x ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾ x = a y 2 + b y + c ಅನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಒಕ್ಕೂಟ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು y ಗಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ಅದನ್ನು ಹೀಗೆ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡೋಣ:

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 , y (x 0) ಒಂದು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿಧಾನವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿ. ಅಂತಹ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ y ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8

ನಾವು 150 ° ನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಗ್ರಾಫ್ x - 2 y 2 - 5 y + 3 ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಬೋಲಾವನ್ನು ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ಇಳಿಜಾರಿನ ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬಿಂದು x 0 ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ x ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ನಿಜವಾದ ಬೇರುಗಳಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನಾವು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ 150 ° ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡನೇ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ನಾವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

ಉತ್ತರ:ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಗ್ರಾಫ್ ಮಾಡೋಣ:

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕದ ಆಸ್ತಿ)

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀಡಿದ

ಎ - ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದು

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: ಪಿ ಓ

ಪುರಾವೆ.

"ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ" ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

p OA ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಂತರ OA p ಸಾಲಿಗೆ ಓರೆಯಾಗಿದೆ.

O ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಾವು ಲಂಬವಾಗಿರುವ OH ಅನ್ನು p ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆದರೆ, ಅದರ ಉದ್ದವು ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ: OH< ОА=r

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ p (OH) ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ತ್ರಿಜ್ಯ (r) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ p ರೇಖೆಯು ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಇದು ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ), ಇದು ಪ್ರಮೇಯದ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ (p-ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್).

ಆದ್ದರಿಂದ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ p ರೇಖೆಯು OA ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ (ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗಗಳ ಆಸ್ತಿ)

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ನೀಡಿದ: ಅಂದಾಜು (ಓ; ಆರ್)

AB ಮತ್ತು AC ಗಳು env ಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಾಗಿವೆ. (ಓ; ಆರ್)

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: AB=AC

ಪುರಾವೆ

1) OB AB, OS AC, ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆದ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಂತೆ (ಸ್ಪರ್ಶ ಆಸ್ತಿ)

2) TR ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. AOV, ಇತ್ಯಾದಿ. AOS - p / y

AO - ಒಟ್ಟು

OB=OC (ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿ)

ಆದ್ದರಿಂದ, ABO \u003d AOC (ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಲೆಗ್ ಉದ್ದಕ್ಕೂ). ಆದ್ದರಿಂದ,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

ಪ್ರಮೇಯ (ಸ್ಪರ್ಶಕ ಚಿಹ್ನೆ)

ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಂತ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ ಮತ್ತು ಈ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

ನೀಡಿದ: ОА - ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ

ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ: p- ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ಪುರಾವೆ

OA - ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ) (OA \u003d r)

OA - O ನಿಂದ p ಸಾಲಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ (OA \u003d d)

ಆದ್ದರಿಂದ, r=OA=d, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲು p ಮತ್ತು ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, p ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಚ್.ಟಿ.ಡಿ.

3. ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ಆಸ್ತಿ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಸುತ್ತಳತೆಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಲೊಕಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವರಮೇಳ(ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದು ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ). ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಸವಲಯಗಳು.

1. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಅನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಸ್ಪರ್ಶದ ಉದ್ದದ ಚೌಕವು ಅದರ ಹೊರ ಭಾಗದಿಂದ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹೆಚ್ಚಾಗಿ, ಇದು ಅರ್ಜಿದಾರರು, ಪದವೀಧರರು ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸುವವರಿಗೆ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ನೀವು 2010 ರಲ್ಲಿ USE ಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಸುಮಾರು 12% ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಕಾರ್ಯ C4 ಅನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ 0.2% ಭಾಗವಹಿಸುವವರು ಪೂರ್ಣ ಸ್ಕೋರ್ ಪಡೆದರು, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವು ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಿದ ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅವರು ಪರಿಹರಿಸುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಸುಂದರವಾದ ಅಥವಾ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ಬೇಗ ನೀಡುತ್ತೇವೆಯೋ ಅಷ್ಟು ಅವರು ಆಸಕ್ತಿ ಮತ್ತು ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಮತ್ತು ದೀರ್ಘಕಾಲದವರೆಗೆ ಅವರನ್ನು ಆಕರ್ಷಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ. ಆದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನವು ಪ್ರಾರಂಭವಾದಾಗ 7 ನೇ ತರಗತಿಯ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಷ್ಟು ಕಷ್ಟ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು, ಪಕ್ಕದ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತಿಳಿದಿರುವ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗೆ ಏನು ನೀಡಬಹುದು? ಆದಾಗ್ಯೂ, ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಂತೆ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ; ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಿ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಎರಡು ವಲಯಗಳ ಸ್ಥಳ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ನಾಲ್ಕಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಬಹುದು. ಕೆಳಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಏಳನೇ ತರಗತಿಯವರಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ಪ್ರಮುಖ ಅಥವಾ ಸರಳವಾಗಿ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಮತ್ತು ಮನರಂಜನೆಯ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ ಅವುಗಳನ್ನು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪದವೀಧರರೊಂದಿಗೆ ಚರ್ಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂಗತಿಗಳು ಕಳೆದ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವರ್ಷದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತವಾಗಿವೆ. ಅನೇಕ ರೋಗನಿರ್ಣಯ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು USE ಯ ಕೆಲಸವು ಸ್ವತಃ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

T 1 ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್‌ಗಳ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ
ಒಂದು ಬಿಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1)

ಪ್ರಮೇಯದೊಂದಿಗೆ ಅಷ್ಟೆ, ನೀವು ಮೊದಲು ಏಳನೇ ತರಗತಿಯವರನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಬಹುದು.
ಪುರಾವೆ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೀರ್ಮಾನಿಸಿದೆ BCA.
ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕವು ಅದರ ಬದಿಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನದ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶದ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಯಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಸತ್ಯಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತಿಯನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ ಸಹ ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು.

1. ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಆದರೆ, ATಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಕಿರಣಗಳು ಎಬಿಮತ್ತು ಡಿಸಿಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಇ, ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳು
ಸೂರ್ಯಮತ್ತು ಕ್ರಿ.ಶಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಫ್. ಪೀನವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ AECFವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 2).ಇರಲಿ ಬಿಡಿ ಓಈ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಓಚತುರ್ಭುಜದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ, ಅಂದರೆ
ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 1 ಸಮಾನತೆಗಳು ಸರಿಯಾಗಿವೆ: AR = ಎಕೆ, ER = EP, FT = FK. ನಾವು ಪದದ ಮೂಲಕ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(AR + ER) + FT = (ಎಕೆ +FK) + EP; AE + (ಎಫ್ಸಿ + CT) = AF + (ಇಯು + ಪಿಸಿ) ಅಂತೆ ST = ಆರ್ಎಸ್, ನಂತರ AE + ಎಫ್ಸಿ = AF + ಇಯು, ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಬೇಕಿತ್ತು.

ಅಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರೀಕರಣದೊಂದಿಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ, ಅದರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು 1 .

2. ಇದೆ ಎನ್-ಗೊನ್ ಅದರ ಬದಿಗಳು ಸತತವಾಗಿ 1, 2, 3, ..., ಎನ್ಯಾವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು?

ನಿರ್ಧಾರ. ಹಾಗೆ ಹೇಳೋಣ ಎನ್-ಗಾನ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ. ಆದರೆ 1 ಆದರೆ 2 =1, …, ಆದರೆ n-1 ಆದರೆ n= ಎನ್– 1,ಆದರೆಎನ್ ಆದರೆ 1 = ಎನ್. ಬಿ 1 , …, ಬಿ n ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 1 ಮೂಲಕ ಎ 1 ಬಿ 1 = ಎ 1 ಬಿಎನ್< 1, ಎನ್ – 1 < ಎಎನ್ ಬಿಎನ್< ಎನ್.ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗಗಳ ಆಸ್ತಿಯಿಂದ ಎಎನ್ ಬಿ n= ಎಎನ್ ಬಿ n-1 ಆದರೆ, ಎಎನ್ ಬಿ n-1< ಎ n-1 ಆದರೆ n= n- 1. ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇಲ್ಲ ಎನ್-ಗೊನ್ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

T 2ಸುತ್ತುವರಿದ ಚತುರ್ಭುಜದ ಎದುರು ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತಗಳು
ವಲಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 3)

ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು, ನಿಯಮದಂತೆ, ವಿವರಿಸಿದ ಚತುರ್ಭುಜದ ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತಾರೆ. ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ನಂತರ 1 , ಇದು ತರಬೇತಿ ವ್ಯಾಯಾಮ. ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು - ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮ-ಗಾನ್‌ನ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಒಂದರ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗಾಗಿ ABCDEFಬಲ: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 1). ಚತುರ್ಭುಜಗಳನ್ನು ABEF ಮತ್ತು ECDF ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆಯಾದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯ 2 Р ABEF = 2(AB + EF) ಮತ್ತು Р ECDF = 2(CD + EF), ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ

P ABEF - P ECDF = 2(AB + EF) - 2(CD + EF) = 2p. AB-CD=p. AB = a + p.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 5).ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ MB = MX ಮತ್ತು PC = RX.ಆದ್ದರಿಂದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿ ನೀನು ಹೇಳ್ದೆವಿಭಾಗಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿಮತ್ತು AS.ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಹೊರವಲಯಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನೀನು ಹೇಳ್ದೆ . MOP ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕೋನದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ WOS, ಇದು ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ X.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 6). ವಿಧಾನ ಒಂದು (ಬೀಜಗಣಿತ). ಇರಲಿ ಬಿಡಿ AK \u003d AN \u003d x,ನಂತರ BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x. AC = AN + NC,ನಂತರ ನಾವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು x: b \u003d x + (a - c + x).ಎಲ್ಲಿ .

ವಿಧಾನ ಎರಡು (ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ). ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ತಿರುಗೋಣ. ಸಮಾನ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ವಿಭಾಗಗಳು, ಒಂದು ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅರೆ-ಪರಿಧಿಯವರೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ
ತ್ರಿಕೋನ. ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ಹಸಿರು ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಎ.ನಂತರ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯ ವಿಭಾಗ x = p - a.ಸಹಜವಾಗಿ, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

. ಡಬ್ಲ್ಯೂ

4. ಕಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ a, bಮತ್ತು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಜೊತೆಗೆ. ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 8). ಟಿಹೇಗೆ OMCN-ಚದರ, ನಂತರ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ಪರ್ಶಕ CN ನ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. .

5. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಕೆತ್ತಲಾದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವ ವೃತ್ತಗಳ ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುಗಳು ಈ ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 9). AK ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರವಲಯದ ಸ್ಪರ್ಶದ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಎಬಿಸಿಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ (2) . VM- ಸಾಲಿನ ವಿಭಾಗ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತ ಎಬಿಸಿಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ (1) . AK = VM,ಮತ್ತು ಇದರರ್ಥ ಅಂಕಗಳು ಕೆ ಮತ್ತು ಎಂಬದಿಯ ಮಧ್ಯದಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಬಿ,ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

6. ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಾಹ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಂತರಿಕ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎರಡು ವೃತ್ತಗಳಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಳಗಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಬಾಹ್ಯವನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವಲಯಗಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಎ 1ಮತ್ತು 1 ರಲ್ಲಿ.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ AA 1 \u003d BB 1.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 10). ನಿಲ್ಲಿಸಿ ... ಆದರೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಏನು? ಇದು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸೂತ್ರೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಎಬಿಸಿಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು ಎಎ 1 ಮತ್ತು ಬಿಬಿ 1ವಿಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಕೆಮತ್ತು VMಕಾರ್ಯಗಳು 5. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಆಲ್-ರಷ್ಯನ್ ಒಲಿಂಪಿಯಾಡ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂತಹ ಸ್ಪಷ್ಟ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದು ಗಮನಾರ್ಹ.

7. ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳು 5, 6, 10, 7, 8 ಅನ್ನು ಸುತ್ತುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ.ಈ ಪಂಚಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 11). ಪೆಂಟಗನ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಎಬಿಸಿಡಿಇನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಪಕ್ಷಗಳು ಎಬಿ, ಕ್ರಿ.ಪೂ, ಸಿಡಿ, DEಮತ್ತು ಇಎಕ್ರಮವಾಗಿ 5, 6, 10, 7 ಮತ್ತು 8 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎಫ್, ಜಿ, ಎಚ್, ಎಂಮತ್ತು ಎನ್. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಬಿಡಿ AFಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ X.

ನಂತರ bf = FD – AF = 5 – X = ಬಿಜಿ. ಜಿಸಿ = ಕ್ರಿ.ಪೂ – ಬಿಜಿ = = 6 – (5 – X) = 1 + X = ಸಿಎಚ್. ಇತ್ಯಾದಿ: ಎಚ್.ಡಿ = DM = 9 – X; ME = EN = X – 2, ಎಎನ್ = 10 – X.

ಆದರೆ, AF = ಎಎನ್. ಅಂದರೆ 10 - X = X; X= 5. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸ್ಪರ್ಶದ ವಿಭಾಗ AFಸಮಾನ ಬದಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಬಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪೆಂಟಗನ್‌ನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

8. ವೃತ್ತವನ್ನು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ, ಬೈಪಾಸ್ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅದರ ಬದಿಗಳು 1, 2, 3, 4, 5. ಆರನೇ ಬದಿಯ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೀಗೆ ಸೂಚಿಸಬಹುದು X, ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಆದರೆ, ಪ್ರಮೇಯಕ್ಕೆ ಟಿಪ್ಪಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿದೆ 2 : ಒಂದರ ಮೂಲಕ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಂತರ 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, ಎಲ್ಲಿ X- ಅಜ್ಞಾತ ಆರನೇ ಭಾಗ, X = 3.

ಪರಿಹಾರ (Fig.12). ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿಟಿ, ಬಿಪಿ, DM, DN, ಎಕೆಮತ್ತು AT. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ AT + ಟಿ.ವಿ= 1, ಮತ್ತು ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದದ ಭಾಗಶಃ ಭಾಗಗಳು ATಮತ್ತು ಟಿ.ವಿಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವಾಗ ಮಾತ್ರ ಇದು ಸಾಧ್ಯ AT + ಟಿ.ವಿ= 0.5. ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ 1 WT + ವಿಆರ್.
ಅಂದರೆ, ವಿಆರ್= 0.5. ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಿಡಿ= 3 ಕ್ಲೈಮ್ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಸಮಸ್ಯೆಯ ಲೇಖಕರು ಬೇರೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಉತ್ತರ: 0.5.

10. ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ABCD AD=DC, AB=3, BC=5.ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳು ಎಬಿಡಿಮತ್ತು CBDವಿಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ ಬಿಡಿಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಮತ್ತು ಎನ್ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಎಂ.ಎನ್.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 13). MN = DN - DM.ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರ (1) ಪ್ರಕಾರ DBAಮತ್ತು DBCಕ್ರಮವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

11. ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು. ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳು ಎಬಿಡಿಮತ್ತು CBDತ್ರಿಜ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆರ್ಮತ್ತು ಆರ್ಕ್ರಮವಾಗಿ. ಈ ವಲಯಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 13). ಷರತ್ತಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಚತುರ್ಭುಜ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ 2 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: AB + DC = AD + BC.ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. . ಇದರರ್ಥ ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ವಲಯಗಳ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳು DMಹೊಂದಾಣಿಕೆ. ವೃತ್ತಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರ: ಆರ್ + ಆರ್.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ಥಿತಿಯು ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು, ಇದು ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ - ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿವೃತ್ತಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಬಿಸಿಮತ್ತು ಎಡಿಸಿಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜ.

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

12. ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ (ಅಕ್ಕಿ. ಹದಿನಾಲ್ಕು) ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳು ಎಬಿಸಿಮತ್ತು ಎಡಿಸಿಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ. ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ ಎಬಿಡಿಮತ್ತು ಬಿಡಿಸಿಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ.

13. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಬಿಸಿಪಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ a, bಮತ್ತು ಸಿಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದು ಡಿಆದ್ದರಿಂದ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಬಿಡಿಮತ್ತು ಎಸಿಡಿವಿಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ ಕ್ರಿ.ಶಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಬಿಡಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 15). ನಾವು ತ್ರಿಕೋನಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು (1) ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಡಿಸಿಮತ್ತು adb, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ DMಎರಡು

ತಿರುಗಿದರೆ, ಡಿ- ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದು ಸೂರ್ಯವೃತ್ತವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಬಿಸಿ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದದ್ದು ನಿಜ: ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗವು ಎದುರು ಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತವೆ.

14. ಕೇಂದ್ರಗಳು ಓ 1 , ಓ 2 ಮತ್ತು ಓ 3 ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೂರು ಛೇದಿಸದ ವಲಯಗಳು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಅಂಕಗಳಿಂದ ಓ 1 , ಓ 2 , ಓ 3, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಈ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು, ಛೇದಿಸಿ, ಪೀನ ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ರಚಿಸಿದವು ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳು ಒಂದರ ಮೂಲಕ ಕೆಂಪು ಮತ್ತು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಕೆಂಪು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ನೀಲಿ ಬಣ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ (ಚಿತ್ರ 16). ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವಲಯಗಳು ಒಂದೇ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ವಿಭಾಗಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಬಿಆರ್ಮತ್ತು DMಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಓ 1 ಬಿಆರ್ಮತ್ತು ಓ 2 ಬಿಎಂ. ಅಂತೆಯೇ DL = ಡಿ.ಪಿ., FN = FK. ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ಅದೇ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಆದರೆ, ಜೊತೆಗೆ, ಮತ್ತು ಇಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ ABCDEF: ARಮತ್ತು ಎಕೆ, CLಮತ್ತು ಸಿಎಂ, ENಮತ್ತು EP. ನಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಹೈಸ್ಕೂಲ್ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ "A. N. ಕೊಲ್ಮೊಗೊರೊವ್ ಮೆಮೊರಿ ಕಪ್" ಗಾಗಿ XII ಇಂಟರ್ನ್ಯಾಷನಲ್ ಮ್ಯಾಥಮೆಟಿಕಲ್ ಟೂರ್ನಮೆಂಟ್ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸಲಾದ ಸ್ಟೀರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ.

16. ಪೆಂಟಗೋನಲ್ ಪಿರಮಿಡ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5ವ್ಯಾಪ್ತಿ ಇದೆ w,ಇದು ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ w 1,ಅದು ಬೇಸ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಎ 1 ಎ 2 ಎ 3 ಎ 4 ಎ 5ಮತ್ತು ಪಾರ್ಶ್ವದ ಪಕ್ಕೆಲುಬುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು SA 1 , SA 2 , SA 3 , SA 4 , SA 5ಬೇಸ್ನ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳಿಗೆ. ಪಿರಮಿಡ್‌ನ ಶೃಂಗವು ಬೇಸ್‌ನ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. (ಬರ್ಲೋವ್ ಎಸ್. ಎಲ್., ಕಾರ್ಪೋವ್ ಡಿ. ವಿ.)

17. ಬಳಸಿ. ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಕೆಲಸ ಡಿಸೆಂಬರ್ 8, 2009, С–4.ಡಾನಾ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ ಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ, ಇದರ ಆಧಾರಗಳು BC= 44,ಕ್ರಿ.ಶ = 100, AB=CD= 35. ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ವೃತ್ತ ಕ್ರಿ.ಶಮತ್ತು ಎಸಿಬದಿಯನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಸಿಡಿಹಂತದಲ್ಲಿ ಕೆ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಸಿ.ಕೆ.VDC ಮತ್ತು ಬಿಡಿಎ, ಬದಿಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ ಬಿಡಿಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಇಮತ್ತು ಎಫ್. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ EF.

ನಿರ್ಧಾರ. ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ (ಚಿತ್ರ 20 ಮತ್ತು ಚಿತ್ರ 21). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (1), ನಾವು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ DEಮತ್ತು ಡಿ.ಎಫ್..

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿ.ಶ = 0,1ಎಸಿ, ಸಿಡಿ = 0,9ಎಸಿ. ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ - ಕ್ರಿ.ಶ = 0,125ಎಸಿ, ಸಿಡಿ = 1,125ಎಸಿ. ನಾವು ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 4.6 ಅಥವಾ 5.5.

ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳು /

1. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕೆತ್ತಲಾದ ಐಸೋಸೆಲ್ಸ್ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಪರಿಧಿಯು 2ಆರ್.ದೊಡ್ಡ ತಳದ ಮೇಲೆ ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್ನ ಕರ್ಣೀಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (1/2ಆರ್)

2. ಗಣಿತದಲ್ಲಿ USE ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಓಪನ್ ಬ್ಯಾಂಕ್. ಎಟಿ 4. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ABC (ಚಿತ್ರ 22),ಮೂರು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊಟಕುಗೊಳಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪರಿಧಿಗಳು 6, 8, 10. ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. (24)

3. ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಎಬಿಸಿಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತ. MN-ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ MО AC, NО BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15.ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ MNC. (12)

4. a ಸೈಡ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಅದರ ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕತ್ತರಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. (ಎ)

5. ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಪೆಂಟಗನ್ನಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎ, ಡಿ, ಸಿ, ಡಿಮತ್ತು ಇ. ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವು ಬದಿಯನ್ನು ಸಮಾನವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ.

6. 6, 10 ಮತ್ತು 12 ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದರಿಂದ ಅದು ಎರಡು ದೊಡ್ಡ ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಕತ್ತರಿಸಿದ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ. (ಹದಿನಾರು)

7. ಸಿಡಿತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಬಿಸಿ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳು ಎಸಿಡಿಮತ್ತು BCD, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿ ಸಿಡಿಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಎಂಮತ್ತು ಎನ್. ಹುಡುಕಿ ಎಂ.ಎನ್, ವೇಳೆ ಎಸಿ – ಸೂರ್ಯ = 2. (1)

8. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಬಿಸಿಪಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ a, bಮತ್ತು ಸಿಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸೂರ್ಯಗುರುತಿಸಲಾದ ಬಿಂದು ಡಿ. ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವಲಯಗಳಿಗೆ ಎಬಿಡಿಮತ್ತು ಎಸಿಡಿ, ಛೇದಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಪರ್ಶಕವನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕ್ರಿ.ಶಹಂತದಲ್ಲಿ ಎಂ. ಒಂದು ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ AM. (ಉದ್ದ AMಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿಲ್ಲ ಡಿಮತ್ತು
ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ½ ( ಸಿ + ಬಿ - ಎ))

9. ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎ. ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮತ್ತು ಕಾಲುಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ ಆರ್.ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ( ಆರ್-ಎ)

10. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಎಬಿಸಿಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಎಬಿ = ಜೊತೆಗೆ, ಎಸಿ = ಬಿ, ಸೂರ್ಯ = ಎ. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತವು ಒಂದು ಬದಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿಹಂತದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ. ಹೊರವಲಯವು ಬದಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಬಿಪ್ರತಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಆದರೆಹಂತದಲ್ಲಿ 2 ರಿಂದ. ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಎಸ್ 1 ಎಸ್ 2. (ಬಿ)

11. ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ತ್ರಿಜ್ಯದ 3 ಸೆಂ.ಮೀ.ನ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ 4 cm ಮತ್ತು 3 cm ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. (ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ 7, 24 ಮತ್ತು 25 cm)

12. ಸೊರೊಸ್ ಒಲಂಪಿಯಾಡ್ 1996, 2ನೇ ಸುತ್ತು, 11ನೇ ತರಗತಿ. ತ್ರಿಕೋನ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಬಿಸಿ, ಅದರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ A 1, B 1, C 1. ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1ಸಮಾನವಾಗಿ ಆರ್. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎ 1 ಬಿ 1 ಸಿ 1ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್. ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎಬಿಸಿ. (ಆರ್ +ಆರ್).

4-8 ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು R. K. ಗಾರ್ಡಿನ್ ಅವರ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಸ್ತಕ "ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ." ಮಾಸ್ಕೋ. ಪಬ್ಲಿಷಿಂಗ್ ಹೌಸ್ MTSNMO. 2004.

ನೇರ ( ಎಂ.ಎನ್) ಇದು ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ( ಎ), ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು.

ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸಾಧ್ಯತೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ, ಮತ್ತು, ಮೇಲಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಲಯಗಳು, ಸಂಪರ್ಕ ಬಿಂದುವಾಗಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳಿಂದ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಪ್ರಮೇಯ.

ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ ವಲಯಗಳುಕೇಂದ್ರೀಕೃತವಾಗಿದೆ ಓ ಸ್ಪರ್ಶಕಒಂದು ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಎ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎ,ಕೇಂದ್ರದಿಂದ, ವಿವರಿಸಿ ಚಾಪತ್ರಿಜ್ಯ AO, ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಓ, ಕೇಂದ್ರವಾಗಿ, ನಾವು ಈ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತೇವೆ ಬಿಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಪರಿಹಾರ.

ನಂತರ ಖರ್ಚು ಮಾಡಿದ ನಂತರ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು OBಮತ್ತು OS, ಡಾಟ್ ಅನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಎಚುಕ್ಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಡಿಮತ್ತು ಇಅಲ್ಲಿ ಈ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ನೇರ ಕ್ರಿ.ಶಮತ್ತು AE - ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಓ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇದು ನಿರ್ಮಾಣದಿಂದ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳು AOBಮತ್ತು AOC ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು(AO = AB = AC) ಆಧಾರಗಳೊಂದಿಗೆ OBಮತ್ತು OS, ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಓ.

ಅಂತೆ ODಮತ್ತು OEತ್ರಿಜ್ಯಗಳು, ನಂತರ ಡಿ - ಮಧ್ಯಮ OB, ಎ ಇ- ಮಧ್ಯಮ OS, ಅರ್ಥ ಕ್ರಿ.ಶಮತ್ತು AE - ಮಧ್ಯಸ್ಥರುಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ನೆಲೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ DAಮತ್ತು ಇಎತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ODಮತ್ತು OE, ನಂತರ ಅವರು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು.

ಪರಿಣಾಮ.

ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ..

ಆದ್ದರಿಂದ AD=AEಮತ್ತು ∠ OAD = ∠OAEಏಕೆಂದರೆ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು AODಮತ್ತು AOEಸಾಮಾನ್ಯ ಹೊಂದಿರುವ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ AOಮತ್ತು ಸಮಾನ ಕಾಲುಗಳು ODಮತ್ತು OE(ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಂತೆ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ "ಸ್ಪರ್ಶಕ" ಪದವು ನಿಜವಾದ " ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಭಾಗ” ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುವಿನವರೆಗೆ.