ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಓದಲು ಮರೆಯದಿರಿ!ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಆಲ್ಫಾ ಮತ್ತು ಒಮೆಗಾ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಕೆಲಸ ಇರುವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾನು ಸೊಗಸಾಗಿ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ.

ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಈ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

ನಾನು ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಿದ್ದೇನೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

ಆವಿಯಿಂದ ಬೇಯಿಸಿದ ಟರ್ನಿಪ್‌ಗಿಂತ ಎಲ್ಲವೂ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಸಾಲೆ ಮಾಡಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆ 7

ನಿರ್ಧಾರ: ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

a) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿ: . ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು (ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ), ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ. ಮೂಲಕ, ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು, ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ.

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸೋಣ:

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಅನುಕೂಲವೆಂದರೆ ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ ರೇಖೆಯ ಇತರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಹೀಗೆ:

ಬಿ) ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕಪಟವಾಗಿದೆ: (ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡದಂತೆ ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ!!!). ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಈ ಸಾಲು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು, ಅಥವಾ ನೀವು ಸರಳ ಔಪಚಾರಿಕ ಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: ಅನುಪಾತವು "Y" ಮತ್ತು "Z" ಆಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ದಿಕ್ಕು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ: .

ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಿ) ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, ಅಂದರೆ, "Z" ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಮತ್ತು ಯಾವುದಾದರೂ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವಕಾಶ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, . ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಔಪಚಾರಿಕ ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ: ಆರಂಭಿಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ "x" ಮತ್ತು "y" ಇವೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಸೊನ್ನೆಗಳು: . ಉಳಿದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಘಟಕ: . ಒಂದರ ಬದಲಿಗೆ, ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ತರಬೇತಿಗಾಗಿ:

ಉದಾಹರಣೆ 8

ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರಗಳು ಮತ್ತು ಉತ್ತರಗಳು. ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳು ನನ್ನ ಉತ್ತರಗಳಿಗಿಂತ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರಬಹುದು, ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಅದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು. ನಿಮ್ಮ ಮತ್ತು ನನ್ನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ, ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಪಾಯಿಂಟ್ ನನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ "ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ" (ಅಲ್ಲದೆ, ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ನಿಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನನ್ನ ಪಾಯಿಂಟ್).

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀವು ಬೇರೆ ಹೇಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು? ನಾನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಏನಾದರೂ ಬರಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ರೇಖೆಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು.

ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಈ ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ.

ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ ನೀಡಲಾದ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳನ್ನು α 1 ಮತ್ತು α 2 ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೋನಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಈ ವಿಮಾನಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು α 1 ಮತ್ತು α 2 ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸೂಚಿಸಲಾದ ಪಕ್ಕದ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ . ಆದ್ದರಿಂದ . ಏಕೆಂದರೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ

.

ಉದಾಹರಣೆ.ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ X+2ವೈ-3z+4=0 ಮತ್ತು 2 X+3ವೈ+z+8=0.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.

ಎರಡು ಸಮತಲಗಳು α 1 ಮತ್ತು α 2 ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ .

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ:

ಅಥವಾ

ವಿಮಾನಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಥವಾ .

ಹೀಗಾಗಿ, .

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮೀಕರಣ ನೇರ.

ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೇರ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ 1 ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ವೆಕ್ಟರ್.

ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶನಈ ಸಾಲಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ಬಿಡಿ ಎಲ್ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂ 1 (X 1 , ವೈ 1 , z 1) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವುದು.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ M(x,y,z)ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಎಂಬುದನ್ನು ಆಕೃತಿಯಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು .

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್, ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಟಿ, ಏನು , ಗುಣಕ ಎಲ್ಲಿದೆ ಟಿಬಿಂದುವಿನ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ. ಅಂಶ ಟಿಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಿಂದುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂ 1 ಮತ್ತು ಎಂಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂಲಕ ಮತ್ತು , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ . ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಇದು ಪ್ರತಿ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಟಿಕೆಲವು ಬಿಂದುವಿನ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎಂನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದೆ.

ನಾವು ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು , ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿಂದ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಟಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಬದಲಾವಣೆ X, ವೈಮತ್ತು zಮತ್ತು ಡಾಟ್ ಎಂನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನೇರ

ಇರಲಿ ಬಿಡಿ ಎಂ 1 (X 1 , ವೈ 1 , z 1) - ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಬಿಂದು ಎಲ್, ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ನೇರ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ M(x,y,z)ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ

– ಅಂಗೀಕೃತನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 1.ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಟಿ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಥವಾ .

ಉದಾಹರಣೆ.ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಒಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ.

ಸೂಚಿಸು , ಆದ್ದರಿಂದ X = 2 + 3ಟಿ, ವೈ = –1 + 2ಟಿ, z = 1 –ಟಿ.

ಟಿಪ್ಪಣಿ 2.ರೇಖೆಯು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರಲಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಕ್ಷ ಎತ್ತು. ನಂತರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೀ=0. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತವೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು ಟಿ, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲು ನಾವು ಒಪ್ಪುತ್ತೇವೆ . ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇದರರ್ಥ ರೇಖೆಯು ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂತೆಯೇ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಕ್ಷಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಎತ್ತುಮತ್ತು ಓಹ್ಅಥವಾ ಸಮಾನಾಂತರ ಅಕ್ಷ ಓಝ್.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯಂತೆ ನೇರ ರೇಖೆ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಮಾನಗಳು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು, ಛೇದಿಸಿ, ಅದನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವಿಮಾನಗಳು

ಅವುಗಳ ಛೇದನದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳುನೇರ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ

ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಕು. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವಿಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಿಮಾನದೊಂದಿಗೆ ಛೇದನದ ಬಿಂದು xOyನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಊಹಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ z= 0:

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಂ 1 (1;2;0).

ಅಂತೆಯೇ, ಊಹಿಸುವುದು ವೈ= 0, ನಾವು ಸಮತಲದೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ xOz:

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಅದರ ಅಂಗೀಕೃತ ಅಥವಾ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂ 1 ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್.

ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂ 1 ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಎರಡೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು . ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಾಗಿ ಎಲ್ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

.

ಉದಾಹರಣೆ.ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿ ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವೈ= 0 ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಮಾನಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಆದ್ದರಿಂದ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ

. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್: .

ಹಕ್ಕುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ನಾವು ಡೇಟಾಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಯಾವುದೇ ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ φ ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಮತ್ತು . ರಿಂದ , ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುವ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವ ವಿಷಯವೆಂದರೆ “ಸಮಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ” ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಉಪ-ಐಟಂಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಲೇಖನವು ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡುವ ತತ್ವವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಬೇರೆ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹಾದುಹೋಗಬೇಕೆಂದು ನಾವು ತೋರಿಸೋಣ; ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ.

ಆ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.

ನಮಗೆ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ O x y ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆ a ಅನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದು M 1 (x 1, y 1) ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಸೂಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → = (a x , a y) . ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿನ ವಿವರಣೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ M (x, y) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ M 1 M →; ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ: ರೇಖೆಯನ್ನು M (x, y) ಬಿಂದುಗಳ ಗುಂಪಿನಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, M 1 (x 1, y 1) ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ a → = (a x , a y) . M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) ಮತ್ತು a → = (a x , a y) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸೆಟ್ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) ಮತ್ತು a → = (a x , a y) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ಸಮೀಕರಣ:

M 1 M → = λ · a → , ಇಲ್ಲಿ λ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

M 1 M → = λ · a → ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೇಖೆಯ ವೆಕ್ಟರ್-ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೆಸರಿನ ಸಾರವು ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ರೇಖೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಮೇಲೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವಾಗ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ರೂಪದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು. ನಿಯತಾಂಕದ λ

ಮೇಲಿನ ಪ್ರಕಾರ, x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, M 1 ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. (x 1, y 1) ಮತ್ತು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ a → = (a x , a y) . ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು M 1 (2, 3) ಮತ್ತು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ a → = (3 , 1) .

ನಿರ್ಧಾರ

ಆರಂಭಿಕ ಡೇಟಾವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

ಇದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು: ವೆಕ್ಟರ್ a → = (a x , a y) ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ a, ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು M 1 (x 1, y 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2, y 2) ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿವೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೂಪದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ, ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಆಯ್ಕೆ: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ a → \u003d (2, - 1), ಹಾಗೆಯೇ ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ M 1 (1, - 2) ಮತ್ತು M 2 (3, - 3) ಅಂಕಗಳು. ನಂತರ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ಅಥವಾ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಗತಿಗೆ ಸಹ ಗಮನ ನೀಡಬೇಕು: ವೇಳೆ a → = (a x , a y) ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ a , ನಂತರ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ μa → = (μa x , μa y) , ಅಲ್ಲಿ μ ϵ R , μ ≠ 0 .

ಹೀಗಾಗಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ a ಅನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು: x = x 1 + μa x λ y = y 1 + μa y λ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ μ ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ.

x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ ಎಂಬ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ a ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ನಂತರ a → = (2 , - 5) - ಈ ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್. ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ∈ R , μ ≠ 0 ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗುತ್ತದೆ. ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ - 2 · a → = (- 4 , 10) , ಇದು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ μ = - 2 . ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀಡಲಾದ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದಲೂ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಸೂಕ್ತವಾದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಭಾಷಾಂತರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡೋಣ.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು x - x 1 a x = y - y 1 a y ಸಮತಲದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ λ ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಗಳ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು x ಅಥವಾ a y ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಮುಜುಗರಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಾರದು.

ಉದಾಹರಣೆ 2

x = 3 y = - 2 - 4 · λ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ನಾವು ನೀಡಿದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

ನಾವು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ λ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಿಯಾದ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x - 3 0 = y + 2 - 4

ಉತ್ತರ: x - 3 0 = y + 2 - 4

ಒಂದು ವೇಳೆ A x + B y + C = 0 ರೂಪದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ, ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಮೊದಲು ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - 1 y) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

ಉದಾಹರಣೆ 3

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಅದನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

ನಿರ್ಧಾರ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡೋಣ:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

ಫಲಿತಾಂಶದ ಪ್ರಮಾಣವು ಸಮಾನತೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ - 3 · (x + 1) = 2 · y. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

ಉತ್ತರ: 3x + 2y + 3 = 0

ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ತರ್ಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ, ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. , ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಮತ್ತಷ್ಟು ಪರಿವರ್ತನೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲು.

ಈಗ ಹಿಮ್ಮುಖ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಭಿನ್ನ ರೂಪಕ್ಕಾಗಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು.

ಸುಲಭವಾದ ಪರಿವರ್ತನೆ: ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಪದಗಳಿಗಿಂತ. ರೂಪದ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ: x - x 1 a x = y - y 1 a y . ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನಾವು ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

x ಮತ್ತು y ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

ಉದಾಹರಣೆ 4

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: x - 2 5 = y - 2 2

ನಿರ್ಧಾರ

ತಿಳಿದಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ಭಾಗಗಳನ್ನು λ ನಿಯತಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸೋಣ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . ಪಡೆದ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

ಉತ್ತರ: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ, ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಲು ಅಗತ್ಯವಾದಾಗ, ಮೂಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತರಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಂಗೀಕೃತ ಒಂದು, ತದನಂತರ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

ನಿರ್ಧಾರ

ನಾವು ನೀಡಿದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿಯತಾಂಕ λ ಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

ಉತ್ತರ: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಮೊದಲ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ: ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (x, y) a ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಿದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು.

ಉದಾಹರಣೆ 6

λ = 3 ಗಾಗಿ x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ಮೌಲ್ಯ λ = 3 ಅನ್ನು ನೀಡಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

ಉತ್ತರ: 1 1 2 , 5

ಕೆಳಗಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಸಹ ಸಾಧ್ಯ: ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 (x 0, y 0) ಅನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವು x = x ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವಿವರಿಸಿದ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. 1 + a x λ y = y 1 + a y λ.

ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ λ = λ 0 ನ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯವು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾಗುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವು ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 7

ಅಂಕಗಳನ್ನು M 0 (4, - 2) ಮತ್ತು N 0 (- 2, 1) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅವು ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ನಾವು M 0 (4, - 2) ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ, ಏಕೆಂದರೆ λ = 2 ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

N 0 ಬಿಂದುವು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವ ಅಂತಹ ನಿಯತಾಂಕ λ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಯು ಪಾಯಿಂಟ್ N 0 (- 2 , 1) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:ಪಾಯಿಂಟ್ M 0 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆ; ಪಾಯಿಂಟ್ N 0 ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ.

1. ಎರಡನೆಯ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು (ರೇಖೆಯ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ) ಮೇಲೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ ನೀವು ಮೊದಲು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ, ತದನಂತರ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 1 2, 2 3 ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರ ನೇರ ರೇಖೆ x 2 \u003d y - 3 - 1 ಅನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸರಳ ರೇಖೆ, ನಾವು ಮುಂದೆ ಹೋಗಬೇಕಾದ ಸಮೀಕರಣವು x 2 \u003d y - 3 - 1 ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವ x 2 = y - 3 - 1 ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ: a → = (2, - 1) ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈಗ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

ಉತ್ತರ: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

ಉದಾಹರಣೆ 9

ಪಾಯಿಂಟ್ M 1 (0, - 7) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನೇರ ರೇಖೆ 3 x – 2 y – 5 = 0 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಈ ಹಂತದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬೇಕು, ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ 3 x - 2 y - 5 = 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಇದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (3 , - 2) . ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

ಉತ್ತರ: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. ಮೂರನೇ ವಿಧದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಸಾಲಿನ ಕೆಲವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ನಿರ್ಧಾರ

ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x ಮತ್ತು y ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಮಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ಸಾಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ 1, 3 4 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉತ್ತರ: 1 , 3 4 .

ಪಠ್ಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ತಪ್ಪನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ, ದಯವಿಟ್ಟು ಅದನ್ನು ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿ ಮತ್ತು Ctrl+Enter ಒತ್ತಿರಿ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಬಹುದಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಾವು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವು ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ನಿಯತಾಂಕದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಕ್ಷವಾಗಿದೆ: .

ನಾವು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಅಥವಾ ಅಂತಿಮವಾಗಿ

ಸಮೀಕರಣಗಳು (1) ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಯಾಂತ್ರಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ನಿಯತಾಂಕವು ಕೆಲವು ಆರಂಭಿಕ ಕ್ಷಣದಿಂದ ಅಳೆಯಲಾದ ಸಮಯ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸಿದರೆ, ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸ್ಥಿರವಾದ ವೇಗದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ವಸ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ಚಲನೆಯ ನಿಯಮವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ (ಅಂತಹ ಚಲನೆಯು ಜಡತ್ವದಿಂದ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ).

ಉದಾಹರಣೆ 1ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿ.

ನಿರ್ಧಾರ. ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ಡೇಟಾವನ್ನು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು (1) ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇತರ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಲು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಮೊದಲು ಅವುಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ

ಉದಾಹರಣೆ 2ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ.

ನಿರ್ಧಾರ. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:

ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರುತ್ತವೆ:

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವುದು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ರಚಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು ಇಳಿಜಾರು ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಾಗ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ), ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ 3ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ. ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ತರುತ್ತೇವೆ:

ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿ

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ, ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ನಾವು ಅವರ ಡೇಟಾವನ್ನು (1) ಗೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 4ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಿರ್ಧಾರ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಅಂಗೀಕೃತಕ್ಕೆ, ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕು.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು:

ಉದಾಹರಣೆ 5ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಲಂಬ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯತಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಿಸುವುದು ಟಿ:

ನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಟಿ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿಯತಾಂಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಎರಡು ಅಂಕಗಳು ಎಂ 1 ಆಗಿರಲಿ (x1,y1,z1)ಮತ್ತು M 2 (x2,y2,z2). ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮೀಕರಣದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ತಕ್ಷಣವೇ ಈ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ನಾವು ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಛೇದಕವು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ.

ಕೆಳಗೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ, ಅಂತಹ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

5.4 ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಡೇಟಾಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾದ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಯಾವುದೇ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ.

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

ಮತ್ತು

ಎರಡು ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಮತ್ತು , ಅಂದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ: ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ: .

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ಸಮಾನಾಂತರ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು

5.5 ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಪರಸ್ಪರ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳು. ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ರೇಖೆಯಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 5.5).

ಚಿತ್ರ 5.5

ರೇಖೆಯು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಅವುಗಳ ವಾಹಕಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ; ಆ. ಅವರ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ: .

ಅಧ್ಯಾಯ 5 ರ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1:

ಸಮೀಕರಣವು ನೀಡಿದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ A (1,2,4) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

ನಿರ್ಧಾರ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ (1,2,4) ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಮೂಲಕ ವಿಮಾನವು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ.

ಸ್ಥಿತಿಯ ಮೂಲಕ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಯಸಿದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

ಉದಾಹರಣೆ 2:

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಹುಡುಕಿ 4x-7y+5z-20=0ಒಂದು ಬಿಂದು P ಇದಕ್ಕಾಗಿ OP ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ:

ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ. (ಚಿತ್ರ 5.6)

ನಲ್ಲಿ

ಚಿತ್ರ 5.6

ಖಾಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ Р ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಕೋನಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಸಮಾನತೆಯು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

x p \u003d y p \u003d z p

ಪಾಯಿಂಟ್ P ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಇರುವುದರಿಂದ, ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ಅದನ್ನು ಗುರುತಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

ಕ್ರಮವಾಗಿ: ವೈ ಆರ್=10; z p=10.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪಿಯು P (10; 10; 10) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3:

A (2, -1, -2) ಮತ್ತು B (8, -7.5) ಎಂಬ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಬಿಂದು ಬಿ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು AB ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ:

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ (8, -7.5) ಅನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಮತ್ತು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್. ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ನಂತರ ನಾವು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

ಉದಾಹರಣೆ 4:

OY ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಮತ್ತು K(1,-5,1) ಮತ್ತು M(3,2,-2) ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ನಿರ್ಧಾರ:

ಸಮತಲವು OY ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಸಮತಲದ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ.

Ax+Cz+D=0

K ಮತ್ತು M ಅಂಕಗಳು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವ ಕಾರಣ, ನಾವು ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ D ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು C ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮತಲದ ಅಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ರಿಂದ, ನಾವು D ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 5:

M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) ಎಂಬ ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಿರ್ಧಾರ:

3 ನೀಡಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸೋಣ.

M, K, R ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೊದಲ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಾಗಿ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

1 ನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 6:

ಅಂಕಗಳನ್ನು M 1 (8, -3,1) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹುಡುಕಿ; M 2 (4,7,2) ಮತ್ತು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ 3x+5y-7z-21=0

ನಿರ್ಧಾರ:

ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 5.7)

ಚಿತ್ರ 5.7

ನಾವು ನೀಡಿದ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 2 ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 2. ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲ Р 1 ರ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಸಮತಲ Р 1 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದದ ಮೂಲಕ ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 2 ಗೆ ಸರಿಸಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 2 ಪ್ಲೇನ್ ಪಿ 1 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಪಿ 2 ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ .

ಸಮತಲ Р 2 ರಲ್ಲಿ ಇರುವ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಈಗ ನಾವು ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು R 2 ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದೇವೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲ P 2 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು P 2 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ P 2 ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಮುಂದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಳನ್ನು M 1 ಅಥವಾ M 2 ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ M 1 (8, -3.1); ವಿಮಾನ Р 2 ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

ಉದಾಹರಣೆ 7:

ಎರಡು ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ನಿರ್ಧಾರ:

ನಾವು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು x 0, y 0, z 0) ಇದರ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, z=1, ನಂತರ ನಾವು ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ (2,0,1) ಇರುವ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು , ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು , ಅಂದರೆ ಬಯಸಿದ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ . ಕೊಟ್ಟಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

ಆದ್ದರಿಂದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 8:

ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ವಿಮಾನ 2x+3y+3z-8=0

ನಿರ್ಧಾರ:

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವು ನಿಯತಾಂಕದ ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಟಿ. ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಟಿರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ x, y, zನಿಯತಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಟಿ.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

ನಂತರ ಬಯಸಿದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು

ಬಯಸಿದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (1;1;1).

ಉದಾಹರಣೆ 9:

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ (ಚಿತ್ರ 5.9)

ಚಿತ್ರ 5.9

ರೇಖೆಗಳ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಿರ್ದೇಶನ ವಾಹಕಗಳ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪ್ಲೇನ್ P ನಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು M 1 (1, -1,2) ಮತ್ತು M 2 (0,1, -2) ರೇಖೆಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ.