ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು

ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ನೀಡಲಿ. ಅದೇ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ (ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ) ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ:

.

ಅಕ್ಷವನ್ನು ಬಿಡಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ
.ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಈ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರ್ದೇಶನ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ , ನಂತರ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ:

.

ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಸಂಬಂಧದಿಂದ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ ನಿರ್ದೇಶನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗಿದೆ , ನಂತರ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿ , ಪಡೆಯಿರಿ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ
ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಅವುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:
.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ನಿರ್ಧರಿಸಿದ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ , ಅಂದರೆ
.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಓರ್ಟ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರದ ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ
:

.

ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ
ಮತ್ತು
, ಅಂದರೆ
,
, ನಂತರ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಓರ್ಟ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ:

.

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ , ಇದರ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದ ವೆಕ್ಟರ್ ಗುಣಾಕಾರವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬಹುಪದೀಯ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಇದು ಮೊದಲ ಮೂರು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಕಗಳ ಕ್ರಮವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾತ್ರ ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೂಲ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ವೇಳೆ
ಮತ್ತು
, ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ನಿಯಮವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಓರ್ಟ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಂತರ:

ನಾವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದರೆ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಬರೆಯುವ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಂದ್ರವಾದ ರೂಪವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ವಾಹಕಗಳು ಯಾವಾಗ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ವಿಮಾನ ಸೇರಿದೆ
, ಅಂದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು
ಮತ್ತು
.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದ್ದರೆ:
, ನಂತರ ನಾವು ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅವರಿಂದ ರಚನೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಗಾತ್ರ
, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯಕ ಕರ್ಣೀಯ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

.

ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ:

ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯವು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿರುವಂತೆ.

ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರದೊಂದಿಗೆ (4.7) ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ:

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಿಂದ ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ.

ಹೀಗೆ:

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಡಿಟರ್ಮಿನೆಂಟ್ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಇದು ಆರು ಪದಗಳ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ.

ಮೂರನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವನ್ನು ನೀವು ಬಳಸಿದರೆ ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ ನಿಯಮಸರ್ರಸ್, ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವ ಮೂರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ;

ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯು ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;

ದ್ವಿತೀಯಕ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ದ್ವಿತೀಯಕ ಕರ್ಣಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಬದಿಯೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಶಗಳ ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು.

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು aನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್ಗಳಾಗಿವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಆಸ್ತಿ:ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಮಾನ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿವೆಕ್ಟರ್ a = (ax; ay) ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ a = (3; 4) ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: |a| =

ಆದ್ದರಿಂದ ಒಳಗೆ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿವೆಕ್ಟರ್ a = (ax; ay; az) ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಉದಾಹರಣೆ

ವೆಕ್ಟರ್ a = (2; 4; 4) ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ: |a| =

"ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ"

ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ a ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳನ್ನು ಆಲ್ಫಾ, ಬೀಟಾ ಮತ್ತು ಗಾಮಾದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ). ಈ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ a.

ಕಾರ್ಟಿಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು a ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (ಗಾಮಾ). ಆದ್ದರಿಂದ: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. ಮೇಲಾಗಿ, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). ಆದ್ದರಿಂದ cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, cos^2(alpha)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

ಮೊದಲ ದಾರಿ

ಉದಾಹರಣೆ: ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ವೆಕ್ಟರ್ a=(1, 3, 5). ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ. ನಿರ್ಧಾರ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ನಾವು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. ಹೀಗಾಗಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =(0.16; 0.5; 0.84).

ಎರಡನೇ ದಾರಿ

ವೆಕ್ಟರ್ a ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನೀವು ತಂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ i, j, ಮತ್ತು k ನ ದಿಕ್ಕಿನ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು φ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಎರಡು ವಿಂಡ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ) cosφ ಮೂಲಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. (a, b) = |a||b|cos f. ನಂತರ, b=i, ಆಗ (a, i) = |a||i|cos(alpha), ಅಥವಾ a1 = |a|cos(alpha). ಇದಲ್ಲದೆ, ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ವಿಧಾನ 1 ರಂತೆಯೇ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಕ್ಷೆಗಳು j ಮತ್ತು k ಅನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇವುಗಳು ಸದಿಶವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡುವ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್ಗಳಾಗಿವೆ. ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ 1 ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ( ಎ; ಬಿ; ಸಿ) ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

ಇಲ್ಲಿ a, b, g ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳು X, ವೈ, zಕ್ರಮವಾಗಿ.

21) ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಭಜನೆ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷದ ಆರ್ಥವನ್ನು , ಅಕ್ಷಗಳು - ಮೂಲಕ , ಅಕ್ಷಗಳು - ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1).

ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಭಜನೆಯು ನಡೆಯುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ವೇಳೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಇದೆ, ನಂತರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

22)ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

23) ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ತೀವ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ಚುಕ್ಕೆ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಚೂಪಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

24) ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸ್ಥಿತಿ.

ವಾಹಕಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ
ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಆಂತರಿಕ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು a(xa;ya) ಮತ್ತು b(xb;yb) ನೀಡಲಾಗಿದೆ. xaxb + yayb = 0 ಎಂಬ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ವೇಳೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

25) ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ.

ಎರಡು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ವೆಕ್ಟರ್ c=a×b ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a, b, c ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಬಲ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

26) ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಕೊಪ್ಲೇನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು..

ಮೊದಲ ಸದಿಶದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾವು ಮೊದಲನೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಎರಡನೆಯ ಆರ್ಡಿನೇಟ್ಗೆ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ್ದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎ (xa;ಹೌದು) ಮತ್ತು ಬಿ (xb;yb) ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ x a = xbಮತ್ತು ವೈ ಎ = yb, ಎಲ್ಲಿ ಆರ್.

ವಾಹಕಗಳು -→ ಎ,−→ಬಿಮತ್ತು -→ ಸಿಎಂದು ಕರೆದರು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಮತಲವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

27) ಮೂರು ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ. ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ- ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

ನಿರ್ಧಾರ:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ. ನೀಡಿರುವ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ವರ್ಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತದ ವರ್ಗಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

29) ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗದ ವಿಭಜನೆ. M(x; y) ಬಿಂದುವು ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ (, ) ಮತ್ತು ( , ) ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು M ಬಿಂದುವು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, M ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ

ಪಾಯಿಂಟ್ M ವಿಭಾಗದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

30-31. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರುಈ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ. ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಅಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಕೆ- ನೇರ ರೇಖೆಯ ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ, ಬಿಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರದ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು ಓಹ್(ವೈ-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ, ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ).

33. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ. ಟೈಪ್ ಸಮೀಕರಣ ಇದೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಆಕ್ಸಿ. ಎ, ಬಿ ಮತ್ತು ಸಿ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಾಧ್ಯ:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - ರೇಖೆಯು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ರೇಖೆಯು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು Oy ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ನೇರ ರೇಖೆಯು ಆಕ್ಸ್ ಅಕ್ಷದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ

34.ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸಿಅಲ್ಲಿ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಮತ್ತು ಬಿಕೆಲವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಈ ಹೆಸರು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕತ್ತರಿಸುವ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತುಮತ್ತು ಓಹ್ಕ್ರಮವಾಗಿ (ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ). ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಿ.

35. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ ಎಲ್ಲಿದೆ;  ಸಾಮಾನ್ಯದಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಪಡೆಯಬಹುದು (1) ,  ಚಿಹ್ನೆಯು ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ .

ರೇಖೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ,  ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ,  ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅಕ್ಷದ ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು

ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ ನೇರವಾಗಿಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

36. ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿ x 0 ಮತ್ತು y 0 ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, ಮತ್ತು A, B ಮತ್ತು C ಗಳು ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ

37. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಒಂದಕ್ಕೆ ತರುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಸಮತಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಜಾಗದ ಆಯಾಮವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆ ಯಾವುದರಲ್ಲಿಯೂ ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲಿಗೆ ನಾನು ವಿಮಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹೇಳುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾನು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಾಯ್ದಿರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡೋಣ: Ax + By + Cz + D = 0.
;. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: g;Mc=cosb, MB=cosa ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶ M ಮೂಲಕ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: Max + Mvu + MSz + MD = 0. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

ಸಿಸ್ಟಂನ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಾವು M*(A2 + B2 + C2) = 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಈಗ ಅದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಿತಿಗೆ ತರಲು ಮೂಲ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಇಲ್ಲಿಂದ M ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ. ರೂಪ:
M \u003d - + 1 / ರೂಟ್ KV A2 + B2 + C2
MD ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ M ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು D ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ, ಎಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, M ಗಾಗಿ ಸೂತ್ರದಿಂದ C2 ಪದವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕು.

38.ವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಎ 2 + ಬಿ 2 + ಸಿ 2 ≠ 0 .

ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಸಮತಲವನ್ನು 1 ನೇ ಪದವಿಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ). ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವು ಸಮತಲವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ.

40.ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ.ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸಿಜ್ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ, ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣ , ಎಲ್ಲಿ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿಸಮತಲವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಕತ್ತರಿಸುವ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತು, ಓಹ್ಮತ್ತು ಓಝ್ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮೂಲದಿಂದ ಎಣಿಕೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಚಿಹ್ನೆ ಎ, ಬಿಮತ್ತು ಸಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ಯಾವ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ) ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ

41) ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣ.

ಸಮತಲದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ

ಅಲ್ಲಿ , , ವಿಮಾನದ ಸಾಮಾನ್ಯ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು, ಇ

p ಎಂಬುದು ಮೂಲದಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ. ಸಾಮಾನ್ಯದ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಅದು ಮೂಲದಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕು (ವಿಮಾನವು ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನ ಆಯ್ಕೆಯು ಅಸಡ್ಡೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ).

42) ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ದೂರ.ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿಮಾನವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಪುರಾವೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇಳಿದ ಲಂಬದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ

ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ

ಸಮತಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲಕ ನೀಡಲಾಗುವುದು ಮತ್ತು . ಈ ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಸಮತಲಗಳು, ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ನಾಲ್ಕು ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ: ಎರಡು ಚೂಪಾದ ಮತ್ತು ಎರಡು ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದ ಅಥವಾ ನಾಲ್ಕು ನೇರ, ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಎರಡೂ ತೀಕ್ಷ್ಣವಾದವುಗಳು ಸಹ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ತೀವ್ರವಾದ ಕೋನವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನಾವು ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ವಿಮಾನಗಳು ನಾವು ಛೇದನದ ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆಸ್ತಿ:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

ಬಿ) ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಎರಡು ನಾನ್-ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೂಲದಿಂದ ಬರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: . ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯಕ್ಕೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಲಸ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾಡ್ಯೂಲ್ನೊಂದಿಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಫಾರ್ ಮತ್ತು ಫಾರ್ . ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು 1 ರ ಅಂಶದಿಂದ "ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು", ದಿಕ್ಕನ್ನು ನಲ್ಲಿ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು.

ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮೇಲಿನ ನಿಯಮಗಳಿಂದ, ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಅನುಸರಿಸುತ್ತವೆ:

1. (ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಪರಿವರ್ತಕವಾಗಿದೆ);

2. (ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ);

3. (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

4. (ವಿರುದ್ಧ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

5. (ಸೇರ್ಪಡೆಯು ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ);

6. (ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರವು ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ);

7. (ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ ವಿತರಣೆಯಾಗಿದೆ);

ಸಿ) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

, ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಉದ್ದಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮವಾಗಿ, ಮತ್ತು ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು .

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಡಾಟ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ಯಾವುದೇ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನವುಗಳು ನಿಜ: ಡಾಟ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂವಹನ ಆಸ್ತಿ;

ವಿತರಣಾ ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ ;

ಸಹಾಯಕ ಆಸ್ತಿ ಅಥವಾ , ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ;

ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಡಿ) ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಕ್ಟರ್ a ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ b ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್ c ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಉದ್ದವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ a ಮತ್ತು b ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾದ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು a ನಿಂದ b ಗೆ ಕನಿಷ್ಠ ತಿರುಗುವಿಕೆಯನ್ನು ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಸದಿಶದ ಸುತ್ತಲೂ c ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ c ನಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ

ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು

ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a = (a x ; a y ; a z ) ಮತ್ತು b = (b x ; b y ; b z ) ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದು, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

• ಎರಡು ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನ a ಮತ್ತು b ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ a ಮತ್ತು b ಗಳ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ c, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ಎ) ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರುಈ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರಿನ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆ. ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ.

ರೇಖೆಯು y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇಳಿಜಾರು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇಳಿಜಾರು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ).

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಇಳಿಜಾರು ಅದರ ಕಾರ್ಯ ಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಇಳಿಜಾರು ಇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು y=kx+b ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇಲ್ಲಿ k ಎಂಬುದು ರೇಖೆಯ ಇಳಿಜಾರು, b ಎಂಬುದು ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವು Oy ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲದ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು (y-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ, ಇಳಿಜಾರನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ).

ಬಿ) ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವಿಧಗಳು

ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆದರು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಪದವಿಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣ Xಮತ್ತು ವೈರೀತಿಯ , ಎಲ್ಲಿ ಆದರೆ, ATಮತ್ತು ಜೊತೆಗೆಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಆದರೆಮತ್ತು ATಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ ಆಕ್ಸಿಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ .

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ. ಈ ಹೆಸರು ಆಕಸ್ಮಿಕವಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿನಿರ್ದೇಶಾಂಕದ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲೆ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಕತ್ತರಿಸುವ ಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎತ್ತುಮತ್ತು ಓಹ್ಕ್ರಮವಾಗಿ (ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮೂಲದಿಂದ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ).

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ, ಎಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ವೈಅಸ್ಥಿರ, ಮತ್ತು ಕೆಮತ್ತು ಬಿಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ (ಕೆ- ಕೋನೀಯ ಗುಣಾಂಕ)

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಆಯತಾಕಾರದ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ , ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು , ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ, ಈ ಸಾಲಿನ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಆಕ್ಸಿಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳುಹಾಗೆ ನೋಡಿ , ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಡಿನೇಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಸೂಚ್ಯ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತವೆ (ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರೀತಿಯ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೆಸರು).

ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್‌ನ ಕೆಲವು ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಕೆಲವು ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುವಾಗ , ಅಂದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗಿನ ಬಿಂದುವು ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಗುಣಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ನಿಯತಾಂಕದಲ್ಲಿ ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ

M 1 (x 1, y 1, z 1) ಮತ್ತು M 2 (x 2, y 2, z 2) ಎಂಬ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ನಂತರ ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣ:

ಯಾವುದೇ ಛೇದವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ, ಮೇಲೆ ಬರೆದ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

x 1 ≠ x 2 ಮತ್ತು x = x 1 ಆಗಿದ್ದರೆ x 1 = x 2.

ಭಿನ್ನರಾಶಿ = ಕೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಇಳಿಜಾರಿನ ಅಂಶನೇರ.

ಸಿ) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , ನಂತರ ಈ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ತೀವ್ರ ಕೋನವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

k 1 = k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. k 1 = -1/ k 2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. Ax + Vy + C \u003d 0 ಮತ್ತು A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ಎಂಬ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. С 1 = λС ಆಗಿದ್ದರೆ, ಸಾಲುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.

ಡಿ) ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಮತ್ತು ಲಂಬತೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಷರತ್ತುಗಳು:

ಎ) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ:

ಕೆ 1 = ಕೆ 2 .

ಬಿ) ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ (6) ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಷರತ್ತುಗಳು:

ಎ) ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ (4) ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ನೀಡಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಅವುಗಳ ಇಳಿಜಾರುಗಳು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಲ್ಲಿ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು

ಕೆ 1 ಕೆ 2 = -1.

ಬೌ) ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ (6), ನಂತರ ಅವುಗಳ ಲಂಬತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ (ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು) ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು

ಎ 1 ಎ 2 + ಬಿ 1 ಬಿ 2 = 0.

ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ

ಎ) ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿ

ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದ ದ್ವಿತೀಯಾರ್ಧದಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಟನ್ ಮತ್ತು 18 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಜ್ಞರಾದ ಯೂಲರ್ ಮತ್ತು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಬಳಸಿದರು, ಆದರೆ ಅವರು ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡರು. ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬೊಲ್ಜಾನೊ 1816 ರಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ 1821 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರು.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ, ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು, ಕೆಲವರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತವೆ, ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದೆ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ. ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ . ಮೇಲಾಗಿ, ಅದು ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮಿತಿಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಜೊತೆಗೆ ಅನಂತ .

ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಅನಿಯಮಿತ ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂಶಗಳು ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಮೈನಸ್ ಅನಂತ .

ಬಿ) ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ

ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ (ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ಗೆ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವುದು, ಅದರ ವಾದವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದಾಗ ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವು ಅದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ: ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಬಿಂದುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಶ್ರೇಣಿಯ ಅಂಶಗಳ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ತಿಳಿಯಲಾಯಿತು. ಕಾರ್ಯದ ಡೊಮೇನ್‌ನ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು (ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಮಿತಿ); ಅಂತಹ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅಂತಹ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ- ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಮೂಲ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ (ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ, ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ಅದರ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರದಿದ್ದರೆ (ಅಂದರೆ, ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ), ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ (ಮಿತಿ ಮೌಲ್ಯ) ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ , ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮುಂಚಿತವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದ್ದರೆ, ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಎಲ್ಲಾ ವಾದಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಸಿ) ಎರಡು ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗಳು

· ಮೊದಲ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ:

ಪರಿಣಾಮಗಳು

·

·

·

· ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ:

ಪರಿಣಾಮಗಳು

1.

2.

3.

4.

5. ಗಾಗಿ,

6.

ಡಿ) ಅನಂತವಾದ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾದ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳು

ಕಾರ್ಯ y=f(x)ಎಂದು ಕರೆದರು ಅಪರಿಮಿತನಲ್ಲಿ x→aಅಥವಾ ಯಾವಾಗ X→∞ ವೇಳೆ ಅಥವಾ , ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅಪರಿಮಿತ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ y=f(x)ನಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು x→aಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬಿಮತ್ತು ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು α(x): f(x)=b+ α(x)ನಂತರ .

ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವೇಳೆ , ನಂತರ f(x)=b+α(x), ಎಲ್ಲಿ a(x)ನಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ x→a.

ಪರಿಣಾಮ 1.ಒಂದು ವೇಳೆ ಮತ್ತು , ನಂತರ.

ಪರಿಣಾಮ 2.ಒಂದು ವೇಳೆ c= const, ನಂತರ .

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)ನಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ x→a, ನಂತರ ಕಾರ್ಯ 1 /f(x)ನಲ್ಲಿ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ x→a.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ f(x)- ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ x→a(ಅಥವಾ x→∞)ಮತ್ತು ನಂತರ ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ y= 1/f(x)ಅನಂತ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಬದ್ಧ ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಮತ್ತು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸರಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು: ಎ≠ 0

ಡಿ) ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ. L'Hopital ನಿಯಮ

ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಗಳು: ಸೊನ್ನೆಯನ್ನು ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ ( 0 ರಿಂದ 0), ಅನಂತವನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ, ಶೂನ್ಯ ಪಟ್ಟು ಅನಂತ, ಅನಂತ ಮೈನಸ್ ಅನಂತ, ಒಂದು ಅನಂತದ ಶಕ್ತಿಗೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯದ ಶಕ್ತಿ, ಅನಂತವು ಶೂನ್ಯದ ಶಕ್ತಿಗೆ.

L'Hopital ನಿಯಮಬಹಳ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳುಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಶೂನ್ಯ ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇದ್ದಾಗ, ಅನಂತವನ್ನು ಅನಂತದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ರೀತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಪಟ್ಟು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಅನಂತ ಮೈನಸ್ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೇಳೆ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು f(x)ಮತ್ತು g(x)ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ

L'Hopital ನಿಯಮವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿದ ನಂತರ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯು ಕಣ್ಮರೆಯಾಗದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮತ್ತೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಎ) ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿಯಮ

ಆಗಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ , ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿದೆ. ಒಂದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ನಾವು ಅದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ ) ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ .

ಪ್ರಮೇಯ 1. ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ X, ಮತ್ತು ಫಂಕ್ಷನ್ ಪಾಯಿಂಟ್ () ನಲ್ಲಿ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯ Xಒಂದು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು = .

ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಮಧ್ಯಂತರ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನೀಡಿದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಿ) ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ನೀಡಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡೋಣ, ಅಂದರೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ:

ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯತಾಂಕದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಭಾಗಗಳಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಎರಡನೇ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಿ) ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಧನಾತ್ಮಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. , ನಂತರ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ರೂಪವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ.

ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಸಾರವು ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ಮೊದಲು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕಾರ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಅದರಿಂದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಿ. ನಾವು ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ತದನಂತರ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ, ಇದರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಡಿ) ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

y=f(x) ಮತ್ತು x=g(y) ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಗಳ ಜೋಡಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು y=f(x) ಕಾರ್ಯವು f"(x) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ g"( x)=1/f" (x).

ಹೀಗಾಗಿ, ಪರಸ್ಪರ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಸ್ಪರ. ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಸೂತ್ರ:

ಇ) ಸೂಚ್ಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ವಿವರಿಸಿದರೆ ವೈ=ಎಫ್(X), ಅಲ್ಲಿ ವೇರಿಯಬಲ್ ವೈಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ, ಆದರೆ ಬಲಭಾಗವು ವಾದದ ಮೇಲೆ ಮಾತ್ರ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ X, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವೈ= ಪಾಪ X,ವೈ=X 2+2X+5,ವೈ= lncos X.

ಅನೇಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ, ಅಂದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪದಲ್ಲಿ

ಎಫ್(X,ವೈ)=0.

ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವೈ′( X) ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು, ಅದನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಫ್(X,ವೈ)=0, ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:

ಮೊದಲಿಗೆ, ನೀವು ವೇರಿಯಬಲ್ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ X, ಊಹಿಸಿಕೊಂಡು ವೈವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಯಮವನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ) ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ: ಬಲಭಾಗವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ. ಸೂಚ್ಯ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಎಫ್(X,ವೈ)=ಜಿ(X,ವೈ),

ನಂತರ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ವೈ′( X).

ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಎ) ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಏಕೀಕರಣ.

ವೈ XX

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಫ್(X X 0. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) ಆಗಿದೆ ವಿಭಿನ್ನಹಂತದಲ್ಲಿ X 0 ಮತ್ತು ಅವಳ ಉತ್ಪನ್ನಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಫ್′( X 0)=limΔ X→0Δ ವೈΔ X=limΔ X→0ಎಫ್(X 0+Δ X)−ಎಫ್(X 0)Δ X.

ಫಂಕ್ಷನ್ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ- ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಜೊತೆಗೆ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ. ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ವಿಲೋಮ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆ - ತಿಳಿದಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನದಿಂದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು - ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೀಕರಣ.

ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರದ ಅಂದಾಜನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು Δ ವೈಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ Δ ನಲ್ಲಿನ ಅನುಗುಣವಾದ ಬದಲಾವಣೆಗೆ X. ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ, ಅಂತಹ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಷರತ್ತು Δ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ X→0. ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಸೂತ್ರೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ:

ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಫ್(X), ಅವರ ಡೊಮೇನ್ ಬಿಂದುವಿನ ಸುತ್ತ ಕೆಲವು ಮುಕ್ತ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ X 0. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಎಫ್(X) ಆಗಿದೆ ವಿಭಿನ್ನಹಂತದಲ್ಲಿ X 0 ಮತ್ತು ಅವಳ ಉತ್ಪನ್ನಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಫ್′( X 0)=limΔ X→0Δ ವೈΔ X=limΔ X→0ಎಫ್(X 0+Δ X)−ಎಫ್(X 0)Δ X.

ಬಿ) ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿದ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಅಕ್ಷದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕಿನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಸ್ಪರ್ಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರಾಫ್‌ಗೆ ಎಳೆದ ಸ್ಪರ್ಶದ ಧನಾತ್ಮಕ ದಿಕ್ಕು:

ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಡಿ) ಸರಳವಾದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ

ಡೆಫ್. 1.5.6. ನಿರ್ದೇಶನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳುವೆಕ್ಟರ್ ಎ ಈ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಆಧಾರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ರೂಪಿಸುವ ಕೋನಗಳ ಕೋಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯೋಣ, i , ಜ , ಕೆ .

ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಎ = (X, ನಲ್ಲಿ, z) ಸೂತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು ಎ ಅದರ ಉತ್ತರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು: .

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ i , ಜ , ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಲಾಗಿದೆ ಓ. orts ಅಕ್ಷಗಳ ಧನಾತ್ಮಕ ನಿರ್ದೇಶನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಓಹ್, OU, ಓಝ್. ಪಾಯಿಂಟ್ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಓ (ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರ i , ಜ , ಕೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. ಇರಲಿ ಬಿಡಿ ಆದರೆಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ವೆಕ್ಟರ್ ಎ = OA= X i + ವೈ ಜ + z ಕೆ ಎಂದು ಕರೆದರು ತ್ರಿಜ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಅಂಕಗಳು ಆದರೆ, ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ( X, ವೈ, z) ಪಾಯಿಂಟ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಆದರೆ(ಚಿಹ್ನೆ: ಆದರೆ(X, ವೈ, z)) ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳು ಓಹ್, OU, ಓಝ್ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಕ್ಷ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ, ಅಕ್ಷರೇಖೆ ಆರ್ಡಿನೇಟ್, ಅಕ್ಷರೇಖೆ ಅನ್ವಯಿಸು.

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ AT 1 (X 1 , ವೈ 1 , z 1) ಮತ್ತು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು AT 2 (X 2 , ವೈ 2 , z 2), ನಂತರ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅಂತ್ಯ ಮತ್ತು ಪ್ರಾರಂಭದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ).

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಟೇಸಿಯನ್ ಆಯತಾಕಾರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳುಅನುಗುಣವಾದ ಪರಿಮಾಣಾತ್ಮಕ (ಆಯಾಮದ ಪ್ರಕಾರ) ಬದಲಾವಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ವಿಶಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಹಾರ.

ಉದಾಹರಣೆ 1ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ = 6i – 2ಜ -3ಕೆ .

ನಿರ್ಧಾರ.ವೆಕ್ಟರ್ ಉದ್ದ: . ನಿರ್ದೇಶನ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳು: .

ಉದಾಹರಣೆ 2ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ , ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ತೀವ್ರ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ.ರಿಂದ , ನಂತರ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ (1.6) ಬದಲಿಯಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ . ವೆಕ್ಟರ್ ಎ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳೊಂದಿಗೆ ಚೂಪಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆರ್ಥೋ . ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ 3ಮೂರು ನಾನ್-ಕೊಪ್ಲಾನಾರ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಇ 1 = 2i – ಕೆ , ಇ 2 = 3i + 3ಜ , ಇ 3 = 2i + 3ಕೆ . ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕೊಳೆಯಿರಿ ಡಿ = i + 5ಜ - 2ಕೆ ಆಧಾರದ ಇ 1 , ಇ 2 , ಇ 3 .