ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು dx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸೂತ್ರಗಳ ಕೋಷ್ಟಕದಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಮೂರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: d f(x,y,z)=d x f(x,y,z)dx+d y f(x,y,z)dy+d z f(x ,y,z)dz

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ . ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ∆y=A∆x + α(∆x)∆x ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ y=f(x) ಅನ್ನು x 0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ A ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು α(∆ x) ∆x → 0 ನಂತೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರಬೇಕಾದ ಅವಶ್ಯಕತೆಯು A=f'(x 0) ನೊಂದಿಗೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

x 0 ಮತ್ತು f "(x 0)≠0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಲಿ, ನಂತರ ∆y=f'(x 0)∆x + α∆x, ಇಲ್ಲಿ α= α(∆x) →0 ∆x → 0. ಪ್ರಮಾಣ ∆y ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ∆x→0 ನಂತೆ ಅಪರಿಮಿತ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ: , ಅಂದರೆ, α(∆x)∆x ಎಂಬುದು f’(x 0)∆x ಗಿಂತ ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.
, ಅಂದರೆ, ∆y~f’(x 0)∆x. ಆದ್ದರಿಂದ, f’(x 0)∆x ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ∆x ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ∆x ∆y (ರೇಖೀಯ ಎಂದರೆ ಮೊದಲ ಹಂತಕ್ಕೆ ∆x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ). ಈ ಪದವನ್ನು x 0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ y \u003d f (x) ಕಾರ್ಯದ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು dy (x 0) ಅಥವಾ df (x 0) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ x ಗಾಗಿ
dy=f′(x)∆x. (ಒಂದು)
ನಂತರ dx=∆x ಅನ್ನು ಬಿಡಿ
dy=f′(x)dx. (2)

ಉದಾಹರಣೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
a) y=4tg2x
ನಿರ್ಧಾರ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ:
b)
ನಿರ್ಧಾರ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ:
c) y=arcsin 2 (lnx)
ನಿರ್ಧಾರ:

ಭೇದಾತ್ಮಕ:
ಜಿ)
ನಿರ್ಧಾರ:
=
ಭೇದಾತ್ಮಕ:

ಉದಾಹರಣೆ. y=x 3 ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ x ಮತ್ತು ∆x ನ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ∆y ಮತ್ತು dy ಗಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ನಿರ್ಧಾರ. ∆y = (x+∆x) 3 – x 3 = x 3 + 3x 2 ∆x +3x∆x 2 + ∆x 3 – x 3 = 3x 2 ∆x+3x∆x 2 +∆x 3 dy=3x 2 ∆x (ನಾವು ∆x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ∆y ನ ಮುಖ್ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಭಾಗವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, α(∆x)∆x = 3x∆x 2 + ∆x 3 .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ:ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 1: .

ನಿರ್ಧಾರ:

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ:

ನಂತರ ನಾವು ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ಬರೆಯಬಹುದು:

, ,

ನಂತರ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 2ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಿರ್ಧಾರ:

ಈ ಕಾರ್ಯವು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಎಂದು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು

ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ:

ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ,ಅಂದರೆ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ ಇದೆ: ∆z≈dz.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆಗಳು z=f(x,y) ಕಾರ್ಯದ ವಾದಗಳ dx ಮತ್ತು dy ಸಣ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು.

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಳಕೆಯು ∆z≈dz ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಕ್ರಿಯೆಯ ∆z ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ , ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

≈ ,

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಎರಡು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ "ಹೊಸ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಇದು ಅದರ ಎರಡೂ ವಾದಗಳ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಏರಿಕೆಗಳೊಂದಿಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ , ಅದರ ವಾದಗಳ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ: 1.01, .

ನಿರ್ಧಾರ.

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಬರುವ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

x=1, ∆x=0.01, y=2, ∆y=0.02 ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರ.

D ಅಂತರಿಕ್ಷದ ಕೆಲವು ಪ್ರದೇಶದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ U(p)=U(x,y,z) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, D ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, U(x, y, z) ಬಿಂದು M(x, y, z) ನಲ್ಲಿ ತಾಪಮಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ತಾಪಮಾನ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. D ಪ್ರದೇಶವು ದ್ರವ ಅಥವಾ ಅನಿಲದಿಂದ ತುಂಬಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು U(x,y,z) ಒತ್ತಡವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಒತ್ತಡ ಕ್ಷೇತ್ರವಿದೆ. ಶುಲ್ಕಗಳು ಅಥವಾ ಬೃಹತ್ ಕಾಯಗಳ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೀಡಿದರೆ, ಒಬ್ಬರು ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಾರೆ.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಥಾಯಿ, U(x,y,z) ಕಾರ್ಯವು ಸಮಯದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗದಿದ್ದರೆ: U(x,y,z) ≠ ಎಫ್(ಟಿ)

ಯಾವುದೇ ಸ್ಥಾಯಿ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ಇವುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

1) ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈ

2) ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರ.

ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವು U(x,y,z) ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಬಿಂದುಗಳ ಸ್ಥಳವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ U(x,y,z) = const. ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಗ್ರಹವು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ಥಿರತೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ:ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ನೀಡಲಿ. ಅಂತಹ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಬಿಂದು ವಿದ್ಯುದಾವೇಶದ (+q) ವಿದ್ಯುತ್ ಸಂಭಾವ್ಯ ಕ್ಷೇತ್ರವಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿ, ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಈಕ್ವಿಪೊಟೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಾಗಿವೆ , ಅಂದರೆ, ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಚಾರ್ಜ್ ಇರುವ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಗೋಳಗಳು.

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ಹೆಚ್ಚಳದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ಮತ್ತು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅಥವಾ ).

ಕ್ರಿಯೆಯ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮಟ್ಟದ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಯಾವಾಗಲೂ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ

OX, OY, OZ ಅಕ್ಷಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು

ಯಾವುದೇ ಇತರ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ (λ) ಯು (x,y,z) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ

α, β, γ ಇವುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ OX, OY, OZ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಅಕ್ಷಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರತಿ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ (ಮೇಲೆ Xಮತ್ತು ಮೂಲಕ ವೈ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದ್ದು, ಇನ್ನೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ:

(ಎಲ್ಲಿ ವೈ= const),

(ಎಲ್ಲಿ X= const).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು, ಇತರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುವಾಗ.

ನಿಮಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಆದರೆ ನಿಮ್ಮ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ನಿಮಗೆ ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾದರೆ, ನಂತರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಆನ್‌ಲೈನ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .

ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರತೆ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನದಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಯ ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು - ನಂತರ ನೀವು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ. ಮುಗಿಸುವಾಗ ಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೇರಿಯಬಲ್) ಅನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಳಕ್ಕೆ ಹಿಂದಿರುಗಿಸಲು ಮರೆಯದಿರುವುದು ಮಾತ್ರ ಅವಶ್ಯಕ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ನೀವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಉಲ್ಲೇಖವನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು.

ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ z= ಎಫ್(X, ವೈ) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಂತೆಯೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ z = ಎಫ್(X, ವೈ) ವೇಳೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (2) ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z(ಎರಡೂ ವಾದಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ z= ಎಫ್(X, ವೈ) ಮತ್ತು ಡಾಟ್

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ zವಾದಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾದಾಗ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, X, ಇತರ ವಾದದ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದೊಂದಿಗೆ ವೈ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್(X, ವೈ) ರಂದು X.

ಕಾರ್ಯ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ zಕೇವಲ ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ನಾವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಹಾದು ಹೋಗುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ

ನಂತರ ಅದನ್ನು ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಫ್(X, ವೈ) ವಾದದ ಮೂಲಕ Xಮತ್ತು ಒಂದು ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

(4)

ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ zಮೇಲೆ ವೈ:

ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಫ್(X, ವೈ) ರಂದು ವೈ:

(6)

ಉದಾಹರಣೆ 1

ನಿರ್ಧಾರ. ವೇರಿಯೇಬಲ್ "x" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(ವೈಸ್ಥಿರ);

ವೇರಿಯೇಬಲ್ "y" ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

(Xಸ್ಥಿರ).

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಎಷ್ಟರಮಟ್ಟಿಗೆ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ: ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಭಾಗಶಃ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ (ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ) ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿರುವ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಉತ್ಪನ್ನ. ನಾವು ಆಂಶಿಕ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸದಿದ್ದರೆ, ಈ ಏಕಾಂಗಿ ಸ್ಥಿರವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿದ್ದರೂ, ಕಣ್ಮರೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

(x ಮೂಲಕ) ಮತ್ತು (y ಮೂಲಕ) ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಆದರೆ (1; 2).

ನಿರ್ಧಾರ. ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ನಲ್ಲಿ ವೈಮೊದಲ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ ( ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕ):

ಒಂದು ಸ್ಥಿರ ನಲ್ಲಿ Xಮೊದಲ ಪದದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಘಾತೀಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಸ್ಥಿರಾಂಕದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ:

ಈಗ ನಾವು ಈ ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಆದರೆ (1; 2):

ನೀವು ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು ಆನ್‌ಲೈನ್ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ .

ಉದಾಹರಣೆ 3ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಿರ್ಧಾರ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

(ವೈ X, ಸೈನ್ ವಾದವು 5 ಇದ್ದಂತೆ X: ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, 5 ಕಾರ್ಯದ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ);

(Xಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶವಾಗಿದೆ ವೈ).

ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಪ್ರತಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ( X; ವೈ; ...; ಟಿ) ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರ ಡಿಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ ಯುಅನೇಕರಿಂದ ಇ, ನಂತರ ಯುಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ X, ವೈ, ..., ಟಿಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ ಯು= ಎಫ್(X, ವೈ, ..., ಟಿ).

ಮೂರು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ, ಯಾವುದೇ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿಲ್ಲ.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾತ್ರ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇತರವುಗಳು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ನಿರ್ಧಾರ. ವೈಮತ್ತು zಸ್ಥಿರ:

Xಮತ್ತು zಸ್ಥಿರ:

Xಮತ್ತು ವೈಸ್ಥಿರ:

ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೋಡಿ

ಉದಾಹರಣೆ 5

ಉದಾಹರಣೆ 6ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಅರ್ಥವು ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕಾರ್ಯವು ಬದಲಾಗುವ ದರವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 8ಹರಿವಿನ ಪ್ರಮಾಣ ಪರೈಲ್ವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಕರನ್ನು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು

ಎಲ್ಲಿ ಪ- ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಎನ್- ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಿವಾಸಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಆರ್- ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಪಮೇಲೆ ಆರ್ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಹರಿವಿನ ಇಳಿಕೆಯು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿನ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿವಾಸಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಪಮೇಲೆ ಎನ್ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪ್ರಯಾಣಿಕರ ಹರಿವಿನ ಹೆಚ್ಚಳವು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದೇ ಅಂತರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಸಾಹತುಗಳ ನಿವಾಸಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೇಲೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

(7)

ಉದಾಹರಣೆ 9ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನಿರ್ಧಾರ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವ ಫಲಿತಾಂಶ (7):

ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಸಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿಮ್ಮದೇ ಆದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನಂತರ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡಿ

ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರಂತರತೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಅಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯವೊಂದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪುರಾವೆಯಿಲ್ಲದೆ ರೂಪಿಸೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ.ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ z= ಎಫ್(X, ವೈ) ನಿರಂತರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (7).

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಕ್ರಿಯೆಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮುಖ್ಯ, ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ, ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದ ಭಾಗ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

(8)

ಅಲ್ಲಿ α ಮತ್ತು β ಗಳು ಮತ್ತು ಮತ್ತು .

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು ಎಫ್(X, ವೈ) ಅದೇ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವಿಭಿನ್ನ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು, ಇವುಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆದೇಶಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ z=f(x, y)ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳ M 0 (x 0 , y 0)

Δ z \u003d f (x 0 + Δ x, y 0 + Δ y) - f (x 0, y 0).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ ಪಮತ್ತು ಪ್ರಒಟ್ಟು ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

Δz = PΔx + QΔy + ε Δρ,

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ε→ 0 ನಲ್ಲಿ Δρ→ 0 , ನಂತರ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ PΔx + QΔyಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z=f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ M0 (x0,y0).

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯದ ಪೂರ್ಣ ಹೆಚ್ಚಳವು ಎರಡು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಮೊದಲ ಭಾಗ PΔx + QΔyಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯವಾಗಿದೆ Δxಮತ್ತು Δy, ಎರಡನೆಯದು ಹೋಲಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ z=f(x,y)ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ dz, ಅಂದರೆ

dz = PΔx+QΔy.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಡಿಫರೆನ್ಶಿಬಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಒಂದು ವೇಳೆ u=f(M)ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು M0, ಆಗ ಅದರಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ನಿರಂತರತೆಯು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ. ನಿರಂತರ ಒಳಗೆ (0,0) , ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ - ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ಅಂತೆಯೇ, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಯಾವುದೇ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವಿಲ್ಲ ವೈ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ [ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿ]. ಒಂದು ವೇಳೆ z=f(x,y)ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮಾಡಬಹುದು M0, ನಂತರ ಇದು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ Xಮತ್ತು ವೈ, ಮತ್ತು

f′ x (x 0 ,y 0) = P, f′ y (x 0, y 0) = Q.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದಿಂದ ಭಿನ್ನತೆ ಅನುಸರಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆ:

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ , ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ನಿರಂತರವಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಪ್ರಮೇಯ [ವಿಭಿನ್ನತೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ]. ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ z=f(x,y)ಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ M0 (x0,y0)ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ M0, ನಂತರ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

Δ z \u003d f′ x (x 0, y 0)Δ x + f′ y (x 0, y 0)Δ y + ε Δρ,

ಎಲ್ಲಿ ε→ 0 ನಲ್ಲಿ Δρ→ 0 . ಆದ್ದರಿಂದ,

f(x 0 +Δ x,y 0 +Δ y) - f(x 0 ,y 0) ≈ f′ x (x 0 ,y 0)Δ x + f′ y (x 0 ,y 0)Δ y

f(x 0 +Δ x, y 0 +Δ y) ≈ f(x 0 ,y 0) + f′ x (x 0 , y 0)Δ x + f′ y (x 0 , y 0)Δ y.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಿರದಲ್ಲಿ Δxಮತ್ತು Δyಒಟ್ಟು ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ Xಮತ್ತು ವೈ:

ಹಾಕೋಣ dx=Δx, dy=Δyಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಿರಿ.

ನಂತರ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ವಾದಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ u=f(x, y, z)ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ ಪ, ಪ್ರ, ಆರ್ಅಂದರೆ

Δu = PΔx+QΔy+RΔz+εΔρ, ε→ 0ನಲ್ಲಿ δρ→ 0 ,

ನಂತರ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ

du = PΔx+QΔy+RΔz.

ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆಗ

ಎಲ್ಲಿ dx=Δx, dz=Δz, dz=Δz.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಎರಡನೇ-ಕ್ರಮದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ವೇಳೆ z=f(x,y), dz=z′ x dx+z′ y dy, ನಂತರ

ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ

ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಎಸ್, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

z=f(x, y).

ಇರಲಿ ಬಿಡಿ f(x, y)ಕೆಲವು ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಪರಿಗಣಿಸಿ M 0 (x 0 , y 0).

- ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಇಳಿಜಾರು M0ಸಮತಲದ ಮೂಲಕ ಮೇಲ್ಮೈಯ ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ y=y0, ಅಂದರೆ, ಸಾಲಿಗೆ z=f(x,y 0). ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ:

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0) (x-x 0), y=y 0.

ಅಂತೆಯೇ, ವಿಮಾನದಿಂದ ಒಂದು ವಿಭಾಗ x=x0ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ

z-z 0 =f′ y (x 0 , y 0)(y-y 0), x=x 0.

ಈ ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

z-z 0 \u003d f′ x (x 0, y 0)(x-x 0)+f′ y (x 0, y 0)(y-y 0)

ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಸ್ಹಂತದಲ್ಲಿ P 0 (x 0 , y 0 , z 0).

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ

z-z 0 =df.

ಹೀಗಾಗಿ, ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ: ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆ M0ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕಾಗಿ (x-x 0, y-y 0)ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲದ ಅನ್ವಯಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ z=f(x,y)ಹಂತದಲ್ಲಿ (x0, y0)ಅದೇ ಏರಿಕೆಗಳಿಗೆ.

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (x0, y0, z0) - \vec(n)=(f′ x (x 0 , y 0), f′ y (x 0 , y 0), -1). ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಾಲು P0ಮತ್ತು ಡೈರೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ \vec(n), ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ z=f(x,y)ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ. ಅವಳ ಸಮೀಕರಣಗಳು: