ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: ಅವು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು 1 6 ಅಭಾಗಲಬ್ಧದ ಮೂಲವಾಗಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಯಾವುವು? ಅವರನ್ನು ಏಕೆ ಹಾಗೆ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವು ಯಾವುವು? ಕೆಲವರು ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಹಿಂಜರಿಕೆಯಿಲ್ಲದೆ ಉತ್ತರಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅವರಿಗೆ ಉತ್ತರಗಳು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೂ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅಪರೂಪದ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ.

ಸಾರ ಮತ್ತು ಪದನಾಮ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದವು ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವ ಅಗತ್ಯವು ಹೊಸ ಉದಯೋನ್ಮುಖ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಹಿಂದೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ, ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಾಕಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಅಂಶದಿಂದಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ರ ವರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಮರುಕಳಿಸುವ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸದೆ ಸರಳವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಹ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಈ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು I ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುವಂತೆ, ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅದರ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿ -

ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ, ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ವಿದ್ಯಮಾನವನ್ನು 7 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಎದುರಿಸಿದರು, ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ಗೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ, ಅವರು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಲಂಬ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಮಾಡಿದರು. ಈ ಗುಂಪಿನ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಗಂಭೀರ ಕೊಡುಗೆಯನ್ನು ನಮ್ಮ ಯುಗದ ಮೊದಲು ಬದುಕಿದ್ದ ಕೆಲವು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಪರಿಚಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಗಣಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಷ್ಕರಣೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅವು ತುಂಬಾ ಮುಖ್ಯವಾಗಿವೆ.

ಹೆಸರಿನ ಮೂಲ

ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತವು "ಭಾಗ", "ಅನುಪಾತ" ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಪೂರ್ವಪ್ರತ್ಯಯ "ir"
ಪದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾದ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಹೆಸರು ಅವುಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಸ್ಥಳವಿದೆ. ಇದು ಅವರ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ವರ್ಗೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ, ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ, ಅವುಗಳು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಉಪವಿಭಾಗಗಳಿಲ್ಲ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಪ್ರಭೇದಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಭಾಗವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾದ ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು (ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಬೀಜಗಣಿತ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ) ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

a + b = b + a (ಕಮ್ಯುಟಾಟಿವಿಟಿ);

(a + b) + c = a + (b + c) (ಸಹಭಾಗಿತ್ವ);

a + (-a) = 0 (ವಿರುದ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ಅಬ್ = ಬಾ (ಸ್ಥಳಾಂತರ ಕಾನೂನು);

(ab)c = a(bc) (ವಿತರಣೆ);

a(b+c) = ab + ac (ವಿತರಣಾ ಕಾನೂನು);

a x 1/a = 1 (ವಿಲೋಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ);

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾನೂನುಗಳು ಮತ್ತು ತತ್ವಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹೋಲಿಕೆಯನ್ನು ಸಹ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

a > b ಮತ್ತು b > c ಆಗಿದ್ದರೆ, a > c (ಸಂಬಂಧದ ಟ್ರಾನ್ಸಿಟಿವಿಟಿ) ಮತ್ತು. ಇತ್ಯಾದಿ

ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಅಂಕಗಣಿತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ವಿಶೇಷ ನಿಯಮಗಳಿಲ್ಲ.

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ನ ಮೂಲತತ್ವದ ಕ್ರಿಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳು a ಮತ್ತು b ಗಳಿಗೆ, a ಅನ್ನು ಸಾಕಷ್ಟು ಬಾರಿ ಪದವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, b ಅನ್ನು ಮೀರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಬಳಕೆ

ಸಾಮಾನ್ಯ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ನೀವು ಆಗಾಗ್ಗೆ ಅವರೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಬಹಳಷ್ಟು ಇವೆ, ಆದರೆ ಅವು ಬಹುತೇಕ ಅಗೋಚರವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿರುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಪೈ ಸಂಖ್ಯೆ, 3.1415926... ಅಥವಾ ಇ, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ, 2.718281828... ಬೀಜಗಣಿತ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಸಮಯದಲ್ಲೂ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, "ಗೋಲ್ಡನ್ ಸೆಕ್ಷನ್" ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಅರ್ಥ, ಅಂದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಭಾಗದ ಅನುಪಾತವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ

ಈ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆ. ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿರುವ "ಬೆಳ್ಳಿ" - ಕೂಡ.

ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಅವು ತುಂಬಾ ದಟ್ಟವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳ ನಡುವೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಇನ್ನೂ ಹಲವು ಬಗೆಹರಿಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯತೆಯಂತಹ ಮಾನದಂಡಗಳಿವೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಅವರು ಒಂದು ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದವರು ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, e ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದರ ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕೆಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಇನ್ನೂ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಯುತ್ತಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಅಳತೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಎಷ್ಟು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯ

ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅತೀಂದ್ರಿಯವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ, ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವರ್ಗೀಕರಣವನ್ನು C ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿಭಜಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪದನಾಮದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ, ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೌಲ್ಯವು ಬಹುಪದದ ಮೂಲವಾಗಿರುವ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲವು ಈ ವರ್ಗದಲ್ಲಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು x 2 - 2 = 0 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ವೈವಿಧ್ಯತೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮತ್ತು ಈಗಾಗಲೇ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ - ಸಂಖ್ಯೆ ಪೈ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇ.

ಕುತೂಹಲಕಾರಿಯಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಮೂಲತಃ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಿಲ್ಲ, ಅವರ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಮತ್ತು ಅತಿಕ್ರಮಣವು ಅವರ ಆವಿಷ್ಕಾರದ ನಂತರ ಹಲವು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಸಾಬೀತಾಯಿತು. ಪೈಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಪುರಾವೆಯನ್ನು 1882 ರಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಯಿತು ಮತ್ತು 1894 ರಲ್ಲಿ ಸರಳಗೊಳಿಸಲಾಯಿತು, ಇದು ವೃತ್ತವನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ 2,500 ವರ್ಷಗಳ ವಿವಾದವನ್ನು ಕೊನೆಗೊಳಿಸಿತು. ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಏನನ್ನಾದರೂ ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ. ಮೂಲಕ, ಈ ಮೌಲ್ಯದ ಮೊದಲ ಸಾಕಷ್ಟು ನಿಖರವಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮಿಡಿಸ್ ನಡೆಸಿತು. ಅವನ ಮೊದಲು, ಎಲ್ಲಾ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ತುಂಬಾ ಅಂದಾಜು.

ಇ (ಯೂಲರ್ ಅಥವಾ ನೇಪಿಯರ್ ಸಂಖ್ಯೆ) ಗಾಗಿ, 1873 ರಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಕೃಷ್ಟತೆಯ ಪುರಾವೆ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಇತರ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬೀಜಗಣಿತದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸೈನ್, ಕೊಸೈನ್ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸೇರಿವೆ.

ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿವೆ? ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಒಂದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಇದನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ (ಎರಡು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಅನುಪಾತವಾಗಿ), ಅಲ್ಲಿ ಮೀಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ, ಎನ್- ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಅನಂತ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆನಿಖರವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. 3.333333 ಸ್ವರೂಪದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ…. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲ - ಒಂದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಂದರೇನು? ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ(ತರ್ಕಬದ್ಧವಾದವುಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ) ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಆವರ್ತಕವಲ್ಲದ ಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನೇಕ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಛಾಯೆಯಿಲ್ಲದೆ ದಪ್ಪದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅದು.:

ಆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ನೈಜ ಮತ್ತು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

• 2 ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿ ಡೆಡೆಕೈಂಡ್ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ, ಕೆಳವರ್ಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ವರ್ಗದಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ.
• ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.
• ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೀಜಗಣಿತ ಅಥವಾ ಅತೀಂದ್ರಿಯ.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೆಡೆ ದಟ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ: ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಇರುತ್ತದೆ.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲಿನ ಕ್ರಮವು ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನಲ್ಲಿರುವ ಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಕ್ ಆಗಿದೆ.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೆಟ್ ಅನಂತವಾಗಿದೆ, ಇದು 2 ನೇ ವರ್ಗದ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ.
• ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವು (0 ರಿಂದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಫಲಿತಾಂಶವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಅಥವಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.
• ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,ಇರಲಿ Xಅಭಾಗಲಬ್ಧ, ನಂತರ y=x*(-1)ಸಹ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ; x+y=0,ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಭಾಗಲಬ್ಧ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ಪದವಿಯ 7 ರ ಮೂಲವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಏಳು ಡಿಗ್ರಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ಮೈನಸ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನಾವು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ).

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — ಇ — π — δ

ಮತ್ತು ಅವರು ತಮ್ಮ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪದ "ಅನುಪಾತ" ದಿಂದ ಪಡೆದರು, ಇದರರ್ಥ "ಕಾರಣ". ಅಕ್ಷರಶಃ ಅನುವಾದವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ:

• ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು "ಸಮಂಜಸವಾದ ಸಂಖ್ಯೆ" ಆಗಿದೆ.
• ಕ್ರಮವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು "ಅಸಮಂಜಸ ಸಂಖ್ಯೆ" ಆಗಿದೆ.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಇದನ್ನು ಹೀಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

1. ಸಾಮಾನ್ಯ ಧನಾತ್ಮಕ ಭಾಗ.
2. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ.
3. ಶೂನ್ಯ (0) ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತವೆ:

• ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿ ಭಾಗಲಬ್ಧವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
• ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು.
• ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ, ಮತ್ತು ಅದು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಇಲ್ಲಿ ಅಪ್ರಸ್ತುತವಾಗುತ್ತದೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ.
• ಒಂದು ಮಿಶ್ರ ಸಂಖ್ಯೆ, ಒಂದು ಪರಿಮಿತ ದಶಮಾಂಶ ಭಾಗ ಅಥವಾ ಅನಂತ ಆವರ್ತಕ ಭಾಗವನ್ನು ಕೂಡ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು.

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

• ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು - "4", "202", "200".
• ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು - "-36", "0", "42".
• ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕ ಮತ್ತು ಋಣಾತ್ಮಕ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ 0 (ಶೂನ್ಯ), ಇದು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಆಗಿದೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ: "ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು x / y ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ x (ಸಂಖ್ಯೆ) ಒಂದು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y (ಛೇದ) a ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

"ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಜೊತೆಗೆ ನಾವು "ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯುವುದನ್ನು ಸಹ ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ಪುರಾತನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಹ, ಒಂದು ಚೌಕದ ಕರ್ಣವನ್ನು ಅದರ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಬಗ್ಗೆ ಕಲಿತರು.
ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನೀವು ತಾರ್ಕಿಕ ಸರಪಳಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು.
ಆದ್ದರಿಂದ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧವಲ್ಲದ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ.
ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಆವರ್ತಕ ಮತ್ತು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಂಡಂತೆ, ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಅಲ್ಲದ ಆವರ್ತಕ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

• ಸಂಖ್ಯೆ "-5.020020002 ... (ಎರಡನ್ನು ಒಂದು, ಎರಡು, ಮೂರು, ಇತ್ಯಾದಿ ಸೊನ್ನೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮದಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ)
• ಸಂಖ್ಯೆ "7.040044000444 ... (ಇಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ಒಂದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ).
• ಪೈ (3.1415 ...) ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಹೌದು, ಹೌದು - ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೂ ಆಗಿದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಇವೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ x / y ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ತೀರ್ಮಾನ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಹೋಲಿಕೆ

ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಉಳಿದಿದೆ:

1. ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ವೃತ್ತವನ್ನು ವ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ.
2. ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ನಾವು ನಮ್ಮ ಲೇಖನವನ್ನು ಕೆಲವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಕ್ತಾಯಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ನಡೆಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು 0 (ಶೂನ್ಯ) ದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶದಲ್ಲಿ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ.
• ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡುವಾಗ ಅಂತಿಮ ಫಲಿತಾಂಶವು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು.
• ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ (ಸೊನ್ನೆಯಿಂದ ಭಾಗಾಕಾರ ಅಥವಾ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ), ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶವು ನಮಗೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಯುನಿಟ್ ಉದ್ದದ ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿದ್ದರು: ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕರ್ಣೀಯ ಮತ್ತು ಚೌಕದ ಬದಿಯ ಅಸಮಂಜಸತೆಯನ್ನು ಅವರು ತಿಳಿದಿದ್ದರು, ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧವೆಂದರೆ:

ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯ ಪುರಾವೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

2 ರ ಮೂಲ

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ: ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲಾಗದ ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಭಾವಿಸಲಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡೋಣ:

ಇದರಿಂದ ಇದು ಸಹ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಹ ಮತ್ತು . ಪೂರ್ತಿ ಎಲ್ಲಿಗೆ ಬಿಡಿ. ನಂತರ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಹ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಹ ಮತ್ತು . ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಸಮವಾಗಿರುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಸಂಯಮಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೂಲ ಊಹೆಯು ತಪ್ಪಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ 3 ರ ಬೈನರಿ ಲಾಗರಿಥಮ್

ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ: ಇದು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಭಾಗವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ರಿಂದ, ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ನಂತರ

ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಇ

ಕಥೆ

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು 7 ನೇ ಶತಮಾನ BC ಯಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ಅಳವಡಿಸಿಕೊಂಡರು, ಮಾನವಾ (c. 750 BC - c. 690 BC) ಕೆಲವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಮೂಲಗಳನ್ನು 2 ಮತ್ತು 61 ನಂತಹ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಂಡರು.

ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಮೊದಲ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೆಟಾಪಾಂಟಸ್‌ನ ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ (c. 500 BC) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವರು ಪೆಂಟಗ್ರಾಮ್‌ನ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರ ಕಾಲದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದದ ಒಂದೇ ಘಟಕವಿದೆ ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿತ್ತು, ಸಾಕಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅವಿಭಾಜ್ಯವಾಗಿದೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಬಾರಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಉದ್ದದ ಏಕೈಕ ಘಟಕವಿಲ್ಲ ಎಂದು ವಾದಿಸಿದರು, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಊಹೆಯು ವಿರೋಧಾಭಾಸಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಯುನಿಟ್ ವಿಭಾಗಗಳ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಮ ಮತ್ತು ಬೆಸ ಎರಡೂ ಆಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅವರು ತೋರಿಸಿದರು. ಪುರಾವೆ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

• ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಕಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನ ಉದ್ದದ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಎ:ಬಿ, ಎಲ್ಲಿ ಎಮತ್ತು ಬಿಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ.
• ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ: ಎ² = 2 ಬಿ².
• ಅಂತೆ ಎ² ಸಹ, ಎಸಮವಾಗಿರಬೇಕು (ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವು ಬೆಸವಾಗಿರುವುದರಿಂದ).
• ಇಲ್ಲಿವರೆಗಿನ ಎ:ಬಿತಗ್ಗಿಸಲಾಗದ ಬಿಬೆಸವಾಗಿರಬೇಕು.
• ಅಂತೆ ಎಸಹ, ಸೂಚಿಸಿ ಎ = 2ವೈ.
• ನಂತರ ಎ² = 4 ವೈ² = 2 ಬಿ².
• ಬಿ² = 2 ವೈ², ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿನಂತರ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಿಸಹ.
• ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಬಿಬೆಸ. ವಿರೋಧಾಭಾಸ.

ಗ್ರೀಕ್ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಈ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸಲಾಗದ ಪ್ರಮಾಣ ಎಂದು ಕರೆದರು ಲೋಗೋಗಳು(ಅವ್ಯಕ್ತ), ಆದರೆ ದಂತಕಥೆಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್‌ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಗೌರವವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್ ಸಮುದ್ರಯಾನದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಈ ಆವಿಷ್ಕಾರವನ್ನು ಮಾಡಿದ ಮತ್ತು ಇತರ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ನರು "ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಸಮುದ್ರಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟರು" ಎಂಬ ದಂತಕಥೆಯಿದೆ, ಇದು ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ಎಲ್ಲಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಅನುಪಾತಗಳಿಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತದೆ. " ಹಿಪ್ಪಾಸಸ್‌ನ ಆವಿಷ್ಕಾರವು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಗಣಿತಕ್ಕೆ ಗಂಭೀರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ತಂದೊಡ್ಡಿತು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವಸ್ತುಗಳು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗದವು ಎಂಬ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಆಧಾರವಾಗಿರುವ ಊಹೆಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸಿತು.

ಸಹ ನೋಡಿ

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು

1. ಪುರಾವೆಗಳು ಅನುಮಾನಾತ್ಮಕ ತಾರ್ಕಿಕತೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಅವು ಅನುಗಮನದ ಅಥವಾ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಾದಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿವೆ. ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರತಿಪಾದನೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸತ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬೇಕು, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದರಲ್ಲೂ ಸಮರ್ಥನೆಯು ಇದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾದ ಅಥವಾ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗೀಕರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ವಿದ್ಯಮಾನಗಳು ಅಥವಾ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿರಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, "ಎರಡರ ವರ್ಗಮೂಲ" ದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆ ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
2. ಇಲ್ಲಿ ಟೋಪೋಲಜಿಯ ಹಸ್ತಕ್ಷೇಪವನ್ನು ವಸ್ತುಗಳ ಸ್ವಭಾವದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೀಜಗಣಿತದ ಮಾರ್ಗವಿಲ್ಲ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ, ನಿಮ್ಮ ಆಯ್ಕೆಯು ನಿಮ್ಮದಾಗಿದೆ: 1 + 1 /2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 ಅಥವಾ 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
ನೀವು "ಬೀಜಗಣಿತ" ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +...= 2 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, n/m ∈ ℚ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಒಂದು ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.ಇದು ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮುಚ್ಚುವಿಕೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ℚ, ಆದರೆ ಇದು ಸ್ಥಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಏಕತ್ವವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ ಫಿಬೊನಾಕಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
ಇದು ನಿರಂತರ ಹೋಮೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ℚ → I ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂನ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಬೀಜಗಣಿತದ ಮೂಲತತ್ವಗಳ ತಾರ್ಕಿಕ ಪರಿಣಾಮವಲ್ಲ ಎಂದು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು.