ಒಂದು ಕಾರ್ಯದ ಖಾಸಗಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಖಾಸಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಗಳು z = f(x, y ವೇರಿಯಬಲ್ x ಮೂಲಕಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವೇರಿಯಬಲ್ y ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ z "x.

ಖಾಸಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಗಳು z = f(x, y) ವೇರಿಯಬಲ್ y ಮೂಲಕ y ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ z "y.

ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಅನುಗುಣವಾದ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಫಂಕ್ಷನ್ z = f(x, y) ಕೆಲವು ಹಂತದಲ್ಲಿ M(X, y) ಅನ್ನು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು M(x, y), ಮತ್ತು dx = , dy = y ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 ಬಿಂದು M (1; 2) ನಲ್ಲಿ

ನಿರ್ಧಾರ:

1) ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

2) M(1; 2) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

ಸ್ವಯಂ ನಿಯಂತ್ರಣಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು:

1. ಯಾವುದನ್ನು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್‌ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

2. ಯಾವುದನ್ನು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

3. ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

4. ಮೂಲ ಏಕೀಕರಣ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

5. ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಏಕೀಕರಣ ವಿಧಾನಗಳು ಗೊತ್ತು?

6. ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರದ ಸಾರ ಏನು?

7. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಿ.

8. ಬದಲಿ ವಿಧಾನದಿಂದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

9. ಭಾಗಗಳ ಮೂಲಕ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು?

10. ಯಾವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

11. ಯಾವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೂರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

12. ಯಾವ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

13. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮುಚ್ಚಿದ ಪ್ರದೇಶ ಡಿ ಅನ್ನು ಯಾವ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ಒಬ್ಬರು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು?

14. ವೇರಿಯೇಬಲ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ z \u003d f (x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

15. ವೇರಿಯೇಬಲ್ y ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ z \u003d f (x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಏನು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ? ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ?

16. ಯಾವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ವಿಷಯ 1.2 ಸಾಮಾನ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುವ ತೊಂದರೆಗಳು. ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಖಾಸಗಿ ಪರಿಹಾರಗಳು. ಮೊದಲ ಕ್ರಮದ ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು. ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡನೇ ಕ್ರಮದ ರೇಖೀಯ ಏಕರೂಪದ ಸಮೀಕರಣಗಳು.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ ಸಂಖ್ಯೆ 7 "ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು" *

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ ಸಂಖ್ಯೆ 8 "ರೇಖೀಯ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು"

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ ಸಂಖ್ಯೆ 9 "ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ 2 ನೇ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪರಿಹಾರ" *

L4, ಅಧ್ಯಾಯ 15, ಪುಟಗಳು 243 - 256

ಮಾರ್ಗಸೂಚಿಗಳು

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸ ಸಂಖ್ಯೆ 2

"ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್"

ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ.

ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು (ಆರಂಭಿಕ ಹಂತ):

1. ಒಂದು ತೀವ್ರತೆಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕಾಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಬಳಕೆ.

2. ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಅದರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.

3. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

4. ಅನೇಕ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ ದೇಹದ ಸ್ಥಿತಿ.

5. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು.

6. ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

7. ಫಾರ್ಮಾಕೊಕಿನೆಟಿಕ್ಸ್, ಮೈಕ್ರೋಬಯಾಲಜಿ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

(ಸ್ವಯಂ ತರಬೇತಿ)

1. ಪಾಠದ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಿ;

2. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು

y = f(x) ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿಯು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [a, b] ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಲು

y=f(x) ಕಾರ್ಯದ ಷರತ್ತು [a, b] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ

x= a ನಲ್ಲಿ y=f(x) ಗರಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಿತಿ

f"(a)=0 ಮತ್ತು f""(a)<0

x \u003d a ಗಾಗಿ derivatives f "(a) \u003d 0 ಮತ್ತು f "(a) \u003d 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, x \u003d a ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ f "(x) ಅನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. x \u003d a ಗೆ y \u003d f (x) ಗರಿಷ್ಠ , x \u003d ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಮತ್ತು f "(x) ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು "+" ನಿಂದ "-" ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - "-" ನಿಂದ "+" ಗೆ x = a ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ f "(x) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದಿದ್ದರೆ, ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್.

ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅದರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ y=f(x)

y=u±v ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೊತ್ತದ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ವ್ಯತ್ಯಾಸ

y=uv ಎಂಬ ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

y=u/v ಎರಡು ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಂಶ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

dy=(vdu-udv)/v 2

ಕಾರ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳ

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

ಇಲ್ಲಿ Δx: ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಪರೋಕ್ಷ ಮಾಪನಗಳಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ u = f(x, y, z.). ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷ

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

ಮಾಪನ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಾಪೇಕ್ಷ ದೋಷ

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್.

ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಮತ್ತು.ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಉತ್ಪನ್ನದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟ ಸಂಬಂಧ ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ f(x)ನೀಡಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ನಿರಂತರ Xಮತ್ತು ಒಂದು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ಡಿ f/Dx = f¢(x) + a(Dx), ಫಂಕ್ಷನ್ ಇನ್ಕ್ರಿಮೆಂಟ್ ಎಲ್ಲಿಂದ Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx,ಎಲ್ಲಿ a(Dx) ® 0ನಲ್ಲಿ Dx ® 0. ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ f¢(x)Dx Dx.:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಂತ f¢(x)Dxಮತ್ತು Dxಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದ ಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಅಂದರೆ f¢(x)Dx = O.

ಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮ ಕ್ರಮವನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ a(Dх)Dхಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ Dx:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನಂತ a(Dх)Dхಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಣ್ಣತನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ Dx, ಅಂದರೆ a(Dx)Dx = o.

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಪರಿಮಿತ ಹೆಚ್ಚಳ Dfವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಎರಡು ಪದಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಒಂದು ಅನಂತ f¢(x)Dxಜೊತೆ ಸಣ್ಣತನದ ಅದೇ ಕ್ರಮದ Dxಮತ್ತು ಅನಂತ a(Dх)Dхಅನಂತಸೂಕ್ಷ್ಮಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಸಣ್ಣತನದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮ Dx.ಇದರರ್ಥ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxನಲ್ಲಿ Dx® 0ಎರಡನೆಯ ಪದವು ಮೊದಲನೆಯದಕ್ಕಿಂತ "ವೇಗವಾಗಿ" ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. a(Dx)Dx = o.

ಮೊದಲ ಅವಧಿ f¢(x)Dx,ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ Dx, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಕಾರ್ಯ ಭೇದಾತ್ಮಕ f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿ Xಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಿ dyಅಥವಾ df("ಡಿ ಗೇಮ್" ಅಥವಾ "ಡಿ ಎಫ್" ಓದಿ). ಆದ್ದರಿಂದ,

dy = df = f¢(x)Dx.

ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥಕ್ರಿಯೆಯ ಭೇದಾತ್ಮಕತೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶದಲ್ಲಿದೆ Df, ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ರೇಖೀಯ Dx. ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಇನ್‌ಕ್ರಿಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಅಪರಿಮಿತವಾದ ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Dx. ನಿಜವಾಗಿಯೂ, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dxಅಥವಾ Df = df + a(Dx)Dx . ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ dxಅದರ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ Dx: dx=Dx.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ f(x) = x 3 + 2x,ಯಾವಾಗ X 1 ರಿಂದ 1.1 ರವರೆಗೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಧಾರ.ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು dx=Dx=1.1–1= 0.1ಮತ್ತು x=1ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ನ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: df½ x=1; = 0,5.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

ಮೊದಲ ಆದೇಶದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. z = f(x,y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೊದಲ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ) ವಾದದ ಮೂಲಕ Xಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಹಂತದಲ್ಲಿ (x; y)ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ.

ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ z = f(x, y)ವಾದದ ಮೂಲಕ Xಕೆಳಗಿನ ಅಕ್ಷರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಂತೆಯೇ, ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ನಲ್ಲಿಸೂತ್ರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ವಾದದ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಎಲ್ಲಾ ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಪ್ರತಿ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವ ವಾದಗಳನ್ನು "ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ" ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು "ವ್ಯತ್ಯಾಸ ವೇರಿಯಬಲ್" ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ.ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ x - df/dx, ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ f(x,y),ಎರಡನೆಯದು ಒಂದು ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ X, ಎ ನಲ್ಲಿ- ಶಾಶ್ವತ; ಹುಡುಕಲು df/dy- ಪ್ರತಿಕ್ರಮದಲ್ಲಿ.

ಉದಾಹರಣೆ.ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ f(x,y) = 2x2 + y2ಹಂತದಲ್ಲಿ ಪಿ(1;2).

ನಿರ್ಧಾರ.ಎಣಿಕೆ f(x,y)ಏಕ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಕಾರ್ಯ Xಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಹಂತದಲ್ಲಿ P(1;2)ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯ

f(x; y) ಅನ್ನು ಒಂದು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ y ನ ಕಾರ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಹಂತದಲ್ಲಿ P(1;2)ಉತ್ಪನ್ನ ಮೌಲ್ಯ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಕೆಲಸಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯ:

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಕೆಳಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

1. 0.01 cm ರಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾದರೆ x = 10 cm ಬದಿಯ ಚೌಕದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ?

2. ದೇಹದ ಚಲನೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: y=t 3 /2+2t 2, ಅಲ್ಲಿ s ಅನ್ನು ಮೀಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, t ಸೆಕೆಂಡುಗಳಲ್ಲಿ. ಚಲನೆಯ ಪ್ರಾರಂಭದಿಂದ t=1.92 ಸೆಗಳಲ್ಲಿ ದೇಹವು ಆವರಿಸಿರುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸಾಹಿತ್ಯ

1. ಲೋಬೋಟ್ಸ್ಕಯಾ ಎನ್.ಎಲ್. ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು - M .: "ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್", 1978.C198-226.

2. ಬೈಲಿ ಎನ್. ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ವೈದ್ಯಕೀಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ. ಪ್ರತಿ. ಇಂಗ್ಲೀಷ್ ನಿಂದ. ಎಂ.: ಮೀರ್, 1970.

3. ರೆಮಿಜೋವ್ A.N., ಇಸಾಕೋವಾ N.Kh., ಮಕ್ಸಿನಾ L.G. ವೈದ್ಯಕೀಯ ಮತ್ತು ಜೈವಿಕ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಸಂಗ್ರಹ - M .: "ಹೈಯರ್ ಸ್ಕೂಲ್", 1987. C16-20.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಮೌಲ್ಯ zಎಂದು ಕರೆದರು ಎರಡು ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ xಮತ್ತು ವೈ, ಈ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಪ್ರತಿ ಜೋಡಿ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ಪ್ರಮಾಣದ ಒಂದು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ z.ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು Xಮತ್ತು ವೈಎಂದು ಕರೆದರು ವಾದಗಳುಕಾರ್ಯಗಳು.

ಅಂತಹ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

Z = f (x, y),(1)

ಕಾರ್ಯದ ನಿಜವಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ x ಮತ್ತು y ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು z,ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ, ಮತ್ತು x ಮತ್ತು y ಮೌಲ್ಯಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ ಜೋಡಿಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು.

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಅದರ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಭಾಗಶಃ ಏರಿಕೆಗಳುಪ್ರತಿ ವಾದಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಪೂರ್ಣ ಹೆಚ್ಚಳ.

ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ z=f (x,y) ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳ Δ x z x ಎಂಬುದು ಅದರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು ಪಡೆಯುವ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ Δxಅದೇ ಜೊತೆ ವೈ:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

y ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ z= f (x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಏರಿಕೆ Δ y z ಎಂಬುದು y ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯವು x ನೊಂದಿಗೆ Δy ಅನ್ನು x ನೊಂದಿಗೆ Δy ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಪಡೆಯುವ ಹೆಚ್ಚಳವಾಗಿದೆ:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

ಪೂರ್ಣ ಹೆಚ್ಚಳ Δzಕಾರ್ಯಗಳು z= f (x, y)ವಾದಗಳಿಂದ Xಮತ್ತು ವೈಅದರ ಎರಡೂ ವಾದಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಸ್ವೀಕರಿಸುವ ಹೆಚ್ಚಳ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

ಸಾಕಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಏರಿಕೆಗಳಿಗೆ Δxಮತ್ತು Δyಕಾರ್ಯ ವಾದಗಳು

ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ ಇದೆ:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

ಮತ್ತು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿದೆ, ಕಡಿಮೆ Δxಮತ್ತು Δy.

ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

(x, y) ಹಂತದಲ್ಲಿ x ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ z=f (x, y) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳ ಅನುಪಾತದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ∆xzಈ ಕಾರ್ಯವು ಅನುಗುಣವಾದ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ Δxವಾದ x ಪ್ರಯತ್ನಿಸುವಾಗ Δx 0 ಗೆ ಮತ್ತು ಈ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಒದಗಿಸಲಾಗಿದೆ:

, (6)

ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ z=f (x, y)ವಾದದ ಮೂಲಕ ವೈ:

ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಂಕೇತದ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, z΄ x, f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮುಖ್ಯ ಅರ್ಥವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ: ಅದರ ಯಾವುದೇ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವಾದವು ಬದಲಾದಾಗ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ದರವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಈ ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1.ಕಾರ್ಯಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

f (x, y)= x 2 + y 3

ನಿರ್ಧಾರ. ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ y ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

;

y ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಾಗ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ x ಅನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು

ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸ-ಒಂದೋ ಅದರ ವಾದಗಳಿಂದನೀಡಿದ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮತ್ತು ಈ ವಾದದ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ:

dxz=,(7)

dyz= (8)

ಇಲ್ಲಿ d x zಮತ್ತು d y z- ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು z= f (x, y)ವಾದಗಳಿಂದ Xಮತ್ತು ವೈ.ಇದರಲ್ಲಿ

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

ಪೂರ್ಣ ವ್ಯತ್ಯಾಸಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

dz= d x z + d y z, (10)

ಉದಾಹರಣೆ 2ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ f (x, y)= x 2 + y 3 .

ಈ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಉದಾಹರಣೆ 1 ರಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಕಾರ್ಯದ ಅನುಗುಣವಾದ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಬ್ಬರು ಬರೆಯಬಹುದು:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

ಒಟ್ಟು ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್‌ನ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥವೆಂದರೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ..

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಂದಾಜು ಸಮಾನತೆ ಇದೆ

∆zdz, (12)

ಸೂತ್ರದ ಬಳಕೆ (12) ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ Δzಎಂದು

f (x + Δx; y + Δy) - f (x, y)

ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಉದ್ದೇಶ:

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು:

1. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.

2. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

3. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ನಿರ್ಣಯ.

4. ಅದರ ಯಾವುದೇ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥ.

5. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿರ್ಣಯ.

6. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ನಿರ್ಣಯ.

7. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ಸಮರ್ಥರಾಗಿರಬೇಕು:

1. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಖಾಸಗಿ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಏರಿಕೆಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

2. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

3. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

4. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಭಾಗ:

1. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ.

2. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯ. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳ.

3. ಹಲವಾರು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ.

4. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

5. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸ.

6. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಭಾಗ:

1.ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 ಪಾಪ 2 y; 6) .

4. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಾದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

5. ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯದ ಭಾಗಶಃ ಮತ್ತು ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಏನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ? ಅವು ಹೇಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ?

6. ಜ್ಞಾನದ ಅಂತಿಮ ಹಂತವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳ ಪಟ್ಟಿ:

1. ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಒಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚಳವು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಶಃ ಏರಿಕೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆಯೇ?

2. ಅದರ ಯಾವುದೇ ವಾದಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮುಖ್ಯ ಅರ್ಥವೇನು?

3. ಒಟ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಅರ್ಥವೇನು?

7. ಪಾಠದ ಟೈಮ್‌ಲೈನ್:

1. ಸಾಂಸ್ಥಿಕ ಕ್ಷಣ - 5 ನಿಮಿಷಗಳು.

2. ವಿಷಯದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ - 20 ನಿಮಿಷ.

3. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು - 40 ನಿಮಿಷಗಳು.

4. ಜ್ಞಾನದ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಿಯಂತ್ರಣ -30 ನಿಮಿಷ.

5. ಪಾಠದ ಸಾರಾಂಶ - 5 ನಿಮಿಷ.

8. ಪಾಠಕ್ಕಾಗಿ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪಟ್ಟಿ:

1. ಮೊರೊಜೊವ್ ಯು.ವಿ. ಉನ್ನತ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು. M., "ಮೆಡಿಸಿನ್", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. ಪಾವ್ಲುಷ್ಕೋವ್ I.V. ಮತ್ತು ಇತರರು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳು. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

ಫಂಕ್ಷನ್ ರೇಖೀಕರಣ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಪ್ಲೇನ್ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈ ಸಾಮಾನ್ಯ.

ಉನ್ನತ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು.

1. FNP ಯ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು *)

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು = ಎಫ್(ಪಿ), RÎDÌR ಎನ್ಅಥವಾ, ಅದೇ

ಮತ್ತು = ಎಫ್(X 1 , X 2 , ..., x n).

ನಾವು ಅಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ X 2 , ..., x n, ಮತ್ತು ವೇರಿಯೇಬಲ್ X 1 D ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸೋಣ Xಒಂದು . ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತುಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ

= ಎಫ್ (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – ಎಫ್(X 1 , X 2 , ..., x n).

ಈ ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ಹೆಚ್ಚಳಕಾರ್ಯಗಳು ಮತ್ತುವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ X 1 .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 7.1.ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು = ಎಫ್(X 1 , X 2 , ..., x n) ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ X 1 ಎಂಬುದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಭಾಗಶಃ ಹೆಚ್ಚಳದ ಅನುಪಾತದ ಮತ್ತು ವಾದದ D ಯ ಹೆಚ್ಚಳದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ X 1 ರಂದು ಡಿ X 1 ® 0 (ಈ ಮಿತಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ).

ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ X 1 ಅಕ್ಷರಗಳು

ಆದ್ದರಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ

ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. X 2 , ..., x n. ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನೋಡಬಹುದು x iಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ x iಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿದಾಗ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಯು = X 3 + 3xy – z 2 ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ನೀಡಿದರೆ, ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅದರ ಮೂಲಕ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ.

ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಸಮೀಕರಣ F( X, ವೈ) = 0 ಒಂದು ವೇರಿಯಬಲ್‌ನ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ X. ನ್ಯಾಯೋಚಿತ

ಪ್ರಮೇಯ 7.1.

ಎಫ್( X 0 , ವೈ 0) = 0 ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಗಳು F( X, ವೈ), F¢ X(X, ವೈ), F¢ ನಲ್ಲಿ(X, ವೈಬಿಂದುವಿನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ( X 0 , ನಲ್ಲಿ 0), ಮತ್ತು F¢ ನಲ್ಲಿ(X 0 , ವೈ 0) ¹ 0. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ ನಲ್ಲಿ, ಎಫ್() ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ X, ವೈ) = 0, ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದೆ ( X 0 , ವೈ 0) ಉತ್ಪನ್ನ, ಇದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಪ್ರಮೇಯದ ಷರತ್ತುಗಳು DÌ R 2 ಡೊಮೇನ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ತೃಪ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ .

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ X 3 –2ನಲ್ಲಿ 4 + ಅದ್ಭುತ+ 1 = 0 ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಈಗ ಸಮೀಕರಣ F( X, ವೈ, z) = 0 ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸೂಚ್ಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಮತ್ತು . ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಿಂದ Xಸ್ಥಿರ (ಸ್ಥಿರ) ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪಾದಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ನಲ್ಲಿ, ನಂತರ ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತೆ F( X, ವೈ= const, z) = 0 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ zಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕಾರ್ಯವಾಗಿ Xಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯ 7.1 ರ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಅಂತೆಯೇ .

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೂಚ್ಯವಾಗಿ ನೀಡಿದ ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ , ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ,

ವಸ್ತುವಿನ ಸಂಕೇತ ಮತ್ತು ಪ್ರಸ್ತುತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲು, ನಾವು ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮನ್ನು ನಿರ್ಬಂಧಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅನುಸರಿಸುವ ಎಲ್ಲವೂ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಖಾಸಗಿ ಉತ್ಪನ್ನಕಾರ್ಯಗಳು z = f(x, y) ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ Xಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಸ್ಥಿರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ.

ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ನಲ್ಲಿ.

ಭಾಗಶಃ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರಗಳು ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನದ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ವಾದದ ಹೆಚ್ಚಳ X(y) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಖಾಸಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇರಿಯಬಲ್ ಮೂಲಕ X(ನಲ್ಲಿ) ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರ ಕಾರ್ಯಗಳು z = f(x, y) (ಚಿಹ್ನೆಗಳು:):

ಸ್ವತಂತ್ರ ವೇರಿಯಬಲ್ನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ dx(dy) ಹೆಚ್ಚಳವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ X(ನಲ್ಲಿ), ನಂತರ

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ z = f(x, y) ಅದರ ಆವರ್ತನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು .

ಒಂದು ಬಿಂದು, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಪ 0 (X 0 ,ವೈ 0 , z 0) ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ z = f(X,ನಲ್ಲಿ) ಮತ್ತು ಕರ್ವ್ ಎಲ್, ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ಸಮತಲದಿಂದ ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ y = y 0 ಈ ವಕ್ರರೇಖೆಯನ್ನು ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್‌ನಂತೆ ವೀಕ್ಷಿಸಬಹುದು z = f(x, y) ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ y = y 0 ನೀವು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ ಆರ್ 0 (X 0 , ವೈ 0 , z 0) ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಲ್, ನಂತರ, ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಉತ್ಪನ್ನದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥದ ಪ್ರಕಾರ , ಎಲ್ಲಿ ಎ – ಧನಾತ್ಮಕ ಅಕ್ಷದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸ್ಪರ್ಶಕದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ಓಹ್.