Կանգնած առաձգական ալիքներ օղակաձև մարմնում: Կանգնած ալիքներ

Գլուխ 7. Մեխանիկական ալիքներ

Ալիքներ. Ալիքի հավասարում

Ի լրումն այն շարժումների, որոնք մենք արդեն դիտարկել ենք, ֆիզիկայի գրեթե բոլոր ոլորտներում հայտնաբերվում է ևս մեկ տեսակի շարժում. ալիքներ. Տարբերակիչ հատկանիշԱյս շարժումը յուրահատուկ է դարձնում այն, որ ալիքի մեջ տարածվում են ոչ թե նյութի մասնիկները, այլ դրանց վիճակի փոփոխությունը (խառնաշփոթներ):

Տարածության մեջ ժամանակի ընթացքում տարածվող խանգարումները կոչվում են ալիքներ . Ալիքները լինում են մեխանիկական և էլեկտրամագնիսական։

Էլաստիկ ալիքներտարածում են առաձգական միջավայրի խանգարումներ։

Առաձգական միջավայրի խանգարում է համարվում այս միջավայրի մասնիկների ցանկացած շեղում հավասարակշռության դիրքից: Խանգարումներ են առաջանում ինչ-որ տեղ միջավայրի դեֆորմացիայի արդյունքում։

Բոլոր կետերի ամբողջությունը, ուր հասավ ալիքը այս պահինժամանակ, ձևավորում է մակերես, որը կոչվում է ալիքի ճակատ .

Ըստ ճակատի ձևի՝ ալիքները բաժանվում են գնդաձև և հարթ։ Ուղղություն որոշվում է ալիքի ճակատի տարածումըալիքի ճակատին ուղղահայաց, կոչվում է ճառագայթ . Համար գնդաձև ալիքճառագայթները շառավղային շեղվող ճառագայթ են: Հարթ ալիքի համար ճառագայթները զուգահեռ գծերի ճառագայթ են:

Ցանկացած մեխանիկական ալիքում միաժամանակ երկու տեսակի շարժում կա՝ միջավայրի մասնիկների թրթռումներ և խանգարումների տարածում։

Այն ալիքը, որում միջավայրի մասնիկների տատանումները և խանգարումների տարածումը տեղի են ունենում նույն ուղղությամբ, կոչվում է. երկայնական (Նկար 7.2 Ա).

Այն ալիքը, որում միջավայրի մասնիկները տատանվում են խանգարումների տարածման ուղղությանը ուղղահայաց կոչվում է. լայնակի (նկ. 7.2 բ):

Երկայնական ալիքում խանգարումները ներկայացնում են միջավայրի սեղմումը (կամ հազվադեպությունը), իսկ լայնակի ալիքի դեպքում խանգարումները ներկայացնում են միջավայրի որոշ շերտերի տեղաշարժեր (կտրում) մյուսների համեմատ: Երկայնական ալիքները կարող են տարածվել բոլոր միջավայրերում (հեղուկ, պինդ և գազային), մինչդեռ լայնակի ալիքները կարող են տարածվել միայն պինդ միջավայրերում։

Յուրաքանչյուր ալիք շարժվում է որոշակի արագությամբ . Տակ ալիքի արագությունը υ հասկանալ խանգարումների տարածման արագությունը.Ալիքի արագությունը որոշվում է այն միջավայրի հատկություններով, որոնցում ալիքը տարածվում է: IN պինդ նյութերարագություն երկայնական ալիքներավելի մեծ, քան կողային արագությունը:

Ալիքի երկարությունλ-ն այն հեռավորությունն է, որի վրա ալիքը տարածվում է իր աղբյուրում տատանումների ժամանակաշրջանին հավասար ժամանակում. Քանի որ ալիքի արագությունը հաստատուն արժեք է (տվյալ միջավայրի համար), ալիքի անցած հեռավորությունը հավասար է արագության և դրա տարածման ժամանակի արտադրյալին։ Այսպիսով, ալիքի երկարությունը

(7.1) հավասարումից հետևում է, որ λ միջակայքով միմյանցից բաժանված մասնիկները տատանվում են նույն փուլում։ Այնուհետև կարող ենք տալ ալիքի երկարության հետևյալ սահմանումը. ալիքի երկարությունը նույն փուլում տատանվող երկու ամենամոտ կետերի միջև հեռավորությունն է:

Բերենք հարթ ալիքի հավասարումը, որը թույլ է տալիս ցանկացած պահի որոշել ալիքի ցանկացած կետի տեղաշարժը: Թող ալիքը ճառագայթի երկայնքով տարածվի աղբյուրից որոշակի արագությամբ v.

Աղբյուրը գրգռում է պարզ ներդաշնակ տատանումներ, և ալիքի ցանկացած կետի տեղաշարժը ցանկացած պահի որոշվում է հավասարմամբ.

S = Asinωt (7.2)

Այնուհետև միջավայրի մի կետը, որը գտնվում է ալիքի աղբյուրից x հեռավորության վրա, նույնպես կկատարի ներդաշնակ տատանումներ, բայց ժամանակային ուշացումով, այսինքն. աղբյուրից մինչև այս կետը թրթռումների տարածման համար պահանջվող ժամանակը: Հավասարակշռության դիրքի նկատմամբ տատանվող կետի տեղաշարժը ցանկացած պահի նկարագրվելու է կապով.

Սա հարթ ալիքի հավասարումն է: Այս ալիքը բնութագրվում է հետևյալ պարամետրերը:

· S - առաձգական միջավայրի այն կետի հավասարակշռության դիրքից տեղաշարժը, որին հասել է տատանումը.

· ω - աղբյուրի կողմից առաջացած տատանումների ցիկլային հաճախականություն, որով տատանվում են նաև միջավայրի կետերը.

· υ - ալիքի տարածման արագություն (փուլային արագություն);

x-ը տարածությունն է միջավայրի այն կետին, որտեղ հասել է տատանումը և որի տեղաշարժը հավասար է S-ի;

t – տատանումների սկզբից հաշվված ժամանակը;

Ներդրելով λ ալիքի երկարությունը արտահայտության մեջ (7.3), հարթ ալիքի հավասարումը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(7. 4)

Ալիքային միջամտություն. Կանգնած ալիքներ. Մշտական ​​ալիքի հավասարումը

Կանգնած ալիքները ձևավորվում են նույն ω և A ամպլիտուդով երկու հակատարածվող հարթ ալիքների միջամտության արդյունքում։

Պատկերացնենք, որ S կետում կա վիբրատոր, որից հարթ ալիք է տարածվում SO ճառագայթի երկայնքով։ Հասնելով O կետի խոչընդոտին, ալիքը կանդրադառնա և կգնա հակառակ ուղղությամբ, այսինքն. Երկու ճամփորդող հարթ ալիքներ տարածվում են ճառագայթի երկայնքով՝ առաջ և հետընթաց: Այս երկու ալիքները համահունչ են, քանի որ դրանք գեներացվել են միևնույն աղբյուրից և, միմյանց վրա դրված, կխանգարեն միմյանց:

Միջավայրի տատանողական վիճակը, որն առաջանում է միջամտությունից, կոչվում է կանգուն ալիք։

Եկեք գրենք առաջ և հետընթաց ընթացող ալիքների հավասարումը.

ուղիղ - ; հակադարձ -

որտեղ S 1 և S 2-ը SO ճառագայթի կամայական կետի տեղաշարժն են: Հաշվի առնելով գումարի սինուսի բանաձևը, ստացված տեղաշարժը հավասար է

Այսպիսով, կանգնած ալիքի հավասարումն ունի ձևը

Cosωt բազմապատկիչը ցույց է տալիս, որ SO ճառագայթի վրա գտնվող միջավայրի բոլոր կետերը հաճախականությամբ կատարում են պարզ ներդաշնակ տատանումներ։ Արտահայտությունը կոչվում է կանգնած ալիքի ամպլիտուդ: Ինչպես տեսնում եք, ամպլիտուդան որոշվում է SO (x) ճառագայթի վրա կետի դիրքով:

Առավելագույն արժեքըամպլիտուդները կունենան կետեր, որոնց համար

Կամ (n = 0, 1, 2,….)

որտեղից, կամ (4.70)

կանգնած ալիքի հականոդներ .

Նվազագույն արժեքը , հավասար է զրոյի, կունենա այն միավորները, որոնց համար

Կամ (n = 0, 1, 2,….)

որտեղից կամ (4.71)

Նման կոորդինատներ ունեցող կետերը կոչվում են կանգնած ալիքային հանգույցներ . Համեմատելով (4.70) և (4.71) արտահայտությունները՝ տեսնում ենք, որ հարևան հակահանգույցների և հարևան հանգույցների միջև հեռավորությունը հավասար է λ/2:

Նկարում ամուր գիծցույց է տալիս միջավայրի տատանվող կետերի տեղաշարժը ժամանակի որոշակի պահին, կետավոր կորը ցույց է տալիս նույն կետերի դիրքը T/2 միջով: Յուրաքանչյուր կետ թրթռում է վիբրատորից (x) հեռավորությունից որոշված ​​ամպլիտուդով:

Ի տարբերություն շրջող ալիքի, կանգուն ալիքում էներգիայի փոխանցում չի կատարվում: Էներգիան պարզապես անցնում է պոտենցիալից (միջավայրի կետերի առավելագույն տեղաշարժով հավասարակշռության դիրքից) դեպի կինետիկ (քանի որ կետերն անցնում են հավասարակշռության դիրքով) անշարժ մնացող հանգույցների միջև եղած սահմաններում։

Հանգույցների միջև ընկած սահմաններում կանգնած ալիքի բոլոր կետերը տատանվում են նույն փուլում և ըստ տարբեր կողմերհանգույցից - հակաֆազում:

Կանգնած ալիքներն առաջանում են, օրինակ, երկու ծայրերում ամրացված լարված լարում, երբ դրա մեջ գրգռվում են լայնակի թրթռումներ։ Ընդ որում, ամրացման վայրերում կան կանգուն ալիքի հանգույցներ։

Եթե ​​օդային սյունակում հաստատվում է կանգուն ալիք, որը բաց է մի ծայրում (ձայնային ալիք), ապա բաց ծայրում ձևավորվում է հակահանգույց, իսկ հակառակ ծայրում՝ հանգույց։

Ձայն. Դոպլերի էֆեկտ

Գազում, հեղուկում և պինդ մարմիններում տարածվող երկայնական առաձգական ալիքները անտեսանելի են: Այնուամենայնիվ, որոշակի պայմաններում դրանք կարող են լսել: Այսպիսով, եթե մենք գրգռում ենք արատի մեջ սեղմված երկար պողպատե քանոնի թրթռումները, ապա մենք չենք լսի նրա կողմից առաջացած ալիքները: Բայց եթե մենք կրճատենք քանոնի դուրս ցցված մասը և դրանով իսկ մեծացնենք նրա տատանումների հաճախականությունը, ապա կտեսնենք, որ քանոնը կսկսի հնչել։

Էլաստիկ ալիքները, որոնք մարդկանց մոտ լսողական սենսացիաներ են առաջացնում, կոչվում են ձայնային ալիքներկամ պարզապես ձայն.

Մարդու ականջը ունակ է առաձգականություն ընկալելու մեխանիկական ալիքներհաճախականությամբ ν 16Հց-ից մինչև 20000Հց: Ն հաճախականությամբ առաձգական ալիքներ<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Հց - ուլտրաձայնային:

16 Հց-ից մինչև 20000 Հց միջակայքում գտնվող հաճախականությունները կոչվում են ձայնային հաճախականություններ: Ցանկացած մարմին (պինդ, հեղուկ կամ գազային), որը թրթռում է ձայնային հաճախականությամբ, ստեղծում է միջավայրըձայնային ալիք.

Գազերում և հեղուկներում ձայնային ալիքները տարածվում են երկայնական սեղմման և հազվագյուտ ալիքների տեսքով։ Ձայնի աղբյուրի թրթռումներից առաջացած միջավայրի սեղմումն ու հազվադեպությունը (լարեր, լարային պատառաքաղի ոտքեր, ձայնալարեր և այլն), որոշ ժամանակ անց հասնում է մարդու ականջին և, ստիպելով ականջի թմբկաթաղանթին հարկադիր թրթռումներ կատարել, առաջացնում է որոշակի լսողական սենսացիաներ մարդու մեջ.

Վակուումում ձայնային ալիքները չեն կարող տարածվել, քանի որ այնտեղ թրթռելու ոչինչ չկա: Սա կարելի է ստուգել այստեղ պարզ փորձ. Եթե ​​տեղադրվում է ապակե ծածկույթի տակ օդային պոմպէլեկտրական զանգը, այնուհետև, երբ օդը դուրս է մղվում, մենք կիմանանք, որ ձայնը ավելի ու ավելի կթուլանա, մինչև այն ամբողջովին դադարի:

Ձայնը գազերում. Հայտնի է, որ ամպրոպի ժամանակ մենք նախ տեսնում ենք կայծակի բռնկում և հետո միայն լսում ամպրոպի դղրդյունը։ Այս ուշացումը տեղի է ունենում, քանի որ օդում ձայնի արագությունը զգալիորեն փոքր է լույսի արագությունից: Օդում ձայնի արագությունը առաջին անգամ չափել է ֆրանսիացի գիտնական Մարին Մերսենը 1646 թվականին: +20ºС ջերմաստիճանում այն ​​հավասար է 343 մ/վրկ, այսինքն. 1235 կմ/ժ.

Ձայնի արագությունը կախված է միջավայրի ջերմաստիճանից։ Ջերմաստիճանի բարձրացման հետ այն մեծանում է, իսկ ջերմաստիճանի նվազմամբ՝ նվազում։

Ձայնի արագությունը կախված չէ գազի խտությունից, որով անցնում է այս ձայնը։ Այնուամենայնիվ, դա կախված է նրա մոլեկուլների զանգվածից: Որքան մեծ է գազի մոլեկուլների զանգվածը, այնքան ցածր է նրա մեջ ձայնի արագությունը։ Այսպիսով, ջերմաստիճանում

0 ºС ձայնի արագությունը ջրածնում 1284 մ/վ է, իսկ դմ ածխածնի երկօքսիդ– 259 մ/վրկ.

Ձայնը հեղուկների մեջ. Հեղուկներում ձայնի արագությունը սովորաբար ավելի մեծ է, քան գազերում ձայնի արագությունը: Ջրում ձայնի արագությունը առաջին անգամ չափվել է 1826 թվականին։ Փորձերն իրականացվել են Շվեյցարիայի Ժնևյան լճում։ Մի նավակի վրա վառոդ են վառել և միևնույն ժամանակ խփել ջուրն իջեցված զանգին։ Այս զանգի ձայնը, օգտագործելով հատուկ շչակ, նույնպես իջեցվել է ջրի մեջ, որսացել է մեկ այլ նավի վրա, որը գտնվում էր առաջինից 14 կմ հեռավորության վրա։ Լույսի բռնկման և ձայնային ազդանշանի ժամանման ժամանակային տարբերության հիման վրա որոշվել է ջրի մեջ ձայնի արագությունը: 8 ºС ջերմաստիճանի դեպքում այն ​​հավասար է 1435 մ/վրկ-ի։

Հեղուկների մեջ ձայնի արագությունը սովորաբար նվազում է ջերմաստիճանի բարձրացման հետ: Ջուրը բացառություն է այս կանոնից: Դրանում ձայնի արագությունը մեծանում է ջերմաստիճանի բարձրացման հետ և հասնում է առավելագույնի 74 ºС ջերմաստիճանի դեպքում, իսկ ջերմաստիճանի հետագա աճի հետ այն նվազում է:

Պետք է ասել, որ ջրի տակ մարդու ականջը լավ չի «աշխատում»։ Ձայնի մեծ մասն արտացոլվում է թմբկաթաղանթից և, հետևաբար, չի առաջացնում լսողական սենսացիաներ: Սա այն է, ինչ ժամանակին մեր նախնիներին հիմք է տվել ստորջրյա աշխարհը համարել «լռության աշխարհ»։ Այստեղից էլ «ձկան պես համր» արտահայտությունը։ Այնուամենայնիվ, Լեոնարդո դա Վինչին նաև առաջարկել է լսել ստորջրյա ձայներ՝ ականջը դնելով ջրի մեջ իջեցված թիակի մոտ։ Օգտագործելով այս մեթոդը, դուք կարող եք տեսնել, որ իրականում ձկները բավականին շատախոս են:

Ձայնը պինդ մարմիններում. Պինդ մարմիններում ձայնի արագությունը նույնիսկ ավելի մեծ է, քան հեղուկներում։ Միայն այստեղ պետք է հաշվի առնել, որ ինչպես երկայնական, այնպես էլ լայնակի ալիքներ. Այս ալիքների արագությունը, ինչպես գիտենք, տարբեր է։ Օրինակ՝ պողպատում լայնակի ալիքները տարածվում են 3300 մ/վ արագությամբ, իսկ երկայնականը՝ 6100 մ/վ։ Այն փաստը, որ պինդ մարմնում ձայնի արագությունն ավելի մեծ է, քան օդում, կարելի է ստուգել հետևյալ կերպ. Եթե ​​ձեր ընկերը հարվածում է ռելսի մի ծայրին, իսկ դուք ականջդ դնում եք մյուս ծայրին, երկու հարված կլսվի: Ձայնը նախ ձեր ականջին կհասնի ռելսով, իսկ հետո՝ օդով։

Երկիրը լավ հաղորդունակություն ունի։ Ուստի հին ժամանակներում պաշարման ժամանակ բերդի պարիսպներում տեղադրում էին «լսողներ», որոնք երկրի հաղորդած ձայնով կարող էին որոշել՝ թշնամին փորում է պարիսպները, թե ոչ։ Ականջը գետնին դնելը հնարավորություն է տվել նաև հայտնաբերել թշնամու հեծելազորի մոտենալը։

Լսելի ձայներից բացի, երկրի ընդերքըՏարածվում են նաեւ ինֆրաձայնային ալիքներ, որոնք մարդու ականջն այլեւս չի կարողանում ընկալել։ Նման ալիքներ կարող են առաջանալ երկրաշարժերի ժամանակ։

Հզոր ինֆրաձայնային ալիքները, որոնք տարածվում են ինչպես գետնին, այնպես էլ օդում, առաջանում են հրաբխային ժայթքման և պայթյունի ժամանակ ատոմային ռումբեր. Ինֆրաձայնի աղբյուրները կարող են ներառել նաև մթնոլորտում օդային պտույտները, բեռների արտանետումները, կրակոցները, քամին, ծովի ալիքների հոսող գագաթները, գործող ռեակտիվ շարժիչները և այլն:

Ուլտրաձայնը նույնպես չի ընկալվում մարդու ականջի կողմից։ Այնուամենայնիվ, որոշ կենդանիներ կարողանում են արտանետել և բռնել այն, օրինակ չղջիկներև դելֆիններ: Տեխնոլոգիայում ուլտրաձայնային հետազոտություն ստանալու համար օգտագործվում են հատուկ սարքեր։

Առաձգական միջավայրում տեղադրված տատանվող մարմինը նրանից բոլոր ուղղություններով տարածվող թրթռումների աղբյուր է։ Միջավայրում թրթռումների տարածման գործընթացը կոչվում է ալիք.

Երբ ալիքը տարածվում է, միջավայրի մասնիկները չեն շարժվում ալիքի հետ, այլ տատանվում են իրենց հավասարակշռության դիրքերի շուրջ։ Ալիքի հետ մեկտեղ մասնիկից մասնիկ է փոխանցվում միայն թրթիռային շարժման վիճակը և դրա էներգիան։ Հետեւաբար, բոլոր ալիքների հիմնական հատկությունը, անկախ դրանց բնույթից, էներգիայի փոխանցումն է առանց նյութի փոխանցման:

Ալիքները կարող են լինել լայնակի (տատանումները տեղի են ունենում տարածման ուղղությանը ուղղահայաց հարթությունում) և երկայնական (միջավայրի մասնիկների խտացումն ու արտահոսքը տեղի են ունենում տարածման ուղղությամբ)։

Երբ երկու միանման ալիքներ՝ հավասար ամպլիտուդներով և պարբերաշրջաններով, տարածվում են միմյանց նկատմամբ, կանգուն ալիքներն առաջանում են, երբ դրանք համընկնում են: Կանգնած ալիքները կարող են առաջանալ խոչընդոտների արտացոլմամբ: Ենթադրենք, թողարկողը ալիք է ուղարկում խոչընդոտի վրա (միջադեպի ալիք): Դրանից արտացոլված ալիքը կտեղադրվի անկման ալիքի վրա: Մշտական ​​ալիքի հավասարումը կարելի է ստանալ՝ ավելացնելով անկման ալիքի հավասարումը

(Միջամտության շատ կարևոր դեպք նկատվում է, երբ նույն ամպլիտուդով երկու հակատարածվող հարթ ալիքներ իրար վրա են դրվում: Արդյունքում առաջացող տատանողական գործընթացը կոչվում է կանգուն ալիք: Գործնականում կանգուն ալիքներն առաջանում են, երբ անդրադարձվում են խոչընդոտներից):

Այս հավասարումը կոչվում է ալիքի հավասարում: Ցանկացած ֆունկցիա, որը բավարարում է այս հավասարումը, նկարագրում է որոշակի ալիք:
Ալիքի հավասարում արտահայտություն է, որը տալիս է կողմնակալություն տատանվող կետորպես իր կոորդինատների ֆունկցիա ( x, y, զ) և ժամանակը տ.

Այս ֆունկցիան պետք է պարբերական լինի և՛ ժամանակի, և՛ կոորդինատների առումով (ալիքը տարածվող տատանում է, հետևաբար՝ պարբերաբար կրկնվող շարժում)։ Բացի այդ, միմյանցից l հեռավորության վրա գտնվող կետերը թրթռում են նույն կերպ։

- Սա հարթ ալիքի հավասարումը.
Հավասարումը (5.2.3) կունենա նույն ձևը, եթե թրթռումները տարածվեն առանցքի երկայնքով. yկամ զ
IN ընդհանուր տեսարան հարթ ալիքի հավասարումըգրված է այսպես.

(5.2.3) և (5.2.4) արտահայտություններն են ճանապարհորդող ալիքների հավասարումներ .

Հավասարումը (5.2.3) նկարագրում է աճման ուղղությամբ տարածվող ալիքը x. Հակառակ ուղղությամբ տարածվող ալիքն ունի հետևյալ ձևը.

Ներկայացնենք ալիքի համարը կամ վեկտորային ձևով.

որտեղ է ալիքի վեկտորը և նորմալ է ալիքի մակերեսին:

Այդ ժամանակվանից սկսած։ Այստեղից։ Հետո հարթ ալիքի հավասարումը կգրվի այսպես.

գնդաձև ալիքի հավասարում:

Որտեղ Ահավասար է ամպլիտուդին աղբյուրից մեկին հավասար հեռավորության վրա:

ԱԼԻՔԻ ՎԵԿՏՈՐ- վեկտոր կ, որը որոշում է տարածման ուղղությունը և հարթ մոնոխրոմատիկի տարածական շրջանը։ ալիքներ

որտեղ են ալիքի հաստատուն ամպլիտուդը և փուլը, շրջանաձև հաճախականությունն է, r- շառավիղի վեկտոր: Մոդուլ V.V. կանչեց ալիքի համարը k= , Որտեղ - տարածական ժամանակաշրջան կամ ալիքի երկարություն. ուղղությամբ Ե. տեղի է ունենում ալիքի փուլի ամենաարագ փոփոխությունը, հետևաբար այն ընդունվում է որպես տարածման ուղղություն: Այս ուղղությամբ ֆազային շարժման արագությունը կամ փուլային արագությունը որոշվում է ալիքի համարով .. c.

6.1 Կանգնած ալիքները առաձգական միջավայրում

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի համաձայն, երբ առաձգական միջավայրում մի քանի ալիքներ միաժամանակ տարածվում են, դրանց սուպերպոզիցիան տեղի է ունենում, և ալիքները միմյանց չեն խանգարում. միջավայրի մասնիկների տատանումները այն տատանումների վեկտորային գումարն են, որոնք կկատարեն մասնիկները։ եթե յուրաքանչյուր ալիք տարածվում է առանձին:

Ալիքները, որոնք ստեղծում են միջավայրի տատանումներ, որոնց փուլային տարբերությունները հաստատուն են տարածության յուրաքանչյուր կետում, կոչվում են. համահունչ.

Երբ համահունչ ալիքներ են ավելացվում, երեւույթը տեղի է ունենում միջամտություն, որը բաղկացած է նրանից, որ տարածության որոշ կետերում ալիքներն ուժեղացնում են միմյանց, իսկ մյուս կետերում՝ թուլացնում են միմյանց։ Միջամտության կարևոր դեպք է նկատվում, երբ միևնույն հաճախականությամբ և ամպլիտուդով երկու հակատարածվող հարթ ալիքներ իրար վրա դրվում են։ Ստացված տատանումները կոչվում են կանգնած ալիք. Ամենից հաճախ կանգուն ալիքներն առաջանում են, երբ ճանապարհորդող ալիքը արտացոլվում է խոչընդոտից: Այս դեպքում անկման ալիքը և դեպի դրա անդրադարձած ալիքը, երբ ավելացվում են, կայուն ալիք են տալիս։

Մենք ստանում ենք մշտական ​​ալիքի հավասարումը: Վերցնենք երկու հարթ ներդաշնակ ալիքներ, որոնք տարածվում են միմյանց ուղղությամբ առանցքի երկայնքով Xև ունենալով նույն հաճախականությունը և ամպլիտուդը.

Որտեղ – առաջին ալիքի անցման ընթացքում միջավայրի կետերի տատանումների փուլը.

– երկրորդ ալիքի անցման ժամանակ միջավայրում կետերի տատանումների փուլը:

Ֆազային տարբերություն առանցքի յուրաքանչյուր կետում Xցանցը կախված չի լինի ժամանակից, այսինքն. հաստատուն կլինի.

Հետևաբար, երկու ալիքներն էլ համահունչ կլինեն:

Քննարկվող ալիքների ավելացումից առաջացող միջավայրի մասնիկների թրթռումը կլինի հետևյալը.

Փոխակերպենք անկյունների կոսինուսների գումարը ըստ կանոնի (4.4) և ստացենք.

Վերախմբավորելով գործոնները՝ մենք ստանում ենք.

Արտահայտությունը պարզեցնելու համար մենք ընտրում ենք հղման կետը, որպեսզի փուլային տարբերությունը և ժամանակի սկիզբն այնպես, որ փուլերի գումարը հավասար լինի զրոյի. .

Այնուհետև ալիքների գումարի հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

Կանչվում է հավասարումը (6.6): կանգնած ալիքի հավասարումը. Այն ցույց է տալիս, որ կանգնած ալիքի հաճախականությունը հավասար է շրջող ալիքի հաճախականությանը, իսկ ամպլիտուդը, ի տարբերություն շրջող ալիքի, կախված է սկզբնակետից հեռավորությունից.

. (6.7)

Հաշվի առնելով (6.7) մշտական ​​ալիքի հավասարումը ստանում է ձև.

. (6.8)

Այսպիսով, միջավայրի կետերը տատանվում են շրջող ալիքի հաճախականության և ամպլիտուդի հետ համընկնող հաճախականությամբ ա, կախված առանցքի վրա կետի դիրքից X. Համապատասխանաբար, ամպլիտուդը փոխվում է ըստ կոսինուսի օրենքի և ունի իր առավելագույնն ու նվազագույնը (նկ. 6.1):

Ամպլիտուդային մինիմումների և մաքսիմումների գտնվելու վայրը պատկերացնելու համար մենք, համաձայն (5.29) ալիքի թիվը փոխարինում ենք իր արժեքով.

Այնուհետև (6.7) արտահայտությունը ամպլիտուդի համար կընդունի ձևը

(6.10)

Այստեղից պարզ է դառնում, որ տեղաշարժի ամպլիտուդը առավելագույնն է , այսինքն. կետերում, որոնց կոորդինատները բավարարում են պայմանը.

, (6.11)

Որտեղ

Այստեղից մենք ստանում ենք այն կետերի կոորդինատները, որտեղ տեղաշարժի ամպլիտուդը առավելագույնն է.

; (6.12)

Այն կետերը, որտեղ միջավայրի թրթռումների ամպլիտուդը առավելագույնն է, կոչվում են ալիքի հակահանգույցներ.

Ալիքի ամպլիտուդը զրոյական է այն կետերում, որտեղ . Այդպիսի կետերի կոորդինատները, կոչված ալիքային հանգույցներ, բավարարում է պայմանը.

, (6.13)

Որտեղ

(6.13)-ից պարզ է դառնում, որ հանգույցների կոորդինատներն ունեն արժեքներ.

, (6.14)

Նկ. Նկար 6.2-ը ցույց է տալիս կանգնած ալիքի մոտավոր տեսքը, որը նշում է հանգույցների և հակահանգույցների գտնվելու վայրը: Կարելի է տեսնել, որ հարևան հանգույցները և տեղաշարժվող հակահանգույցները միմյանցից բաժանված են նույն հեռավորության վրա:

Եկեք գտնենք հեռավորությունը հարեւան հակահանգույցների և հանգույցների միջև: (6.12)-ից մենք ստանում ենք հակահանգույցների միջև հեռավորությունը.

(6.15)

Հանգույցների միջև հեռավորությունը ստացվում է (6.14):

(6.16)

Ստացված հարաբերություններից (6.15) և (6.16) պարզ է դառնում, որ հարևան հանգույցների, ինչպես նաև հարևան հակահանգույցների միջև հեռավորությունը հաստատուն է և հավասար է. Հանգույցները և հակահանգույցները միմյանց համեմատ տեղափոխվում են (նկ. 6.3):

Ալիքի երկարության սահմանումից մենք կարող ենք գրել կանգուն ալիքի երկարության արտահայտություն. այն հավասար է շրջող ալիքի երկարության կեսին.

Եկեք գրենք, հաշվի առնելով (6.17), հանգույցների և հակահանգույցների կոորդինատների արտահայտությունները.

, (6.18)

, (6.19)

Կանգնած ալիքի ամպլիտուդությունը որոշող գործոնը զրոյական արժեքով անցնելիս փոխում է իր նշանը, ինչի արդյունքում հանգույցի տարբեր կողմերում տատանումների փուլը տարբերվում է . Հետևաբար, հանգույցի հակառակ կողմերում ընկած բոլոր կետերը տատանվում են հակաֆազում: Հարևան հանգույցների միջև գտնվող բոլոր կետերը տատանվում են փուլով:

Հանգույցները պայմանականորեն բաժանում են միջավայրը ինքնավար շրջանների, որտեղ ներդաշնակ տատանումները տեղի են ունենում ինքնուրույն: Շարժման փոխանցում չկա շրջանների միջև, և, հետևաբար, չկա էներգիայի հոսք տարածաշրջանների միջև: Այսինքն՝ առանցքի երկայնքով անկարգությունների փոխանցում չկա։ Այդ իսկ պատճառով ալիքը կոչվում է կանգնած ալիք։

Այսպիսով, կանգնած ալիքը ձևավորվում է հավասար հաճախականությունների և ամպլիտուդների երկու հակադիր ուղղորդվող ալիքներից: Այս ալիքներից յուրաքանչյուրի Umov վեկտորները մեծությամբ հավասար են և ուղղությամբ հակառակ, և երբ գումարվում են, նրանք տալիս են զրո: Հետևաբար, կանգուն ալիքը էներգիա չի փոխանցում։

6.2 Կանգնած ալիքների օրինակներ

6.2.1 Կանգնած ալիքը լարով

Դիտարկենք երկարության շարանը Լ, ամրացված երկու ծայրերում (նկ. 6.4):

Լարի երկայնքով առանցք դնենք Xայնպես, որ տողի ձախ ծայրն ունենա կոորդինատը x=0և ճիշտը – x=L. Տատանումները տեղի են ունենում տողի մեջ, որը նկարագրված է հավասարմամբ.

Եկեք գրենք դիտարկվող տողի սահմանային պայմանները: Քանի որ դրա ծայրերը ֆիքսված են, ապա կոորդինատներով կետերում x=0Եվ x=Lառանց վարանելու:

(6.22)

Գրված սահմանային պայմանների հիման վրա գտնենք տողերի տատանումների հավասարումը։ Գրենք (6.20) հավասարումը տողի ձախ ծայրի համար՝ հաշվի առնելով (6.21).

Հարաբերությունը (6.23) բավարարված է ցանկացած ժամանակ տերկու դեպքում.

1. . Դա հնարավոր է, եթե տողի մեջ թրթռումներ չկան (): Այս գործը հետաքրքրություն չի ներկայացնում, և մենք չենք քննարկելու։

2. . Ահա փուլը. Այս դեպքը թույլ կտա մեզ ստանալ լարային թրթռումների հավասարումը։

Եկեք փոխարինենք ստացված փուլային արժեքը սահմանային պայմանով (6.22) տողի աջ ծայրի համար.

. (6.25)

Հաշվի առնելով դա

, (6.26)

(6.25)-ից մենք ստանում ենք.

Կրկին առաջանում է երկու դեպք, որոնցում (6.27) հարաբերակցությունը բավարարված է։ Մենք չենք դիտարկի այն դեպքը, երբ տողի մեջ թրթռումներ չկան ():

Երկրորդ դեպքում հավասարությունը պետք է բավարարվի.

և դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ սինուսի արգումենտը ամբողջ թվի բազմապատիկ է.

Մենք հրաժարվում ենք արժեքը, քանի որ այս դեպքում, և դա կնշանակի կամ տողի զրոյական երկարություն ( L=0) կամ ալիքի համարը k=0. Հաշվի առնելով կապը (6.9) ալիքի թվի և ալիքի երկարության միջև, պարզ է դառնում, որ ալիքի համարը զրոյի հավասար լինելու համար ալիքի երկարությունը պետք է լինի անսահման, իսկ դա կնշանակի տատանումների բացակայություն։

(6.28)-ից պարզ է դառնում, որ ալիքի համարը երկու ծայրերում ամրագրված տողը տատանելիս կարող է ընդունել միայն որոշակի դիսկրետ արժեքներ.

Հաշվի առնելով (6.9)՝ (6.30) ձևով գրում ենք.

որից ստանում ենք տողի հնարավոր ալիքների երկարությունների արտահայտությունը.

Այլ կերպ ասած, լարային երկարությամբ Լպետք է տեղավորվի ամբողջ թվի մեջ nկես ալիքներ.

Տատանումների համապատասխան հաճախականությունները կարող են որոշվել (5.7):

Ահա ալիքի փուլային արագությունը՝ կախված, ըստ (5.102) պարանի գծային խտությունից և լարային լարվածության ուժից.

Փոխարինելով (6.34) (6.33)՝ մենք ստանում ենք արտահայտություն, որը նկարագրում է տողի հնարավոր թրթռման հաճախականությունները.

, (6.36)

Հաճախականությունները կոչվում են բնական հաճախականություններլարեր. Հաճախականությունը (ժամ n = 1):

(6.37)

կանչեց հիմնական հաճախականությունը(կամ հիմնական տոնը) լարեր. Հաճախականությունները որոշվում են ժամը n>1կոչվում են երանգավորումներկամ ներդաշնակություն. Հարմոնիկ թիվն է n-1. Օրինակ, հաճախականությունը.

համապատասխանում է առաջին ներդաշնակությանը և հաճախականությանը.

համապատասխանում է երկրորդ հարմոնիկին և այլն։ Քանի որ լարը կարող է ներկայացվել որպես դիսկրետ համակարգ՝ անսահման թվով ազատության աստիճաններով, ապա յուրաքանչյուր ներդաշնակություն նորաձեւությունլարային թրթռումներ. Ընդհանուր դեպքում լարային թրթռումները ներկայացնում են ռեժիմների սուպերպոզիցիա։

Յուրաքանչյուր հարմոնիկ ունի իր ալիքի երկարությունը: Հիմնական տոնի համար (հետ n= 1) ալիքի երկարությունը.

համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ ներդաշնակության համար (at n= 2 և n= 3) ալիքի երկարությունը կլինի.

Նկար 6.5-ը ցույց է տալիս թրթռման մի քանի եղանակների տեսքը, որն իրականացվում է լարով:

Այսպիսով, ֆիքսված ծայրերով լարը դասական ֆիզիկայի շրջանակներում իրականացնում է բացառիկ դեպք՝ թրթռման հաճախականությունների (կամ ալիքի երկարությունների) դիսկրետ սպեկտր։ Առաձգական ձողը մեկ կամ երկուսով սեղմված ծայրերով և խողովակների մեջ օդային սյունակի տատանումներով վարվում է նույն կերպ, ինչը կքննարկվի հաջորդ բաժիններում:

6.2.2 Սկզբնական պայմանների ազդեցությունը շարժման վրա

շարունակական տող. Ֆուրիեի վերլուծություն

Բացի տատանումների հաճախականությունների դիսկրետ սպեկտրից, սեղմված ծայրերով լարային տատանումները ունեն ևս մեկ կարևոր հատկություն. լարերի տատանումների հատուկ ձևը կախված է տատանումների գրգռման եղանակից, այսինքն. սկզբնական պայմաններից։ Եկեք ավելի սերտ նայենք:

Հավասարումը (6.20), որը նկարագրում է լարում կանգնած ալիքի մեկ եղանակը, դիֆերենցիալ ալիքի հավասարման (5.61) որոշակի լուծում է: Քանի որ տողի թրթռումը բաղկացած է բոլոր հնարավոր եղանակներից (լարի համար՝ անսահման թիվ), ապա. ընդհանուր լուծումալիքի հավասարումը (5.61) բաղկացած է անսահման թվով մասնակի լուծումներից.

, (6.43)

Որտեղ ես- թրթռման ռեժիմի համարը: Արտահայտությունը (6.43) գրվում է՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ տողի ծայրերն ամրացված են.

և նաև հաշվի առնելով հաճախականության միացումը ես-րդ ռեժիմը և դրա ալիքի համարը.

(6.46)

Այստեղ - ալիքի համարը եսրդ նորաձեւություն;

- 1-ին ռեժիմի ալիքի համարը;

Եկեք գտնենք սկզբնական փուլի արժեքը յուրաքանչյուր տատանման ռեժիմի համար: Դա անել միաժամանակ t=0եկեք տողին տանք ֆունկցիայի կողմից նկարագրված ձև զ 0 (x), արտահայտությունը, որի համար մենք ստանում ենք (6.43):

. (6.47)

Նկ. Նկար 6.6-ը ցույց է տալիս ֆունկցիայի կողմից նկարագրված տողի ձևի օրինակ զ 0 (x).

Ժամանակի մի պահ t=0լարը դեռ հանգստանում է, այսինքն. նրա բոլոր կետերի արագությունը զրո է։ (6.43)-ից մենք գտնում ենք լարային կետերի արագության արտահայտություն.

և դրանում փոխարինելով t=0, ժամանակի սկզբնական պահին տողի վրա կետերի արագության արտահայտություն ենք ստանում.

. (6.49)

Քանի որ սկզբնական պահին արագությունը հավասար է զրոյի, ապա արտահայտությունը (6.49) հավասար կլինի զրոյի տողի բոլոր կետերի համար, եթե . Սրանից հետևում է, որ բոլոր ռեժիմների սկզբնական փուլը նույնպես զրո է (): Հաշվի առնելով դա, արտահայտությունը (6.43), որը նկարագրում է լարային շարժումը, ստանում է ձև.

, (6.50)

և արտահայտությունը (6.47), նկարագրելով նախնական ձևըտողեր, կարծես.

. (6.51)

Լարի կանգուն ալիքը նկարագրվում է մի ֆունկցիայով, որը պարբերական է ինտերվալի ընթացքում, որտեղ այն հավասար է լարային երկու երկարություններին (նկ. 6.7).

Դա երևում է նրանից, որ պարբերականությունը ինտերվալի վրա նշանակում է.

Հետևաբար,

որը մեզ տանում է դեպի արտահայտություն (6.52):

Մաթեմատիկական վերլուծությունից հայտնի է, որ ցանկացած պարբերական ֆունկցիա կարող է մեծ ճշգրտությամբ ընդլայնվել Ֆուրիեի շարքի մեջ.

, (6.57)

որտեղ , , Ֆուրիեի գործակիցներն են:

Եթե ​​միջավայրում մի քանի ալիքներ տարածվում են միաժամանակ, ապա միջավայրի մասնիկների տատանումները պարզվում են, որ այն տատանումների երկրաչափական գումարն է, որը մասնիկները կկատարեն, եթե ալիքներից յուրաքանչյուրը տարածվի առանձին: Հետևաբար, ալիքները ուղղակի սփռվում են միմյանց վրա՝ չխանգարելով միմյանց: Այս պնդումը կոչվում է ալիքի սուպերպոզիցիայի սկզբունք։ Սուպերպոզիցիայի սկզբունքն ասում է, որ միանգամից մի քանի ալիքների տարածման արդյունքում առաջացած շարժումը կրկին որոշակի ալիքային գործընթաց է։ Նման գործընթաց, օրինակ, նվագախմբի ձայնն է։ Այն առաջանում է միաժամանակյա գրգռումից ձայնային թրթռումներեթեր առանձին երաժշտական ​​գործիքներով. Հատկանշական է, որ երբ ալիքները միմյանց վրա են դնում, կարող են առաջանալ հատուկ երևույթներ։ Դրանք կոչվում են հավելման էֆեկտներ կամ, ինչպես ասում են նաև, ալիքների սուպերպոզիցիա։ Այս էֆեկտներից ամենակարևորն են միջամտությունը և դիֆրակցիան:

Միջամտությունը տարածության մեջ տատանումների էներգիայի ժամանակային վերաբաշխման երևույթ է, որի արդյունքում որոշ տեղերում տատանումները ուժեղանում են, որոշ տեղերում՝ թուլանում։ Այս երեւույթը տեղի է ունենում, երբ ժամանակի ընթացքում պահպանվող փուլային տարբերությամբ ալիքները գումարվում են, այսպես կոչված, համահունչ ալիքներ: Միջամտություն մեծ թվովալիքները կոչվում են դիֆրակցիա: Հիմնարար տարբերությունՄիջամտության և դիֆրակցիայի միջև տարբերություն չկա: Այս երեւույթների բնույթը նույնն է. Մենք կսահմանափակվենք միայն մեկ շատ կարևոր ինտերֆերենցիոն էֆեկտի քննարկմամբ, որն է՝ կանգուն ալիքների ձևավորումը։

Անհրաժեշտ պայմանԿանգնած ալիքների ձևավորումը սահմանների առկայությունն է, որոնք արտացոլում են դրանց վրա ընկած ալիքները: Կանգնած ալիքները ձևավորվում են անկման և անդրադարձված ալիքների ավելացման արդյունքում։ Նման երևույթները բավականին հաճախ են տեղի ունենում։ Այսպիսով, ցանկացած երաժշտական ​​գործիքի յուրաքանչյուր հնչյունը հուզվում է կանգուն ալիքից։ Այս ալիքը առաջանում է կամ լարային (լարային գործիքներ) կամ օդի սյունակում ( փողային գործիքներ) Անդրադարձային սահմաններն այս դեպքերում լարերի ամրացման կետերն են և փողային գործիքների ներքին խոռոչների մակերեսները։

Յուրաքանչյուր կանգուն ալիք ունի հետևյալ հատկությունները. Տիեզերքի ամբողջ շրջանը, որտեղ ալիքը գրգռված է, կարելի է բաժանել բջիջների այնպես, որ տատանումները բջիջների սահմաններում իսպառ բացակայում են։ Այս սահմանների վրա տեղակայված կետերը կոչվում են կանգնած ալիքային հանգույցներ: Յուրաքանչյուր բջիջի ներքին կետերում տատանումների փուլերը նույնն են: Հարևան բջիջներում տատանումները տեղի են ունենում միմյանց նկատմամբ, այսինքն՝ հակաֆազում։ Մեկ բջիջի ներսում տատանումների ամպլիտուդը տատանվում է տարածության մեջ և ինչ-որ տեղ հասնում է առավելագույն արժեքի։ Այն կետերը, որտեղ դա նկատվում է, կոչվում են կանգնած ալիքի հակահանգույցներ: Վերջապես, կանգնած ալիքների բնորոշ հատկությունը նրանց հաճախականության սպեկտրի դիսկրետությունն է: Կանգնած ալիքում տատանումները կարող են առաջանալ միայն խիստ սահմանված հաճախականություններով, և դրանցից մեկից մյուսին անցումը տեղի է ունենում կտրուկ:

Եկեք նայենք կանգնած ալիքի պարզ օրինակին: Ենթադրենք, որ առանցքի երկայնքով ձգված է սահմանափակ երկարությամբ շարանը. դրա ծայրերը կոշտ ամրացված են, ձախ ծայրը գտնվում է կոորդինատների սկզբում: Այնուհետև աջ ծայրի կոորդինատը կլինի . Եկեք հուզենք ալիքը լարով

,

տարածվում է ձախից աջ երկայնքով: Ալիքը կարտացոլվի լարի աջ ծայրից։ Ենթադրենք, որ դա տեղի է ունենում առանց էներգիայի կորստի։ Այս դեպքում արտացոլված ալիքը կունենա նույն ամպլիտուդը և նույն հաճախականությունը, ինչ պատահական ալիքը: Հետևաբար, արտացոլված ալիքը պետք է ունենա հետևյալ ձևը.

Դրա փուլը պարունակում է հաստատուն, որը որոշում է փուլի փոփոխությունը արտացոլումից հետո: Քանի որ արտացոլումը տեղի է ունենում լարի երկու ծայրերում և առանց էներգիայի կորստի, նույն հաճախականությունների ալիքները միաժամանակ կտարածվեն լարում: Հետևաբար, հավելման ժամանակ միջամտությունը պետք է տեղի ունենա: Գտնենք ստացված ալիքը։

Սա կանգնած ալիքի հավասարումն է: Դրանից բխում է, որ լարային յուրաքանչյուր կետում տատանումները տեղի են ունենում հաճախականությամբ։ Այս դեպքում մի կետում տատանումների ամպլիտուդը հավասար է

.

Քանի որ պարանի ծայրերը ամրացված են, այնտեղ թրթռումներ չկան։ Այն պայմանից բխում է, որ. Այսպիսով, մենք վերջապես ստանում ենք.

.

Այժմ պարզ է, որ այն կետերում, որտեղ , ընդհանրապես տատանումներ չկան: Այս կետերը կանգնած ալիքի հանգույցներն են: Այնտեղ, որտեղ , տատանումների ամպլիտուդը առավելագույնն է, այն հավասար է ավելացված տատանումների ամպլիտուդի կրկնակիին: Այս կետերը կանգնած ալիքի հակահանգույցներն են: Հակահանգույցների և հանգույցների տեսքը հենց այնտեղ է, որտեղ առկա է միջամտությունը. որոշ տեղերում տատանումները ուժեղանում են, իսկ որոշ տեղերում՝ անհետանում: Հարևան հանգույցների և հակահանգույցների միջև հեռավորությունը հայտնաբերվում է ակնհայտ պայմանից. Որովհետև, ուրեմն. Հետեւաբար, հարեւան հանգույցների միջեւ հեռավորությունը .

Մշտական ​​ալիքի հավասարումից պարզ է դառնում, որ գործոնը Զրոյական արժեքի միջով անցնելիս այն փոխում է նշանը։ Դրան համապատասխան, հանգույցի հակառակ կողմերում տատանումների փուլը տարբերվում է . Սա նշանակում է, որ հանգույցի հակառակ կողմերում ընկած կետերը տատանվում են հակաֆազում: Երկու հարակից հանգույցների միջև բոլոր կետերը տատանվում են նույն փուլում:

Այսպիսով, միջադեպը և արտացոլված ալիքները ավելացնելով, իսկապես հնարավոր է ստանալ ալիքային շարժման պատկերը, որը բնութագրվել է ավելի վաղ: Այս դեպքում, միաչափ դեպքում քննարկված բջիջները հատվածներ են, որոնք փակված են հարակից հանգույցների միջև և ունեն երկարություն:

Եկեք վերջապես համոզվենք, որ մեր դիտարկած ալիքը կարող է գոյություն ունենալ միայն խիստ սահմանված տատանումների հաճախականություններում։ Եկեք օգտվենք այն հանգամանքից, որ լարի աջ ծայրում թրթռումներ չկան, այսինքն. Պարզվում է, որ. Այս հավասարությունը հնարավոր է, եթե , որտեղ կա կամայական դրական ամբողջ թիվ: