Թրթռումների տարածումը միջավայրում: Ալիքներ

OK-9 Թրթռումների տարածում առաձգական միջավայրում

Ալիքային շարժում- մեխանիկական ալիքներ, այսինքն ալիքներ, որոնք տարածվում են միայն նյութի մեջ (ծով, ձայն, ալիքներ լարով, երկրաշարժի ալիքներ): Ալիքների աղբյուրները վիբրատորի թրթիռներն են:

Վիբրատոր- տատանվող մարմին. Ստեղծում է թրթռումներ առաձգական միջավայրում:

Ալիքկոչվում են թրթռումներ, որոնք տարածվում են ժամանակի ընթացքում։

ալիքի մակերեսը- նույն փուլերում տատանվող միջավայրում կետերի երկրաչափական տեղանքը

Լ
ախ- ուղիղ, որի շոշափողը յուրաքանչյուր կետում համընկնում է ալիքի տարածման ուղղության հետ:

Առաձգական միջավայրում ալիքների առաջացման պատճառը

Եթե ​​վիբրատորը թրթռում է առաձգական միջավայրում, ապա այն գործում է միջավայրի մասնիկների վրա՝ ստիպելով նրանց կատարել հարկադիր թրթռումներ։ Միջավայրի մասնիկների միջև փոխազդեցության ուժերի շնորհիվ թրթռումները փոխանցվում են մի մասնիկից մյուսին:

Տ
ալիքների տեսակները

Լայնակի ալիքներ

Ալիքներ, որոնցում միջավայրի մասնիկների թրթռումները տեղի են ունենում ալիքի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց հարթությունում: Առաջանում են պինդ նյութերիսկ օջախի մակերեսին։

Պ
մայրության ալիքներ

Ալիքի տարածման երկայնքով տեղի են ունենում տատանումներ։ Կարող է առաջանալ գազերում, հեղուկներում և պինդ մարմիններում:

Մակերեւութային ալիքներ

IN
ալիքներ, որոնք տարածվում են երկու լրատվամիջոցների միջերեսում: Ալիքներ ջրի և օդի սահմանին: Եթե λ փոքր է ջրամբարի խորությունից, ապա ջրի յուրաքանչյուր մասնիկ մակերեսի վրա և դրա մոտ շարժվում է էլիպսի երկայնքով, այսինքն. երկայնական և լայնակի ուղղություններով թրթռումների համակցություն է։ Ներքևում նկատվում է զուտ երկայնական շարժում։

Ինքնաթիռի ալիքներ

Ալիքներ, որոնցում ալիքի մակերեսները ալիքի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց հարթություններ են:

ՀԵՏ գնդաձև ալիքներ

Ալիքներ, որոնց ալիքային մակերեսները գնդիկներ են։ Ալիքի մակերեսների գնդերը համակենտրոն են։

Ալիքային շարժման բնութագրերը

Ալիքի երկարություն

Միևնույն փուլում տատանվող երկու ցեղերի միջև ամենակարճ հեռավորությունը կոչվում է ալիքի երկարություն:Կախված է միայն այն միջավայրից, որտեղ ալիքը տարածվում է վիբրատորի հավասար հաճախականություններով:

Հաճախականություն

Հաճախականություն ν ալիքի շարժումը կախված է միայն վիբրատորի հաճախականությունից:

Ալիքի տարածման արագությունը

Արագություն v= λν . Որովհետեւ
, Դա
. Այնուամենայնիվ, ալիքի տարածման արագությունը կախված է նյութի տեսակից և նրա վիճակից. -ից ν Եվ λ , կախված չէ։

Իդեալական գազով
, Որտեղ Ռ- գազի մշտական; Մ- մոլային զանգված; Տ- բացարձակ ջերմաստիճան; γ - հաստատուն տվյալ գազի համար; ρ - նյութի խտությունը.

Լայնակի ալիքները պինդ մարմիններում
, Որտեղ Ն- կտրվածքի մոդուլ; երկայնական ալիքներ
, Որտեղ Ք- համակողմանի սեղմման մոդուլ: Կոշտ ձողերով
Որտեղ Ե- Յանգի մոդուլը:

Պինդ մարմիններում ինչպես լայնակի, այնպես էլ երկայնական ալիքները տարածվում են տարբեր արագություններով։ Սա հիմք է հանդիսանում երկրաշարժի էպիկենտրոնը որոշելու համար։

Հարթ ալիքի հավասարումը

Նրա տեսքը x=x 0 մեղք ωt(տ−լ/v) = x 0 մեղք ( ωt−kl), որտեղ կ= 2π /λ - ալիքի համարը; լ- ալիքի անցած հեռավորությունը վիբրատորից մինչև տվյալ կետը Ա.

Միջավայրում կետերի տատանումների ժամանակային ուշացում.
.

Միջավայրում կետերի տատանումների փուլային ուշացում.
.

Երկու տատանվող կետերի փուլային տարբերություն. ∆ φ =φ 2 −φ 1 = 2π (լ 2 −լ 1)/λ .

Ալիքային էներգիա

Ալիքները էներգիա են փոխանցում մի թրթռացող մասնիկից մյուսը: Մասնիկները կատարում են միայն տատանողական շարժումներ, բայց չեն շարժվում ալիքի հետ. Ե=Ե k + ԵՊ,

Որտեղ Ե k-ն տատանվող մասնիկի կինետիկ էներգիան է. Ե n-ը միջավայրի առաձգական դեֆորմացիայի պոտենցիալ էներգիան է:

Որոշ չափով Վառաձգական միջավայր, որի մեջ տարածվում է ամպլիտուդով ալիք X 0 և ցիկլային հաճախականություն ω , կա միջին էներգիա Վ, հավասար
, Որտեղ մ- միջավայրի հատկացված ծավալի զանգվածը.

Ալիքի ինտենսիվությունը

Ֆիզիկական մեծությունը, որը հավասար է ալիքի մեկ միավոր ժամանակում փոխանցվող էներգիային ալիքի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց մակերեսի միավորի միջով, կոչվում է ալիքի ինտենսիվություն.
. Հայտնի է, որ ՎԵվ ժ~.

Ալիքային հզորություն

Եթե Սլայնակի մակերեսն է, որի միջոցով էներգիան փոխանցվում է ալիքի միջոցով, և ժ- ալիքի ինտենսիվությունը, ապա ալիքի հզորությունը հավասար է. էջ=jS.

OK-10 Ձայնային ալիքներ

U Գարնանային ալիքները, որոնք մարդուն առաջացնում են ձայնի զգացում, կոչվում են ձայնային ալիքներ:

16 –2∙10 4 Հց - լսելի հնչյուններ;

16 Հց-ից պակաս - ինֆրաձայններ;

ավելի քան 2∙10 4 Հց - ուլտրաձայններ:

ՄԱՍԻՆ
Ձայնային ալիքի առաջացման նախապայման է առաձգական միջավայրի առկայությունը:

Մ
Ձայնային ալիքի առաջացման մեխանիզմը նման է առաձգական միջավայրում մեխանիկական ալիքի առաջացմանը: Թրթռալով առաձգական միջավայրում, թրթռիչը ազդում է միջավայրի մասնիկների վրա:

Ձայնը ստեղծվում է երկարաժամկետ պարբերական ձայնային աղբյուրների միջոցով: Օրինակ՝ երաժշտական՝ լարային, լարային պատառաքաղ, սուլոց, երգեցողություն։

Աղմուկն առաջանում է երկարատև, բայց ոչ պարբերական ձայնային աղբյուրներից՝ անձրև, ծով, ամբոխ։

Ձայնի արագություն

Կախված է միջավայրից և նրա վիճակից, ինչպես ցանկացած մեխանիկական ալիքի դեպքում.

.

ժամը տ= 0°C ջուր v = 1430 մ/վ, պողպատ v = 5000 մ/վ, օդ v = 331 մ/վ:

Ձայնային ալիքների ընդունիչներ

1. Արհեստական. խոսափողը փոխակերպվում է մեխանիկական ձայնային թրթռումներէլեկտրականների մեջ: Բնութագրվում է զգայունությամբ σ :
,σ կախված ν z.v. .

2. Բնական՝ ականջ:

Նրա զգայունությունը ձայնը ընկալում է ∆-ում էջ= 10 -6 Պա:

Որքան ցածր է հաճախականությունը ν ձայնային ալիք, այնքան քիչ զգայունություն σ ականջ. Եթե ν զ.վ. նվազում է 1000-ից 100 Հց, ապա σ ականջը կրճատվում է 1000 անգամ:

Բացառիկ ընտրողականություն. դիրիժորը ֆիքսում է առանձին գործիքների ձայները:

Ձայնի ֆիզիկական բնութագրերը

Օբյեկտիվ

1. Ձայնային ճնշումը ձայնային ալիքի կողմից առաջացած խոչընդոտի վրա գործադրվող ճնշումն է:

2. Ձայնային սպեկտրը բարդ ձայնային ալիքի տարրալուծումն է իր բաղադրիչ հաճախականությունների:

3. Ինտենսիվացնելձայնային ալիք:
, Որտեղ Ս- մակերեսը; Վ- ձայնային ալիքի էներգիա; տ- ժամանակ;
.

Սուբյեկտիվ

Ծավալը,ինչպես բարձրությունը, այնպես էլ ձայնը կապված է մարդու մտքում առաջացող սենսացիայի, ինչպես նաև ալիքի ինտենսիվության հետ:

Մարդու ականջը կարող է ընկալել 10-12 ինտենսիվությամբ ձայներ (լսելիության շեմ) մինչև 1: (ցավի շեմը):

Գ

Բարձրաձայնությունը ուղիղ համեմատական ​​չէ ինտենսիվությանը: 2 անգամ ավելի բարձր ձայն ստանալու համար անհրաժեշտ է 10 անգամ մեծացնել ինտենսիվությունը։ 10 −2 Վտ/մ 2 ինտենսիվությամբ ալիքը 4 անգամ ավելի բարձր է հնչում, քան 10 −4 Վտ/մ 2 ինտենսիվությամբ ալիքը։ Բարձրության օբյեկտիվ սենսացիայի և ձայնի ինտենսիվության միջև այս հարաբերությունների պատճառով օգտագործվում է լոգարիթմական սանդղակ:

Այս սանդղակի միավորը բելն է (B) կամ դեցիբելը (dB), (1 dB = 0.1 B), որն անվանվել է ֆիզիկոս Հայնրիխ Բեհլի անունով։ Ծավալի մակարդակը արտահայտվում է բելերով.
, Որտեղ Ի 0 = 10 −12 լսողության շեմը (միջին):

Ե
եթե Ի= 10 −2 , Դա
.

Բարձր ձայները վնասակար են մեր մարմնի համար: Սանիտարական ստանդարտը 30-40 դԲ է: Սա հանգիստ, հանգիստ խոսակցության ծավալն է:

Աղմուկի հիվանդություն՝ արյան բարձր ճնշում, նյարդային գրգռվածություն, լսողության կորուստ, հոգնածություն, վատ քուն:

Ձայնի ինտենսիվությունը և ծավալը տարբեր աղբյուրներից՝ ռեակտիվ ինքնաթիռներ՝ 140 դԲ, 100 Վտ/մ2; ռոք երաժշտություն ներսում - 120 դԲ, 1 Վտ/մ2; նորմալ խոսակցություն (դրանից 50 սմ) - 65 դԲ, 3,2∙10 −6 Վտ/մ 2:

սկիպիդարկախված է տատանումների հաճախականությունից՝ քան > ν , այնքան բարձր է ձայնը:

Տ
ձայնային տեմբրթույլ է տալիս տարբերակել նույն բարձրության և ծավալի երկու հնչյունները, որոնք արտադրվում են տարբեր գործիքների կողմից: Դա կախված է սպեկտրային կազմից:

Ուլտրաձայնային

Կիրառելի:ծովի խորությունը որոշելու, էմուլսիաների (ջուր, յուղ) պատրաստման, մասերի լվացման, կաշվի դաբաղման, մետաղական արտադրանքի թերությունների հայտնաբերման, բժշկության մեջ և այլն էխո հնչյունավորիչ:

Բաշխվում է զգալի հեռավորությունների վրա պինդ և հեղուկ վիճակում: Փոխանցում է շատ ավելի մեծ էներգիա, քան ձայնային ալիքը:

Թող տատանվող մարմինը լինի այնպիսի միջավայրում, որտեղ բոլոր մասնիկները փոխկապակցված են: Նրա հետ շփվող միջավայրի մասնիկները կսկսեն թրթռալ, ինչի արդյունքում պարբերական դեֆորմացիաներ (օրինակ՝ սեղմում և լարվածություն) տեղի են ունենում այս մարմնին հարող միջավայրի հատվածներում։ Դեֆորմացիաների ժամանակ միջավայրում առաջանում են առաձգական ուժեր, որոնք հակված են միջավայրի մասնիկները վերադարձնել իրենց սկզբնական հավասարակշռության վիճակին։

Այսպիսով, առաձգական միջավայրում ինչ-որ տեղ առաջացող պարբերական դեֆորմացիաները կտարածվեն որոշակի արագությամբ՝ կախված միջավայրի հատկություններից։ Այս դեպքում միջավայրի մասնիկները ալիքի միջոցով չեն ներքաշվում թարգմանական շարժման մեջ, այլ կատարում են տատանողական շարժումներ իրենց հավասարակշռության դիրքերի շուրջ միայն առաձգական դեֆորմացիան է փոխանցվում միջավայրի մի մասից մյուսը.

Միջավայրում տատանողական շարժման տարածման գործընթացը կոչվում է ալիքային գործընթաց կամ պարզապես ալիք. Երբեմն այս ալիքը կոչվում է առաձգական, քանի որ այն պայմանավորված է միջավայրի առաձգական հատկություններով:

Կախված ալիքի տարածման ուղղության նկատմամբ մասնիկների տատանումների ուղղությունից՝ առանձնանում են երկայնական և լայնակի ալիքները։Լայնակի և երկայնական ալիքների ինտերակտիվ ցուցադրում

Երկայնական ալիք – Սա ալիք է, որում միջավայրի մասնիկները տատանվում են ալիքի տարածման ուղղությամբ:

Երկար փափուկ զսպանակի վրա կարելի է դիտել երկայնական ալիք մեծ տրամագիծ. Հարվածելով աղբյուրի ծայրերից մեկին՝ դուք կարող եք նկատել, թե ինչպես են հաջորդական խտացումներն ու պտույտների հազվագյուտությունները տարածվելու ամբողջ գարնան ընթացքում՝ մեկը մյուսի հետևից վազելով: Նկարում կետերը ցույց են տալիս զսպանակային պարույրների դիրքը հանգստի վիճակում, իսկ հետո զսպանակավոր պարույրների դիրքերը հաջորդական ժամանակային ընդմիջումներով, որոնք հավասար են շրջանի քառորդին:

Լայնակի ալիք - Սա ալիք է, որում միջավայրի մասնիկները տատանվում են ալիքի տարածման ուղղությանը ուղղահայաց ուղղություններով։

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք լայնակի ալիքների ձևավորման գործընթացը: Որպես իրական լարի մոդել վերցնենք գնդերի շղթան (նյութական կետեր), որոնք միմյանց հետ կապված են առաձգական ուժերով։ Նկարը պատկերում է լայնակի ալիքի տարածման գործընթացը և ցույց է տալիս գնդակների դիրքերը հաջորդական ժամանակային ընդմիջումներով, որոնք հավասար են պարբերության քառորդին:

Ժամանակի սկզբնական պահին (t 0 = 0)բոլոր կետերը գտնվում են հավասարակշռության վիճակում: Այնուհետև մենք խանգարում ենք 1-ին կետը հավասարակշռության դիրքից A չափով շեղելով և 1-ին կետը սկսում է տատանվել, 2-րդ կետը, առաձգականորեն կապված 1-ին, մի փոքր ուշ գալիս է տատանողական շարժման, 3-րդը՝ նույնիսկ ավելի ուշ և այլն։ . Տատանումների շրջանի մեկ քառորդից հետո ( տ 2 = Տ 4 ) կտարածվի մինչև 4-րդ կետ, 1-ին կետը ժամանակ կունենա իր հավասարակշռված դիրքից շեղվելու համար. առավելագույն հեռավորությունը, հավասար է A տատանումների ամպլիտուդին: Կես պարբերությունից հետո 1-ին կետը, շարժվելով դեպի ներքև, կվերադառնա հավասարակշռության դիրքի, 4-րդը հավասարակշռության դիրքից շեղվել է A տատանումների ամպլիտուդին հավասար հեռավորությամբ, ալիքը տարածվել է. 7-րդ կետին և այլն։

Ըստ ժամանակի t 5 = T 1-ին կետը, ավարտելով ամբողջական տատանումը, անցնում է հավասարակշռության դիրքով, և տատանողական շարժումը կտարածվի մինչև 13-րդ կետը։ 1-ից 13-րդ բոլոր կետերը տեղակայված են այնպես, որ կազմեն ամբողջական ալիք, որը բաղկացած է դեպրեսիաներԵվ սրածայր

Կտրող ալիքի տարածման ցուցադրում

Ալիքի տեսակը կախված է միջավայրի դեֆորմացիայի տեսակից: Երկայնական ալիքները առաջանում են սեղմման-լարման դեֆորմացիայից, լայնակի ալիքները՝ կտրվածքային դեֆորմացիայից։ Ուստի գազերում և հեղուկներում, որոնցում առաձգական ուժեր առաջանում են միայն սեղմման ժամանակ, լայնակի ալիքների տարածումն անհնար է։ Պինդ մարմիններում առաձգական ուժերն առաջանում են ինչպես սեղմման (լարման), այնպես էլ ճեղքման ժամանակ, հետևաբար դրանցում կարող են տարածվել և՛ երկայնական, և՛ լայնակի ալիքները։

Ինչպես ցույց են տալիս նկարները, և՛ լայնակի, և՛ երկայնական ալիքներում, միջավայրի յուրաքանչյուր կետ տատանվում է իր հավասարակշռության դիրքի շուրջ և տեղաշարժվում դրանից ոչ ավելի, քան ամպլիտուդով, և միջավայրի դեֆորմացման վիճակը միջավայրի մի կետից տեղափոխվում է ուրիշ. Միջավայրում առաձգական ալիքների և դրա մասնիկների ցանկացած այլ կարգավորված շարժման միջև կարևոր տարբերությունն այն է, որ ալիքների տարածումը կապված չէ միջավայրում նյութի տեղափոխման հետ:

Կրկնվող շարժումները կամ վիճակի փոփոխությունները կոչվում են տատանումներ (փոփոխական էլեկտրական հոսանք, ճոճանակի շարժում, սրտի աշխատանք և այլն)։ Բոլոր թրթռումները, անկախ դրանց բնույթից, ունեն որոշ ընդհանուր սկզբունքներ։ Տատանումները միջավայրում տարածվում են ալիքների տեսքով։ Այս գլուխը քննարկում է մեխանիկական թրթռումները և ալիքները:

7.1. ներդաշնակ թրթռումներ

Ի թիվս տարբեր տեսակներթրթռումները ամենապարզ ձևն են ներդաշնակ տատանումդրանք. մեկը, որտեղ տատանվող մեծությունը փոխվում է՝ կախված ժամանակից՝ սինուսի կամ կոսինուսի օրենքի համաձայն։

Եկեք, օրինակ, զանգվածով նյութական կետ Տկախվել է զսպանակի վրա (նկ. 7.1, ա): Այս դիրքում առաձգական F 1 ուժը հավասարակշռում է ծանրության ուժը մգ.Եթե ​​դուք գարունը քաշեք հեռավորության վրա X(նկ. 7.1, բ), ապա նյութական կետի վրա կգործի մեծ առաձգական ուժ։ Առաձգական ուժի փոփոխությունը, ըստ Հուկի օրենքի, համաչափ է զսպանակի երկարության կամ տեղաշարժի փոփոխությանը. Xմիավորներ:

F = -kh,(7.1)

Որտեղ Դեպի- գարնանային կոշտություն; Մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ ուժը միշտ ուղղված է հավասարակշռության դիրքի վրա. Ֆ< 0 ժամը X> 0, F> 0 ժամը X< 0.

Մեկ այլ օրինակ.

Մաթեմատիկական ճոճանակն իր հավասարակշռության դիրքից թեքված է α փոքր անկյան տակ (նկ. 7.2): Այնուհետև ճոճանակի հետագիծը կարելի է համարել առանցքի հետ համընկնող ուղիղ գիծ Օհ.Այս դեպքում մոտավոր հավասարությունը

Որտեղ X- նյութական կետի տեղաշարժը հավասարակշռության դիրքի նկատմամբ. լ- ճոճանակի թելի երկարությունը.

Նյութական կետի վրա (տես նկ. 7.2) ազդում է թելի լարման ուժը F H և ձգողական ուժը: մգ.Դրանց արդյունքը հավասար է.

Համեմատելով (7.2) և (7.1)՝ մենք տեսնում ենք, որ այս օրինակում ստացվող ուժը նման է առաձգականին, քանի որ այն համաչափ է նյութական կետի տեղաշարժին և ուղղված է դեպի հավասարակշռության դիրքը։ Այդպիսի ուժերը, որոնք իրենց բնույթով ոչ առաձգական են, բայց հատկություններով նման են առաձգական մարմինների աննշան դեֆորմացիաների ժամանակ առաջացող ուժերին, կոչվում են քվազիառաձգական։

Այսպիսով, աղբյուրի (աղբյուրի ճոճանակի) կամ թելի (մաթեմատիկական ճոճանակի) վրա կախված նյութական կետը կատարում է ներդաշնակ տատանումներ։

7.2. ՎԻԲՐԱՑԻՈՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԿԻՆԵՏԻԿ ԵՎ ՊՈՏԵՆՑԻԱԼ ԷՆԵՐԳԻԱ

Տատանվող նյութական կետի կինետիկ էներգիան կարելի է հաշվարկել հետևյալով հայտնի բանաձեւ, օգտագործելով արտահայտությունը (7.10):

7.3. ՀԱՐՄՈՆԻԿ ՏԱՐՏՐԱՑՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՎԵԼՈՒՄ

Նյութական կետը կարող է միաժամանակ մասնակցել մի քանի տատանումների: Այս դեպքում ստացված շարժման հավասարումն ու հետագիծը գտնելու համար պետք է ավելացնել տատանումները։ Դա անելու ամենահեշտ ձևը ներդաշնակ թրթռումներ ավելացնելն է:

Դիտարկենք նման երկու խնդիր.

Հարմոնիկ տատանումների ավելացում՝ ուղղված մեկ ուղիղ գծով:

Թող նյութական կետը միաժամանակ մասնակցի մեկ գծի երկայնքով տեղի ունեցող երկու տատանումների: Վերլուծականորեն նման տատանումները արտահայտվում են հետևյալ հավասարումներով.

դրանք.

դրանք.

ստացված տատանումների ամպլիտուդը հավասար է բաղադրիչի տատանումների ամպլիտուդների տարբերությանը, եթե սկզբնական փուլերի տարբերությունը հավասար է π կենտ թվի (նկ. 7.8, բ): Մասնավորապես, A 1 = A 2-ի համար մենք ունենք A = 0, այսինքն. չկա թրթռում (նկ. 7.8, գ):

Սա միանգամայն ակնհայտ է. եթե նյութական կետը միաժամանակ մասնակցում է երկու տատանումների, որոնք ունեն նույն ամպլիտուդը և տեղի են ունենում հակաֆազում, ապա կետը անշարժ է: Եթե ​​ավելացված տատանումների հաճախականությունները նույնը չեն, ապա բարդ տատանումն այլևս ներդաշնակ չի լինի։

Հետաքրքիր դեպք է, երբ տատանումների բաղադրիչների հաճախականությունները քիչ են տարբերվում միմյանցից՝ ω 01 և ω 02. Ստացված տատանումը նման է ներդաշնակին, բայց դանդաղ փոփոխվող ամպլիտուդով (ամպլիտուդի մոդուլյացիա)։ Նման տատանումները կոչվում ենծեծում է

(նկ. 7.9):Փոխադարձ ուղղահայաց ներդաշնակ տատանումների գումարում: Թող նյութական կետը միաժամանակ մասնակցի երկու տատանումների. մեկն ուղղված է առանցքի երկայնքով:Օհ, մյուսը `առանցքի երկայնքով OY.

Տատանումները տրվում են հետևյալ հավասարումներով. Հավասարումներով (7.25) նշվում է նյութական կետի հետագիծը պարամետրային տեսքով: Եթե ​​փոխարինենք այս հավասարումներով տարբեր իմաստներտ, Xկարող եք որոշել կոորդինատները Եվ y,

իսկ կոորդինատների բազմությունը հետագիծն է։

Այսպիսով, նույն հաճախականության երկու փոխադարձ ուղղահայաց ներդաշնակ տատանումների միաժամանակյա մասնակցությամբ նյութական կետը շարժվում է էլիպսաձեւ ճանապարհով (նկ. 7.10):

Որոշ հատուկ դեպքեր հետևում են արտահայտությունից (7.26).

7.4. ՀԱՄԱԼԻՐ Տատանում. ԲԱՐԴ թրթռման ներդաշնակ սպեկտրը

Ինչպես երևում է 7.3-ից, թրթռումների ավելացումը հանգեցնում է թրթռման ավելի բարդ ռեժիմների: Գործնական նպատակների համար անհրաժեշտ է հակառակ գործողությունը. բարդ թրթիռի տարրալուծումը պարզ, սովորաբար ներդաշնակ թրթռումների: Ֆուրիեն ցույց է տվել, որ ցանկացած բարդության պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել որպես ներդաշնակ ֆունկցիաների գումար, որոնց հաճախականությունները համալիրի հաճախականության բազմապատիկն են։պարբերական ֆունկցիա . Պարբերական ֆունկցիայի այս տարրալուծումը ներդաշնակների և, հետևաբար, տարբեր պարբերական պրոցեսների (մեխանիկական, էլեկտրական և այլն) տարրալուծումը հարմոնիկ թրթիռների կոչվում է ներդաշնակ վերլուծություն։ Կան մաթեմատիկական արտահայտություններ, որոնք թույլ են տալիս գտնել ներդաշնակ ֆունկցիաների բաղադրիչները։ Թրթռումների ավտոմատ ներդաշնակ վերլուծություն, այդ թվում՝ բժշկական նպատակներով, իրականացվում է հատուկ սարքերով.

անալիզատորներ. Ներդաշնակ տատանումների ամբողջությունը, որոնց մեջ քայքայվում է բարդ տատանումները, կոչվում է

Հարմոնիկ սպեկտրը հարմար է պատկերացնել որպես առանձին ներդաշնակությունների հաճախականությունների (կամ շրջանաձև հաճախությունների) մի շարք՝ դրանց համապատասխան ամպլիտուդներով։ Այս ներկայացումը առավել հստակ է արվում գրաֆիկական ձևով: Որպես օրինակ Նկ. 7.14, և ներկայացված են բարդ տատանումների գրաֆիկները (կոր 4) և դրա բաղկացուցիչ ներդաշնակ թրթռումները (կորեր 1, 2 և 3); Նկ. Նկար 7.14b-ում ներկայացված է այս օրինակին համապատասխան ներդաշնակ սպեկտրը:

Բրինձ. 7.14, բ

Հարմոնիկ վերլուծությունը թույլ է տալիս բավական մանրամասն նկարագրել և վերլուծել ցանկացած բարդ տատանողական գործընթաց: Այն կիրառություն է գտնում ակուստիկայի, ռադիոտեխնիկայի, էլեկտրոնիկայի և գիտության և տեխնիկայի այլ ոլորտներում:

7.5. ԽՈՆԱՑՎԱԾ Տատանումներ

Հարմոնիկ թրթռումները ուսումնասիրելիս հաշվի չեն առնվել շփման և դիմադրության ուժերը, որոնք առկա են իրական համակարգերում։ Այս ուժերի գործողությունը զգալիորեն փոխում է շարժման բնույթը, տատանումը դառնում է մարում.

Եթե ​​համակարգում, բացի քվազի-առաձգական ուժից, կան միջավայրի դիմադրողական ուժեր (շփման ուժեր), ապա Նյուտոնի երկրորդ օրենքը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Որոշվում է տատանումների ամպլիտուդի նվազման արագությունը թուլացման գործակիցը:որքան մեծ է β, այնքան ավելի ուժեղ է միջավայրի արգելակող ազդեցությունը և այնքան արագ է նվազում ամպլիտուդը: Գործնականում, սակայն, հաճախ բնութագրվում է թուլացման աստիճանը լոգարիթմական թուլացման նվազում,սրանով նշանակում է հավասար արժեք բնական լոգարիթմերկու հաջորդական տատանումների ամպլիտուդների հարաբերակցությունը, որոնք բաժանված են տատանումների ժամանակաշրջանին հավասար ժամանակային ընդմիջումով.

Ուժեղ խոնավացումով (β 2 >>ω 2 0) բանաձևը (7.36) ցույց է տալիս, որ տատանման ժամանակաշրջանը երևակայական մեծություն է։ Շարժումն այս դեպքում արդեն կոչվում է պարբերական 1.Հնարավոր պարբերական շարժումները ներկայացված են գծապատկերների տեսքով Նկ. 7.16. Այս դեպքը, ինչպես վերաբերում է էլեկտրական երևույթներին, ավելի մանրամասն քննարկվում է Գլ. 18.

Շարունակական (տես 7.1) և խոնավացած տատանումներկանչեց սեփական կամ անվճար Դրանք առաջանում են սկզբնական տեղաշարժի կամ սկզբնական արագության արդյունքում և առաջանում են արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում՝ ի սկզբանե կուտակված էներգիայի պատճառով։

7.6. ՀԱՐԿԱԴՐՎԱԾ թրթռումներ. ՌԵԶՈՆԱՆՍ

Հարկադիր թրթռումներ կոչվում են տատանումներ, որոնք տեղի են ունենում համակարգում արտաքին ուժի մասնակցությամբ, որը փոփոխվում է պարբերական օրենքի համաձայն։

Ենթադրենք, որ նյութական կետի վրա, բացի քվազի-առաձգական ուժից և շփման ուժից, գործում է արտաքին շարժիչ ուժ.

1 Նկատի ունեցեք, որ եթե որոշ ֆիզիկական քանակությունընդունում է երևակայական իմաստներ, ապա դա նշանակում է ինչ-որ անսովորություն, համապատասխան երևույթի արտասովորություն։ Դիտարկված օրինակում արտառոցն այն է, որ գործընթացը դադարում է պարբերական լինելուց։

(7.43)-ից պարզ է դառնում, որ դիմադրության բացակայության դեպքում (β=0) ռեզոնանսում հարկադիր տատանումների ամպլիտուդը անսահման մեծ է։ Ավելին, (7.42)-ից հետևում է, որ ω res = ω 0 - ռեզոնանսը համակարգում առանց մարման տեղի է ունենում, երբ շարժիչ ուժի հաճախականությունը համընկնում է բնական տատանումների հաճախականության հետ: Հարկադիր տատանումների ամպլիտուդության գրաֆիկական կախվածությունը շարժիչ ուժի շրջանաձև հաճախականությունից՝ խոնավացման գործակցի տարբեր արժեքների համար ներկայացված է Նկ. 7.18.

Մեխանիկական ռեզոնանսը կարող է լինել և՛ օգտակար, և՛ վնասակար: Ռեզոնանսի վնասակար ազդեցությունը հիմնականում պայմանավորված է այն ոչնչացմամբ, որը կարող է առաջացնել: Այսպիսով, տեխնոլոգիայի մեջ, հաշվի առնելով տարբեր թրթռումները, անհրաժեշտ է ապահովել ռեզոնանսային պայմանների հնարավոր առաջացումը, հակառակ դեպքում կարող են լինել ավերածություններ և աղետներ։ Մարմինները սովորաբար ունենում են մի քանի բնական թրթռման հաճախականություններ և, համապատասխանաբար, մի քանի ռեզոնանսային հաճախականություններ։

Եթե ​​մարդու ներքին օրգանների թուլացման գործակիցը փոքր է եղել, ապա արտաքին թրթիռների կամ ձայնային ալիքների ազդեցության տակ այդ օրգաններում առաջացած ռեզոնանսային երեւույթները կարող են հանգեցնել ողբերգական հետեւանքների՝ օրգանների պատռում, կապանների վնասում և այլն։ Այնուամենայնիվ, նման երևույթները գործնականում չեն նկատվում չափավոր արտաքին ազդեցության տակ, քանի որ կենսաբանական համակարգերի թուլացման գործակիցը բավականին մեծ է։ Այնուամենայնիվ, արտաքին մեխանիկական թրթռումների ազդեցության տակ ռեզոնանսային երևույթներ են տեղի ունենում ներքին օրգաններ. Սա, ըստ երեւույթին, մարդու մարմնի վրա ինֆրաձայնային թրթռումների և թրթռումների բացասական ազդեցության պատճառներից մեկն է (տես 8.7 և 8.8):

7.7. ԻՆՔՆԱՍԻԼԱՑԻԱՆԵՐ

Ինչպես ցույց է տրված 7.6-ում, տատանումները համակարգում կարող են պահպանվել նույնիսկ դիմադրության ուժերի առկայության դեպքում, եթե համակարգը պարբերաբար ենթարկվում է արտաքին ազդեցության (հարկադիր տատանումներ): Այս արտաքին ազդեցությունը կախված չէ բուն տատանվող համակարգից, մինչդեռ հարկադիր տատանումների ամպլիտուդն ու հաճախականությունը կախված է այս արտաքին ազդեցությունից։

Այնուամենայնիվ, կան նաև տատանողական համակարգեր, որոնք իրենք են կարգավորում վատնված էներգիայի պարբերական համալրումը և, հետևաբար, կարող են տատանվել երկար ժամանակ:

Չխաթարված տատանումները, որոնք գոյություն ունեն ցանկացած համակարգում փոփոխական արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում, կոչվում են ինքնատատանումներ, իսկ ինքնին համակարգերը՝ ինքնատատանողական։

Ինքնատատանումների ամպլիտուդը և հաճախականությունը կախված են ինքնին տատանվող համակարգի հատկություններից, ի տարբերություն հարկադիր տատանումների, դրանք չեն որոշվում արտաքին ազդեցություններով.

Շատ դեպքերում, ինքնաշարժային համակարգերը կարող են ներկայացվել երեք հիմնական տարրերով.

1) ինքնին տատանողական համակարգը.

2) էներգիայի աղբյուր.

3) բուն տատանողական համակարգի էներգիայի մատակարարման կարգավորիչը.

Տատանողական համակարգ ըստ կապուղու հետադարձ կապ(նկ. 7.19) ազդում է կարգավորիչի վրա՝ տեղեկացնելով կարգավորողին այս համակարգի վիճակի մասին:

Մեխանիկական ինքնատատանողական համակարգի դասական օրինակը ժամացույցն է, որտեղ ճոճանակը կամ հավասարակշռությունը տատանվող համակարգ է, զսպանակը կամ բարձրացված քաշը՝ էներգիայի աղբյուր, իսկ խարիսխը՝ աղբյուրից էներգիայի հոսքի կարգավորիչ։ դեպի տատանողական համակարգ։

Բազմաթիվ կենսաբանական համակարգեր (սիրտ, թոքեր և այլն) ինքնուրույն տատանվող են։ Էլեկտրամագնիսական ինքնաթրթռացող համակարգի տիպիկ օրինակ են էլեկտրամագնիսական տատանումների գեներատորները (տե՛ս Գլուխ 23):

7.8. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ԱԼԻՔՆԵՐԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Մեխանիկական ալիքը մեխանիկական խանգարում է, որը տարածվում է տարածության մեջ և կրում էներգիա։

Կան երկու հիմնական տեսակ մեխանիկական ալիքներառաձգական ալիքներ - առաձգական դեֆորմացիաների տարածում - և ալիքներ հեղուկի մակերեսին:

Էլաստիկ ալիքներն առաջանում են միջավայրի մասնիկների միջև գոյություն ունեցող կապերի պատճառով. հավասարակշռության դիրքից մեկ մասնիկի շարժումը հանգեցնում է հարևան մասնիկների շարժմանը: Այս գործընթացը տարածության մեջ տարածվում է վերջավոր արագությամբ։

Ալիքի հավասարումն արտահայտում է տեղաշարժի կախվածությունը սալիքի գործընթացին մասնակցող տատանվող կետի հավասարակշռության դիրքի և ժամանակի կոորդինատներից։

Որոշակի OX ուղղությամբ տարածվող ալիքի համար այս կախվածությունը գրվում է ընդհանուր ձևով.

Եթե սկարող եք որոշել կոորդինատները Xուղղված մեկ ուղիղ գծի երկայնքով, ապա ալիքը երկայնական,եթե դրանք փոխադարձաբար ուղղահայաց են, ապա ալիքը լայնակի

Բերենք հարթ ալիքի հավասարումը: Թող ալիքը տարածվի առանցքի երկայնքով X(նկ. 7.20) առանց մարման այնպես, որ բոլոր կետերի տատանումների ամպլիտուդները լինեն նույնը և հավասար A-ին: Եկեք կետի տատանումը սահմանենք կոորդինատով. X= 0 (տատանումների աղբյուր) ըստ հավասարման

Մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների լուծումը դուրս է այս դասընթացի շրջանակներից: Լուծումներից մեկը (7.45) հայտնի է. Այնուամենայնիվ, կարևոր է նշել հետևյալը. Եթե ​​որևէ ֆիզիկական մեծության փոփոխությունը` մեխանիկական, ջերմային, էլեկտրական, մագնիսական և այլն, համապատասխանում է (7.49) հավասարմանը, ապա դա նշանակում է, որ համապատասխան ֆիզիկական մեծությունը տարածվում է ալիքի տեսքով υ արագությամբ:

7.9. ԱԼԻՔԻ ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ ՀՈՍՔ. ՎԵԿՏՈՐ UMOVA

Ալիքային գործընթացը կապված է էներգիայի փոխանցման հետ: Փոխանցվող էներգիայի քանակական բնութագիրը էներգիայի հոսքն է:

Ալիքային էներգիայի հոսքը հավասար է ալիքների կողմից որոշակի մակերևույթի միջով փոխանցվող էներգիայի հարաբերությանը այն ժամանակին, որի ընթացքում այս էներգիան փոխանցվում է.

Ալիքային էներգիայի հոսքի միավորն է վտ(W): Եկեք գտնենք կապը ալիքի էներգիայի հոսքի և տատանվող կետերի էներգիայի և ալիքի տարածման արագության միջև:

Եկեք ընտրենք միջավայրի ծավալը, որում ալիքը տարածվում է ուղղանկյուն զուգահեռանիստի տեսքով (նկ. 7.21), որի խաչմերուկի մակերեսը S է, իսկ եզրի երկարությունը թվայինորեն հավասար է արագությանը։ v և համընկնում է ալիքի տարածման ուղղության հետ։ Համապատասխանաբար, 1 վրկ-ում հարթակի միջով Սէներգիան, որին տիրապետում են զուգահեռականի ծավալով տատանվող մասնիկները Սυ.Սա ալիքի էներգիայի հոսքն է.

7.10. ՇՈԿԱՅԻՆ ԱԼԻՔՆԵՐ

Մեխանիկական ալիքի սովորական օրինակներից մեկն է ձայնային ալիք(տես Գլուխ 8): Այս դեպքում օդի առանձին մոլեկուլի թրթռման առավելագույն արագությունը վայրկյանում մի քանի սանտիմետր է, նույնիսկ բավականին բարձր ինտենսիվության դեպքում, այսինքն. այն զգալիորեն պակաս է ալիքի արագությունից (օդում ձայնի արագությունը մոտ 300 մ/վ է)։ Սա, ինչպես ասում են, համապատասխանում է շրջակա միջավայրի փոքր անկարգություններին։

Այնուամենայնիվ, մեծ խանգարումներով (պայթյուն, մարմինների գերձայնային շարժում, հզոր էլեկտրական լիցքաթափում և այլն), միջավայրի տատանվող մասնիկների արագությունը կարող է արդեն համեմատելի լինել ձայնի արագության հետ, և առաջանում է հարվածային ալիք:

Պայթյունի ժամանակ բարձր տաքացվող արտադրանքները մեծ խտությամբ ընդլայնվում և սեղմում են շրջակա օդի շերտերը: Ժամանակի ընթացքում սեղմված օդի ծավալը մեծանում է։ Մակերեւույթը, որը բաժանվում է սեղմված օդանխռովներից, ֆիզիկայում կանչում են հարվածային ալիք.Գազի խտության ցատկումը, երբ հարվածային ալիքը տարածվում է դրա միջով, սխեմատիկորեն ներկայացված է Նկ. 7.22, ա. Համեմատության համար նույն պատկերը ցույց է տալիս ձայնային ալիքի անցման ժամանակ միջավայրի խտության փոփոխությունը (նկ. 7.22, բ):

Բրինձ. 7.22

Հարվածային ալիքը կարող է զգալի էներգիա ունենալ, ուստի երբ միջուկային պայթյունմեջ հարվածային ալիքի ձևավորման համար միջավայրըսպառվում է պայթյունի էներգիայի մոտ 50%-ը։ Հետևաբար, հարվածային ալիքը, հասնելով կենսաբանական և տեխնիկական օբյեկտներին, կարող է հանգեցնել մահվան, վնասվածքների և ոչնչացման:

7.11. ԴՈՊԼԵՐԻ ԷՖԵԿՏ

Դոպլերի էֆեկտը դիտորդի (ալիքի ստացողի) կողմից ընկալվող ալիքների հաճախականության փոփոխությունն է՝ ալիքի աղբյուրի և դիտորդի հարաբերական շարժման պատճառով։

Առաձգական միջավայրում (պինդ, հեղուկ կամ գազային) տարածվող մեխանիկական թրթռումները կոչվում են մեխանիկական կամ առաձգական ալիքներ.

Շարունակական միջավայրում թրթռումների տարածման գործընթացը կոչվում է ալիքային պրոցես կամ ալիք։ Միջավայրի մասնիկները, որոնցում ալիքը տարածվում է, ալիքի կողմից չեն ներքաշվում թարգմանական շարժման մեջ: Նրանք տատանվում են միայն իրենց հավասարակշռության դիրքերի շուրջ։ Ալիքի հետ մեկտեղ միայն տատանողական շարժման վիճակը և դրա էներգիան են փոխանցվում միջավայրի մասնիկից մասնիկ։ Ահա թե ինչու Բոլոր ալիքների հիմնական հատկությունը, անկախ դրանց բնույթից, էներգիայի փոխանցումն է առանց նյութի փոխանցման.

Կախված մասնիկների թրթռումների ուղղությունից հարաբերական

դեպի այն ուղղությունը, որով տարածվում է ալիքը, կան կողմնակից

լոբարԵվ լայնակիալիքներ.

Էլաստիկ ալիքկանչեց երկայնական, եթե միջավայրի մասնիկների թրթռումները տեղի են ունենում ալիքի տարածման ուղղությամբ։ Երկայնական ալիքները կապված են միջավայրի ծավալային առաձգական-սեղմման դեֆորմացիայի հետ, հետևաբար դրանք կարող են տարածվել ինչպես պինդ, այնպես էլ

հեղուկների և գազային միջավայրերում:

xենթարկվում է կտրվածքային դեֆորմացման: Այս հատկությունն ունեն միայն պինդ մարմինները:

λ Նկ. 6.1.1-ում ներկայացված է ներդաշնակությունը

Միջավայրի բոլոր մասնիկների տեղաշարժի կախվածությունը տվյալ պահին տատանումների աղբյուրի հեռավորությունից: Նույն փուլում թրթռացող մոտակա մասնիկների միջև հեռավորությունը կոչվում է ալիքի երկարությունը.Ալիքի երկարությունը հավասար է նաև այն հեռավորությանը, որի վրա տատանումների որոշակի փուլ է տարածվում տատանումների ժամանակաշրջանում

Տատանվում են ոչ միայն 0 առանցքի երկայնքով տեղակայված մասնիկները X, բայց որոշակի ծավալում պարունակվող մասնիկների հավաքածու։ Այն կետերի երկրաչափական դիրքը, որոնց հասնում են տատանումները ժամանակի պահին տ, կանչեց ալիքի ճակատ. Ալիքի ճակատը այն մակերեսն է, որը բաժանում է տարածության այն մասը, որն արդեն ներգրավված է ալիքի գործընթացում այն ​​շրջանից, որտեղ տատանումներ դեռ չեն առաջացել: Նույն փուլում տատանվող կետերի երկրաչափական դիրքը կոչվում է ալիքի մակերեսը. Ալիքի մակերեսը կարող է գծվել ալիքի գործընթացով ծածկված տարածության ցանկացած կետով: Ալիքային մակերեսները կարող են լինել ցանկացած ձևի: Ամենապարզ դեպքերում նրանք ունեն հարթության կամ գնդիկի տեսք։ Համապատասխանաբար, ալիքը այս դեպքերում կոչվում է հարթ կամ գնդաձեւ: Հարթ ալիքում ալիքային մակերեսները միմյանց զուգահեռ հարթությունների ամբողջություն են, իսկ գնդաձև ալիքում՝ համակենտրոն գնդերի ամբողջություն։

Հարթ ալիքի հավասարումը

Հարթ ալիքի հավասարումը արտահայտություն է, որը տալիս է տատանվող մասնիկի տեղաշարժը՝ որպես նրա կոորդինատների ֆունկցիա։ x, y, զև ժամանակ տ

Այս ֆունկցիան պետք է պարբերական լինի և՛ ժամանակի առումով տ, և հարաբերական կոորդինատներին x, y, զ. Ժամանակի պարբերականությունը բխում է նրանից, որ տեղաշարժը Սնկարագրում է կոորդինատներով մասնիկի թրթռումները x, y, զ, իսկ կոորդինատներում պարբերականությունը բխում է նրանից, որ միմյանցից ալիքի երկարությանը հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերը թրթռում են նույն կերպ։

Ենթադրենք, որ տատանումները իրենց բնույթով ներդաշնակ են, իսկ առանցքը՝ 0 Xհամընկնում է ալիքի տարածման ուղղության հետ։ Այնուհետեւ ալիքի մակերեսները ուղղահայաց կլինեն 0 առանցքին Xև քանի որ ամեն ինչ

ալիքի մակերևույթի կետերը հավասարապես տատանվում են, տեղաշարժը Սկախված կլինի միայն կոորդինատից Xև ժամանակ տ

Գտնենք կամայական արժեքին համապատասխանող հարթության կետերի տատանումների տեսակը X. Ինքնաթիռից ճանապարհն անցնելու համար X= 0 դեպի հարթություն X, ալիքը պահանջում է ժամանակ τ = x/v. Հետևաբար, ինքնաթիռում ընկած մասնիկների թրթռումներ X, ինքնաթիռում մասնիկների տատանումներից ժամանակի հետ կհետաձգվի τ-ով X= 0 և նկարագրված է հավասարմամբ

Որտեղ Ա− ալիքի ամպլիտուդություն; ϕ 0 – ալիքի սկզբնական փուլը (որոշվում է հղման կետերի ընտրությամբ XԵվ տ).

Եկեք ֆիքսենք որոշ փուլային արժեք ω( տ − xυ) +ϕ 0 = կոնստ.

Այս արտահայտությունը սահմանում է ժամանակի հարաբերությունները տև այդ տեղը X, որում փուլն ունի ֆիքսված արժեք։ Տարբերակելով այս արտահայտությունը՝ մենք ստանում ենք

Եկեք հարթ ալիքի հավասարմանը տանք սիմետրիկ հարաբերական

խստորեն XԵվ տդիտել. Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք քանակը կ= 2 λ π, որը կոչվում է

այո ալիքի համարը, որը կարող է ներկայացվել ձևով

Մենք ենթադրում էինք, որ տատանումների ամպլիտուդը կախված չէ X. Հարթ ալիքի համար դա նկատվում է այն դեպքում, երբ ալիքի էներգիան չի կլանվում միջավայրի կողմից։ Էներգիա կլանող միջավայրում տարածվելիս ալիքի ինտենսիվությունը աստիճանաբար նվազում է տատանումների աղբյուրից հեռավորության հետ, այսինքն՝ նկատվում է ալիքի թուլացում։ Միատարր միջավայրում նման թուլացումը տեղի է ունենում էքսպոնենցիալ

օրենք Ա = Ա 0 ե −β x. Այնուհետև կլանող միջավայրի հարթ ալիքի հավասարումն ունի ձև

Որտեղ r r – շառավիղի վեկտոր, ալիքի կետեր; կ = կ ⋅n r − ալիքի վեկտոր ; n r-ը ալիքի մակերեսին նորմալի միավորի վեկտորն է:

Ալիքի վեկտոր− ալիքի թվին մեծությամբ հավասար վեկտոր է կև ունենալով նորմալ ուղղությունը դեպի ալիքի մակերեսը,

Եկեք սահմանենք ալիքի հավասարման ձևը. Դա անելու համար մենք գտնում ենք երկրորդ մասնակի ածանցյալները կոորդինատների և ժամանակի նկատմամբ, արտահայտությունը (6.3.3)