Շոշափող դիրքը. Շոշափող գիծ

\[(\Large(\text(Կենտրոնական և ներգծված անկյուններ)))\]

Սահմանումներ

Կենտրոնական անկյունը այն անկյունն է, որի գագաթը գտնվում է շրջանագծի կենտրոնում:

Ներգրված անկյունը այն անկյունն է, որի գագաթն ընկած է շրջանագծի վրա:

Շրջանակի աղեղի աստիճանի չափը կենտրոնական անկյան չափն է, որը հենվում է դրա վրա:

Թեորեմ

Ներգրված անկյան չափը նրա կտրած աղեղի չափի կեսն է:

Ապացույց

Ապացուցումը կիրականացնենք երկու փուլով. նախ՝ ապացուցում ենք հայտարարության վավերականությունը այն դեպքի համար, երբ ներգծված անկյան կողմերից մեկը տրամագիծ է պարունակում։ Թող \(B\) կետը լինի ներգծված անկյան գագաթը \(ABC\) և \(BC\) շրջանագծի տրամագիծը.

Եռանկյունը \(AOB\) հավասարաչափ է, \(AO = OB\) , \(\անկյուն AOC\) արտաքին է, ապա \(\անկյուն AOC = \անկյուն OAB + \անկյուն ABO = 2\անկյուն ABC\), որտեղ \(\անկյուն ABC = 0.5\cdot\անկյուն AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Այժմ դիտարկենք կամայական ներգծված անկյունը \(ABC\) . Ներգծված անկյան գագաթից գծի՛ր շրջանագծի տրամագիծը \(BD\): Հնարավոր է երկու դեպք.

1) տրամագիծը կտրեց անկյունը երկու անկյունների \(\անկյուն ABD, \անկյուն CBD\) (որոնցից յուրաքանչյուրի համար թեորեմը ճիշտ է, ինչպես ապացուցվեց վերևում, հետևաբար ճիշտ է նաև սկզբնական անկյան համար, որը սրանց գումարն է. երկուսը և, հետևաբար, հավասար է աղեղների գումարի կեսին, որոնց վրա նրանք հենվում են, այսինքն՝ հավասար է այն աղեղի կեսին, որի վրա այն հենվում է): Բրինձ. մեկ.

2) տրամագիծը չի կտրել անկյունը երկու անկյան տակ, ապա ունենք ևս երկու նոր ներգծված անկյուն \(\անկյուն ABD, \անկյուն CBD\) , որոնց կողմը պարունակում է տրամագիծը, հետևաբար թեորեմը ճիշտ է նրանց համար, ապա այն. ճշմարիտ է նաև սկզբնական անկյան համար (որը հավասար է այս երկու անկյունների տարբերությանը, ինչը նշանակում է, որ հավասար է աղեղների կես տարբերությանը, որոնց վրա նրանք հենվում են, այսինքն՝ հավասար է աղեղի կեսին, որի վրա հանգստանում է): Բրինձ. 2.

Հետեւանքները

1. Նույն աղեղի վրա հիմնված ներգծված անկյունները հավասար են։

2. Կիսաշրջանի վրա հիմնված ներգծված անկյունն ուղղանկյուն է:

3. Ներգրված անկյունը հավասար է նույն աղեղի վրա հիմնված կենտրոնական անկյան կեսին:

\[(\Large(\text(Շոշափող շրջանակին)))\]

Սահմանումներ

Գոյություն ունեն գծի և շրջանագծի փոխադարձ դասավորության երեք տեսակ.

1) \(a\) ուղիղը հատում է շրջանագիծը երկու կետով: Նման տողը կոչվում է սեկանտ: Այս դեպքում շրջանագծի կենտրոնից մինչև ուղիղ գիծ \(d\) հեռավորությունը փոքր է շրջանագծի \(R\) շառավղից (նկ. 3):

2) \(b\) ուղիղը հատում է շրջանագիծը մի կետում: Նման ուղիղ գիծը կոչվում է շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը \(B\) կոչվում է շոշափող կետ: Այս դեպքում \(d=R\) (նկ. 4):

Թեորեմ

1. Շրջանակին շոշափողն ուղղահայաց է շփման կետին գծված շառավղին:

2. Եթե ուղիղն անցնում է շրջանագծի շառավիղի ծայրով և ուղղահայաց է այս շառավղին, ապա այն շոշափում է շրջանագծին։

Հետևանք

Մի կետից շրջանագիծ գծված շոշափողների հատվածները հավասար են։

Ապացույց

\(K\) կետից գծե՛ք երկու շոշափող \(KA\) և \(KB\) շրջանագծին.

Այսպիսով, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) որպես շառավիղներ: Ուղղանկյուն եռանկյունները \(\եռանկյունի KAO\) և \(\եռանկյունի KBO\) հավասար են ոտքով և հիպոթենուսով, հետևաբար \(KA=KB\) .

Հետևանք

\(O\) շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է \(AKB\) անկյան կիսաչափի վրա, որը կազմված է նույն \(K\) կետից գծված երկու շոշափողներով:

\[(\Large(\text(Անկյունների հետ կապված թեորեմներ)))\]

Սեկանտների միջև անկյան մասին թեորեմը

Միևնույն կետից գծված երկու հատվածների միջև անկյունը հավասար է նրանց կողմից կտրված ավելի մեծ և փոքր աղեղների աստիճանի չափումների կես տարբերությանը:

Ապացույց

Թող \(M\) լինի մի կետ, որտեղից երկու հատված են գծված, ինչպես ցույց է տրված նկարում.

Եկեք դա ցույց տանք \(\անկյուն DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ Angle DAB\) եռանկյունու արտաքին անկյունն է \(MAD\) , ապա \(\ անկյուն DAB = \անկյուն DMB + \անկյուն MDA\), որտեղ \(\ անկյուն DMB = \անկյուն DAB - \անկյուն MDA\), բայց \(\անկյուն DAB\) և \(\անկյուն MDA\) անկյունները գրված են, ապա \(\անկյուն DMB = \անկյուն DAB - \անկյուն MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), որը պետք է ապացուցվեր։

Անկյունի թեորեմ՝ հատվող ակորդների միջև

Երկու հատվող ակորդների միջև անկյունը հավասար է նրանց կտրած աղեղների աստիճանի չափումների գումարի կեսին. \[\անկյուն CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\աջ)\]

Ապացույց

\(\անկյուն BMA = \անկյուն CMD\) որպես ուղղահայաց:

Եռանկյունից \(դրամ\) : \(\անկյուն AMD = 180^\circ - \անկյուն BDA - \անկյուն CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Բայց \(\անկյուն AMD = 180^\circ - \անկյուն CMD\), որտեղից եզրակացնում ենք, որ \[\անկյուն CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ժպտացեք (CD)):\]

Թեորեմ ակորդի և շոշափողի միջև անկյան մասին

Շոշափողի և շոշափողի կետով անցնող ակորդի միջև անկյունը հավասար է ակորդի կողմից հանված աղեղի աստիճանի կեսին:

Ապացույց

Թող \(a\) տողը դիպչի շրջանագծին \(A\) կետում, \(AB\) լինի այս շրջանագծի ակորդը, \(O\) կենտրոնը: Թող \(OB\) պարունակող տողը հատվի \(a\) \(M\) կետում: Ապացուցենք դա \(\ Angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Նշեք \(\անկյուն OAB = \ալֆա\) . Քանի որ \(OA\) և \(OB\) շառավիղներ են, ապա \(OA = OB\) և \(\ Angle OBA = \անկյուն OAB = \ալֆա\). Այսպիսով, \(\buildrel\smile\over(AB) = \անկյուն AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \ալֆա)\).

Քանի որ \(OA\) շառավիղն է, որը գծված է շոշափող կետին, ապա \(OA\perp a\) , այսինքն՝ \(\անկյուն OAM = 90^\circ\), հետևաբար, \(\անկյուն BAM = 90^\circ - \անկյուն OAB = 90^\circ - \ալֆա = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Հավասար ակորդներով կծկված աղեղների թեորեմ

Հավասար ակորդները հավասար աղեղներ են ձգում, ավելի փոքր կիսաշրջաններ:

Եվ հակառակը՝ հավասար աղեղները կծկվում են հավասար ակորդներով։

Ապացույց

1) Թող \(AB=CD\) . Ապացուցենք, որ աղեղի փոքր կիսաշրջանները:

Երեք կողմից, հետևաբար \(\անկյուն AOB=\անկյուն COD\) . Բայց քանի որ \(\անկյուն AOB, \անկյուն COD\) - կենտրոնական անկյուններ, որոնք հիմնված են կամարների վրա \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)համապատասխանաբար, ապա \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Եթե \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), ապա \(\եռանկյուն AOB=\եռանկյուն COD\)երկու կողմերի երկայնքով \(AO=BO=CO=DO\) և նրանց միջև եղած անկյունը \(\անկյուն AOB=\անկյուն COD\) . Հետևաբար, \(AB=CD\) .

Թեորեմ

Եթե ​​շառավիղը կիսում է ակորդը, ապա այն ուղղահայաց է դրան:

Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե շառավիղը ուղղահայաց է ակորդին, ապա հատման կետը կիսում է այն:

Ապացույց

1) Թող \(AN=NB\) . Եկեք ապացուցենք, որ \(OQ\perp AB\) .

Դիտարկենք \(\եռանկյուն AOB\) . այն հավասարաչափ է, քանի որ \(OA=OB\) – շրջանագծի շառավիղներ: Որովհետեւ \(ON\)-ը հիմքի վրա գծված միջինն է, այնուհետև այն նաև բարձրությունն է, հետևաբար \(ON\perp AB\) .

2) Թող \(OQ\perp AB\) . Եկեք ապացուցենք, որ \(AN=NB\) .

Նմանապես, \(\եռանկյունը AOB\) հավասարաչափ է, \(ON\)-ը բարձրությունն է, ուստի \(ON\)-ը միջինն է: Հետևաբար, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Հատվածների երկարությունների հետ կապված թեորեմներ)))\]

Թեորեմ ակորդների հատվածների արտադրյալի մասին

Եթե ​​շրջանագծի երկու ակորդները հատվում են, ապա մի ակորդի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս ակորդի հատվածների արտադրյալին։

Ապացույց

Թող \(AB\) և \(CD\) ակորդները հատվեն \(E\) կետում:

Դիտարկենք \(ADE\) և \(CBE\) եռանկյունները: Այս եռանկյուններում \(1\) և \(2\) անկյունները հավասար են, քանի որ դրանք ներգծված են և հենվում են նույն աղեղի վրա \(BD\) , իսկ անկյունները \(3\) և \(4\) հավասար են ուղղահայացին: \(ADE\) և \(CBE\) եռանկյունները նման են (ըստ առաջին եռանկյունի նմանության չափանիշի):

Հետո \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), որտեղից \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Շոշափող և սեկանտային թեորեմ

Շոշափող հատվածի քառակուսին հավասար է կտրվածքի և դրա արտաքին մասի արտադրյալին:

Ապացույց

Թող շոշափողն անցնի \(M\) կետով և դիպչի \(A\) կետի շրջանակին: Թող հատվածն անցնի \(M\) կետով և շրջանագիծը հատի \(B\) և \(C\) կետերում այնպես, որ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Դիտարկենք \(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունները. \(\անկյունը M\) ընդհանուր է, \(\անկյուն BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Ըստ շոշափողի և սեկանտի անկյան թեորեմի՝ \(\անկյուն BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \անկյուն BCA\). Այսպիսով, \(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունները նման են երկու անկյուններում:

\(MBA\) և \(MCA\) եռանկյունների նմանությունից ունենք. \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), որը համարժեք է \(MB\cdot MC = MA^2\)-ին:

Հետևանք

\(O\) կետից գծված հատվածի և դրա արտաքին մասի արտադրյալը կախված չէ \(O\) կետից գծված հատվածի ընտրությունից։

Հոդվածում մանրամասն բացատրվում են սահմանումները, ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը՝ գրաֆիկական նշումով։ Շոշափողի հավասարումը կդիտարկվի օրինակներով, կգտնվեն 2-րդ կարգի կորերին շոշափողի հավասարումները։

y \u003d k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը կոչվում է անկյուն α, որը չափվում է x առանցքի դրական ուղղությունից դեպի ուղիղ y \u003d k x + b դրական ուղղությամբ:

Նկարում եզի ուղղությունը նշված է կանաչ սլաքով և կանաչ աղեղով, իսկ թեքության անկյունը՝ կարմիր աղեղով։ Կապույտ գիծը վերաբերում է ուղիղ գծին:

Սահմանում 2

y \u003d k x + b ուղիղ գծի թեքությունը կոչվում է k թվային գործակից:

Թեքությունը հավասար է ուղիղ գծի թեքությանը, այլ կերպ ասած k = t g α :

• Ուղիղ գծի թեքությունը 0 է միայն այն դեպքում, երբ o x-ը զուգահեռ է, իսկ թեքությունը հավասար է զրոյի, քանի որ զրոյի շոշափողը 0 է։ Այսպիսով, հավասարման ձևը կլինի y = b:
• Եթե ​​y = k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը սուր է, ապա պայմանները 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , իսկ գրաֆիկի աճ կա։
• Եթե ​​α \u003d π 2, ապա գծի գտնվելու վայրը ուղղահայաց է x-ին: Հավասարությունը սահմանվում է x = c հավասարությամբ, որտեղ c-ն իրական թիվ է:
• Եթե ​​y = k x + b ուղիղ գծի թեքության անկյունը բութ է, ապա այն համապատասխանում է π 2 պայմաններին.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Սեկանտը ուղիղ գիծ է, որն անցնում է f (x) ֆունկցիայի 2 կետերով։ Այլ կերպ ասած, սեկանտը ուղիղ գիծ է, որն անցնում է տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած երկու կետով:

Նկարից երևում է, որ A B-ն հատված է, իսկ f (x)-ը սև կոր է, α-ն կարմիր աղեղ է՝ ցույց տալով հատվածի թեքության անկյունը։

Երբ ուղիղ գծի թեքությունը հավասար է թեքության անկյան շոշափողին, պարզ է, որ A B C ուղղանկյուն եռանկյան շոշափումը կարելի է գտնել հարակից ոտքի նկատմամբ:

Սահմանում 4

Ձևի հատվածը գտնելու բանաձևը ստանում ենք.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, որտեղ A և B կետերի աբսցիսաները x A, x B և f (x A), f (x) արժեքներն են: Բ) արժեքների ֆունկցիաներն են այս կետերում:

Ակնհայտ է, որ հատվածի թեքությունը սահմանվում է k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A կամ k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x հավասարության միջոցով: B, և հավասարումը պետք է գրվի որպես y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) կամ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Սեկանտը տեսողականորեն գրաֆիկը բաժանում է 3 մասի. A կետից ձախ, A-ից B, B-ից աջ: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս, որ կան երեք հատվածներ, որոնք համարվում են նույնը, այսինքն. սահմանել՝ օգտագործելով նմանատիպ հավասարում:

Ըստ սահմանման պարզ է, որ այս դեպքում տողը և դրա հատվածը համընկնում են։

Սեկանտը կարող է մի քանի անգամ հատել տվյալ ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Եթե ​​կա y \u003d 0 ձևի հավասարում հատվածի համար, ապա սինուսոիդի հետ հատման կետերի թիվը անսահման է:

Սահմանում 5

x 0 կետում f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող; f (x 0) կոչվում է տրված կետով անցնող ուղիղ x 0; f (x 0), հատվածի առկայությամբ, որն ունի x 0-ին մոտ շատ x արժեքներ:

Օրինակ 1

Եկեք ավելի սերտ նայենք ստորև բերված օրինակին: Այնուհետև երևում է, որ y = x + 1 ֆունկցիայով տրված ուղիղը համարվում է շոշափող y = 2 x-ին (1 ; 2) կոորդինատներով կետում: Հստակության համար անհրաժեշտ է դիտարկել գրաֆիկները (1; 2) մոտ արժեքներով: y = 2 x ֆունկցիան նշված է սևով, կապույտ գիծը շոշափողն է, կարմիր կետը՝ հատման կետը։

Ակնհայտ է, որ y \u003d 2 x միաձուլվում է y \u003d x + 1 տողի հետ:

Շոշափողը որոշելու համար դիտարկենք A B շոշափողի վարքը, քանի որ B կետը անվերջ մոտենում է A կետին, պարզության համար ներկայացնում ենք պատկեր.

Կապույտ գծով նշված A B հատվածը հակված է դեպի բուն շոշափողի դիրքը, և α-ի թեքության անկյունը կսկսի ձգվել դեպի α x շոշափողի թեքության անկյունը:

Սահմանում 6

A կետում y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը A կետի A B հատվածի սահմանային դիրքն է B-ում, որը հակված է A-ին, այսինքն ՝ B → A:

Այժմ մենք դիմում ենք մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակության դիտարկմանը:

Եկեք անցնենք f (x) ֆունկցիայի A B հատվածը դիտարկելուն, որտեղ A և B կոորդինատներով x 0, f (x 0) և x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), իսկ ∆ x-ն է: նշվում է որպես փաստարկի ավելացում: Այժմ ֆունկցիան կունենա ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Պարզության համար որպես օրինակ վերցնենք նկար:

Դիտարկենք ստացված ուղղանկյուն եռանկյունը A B C: Լուծման համար օգտագործում ենք շոշափողի սահմանումը, այսինքն՝ ստանում ենք ∆ y ∆ x = t g α հարաբերակցությունը: Շոշափողի սահմանումից հետևում է, որ lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x: Ըստ ածանցյալ կանոնի մի կետում ունենք, որ f (x) ածանցյալը x 0 կետում կոչվում է ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանագիծ արգումենտի աճին, որտեղ ∆ x → 0, ապա. նշվում է որպես f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x:

Հետևում է, որ f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, որտեղ k x-ը նշանակվում է որպես շոշափողի թեքություն:

Այսինքն՝ մենք ստանում ենք, որ f' (x) կարող է գոյություն ունենալ x 0 կետում և, ինչպես ֆունկցիայի տրված գրաֆիկին շոշափողը շփման կետում, որը հավասար է x 0-ին, f 0 (x 0), որտեղ արժեքը կետում շոշափողի թեքությունը հավասար է x 0 կետի ածանցյալին: Այնուհետև մենք ստանում ենք, որ k x = f "(x 0) .

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունն այն է, որ տրված է նույն կետում գրաֆիկին շոշափողի գոյության հայեցակարգը։

Հարթության մեջ ցանկացած ուղիղ գծի հավասարումը գրելու համար անհրաժեշտ է ունենալ թեքություն այն կետով, որով այն անցնում է։ Խաչմերուկում դրա նշանակումը վերցված է x 0:

y \u003d f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը x 0 կետում, f 0 (x 0) ստանում է y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) ձևը 0) .

Դա նշանակում է, որ f "(x 0) ածանցյալի վերջնական արժեքը կարող է որոշել շոշափողի դիրքը, այսինքն՝ ուղղահայաց lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ և lim x → x 0 պայմանով։ - 0 f "(x) = ∞ կամ ընդհանրապես բացակայություն lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) պայմանով:

Շոշափողի գտնվելու վայրը կախված է նրա լանջի արժեքից k x \u003d f "(x 0): Երբ զուգահեռ ենք o x առանցքին, մենք ստանում ենք, որ k k \u003d 0, երբ զուգահեռ o y - k x \u003d ∞, և ձևը. շոշափող հավասարման x \u003d x 0 աճում է k x > 0-ով, նվազում է որպես k x< 0 .

Օրինակ 2

Կազմե՛ք y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը (1; 3) կոորդինատներով մի կետում՝ անկյան սահմանմամբ։ թեքություն.

Որոշում

Ենթադրությամբ ունենք, որ ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական թվերի համար։ Մենք ստանում ենք, որ (1; 3) պայմանով նշված կոորդինատներով կետը շփման կետն է, ապա x 0 = - 1, f (x 0) = - 3:

Անհրաժեշտ է ածանցյալը գտնել 1 արժեք ունեցող կետում: Մենք դա հասկանում ենք

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Շփման կետում f' (x) արժեքը շոշափողի թեքությունն է, որը հավասար է թեքության շոշափմանը:

Այնուհետև k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Հետևում է, որ α x = a r c t g 3 3 = π 6

Պատասխան.շոշափող հավասարումը ձև է ստանում

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Պարզության համար մենք օրինակ ենք բերում գրաֆիկական նկարազարդման մեջ:

Բնօրինակ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար օգտագործվում է սև գույնը, կապույտը շոշափող պատկերն է, կարմիր կետը հպման կետն է: Աջ կողմի նկարը ցույց է տալիս ընդլայնված տեսք:

Օրինակ 3

Պարզեք տրված ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի առկայությունը
y = 3 x - 1 5 + 1 կոորդինատներով կետում (1; 1): Գրի՛ր հավասարում և որոշի՛ր թեքության անկյունը:

Որոշում

Ենթադրությամբ ունենք, որ տվյալ ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

Անցնենք ածանցյալը գտնելուն

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Եթե ​​x 0 = 1 , ապա f ' (x) սահմանված չէ, բայց սահմանները գրվում են որպես lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ և lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , ինչը նշանակում է գոյություն ունենալ ուղղահայաց շոշափող ժամը կետ (1; 1):

Պատասխան.հավասարումը կունենա x \u003d 1 ձև, որտեղ թեքության անկյունը հավասար կլինի π 2-ի:

Պարզության համար եկեք պատկերացնենք այն:

Օրինակ 4

Գտե՛ք y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերը, որտեղ

1. Շոշափողը գոյություն չունի.
2. Շոշափողը զուգահեռ է x-ին;
3. Շոշափողը զուգահեռ է y = 8 5 x + 4 ուղիղին:

Որոշում

Պետք է ուշադրություն դարձնել սահմանման տիրույթին։ Ենթադրությամբ ունենք, որ ֆունկցիան սահմանված է բոլոր իրական թվերի բազմության վրա։ Ընդլայնել մոդուլը և լուծել համակարգը x ∈ - ∞ ընդմիջումներով; 2 և [-2; +∞) . Մենք դա հասկանում ենք

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [-2; +∞)

Գործառույթը պետք է տարբերակված լինի: Մենք դա ունենք

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [-2; +∞)

Երբ x = - 2, ապա ածանցյալը գոյություն չունի, քանի որ միակողմանի սահմաններն այդ կետում հավասար չեն.

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի արժեքը x \u003d - 2 կետում, որտեղ մենք ստանում ենք դա

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, այսինքն՝ շոշափողը (- 2; - 2) կետը գոյություն չի ունենա:
2. Շոշափողը զուգահեռ է x-ին, երբ թեքությունը զրոյական է: Այնուհետև k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0): Այսինքն, անհրաժեշտ է գտնել այդպիսի x-ի արժեքները, երբ ֆունկցիայի ածանցյալն այն վերածում է զրոյի: Այսինքն, արժեքները f '(x)-ի և կլինեն հպման կետեր, որտեղ շոշափողը զուգահեռ է x-ի մոտ:

Երբ x ∈ - ∞ ; - 2 , ապա - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, իսկ x ∈ (- 2 ; + ∞) համար մենք ստանում ենք 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0:

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Մենք հաշվարկում ենք ֆունկցիայի համապատասխան արժեքները

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Հետեւաբար - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3-ը համարվում են ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկալի կետերը:

Դիտարկենք լուծման գրաֆիկական պատկերը:

Սև գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկն է, կարմիր կետերը՝ հպման կետերը։

1. Երբ գծերը զուգահեռ են, թեքությունները հավասար են: Այնուհետեւ անհրաժեշտ է փնտրել ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետերը, որտեղ թեքությունը հավասար կլինի 8 5 արժեքին։ Դա անելու համար դուք պետք է լուծեք y «(x) = 8 5 ձևի հավասարումը: Այնուհետև, եթե x ∈ - ∞; - 2, մենք ստանում ենք, որ - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8: 5, և եթե x ∈ ( - 2 ; + ∞) , ապա 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5:

Առաջին հավասարումը արմատներ չունի, քանի որ դիսկրիմինանտը զրոյից փոքր է: Եկեք դա գրենք

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Մեկ այլ հավասարում ունի երկու իրական արմատ, ուրեմն

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Եկեք անցնենք ֆունկցիայի արժեքները գտնելուն։ Մենք դա հասկանում ենք

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Արժեքներով միավորներ - 1; 4 15, 5; 8 3 այն կետերն են, որտեղ շոշափողները զուգահեռ են y = 8 5 x + 4 ուղիղին:

Պատասխան.սև գիծ - ֆունկցիայի գրաֆիկ, կարմիր գիծ - գրաֆիկ y \u003d 8 5 x + 4, կապույտ գիծ - շոշափողներ կետերում - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Տրված ֆունկցիաների համար հնարավոր է անսահման թվով շոշափողների առկայությունը։

Օրինակ 5

Գրեք y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 ֆունկցիայի բոլոր հասանելի շոշափողների հավասարումները, որոնք ուղղահայաց են y = - 2 x + 1 2 ուղղին:

Որոշում

Շոշափող հավասարումը կազմելու համար անհրաժեշտ է գտնել շոշափողի կետի գործակիցը և կոորդինատները՝ ելնելով ուղիղների ուղղահայացության պայմանից։ Սահմանումը հնչում է այսպես՝ ուղիղ գծերին ուղղահայաց թեքությունների արտադրյալը հավասար է - 1-ի, այսինքն՝ գրվում է k x · k ⊥ = - 1։ Պայմանից ունենք, որ թեքությունը ուղղահայաց է ուղիղ գծին և հավասար է k ⊥ = - 2, ապա k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2:

Այժմ մենք պետք է գտնենք հպման կետերի կոորդինատները: Պետք է գտնել x, որից հետո դրա արժեքը տվյալ ֆունկցիայի համար։ Նկատի ունեցեք, որ կետում ածանցյալի երկրաչափական իմաստից
x 0 մենք ստանում ենք, որ k x \u003d y "(x 0) : Այս հավասարությունից մենք գտնում ենք x արժեքները հպման կետերի համար:

Մենք դա հասկանում ենք

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - մեղք 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 մեղք 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Այս եռանկյունաչափական հավասարումը կօգտագործվի հպման կետերի օրդինատները հաշվարկելու համար:

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk կամ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk կամ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk կամ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z-ն ամբողջ թվերի բազմությունն է։

Գտնվել է x շփման կետեր: Այժմ դուք պետք է գնաք y արժեքների որոնմանը.

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - մեղք 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 կամ y 0 = 3 - 1 - մեղք 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 կամ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 կամ y 0 = - 4 5 + 1 3

Այստեղից մենք ստանում ենք, որ 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 հպման կետեր են:

Պատասխան.անհրաժեշտ հավասարումները կգրվեն այսպես

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Զ

Տեսողական ներկայացման համար հաշվի առեք ֆունկցիան և շոշափողը կոորդինատային գծի վրա:

Նկարը ցույց է տալիս, որ ֆունկցիայի գտնվելու վայրը գտնվում է [-10; 10] , որտեղ սև գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկն է, կապույտ գծերը շոշափողներ են, որոնք ուղղահայաց են y = - 2 x + 1 2 ձևի տրված ուղիղին։ Կարմիր կետերը հպման կետեր են:

2-րդ կարգի կորերի կանոնական հավասարումները միարժեք ֆունկցիաներ չեն։ Նրանց համար շոշափող հավասարումները կազմվում են ըստ հայտնի սխեմաների։

Շոշափող շրջանին

Սահմանել շրջան, որը կենտրոնացած է x c e n t e r կետում; y c e n t e r եւ R շառավիղը, օգտագործվում է x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 բանաձեւը:

Այս հավասարությունը կարելի է գրել որպես երկու ֆունկցիաների միություն.

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Առաջին գործառույթը գտնվում է վերևում, իսկ երկրորդը՝ ներքևում, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Կազմել շրջանագծի հավասարում x 0 կետում; y 0, որը գտնվում է վերին կամ ստորին կիսաշրջանում, դուք պետք է գտնեք y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r կամ y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r ձևի գրաֆիկի հավասարումը: 2 + y c e n t e r նշված կետում:

Երբ x c e n t e r կետերում; y c e n t e r + R և x c e n t e r; y c e n t e r - R շոշափողները կարող են տրվել y = y c e n t e r + R և y = y c e n t e r - R հավասարումներով և x c e n t e r + R կետերում; y c e n t e r եւ
x c e n t e r - R; y c e n t e r-ը զուգահեռ կլինի y-ի մասին, ապա կստանանք x = x c e n t e r + R և x = x c e n t e r - R ձևի հավասարումներ:

Էլիպսին շոշափող

Երբ էլիպսը կենտրոնացած է x c e n t e r-ում; y c e n t e r a և b կիսաառանցքներով, ապա այն կարող է տրվել x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 հավասարման միջոցով:

Էլիպսը և շրջանագիծը կարելի է նշանակել երկու ֆունկցիաների համադրմամբ, այն է՝ վերին և ստորին կիսաձևը։ Հետո մենք ստանում ենք դա

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Եթե ​​շոշափողները գտնվում են էլիպսի գագաթներում, ապա դրանք զուգահեռ են x-ի կամ y-ի մոտ: Պարզության համար հաշվի առեք ստորև բերված նկարը:

Օրինակ 6

Գրե՛ք էլիպսի շոշափողի հավասարումը x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 x արժեքներով, որոնք հավասար են x = 2-ին:

Որոշում

Անհրաժեշտ է գտնել հպման կետեր, որոնք համապատասխանում են x = 2 արժեքին: Մենք փոխարինում ենք էլիպսի գոյություն ունեցող հավասարմանը և ստանում այն

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Այնուհետև 2; 5 3 2 + 5 և 2; - 5 3 2 + 5-ը շոշափող կետերն են, որոնք պատկանում են վերին և ստորին կիսաձև հատվածներին:

Անցնենք y-ի նկատմամբ էլիպսի հավասարման որոնմանն ու լուծմանը։ Մենք դա հասկանում ենք

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Ակնհայտ է, որ վերին կիսաէլիպսը նշված է y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ձևի ֆունկցիայի միջոցով, իսկ ստորինը y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2:

Մենք կիրառում ենք ստանդարտ ալգորիթմը, որպեսզի ձևակերպենք ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի հավասարումը մի կետում: Մենք գրում ենք, որ 2-րդ կետի առաջին շոշափողի հավասարումը. 5 3 2 + 5 նման կլինի

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Մենք ստանում ենք, որ երկրորդ շոշափողի հավասարումը կետի արժեքի հետ
2; - 5 3 2 + 5 դառնում է

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Գրաֆիկորեն շոշափողները նշվում են հետևյալ կերպ.

Հիպերբոլին շոշափող

Երբ հիպերբոլան կենտրոն ունի x c e n t e r կետում; y c e n t e r եւ գագաթները x c e n t e r + α ; y c e n t e r եւ x c e n t e r - α ; y c e n t e r անհավասարությունը x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 տրված է, եթե x c e n t e r գագաթներով; y c e n t e r + b and x c e n t e r ; y c e n t e r - b այնուհետև տրվում է x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 անհավասարությամբ:

Հիպերբոլան կարող է ներկայացվել որպես ձևի երկու համակցված ֆունկցիա

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r կամ y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y r x e - ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Առաջին դեպքում մենք ունենք, որ շոշափողները զուգահեռ են y-ին, իսկ երկրորդ դեպքում՝ x-ին:

Այստեղից հետևում է, որ հիպերբոլային շոշափողի հավասարումը գտնելու համար անհրաժեշտ է պարզել, թե որ ֆունկցիային է պատկանում շոշափող կետը։ Դա որոշելու համար անհրաժեշտ է փոխարինում կատարել հավասարումների մեջ և ստուգել դրանց ինքնությունը:

Օրինակ 7

Գրե՛ք x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 հիպերբոլային հիպերբոլային շոշափողի հավասարումը 7-րդ կետում; - 3 3 - 3 .

Որոշում

Անհրաժեշտ է վերափոխել հիպերբոլայի հայտնաբերման լուծման գրառումը՝ օգտագործելով 2 ֆունկցիա։ Մենք դա հասկանում ենք

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 կամ y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Պետք է պարզել, թե որ ֆունկցիային է պատկանում 7 կոորդինատներով տրված կետը; - 3 3 - 3 .

Ակնհայտորեն, առաջին ֆունկցիան ստուգելու համար անհրաժեշտ է y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , ապա կետը չի պատկանում գրաֆիկին, քանի որ. հավասարությունը չի բավարարվում.

Երկրորդ ֆունկցիայի համար ունենք y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, ինչը նշանակում է, որ կետը պատկանում է տրված գրաֆիկին։ Այստեղից դուք պետք է գտնեք թեքության գործակիցը:

Մենք դա հասկանում ենք

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Պատասխան.շոշափող հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Այն պատկերված է հետևյալ կերպ.

Պարաբոլային շոշափող

x 0, y (x 0) կետում y \u003d a x 2 + b x + c պարաբոլային շոշափողի հավասարումը կազմելու համար դուք պետք է օգտագործեք ստանդարտ ալգորիթմը, այնուհետև հավասարումը կստանա y \u003d y ձևը: (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Այսպիսի շոշափողը գագաթին զուգահեռ է x-ին:

x = a y 2 + b y + c պարաբոլան պետք է սահմանվի որպես երկու ֆունկցիաների միություն: Հետևաբար, մենք պետք է լուծենք y-ի հավասարումը: Մենք դա հասկանում ենք

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Եկեք գծապատկերենք այն այսպես.

Պարզելու համար, թե x 0, y (x 0) կետը պատկանում է ֆունկցիայի, նրբորեն հետևեք ստանդարտ ալգորիթմին: Նման շոշափողը պարաբոլայի նկատմամբ զուգահեռ կլինի y-ին:

Օրինակ 8

Գրե՛ք x - 2 y 2 - 5 y + 3 գրաֆիկի շոշափողի հավասարումը, երբ ունենք 150 ° շոշափող թեքություն:

Որոշում

Լուծումը սկսում ենք պարաբոլան ներկայացնելով որպես երկու ֆունկցիա։ Մենք դա հասկանում ենք

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Թեքության արժեքը հավասար է ածանցյալի արժեքին այս ֆունկցիայի x 0 կետում և հավասար է թեքության շոշափողին։

Մենք ստանում ենք.

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Այստեղից մենք որոշում ենք x-ի արժեքը հպման կետերի համար:

Առաջին գործառույթը կգրվի այսպես

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Ակնհայտ է, որ իրական արմատներ չկան, քանի որ մենք ստացել ենք բացասական արժեք։ Մենք եզրակացնում ենք, որ նման ֆունկցիայի համար 150 ° անկյան տակ շոշափող չկա:

Երկրորդ գործառույթը կգրվի այսպես

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Մենք ունենք, որ հպման կետերը - 23 4; - 5 + 3 4 .

Պատասխան.շոշափող հավասարումը ձև է ստանում

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Եկեք գծապատկերենք այն այսպես.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Այն ուղիղը, որն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, կոչվում է շրջանագծի շոշափող, իսկ նրանց ընդհանուր կետը կոչվում է ուղիղի և շրջանագծի շփման կետ:

Թեորեմ (շրջանի շոշափողի հատկություն)

Շրջանակին շոշափողն ուղղահայաց է շոշափող կետին գծված շառավղին:

Տրված է

Ա - շփման կետ

Ապացուցել:p օա

Ապացույց.

Ապացուցենք մեթոդը «հակասությամբ».

Ենթադրենք, որ p-ը OA է, ապա OA-ն թեք է p ուղղին:

Եթե ​​O կետից ուղղահայաց OH գծենք p ուղիղ գծին, ապա դրա երկարությունը փոքր կլինի շառավղից՝ OH.< ОА=r

Մենք ստանում ենք, որ շրջանագծի կենտրոնից մինչև p (OH) ուղիղը փոքր է (r) շառավղից, ինչը նշանակում է, որ p ուղիղը սեկանտ է (այսինքն ունի երկու ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ), որը հակասում է թեորեմի պայմանին (p-tangent).

Այսպիսով, ենթադրությունը սխալ է, հետևաբար p ուղիղը ուղղահայաց է OA-ին:

Թեորեմ (մեկ կետից գծված շոշափող հատվածների հատկություն)

Մի կետից գծված շրջանագծի շոշափողների հատվածները հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այս կետով անցնող ուղիղի և շրջանագծի կենտրոնի հետ։

Տրված է: մոտ. (Կամ)

AB-ն և AC-ը շոշափում են նախանձին: (Կամ)

Ապացուցել AB=AC

Ապացույց

1) OB AB, OS AC, որպես շառավիղներ, որոնք գծված են շփման կետին (շոշափող հատկություն)

2) Դիտարկենք տր. AOV և այլն: AOS - p / y

AO - ընդհանուր

OB=OC (որպես շառավիղ)

Այսպիսով, ABO \u003d AOC (հիպոթենուզի և ոտքի երկայնքով): Հետևաբար,

AB \u003d AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Թեորեմ (շոշափողի նշան)

Եթե ​​ուղիղ գիծն անցնում է շրջանագծի վրա ընկած շառավղի ծայրով և ուղղահայաց է այս շառավղին, ապա այն շոշափող է։

Տրված էՕԱ – շրջանագծի շառավիղ

Ապացուցել p- շրջանագծին շոշափող

Ապացույց

OA - շրջանագծի շառավիղը (ըստ պայմանի) (OA \u003d r)

OA - ուղղահայաց O-ից դեպի p տող (OA \u003d d)

Այսպիսով, r=OA=d, ուրեմն p ուղիղը և շրջանագիծը ունեն մեկ ընդհանուր կետ:

Հետևաբար, p ուղիղը շոշափում է շրջանագծին: հ.թ.դ.

3. Ակորդների և սեկանտների հատկություն.

Շոշափող և սեկենտային հատկություններ

ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ

շրջապատկոչվում է մեկ կետից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի տեղանք, որը կոչվում է շրջանագծի կենտրոն:

Շրջանակի երկու կետերը միացնող ուղիղ հատվածը կոչվում է ակորդ(նկարում դա հատված է): Շրջանակի կենտրոնով անցնող ակորդը կոչվում է տրամագիծըշրջանակներ.

1. Շոշափողն ուղղահայաց է շփման կետին գծված շառավղին:

2. Մի կետից գծված շոշափողների հատվածները հավասար են:

3. Եթե շոշափողն ու հատվածը գծված են շրջանագծից դուրս ընկած կետից, ապա շոշափողի երկարության քառակուսին հավասար է նրա արտաքին մասի կտրվածքի արտադրյալին։

Ամենից հաճախ հենց երկրաչափական խնդիրներն են դժվարություններ առաջացնում դիմորդների, շրջանավարտների, մաթեմատիկական օլիմպիադաների մասնակիցների համար։ Եթե ​​նայեք USE-ի 2010 թվականի վիճակագրությանը, ապա կտեսնեք, որ մասնակիցների մոտ 12%-ը սկսել է C4 երկրաչափական առաջադրանքը, և մասնակիցների միայն 0,2%-ն է ստացել ամբողջական միավոր, և ընդհանուր առմամբ առաջադրանքը ստացվել է. ամենադժվարը բոլոր առաջարկվածներից:

Ակնհայտ է, որ որքան շուտ մենք դպրոցականներին առաջարկենք դրանք լուծելու գեղեցիկ կամ անսպասելի առաջադրանքներ, այնքան մեծ է հավանականությունը, որ նրանք լուրջ և երկար ժամանակ կհետաքրքրեն ու գերեն: Բայց, որքան դժվար է 7-րդ դասարանի մակարդակում գտնել հետաքրքիր ու բարդ խնդիրներ, երբ նոր է սկսվում երկրաչափության համակարգված ուսումնասիրությունը։ Ի՞նչ կարելի է առաջարկել մաթեմատիկայով հետաքրքրվող ուսանողին, ով գիտի միայն եռանկյունների հավասարության նշանները, հարակից և ուղղահայաց անկյունների հատկությունները։ Այնուամենայնիվ, կարելի է ներկայացնել շրջանագծի շոշափող հասկացությունը՝ որպես ուղիղ գիծ, ​​որն ունի մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ. ընդունեք, որ շփման կետին գծված շառավիղը ուղղահայաց է շոշափողին: Իհարկե, արժե դիտարկել երկու շրջանագծերի և դրանց ընդհանուր շոշափումների տեղակայման բոլոր հնարավոր դեպքերը, որոնք կարելի է զրոյից գծել չորս: Ստորև առաջարկված թեորեմների ապացուցման միջոցով հնարավոր է զգալիորեն ընդլայնել յոթերորդ դասարանցիների առաջադրանքների շարքը։ Միևնույն ժամանակ, ճանապարհին ապացուցեք կարևոր կամ պարզապես հետաքրքիր և զվարճալի փաստեր: Ավելին, քանի որ շատ դրույթներ ներառված չեն դպրոցական դասագրքում, դրանք կարող են քննարկվել ինչպես դասարանում, այնպես էլ շրջանավարտների հետ՝ պլանաչափությունը կրկնելիս։ Այս փաստերը արդիական են դարձել անցած ուսումնական տարում։ Քանի որ շատ ախտորոշիչ աշխատանքներ և հենց USE-ի աշխատանքը պարունակում էին խնդիր, որի լուծման համար անհրաժեշտ էր օգտագործել ստորև ապացուցված շոշափող հատվածի հատկությունը։

Տ 1 Շրջանակի շոշափումների հատվածները, որոնցից գծված է
մեկ միավորը հավասար է (նկ. 1)

Թեորեմի հետ վերջ, կարող եք նախ ներկայացնել յոթերորդ դասարանցիներին։
Ապացուցման գործընթացում մենք օգտագործեցինք ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարության նշանը, եզրակացրինք, որ շրջանագծի կենտրոնը գտնվում է անկյան կիսադիրի վրա։ BCA.
Ընթացքում մենք հիշեցինք, որ անկյան կիսորդը անկյան ներքին շրջանի կետերի տեղն է՝ իր կողմերից հավասար հեռավորության վրա։ Այս փաստերի վրա է հիմնված ոչ աննշան խնդրի լուծումը, որը հասանելի է նույնիսկ երկրաչափություն ուսումնասիրող սկսնակների համար:

1. Անկյունների կիսադիրներ ԲԱՅՑ, ATև Հետուռուցիկ քառանկյուն Ա Բ Գ Դհատվում են մի կետում. Ճառագայթներ ԱԲև DCհատվում են մի կետում Ե, և ճառագայթները
արևև ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկետում Ֆ. Ապացուցեք, որ ոչ ուռուցիկ քառանկյուն է AECFՀակառակ կողմերի երկարությունների գումարը հավասար է.

Լուծում (նկ. 2):Թող լինի Օայս կիսատների հատման կետն է։ Հետո Օքառանկյունի բոլոր կողմերից հավասար հեռավորության վրա Ա Բ Գ Դ, այսինքն
քառանկյունով ներգծված շրջանագծի կենտրոնն է։ Թեորեմով 1 հավասարությունները ճիշտ են. ԱՌ = Ա.Կ, ԷՐ = ՊԸ, FT = Ֆ.Կ. Աջ և ձախ մասերը գումարում ենք տերմին առ անդամ, ստանում ենք ճիշտ հավասարություն.

(ԱՌ + ԷՐ) + FT = (Ա.Կ +Ֆ.Կ) + ՊԸ; ԱԷ + (ՖԿ + CT) = AF + (ԵՄ + ԱՀ): Ինչպես Սբ = Ռ.Ս, ապա ԱԷ + ՖԿ = AF + ԵՄ, որը պետք է ապացուցվեր։

Դիտարկենք մի խնդիր անսովոր ձևակերպմամբ, որի լուծման համար բավական է իմանալ թեորեմը 1 .

2. Կա n-գոն, որի կողմերը հաջորդաբար 1, 2, 3, ..., nորի մեջ կարելի է մակագրել շրջանագիծը:

Որոշում. Ասենք այսպիսին n-գոն գոյություն ունի: ԲԱՅՑ 1 ԲԱՅՑ 2 =1, …, ԲԱՅՑ n-1 ԲԱՅՑ n= n– 1,ԲԱՅՑ n ԲԱՅՑ 1 = n. Բ 1 , …, Բ n-ը համապատասխան հպման կետերն են: Այնուհետև թեորեմ 1-ով Ա 1 Բ 1 = Ա 1 Բ n< 1, n – 1 < Ա n Բ n< n.Շոշափող հատվածների հատկությամբ Ա n Բ n= Ա n Բ n-1 . Բայց, Ա n Բ n-1< Ա n-1 ԲԱՅՑ n= n- 1. Հակասություն. Հետեւաբար, ոչ n-գոն, որը բավարարում է խնդրի պայմանը:

Տ 2Շրջապատված քառանկյան հակառակ կողմերի գումարները
շրջանակները հավասար են (նկ. 3)

Դպրոցականները, որպես կանոն, հեշտությամբ ապացուցում են նկարագրված քառանկյունի այս հատկությունը։ Թեորեմն ապացուցելուց հետո 1 , դա մարզումային վարժություն է։ Այս փաստը կարելի է ընդհանրացնել՝ շրջագծված զույգ-անկյունի կողմերի գումարները՝ վերցված մեկի միջով, հավասար են։ Օրինակ, վեցանկյունի համար ABCDEFճիշտ: AB + CD + EF = BC + DE + FA:

Լուծում (նկ. 1). Քանի որ ABEF և ECDF քառանկյունները մակագրված են, թեորեմ 2-ով Р ABEF = 2(AB + EF) և Р ECDF = 2 (CD + EF), ըստ պայմանի.

P ABEF - P ECDF = 2 (AB + EF) - 2 (CD + EF) = 2p: AB-CD=p. AB = a + p.

Լուծում (նկ. 5):Թեորեմ 1-ով MB = MX և PC = RX:Այսպիսով, եռանկյան պարագիծը ԱՄՆ ՄԶԳհավասար է հատվածների գումարին ԱԲև ԱՍ.Կամ կրկնակի շոշափող, որը գծված է շրջանագծին եռանկյունու համար ԱՄՆ ՄԶԳ . MOP անկյան արժեքը չափվում է անկյան արժեքի կեսով WOS, որը կախված չէ կետի ընտրությունից X.

Լուծում (նկ. 6): Մեթոդ առաջին (հանրահաշվական): Թող լինի AK \u003d AN \u003d x,ապա BK = BM = c - x, CM = CN = a - c + x: AC = AN + NC,ապա մենք կարող ենք հավասարություն գրել x: b \u003d x + (a - c + x):Որտեղ .

Մեթոդ երկրորդ (երկրաչափական): Եկեք դիմենք գծապատկերին. Հավասար տանգենսների հատվածները, որոնք վերցված են մեկ առ մեկ, գումարվում են կիսաշրջագծի
եռանկյուն. Կարմիրն ու կանաչը կազմում են մի կողմ ա.Հետո մեզ հետաքրքրող հատվածը x = p - a.Իհարկե, ստացված արդյունքները համահունչ են։

. Զ

4. Գտե՛ք ոտքերով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը ա, բև հիպոթենուզա հետ։ Լուծում (նկ. 8): Տինչպես OMCN-քառակուսի, ապա ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շոշափողի CN հատվածին: .

5. Ապացուցե՛ք, որ եռանկյան կողմի հետ ներգծված և շրջանաձև շրջանագծերի շոշափման կետերը համաչափ են այս կողմի միջնակետի նկատմամբ:

Լուծում (նկ. 9):Նկատի ունեցեք, որ AK-ն եռանկյունու համար շրջանագծի շոշափողի հատվածն է ABC.Ըստ բանաձևի (2) . VM- գծի հատված շոշափող շրջանագիծ եռանկյան համար ABC.Ըստ բանաձևի (1) . AK = VM,իսկ դա նշանակում է, որ միավորները Կ և Մկողքի կեսից հավասար հեռավորության վրա AB,Ք.Ե.Դ.

6. Երկու ընդհանուր արտաքին շոշափողներ և մեկ ներքին շոշափողներ գծված են երկու շրջանագծի վրա: Ներքին շոշափողը կետերով հատում է արտաքինները Ա, Բև շոշափում է օղակները կետերում Ա 1և 1-ում.Ապացուցեք դա AA 1 \u003d BB 1.

Լուծում (նկ. 10): Կանգ առեք... Բայց ի՞նչ կա որոշելու։ Դա ընդամենը նախորդ խնդրի հերթական ձեւակերպումն է։ Ակնհայտ է, որ շրջանագծերից մեկը մակագրված է, իսկ մյուսը՝ շրջանաձև ինչ-որ եռանկյունու համար ABC.Եվ հատվածները AA 1 և BB 1համապատասխանում են հատվածներին Ա.Կև VMառաջադրանքներ 5. Հատկանշական է, որ մաթեմատիկայի դպրոցականների Համառուսաստանյան օլիմպիադայում առաջադրված խնդիրը լուծվում է այդքան ակնհայտ կերպով։

7. Հնգանկյան կողմերը պտտվելու հերթականությամբ 5, 6, 10, 7, 8 են, Ապացուցե՛ք, որ այս հնգանկյունում շրջանագիծ չի կարելի մակագրել։

Լուծում (նկ. 11). Ենթադրենք, որ հնգանկյուն ABCDEկարող եք շրջանագիծ գծել: Ընդ որում՝ կուսակցությունները ԱԲ, մ.թ.ա, CD, ԴԵև ԷԱհավասար են համապատասխանաբար 5-ի, 6-ի, 10-ի, 7-ի և 8-ի: Ֆ, Գ, Հ, Մև Ն. Թող հատվածի երկարությունը AFհավասար է X.

Հետո բֆ = ՖԴ – AF = 5 – x = Բ.Գ. ԳԿ = մ.թ.ա – Բ.Գ = = 6 – (5 – x) = 1 + x = Չ. և այլն: HD = ԴՄ = 9 – x; ԵՍ = ԼԵՌ = x – 2, ԱՆ = 10 – X.

Բայց, AF = ԱՆ. Դա 10 - X = X; X= 5. Այնուամենայնիվ, շոշափողի հատվածը AFչի կարող հավասարվել կողմին ԱԲ. Ստացված հակասությունն ապացուցում է, որ շրջանագիծը չի կարելի մակագրել տրված հնգանկյունում։

8. Շրջանակը գրված է վեցանկյունով, նրա կողմերը շրջանցման կարգով 1, 2, 3, 4, 5 են։ Գտի՛ր վեցերորդ կողմի երկարությունը։

Որոշում. Իհարկե, շոշափող հատվածը կարող է նշանակվել որպես X, ինչպես նախորդ խնդրի դեպքում, գրի՛ր հավասարում և ստացի՛ր պատասխան։ Բայց շատ ավելի արդյունավետ և արդյունավետ է թեորեմի նշումը օգտագործելը 2 շրջագծված վեցանկյան կողմերի գումարները՝ վերցված մեկի միջով, հավասար են։

Այնուհետև 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, որտեղ X- անհայտ վեցերորդ կողմը, X = 3.

Լուծում (նկ.12). Քանի որ բոլոր կողմերի երկարությունները ամբողջ թվեր են, հատվածների երկարությունների կոտորակային մասերը հավասար են. BT, BP, ԴՄ, DN, Ա.Կև AT. Մենք ունենք AT + հեռուստացույց= 1, իսկ հատվածների երկարությունների կոտորակային մասերը ATև հեռուստացույցհավասար են. Դա հնարավոր է միայն այն ժամանակ, երբ AT + հեռուստացույց= 0,5. Թեորեմով 1 WT + VR.
Նշանակում է, VR= 0,5. Նշենք, որ պայման CD= 3 պարզվեց, որ չպահանջված է: Ակնհայտորեն, խնդրի հեղինակներն այլ լուծում են ենթադրել։ Պատասխան՝ 0,5:

10. Քառանկյունում ABCD AD=DC, AB=3, BC=5:Եռանկյուններով գրված շրջանակներ ABDև CBDդիպչել հատվածին ԲԴկետերում Մև Նհամապատասխանաբար. Գտեք հատվածի երկարությունը MN.

Լուծում (նկ. 13): MN = DN - DM:Եռանկյունների համար (1) բանաձևի համաձայն DBAև DBCհամապատասխանաբար ունենք.

11. Քառանկյունում Ա Բ Գ Դկարող եք շրջանագիծ գծել: Եռանկյուններով գրված շրջանակներ ABDև CBDունեն շառավիղներ Ռև rհամապատասխանաբար. Գտեք այս շրջանագծերի կենտրոնների միջև եղած հեռավորությունը:

Լուծում (նկ. 13): Քանի որ պայմանով քառանկյուն Ա Բ Գ Դմակագրված, թեորեմով 2 մենք ունենք: AB + DC = AD + BC.Եկեք օգտագործենք նախորդ խնդիրը լուծելու գաղափարը. . Սա նշանակում է, որ շրջանակների շփման կետերը հատվածի հետ ԴՄհամընկնում. Շրջանակների կենտրոնների միջև հեռավորությունը հավասար է շառավիղների գումարին: Պատասխան. R + r.

Փաստորեն ապացուցված է, որ պայմանը գտնվում է քառանկյունի մեջ Ա Բ Գ Դկարող եք ուռուցիկ քառանկյունի մեջ մակագրել շրջան, որը համարժեք է պայմանին Ա Բ Գ Դեռանկյուններով գրված շրջանակներ ABCև ADCշոշափել միմյանց. Ճիշտ հակառակն է.

Առաջարկվում է այս երկու փոխադարձ հակադարձ պնդումներն ապացուցել հետևյալ խնդրի մեջ, որը կարելի է համարել այս մեկի ընդհանրացում։

12. Ուռուցիկ քառանկյունում Ա Բ Գ Դ (բրինձ. տասնչորս) եռանկյուններով մակագրված շրջանակներ ABCև ADCշոշափել միմյանց. Ապացուցեք, որ եռանկյուններով մակագրված շրջանակները ABDև Bdcնաև շոշափել միմյանց:

13. Եռանկյունու մեջ ABCկողմերի հետ ա, բև գկողքի վրա արևնշված կետ Դայնպես, որ եռանկյունների մեջ մակագրված շրջանակները ABDև ACDդիպչել հատվածին ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆմի կողմից. Գտեք հատվածի երկարությունը ԲԴ.

Լուծում (նկ. 15): Եռանկյունների համար մենք կիրառում ենք բանաձևը (1): ADCև adb, հաշվարկելով ԴՄերկու

Պարզվում է, Դ- կողքի հետ շփման կետ արևեռանկյունով մակագրված շրջան ABC. Ճիշտ հակառակն է՝ եթե եռանկյան գագաթը միացված է հակառակ կողմի ներգծված շրջանագծի շոշափող կետին, ապա ստացված եռանկյունների մեջ ներգծված շրջանակները հպվում են միմյանց։

14. Կենտրոններ Օ 1 , Օ 2 և ՕԵռանկյան գագաթներում գտնվում են նույն շառավղով երեք չհատվող շրջաններ: Միավորներից Օ 1 , Օ 2 , Օ 3, այս շրջանակների շոշափումները գծված են, ինչպես ցույց է տրված նկարում:

Հայտնի է, որ այս շոշափողները, հատվելով, կազմել են ուռուցիկ վեցանկյուն, որի կողմերը մեկի միջով գունավորվում են կարմիր և կապույտ։ Ապացուցեք, որ կարմիր հատվածների երկարությունների գումարը հավասար է կապույտ հատվածների երկարությունների գումարին։

Լուծում (նկ. 16): Կարևոր է հասկանալ, թե ինչպես կարելի է օգտագործել այն փաստը, որ տվյալ շրջանակներն ունեն նույն շառավիղները: Նշենք, որ հատվածները BRև ԴՄհավասար են, ինչը բխում է ուղղանկյուն եռանկյունների հավասարությունից Օ 1 BRև Օ 2 ԲՄ. Նմանապես DL = Դ.Պ., FN = Ֆ.Կ. Հավասարություններն ավելացնում ենք անդամ առ անդամ, ապա ստացված գումարներից հանում ենք գագաթներից գծված շոշափողների նույն հատվածները ԲԱՅՑ, Հետ, և Եվեցանկյուն ABCDEF: ԱՌև Ա.Կ, CLև ՍՄ, ԼԵՌև ՊԸ. Մենք ստանում ենք այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է:

Ահա ստերեոմետրիայի խնդրի օրինակ, որն առաջարկվել է Ավագ դպրոցի աշակերտների XII միջազգային մաթեմատիկական մրցաշարում «A. N. Kolmogorov Memory Cup»:

16. Տրվում է հնգանկյուն բուրգ SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5.Շրջանակ կա w,որը շոշափում է բուրգի բոլոր եզրերը և մեկ այլ գունդ w 1,որը դիպչում է հիմքի բոլոր կողմերին A 1 A 2 A 3 A 4 A 5և կողային կողերի երկարացումները SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5հիմքի գագաթների համար. Ապացուցեք, որ բուրգի գագաթը հավասար է հիմքի գագաթներից: (Բերլով Ս. Լ., Կարպով Դ. Վ.)

17. ՕԳՏԱԳՈՐԾԵԼ. Ախտորոշիչ աշխատանք 8.12.2009, С–4. Dana trapezoid Ա Բ Գ Դ, որի հիմքերը մ.թ.ա.= 44,ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = 100, AB=CD= 35. Շրջեք շոշափող գծերին ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև ACդիպչում է կողքին CDկետում Կ. Գտեք հատվածի երկարությունը CK.VDC և BDA, հպեք կողքին ԲԴկետերում Եև Ֆ. Գտեք հատվածի երկարությունը ԷՖ.

Որոշում. Հնարավոր է երկու դեպք (նկ. 20 և նկ. 21): Օգտագործելով (1) բանաձևը, մենք գտնում ենք հատվածների երկարությունները ԴԵև Դ Ֆ..

Առաջին դեպքում ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = 0,1AC, CD = 0,9AC. Երկրորդում - ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ = 0,125AC, CD = 1,125AC. Տվյալները փոխարինում ենք և ստանում պատասխանը՝ 4.6 կամ 5.5։

Անկախ լուծման առաջադրանքներ /

1. Շրջանագծի շուրջ գծագրված հավասարաչափ տրապիզոնի պարագիծն է 2r.Գտե՛ք տրապեզիի անկյունագծի ելքը ավելի մեծ հիմքի վրա: (1/2p)

2. ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ խնդիրների բաց բանկ մաթեմատիկայի մեջ: 4-ում։ Եռանկյունով մակագրված շրջանագծին ABC (նկ. 22),գծված են երեք շոշափողներ. Կտրված եռանկյունների պարագծերը 6, 8, 10 են։ Գտե՛ք այս եռանկյան պարագիծը։ (24)

3. Եռանկյունի մեջ ABCմակագրված շրջան. MN-շրջանագծին շոշափող MО AC, NO BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15:Գտեք եռանկյան պարագիծը MNC. (12)

4. A կողմով քառակուսի գծագրված շրջանագծին գծված է շոշափող, որը հատում է նրա երկու կողմերը: Գտե՛ք կտրված եռանկյունու պարագիծը: (ա)

5. Հնգանկյան մեջ կողքերով մակագրված է շրջան ա, դ, գ, դև ե. Գտե՛ք այն հատվածները, որոնց շփման կետը բաժանում է հավասար կողմը ա.

6. 6, 10 և 12 կողմերով եռանկյան մեջ մակագրված է շրջան։ Շրջանակի վրա շոշափվում է այնպես, որ այն հատում է երկու մեծ կողմերը: Գտե՛ք կտրված եռանկյունու պարագիծը: (տասնվեց)

7. CDեռանկյան միջինն է ABC. Եռանկյուններով գրված շրջանակներ ACDև BCD, հպեք հատվածին CDկետերում Մև Ն. Գտեք MN, եթե AC – արև = 2. (1)

8. Եռանկյունու մեջ ABCկողմերի հետ ա, բև գկողքի վրա արևնշված կետ Դ. Եռանկյուններով մակագրված շրջանակներին ABDև ACD, գծված է ընդհանուր շոշափող, որը հատվում է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆկետում Մ. Գտեք հատվածի երկարությունը AM. (Երկարություն AMկախված չէ կետի դիրքից Դև
հավասար է ½ ( գ + բ - ա))

9. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ մակագրված է շառավղով շրջան ա. Շրջանակի շառավիղը շոշափում է հիպոթենուսին և ոտքերի երկարացումներին Ռ.Գտեք հիպոթենուսի երկարությունը: ( Ռ-ա)

10. Եռանկյունու մեջ ABCհայտնի են կողմերի երկարությունները. ԱԲ = հետ, AC = բ, արև = ա. Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագիծը շոշափում է կողմը ԱԲկետում 1-ից. Շրջանակը շոշափում է կողմի երկարացմանը ԱԲմեկ միավորով ԲԱՅՑկետում 2-ից. Որոշեք հատվածի երկարությունը S 1 S 2. (բ)

11. Գտե՛ք եռանկյան կողմերի երկարությունները՝ 3 սմ շառավղով ներգծված շրջանագծի շփման կետով բաժանված 4 սմ և 3 սմ հատվածների (ուղղանկյուն եռանկյունում՝ 7, 24 և 25 սմ)

12. Սորոսի օլիմպիադա 1996, 2-րդ փուլ, 11-րդ դաս. Եռանկյունը տրված է ABC, որի կողմերում նշված են կետերը A 1, B 1, C 1. Եռանկյուններով ներգծված շրջանագծերի շառավիղներ AC 1 B 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1հավասար է r. Եռանկյունի մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղ A 1 B 1 C 1հավասար է Ռ. Գտե՛ք եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը ABC. (Ռ +r).

4–8 խնդիրները վերցված են R.K. Gordin-ի «Երկրաչափություն. Պլանաչափություն»։ Մոսկվա. Հրատարակչություն ՄՏՍՆՄՕ. 2004 թ.

Ուղիղ ( MN) որն ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ ( Ա), կոչվում է շոշափող շրջանին.

Ընդհանուր կետը կոչվում է այս դեպքում հպման կետ.

Գոյության հնարավորությունը շոշափող, և, ավելին, գծված ցանկացած կետի միջով շրջանակներ, որպես շփման կետ, ապացուցվում է հետեւյալով թեորեմա.

Թող պահանջվի շրջանակներկենտրոնացած Օ շոշափողկետի միջով Ա. Սրա համար, կետից Ա,ինչպես կենտրոնից, նկարագրեք աղեղշառավիղը ԱՕ, և կետից Օ, որպես կենտրոն, մենք հատում ենք այս կամարը կետերով Բև Հետկողմնացույցի լուծույթ, որը հավասար է տվյալ շրջանագծի տրամագծին.

Հետո ծախսելուց հետո ակորդներ ՕԲև ՕՀ, միացրեք կետը Ակետերով Դև Եորտեղ այս ակորդները հատում են տրված շրջանը։ Ուղղակի ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև ԱԷ - շրջանագծին շոշափող Օ. Իսկապես, շինարարությունից պարզ է դառնում, որ եռանկյուններ ԱՕԲև ՀՕԿ հավասարաչափ(AO = AB = AC) հիմքերով ՕԲև ՕՀ, հավասար է շրջանագծի տրամագծին Օ.

Ինչպես ՕԴև OEշառավիղներն են, ուրեմն Դ - միջին ՕԲ, ա Ե- միջին ՕՀ, նշանակում է ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆև ԱԷ - միջիններըգծված է հավասարաչափ եռանկյունների հիմքերին և, հետևաբար, այս հիմքերին ուղղահայաց: Եթե ​​ուղղակի ԴԱև ԷԱշառավիղներին ուղղահայաց ՕԴև OE, ապա նրանք են շոշափողներ.

Հետևանք.

Նույն կետից շրջանագծի վրա գծված երկու շոշափողներ հավասար են և հավասար անկյուններ են կազմում այս կետը կենտրոնի հետ կապող գծի հետ.

Այսպիսով AD=AEև ∠ OAD = ∠OAEորովհետեւ ուղղանկյուն եռանկյուններ AODև ԱՕԷունենալով ընդհանուր հիպոթենուզա ԱՕև հավասար ոտքերը ՕԴև OE(որպես շառավիղներ) հավասար են: Նշենք, որ այստեղ «շոշափող» բառը նշանակում է իրական « շոշափող հատված” տվյալ կետից շփման կետ.