Հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումը. Պարամետրային հավասարումներ Ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրական ձևով տարածության մեջ

Համոզվեք, որ կարդացեք այս պարբերությունը:Պարամետրային հավասարումները, իհարկե, տարածական երկրաչափության ալֆան և օմեգան չեն, այլ բազմաթիվ խնդիրների գործող մրջյունը։ Ավելին, այս տիպի հավասարումները հաճախ կիրառվում են անսպասելիորեն, և ես կասեի, նրբագեղ։

Եթե ​​ուղիղին պատկանող կետը և այս ուղիղի ուղղորդող վեկտորը հայտնի են, ապա այս ուղիղի պարամետրային հավասարումները տրվում են համակարգով.

Ես դասերին խոսեցի պարամետրային հավասարումների բուն հասկացության մասին Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրաև Պարամետրականորեն սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալ.

Ամեն ինչ ավելի պարզ է, քան շոգեխաշած շաղգամը, այնպես որ դուք պետք է համեմեք առաջադրանքը.

Օրինակ 7

ՈրոշումՈւղիները տրված են կանոնական հավասարումներով և առաջին փուլում պետք է գտնել ուղղին և նրա ուղղության վեկտորին պատկանող մի կետ։

ա) Հավասարումներից հանե՛ք կետը և ուղղության վեկտորը. Դուք կարող եք ընտրել մեկ այլ կետ (ինչպես դա անել, նկարագրված է վերևում), բայց ավելի լավ է վերցնել առավել ակնհայտը: Ի դեպ, սխալներից խուսափելու համար դրա կոորդինատները միշտ փոխարինեք հավասարումների մեջ։

Կազմենք այս ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

Պարամետրային հավասարումների հարմարությունն այն է, որ դրանց օգնությամբ շատ հեշտ է գտնել գծի այլ կետեր։ Օրինակ, եկեք գտնենք մի կետ, որի կոորդինատները, ասենք, համապատասխանում են պարամետրի արժեքին.

Այսպիսով.

բ) Դիտարկենք կանոնական հավասարումները: Այստեղ կետի ընտրությունը պարզ է, բայց ստոր. (զգույշ եղեք, որ կոորդինատները չխառնեք!!!): Ինչպե՞ս դուրս հանել ուղեցույցի վեկտորը: Կարող եք ենթադրել, թե ինչի հետ է այս ուղիղը զուգահեռ, կամ կարող եք օգտագործել պարզ ձևական հնարք՝ համամասնությունը «y» և «Z» է, ուստի մենք գրում ենք ուղղության վեկտորը, իսկ մնացած տարածքում զրո ենք դնում.

Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

գ) Եկեք վերագրենք հավասարումները ձևով, այսինքն՝ «Z»-ը կարող է լինել ցանկացած բան: Իսկ եթե այդպիսիք կան, ապա թող, օրինակ, . Այսպիսով, կետը պատկանում է այս տողին: Ուղղության վեկտորը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ ձևական տեխնիկան. սկզբնական հավասարումներում կան «x» և «y», իսկ ուղղության վեկտորում այս վայրերում գրում ենք. զրոներ: Մնացած տեղում մենք դնում ենք միավոր: Մեկի փոխարեն ցանկացած թիվ, բացի զրոյից, կանի։

Մենք գրում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները.

Վերապատրաստման համար.

Օրինակ 8

Գրե՛ք պարամետրային հավասարումներ հետևյալ տողերի համար.

Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում: Ձեր պատասխանները կարող են մի փոքր տարբերվել իմ պատասխաններից, փաստն այն է պարամետրային հավասարումները կարող են գրվել մեկից ավելի ձևերով. Կարևոր է, որ ձեր և իմ ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ, և որ ձեր կետը «համապատասխանի» իմ հավասարումների հետ (լավ, կամ հակառակը, իմ կետը ձեր հավասարումների հետ):

Այլապես ինչպե՞ս կարող եք սահմանել ուղիղ գիծ տարածության մեջ: Ես կցանկանայի նորմալ վեկտորով ինչ-որ բան մտածել: Այնուամենայնիվ, թիվը չի աշխատի, տիեզերական գծի համար նորմալ վեկտորները կարող են նայել բոլորովին այլ ուղղություններով:

Մեկ այլ մեթոդ արդեն նշվել է դասում Հարթության հավասարումև այս հոդվածի սկզբում:

ԱՆԿՅՈՒՆԻ ՄԻՋԵՎ ԻՆՔՆԱԹԻՐՆԵՐԻ

Դիտարկենք α 1 և α 2 երկու հարթություններ, որոնք տրված են համապատասխանաբար հավասարումներով.

Տակ անկյուներկու հարթությունների միջև նկատի ունենք այս հարթությունների կողմից ձևավորված երկփեղկ անկյուններից մեկը։ Ակնհայտ է, որ նորմալ վեկտորների և α 1 և α 2 հարթությունների միջև անկյունը հավասար է նշված հարակից երկփեղկ անկյուններից մեկին կամ . Այսպիսով . Որովհետեւ և , ապա

.

Օրինակ.Որոշեք հարթությունների միջև եղած անկյունը x+2y-3զ+4=0 և 2 x+3y+զ+8=0.

Երկու հարթությունների զուգահեռության պայման.

Երկու հարթություններ α 1 և α 2 զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները և զուգահեռ են, և հետևաբար .

Այսպիսով, երկու հարթություններ միմյանց զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե համապատասխան կոորդինատների գործակիցները համաչափ են.

կամ

Հարթությունների ուղղահայացության պայմանը.

Հասկանալի է, որ երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց նորմալ վեկտորները ուղղահայաց են, և, հետևաբար, կամ .

Այսպիսով, .

Օրինակներ.

ՈՒՂԻՂ Տիեզերքում.

ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ ՈՒՂԻՂ.

ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ

Ուղիղ գծի դիրքը տարածության մեջ ամբողջությամբ որոշվում է՝ նշելով դրա ֆիքսված կետերից որևէ մեկը Մ 1 և այս ուղիղին զուգահեռ վեկտոր:

Ուղիղ գծին զուգահեռ վեկտորը կոչվում է ուղղորդողայս գծի վեկտորը.

Այնպես որ, թող ուղիղ լանցնում է մի կետով Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) ընկած է վեկտորին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա:

Դիտարկենք մի կամայական կետ M(x,y,z)ուղիղ գծի վրա. Նկարից երևում է, որ .

Վեկտորները և համագիծ են, ուստի կա այդպիսի թիվ տ, ինչ , որտեղ է բազմապատկիչը տկարող է վերցնել ցանկացած թվային արժեք՝ կախված կետի դիրքից Մուղիղ գծի վրա. Գործոն տկոչվում է պարամետր: Նշելով կետերի շառավղային վեկտորները Մ 1 և Մհամապատասխանաբար, միջոցով և , մենք ստանում ենք . Այս հավասարումը կոչվում է վեկտորուղիղ գծի հավասարում. Այն ցույց է տալիս, որ յուրաքանչյուր պարամետրի արժեքը տհամապատասխանում է ինչ-որ կետի շառավիղի վեկտորին Մուղիղ գծի վրա պառկած.

Այս հավասարումը գրում ենք կոորդինատային տեսքով։ Ուշադրություն դարձրեք, որ, և այստեղից

Ստացված հավասարումները կոչվում են պարամետրայինուղիղ գծերի հավասարումներ.

Պարամետրը փոխելիս տկոորդինատները փոխվում են x, yև զև կետ Մշարժվում է ուղիղ գծով.

ԿԱՆՈՆԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ

Թող լինի Մ 1 (x 1 , y 1 , զ 1) - ուղիղ գծի վրա ընկած կետ լ, և նրա ուղղության վեկտորն է: Կրկին վերցրեք կամայական կետ ուղիղ գծի վրա M(x,y,z)և հաշվի առեք վեկտորը:

Հասկանալի է, որ վեկտորները և վեկտորները համակողմանի են, ուստի դրանց համապատասխան կոորդինատները պետք է լինեն համաչափ, հետևաբար.

– կանոնականուղիղ գծերի հավասարումներ.

Դիտողություն 1.Նշենք, որ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրային հավասարումներից՝ վերացնելով պարամետրը տ. Իրոք, պարամետրային հավասարումներից մենք ստանում ենք կամ .

Օրինակ.Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը պարամետրային եղանակով։

Նշանակել , հետևաբար x = 2 + 3տ, y = –1 + 2տ, զ = 1 –տ.

Դիտողություն 2.Թող ուղիղը ուղղահայաց լինի կոորդինատային առանցքներից մեկին, օրինակ՝ առանցքին Եզ. Այնուհետև ուղղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց է Եզ, հետևաբար, մ=0. Հետևաբար, ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ձև են ստանում

Պարամետրը հավասարումներից հեռացնելը տ, ձևով ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումները

Այնուամենայնիվ, այս դեպքում ևս համաձայն ենք ձևով գրել ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները . Այսպիսով, եթե կոտորակներից մեկի հայտարարը զրո է, ապա դա նշանակում է, որ ուղիղը ուղղահայաց է համապատասխան կոորդինատային առանցքին։

Նմանապես, կանոնական հավասարումները համապատասխանում է առանցքներին ուղղահայաց ուղիղ գծի Եզև Օյկամ զուգահեռ առանցք Օզ.

Օրինակներ.

ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ՈՒՂԻՂ ԳԻԾ ՈՐՊԵՍ ԵՐԿՈՒ ՀԱՍԱՐԱԿՆԵՐԻ ԿԱՏԱՐՄԱՆ ԳԻԾ.

Տիեզերքում յուրաքանչյուր ուղիղ գծի միջով անցնում է անսահման թվով հարթություններ: Նրանցից ցանկացած երկուսը, հատվելով, սահմանում են այն տարածության մեջ: Հետևաբար, ցանկացած երկու նման հարթությունների հավասարումները, միասին դիտարկված, այս ուղիղի հավասարումներ են:

Ընդհանուր առմամբ, ընդհանուր հավասարումներով տրված ցանկացած երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ

որոշել դրանց հատման գիծը. Այս հավասարումները կոչվում են ընդհանուր հավասարումներուղիղ.

Օրինակներ.

Կառուցեք ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է հավասարումներով

Գիծ կառուցելու համար բավական է գտնել դրա ցանկացած երկու կետ։ Ամենահեշտ ձևը կոորդինատային հարթությունների հետ գծի հատման կետերն ընտրելն է։ Օրինակ՝ հարթության հետ հատման կետը xOyմենք ստանում ենք ուղիղ գծի հավասարումներից՝ ենթադրելով զ= 0:

Լուծելով այս համակարգը՝ մենք գտնում ենք կետը Մ 1 (1;2;0).

Նմանապես, ենթադրելով y= 0, մենք ստանում ենք գծի հատման կետը հարթության հետ xOz:

Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումներից կարելի է անցնել նրա կանոնական կամ պարամետրային հավասարումներին։ Դա անելու համար հարկավոր է ինչ-որ կետ գտնել Մ 1 գծի վրա և գծի ուղղության վեկտորը:

Կետերի կոորդինատները Մ 1 մենք ստանում ենք այս հավասարումների համակարգից՝ կոորդինատներից մեկին տալով կամայական արժեք: Ուղղության վեկտորը գտնելու համար նշենք, որ այս վեկտորը պետք է ուղղահայաց լինի երկու նորմալ վեկտորներին և . Հետևաբար, ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի համար լԴուք կարող եք վերցնել նորմալ վեկտորների խաչաձև արտադրյալը.

.

Օրինակ.Տրե՛ք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումները կանոնական ձևին.

Գտեք մի կետ ուղիղ գծի վրա: Դա անելու համար մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը, օրինակ. y= 0 և լուծել հավասարումների համակարգը.

Ուղի սահմանող հարթությունների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ Հետեւաբար, ուղղության վեկտորը կլինի ուղիղ

. Հետևաբար, լ: .

ԱՆԿՅՈՒՆ ԻՐԱՎՈՒՆՔՆԵՐԻ ՄԻՋԵՎ

անկյունՏարածության ուղիղ գծերի միջև մենք կկոչենք հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը կազմված է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու ուղիղ.

Ակնհայտորեն, գծերի միջև φ անկյունը կարող է ընդունվել որպես նրանց ուղղության վեկտորների և . Քանի որ , ապա ըստ վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևի մենք ստանում ենք

«Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա» թեմայի ենթակետերից է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումների կազմման հարցը։ Ստորև բերված հոդվածը քննարկում է որոշակի հայտնի տվյալների համար նման հավասարումներ կազմելու սկզբունքը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես անցնել պարամետրային հավասարումներից տարբեր ձևի հավասարումների. Վերլուծենք բնորոշ խնդիրների լուծումը։

Որոշակի գիծ կարելի է սահմանել՝ նշելով կետ, որը պատկանում է այդ գծին և ուղղության վեկտորը:

Ենթադրենք, մեզ տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y: Եվ նաև տրված է a ուղիղը՝ նշելով դրա վրա ընկած M 1 կետը (x 1, y 1) և տրված ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը. a → = (a x, a y) . Մենք տալիս ենք տրված տողի նկարագրությունը a օգտագործելով հավասարումներ:

Օգտագործում ենք կամայական M կետ (x, y) և ստանում վեկտոր M 1 M →; հաշվարկել դրա կոորդինատները սկզբի և վերջի կետերի կոորդինատներից՝ M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Նկարագրենք արդյունքը՝ ուղիղը տրված է M կետերի բազմությամբ (x, y), անցնում է M 1 կետով (x 1, y 1) և ունի ուղղության վեկտոր։ a → = (a x, a y) . Նշված բազմությունը սահմանում է ուղիղ գիծ միայն այն դեպքում, երբ M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) և a → = (a x, a y) վեկտորները համագիծ են:

Վեկտորների համակողմանիության համար կա անհրաժեշտ և բավարար պայման, որն այս դեպքում M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) և a → = (a x, a y) վեկտորների համար կարելի է գրել որպես հավասարում:

M 1 M → = λ · a → , որտեղ λ-ն ինչ-որ իրական թիվ է:

Սահմանում 1

M 1 M → = λ · a → հավասարումը կոչվում է ուղիղի վեկտոր-պարամետրային հավասարում։

Կոորդինատային ձևով այն ունի հետևյալ տեսքը.

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Ստացված համակարգի հավասարումները x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ կոչվում են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ։ Անվան էությունը հետևյալն է. գծի բոլոր կետերի կոորդինատները կարող են որոշվել x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ձևի հարթության վրա պարամետրային հավասարումներով բոլոր իրական արժեքների վրա կրկնելիս: λ պարամետրի

Համաձայն վերոհիշյալի, x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներով որոշվում է ուղղագիծ, որը տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, անցնում է M 1 կետով. (x 1, y 1) և ունի ուղղորդող վեկտոր a → = (a x, a y) . Ուստի, եթե տրված են ուղիղ գծի որոշակի կետի կոորդինատները և նրա ուղղորդող վեկտորի կոորդինատները, ապա հնարավոր է անմիջապես գրել տվյալ ուղիղի պարամետրային հավասարումները։

Օրինակ 1

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ պետք է կազմել, եթե տրված են դրան պատկանող M 1 (2, 3) կետը և նրա ուղղության վեկտորը. a → = (3, 1) .

Որոշում

Նախնական տվյալների հիման վրա մենք ստանում ենք՝ x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1: Պարամետրային հավասարումները նման կլինեն.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Եկեք հստակ պատկերացնենք.

Պատասխան՝ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Պետք է նշել. եթե վեկտորը a → = (a x, a y) ծառայում է որպես a ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, և M 1 (x 1, y 1) և M 2 (x2, y 2) կետերը պատկանում են այս գծին, ապա այն կարելի է որոշել՝ սահմանելով ձևի պարամետրային հավասարումներ. x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , ինչպես նաև այս տարբերակը՝ x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ :

Օրինակ, մեզ տրված է ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր a → \u003d (2, - 1), ինչպես նաև այս տողին պատկանող M 1 (1, - 2) և M 2 (3, - 3) կետերը: Այնուհետեւ ուղիղ գիծը որոշվում է պարամետրային հավասարումներով՝ x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ կամ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ :

Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև հետևյալ փաստին. եթե a → = (a x, a y) ուղիղ a-ի ուղղորդող վեկտորն է, ապա վեկտորներից որևէ մեկը կլինի նաև նրա ուղղորդող վեկտորը μ a → = (μ a x, μ a y), որտեղ μ ϵ R, μ ≠ 0:

Այսպիսով, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գիծը կարող է սահմանվել պարամետրային հավասարումներով՝ x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ μ-ի ցանկացած արժեքի համար, որը տարբերվում է զրոյից:

Ենթադրենք a ուղիղը տրված է x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ պարամետրային հավասարումներով։ Հետո a → = (2, - 5) - այս գծի ուղղության վեկտորը: Եվ նաև μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 վեկտորներից որևէ մեկը կդառնա տրված ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը: Պարզության համար դիտարկենք կոնկրետ վեկտոր - 2 · a → = (- 4 , 10) , այն համապատասխանում է μ = - 2 արժեքին: Այս դեպքում տրված ուղիղը կարող է որոշվել նաև x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ պարամետրային հավասարումներով։

Հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներից անցում տրված ուղիղ գծի այլ հավասարումների և հակառակը

Որոշ խնդիրներ լուծելիս պարամետրային հավասարումների օգտագործումը ամենաօպտիմալ տարբերակը չէ, այնուհետև անհրաժեշտ է դառնում ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները թարգմանել այլ տիպի ուղիղ գծի հավասարումների: Տեսնենք, թե ինչպես դա անել:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ուղիղ գծի պարամետրական հավասարումները կհամապատասխանեն x - x 1 a x = y - y 1 a y հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարմանը:

Պարամետրային հավասարումներից յուրաքանչյուրը լուծում ենք λ պարամետրի նկատմամբ, հավասարեցնում ենք ստացված հավասարումների ճիշտ մասերը և ստանում տրված ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Այս դեպքում ամոթալի չպետք է լինի, եթե x-ը կամ y-ը հավասար կլինեն զրոյի:

Օրինակ 2

Անհրաժեշտ է x = 3 y = - 2 - 4 · λ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներից անցում կատարել կանոնական հավասարմանը։

Որոշում

Տրված պարամետրային հավասարումները գրում ենք հետևյալ ձևով՝ x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ.

Մենք արտահայտում ենք λ պարամետրը հավասարումներից յուրաքանչյուրում՝ x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4.

Մենք հավասարեցնում ենք հավասարումների համակարգի ճիշտ մասերը և ստանում հարթության մեջ ուղիղ գծի պահանջվող կանոնական հավասարումը.

x - 3 0 = y + 2 - 4

Պատասխան. x - 3 0 = y + 2 - 4

Այն դեպքում, երբ անհրաժեշտ է գրել A x + B y + C = 0 ձևի ուղիղ գծի հավասարումը, մինչդեռ հարթության վրա տրված են ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները, նախ անհրաժեշտ է կատարել. անցում կանոնական հավասարմանը, այնուհետև ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարմանը։ Գրենք գործողությունների ամբողջ հաջորդականությունը.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է գրել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, եթե տրված են այն սահմանող պարամետրային հավասարումները՝ x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ.

Որոշում

Նախ, անցում կատարենք կանոնական հավասարմանը.

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Ստացված համամասնությունը նույնական է հավասարությանը - 3 · (x + 1) = 2 · y: Բացենք փակագծերը և ստանանք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը. - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0:

Պատասխան՝ 3x + 2y + 3 = 0

Հետևելով գործողությունների վերը նշված տրամաբանությանը, թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարում, հատվածներում ուղիղ գծի կամ ուղիղ գծի նորմալ հավասարում ստանալու համար անհրաժեշտ է ստանալ ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը. , իսկ դրանից՝ հետագա անցում իրականացնել։

Այժմ դիտարկենք հակառակ գործողությունը. գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ այս ուղիղ գծի հավասարումների տարբեր տրված ձևի համար:

Ամենահեշտ անցումը` կանոնական հավասարումից պարամետրականին: Թող տրվի ձևի կանոնական հավասարումը` x - x 1 a x = y - y 1 a y : Այս հավասարության հարաբերություններից յուրաքանչյուրը վերցնում ենք λ պարամետրին հավասար.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Եկեք լուծենք x և y փոփոխականների ստացված հավասարումները.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Օրինակ 4

Անհրաժեշտ է գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները, եթե հայտնի է հարթության վրա ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը. x - 2 5 = y - 2 2.

Որոշում

Հայտնի հավասարման մասերը հավասարեցնենք λ պարամետրին՝ x - 2 5 = y - 2 2 = λ : Ստացված հավասարությունից ստանում ենք ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները՝ x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2. լ

Պատասխան՝ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Երբ անհրաժեշտ է անցում կատարել պարամետրական հավասարումների՝ ուղիղ գծի տրված ընդհանուր հավասարումից, թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումից կամ հատվածներով ուղիղ գծի հավասարումից, անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը բերել կանոնական, այնուհետև անցում կատարեք պարամետրային հավասարումների:

Օրինակ 5

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները պետք է գրել այս ուղիղ գծի հայտնի ընդհանուր հավասարմամբ՝ 4 x - 3 y - 3 = 0 ։

Որոշում

Տրված ընդհանուր հավասարումը վերածում ենք կանոնական ձևի հավասարման.

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Հավասարության երկու մասերը հավասարեցնում ենք λ պարամետրին և ստանում ուղիղ գծի պահանջվող պարամետրային հավասարումները.

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Պատասխան. x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումների օրինակներ և խնդիրներ

Եկեք դիտարկենք խնդիրների ամենատարածված տեսակները՝ օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները:

1. Առաջին տիպի խնդիրներում տրված են կետերի կոորդինատները՝ պատկանել են դրանք պարամետրային հավասարումներով նկարագրված ուղիղ գծի, թե ոչ։

Նման խնդիրների լուծումը հիմնված է հետևյալ փաստի վրա. x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ պարամետրային հավասարումներից որոշված ​​թվերը (x, y) որոշ իրական արժեքի համար a-ի կոորդինատներն են. կետը, որը պատկանում է ուղիղ գծին, որը նկարագրված է այս պարամետրային հավասարումներով:

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է որոշել կետի կոորդինատները, որն ընկած է ուղիղ գծի վրա, որը տրված է պարամետրական հավասարումներով x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ λ = 3-ի համար:

Որոշում

Հայտնի արժեքը λ = 3 փոխարինում ենք տրված պարամետրային հավասարումներով և հաշվարկում ենք ցանկալի կոորդինատները՝ x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Պատասխան. 1 1 2 , 5

Հնարավոր է նաև հետևյալ խնդիրը. թող ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրվի ինչ-որ կետ M 0 (x 0, y 0) և անհրաժեշտ է որոշել, թե արդյոք այս կետը պատկանում է x = x պարամետրային հավասարումներով նկարագրված գծին։ 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Նման խնդիր լուծելու համար անհրաժեշտ է տվյալ կետի կոորդինատները փոխարինել ուղիղ գծի հայտնի պարամետրային հավասարումներով։ Եթե ​​որոշվի, որ հնարավոր է λ = λ 0 պարամետրի այնպիսի արժեք, որում երկու պարամետրային հավասարումներն էլ ճշմարիտ են, ապա տվյալ կետը պատկանում է տրված ուղիղ գծին։

Օրինակ 7

Տրված են M 0 (4, - 2) և N 0 (- 2, 1) միավորները։ Պետք է որոշել, թե արդյոք դրանք պատկանում են x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ պարամետրային հավասարումներով սահմանված ուղիղ գծին։

Որոշում

M 0 (4, - 2) կետի կոորդինատները փոխարինում ենք տրված պարամետրային հավասարումներով.

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Եզրակացնենք, որ M 0 կետը պատկանում է տրված ուղիղին, քանի որ համապատասխանում է λ = 2 արժեքին:

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Ակնհայտ է, որ չկա այնպիսի պարամետր λ, որին համապատասխանի N 0 կետը։ Այսինքն՝ տրված ուղիղը չի անցնում N 0 (- 2 , 1) կետով։

Պատասխան. M 0 կետը պատկանում է տվյալ գծին. N 0 կետը տվյալ ուղղին չի պատկանում.

1. Երկրորդ տիպի խնդիրներում պահանջվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ կազմել։ Նման խնդրի ամենապարզ օրինակը (ուղիների կետի և ուղղության վեկտորի հայտնի կոորդինատներով) դիտարկվեց վերևում։ Այժմ դիտարկենք օրինակներ, որոնցում նախ պետք է գտնել ուղղության վեկտորի կոորդինատները, այնուհետև գրել պարամետրային հավասարումները:

Տրված է M 1 1 2, 2 3 կետը։ Անհրաժեշտ է կազմել այս կետով անցնող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ և զուգահեռ ուղիղ x 2 \u003d y - 3 - 1:

Որոշում

Ըստ խնդրի պայմանի՝ ուղիղ գիծը, որի հավասարումը պետք է առաջ անցնենք, զուգահեռ է ուղիղ x 2 \u003d y - 3 - 1: Այնուհետև, որպես տվյալ կետով անցնող ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, կարելի է օգտագործել ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը x 2 = y - 3 - 1, որը գրում ենք a → = (2, - 1) . Այժմ հայտնի են բոլոր անհրաժեշտ տվյալները՝ ցանկալի պարամետրային հավասարումները կազմելու համար.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Պատասխան. x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.

Օրինակ 9

Տրված է M 1 (0, - 7) կետը։ Անհրաժեշտ է գրել 3 x – 2 y – 5 = 0 այս կետով ուղիղ գծին ուղղահայաց ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։

Որոշում

Որպես ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, որի հավասարումը պետք է կազմված լինի, կարելի է վերցնել ուղիղ գծի նորմալ վեկտորը 3 x - 2 y - 5 = 0: Դրա կոորդինատներն են (3, - 2): Մենք գրում ենք ուղիղ գծի պահանջվող պարամետրային հավասարումները.

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Պատասխան. x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Երրորդ տիպի խնդիրներում պահանջվում է տվյալ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներից անցում կատարել այն որոշող հավասարումների այլ տեսակների։ Նման օրինակների լուծումը վերը դիտարկեցինք, ևս մեկը կտանք։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա տրված է ուղիղ գիծ, ​​որը սահմանվում է x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ պարամետրական հավասարումներով: Անհրաժեշտ է գտնել այս ուղղի ինչ-որ նորմալ վեկտորի կոորդինատները։

Որոշում

Նորմալ վեկտորի ցանկալի կոորդինատները որոշելու համար պարամետրային հավասարումներից անցում կկատարենք ընդհանուր հավասարման.

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x և y փոփոխականների գործակիցները մեզ տալիս են նորմալ վեկտորի պահանջվող կոորդինատները։ Այսպիսով, x = 1 - 3 4 ուղղի նորմալ վեկտորը · λ y = - 1 + λ ունի 1, 3 4 կոորդինատներ:

Պատասխան. 1 , 3 4 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները տարրականորեն ստացվում են այս ուղիղ գծի կանոնական հավասարումից, որն ունի ձև . Որպես պարամետր ընդունենք այն արժեքը, որով կարելի է բազմապատկել կանոնական հավասարման ձախ և աջ մասերը։

Քանի որ հայտարարներից մեկն անպայմանորեն տարբերվում է զրոյից, և համապատասխան համարիչը կարող է ընդունել ցանկացած արժեք, պարամետրի միջակայքը իրական թվերի ամբողջ առանցքն է.

Կստանանք կամ վերջապես

Հավասարումները (1) ուղիղ գծի ցանկալի պարամետրային հավասարումներ են: Այս հավասարումները թույլ են տալիս մեխանիկական մեկնաբանություն: Եթե ​​ենթադրենք, որ պարամետրը որոշ սկզբնական պահից չափված ժամանակն է, ապա պարամետրային հավասարումները որոշում են նյութական կետի շարժման օրենքը ուղիղ գծով հաստատուն արագությամբ (այդպիսի շարժումը տեղի է ունենում իներցիայով):

Օրինակ 1Հարթության վրա կազմի՛ր կետով անցնող և ուղղության վեկտոր ունեցող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։

Որոշում. Կետի և ուղղության վեկտորի տվյալները փոխարինում ենք (1)-ում և ստանում.

Հաճախ առաջադրանքներում պահանջվում է ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները փոխակերպել այլ տեսակի հավասարումների, իսկ այլ տիպերի հավասարումներից ստանալ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ: Դիտարկենք նման մի քանի օրինակ։ Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները վերածել ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումսկզբում դրանք պետք է իջեցվեն մինչև կանոնական ձև, իսկ հետո կանոնական հավասարումից ստացվի ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը.

Օրինակ 2Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը

ընդհանրապես.

Որոշում. Նախ՝ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները բերում ենք կանոնական հավասարմանը.

Հետագա փոխակերպումները հավասարումը բերում են ընդհանուր ձևի.

Որոշակիորեն ավելի դժվար է ընդհանուր հավասարումը վերածել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումների, բայց այս գործողության համար կարող է նաև կազմվել հստակ ալգորիթմ: Նախ, մենք կարող ենք վերափոխել ընդհանուր հավասարումը թեքության հավասարումըև դրանից գտե՛ք ուղիղին պատկանող ինչ-որ կետի կոորդինատները՝ կոորդինատներից մեկին տալով կամայական արժեք։ Երբ հայտնի են կետի և ուղղության վեկտորի կոորդինատները (ընդհանուր հավասարումից), կարելի է գրել ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։

Օրինակ 3Ուղիղ գծի հավասարումը գրի՛ր պարամետրային հավասարումների տեսքով։

Որոշում. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը բերում ենք թեքությամբ հավասարման.

Մենք գտնում ենք ուղիղին պատկանող ինչ-որ կետի կոորդինատները։ Կետի կոորդինատներից մեկին տվեք կամայական արժեք

Լանջով ուղիղ գծի հավասարումից մենք ստանում ենք կետի մեկ այլ կոորդինատ.

Այսպիսով, մենք գիտենք կետը և ուղղության վեկտորը: Մենք նրանց տվյալները փոխարինում ենք (1)-ով և ստանում ուղիղ գծի ցանկալի պարամետրային հավասարումները.

Օրինակ 4Գտե՛ք պարամետրային հավասարումներով տրված ուղիղ գծի թեքությունը

Որոշում. Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները նախ պետք է վերածվեն կանոնականի, ապա ընդհանուրի և վերջապես թեքության հավասարման։

Այսպիսով, տրված ուղիղ գծի թեքությունը.

Օրինակ 5Կազմե՛ք կետով և ուղղահայաց գծով անցնող ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներ

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումներում կոտորակներից յուրաքանչյուրը որոշ պարամետրի հավասարեցնելը տ:

Մենք ստանում ենք հավասարումներ, որոնք արտահայտում են ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետի ընթացիկ կոորդինատները պարամետրի միջոցով տ.

Այսպիսով, ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները ունեն ձևը.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումներ.

Թող երկու կետ M 1 (x1, y1, z1)և M 2 (x2,y2,z2). Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումները ստացվում են այնպես, ինչպես հարթության վրա գտնվող նմանատիպ հավասարումը։ Հետևաբար, մենք անմիջապես տալիս ենք այս հավասարման ձևը:

Ուղիղ գիծ երկու հարթությունների խաչմերուկում: Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը տարածության մեջ.

Եթե ​​դիտարկենք երկու ոչ զուգահեռ հարթություններ, ապա դրանց հատումը կլինի ուղիղ գիծ։

Եթե ​​նորմալ վեկտորները և ոչ գծային.

Ստորև, օրինակներ դիտարկելիս, մենք ցույց կտանք նման ուղիղ գծային հավասարումները կանոնական հավասարումների վերածելու միջոց:

5.4 Անկյուն երկու ուղիղ գծերի միջև: Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայման.

Տիեզերքում երկու ուղիղ գծերի միջև անկյունը ցանկացած անկյուն է, որը ձևավորվում է տվյալներին զուգահեռ կամայական կետով գծված երկու ուղիղ գծերով:

Թող երկու տող տրվի իրենց կանոնական հավասարումներով։

Երկու ուղիղ գծերի միջև անկյան համար մենք կվերցնենք ուղղության վեկտորների միջև ընկած անկյունը:

և

Երկու ուղիղ գծերի ուղղահայացության պայմանը կրճատվում է նրանց ուղղության վեկտորների ուղղահայացության պայմանին և, այսինքն, սկալյար արտադրյալի զրոյին հավասարությանը. կամ կոորդինատային ձևով. .

Երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանը կրճատվում է նրանց ուղղության վեկտորների զուգահեռության պայմանով և

5.5 Ուղիղ գծի և հարթության փոխադարձ դասավորություն.

Թող տրվեն ուղիղ գծի հավասարումները.

և ինքնաթիռներ։ Գծի և հարթության միջև անկյունը կլինի երկու հարակից անկյուններից որևէ մեկը, որը ձևավորվում է գծի և դրա պրոյեկցիայի միջոցով հարթության վրա (Նկար 5.5):

Նկար 5.5

Եթե ​​ուղիղը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա գծի ուղղորդող վեկտորը և հարթությանը նորմալ վեկտորը համագիծ են: Այսպիսով, ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության պայմանը վերածվում է համակողմանի վեկտորների վիճակի.

Ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռության դեպքում վերը նշված նրանց վեկտորները փոխադարձաբար ուղղահայաց են։ Հետևաբար, ուղիղ գծի և հարթության զուգահեռության պայմանը իջեցվում է վեկտորների ուղղահայացության պայմանին. դրանք. նրանց կետային արդյունքը զրո է կամ կոորդինատային ձևով՝ .

Ստորև բերված են 5-րդ գլխի թեմայի հետ կապված խնդիրների լուծման օրինակներ.

Օրինակ 1:

Գրե՛ք հավասարում A (1,2,4) կետով անցնող հարթության համար, որը ուղղահայաց է հավասարմամբ տրված ուղիղ գծին.

Որոշում:

Մենք օգտագործում ենք տվյալ վեկտորին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը։

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Որպես կետ վերցնում ենք A կետը (1,2,4), որով հարթությունն անցնում է պայմանով։

Իմանալով ուղիղի կանոնական հավասարումները՝ գիտենք ուղիղին զուգահեռ վեկտորը։

Շնորհիվ այն բանի, որ պայմանով ուղիղը ուղղահայաց է ցանկալի հարթությանը, ուղղության վեկտորը կարելի է ընդունել որպես հարթության նորմալ վեկտոր։

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը հետևյալ ձևով.

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Օրինակ 2:

Գտեք ինքնաթիռում 4x-7y+5z-20=0կետ P, որի համար OP-ը հավասար անկյուններ է կազմում կոորդինատային առանցքների հետ:

Որոշում:

Եկեք սխեմատիկ գծագրություն կատարենք. (Նկար 5.6)

ժամը

Նկար 5.6

Р դատարկ կետն ունի կոորդինատներ: Քանի որ վեկտորը կոորդինատային առանցքներով կազմում է նույն անկյունները, այս վեկտորի ուղղության կոսինուսները հավասար են միմյանց

Գտնենք վեկտորի կանխատեսումները.

ապա այս վեկտորի ուղղության կոսինուսները հեշտությամբ կարելի է գտնել:

Ուղղության կոսինուսների հավասարությունից հետևում է հավասարությունը.

x p \u003d y p \u003d z p

քանի որ P կետը գտնվում է հարթության վրա, այս կետի կոորդինատները հարթության հավասարման մեջ փոխարինելով՝ այն վերածվում է նույնականության:

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Համապատասխանաբար. y r=10; z p=10.

Այսպիսով, ցանկալի P կետն ունի P կոորդինատներ (10; 10; 10)

Օրինակ 3:

Տրված է երկու միավոր A (2, -1, -2) և B (8, -7.5): Գտե՛ք B կետով AB հատվածին ուղղահայաց անցնող հարթության հավասարումը.

Որոշում:

Խնդիրը լուծելու համար օգտագործում ենք տվյալ վեկտորին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը։

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Որպես կետ մենք օգտագործում ենք B կետը (8, -7.5), իսկ որպես հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր՝ վեկտոր։ Գտնենք վեկտորի կանխատեսումները.

ապա մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը ձևով.

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Օրինակ 4:

Գտե՛ք OY առանցքին զուգահեռ և K(1,-5,1) և M(3,2,-2) կետերով անցնող հարթության հավասարումը:

Որոշում:

Քանի որ հարթությունը զուգահեռ է OY առանցքին, մենք կօգտագործենք հարթության թերի հավասարումը:

Ax+Cz+D=0

Շնորհիվ այն բանի, որ K և M կետերը գտնվում են հարթության վրա, մենք ստանում ենք երկու պայման.

Այս պայմաններից արտահայտենք A և C գործակիցները D-ով։

Գտնված գործակիցները փոխարինում ենք հարթության ոչ լրիվ հավասարման մեջ.

քանի որ , ապա մենք կրճատում ենք D:

Օրինակ 5:

Գտե՛ք M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) երեք կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը.

Որոշում:

Օգտագործենք 3 տրված կետերով անցնող ինքնաթիռի հավասարումը։

M, K, R կետերի կոորդինատները փոխարինելով առաջին, երկրորդ և երրորդ՝ ստանում ենք.

ընդլայնել որոշիչը 1-ին տողի երկայնքով:

Օրինակ 6:

Գտե՛ք M 1 կետերով անցնող հարթության հավասարումը (8, -3,1); M 2 (4,7,2) և ուղղահայաց հարթությանը 3x+5y-7z-21=0

Որոշում:

Եկեք կատարենք սխեմատիկ գծագիր (Նկար 5.7)

Նկար 5.7

Նշում ենք տրված հարթությունը P 2 և ցանկալի հարթությունը P 2: Տրված Р 1 հարթության հավասարումից որոշում ենք Р 1 հարթությանը ուղղահայաց վեկտորի ելուստները։

Վեկտորը կարող է տեղափոխվել P 2 հարթություն զուգահեռ թարգմանության միջոցով, քանի որ ըստ խնդրի պայմանի՝ P 2 հարթությունը ուղղահայաց է P 1 հարթությանը, ինչը նշանակում է, որ վեկտորը զուգահեռ է P 2 հարթությանը։

Գտնենք Р 2 հարթությունում ընկած վեկտորի կանխատեսումները.

այժմ մենք ունենք երկու վեկտոր և ընկած է R 2 հարթության մեջ: Ակնհայտ է, որ վեկտորը հավասար է վեկտորների վեկտորի արտադրյալին և ուղղահայաց կլինի P 2 հարթությանը, քանի որ այն ուղղահայաց է և, հետևաբար, իր նորմալ վեկտորին P 2 հարթությանը:

Վեկտորները և տրված են իրենց կանխատեսումներով, հետևաբար.

Այնուհետև մենք օգտագործում ենք վեկտորին ուղղահայաց տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարումը: Որպես կետ, կարող եք վերցնել M 1 կամ M 2 կետերից որևէ մեկը, օրինակ M 1 (8, -3.1); Որպես նորմալ վեկտոր Р 2 հարթության վրա վերցնում ենք .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Օրինակ 7:

Ուղիղ գիծը սահմանվում է երկու հարթությունների խաչմերուկով: Գտի՛ր ուղիղի կանոնական հավասարումները:

Որոշում:

Մենք ունենք հավասարում հետևյալ ձևով.

Պետք է կետ գտնել x 0, y 0, z 0) որի միջով անցնում է ուղիղ գիծը և ուղղության վեկտորը։

Մենք կամայականորեն ընտրում ենք կոորդինատներից մեկը։ Օրինակ, z=1, ապա մենք ստանում ենք երկու անհայտ երկու հավասարումների համակարգ.

Այսպիսով, մենք գտել ենք ցանկալի գծի վրա ընկած կետ (2,0,1):

Որպես ցանկալի ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտոր, մենք վերցնում ենք վեկտորների խաչաձև արտադրյալը և , որոնք նորմալ վեկտորներ են, քանի որ , որը նշանակում է զուգահեռ ցանկալի գծին:

Այսպիսով, ուղիղ գծի ուղղության վեկտորն ունի կանխատեսումներ: Օգտագործելով տրված վեկտորին զուգահեռ տրված կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Այսպիսով, ցանկալի կանոնական հավասարումն ունի ձև.

Օրինակ 8:

Գտե՛ք ուղիղի հատման կետի կոորդինատները և ինքնաթիռ 2x+3y+3z-8=0

Որոշում:

Ուղիղ գծի տրված հավասարումը գրենք պարամետրային ձևով։

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

Ուղիղ գծի յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է պարամետրի մեկ արժեքին տ. Պարամետրը գտնելու համար տուղիղի և հարթության հատման կետին համապատասխան՝ արտահայտությունը փոխարինում ենք հարթության հավասարման մեջ. x, y, zպարամետրի միջոցով տ.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6տ-4-3տ+6+6տ-3-8=0

t=1

ապա ցանկալի կետի կոորդինատները

ցանկալի հատման կետն ունի կոորդինատներ (1;1;1):

Օրինակ 9:

Գտե՛ք զուգահեռ ուղիղների միջով անցնող հարթության հավասարումը.

Եկեք կատարենք սխեմատիկ գծագիր (Նկար 5.9)

Նկար 5.9

Տրված ուղիղների հավասարումներից և որոշում ենք այս ուղիղների ուղղորդող վեկտորների կանխատեսումները։ Մենք գտնում ենք P հարթությունում ընկած վեկտորի կանխատեսումները և վերցնում M 1 (1, -1,2) և M 2 (0,1, -2) ուղիղների կետերը և կանոնական հավասարումներից: