Որոշի՛ր ուղղահայաց կոսինուսների երկարությունը և ուղղությունը: Վեկտորների ուղղության կոսինուսներ

Թող տրվի վեկտոր: Միավոր վեկտորը նույն ուղղությամբ, ինչ (վեկտոր վեկտոր ) հայտնաբերվում է բանաձևով.

.

Թող առանցքը կոորդինատային առանցքներով անկյուններ է կազմում
.Առանցքի ուղղության կոսինուսներ Այս անկյունների կոսինուսները կոչվում են. Եթե ​​ուղղությունը տրված է միավոր վեկտորով , ապա ուղղության կոսինուսները ծառայում են որպես դրա կոորդինատներ, այսինքն.

.

Ուղղության կոսինուսները կապված են հարաբերությամբ.

Եթե ​​ուղղությունը տրված է կամայական վեկտորով , ապա գտե՛ք այս վեկտորի միավոր վեկտորը և այն համեմատելով միավոր վեկտորի արտահայտության հետ , ստանալ:

Scalar արտադրանք

Կետային արտադրանք
երկու վեկտոր և կոչվում է թիվ, որը հավասար է նրանց երկարությունների արտադրյալին նրանց միջև եղած անկյան կոսինուսով.
.

Սկալյար արտադրանքն ունի հետևյալ հատկությունները.

Հետևաբար,
.

Սկալյար արտադրյալի երկրաչափական նշանակությունըՎեկտորի և միավոր վեկտորի կետային արտադրյալը հավասար է վեկտորի նախագծմանը որոշված ​​ուղղությամբ , այսինքն.
.

Սկալյար արտադրյալի սահմանումից հետևում է օրթների բազմապատկման հետևյալ աղյուսակը
:

.

Եթե ​​վեկտորները տրված են իրենց կոորդինատներով
և
, այսինքն.
,
, այնուհետև, այս վեկտորները սկալյար կերպով բազմապատկելով և օգտագործելով օրթների բազմապատկման աղյուսակը, ստանում ենք սկալյար արտադրյալի արտահայտությունը.
վեկտորների կոորդինատների միջոցով.

.

վեկտորային արտադրանք

Վեկտորի խաչաձև արտադրյալմեկ վեկտորի համար կոչվում է վեկտոր , որի երկարությունը և ուղղությունը որոշվում են պայմաններով.

Վեկտորային արտադրանքը ունի հետևյալ հատկությունները.

Առաջին երեք հատկություններից հետևում է, որ վեկտորների գումարի վեկտորային բազմապատկումը վեկտորների գումարով ենթարկվում է բազմանդամների բազմապատկման սովորական կանոններին։ Միայն անհրաժեշտ է ապահովել, որ բազմապատկիչների կարգը չփոխվի։

Հիմնական միավորի վեկտորները բազմապատկվում են հետևյալ կերպ.

Եթե
և
, այնուհետև հաշվի առնելով վեկտորների վեկտորային արտադրյալի հատկությունները, մենք կարող ենք վեկտորային արտադրյալի կոորդինատների հաշվարկման կանոն բերել գործոնային վեկտորների կոորդինատներից.

Եթե ​​հաշվի առնենք վերը ստացված օրտների բազմապատկման կանոնները, ապա.

Երկու վեկտորների վեկտորային արտադրյալի կոորդինատները հաշվարկելու համար արտահայտություն գրելու ավելի կոմպակտ ձև կարելի է կառուցել, եթե ներմուծենք մատրիցային որոշիչ հասկացությունը:

Դիտարկենք հատուկ դեպք, երբ վեկտորները և պատկանում է ինքնաթիռին
, այսինքն. դրանք կարող են ներկայացվել որպես
և
.

Եթե ​​վեկտորների կոորդինատները գրված են աղյուսակի ձևով հետևյալ կերպ.
, ապա կարելի է ասել, որ դրանցից առաջանում է երկրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա, այ. չափը
, որը բաղկացած է երկու տողից և երկու սյունակից։ Յուրաքանչյուր քառակուսի մատրիցին տրվում է մի թիվ, որը հաշվարկվում է մատրիցայի տարրերից՝ ըստ որոշակի կանոնների և կոչվում է որոշիչ: Երկրորդ կարգի մատրիցայի որոշիչը հավասար է հիմնական անկյունագծի և երկրորդական անկյունագծի տարրերի արտադրանքների տարբերությանը.

.

Այս դեպքում:

Այսպիսով, որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին և ինչպես կողքերում։

Եթե ​​այս արտահայտությունը համեմատենք վեկտորի արտադրանքի բանաձևի հետ (4.7), ապա.

Այս արտահայտությունը բանաձև է առաջին շարքից երրորդ կարգի մատրիցի որոշիչի հաշվարկման համար։

Այսպիսով.

Երրորդ կարգի մատրիցային որոշիչհաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

և վեց անդամների հանրահաշվական գումարն է։

Երրորդ կարգի մատրիցայի որոշիչի հաշվարկման բանաձևը հեշտ է հիշել, եթե օգտագործում եք. կանոնՍարուս, որը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Յուրաքանչյուր տերմին արտադրյալ է երեք տարրերի, որոնք գտնվում են տարբեր սյունակներում և մատրիցայի տարբեր տողերում.

Պլյուս նշանն ունի տարրերի արտադրյալներ, որոնք կազմում են եռանկյուններ, որոնց կողմը զուգահեռ է հիմնական անկյունագծին.

Մինուս նշանը տրվում է երկրորդական շեղանկյունին պատկանող տարրերի արտադրյալներին և այն տարրերի երկու արտադրյալներին, որոնք կազմում են եռանկյուններ, որոնց կողմը զուգահեռ է երկրորդական անկյունագծին։

Վեկտորի ուղղության կոսինուսներ.

Վեկտորի ուղղության կոսինուսները աայն անկյունների կոսինուսներն են, որոնք վեկտորը կազմում է կոորդինատների դրական կիսաառանցքներով:

a վեկտորի ուղղության կոսինուսները գտնելու համար անհրաժեշտ է վեկտորի համապատասխան կոորդինատները բաժանել վեկտորի մոդուլի վրա։

Սեփականություն:Ուղղության կոսինուսների քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի։

Այսպիսով ինքնաթիռի խնդրի դեպքում a = (ax; ay) վեկտորի ուղղության կոսինուսները գտնվում են բանաձևերով.

Վեկտորի ուղղության կոսինուսների հաշվարկման օրինակ.

Գտե՛ք a = (3; 4) վեկտորի ուղղության կոսինուսները:

Լուծում` |ա| =

Այսպիսով, ներս տարածական խնդրի դեպքում a = (ax; ay; az) վեկտորի ուղղության կոսինուսները գտնվում են բանաձևերով.

Վեկտորի ուղղության կոսինուսների հաշվարկման օրինակ

Գտե՛ք a = (2; 4; 4) վեկտորի ուղղության կոսինուսները:

Լուծում` |ա| =

«Ինչպես գտնել վեկտորի ուղղության կոսինուսները»

Ալֆա, բետա և գամմայով նշեք a վեկտորի կողմից կազմված անկյունները կոորդինատային առանցքների դրական ուղղությամբ (տե՛ս նկ. 1): Այս անկյունների կոսինուսները կոչվում են a վեկտորի ուղղության կոսինուսներ։

Քանի որ a կոորդինատները դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հավասար են կոորդինատային առանցքների վրա վեկտորի ելքերին, ապա a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos: (գամմա): Այստեղից՝ cos (ալֆա)=a1||a|, cos(բետա)=a2||a|, cos(գամմա)= a3/|a|: Ընդ որում, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Այսպիսով, cos(ալֆա)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(բետա) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(գամմա)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Պետք է նշել ուղղության կոսինուսների հիմնական հատկությունը. Վեկտորի ուղղության կոսինուսների քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի։ Իսկապես, cos^2(ալֆա)+cos^2(բետա)+cos^2(գամմա)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2) + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1:

Առաջին ճանապարհը

Օրինակ՝ տրված է՝ վեկտոր a=(1, 3, 5): Գտեք նրա ուղղության կոսինուսները: Որոշում. Մեր գտածին համապատասխան գրում ենք՝ |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91։ Այսպիսով, պատասխանը կարելի է գրել հետևյալ ձևով՝ (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0.16; 0.5; 0.84):

Երկրորդ ճանապարհ

Ա վեկտորի ուղղության կոսինուսները գտնելիս կարող եք օգտագործել անկյունների կոսինուսների որոշման տեխնիկան՝ օգտագործելով սկալյար արտադրյալը: Այս դեպքում մենք նկատի ունենք անկյունները a-ի և i, j և k ուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատների ուղղության միավորի վեկտորների միջև: Նրանց կոորդինատներն են համապատասխանաբար (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1): Հարկ է հիշել, որ վեկտորների սկալյար արտադրյալը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Եթե ​​վեկտորների միջև անկյունը φ է, ապա երկու քամիների սկալյար արտադրյալը (ըստ սահմանման) մի թիվ է, որը հավասար է վեկտորների մոդուլների արտադրյալին cosφ-ով։ (ա, բ) = |a||b|cos f. Ապա, եթե b=i, ապա (a, i) = |a||i|cos(alpha), կամ a1 = |a|cos(alpha): Ավելին, բոլոր գործողությունները կատարվում են 1-ին մեթոդի նման՝ հաշվի առնելով j և k կոորդինատները:

սրանք անկյունների կոսինուսներն են, որոնք վեկտորը կազմում է կոորդինատների դրական կիսաառանցքների հետ: Ուղղության կոսինուսները եզակիորեն սահմանում են վեկտորի ուղղությունը: Եթե ​​վեկտորն ունի 1 երկարություն, ապա նրա ուղղության կոսինուսները հավասար են նրա կոորդինատներին: Ընդհանուր առմամբ, կոորդինատներով վեկտորի համար ( ա; բ; գ) ուղղության կոսինուսները հավասար են.

որտեղ a, b, g-ն առանցքներով վեկտորի ձևավորված անկյուններն են x, y, զհամապատասխանաբար.

21) վեկտորի տարրալուծումը վեկտորներով. Կոորդինատային առանցքի ուղղաձիգը նշանակվում է , առանցքները՝ ով, առանցքները՝ (նկ. 1):

Ցանկացած վեկտորի համար, որը գտնվում է հարթության մեջ, տեղի է ունենում հետևյալ տարրալուծումը.

Եթե ​​վեկտորը գտնվում է տարածության մեջ, այնուհետև ընդլայնումը կոորդինատային առանցքների միավոր վեկտորների առումով ունի ձև.

22)Կետային արտադրանքերկու ոչ զրոյական վեկտորներ և այդ վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին հավասար թիվը կոչվում է.

23) Անկյուն երկու վեկտորների միջև

Եթե ​​երկու վեկտորների միջև անկյունը սուր է, ապա դրանց կետային արդյունքը դրական է. եթե վեկտորների միջև անկյունը բութ է, ապա այդ վեկտորների սկալյար արտադրյալը բացասական է: Երկու ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այդ վեկտորները ուղղանկյուն են:

24) Երկու վեկտորների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանը.

Վեկտորների ուղղահայացության պայմանը
Վեկտորները ուղղահայաց են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրանց ներքին արտադրյալը զրո է:Տրված են երկու վեկտոր a(xa;ya) և b(xb;yb): Այս վեկտորները կլինեն ուղղահայաց, եթե xaxb + yayb = 0 արտահայտությունը:

25) երկու վեկտորի վեկտորային արտադրյալ.

Երկու ոչ գծային վեկտորների վեկտորային արտադրյալը c=a×b վեկտորն է, որը բավարարում է հետևյալ պայմանները. 1) |c|=|a| |բ| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) a, b, c վեկտորները կազմում են վեկտորների ճիշտ եռյակը:

26) համագիծ և համահունչ վեկտորներ..

Վեկտորները միաձույլ են, եթե առաջին վեկտորի աբսցիսան կապված է երկրորդի աբսցիսի հետ այնպես, ինչպես առաջինի օրդինատը երկրորդի օրդինատին։Տրված է երկու վեկտոր։ ա (xa;այո) և բ (xb;yb): Այս վեկտորները համագիծ են, եթե x ա = xbև y ա = yb, որտեղ Ռ.

Վեկտորներ −→ ա,−→բև −→ գկանչեց համակողմանիեթե կա հարթություն, որին զուգահեռ են:

27) երեք վեկտորի խառը արտադրյալ. Վեկտորների խառը արտադրյալ- a վեկտորի սկալյար արտադրյալ և b և c վեկտորների վեկտորային արտադրյալ: Գտե՛ք a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1) վեկտորների խառը արտադրյալը:

Որոշում:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Հարթության երկու կետերի միջև հեռավորությունը. Երկու տրված կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է այս կետերի նույն կոորդինատների քառակուսի տարբերությունների գումարի քառակուսի արմատին:

29) հատվածի բաժանումն այս առումով. Եթե ​​M(x; y) կետը ընկած է երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի վրա ( , ) և ( , ), և տրված է այն հարաբերությունը, որում M կետը բաժանում է հատվածը, ապա որոշվում են M կետի կոորդինատները. բանաձևերով

Եթե ​​M ​​կետը հատվածի միջնակետն է, ապա դրա կոորդինատները որոշվում են բանաձևերով

30-31. Ուղիղ գծի թեքությունկոչվում է այս ուղիղ գծի թեքության շոշափող: Ուղիղ գծի թեքությունը սովորաբար նշվում է տառով կ. Հետո ըստ սահմանման

Գծային հավասարում թեքությամբունի այն ձևը, որտեղ կ- ուղիղ գծի անկյունային գործակից, բինչ-որ իրական թիվ է: Լանջով ուղիղ գծի հավասարումը կարող է սահմանել ցանկացած ուղիղ, որը զուգահեռ չէ առանցքին. Օյ(y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի համար թեքությունը սահմանված չէ):

33. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը հարթության վրա. Տիպի հավասարում կա ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարում Օքսի. Կախված A, B և C հաստատունների արժեքներից, հնարավոր են հետևյալ հատուկ դեպքերը.

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - գիծն անցնում է սկզբնակետով

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - ուղիղը զուգահեռ է Ox առանցքին

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - ուղիղը զուգահեռ է Oy առանցքին

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Oy առանցքի հետ

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - ուղիղ գիծը համընկնում է Ox առանցքի հետ

34.Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներումուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող հարթության վրա Օքսիունի այն ձևը, որտեղ աև բորոշ ոչ զրոյական իրական թվեր են: Այս անունը պատահական չէ, քանի որ թվերի բացարձակ արժեքները աև բհավասար է այն հատվածների երկարություններին, որոնք ուղիղ գիծը կտրում է կոորդինատային առանցքների վրա Եզև Օյհամապատասխանաբար (հատվածները հաշվվում են սկզբնաղբյուրից): Այսպիսով, հատվածներում ուղիղ գծի հավասարումը հեշտացնում է այս ուղիղ գիծը գծագրում կառուցելը: Դա անելու համար հարթության վրա նշեք կետերը կոորդինատներով և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգով և օգտագործեք քանոն՝ դրանք ուղիղ գծով միացնելու համար:

35. Ուղիղ գծի նորմալ հավասարումն ունի ձևը

որտեղ է ուղիղ գծից մինչև ծագման հեռավորությունը.  անկյունն է նորմալից ուղիղ գծի և առանցքի միջև:

Նորմալ հավասարումը կարելի է ստանալ ընդհանուր (1) հավասարումից՝ այն բազմապատկելով նորմալացնող գործակցով,  նշանը հակադիր է , այնպես որ .

Ուղղի և կոորդինատային առանցքների միջև գտնվող անկյունների կոսինուսները կոչվում են ուղղության կոսինուսներ, -ը ուղիղի և առանցքի միջև ընկած անկյունն է,  ուղիղի և առանցքի միջև է.

Այսպիսով, նորմալ հավասարումը կարելի է գրել այսպես

Հեռավորությունը կետից դեպի ուղիղորոշվում է բանաձևով

36. Կետի և ուղիղի միջև հեռավորությունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

որտեղ x 0 և y 0 կետի կոորդինատներն են, իսկ A, B և C՝ գծի ընդհանուր հավասարման գործակիցները

37. Ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը նորմալի բերելը. Հավասարումն ու հարթությունն այս համատեքստում ոչնչով չեն տարբերվում միմյանցից, բացի հավասարումների տերմինների քանակից և տարածության չափից: Ուստի սկզբում ամեն ինչ կասեմ ինքնաթիռի մասին, իսկ վերջում վերապահում կանեմ ուղիղ գծի վերաբերյալ։
Տրված լինի հարթության ընդհանուր հավասարումը` Ax + By + Cz + D = 0:
;. մենք ստանում ենք համակարգը՝ g;Mc=cosb, MB=cosa Եկեք այն բերենք նորմալ ձևի: Դա անելու համար մենք հավասարման երկու մասերը բազմապատկում ենք M նորմալացնող գործակցով, ստանում ենք՝ Max + Mvu + MSz + MD = 0: Այս դեպքում, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa մենք ստանում ենք համակարգը.

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Համակարգի բոլոր հավասարումները գումարելով՝ մենք ստանում ենք M*(A2 + B2 + C2) = 1 Այժմ մնում է միայն արտահայտել M այստեղից, որպեսզի իմանանք, թե որ նորմալացնող գործոնով պետք է բազմապատկել սկզբնական ընդհանուր հավասարումը, որպեսզի այն նորմալ բերվի: ձևը:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD-ն միշտ պետք է լինի զրոյից փոքր, ուստի M թվի նշանը վերցվում է D թվի նշանին հակառակ։
Ուղիղ գծի հավասարման դեպքում ամեն ինչ նույնն է, միայն C2 տերմինը պարզապես պետք է հանել M-ի բանաձևից:

38.Ինքնաթիռի ընդհանուր հավասարումը տարածության մեջ կոչվում է ձևի հավասարում

որտեղ Ա 2 + Բ 2 + Գ 2 ≠ 0 .

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում եռաչափ տարածության մեջ ցանկացած հարթություն նկարագրվում է 1-ին աստիճանի հավասարմամբ (գծային հավասարում): Ընդհակառակը, ցանկացած գծային հավասարում սահմանում է հարթություն:

40.Հարթության հավասարումը հատվածներով.Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսիզեռաչափ տարածության մեջ՝ ձևի հավասարում , որտեղ ա, բև գզրոյից տարբեր իրական թվեր են կոչվում հարթության հավասարումը հատվածներում. Թվերի բացարձակ արժեքներ ա, բև գհավասար է այն հատվածների երկարություններին, որոնք հարթությունը կտրում է կոորդինատային առանցքների վրա Եզ, Օյև Օզհամապատասխանաբար, հաշվելով ծագումից։ Թվի նշան ա, բև գցույց է տալիս, թե որ ուղղությամբ (դրական կամ բացասական) հատվածները գծագրված են կոորդինատային առանցքների վրա

41) Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը.

Ինքնաթիռի նորմալ հավասարումը նրա հավասարումն է՝ գրված ձևով

որտեղ , , հարթության նորմալի ուղղության կոսինուսներն են, e

p-ը սկզբից մինչև հարթություն հեռավորությունն է: Նորմալի ուղղության կոսինուսները հաշվարկելիս պետք է համարել, որ այն ուղղված է սկզբնակետից դեպի հարթություն (եթե հարթությունն անցնում է սկզբնակետով, ապա նորմայի դրական ուղղության ընտրությունն անտարբեր է)։

42) հեռավորությունը կետից մինչև հարթություն.Թող հարթությունը տրվի հավասարմամբ և միավոր է տվել: Այնուհետև կետից մինչև հարթություն հեռավորությունը որոշվում է բանաձևով

Ապացույց. Կետից հարթություն հեռավորությունը, ըստ սահմանման, կետից հարթություն ընկած ուղղահայաց երկարությունն է։

Անկյուն հարթությունների միջև

Թող հարթությունները և տրվեն համապատասխանաբար հավասարումներով և . Պահանջվում է գտնել այս հարթությունների միջև եղած անկյունը:

Հարթությունները, հատվելով, կազմում են չորս երկանկյուն անկյուններ՝ երկու բութ և երկու սուր կամ չորս ուղիղ, և երկու բութ անկյունները հավասար են միմյանց, և երկուսն էլ սուր են: Մենք միշտ կփնտրենք սուր անկյուն։ Դրա արժեքը որոշելու համար մենք մի կետ ենք վերցնում հարթությունների հատման գծի վրա և յուրաքանչյուրի այս կետում

հարթություններ, մենք ուղղահայացներ ենք գծում հատման գծին:

Սեփականություն:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

բ) գծային գործողությունների սահմանում

երկու ոչ գծային վեկտորների գումարը և կոչվում է վեկտոր, որը գալիս է այս վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի անկյունագծով վեկտորների ընդհանուր ծագումից։

Վեկտորների տարբերությունը կոչվում է վեկտորի և վեկտորի հակառակ վեկտորի գումար. . Միացրեք վեկտորների սկիզբները և , ապա վեկտորն ուղղվում է վեկտորի վերջից դեպի վեկտորի վերջը :

աշխատանք թվի վեկտորը կոչվում է մոդուլով վեկտոր և համար և համար: Երկրաչափական առումով, թվով բազմապատկելը նշանակում է վեկտորի «ձգում» 1 գործակցով, միաժամանակ պահպանելով ուղղությունը և փոխելով դեպի հակառակը:

Վեկտորների գումարման և թվով բազմապատկելու վերը նշված կանոններից հետևում են ակնհայտ պնդումները.

1. (հավելումը փոխադարձ է);

2. (ավելացումն ասոցիատիվ է);

3. (զրոյական վեկտորի առկայությունը);

4. (հակառակ վեկտորի առկայությունը);

5. (ավելացումն ասոցիատիվ է);

6. (թիվով բազմապատկելը բաշխիչ է);

7. (վեկտորի հավելումը բաշխիչ է);

գ) սկալյար արտադրանքը և դրա հիմնական հատկությունները

Կետային արտադրանքերկու ոչ զրոյական վեկտորների թիվը կոչվում է այն թիվը, որը հավասար է այս վեկտորների երկարությունների և նրանց միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին: Եթե ​​երկու վեկտորներից առնվազն մեկը զրո է, ապա նրանց միջև անկյունը սահմանված չէ, և սկալյար արտադրյալը համարվում է զրո: Վեկտորների սկալյար արտադրյալը և նշվում է

, որտեղ և են վեկտորների երկարությունները և համապատասխանաբար, և վեկտորների և .

Իր հետ վեկտորի սկալյար արտադրյալը կոչվում է կետային քառակուսի:

Սկալյար արտադրանքի հատկությունները.

Ցանկացած վեկտորի համար և հետևյալը ճշմարիտ են. կետային արտադրանքի հատկությունները:

սկալյար արտադրանքի փոխադարձության հատկությունը.

բաշխման հատկություն կամ ;

ասոցիատիվ սեփականություն կամ , որտեղ է կամայական իրական թիվը;

վեկտորի սկալյար քառակուսին միշտ ոչ բացասական է, և եթե և միայն, եթե վեկտորը զրո է:

Դ) վեկտորային արտադրանքը և դրա հատկությունները

վեկտորային արտադրանքվեկտոր a-ից b վեկտորը կոչվում է c վեկտոր, որի երկարությունը թվայինորեն հավասար է a և b վեկտորների վրա կառուցված զուգահեռագծի մակերեսին, ուղղահայաց այս վեկտորների հարթությանը և ուղղված է այնպես, որ նվազագույն պտույտը a-ից b. c վեկտորի շուրջը ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ է, երբ դիտվում է վերջի վեկտոր c-ից

Վեկտորների խաչաձև արտադրյալի հաշվարկման բանաձևեր

վեկտորային արտադրանքերկու վեկտոր a = (a x; a y; a z) և b = (b x; b y; b z) դեկարտյան կոորդինատներում վեկտոր է, որի արժեքը կարելի է հաշվարկել հետևյալ բանաձևերի միջոցով.

• Երկու ոչ զրոյական a և b վեկտորների խաչաձև արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորները համագիծ են:
• c վեկտորը, որը հավասար է a և b ոչ զրոյական վեկտորների խաչաձև արտադրյալին, ուղղահայաց է այս վեկտորներին։
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա

Ա) թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը

Ուղիղ գծի թեքությունկոչվում է այս ուղիղ գծի թեքության շոշափող:

Ուղիղ գծի թեքությունը սովորաբար նշվում է տառով կ. Հետո ըստ սահմանման.

Եթե ​​ուղիղը զուգահեռ է y առանցքին, ապա թեքություն գոյություն չունի (այս դեպքում ասում են նաև, որ թեքությունը գնում է դեպի անվերջություն):

Ուղիղ գծի դրական թեքությունը ցույց է տալիս նրա ֆունկցիայի գրաֆիկի աճը, բացասական թեքությունը՝ նվազում: Թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումն ունի y=kx+b ձև, որտեղ k-ը ուղիղի թեքությունն է, b-ը՝ իրական թիվ։ Լանջով ուղիղ գծի հավասարումը կարող է օգտագործվել ցանկացած ուղիղ գիծ նշելու համար, որը զուգահեռ չէ Oy առանցքին (y-առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի համար թեքությունը սահմանված չէ):

Բ) ուղիղ գծերի հավասարումների տեսակները

Հավասարումը կանչեց ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումըմակերեսի վրա.

Առաջին աստիճանի ցանկացած հավասարում երկու փոփոխականով xև yբարի , որտեղ ԲԱՅՑ, ATև Հետորոշ իրական թվեր են, և ԲԱՅՑև ATմիաժամանակ հավասար չէ զրոյի, սահմանում է ուղիղ գիծ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսիհարթության վրա, և հարթության վրա ցանկացած ուղիղ գիծ տրվում է ձևի հավասարմամբ .

Ուղիղ գծի հավասարում, որտեղ աև բզրոյից բացի այլ իրական թվեր են կոչվում ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներում. Այս անունը պատահական չէ, քանի որ թվերի բացարձակ արժեքները աև բհավասար է այն հատվածների երկարություններին, որոնք ուղիղ գիծը կտրում է կոորդինատային առանցքների վրա Եզև Օյհամապատասխանաբար (հատվածները հաշվվում են սկզբնաղբյուրից):

Ուղիղ գծի հավասարում, որտեղ xև yփոփոխականներ են, և կև բորոշ իրական թվեր են, որոնք կոչվում են թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարումը (կ- անկյունային գործակից)

Ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը հարթության մեջուղղանկյուն դեկարտյան կոորդինատային համակարգում Օքսիունի ձևը , որտեղ և որոշ իրական թվեր են, և և միաժամանակ զրոյի հավասար չեն։

Ակնհայտ է, որ ուղիղ գիծը, որը սահմանվում է ուղիղ գծի կանոնական հավասարմամբ, անցնում է կետով։ Իր հերթին, թվերը և , որոնք կանգնած են կոտորակների հայտարարներում, այս ուղղի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատներն են: Այսպիսով, գծի կանոնական հավասարումը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում Օքսիհարթության վրա համապատասխանում է կետով անցնող և ուղղության վեկտոր ունեցող ուղիղ գծի:

Հարթության վրա ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներնման լինել , որտեղ և են որոշ իրական թվեր, և և միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, և պարամետր է, որն ընդունում է ցանկացած իրական արժեք։

Ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները հաստատում են անուղղակի կապ ուղիղ գծի կետերի աբսցիսների և օրդինատների միջև՝ օգտագործելով պարամետր (այստեղից էլ՝ ուղիղ գծերի այս տեսակի հավասարումների անվանումը)։

Զույգ թվեր, որոնք հաշվարկվում են պարամետրի որոշ իրական արժեքի համար ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումներով, ուղիղ գծի ինչ-որ կետի կոորդինատներն են: Օրինակ, երբ ունենք , այսինքն՝ կոորդինատներով կետը գտնվում է ուղիղ գծի վրա։

Հարկ է նշել, որ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումների գործակիցները և պարամետրը այս ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի կոորդինատներն են.

Երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը

Թող տարածության մեջ տրվեն երկու կետեր M 1 (x 1, y 1, z 1) և M 2 (x 2, y 2, z 2), ապա այս կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը.

Եթե ​​հայտարարներից որևէ մեկը հավասար է զրոյի, ապա համապատասխան համարիչը պետք է հավասար լինի զրոյի, հարթության վրա վերևում գրված ուղիղ հավասարումը պարզեցված է.

եթե x 1 ≠ x 2 և x = x 1, եթե x 1 = x 2:

Կոտորակը = k կոչվում է թեքության գործոնըուղիղ.

գ) երկու տողերի միջև անկյունի հաշվարկ

եթե երկու ուղիղ տրվի y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , ապա այս ուղիղների միջև սուր անկյունը կսահմանվի որպես.

.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2 : Երկու ուղիղ ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1/ k 2:

Թեորեմ. Ax + Vy + C \u003d 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ուղիղները զուգահեռ են, երբ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB գործակիցները համաչափ են: Եթե ​​նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Դ) երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայմանները

Երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանները.

ա) Եթե ուղիղները տրված են թեքությամբ հավասարումներով, ապա դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը նրանց թեքությունների հավասարությունն է.

կ 1 = կ 2 .

բ) Այն դեպքում, երբ ուղիղները տրված են ընդհանուր (6) ձևով հավասարումներով, դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանց հավասարումների համապատասխան ընթացիկ կոորդինատների գործակիցները համաչափ լինեն, այսինքն.

Երկու ուղիղների ուղղահայացության պայմանները.

ա) Այն դեպքում, երբ գծերը տրված են (4) հավասարումներով թեքությամբ, դրանց ուղղահայացության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանց թեքությունները մեծությամբ փոխադարձ լինեն և նշանով հակառակ, այսինքն.

Այս պայմանը կարող է գրվել նաև ձևով

կ 1 կ 2 = -1.

բ) Եթե ուղիղ գծերի հավասարումները տրված են ընդհանուր տեսքով (6), ապա դրանց ուղղահայացության (անհրաժեշտ և բավարար) պայմանը հավասարության կատարումն է.

Ա 1 Ա 2 + Բ 1 Բ 2 = 0.

Գործառույթների սահմանաչափ

Ա) հաջորդականության սահմանը

Սահման հասկացությունն օգտագործվել է Նյուտոնի կողմից 17-րդ դարի երկրորդ կեսին և 18-րդ դարի մաթեմատիկոսների կողմից, ինչպիսիք են Էյլերը և Լագրանժը, սակայն նրանք հասկացել են սահմանը ինտուիտիվ կերպով: Հերթականության սահմանի առաջին խիստ սահմանումները տրվել են Բոլցանոյի կողմից 1816 թվականին և Քոշիի կողմից 1821 թվականին։

Համարը կոչվում է թվային հաջորդականության սահմանը, եթե հաջորդականությունը անսահման փոքր է, այսինքն՝ նրա բոլոր տարրերը, սկսած որոշներից, փոքր են նախապես վերցված ցանկացած դրական թվից։

Այն դեպքում, երբ թվային հաջորդականությունը սահման ունի իրական թվի տեսքով, այն կոչվում է համընկնող այս թվին։ Հակառակ դեպքում, հաջորդականությունը կոչվում է տարբերվող . Եթե, ընդ որում, այն անսահմանափակ է, ապա դրա սահմանը ենթադրվում է հավասար անսահմանության։

Բացի այդ, եթե անսահմանափակ հաջորդականության բոլոր տարրերը, սկսած ինչ-որ թվից, ունեն դրական նշան, ապա ասում ենք, որ նման հաջորդականության սահմանը հավասար է. գումարած անսահմանություն .

Եթե ​​անսահմանափակ հաջորդականության տարրերը, սկսած ինչ-որ թվից, ունեն բացասական նշան, ապա ասում են, որ նման հաջորդականության սահմանը հավասար է. մինուս անսահմանություն .

Բ) ֆունկցիայի սահմանը

Գործառույթների սահմանաչափ (գործառույթի սահմանաչափ) տվյալ կետում, ֆունկցիայի սահմանման տիրույթի համար սահմանափակում, այնպիսի արժեք է, որին հակված է դիտարկվող ֆունկցիայի արժեքը, երբ նրա արգումենտը ձգվում է դեպի տվյալ կետ:

Գործառույթների սահմանաչափհաջորդականության սահմանի հասկացության ընդհանրացումն է. սկզբում ֆունկցիայի սահմանը մի կետում հասկացվում էր որպես ֆունկցիայի տիրույթի տարրերի հաջորդականության սահման՝ կազմված տարրերի հաջորդականության կետերի պատկերներից։ ֆունկցիայի տիրույթը, որը զուգորդվում է տվյալ կետին (այն սահմանը, որի սահմանը դիտարկվում է). եթե այդպիսի սահման գոյություն ունի, ապա ասում են, որ ֆունկցիան համընկնում է նշված արժեքին. եթե այդպիսի սահման գոյություն չունի, ապա ֆունկցիան ասում են, որ շեղվում է:

Գործառույթների սահմանաչափ- մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից մեկը: Արժեքը կոչվում է սահման (սահմանային արժեքը) ֆունկցիայի մի կետում, եթե կետերի որևէ հաջորդականության համար, որը համընկնում է, բայց որպես դրա տարրերից մեկը չպարունակող (այսինքն՝ ծակված հարևանությամբ), ֆունկցիայի արժեքների հաջորդականությունը համընկնում է .

Արժեքը կոչվում է սահման (սահմանային արժեքը) կետում գտնվող ֆունկցիայի, եթե նախապես վերցված որևէ դրական թվի համար դրան համապատասխանող այնպիսի դրական թիվ կա, որ պայմանը բավարարող բոլոր փաստարկների համար անհավասարությունը բավարարված է։

Գ) երկու ուշագրավ սահման

· Առաջին ուշագրավ սահմանը.

Հետեւանքները

·

·

·

· Երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Հետեւանքները

1.

2.

3.

4.

5. համար,

6.

Դ) անվերջ փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաներ

Գործառույթ y=f(x)կանչեց անսահման փոքրժամը x→aկամ երբ x→∞ եթե կամ, այսինքն. Անվերջ փոքր ֆունկցիան այն ֆունկցիան է, որի սահմանը տվյալ կետում զրո է:

եթե գործառույթը y=f(x)ներկայացված է x→aորպես հաստատուն թվի գումար բև անսահման փոքր α(x): f(x)=b+ α(x)ապա .

Եվ հակառակը, եթե, ապա f(x)=b+α(x), որտեղ կացին)անսահման փոքր է x→a.

Հետևանք 1.Եթե ​​և, ապա.

Հետևանք 2.Եթե գ= const, ապա.

Եթե ​​ֆունկցիան f(x)անսահման մեծ է x→a, ապա ֆունկցիա 1 /f(x)անսահման փոքր է x→a.

Եթե ​​ֆունկցիան f(x)- անսահման փոքր է x→a(կամ x→∞)և չի անհետանում, ուրեմն y= 1/f(x)անսահման ֆունկցիա է։ Անսահման փոքր և անսահման մեծ ֆունկցիաների ամենապարզ հատկությունները կարելի է գրել՝ օգտագործելով հետևյալ պայմանական հարաբերությունները. Ա≠ 0

Դ) անորոշությունների բացահայտում: L'Hopital-ի կանոն

անորոշությունների հիմնական տեսակները: զրո բաժանված զրոյի ( 0-ից 0), անսահմանությունը բաժանված է անսահմանության վրա, զրո բազմապատկած անսահմանության, անսահմանությունը հանած անսահմանությունը, մեկը՝ անսահմանության աստիճանին, զրո՝ զրոյի ուժին, անսահմանությունը՝ զրոյի ուժին։

L'Hopital-ի կանոնշատ լայնորեն օգտագործվում է սահմանային հաշվարկներերբ կա զրո ձևի անորոշություն՝ բաժանված զրոյի, անսահմանություն՝ բաժանված անսահմանության վրա։

Այս տեսակի անորոշությունները կրճատվում են զրոյական անսահմանության և անսահմանության մինուս անսահմանության վրա:

Եթե ​​և եթե գործում է f(x)և g(x)տարբերվում են կետի հարևանությամբ, ապա

Այն դեպքում, երբ L'Hopital կանոնը կիրառելուց հետո անորոշությունը չի վերանում, ապա այն կարող է կրկին կիրառվել։

Ածանցյալների հաշվարկ

Ա) բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը

Թող լինի բարդ գործառույթ , որտեղ ֆունկցիան միջանկյալ արգումենտ է։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես գտնել բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը՝ իմանալով ֆունկցիայի ածանցյալը (մենք կնշանակենք) և ֆունկցիայի ածանցյալը:

Թեորեմ 1. Եթե ​​ֆունկցիան մի կետում ունի ածանցյալ x, և ֆունկցիան () կետում ունի ածանցյալ, ապա կետի կոմպլեքս ֆունկցիան xունի ածանցյալ և =.

Հակառակ դեպքում, բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի ածանցյալի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ։

Բ) պարամետրորեն տրված ֆունկցիայի տարբերակումը

Թող ֆունկցիան տրվի պարամետրային ձևով, այսինքն՝ ձևով.

որտեղ ֆունկցիաները և սահմանված են և շարունակական են պարամետրի որոշակի միջակայքում: Եկեք գտնենք յուրաքանչյուր հավասարության աջ և ձախ մասերի դիֆերենցիալները.

Երկրորդ ածանցյալը գտնելու համար մենք կատարում ենք հետևյալ փոխակերպումները.

Գ) ֆունկցիայի լոգարիթմական ածանցյալ հասկացությունը

Դրական ֆունկցիայի լոգարիթմական ածանցյալը կոչվում է ածանցյալ։ Քանի որ, ուրեմն, ըստ բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի, մենք ստանում ենք հետևյալ կապը լոգարիթմական ածանցյալի համար.

.

Օգտագործելով լոգարիթմական ածանցյալը, հարմար է սովորական ածանցյալը հաշվարկել այն դեպքերում, երբ լոգարիթմը հեշտացնում է ֆունկցիայի ձևը։

Նման տարբերակման էությունը հետևյալն է՝ նախ գտնում են տվյալ ֆունկցիայի լոգարիթմը, և միայն դրանից հետո հաշվարկվում ածանցյալը։ Թող որոշ գործառույթ տրվի։ Մենք վերցնում ենք այս արտահայտության ձախ և աջ կողմերի լոգարիթմը.

Եվ հետո, արտահայտելով ցանկալի ածանցյալը, արդյունքում ունենում ենք.

Դ) հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալ

Եթե ​​y=f(x) և x=g(y) փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների զույգ են, իսկ y=f(x) ֆունկցիան ունի f"(x), ապա g հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալը: x)=1/f» (x):

Այսպիսով, փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաների ածանցյալները փոխադարձ են։ Հակադարձ ֆունկցիայի ածանցյալի բանաձևը.

Ե) իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ

Եթե ​​մեկ փոփոխականի ֆունկցիան նկարագրված է հավասարմամբ y=զ(x), որտեղ փոփոխականը yգտնվում է ձախ կողմում, մինչդեռ աջ կողմը կախված է միայն փաստարկից x, ապա ասում ենք, որ ֆունկցիան տրված է հստակորեն. Օրինակ, հետևյալ գործառույթները հստակորեն սահմանված են.

y= մեղք x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.

Շատ առաջադրանքներում, սակայն, գործառույթը կարող է տրվել անուղղակիորեն, այսինքն. հավասարման տեսքով

Ֆ(x,y)=0.

ածանցյալը գտնելու համար y′( x) անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիայի, կարիք չկա այն փոխակերպել բացահայտ ձևի: Դրա համար, իմանալով հավասարումը Ֆ(x,y)=0, պարզապես կատարեք հետևյալը.

Նախ, դուք պետք է տարբերակեք հավասարման երկու կողմերը փոփոխականի նկատմամբ x, ենթադրելով, որ yտարբերվող ֆունկցիա է xև օգտագործելով բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը հաշվարկելու կանոնը: Այս դեպքում զրոյի ածանցյալը (աջ կողմում) նույնպես հավասար կլինի զրոյի։
ՄեկնաբանությունԵթե ​​աջ կողմը զրոյական չէ, այսինքն. անուղղակի հավասարումն ունի ձև

զ(x,y)=է(x,y),

այնուհետև մենք տարբերում ենք հավասարման ձախ և աջ կողմերը:

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը ածանցյալի նկատմամբ y′( x).

Ածանցյալ հասկացությունը

Ա) ածանցյալի սահմանում

Ֆունկցիայի ածանցյալ տարբերակում ինտեգրում.

y xx

Ածանցյալ սահմանում

Դիտարկենք գործառույթը զ(x x 0. Հետո ֆունկցիան զ(x) է տարբերակելիկետում x 0 և նրան ածանցյալորոշվում է բանաձևով

զ′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0զ(x 0+Δ x)−զ(x 0)Δ x.

Ֆունկցիայի ածանցյալ- մաթեմատիկայի հիմնական հասկացություններից մեկը, իսկ մաթեմատիկական վերլուծության մեջ ածանցյալը, ինտեգրալի հետ մեկտեղ, կենտրոնական տեղ է զբաղեցնում։ Ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակում. Հակադարձ գործողությունը` ֆունկցիայի վերականգնումը հայտնի ածանցյալից, կոչվում է ինտեգրում.

Ֆունկցիայի ածանցյալը ինչ-որ պահի բնութագրում է տվյալ կետում ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը։ Փոփոխության արագության գնահատական ​​կարելի է ստանալ՝ հաշվարկելով Δ ֆունկցիայի փոփոխության հարաբերակցությունը yΔ արգումենտի համապատասխան փոփոխությանը x. Ածանցյալի սահմանման մեջ նման հարաբերակցությունը դիտարկվում է սահմանում Δ պայմանով x→0. Անցնենք ավելի խիստ ձևակերպման.

Ածանցյալ սահմանում

Դիտարկենք գործառույթը զ(x), որի տիրույթը պարունակում է որոշակի բաց ինտերվալ կետի շուրջ x 0. Հետո ֆունկցիան զ(x) է տարբերակելիկետում x 0 և նրան ածանցյալորոշվում է բանաձևով

զ′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0զ(x 0+Δ x)−զ(x 0)Δ x.

Բ) ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը

Տվյալ արժեքի համար հաշվարկված ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է առանցքի դրական ուղղությամբ ձևավորված անկյան շոշափմանը և այս ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի դրական ուղղությանը աբսցիսայի հետ կետում.

Եթե ​​ֆունկցիան որոշակի կետում ունի վերջավոր ածանցյալ, ապա հարևանությամբ այն կարող է մոտավորվել գծային ֆունկցիայով.

Ֆունկցիան կոչվում է «Թիվ» կետի շոշափող:

Դ) ամենապարզ տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակ

Def. 1.5.6. Ուղղության կոսինուսներվեկտոր ա եկեք համապատասխանաբար անվանենք այն անկյունների կոսինուսները, որոնք այս վեկտորը կազմում է հիմքի վեկտորների հետ, ես , ժ , կ .

Վեկտորի ուղղության կոսինուսներ ա = (X, ժամը, զ) հայտնաբերվում են բանաձևերով.

Ուղղության կոսինուսների քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի.

Վեկտորի ուղղության կոսինուսներ ա նրա օրորի կոորդինատներն են.

Թող հիմքի վեկտորները ես , ժ , կ վերցված ընդհանուր կետից Օ. Կենթադրենք, որ օրթները սահմանում են առանցքների դրական ուղղությունները Օ՜, OU, Օզ. միավորների հավաքում Օ (ծագում) և օրթոնորմալ հիմք ես , ժ , կ կանչեց Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ տարածության մեջ. Թող լինի ԲԱՅՑկամայական կետ է տարածության մեջ: Վեկտոր ա = ՕԱ= x ես + y ժ + զ կ կանչեց շառավղով վեկտորմիավորներ ԲԱՅՑ, այս վեկտորի կոորդինատները ( x, y, զ) կոչվում են նաև կետային կոորդինատներ ԲԱՅՑ(խորհրդանիշ: ԲԱՅՑ(x, y, զ)): Կոորդինատային առանցքներ Օ՜, OU, Օզկոչվում է նաև, համապատասխանաբար, առանցք abscissa, առանցք օրդինալ, առանցք դիմել.

Եթե ​​վեկտորը տրված է իր ելակետի կոորդինատներով AT 1 (x 1 , y 1 , զ 1) և վերջնակետ AT 2 (x 2 , y 2 , զ 2), ապա վեկտորի կոորդինատները հավասար են վերջի և սկզբի կոորդինատների տարբերությանը. ).

Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգեր հարթության և գծի վրասահմանվում են ճիշտ նույն կերպ՝ համապատասխան քանակական (ըստ հարթության) փոփոխություններով։

Տիպիկ առաջադրանքների լուծում.

Օրինակ 1Գտե՛ք վեկտորի երկարությունը և ուղղությունը ա = 6ես – 2ժ -3կ .

Որոշում.Վեկտորի երկարությունը: . Ուղղության կոսինուսներ. .

Օրինակ 2Գտեք վեկտորի կոորդինատները ա , կոորդինատային առանցքներով կազմելով հավասար սուր անկյուններ, եթե այս վեկտորի երկարությունը հավասար է .

Որոշում.Քանի որ , այնուհետև փոխարինելով (1.6) բանաձևով, մենք ստանում ենք . Վեկտոր ա կոորդինատային առանցքներով սուր անկյուններ է կազմում, ուստի օրթո . Այսպիսով, մենք գտնում ենք վեկտորի կոորդինատները .

Օրինակ 3Տրված են երեք ոչ համահունչ վեկտորներ ե 1 = 2ես – կ , ե 2 = 3ես + 3ժ , ե 3 = 2ես + 3կ . Քայքայել վեկտորը դ = ես + 5ժ - 2կ հիմք ե 1 , ե 2 , ե 3 .