Logarithmus. Natürlicher Logarithmus

Es werden die grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, des Graphen, des Definitionsbereichs, der Wertemenge, der Grundformeln, der Ableitung, des Integrals, der Potenzreihenentwicklung und der Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Definition

Natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = ln x, die Umkehrung des Exponentials, x = e y, und ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus wird in der Mathematik häufig verwendet, da seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Bezogen auf Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = ln x.

Diagramm des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = ln x) ergibt sich aus dem Exponentialgraphen Spiegelbild relativ zur Geraden y = x.

Der natürliche Logarithmus wird für positive Werte der Variablen x definiert.

Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton. 0 Bei x →

der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich (-∞).

Da x → + ∞, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus Unendlich (+ ∞). Für große x steigt der Logarithmus recht langsam. Jede Potenzfunktion x a mit einem positiven Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf. Die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

ln 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann mithilfe der Basensubstitutionsformel als natürlicher Logarithmus ausgedrückt werden:

Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt „Logarithmus“ vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann.

Ableitung ln x
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus des Moduls x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:

Formeln ableiten > > >

Integral
.
Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:

Also,

Ausdrücke mit komplexen Zahlen
.
Betrachten Sie die Funktion der komplexen Variablen z: Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken z über Modul R φ :
.
und Argumentation
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus erhalten wir:
.
Oder
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn Sie sagen
, wobei n eine ganze Zahl ist,

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Wenn die Erweiterung stattfindet:

Verwendete Literatur:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Nimm oft eine Nummer e = 2,718281828 . Auf dieser Basis basierende Logarithmen werden aufgerufen natürlich. Bei Berechnungen mit natürlichen Logarithmen wird üblicherweise mit dem Vorzeichen gearbeitet lN, nicht Protokoll; während die Zahl 2,718281828 , die die Basis definieren, sind nicht angegeben.

Mit anderen Worten, die Formulierung sieht so aus: natürlicher Logarithmus Zahlen X- Dies ist ein Exponent, auf den eine Zahl erhöht werden muss e zu bekommen X.

Also, ln(7.389...)= 2, da e 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Zahl selbst e= 1 weil e 1 =e und der natürliche Logarithmus der Einheit gleich Null, Weil e 0 = 1.

Die Nummer selbst e definiert den Grenzwert einer monoton begrenzten Folge

das wird berechnet e = 2,7182818284... .

Um eine Zahl im Gedächtnis zu fixieren, werden die Ziffern der benötigten Zahl häufig mit einem ausstehenden Datum verknüpft. Geschwindigkeit beim Auswendiglernen der ersten neun Ziffern einer Zahl e Nachkomma wird erhöht, wenn Sie beachten, dass 1828 das Geburtsjahr von Leo Tolstoi ist!

Heutzutage gibt es ziemlich vollständige Tabellen natürlicher Logarithmen.

Natürliches Logarithmusdiagramm(Funktionen y =ln x) ist eine Folge des Exponentialgraphen als Spiegelbild der Geraden y = x und hat die Form:

Der natürliche Logarithmus lässt sich für jede positive reelle Zahl ermitteln A als Fläche unter der Kurve j = 1/X aus 1 Zu A.

Der elementare Charakter dieser Formulierung, der mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in denen der natürliche Logarithmus eine Rolle spielt, war der Grund für die Namensbildung „natürlich“.

Wenn Sie analysieren natürlicher Logarithmus, als reelle Funktion einer reellen Variablen, dann wirkt es Umkehrfunktion zu einer Exponentialfunktion, die sich auf die Identitäten reduziert:

e ln(a) =a (a>0)

ln(ea) =a

Analog zu allen Logarithmen wandelt der natürliche Logarithmus Multiplikation in Addition und Division in Subtraktion um:

ln(xy) = ln(X) + ln(j)

ln(x/y)= lnx - lny

Der Logarithmus kann für jede positive Basis ungleich eins gefunden werden, nicht nur für e, aber Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich vom natürlichen Logarithmus nur um einen konstanten Faktor und werden normalerweise anhand des natürlichen Logarithmus definiert.

Nach der Analyse natürlicher Logarithmus-Graph, Wir stellen fest, dass es für positive Werte der Variablen existiert X. Es wächst in seinem Definitionsbereich monoton.

Bei X → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( -∞ ).Bei x → +∞ der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist plus unendlich ( + ∞ ). Im Großen und Ganzen X Der Logarithmus steigt recht langsam an. Jede Leistungsfunktion xa mit positivem Exponenten A steigt schneller als der Logarithmus. Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion und weist daher keine Extrema auf.

Verwendung natürliche Logarithmen sehr rational beim Bestehen höherer Mathematik. Daher ist die Verwendung des Logarithmus praktisch, um die Antwort auf Gleichungen zu finden, in denen Unbekannte als Exponenten auftreten. Die Verwendung natürlicher Logarithmen in Berechnungen ermöglicht eine erhebliche Vereinfachung große Zahl mathematische Formeln. Logarithmen zur Basis e sind bei der Lösung einer erheblichen Anzahl körperlicher Probleme vorhanden und werden selbstverständlich einbezogen mathematische Beschreibung einzelne chemische, biologische und andere Prozesse. Daher werden Logarithmen zur Berechnung der Zerfallskonstante für eine bekannte Halbwertszeit oder zur Berechnung der Zerfallszeit bei der Lösung von Radioaktivitätsproblemen verwendet. Sie treten auf führende Rolle In vielen Bereichen der Mathematik und der praktischen Wissenschaften werden sie im Finanzbereich zur Lösung einer Vielzahl von Problemen eingesetzt, darunter auch zur Berechnung des Zinseszinses.

Der Logarithmus einer positiven Zahl b zur Basis a (a>0, a ist ungleich 1) ist eine Zahl c mit a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Beachten Sie, dass der Logarithmus einer nicht positiven Zahl undefiniert ist. Außerdem muss die Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, die ungleich 1 ist. Wenn wir beispielsweise -2 quadrieren, erhalten wir die Zahl 4, aber das bedeutet nicht, dass der Logarithmus zur Basis -2 von 4 gleich ist bis 2.

Grundlegende logarithmische Identität

Es ist wichtig, dass der Definitionsbereich der rechten und linken Seite dieser Formel unterschiedlich ist. Linke Seite ist nur für b>0, a>0 und a ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist für jedes b definiert und hängt überhaupt nicht von a ab. Somit kann die Anwendung der grundlegenden logarithmischen „Identität“ beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen zu einer Änderung der OD führen.

Zwei offensichtliche Konsequenzen der Definition des Logarithmus

Tatsächlich erhalten wir dieselbe Zahl, wenn wir die Zahl a auf die erste Potenz erhöhen, und wenn wir sie auf die Nullpotenz erhöhen, erhalten wir eins.

Logarithmus des Produkts und Logarithmus des Quotienten

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ich möchte Schulkinder davor warnen, diese Formeln unbedacht beim Lösen logarithmischer Gleichungen und Ungleichungen zu verwenden. Wenn man sie „von links nach rechts“ verwendet, verengt sich die ODZ, und wenn man von der Summe oder Differenz der Logarithmen zum Logarithmus des Produkts oder Quotienten übergeht, erweitert sich die ODZ.

Tatsächlich wird der Ausdruck log a (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f(x) und g(x) beide kleiner als Null sind.

Wenn wir diesen Ausdruck in die Summe log a f (x) + log a g (x) umwandeln, müssen wir uns nur auf den Fall beschränken, wenn f(x)>0 und g(x)>0. Es kommt zu einer Einengung des akzeptablen Wertebereichs, was grundsätzlich inakzeptabel ist, da es zum Lösungsverlust führen kann. Ein ähnliches Problem besteht für Formel (6).

Der Grad kann aus dem Vorzeichen des Logarithmus entnommen werden

Und noch einmal möchte ich zur Genauigkeit aufrufen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Die linke Seite der Gleichheit ist offensichtlich für alle Werte von f(x) außer Null definiert. Die rechte Seite gilt nur für f(x)>0! Indem wir den Grad aus dem Logarithmus herausnehmen, grenzen wir die ODZ erneut ein. Das umgekehrte Vorgehen führt zu einer Erweiterung des zulässigen Wertebereichs. Alle diese Bemerkungen gelten nicht nur für Potenz 2, sondern auch für jede gerade Potenz.

Formel für den Umzug in eine neue Stiftung

Der seltene Fall, dass sich die ODZ während der Transformation nicht ändert. Wenn Sie die Basis c mit Bedacht gewählt haben (positiv und ungleich 1), ist die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis völlig sicher.

Wenn wir die Zahl b als neue Basis c wählen, erhalten wir eine wichtige Sonderfall Formeln (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1. Berechnen Sie: log2 + log50.
Lösung. log2 + log50 = log100 = 2. Wir haben die Formel für die Summe der Logarithmen (5) und die Definition des Dezimallogarithmus verwendet.

Beispiel 2. Berechnen Sie: lg125/lg5.
Lösung. log125/log5 = log 5 125 = 3. Wir haben die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis (8) verwendet.

Formeltabelle für Logarithmen

Logarithmus einer gegebenen Zahl heißt der Exponent, auf den eine andere Zahl erhöht werden muss, genannt Basis Logarithmieren Sie, um diese Zahl zu erhalten. Beispielsweise ist der Logarithmus zur Basis 10 von 100 2. Mit anderen Worten: 10 muss quadriert werden, um 100 zu erhalten (10 2 = 100). Wenn N– eine bestimmte Zahl, B– Basis und l– also Logarithmus b l = n. Nummer N auch Basisantilogarithmus genannt B Zahlen l. Beispielsweise ist der Antilogarithmus von 2 zur Basis 10 gleich 100. Dies kann in Form des Beziehungsprotokolls geschrieben werden b n = l und Antilog b l = N.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen:

Jede andere positive Zahl als Eins kann als Basis für Logarithmen dienen, aber leider stellt sich heraus, dass wenn B Und N sind rationale Zahlen, dann gibt es in seltenen Fällen eine solche rationale Zahl l, Was b l = n. Es lässt sich jedoch feststellen irrationale Zahl l, zum Beispiel so, dass 10 l= 2; das ist eine irrationale Zahl l kann mit jeder erforderlichen Genauigkeit angenähert werden rationale Zahlen. Es stellt sich heraus, dass im gegebenen Beispiel l ist ungefähr gleich 0,3010, und diese Näherung des Basis-10-Logarithmus von 2 kann in vierstelligen Tabellen mit Dezimallogarithmen gefunden werden. Logarithmen zur Basis 10 (oder Logarithmen zur Basis 10) werden in Berechnungen so häufig verwendet, dass sie als „Logarithmen zur Basis 10“ bezeichnet werden normal Logarithmen und geschrieben als log2 = 0,3010 oder log2 = 0,3010, wobei die explizite Angabe der Logarithmusbasis weggelassen wird. Logarithmen zur Basis e, eine transzendente Zahl, die ungefähr 2,71828 entspricht, werden aufgerufen natürlich Logarithmen. Sie finden sich hauptsächlich in Arbeiten zur mathematischen Analyse und ihren Anwendungen verschiedene Wissenschaften. Natürliche Logarithmen werden auch ohne explizite Angabe der Basis geschrieben, sondern mit der speziellen Notation ln: zum Beispiel ln2 = 0,6931, weil e 0,6931 = 2.

Verwendung von Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen.

Der reguläre Logarithmus einer Zahl ist ein Exponent, auf den 10 erhöht werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten. Da 10 0 = 1, 10 1 = 10 und 10 2 = 100, erhalten wir sofort log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 usw. für steigende ganzzahlige Potenzen 10. Ebenso ist 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 und daher log0,1 = –1, log0,01 = –2 usw. für alle negativen ganzzahligen Potenzen 10. Die üblichen Logarithmen der übrigen Zahlen werden zwischen den Logarithmen der nächsten ganzzahligen Potenzen von 10 eingeschlossen; log2 muss zwischen 0 und 1 liegen, log20 muss zwischen 1 und 2 liegen und log0,2 muss zwischen -1 und 0 liegen. Somit besteht der Logarithmus aus zwei Teilen, einer Ganzzahl und dezimal, eingeschlossen zwischen 0 und 1. Der ganzzahlige Teil wird aufgerufen Merkmal Logarithmus und wird durch die Zahl selbst bestimmt, der Bruchteil wird genannt Mantisse und können den Tabellen entnommen werden. Außerdem ist log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Der Logarithmus von 2 ist 0,3010, also ist log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Ebenso gilt log0,2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0,3010 – 1. Nach der Subtraktion erhalten wir log0,2 = – 0,6990. Es ist jedoch praktischer, log0,2 als 0,3010 – 1 oder als 9,3010 – 10 darzustellen; kann formuliert werden und allgemeine Regel: Alle Zahlen, die man aus einer gegebenen Zahl durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz erhält, haben die gleiche Mantisse, gleich der Mantisse der gegebenen Zahl. Die meisten Tabellen zeigen die Mantissen von Zahlen im Bereich von 1 bis 10, da die Mantissen aller anderen Zahlen aus den in der Tabelle angegebenen erhalten werden können.

Die meisten Tabellen geben Logarithmen mit vier oder fünf Dezimalstellen an, obwohl es siebenstellige Tabellen und Tabellen mit noch mehr Dezimalstellen gibt. Der Umgang mit solchen Tabellen lässt sich am einfachsten anhand von Beispielen erlernen. Um log3,59 zu finden, stellen wir zunächst fest, dass die Zahl 3,59 zwischen 10 0 und 10 1 liegt, ihre Charakteristik also 0 ist. Wir suchen die Zahl 35 (links) in der Tabelle und bewegen uns entlang der Zeile zu die Spalte mit der Nummer 9 oben; Der Schnittpunkt dieser Spalte und Zeile 35 beträgt 5551, also log3,59 = 0,5551. So finden Sie die Mantisse einer Zahl mit vier bedeutende Zahlen, ist es notwendig, auf Interpolation zurückzugreifen. In einigen Tabellen wird die Interpolation durch die Proportionen erleichtert, die in den letzten neun Spalten auf der rechten Seite jeder Tabellenseite angegeben sind. Lassen Sie uns nun log736.4 finden; Die Zahl 736,4 liegt zwischen 10 2 und 10 3, daher ist die Charakteristik ihres Logarithmus 2. In der Tabelle finden wir eine Zeile, links davon steht 73 und eine Spalte 6. Am Schnittpunkt dieser Zeile und dieser Spalte befindet sich die Zahl 8669. Unter den linearen Teilen finden wir Spalte 4. Am Schnittpunkt von Zeile 73 und Spalte 4 befindet sich die Zahl 2. Durch Addition von 2 zu 8669 erhalten wir die Mantisse – sie ist gleich 8671. Also log736,4 = 2,8671.

Natürliche Logarithmen.

Die Tabellen und Eigenschaften natürlicher Logarithmen ähneln den Tabellen und Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen. Der Hauptunterschied zwischen beiden besteht darin, dass der ganzzahlige Teil des natürlichen Logarithmus für die Bestimmung der Position des Dezimalpunkts keine Rolle spielt und daher der Unterschied zwischen Mantisse und Charakteristik keine besondere Rolle spielt. Natürliche Logarithmen der Zahlen 5,432; 54,32 und 543,2 entsprechen jeweils 1,6923; 3.9949 und 6.2975. Die Beziehung zwischen diesen Logarithmen wird deutlich, wenn wir die Unterschiede zwischen ihnen betrachten: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; die letzte Zahl ist nichts anderes als der natürliche Logarithmus der Zahl 10 (so geschrieben: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; die letzte Zahl ist 2ln10. Aber 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Also durch den natürlichen Logarithmus einer gegebenen Zahl A Sie können die natürlichen Logarithmen von Zahlen ermitteln, die den Produkten der Zahl entsprechen A für jeden Abschluss N Zahlen 10 wenn zu ln A addiere ln10 multipliziert mit N, d.h. ln( Aґ10N) = log A + N ln10 = ln A + 2,3026N. Zum Beispiel: ln0.005432 = ln(5.432´10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3´2.3026) = – 5.2155. Daher enthalten Tabellen mit natürlichen Logarithmen, wie auch Tabellen mit gewöhnlichen Logarithmen, normalerweise nur Logarithmen von Zahlen von 1 bis 10. Im System der natürlichen Logarithmen kann man von Antilogarithmen sprechen, häufiger spricht man jedoch von einer Exponentialfunktion oder einem Exponenten. Wenn X= Protokoll j, Das j = ex, Und j heißt der Exponent von X(Aus Gründen der typografischen Vereinfachung schreiben sie oft j= exp X). Der Exponent spielt die Rolle des Antilogarithmus der Zahl X.

Mithilfe von Tabellen mit dezimalen und natürlichen Logarithmen können Sie Tabellen mit Logarithmen in jeder Basis außer 10 und erstellen e. Wenn log b a = X, Das b x = A, und daher log c b x= Protokoll c a oder X Protokoll c b= Protokoll c a, oder X= Protokoll c a/Protokoll c b= Protokoll b a. Verwenden Sie daher diese Inversionsformel aus der Basislogarithmentabelle C Sie können Logarithmentabellen in jeder anderen Basis erstellen B. Multiplikator 1/log c b angerufen Übergangsmodul von der Basis C zur Basis B. Nichts hindert beispielsweise daran, die Umkehrungsformel zu verwenden oder von einem Logarithmensystem zu einem anderen zu wechseln, natürliche Logarithmen aus der Tabelle der gewöhnlichen Logarithmen zu finden oder den umgekehrten Übergang durchzuführen. Beispiel: log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 - 0,4343 = 0,7350. Die Zahl 0,4343, mit der der natürliche Logarithmus einer gegebenen Zahl multipliziert werden muss, um einen gewöhnlichen Logarithmus zu erhalten, ist der Modul des Übergangs zum System der gewöhnlichen Logarithmen.

Spezielle Tische.

Logarithmen wurden ursprünglich erfunden, um ihre Eigenschaften logarithmisch zu nutzen ab= Protokoll A+ Protokoll B und protokollieren A/B= Protokoll A-Protokoll B, verwandeln Sie Produkte in Summen und Quotienten in Differenzen. Mit anderen Worten, wenn log A und protokollieren B bekannt sind, können wir durch Addition und Subtraktion leicht den Logarithmus des Produkts und des Quotienten ermitteln. In der Astronomie werden jedoch häufig Werte von log angegeben A und protokollieren B Ich muss das Protokoll finden( A + B) oder log( A – B). Natürlich könnte man zuerst aus Logarithmentabellen herausfinden A Und B, führen Sie dann die angegebene Addition oder Subtraktion durch und finden Sie unter erneuter Bezugnahme auf die Tabellen die erforderlichen Logarithmen. Für ein solches Verfahren müssten Sie jedoch dreimal auf die Tabellen zurückgreifen. Z. Leonelli veröffentlichte 1802 Tabellen der sogenannten. Gaußsche Logarithmen– Logarithmen zum Addieren von Summen und Differenzen – was es ermöglichte, sich auf einen Zugriff auf Tabellen zu beschränken.

Im Jahr 1624 schlug I. Kepler Tabellen proportionaler Logarithmen vor, d.h. Logarithmen von Zahlen A/X, Wo A– ein positiver konstanter Wert. Diese Tabellen werden hauptsächlich von Astronomen und Navigatoren verwendet.

Proportionale Logarithmen bei A= 1 aufgerufen werden durch Logarithmen und werden in Berechnungen verwendet, wenn es um Produkte und Quotienten geht. Koloarithmus einer Zahl N gleich dem Logarithmus der Kehrzahl; diese. colog N= log1/ N= – Protokoll N. Wenn log2 = 0,3010, dann colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Der Vorteil der Verwendung von Kologarithmen besteht darin, dass bei der Berechnung des Wertes des Logarithmus von Ausdrücken wie pq/über Modul Dreifache Summe positiver Dezimalstellen log P+ Protokoll Q+kolog über Modul ist leichter zu finden als das gemischte Summen- und Differenzprotokoll P+ Protokoll Q-Protokoll über Modul.

Geschichte.

Das jedem Logarithmensystem zugrunde liegende Prinzip ist seit sehr langer Zeit bekannt und lässt sich auf die antike babylonische Mathematik (ca. 2000 v. Chr.) zurückführen. Damals Interpolation zwischen Tabellenwerten ganzer Zahlen positive Grade Zur Berechnung des Zinseszinses wurden ganze Zahlen verwendet. Viel später verwendete Archimedes (287–212 v. Chr.) Potenzen von 108, um eine Obergrenze für die Anzahl der Sandkörner zu ermitteln, die erforderlich waren, um das damals bekannte Universum vollständig zu füllen. Archimedes machte auf die Eigenschaft von Exponenten aufmerksam, die der Wirksamkeit von Logarithmen zugrunde liegt: Das Produkt der Potenzen entspricht der Summe der Exponenten. Am Ende des Mittelalters und zu Beginn der Neuzeit begannen sich Mathematiker zunehmend mit dem Zusammenhang zwischen geometrischen und arithmetischen Folgen zu befassen. M. Stiefel in seinem Aufsatz Ganzzahlarithmetik(1544) gab eine Tabelle der positiven und negativen Potenzen der Zahl 2:

Stiefel bemerkte, dass die Summe der beiden Zahlen in der ersten Reihe (der Exponentenreihe) gleich dem Exponenten von zwei ist, der dem Produkt der beiden entsprechenden Zahlen in der unteren Reihe (der Exponentenreihe) entspricht. Im Zusammenhang mit dieser Tabelle formulierte Stiefel vier Regeln gleich vier moderne Regeln Operationen mit Exponenten oder vier Regeln für Operationen mit Logarithmen: Die Summe in der oberen Zeile entspricht dem Produkt in der unteren Zeile; Die Subtraktion in der oberen Zeile entspricht der Division in der unteren Zeile. Die Multiplikation in der oberen Zeile entspricht der Potenzierung in der unteren Zeile. Die Teilung in der oberen Zeile entspricht dem Rooten in der unteren Zeile.

Anscheinend führten Regeln, die denen von Stiefel ähneln, dazu, dass J. Naper das erste Logarithmensystem offiziell in sein Werk einführte Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle, veröffentlicht im Jahr 1614. Aber Napiers Gedanken beschäftigten sich mit dem Problem der Umrechnung von Produkten in Summen, denn mehr als zehn Jahre vor der Veröffentlichung seines Werkes erhielt Napier die Nachricht aus Dänemark, dass seine Assistenten am Tycho-Brahe-Observatorium über eine Methode verfügten, die es ermöglichte Es ist möglich, Produkte in Summen umzuwandeln. Die in der Nachricht, die Napier erhielt, erwähnte Methode basierte auf der Verwendung trigonometrische Formeln Typ

Daher bestanden Napers Tabellen hauptsächlich aus Logarithmen trigonometrische Funktionen. Obwohl das Konzept der Basis nicht explizit in der von Napier vorgeschlagenen Definition enthalten war, spielte in seinem System die Zahl (1 – 10 –7)ґ10 7 die der Basis des Logarithmensystems äquivalente Rolle, was ungefähr 1/ entspricht e.

Unabhängig von Naper und fast zeitgleich mit ihm wurde 1620 von J. Bürgi in Prag ein dem Typ nach recht ähnliches Logarithmensystem erfunden und veröffentlicht Arithmetische und geometrische Fortschrittstabellen. Dabei handelte es sich um Tabellen mit Antilogarithmen zur Basis (1 + 10 –4) ґ10 4, eine ziemlich gute Annäherung an die Zahl e.

Im Naper-System wurde der Logarithmus der Zahl 10 7 als Null angenommen, und wenn die Zahlen abnahmen, nahmen die Logarithmen zu. Als G. Briggs (1561–1631) Napier besuchte, waren sich beide einig, dass es bequemer wäre, die Zahl 10 als Basis zu verwenden und den Logarithmus von Eins als Null zu betrachten. Wenn dann die Zahlen zunahmen, würden ihre Logarithmen zunehmen. Also haben wir modernes System dezimale Logarithmen, eine Tabelle, die Briggs in seinem Werk veröffentlichte Logarithmische Arithmetik(1620). Logarithmen zur Basis e, obwohl sie nicht genau die von Naper eingeführten sind, werden oft als Napers bezeichnet. Die Begriffe „Charakteristik“ und „Mantisse“ wurden von Briggs vorgeschlagen.

Die ersten Logarithmen verwendeten aus historischen Gründen Näherungen an die Zahlen 1/ e Und e. Etwas später wurde die Idee natürlicher Logarithmen mit der Untersuchung von Flächen unter einer Hyperbel in Verbindung gebracht xy= 1 (Abb. 1). Im 17. Jahrhundert Es wurde gezeigt, dass die von dieser Kurve begrenzte Fläche die Achse ist X und Ordinaten X= 1 und X = A(in Abb. 1 ist dieser Bereich mit kräftigeren und spärlicheren Punkten bedeckt) nimmt in der arithmetischen Folge zu, wenn A steigt exponentiell an. Genau diese Abhängigkeit ergibt sich in den Regeln für Operationen mit Exponenten und Logarithmen. Dies führte dazu, dass man Naperianische Logarithmen als „hyperbolische Logarithmen“ bezeichnete.

Logarithmische Funktion.

Es gab eine Zeit, in der Logarithmen ausschließlich als Berechnungsmittel galten, doch im 18. Jahrhundert entstand, vor allem dank der Arbeit von Euler, das Konzept einer logarithmischen Funktion. Graph einer solchen Funktion j= Protokoll X, dessen Ordinaten in einer arithmetischen Folge zunehmen, während die Abszissen in einer geometrischen Folge zunehmen, ist in Abb. dargestellt. 2, A. Graph einer Umkehr- oder Exponentialfunktion y = e x, dessen Ordinaten im geometrischen Verlauf und Abszissen im arithmetischen Verlauf zunehmen, ist in Abb. dargestellt. 2, B. (Kurven j= Protokoll X Und j = 10Xähnliche Form wie Kurven j= Protokoll X Und j = ex.) Es wurden auch alternative Definitionen der logarithmischen Funktion vorgeschlagen, z.

kpi; und ebenso sind die natürlichen Logarithmen der Zahl -1 komplexe Zahlen der Form (2 k + 1)Pi, Wo k– eine ganze Zahl. Ähnliche Aussagen gelten für allgemeine Logarithmen oder andere Logarithmensysteme. Darüber hinaus kann die Definition von Logarithmen mithilfe der Euler-Identitäten verallgemeinert werden, um komplexe Logarithmen komplexer Zahlen einzuschließen.

Eine alternative Definition einer logarithmischen Funktion bietet die Funktionsanalyse. Wenn F(X) – stetige Funktion einer reellen Zahl X, mit den folgenden drei Eigenschaften: F (1) = 0, F (B) = 1, F (UV) = F (u) + F (v), Das F(X) ist als Logarithmus der Zahl definiert X bezogen auf B. Diese Definition hat gegenüber der am Anfang dieses Artikels gegebenen Definition eine Reihe von Vorteilen.

Anwendungen.

Logarithmen wurden ursprünglich ausschließlich zur Vereinfachung von Berechnungen verwendet und diese Anwendung ist immer noch eine ihrer wichtigsten. Die Berechnung von Produkten, Quotienten, Potenzen und Wurzeln wird nicht nur durch die breite Verfügbarkeit veröffentlichter Logarithmentabellen erleichtert, sondern auch durch die Verwendung der sogenannten. Rechenschieber – ein Rechenwerkzeug, dessen Funktionsprinzip auf den Eigenschaften von Logarithmen basiert. Das Lineal ist mit logarithmischen Skalen ausgestattet, d.h. Abstand von Nummer 1 zu einer beliebigen Nummer X gleich log gewählt X; Durch die Verschiebung einer Skala relativ zur anderen ist es möglich, die Summen oder Differenzen von Logarithmen darzustellen, was es ermöglicht, die Produkte oder Quotienten der entsprechenden Zahlen direkt von der Skala abzulesen. Sie können auch die Vorteile der Darstellung von Zahlen in logarithmischer Form nutzen. logarithmisches Papier zum Zeichnen von Diagrammen (Papier mit aufgedruckten logarithmischen Skalen auf beiden Koordinatenachsen). Wenn eine Funktion ein Potenzgesetz der Form erfüllt y = kxn, dann sieht sein logarithmischer Graph wie eine gerade Linie aus, weil Protokoll j= Protokoll k + N Protokoll X– Gleichung linear bezüglich des Logarithmus j und protokollieren X. Wenn im Gegenteil der logarithmische Graph einer funktionalen Abhängigkeit wie eine gerade Linie aussieht, dann ist diese Abhängigkeit ein Potenzgesetz. Semi-Log-Papier (wobei die y-Achse einen logarithmischen Maßstab und die x-Achse einen einheitlichen Maßstab hat) ist nützlich, wenn Sie Exponentialfunktionen identifizieren müssen. Gleichungen der Form y = kb rx treten immer dann auf, wenn eine Menge, beispielsweise eine Bevölkerung, eine Menge radioaktiver Stoffe oder ein Bankguthaben, proportional zur Bevölkerungszahl, radioaktiven Stoffen oder dem derzeit verfügbaren Geld proportional zunimmt oder abnimmt. Wenn eine solche Abhängigkeit auf halblogarithmischem Papier aufgetragen wird, sieht die Grafik wie eine gerade Linie aus.

Die logarithmische Funktion entsteht im Zusammenhang mit den unterschiedlichsten Naturformen. Blüten in Sonnenblumenblütenständen sind in logarithmischen Spiralen angeordnet, Molluskenschalen sind verdreht Nautilus, Bergschafhörner und Papageienschnäbel. Alle diese natürlichen Formen können als Beispiele für eine Kurve dienen, die als logarithmische Spirale bekannt ist, da ihre Gleichung in einem Polarkoordinatensystem lautet r = ae bq, oder ln über Modul= Protokoll A + bq. Eine solche Kurve wird durch einen sich bewegenden Punkt beschrieben, dessen Abstand vom Pol im geometrischen Verlauf zunimmt und dessen Winkel, der durch seinen Radiusvektor beschrieben wird, im arithmetischen Verlauf zunimmt. Die Allgegenwärtigkeit einer solchen Kurve und damit der logarithmischen Funktion wird gut durch die Tatsache veranschaulicht, dass sie in so weit entfernten und völlig unterschiedlichen Bereichen auftritt, wie der Kontur einer exzentrischen Nocke und der Flugbahn einiger Insekten, die auf das Licht zufliegen.

Lektion und Präsentation zu den Themen: „Natürliche Logarithmen. Die Basis des natürlichen Logarithmus. Der Logarithmus einer natürlichen Zahl“

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Was ist natürlicher Logarithmus?

Es ist erwähnenswert, dass der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion $y=e^x$ am Punkt (0;1) 45° beträgt. Dann beträgt der Neigungswinkel der Tangente an den Graphen des natürlichen Logarithmus am Punkt (1;0) ebenfalls 45°. Beide Tangenten verlaufen parallel zur Linie $y=x$. Lassen Sie uns die Tangenten grafisch darstellen:

Eigenschaften der Funktion $y=\ln(x)$

Im Laufe der höheren Mathematik wird dies bewiesen Die Ableitung einer Umkehrfunktion ist die Umkehrung der Ableitung einer gegebenen Funktion.
Es macht wenig Sinn, tiefer auf den Beweis einzugehen, schreiben wir einfach die Formel: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Beispiel.
Berechnen Sie den Wert der Ableitung der Funktion: $y=\ln(2x-7)$ am Punkt $x=4$.
Lösung.
IN Gesamtansicht unsere Funktion wird durch die Funktion $y=f(kx+m)$ dargestellt, wir können die Ableitungen solcher Funktionen berechnen.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Berechnen wir den Wert der Ableitung am gewünschten Punkt: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Antwort: 2.

Beispiel.
Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion $y=ln(x)$ am Punkt $х=е$.
Lösung.
Wir erinnern uns gut an die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion am Punkt $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Wir berechnen nacheinander die erforderlichen Werte.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Die Tangentengleichung am Punkt $x=e$ ist die Funktion $y=\frac(x)(e)$.
Zeichnen wir den natürlichen Logarithmus und die Tangente.

Beispiel.
Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie und Extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Lösung.
Der Definitionsbereich der Funktion $D(y)=(0;+∞)$.
Finden wir die Ableitung der gegebenen Funktion:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Die Ableitung existiert dann für alle x aus dem Definitionsbereich kritische Punkte NEIN. Finden wir stationäre Punkte:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Der Punkt $x=-1$ gehört nicht zum Definitionsbereich. Dann haben wir einen stationären Punkt $x=1$. Finden wir die Intervalle der Zunahme und Abnahme:

Punkt $x=1$ ist der minimale Punkt, dann ist $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Antwort: Die Funktion nimmt auf der Strecke (0;1] ab, die Funktion nimmt auf dem Strahl $ zu)