So finden Sie Extrempunkte einer Funktion Beispiele. Was sind Extrema einer Funktion: kritische Punkte von Maximum und Minimum

Mit der Hilfe Der Service kann Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion eine Variable f(x) mit dem Entwurf der Lösung in Word. Wenn die Funktion f(x,y) gegeben ist, ist es daher notwendig, das Extremum der Funktion zweier Variablen zu finden. Sie können auch die Intervalle der Zunahme und Abnahme der Funktion finden.

Eingaberegeln für Funktionen:

Eine notwendige Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

Eine hinreichende Bedingung für ein Extremum einer Funktion einer Variablen

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Dann ist der Punkt x * der Punkt des lokalen (globalen) Minimums der Funktion.

Wenn am Punkt x * die Bedingung erfüllt ist:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Dieser Punkt x * ist ein lokales (globales) Maximum.

Beispiel 1. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion: auf dem Segment .
Lösung.

Der kritische Punkt ist eins x 1 = 2 (f'(x)=0). Dieser Punkt gehört zum Segment . (Der Punkt x=0 ist unkritisch, da 0∉).
Wir berechnen die Werte der Funktion an den Enden des Segments und am kritischen Punkt.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Antwort: f min = 5 / 2 für x=2; f max = 9 bei x = 1

Beispiel #2. Finde unter Verwendung von Ableitungen höherer Ordnung das Extremum der Funktion y=x-2sin(x) .
Lösung.
Finde die Ableitung der Funktion: y’=1-2cos(x) . Finden wir die kritischen Punkte: 1-cos(x)=2, cos(x)=1, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Wir finden y''=2sin(x), berechnen , also sind x= π / 3 +2πk, k∈Z die Minimalpunkte der Funktion; , also x=- π / 3 +2πk, k∈Z sind die Maxima der Funktion.

Beispiel #3. Untersuchen Sie die Extremumfunktion in der Nähe des Punktes x=0.
Lösung. Hier ist es notwendig, die Extrema der Funktion zu finden. Wenn das Extremum x=0 ist, dann finde seinen Typ heraus (Minimum oder Maximum). Wenn unter den gefundenen Punkten kein x = 0 ist, dann berechne den Wert der Funktion f(x=0).
Es sei darauf hingewiesen, dass, wenn die Ableitung auf jeder Seite eines gegebenen Punktes ihr Vorzeichen nicht ändert, die möglichen Situationen auch für differenzierbare Funktionen nicht erschöpft sind: Es kann vorkommen, dass für eine beliebig kleine Nachbarschaft auf einer Seite des Punktes x 0 oder auf beiden Seiten wechselt die Ableitung das Vorzeichen. An diesen Stellen muss man andere Methoden anwenden, um Funktionen auf ein Extremum zu untersuchen.

Definitionen:

extrem Maximum genannt Mindestwert Funktionen auf einer gegebenen Menge.

Extrempunkt ist der Punkt, an dem der maximale oder minimale Wert der Funktion erreicht wird.

Höchstpunkt ist der Punkt, an dem der Maximalwert der Funktion erreicht wird.

Tiefpunkt ist der Punkt, an dem der Minimalwert der Funktion erreicht wird.

Erläuterung.

In der Abbildung erreicht die Funktion in der Nähe des Punktes x = 3 ihren Maximalwert (d. h. in der Nähe dieses bestimmten Punktes gibt es keinen höheren Punkt). In der Nähe von x = 8 hat es wieder einen Maximalwert (nochmals zur Klarstellung: in dieser Umgebung gibt es keinen Punkt darüber). An diesen Stellen wird die Erhöhung durch eine Verringerung ersetzt. Sie sind maximale Punkte:

xmax = 3, xmax = 8.

In der Nähe des Punktes x = 5 wird der Minimalwert der Funktion erreicht (d. h. in der Nähe von x = 5 gibt es keinen Punkt darunter). An dieser Stelle wird die Abnahme durch eine Zunahme ersetzt. Es ist der Mindestpunkt:

Die maximalen und minimalen Punkte sind Extrempunkte der Funktion, und die Werte der Funktion an diesen Punkten sind seine Extreme.

Kritische und stationäre Punkte der Funktion:

Notwendige Bedingung für ein Extremum:

Hinreichende Bedingung für ein Extremum:

Auf dem Segment die Funktion j = F(x) kann entweder an kritischen Stellen oder an den Enden des Segments seinen minimalen oder maximalen Wert erreichen .

Algorithmus zum Studium einer stetigen Funktionj = F(x) für Monotonie und Extrema:

Steigende, fallende und Extrema einer Funktion

Das Auffinden von Anstiegs-, Abfall- und Extrema-Intervallen einer Funktion ist sowohl eine unabhängige Aufgabe als auch wesentlicher Bestandteil andere Aufgaben, insbesondere Vollfunktionsstudie. Erste Informationen über Zunahme, Abnahme und Extrema der Funktion werden in gegeben Theoretisches Kapitel über die Ableitung, die ich für ein Vorstudium sehr empfehle (oder Wiederholung)- auch aus dem Grund, dass das folgende Material auf dem sehr basiert das Wesen des Derivats eine harmonische Fortsetzung dieses Artikels. Wenn die Zeit knapp wird, ist aber auch eine rein formale Ausarbeitung von Beispielen der heutigen Lektion möglich.

Und heute liegt eine seltene Einmütigkeit in der Luft, und ich spüre direkt, dass alle Anwesenden vor Verlangen brennen lernen, eine Funktion mit einer Ableitung zu untersuchen. Daher erscheint auf den Bildschirmen Ihrer Monitore sofort eine einigermaßen gute ewige Terminologie.

Wozu? Einer der praktischsten Gründe ist: um deutlich zu machen, was bei einer bestimmten Aufgabe generell von Ihnen verlangt wird!

Funktion Monotonie. Extrempunkte und Funktionsextrema

Betrachten wir eine Funktion. Das nehmen wir vereinfacht an kontinuierlich auf dem ganzen Zahlenstrahl:

Für alle Fälle werden wir mögliche Illusionen sofort beseitigen, insbesondere für diejenigen Leser, die kürzlich Bekanntschaft gemacht haben Intervalle der Vorzeichenkonstanz der Funktion. Jetzt wir NICHT INTERESSIERT, wie sich der Graph der Funktion relativ zur Achse befindet (oben, unten, wo er die Achse schneidet). Löschen Sie zur Überzeugungskraft im Geiste die Achsen und hinterlassen Sie ein Diagramm. Weil das Interesse daran besteht.

Funktion erhöht sich auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte dieses Intervalls, die durch die Beziehung verbunden sind, die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem größeren Wert der Funktion, und ihr Diagramm verläuft „von unten nach oben“. Die Demofunktion wächst über das Intervall .

Ebenso die Funktion nimmt ab auf einem Intervall, wenn für zwei beliebige Punkte des gegebenen Intervalls, so dass die Ungleichung wahr ist. Das heißt, ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion, und ihr Diagramm verläuft „von oben nach unten“. Unsere Funktion nimmt über die Intervalle ab .

Wenn eine Funktion über ein Intervall zu- oder abnimmt, wird sie aufgerufen streng monoton in diesem Intervall. Was ist Monotonie? verstehen hinein buchstäblich- Einheitlichkeit.

Es ist auch möglich, zu definieren nicht abnehmend Funktion (entspannter Zustand in der ersten Definition) und nicht steigend Funktion (aufgeweichter Zustand in der 2. Definition). Eine nicht abnehmende oder nicht ansteigende Funktion in einem Intervall wird als monotone Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet (strikte Monotonie ist ein Spezialfall von "nur" Monotonie).

Die Theorie berücksichtigt auch andere Ansätze zur Bestimmung der Zunahme / Abnahme einer Funktion, einschließlich halber Intervalle, Segmente, aber um Öl-Öl-Öl nicht auf Ihren Kopf zu gießen, stimmen wir zu, mit offenen Intervallen mit kategorischen Definitionen zu arbeiten - das ist klarer und zur Lösung vieler praktischer Probleme völlig ausreichend.

Auf diese Weise, In meinen Artikeln wird sich fast immer die Formulierung „Monotonie einer Funktion“ verstecken Intervalle strenge Monotonie(strikte Steigerung oder strikte Abnahme der Funktion).

Point-Nachbarschaft. Worte, nach denen sich die Schüler zerstreuen, wo sie können, und sich entsetzt in den Ecken verstecken. …Obwohl nach der Post Cauchy-Grenzen sie verstecken sich wohl nicht mehr, sondern schaudern nur noch leicht =) Keine Sorge, jetzt wird es keine Beweise für Theoreme der mathematischen Analyse geben – ich brauchte die Nachbarschaft, um Definitionen rigoroser zu formulieren Extrempunkte. Wir erinnern:

Nachbarschaftspunkt Nennen Sie das Intervall, das den gegebenen Punkt enthält, während der Einfachheit halber oft angenommen wird, dass das Intervall symmetrisch ist. Zum Beispiel ein Punkt und seine Standardumgebung:

Grundsätzlich die Definitionen:

Der Punkt wird aufgerufen strenger Maximalpunkt, wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, von denen, außer dem Punkt selbst, die Ungleichung erfüllt ist. In unserem speziellen Beispiel ist dies ein Punkt.

Der Punkt wird aufgerufen strenger Mindestpunkt, wenn existiert ihre Nachbarschaft, für alle Werte, von denen, außer dem Punkt selbst, die Ungleichung erfüllt ist. In der Zeichnung - Punkt "a".

Notiz : Die Forderung, dass die Nachbarschaft symmetrisch ist, ist überhaupt nicht notwendig. Außerdem ist es wichtig die bloße Tatsache der Existenz Nachbarschaft (wenn auch winzig, sogar mikroskopisch), die die angegebenen Bedingungen erfüllt

Punkte werden aufgerufen Punkte strengen Extremums oder einfach Extrempunkte Funktionen. Das heißt, es ist ein allgemeiner Begriff für maximale Punkte und minimale Punkte.

Wie ist das Wort „extrem“ zu verstehen? Ja, genauso direkt wie Monotonie. Extrempunkte der Achterbahn.

Wie im Fall der Monotonie gibt es in der Theorie noch häufiger nicht strenge Postulate (worunter natürlich die betrachteten strengen Fälle fallen!):

Der Punkt wird aufgerufen Höchstpunkt, wenn existiert seine Umgebung, so dass für alle
Der Punkt wird aufgerufen Mindestpunkt, wenn existiert seine Umgebung, so dass für alle Werte dieser Nachbarschaft, die Ungleichheit hält.

Beachten Sie, dass gemäß den letzten beiden Definitionen jeder Punkt einer konstanten Funktion (oder ein „flacher Bereich“ einer Funktion) sowohl als Maximalpunkt als auch als Minimalpunkt betrachtet wird! Die Funktion ist übrigens sowohl nichtsteigend als auch nichtfallend, also monoton. Wir überlassen diese Argumente jedoch den Theoretikern, da wir in der Praxis fast immer die traditionellen "Hügel" und "Höhlen" (siehe Zeichnung) mit einem einzigartigen "König des Hügels" oder einer "Sumpfprinzessin" betrachten. Als Varietät kommt sie vor Punkt, nach oben oder unten gerichtet, zum Beispiel das Minimum der Funktion am Punkt .

Ach übrigens, ach Königtum:
- Die Bedeutung wird genannt maximal Funktionen;
- Die Bedeutung wird genannt Minimum Funktionen.

Gemeinsamen Namen – Extreme Funktionen.

Bitte seien Sie vorsichtig mit Ihren Worten!

Extrempunkte sind "x"-Werte.
Extreme- "Spiel"-Werte.

! Notiz : Manchmal beziehen sich die aufgeführten Begriffe auf die Punkte "x-y", die direkt auf dem GRAPH der Funktion liegen.

Wie viele Extrema kann eine Funktion haben?

Keine, 1, 2, 3, … usw. zur Unendlichkeit. Zum Beispiel hat der Sinus unendlich viele Minima und Maxima.

WICHTIG! Der Begriff "Maximalfunktion" Nicht identisch Begriff "Maximalwert einer Funktion". Es ist leicht zu erkennen, dass der Wert nur in der Nachbarschaft maximal ist, und oben links gibt es „abruptere Kameraden“. Ebenso ist "minimale Funktion" nicht dasselbe wie "minimaler Funktionswert", und in der Zeichnung können wir sehen, dass der Wert nur in einem bestimmten Bereich minimal ist. In diesem Zusammenhang werden auch Extrempunkte genannt lokale Extrempunkte, und die Extrema lokale Extreme. Sie gehen und wandern herum und global Brüder. Also hat jede Parabel an ihrem Scheitelpunkt globales Minimum oder globales Maximum. Außerdem werde ich nicht zwischen Arten von Extremen unterscheiden, und die Erklärung ist eher für allgemeine Bildungszwecke geäußert - die zusätzlichen Adjektive "lokal" / "global" sollten nicht überrascht werden.

Fassen wir unseren kurzen Exkurs in die Theorie mit einem Kontrollschuss zusammen: Was beinhaltet die Aufgabe „Intervalle der Monotonie und Extrempunkte einer Funktion finden“?

Die Formulierung fordert auf zu finden:

- Intervalle der Zunahme / Abnahme der Funktion (nicht abnehmende, nicht zunehmende treten viel seltener auf);

– Höchstpunktzahl und/oder Mindestpunktzahl (falls vorhanden). Nun, es ist besser, die Minima / Maxima selbst aus dem Fehler zu finden ;-)

Wie soll man das alles definieren? Mit Hilfe einer Ableitungsfunktion!

So finden Sie Intervalle von Zunahme, Abnahme,
Extrempunkte und Extrema der Funktion?

Tatsächlich sind viele Regeln bereits bekannt und verstanden Lektion über die Bedeutung der Ableitung.

Tangentiale Ableitung trägt die gute Nachricht, dass die Funktion durchgehend zunimmt Domänen.

Mit Kotangens und seiner Ableitung die Situation ist genau umgekehrt.

Der Arkussinus wächst auf dem Intervall – die Ableitung ist hier positiv: .
Für ist die Funktion definiert, aber nicht differenzierbar. Am kritischen Punkt gibt es jedoch eine rechte Ableitung und eine rechte Tangente und am anderen Rand ihre linken Gegenstücke.

Ich denke, es wird Ihnen nicht schwer fallen, ähnliche Überlegungen für den Arkuskosinus und seine Ableitung anzustellen.

All diese Fälle, von denen viele sind tabellarische Ableitungen, ich erinnere Sie, folgen Sie direkt aus Definitionen der Ableitung.

Warum eine Funktion mit einer Ableitung untersuchen?

Um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, wie der Graph dieser Funktion aussieht: wo es "von unten nach oben" geht, wo es "von oben nach unten" geht, wo es die Tiefen der Höhen erreicht (wenn überhaupt). Nicht alle Funktionen sind so einfach - in den meisten Fällen haben wir im Allgemeinen nicht die geringste Ahnung vom Graphen einer bestimmten Funktion.

Es ist an der Zeit, zu aussagekräftigeren Beispielen überzugehen und darüber nachzudenken Algorithmus zum Finden von Intervallen der Monotonie und Extrema einer Funktion:

Beispiel 1

Finden Sie steigende/fallende Intervalle und Extrema einer Funktion

Lösung:

1) Der erste Schritt ist zu finden Funktionsumfang, und notieren Sie sich auch die Breakpoints (falls vorhanden). In diesem Fall ist die Funktion auf der gesamten reellen Linie kontinuierlich, und diese Aktion ist etwas formal. Aber in einigen Fällen flammen hier ernsthafte Leidenschaften auf, also behandeln wir den Absatz ohne Vernachlässigung.

2) Der zweite Punkt des Algorithmus ist fällig

notwendige Bedingung für ein Extremum:

Wenn es an dem Punkt ein Extremum gibt, dann existiert entweder der Wert nicht.

Verwirrt vom Ende? Extremum der Funktion "modulo x" .

Bedingung ist notwendig, aber nicht genug, und die Umkehrung gilt nicht immer. Aus der Gleichheit folgt also noch nicht, dass die Funktion an der Stelle ein Maximum oder Minimum erreicht. Oben wurde bereits ein klassisches Beispiel beleuchtet - dies ist eine kubische Parabel und ihr kritischer Punkt.

Aber wie dem auch sei, die notwendige Bedingung für ein Extremum diktiert die Notwendigkeit, verdächtige Punkte zu finden. Finde dazu die Ableitung und löse die Gleichung:

Zu Beginn des ersten Artikels über Funktionsgraphen Ich habe dir anhand eines Beispiels erklärt, wie du schnell eine Parabel baust : "... wir nehmen die erste Ableitung und setzen sie gleich Null: ... Also, die Lösung unserer Gleichung: - an diesem Punkt befindet sich die Spitze der Parabel ...". Nun, ich denke, jeder versteht, warum genau an diesem Punkt die Spitze der Parabel ist =) Generell sollten wir hier mit einem ähnlichen Beispiel beginnen, aber es ist zu einfach (selbst für eine Teekanne). Darüber hinaus gibt es am Ende der Lektion ein Analogon Ableitungsfunktion. Erhöhen wir also das Niveau:

Beispiel 2

Finden Sie Monotonieintervalle und Extrema einer Funktion

Dies ist ein Beispiel für unabhängige Lösung. Komplette Lösung und ein ungefähres Abschlussmuster der Aufgabe am Ende der Lektion.

Der lang ersehnte Moment des Treffens mit fraktionalen rationalen Funktionen ist gekommen:

Beispiel 3

Untersuchen Sie eine Funktion mit der ersten Ableitung

Achten Sie darauf, wie variabel ein und dieselbe Aufgabe umformuliert werden kann.

Lösung:

1) Die Funktion erleidet an den Punkten unendliche Brüche.

2) Wir erkennen kritische Punkte. Lassen Sie uns die erste Ableitung finden und mit Null gleichsetzen:

Lösen wir die Gleichung. Ein Bruch ist Null, wenn sein Zähler Null:

Somit erhalten wir drei kritische Punkte:

3) Legen Sie ALLE erkannten Punkte auf der Zahlengeraden beiseite und Intervallmethode Definieren Sie die Vorzeichen des DERIVATS:

Ich erinnere Sie daran, dass Sie einen Punkt des Intervalls nehmen und den Wert der Ableitung darin berechnen müssen und bestimme sein Vorzeichen. Es ist profitabler, nicht einmal zu zählen, sondern verbal zu „schätzen“. Nehmen Sie zum Beispiel einen Punkt, der zum Intervall gehört, und führen Sie die Substitution durch: .

Zwei „Plus“ und ein „Minus“ ergeben also ein „Minus“, was bedeutet, dass die Ableitung auf dem gesamten Intervall negativ ist.

Wie Sie verstehen, muss die Aktion für jedes der sechs Intervalle ausgeführt werden. Beachten Sie übrigens, dass Zählerfaktor und Nenner für jeden Punkt jedes Intervalls streng positiv sind, was die Aufgabe erheblich vereinfacht.

Die Ableitung sagte uns also, dass die FUNKTION SELBST um steigt und verringert sich um . Es ist praktisch, Intervalle des gleichen Typs mit dem Vereinigungssymbol zu verbinden.

An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Maximum erreicht:
An dem Punkt, an dem die Funktion ihr Minimum erreicht:

Überlegen Sie, warum Sie den zweiten Wert nicht neu berechnen können ;-)

Beim Durchgang durch einen Punkt ändert die Ableitung nicht das Vorzeichen, daher hat die Funktion dort KEIN EXTREME - sie ist sowohl gesunken als auch fallend geblieben.

! Lassen Sie uns wiederholen wichtiger Punkt : Punkte gelten nicht als kritisch - sie haben eine Funktion unentschlossen. Dementsprechend hier Extrema können grundsätzlich nicht sein(auch wenn die Ableitung das Vorzeichen ändert).

Antworten: Die Funktion erhöht sich um und nimmt ab Am Punkt, an dem das Maximum der Funktion erreicht ist: , und an dem Punkt - das Minimum: .

Kenntnis von Monotonieintervallen und Extrema, gepaart mit Etablierten Asymptoten gibt eine sehr gute Vorstellung davon Aussehen Funktionsgraph. Eine durchschnittliche Person kann verbal feststellen, dass ein Graph einer Funktion zwei vertikale Asymptoten und eine schräge Asymptote hat. Hier ist unser Held:

Versuchen Sie erneut, die Ergebnisse der Studie mit dem Diagramm dieser Funktion zu korrelieren.
Es gibt kein Extremum am kritischen Punkt, aber es gibt es Kurvenbiegung(was in der Regel in ähnlichen Fällen vorkommt).

Beispiel 4

Finden Sie Extrema einer Funktion

Beispiel 5

Finden Sie Monotonieintervalle, Maxima und Minima einer Funktion

... nur so eine Art X-in-a-Cube-Urlaub stellt sich heute heraus ....
Soooo, wer da in der Galerie hat dafür zu trinken angeboten? =)

Jede Aufgabe hat ihre eigenen inhaltlichen Nuancen und technische Feinheiten, die am Ende des Tutorials auskommentiert sind.

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt des Definitionsbereichs der Funktion, an dem der Wert der Funktion einen minimalen oder maximalen Wert annimmt. Die Funktionswerte an diesen Stellen werden als Extrema (Minimum und Maximum) der Funktion bezeichnet.

Definition. Punkt x1 Funktionsumfang F(x) wird genannt Maximumpunkt der Funktion , wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt größer ist als die Werte der Funktion an Punkten, die nahe genug daran liegen und sich rechts und links davon befinden (d. h. die Ungleichung F(x0 ) > F(x 0 + Δ x) x1 maximal.

Definition. Punkt x2 Funktionsumfang F(x) wird genannt Minimalpunkt der Funktion, wenn der Wert der Funktion an diesem Punkt kleiner ist als die Werte der Funktion an Punkten, die nahe genug daran liegen und sich rechts und links davon befinden (d. h. die Ungleichung F(x0 ) < F(x 0 + Δ x) ). In diesem Fall soll die Funktion an der Stelle stehen x2 Minimum.

Sagen wir den Punkt x1 - Maximalpunkt der Funktion F(x) . Dann im Intervall bis zu x1 Funktion steigt, also ist die Ableitung der Funktion größer als Null ( F "(x) > 0 ) und im Intervall danach x1 die Funktion nimmt ab, also Funktion Ableitung weniger als Null (F "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Nehmen wir auch an, dass der Punkt x2 - Minimalpunkt der Funktion F(x) . Dann im Intervall bis zu x2 die Funktion fällt und die Ableitung der Funktion kleiner als Null ist ( F "(x) < 0 ), а в интервале после x2 die Funktion wächst und die Ableitung der Funktion größer als Null ist ( F "(x) > 0 ). In diesem Fall auch an der Stelle x2 die Ableitung der Funktion ist Null oder existiert nicht.

Satz von Fermat (ein notwendiges Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Wenn Punkt x0 - Extrempunkt der Funktion F(x), dann ist an dieser Stelle die Ableitung der Funktion gleich Null ( F "(x) = 0 ) oder existiert nicht.

Definition. Die Punkte, an denen die Ableitung einer Funktion gleich Null ist oder nicht existiert, werden aufgerufen kritische Punkte .

Beispiel 1 Betrachten wir eine Funktion.

Am Punkt x= 0 die Ableitung der Funktion ist gleich Null, also der Punkt x= 0 ist der kritische Punkt. Wie auf dem Graphen der Funktion zu sehen ist, nimmt sie jedoch im gesamten Definitionsbereich zu, so der Punkt x= 0 ist kein Extremum dieser Funktion.

Somit sind die Bedingungen, dass die Ableitung einer Funktion an einem Punkt gleich Null ist oder nicht existiert, notwendige Bedingungen für ein Extremum, aber nicht hinreichende, da andere Beispiele von Funktionen angegeben werden können, für die diese Bedingungen erfüllt sind, außer der Funktion hat an der entsprechenden Stelle kein Extremum. Deshalb müssen ausreichende Hinweise haben, um zu beurteilen, ob es an einem bestimmten kritischen Punkt ein Extremum gibt und welches - ein Maximum oder ein Minimum.

Theorem (das erste hinreichende Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt x0 F(x) , wenn die Ableitung der Funktion beim Durchgang durch diesen Punkt das Vorzeichen wechselt, und wenn das Vorzeichen von „Plus“ nach „Minus“ wechselt, dann der Maximumpunkt, und wenn von „Minus“ nach „Plus“, dann der Minimumpunkt .

Wenn in der Nähe des Punktes x0 , links und rechts davon behält die Ableitung ihr Vorzeichen, das heißt, die Funktion nimmt in irgendeiner Umgebung des Punktes entweder nur ab oder nur zu x0 . In diesem Fall an der Stelle x0 es gibt kein Extremum.

Damit, Um die Extrempunkte der Funktion zu bestimmen, müssen Sie Folgendes tun :

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion.
2. Setzen Sie die Ableitung zu Null und bestimmen Sie die kritischen Punkte.
3. Markieren Sie gedanklich oder auf Papier die kritischen Punkte auf der Zahlenachse und bestimmen Sie die Vorzeichen der Ableitung der Funktion in den erhaltenen Intervallen. Ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von "Plus" nach "Minus", dann ist der kritische Punkt der Maximalpunkt, und wenn von "Minus" nach "Plus", dann ist der kritische Punkt der Minimalpunkt.
4. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Extrempunkten.

Beispiel 2 Finden Sie Extrema einer Funktion .

Lösung. Finden wir die Ableitung der Funktion:

Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich, um die kritischen Punkte zu finden:

.

Da für alle Werte von "x" der Nenner nicht gleich Null ist, setzen wir den Zähler gleich Null:

Habe einen kritischen Punkt x= 3 . Wir bestimmen das Vorzeichen der Ableitung in den durch diesen Punkt begrenzten Intervallen:

im Bereich von minus unendlich bis 3 - Minuszeichen, dh die Funktion nimmt ab,

im Bereich von 3 bis plus unendlich - ein Pluszeichen, dh die Funktion steigt.

Das heißt, Punkt x= 3 ist der Mindestpunkt.

Finden Sie den Wert der Funktion am Minimalpunkt:

Somit wird der Extrempunkt der Funktion gefunden: (3; 0) , und es ist der Minimalpunkt.

Theorem (das zweite hinreichende Kriterium für die Existenz eines Extremums einer Funktion). Kritischer Punkt x0 ist der Extrempunkt der Funktion F(x) , wenn die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle ungleich Null ist ( F ""(x) ≠ 0 ), außerdem, wenn die zweite Ableitung größer als Null ist ( F ""(x) > 0 ), dann der Maximalpunkt, und wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist ( F ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Bemerkung 1. Wenn an einem Punkt x0 verschwinden sowohl die erste als auch die zweite Ableitung, dann ist es an dieser Stelle unmöglich, das Vorhandensein eines Extremums anhand des zweiten hinreichenden Vorzeichens zu beurteilen. In diesem Fall müssen Sie das erste hinreichende Kriterium für das Extremum der Funktion verwenden.

Bemerkung 2. Das zweite hinreichende Kriterium für das Extremum einer Funktion ist auch dann nicht anwendbar, wenn die erste Ableitung am stationären Punkt nicht existiert (dann existiert auch die zweite Ableitung nicht). In diesem Fall muss auch das erste hinreichende Kriterium für das Extremum der Funktion verwendet werden.

Die lokale Natur der Extrema der Funktion

Aus den obigen Definitionen folgt, dass das Extremum einer Funktion lokalen Charakter hat - dies ist der größte und kleinste Wert der Funktion im Vergleich zu den nächsten Werten.

Angenommen, Sie betrachten Ihre Einnahmen in einem Zeitraum von einem Jahr. Wenn Sie im Mai 45.000 Rubel und im April 42.000 Rubel und im Juni 39.000 Rubel verdient haben, dann ist das Mai-Einkommen die maximale Einkommensfunktion im Vergleich zu den nächsten Werten. Aber im Oktober haben Sie 71.000 Rubel verdient, im September 75.000 Rubel und im November 74.000 Rubel, also sind die Oktober-Einnahmen das Minimum der Einkommensfunktion im Vergleich zu nahegelegenen Werten. Und Sie können leicht erkennen, dass das Maximum unter den Werten von April-Mai-Juni kleiner ist als das Minimum von September-Oktober-November.

Im Allgemeinen kann eine Funktion mehrere Extrema in einem Intervall haben, und es kann sich herausstellen, dass jedes Minimum der Funktion größer als jedes Maximum ist. Also, für die in der Abbildung oben gezeigte Funktion, .

Das heißt, man sollte nicht denken, dass das Maximum und Minimum einer Funktion ihre maximalen und minimalen Werte für das gesamte betrachtete Segment sind. Am maximalen Punkt hat die Funktion Höchster Wert nur im Vergleich zu den Werten, die er an allen Punkten ausreichend nahe am Maximalpunkt hat, und am Minimalpunkt - der kleinste Wert nur im Vergleich zu den Werten, die er an allen Punkten ausreichend nahe am Minimalpunkt hat .

Daher können wir das obige Konzept der Extrempunkte einer Funktion verfeinern und die Minimalpunkte lokale Minimalpunkte und die Maximalpunkte lokale Maximalpunkte nennen.

Wir suchen gemeinsam nach den Extrema der Funktion

Beispiel 3

Lösung: Die Funktion ist auf dem ganzen Zahlenstrahl definiert und stetig. Sein Derivat existiert auch auf dem gesamten Zahlenstrahl. Als kritische Punkte dienen daher in diesem Fall nur diejenigen, an denen , also . , woher und . Kritische Punkte und teilen Sie den gesamten Bereich der Funktion in drei Intervalle der Monotonie: . Wir wählen in jedem von ihnen einen Kontrollpunkt aus und finden das Vorzeichen der Ableitung an diesem Punkt.

Für das Intervall kann der Bezugspunkt sein: wir finden . Wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, erhalten wir , und wenn wir einen Punkt im Intervall nehmen, haben wir . Also in den Intervallen und und im Intervall . Gemäß dem ersten hinreichenden Vorzeichen eines Extremums gibt es an dem Punkt kein Extremum (da die Ableitung im Intervall ihr Vorzeichen behält), und die Funktion hat an dem Punkt ein Minimum (da die Ableitung beim Passieren das Vorzeichen von Minus zu Plus ändert durch diesen Punkt). Finden Sie die entsprechenden Werte der Funktion: , und . Im Intervall nimmt die Funktion ab, da in diesem Intervall , und im Intervall steigt sie an, da in diesem Intervall.

Um den Aufbau des Graphen zu verdeutlichen, finden wir die Schnittpunkte davon mit den Koordinatenachsen. Wenn wir eine Gleichung erhalten, deren Wurzeln und , d. h. zwei Punkte (0; 0) und (4; 0) des Graphen der Funktion gefunden werden. Aus allen erhaltenen Informationen bauen wir ein Diagramm (siehe am Anfang des Beispiels).

Beispiel 4 Finden Sie die Extrema der Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

Definitionsbereich der Funktion ist der gesamte Zahlenstrahl mit Ausnahme des Punktes, d.h. .

Um das Studium abzukürzen, können wir die Tatsache nutzen, dass diese Funktion gerade ist, da . Daher ist sein Graph symmetrisch um die Achse Ey und die Studie kann nur für das Intervall durchgeführt werden.

Ableitung finden und kritische Punkte der Funktion:

1) ;

2) ,

aber die Funktion erleidet an diesem Punkt einen Bruch, also kann es kein Extrempunkt sein.

Somit hat die gegebene Funktion zwei kritische Punkte: und . Unter Berücksichtigung der Parität der Funktion prüfen wir nur den Punkt beim zweiten hinreichenden Vorzeichen des Extremums. Dazu finden wir die zweite Ableitung und bestimme sein Vorzeichen bei : wir bekommen . Da und ist dann der Minimalpunkt der Funktion while .

Um ein vollständigeres Bild des Funktionsgraphen zu erhalten, wollen wir sein Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs herausfinden:

(hier zeigt das Symbol den Wunsch an x auf Null auf der rechten Seite, und x bleibt positiv; bedeutet in ähnlicher Weise Streben x auf Null auf der linken Seite, und x bleibt negativ). Also, wenn, dann. Als nächstes finden wir

,

diese. wenn, dann .

Der Graph der Funktion hat keine Schnittpunkte mit den Achsen. Das Bild befindet sich am Anfang des Beispiels.

Wir suchen weiterhin gemeinsam nach Extrema der Funktion

Beispiel 8 Finde die Extrema der Funktion.

Lösung. Finde den Definitionsbereich der Funktion. Da die Ungleichung gelten muss, erhalten wir aus .

Finden wir die erste Ableitung der Funktion:

Lassen Sie uns die kritischen Punkte der Funktion finden.

(die linken und rechten Ableitungen sind unterschiedlich), aber es steigt für alle Werte von x, einschließlich an den Punkten x = 0.

Bemerkung 2. Basierend auf „weicheren“ Bedingungen können wir einen direkten Satz formulieren: Wenn die Ableitung einer auf einem Intervall stetigen Funktion nichtnegativ ist, dann nimmt die Funktion auf diesem Intervall nicht ab. Dann klingen der direkte Satz und der umgekehrte Satz in einer formalisierten Sprache so:

Funktion f (x), wenn es eine solche Umgebung des Punktes x0 gibt, dass für alle x aus dieser Umgebung f(x) ≤ f(x0 ) .

Definition. Ein Punkt x0 heißt lokales Minimum der Funktion f(x), wenn es eine solche Umgebung des Punktes x0 gibt, dass für alle x aus dieser Umgebung f(x) ≥ f(x0 ) gilt.

Der Wert der Funktion am Maximumpunkt wird als lokales Maximum bezeichnet, der Wert der Funktion am Minimumpunkt wird als lokales Minimum der gegebenen Funktion bezeichnet. Maximum und Minimum einer Funktion heißen lokale Extrema.

(extrem - extrem).

Definition. Der Punkt x0 heißt Punkt mit streng lokalem Maximum (Minimum) der Funktion y= f(x), falls für alle x aus der Umgebung des Punktes x0 strikte Ungleichheit f(x)< f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Kommentar. Bei der obigen Definition eines lokalen Extremums nehmen wir nicht an, dass die Funktion am Punkt x 0 stetig ist.

Maximalpunkt, da es eine Umgebung des Punktes x \u003d 0 gibt, in der f (x)< f (x 0 ).

Der größte (kleinste) Wert einer Funktion in einem Intervall wird aufgerufen globales Extrem. Das globale Extremum kann entweder an den Punkten des lokalen Extremums oder an den Segmentenden erreicht werden.

Notwendige Bedingung für ein Extremum

Satz 2. (ca notwendige Bedingung extrem).

Wenn eine Funktion y = f(x) an einem Punkt x0 ein Extremum hat, dann ist ihre Ableitung f′ (x0 ) an diesem Punkt entweder gleich Null oder existiert nicht.

◄Wenn die Funktion am Punkt x 0 ein Extremum hat und differenzierbar ist, dann at

In der Nähe dieses Punktes sind die Bedingungen des Satzes von Fermat erfüllt, daher ist die Ableitung der Funktion an diesem Punkt gleich Null.

Aber die Funktion y = f(x) kann ein Extremum haben und an diesem Punkt nicht differenzierbar sein. Es genügt, ein Beispiel zu geben. Ein Beispiel wäre

Bemerkung 3. Eine Funktion muss nicht unbedingt an jedem ihrer kritischen Punkte ein Maximum oder Minimum haben.

Beispiel 4. Betrachten Sie die Funktion y = x 3 . Kritisch für diese Funktion

ist der Punkt x \u003d 0, der aus der Gleichung folgt f '(x) \u003d 3x 2 \u003d 0. Diese Funktion nimmt jedoch für alle x zu und hat kein Extremum.

Wenn beim Übergang vom linken zum rechten Intervall die Funktion weiter abfällt, dann wird am Punkt x 0 der Minimalwert der Funktion nicht erreicht

(kein Extremum).

Die Existenz eines Maximums wird ähnlich bewiesen.

Auf Abb. 2a-h stellt mögliche Fälle des Vorhandenseins oder Fehlens eines Extremums einer kontinuierlichen Funktion dar, deren Ableitung am kritischen Punkt gleich Null ist oder gegen unendlich geht.

Punkt x = 0 wechselt unendlich oft das Vorzeichen. Daher ist die Funktion f (x) nicht

weder links noch rechts vom Punkt x = 0 monoton fallend oder steigend.

Schema zur Untersuchung der Funktion für ein Extremum:

1) Finden Sie die Ableitung f'(x);

2) kritische Punkte finden, d.h. solche Werte x wobei f ′ (x)= 0 oder

f' (x) = ∞;

3) Untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von jedem kritischen Wert

ändert, dann hat die Funktion f (x) am Punkt x 0 weder ein Maximum noch ein Minimum; 4) Finden Sie die Werte der Funktion an den Extrempunkten.

Satz 4. (2. hinreichende Bedingung für ein Extremum). Für die Funktion y = f (x) seien folgende Bedingungen erfüllt:

1. y \u003d f (x) ist in der Nähe des Punktes x 0 stetig,

2. f ′ (x )= 0 bei x 0

3. f ′′ (x )≠ 0 am Punkt x 0 .

also gibt es ein extremum. Das Vorzeichen der Ableitung ändert sich von Minus zu Plus, also ist dies das Minimum. Der Fall f ′′ (x 0 )< 0 .

Beispiel 8 . Untersuchen Sie die Funktion y = x 2 + 2x + 3 auf ein Extremum und finden Sie die Ableitung y ′= 2x + 2 .

1) Wir finden die kritischen Punkte, für die wir die Ableitung gleich Null setzen: y '= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Wir untersuchen das Vorzeichen der Ableitung links und rechts von diesem Punkt (Abb. 6).

Da das Vorzeichen der Ableitung von Minus nach Plus wechselt, wird an der Stelle x = − 1 ein Minimum erreicht.

3) Finde den Wert des Minimums: ymin (− 1)= 2.

3) Wir untersuchen das Zeichen y" links und rechts vom Punkt x = 0. Offensichtlich ist f ′ (x)< 0 ,

das Minimum dieser Funktion.

4) ymin(0)=1.

Beispiel 10

Untersuchen Sie die Funktion y = e -x 2 auf ein Extremum.

1) Finden der ersten Ableitung: y '= - 2xe -x 2 .

2) Wenn wir die Ableitung gleich Null setzen, finden wir den einzigen kritischen Punkt x = 0.

3) Als nächstes finden wir die zweite Ableitung: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Es bedeutet

am Punkt x = 0 ist -2.

4) Wir schließen daraus, dass es ein Maximum der Funktion gibt und berechnen: y max(0)=1.

Der größte und kleinste Wert einer Funktion, die auf einem Segment stetig ist

Wenn die Funktion f (x) auf dem Segment [a ; b ] definiert und stetig ist, dann

nach dem 2. Satz von Weierstraß erreicht sie auf diesem Segment ihre Maximal- und Minimalwerte.

Wenn die Funktion f(x) ihren Maximalwert M annimmt innerer Punkt x 0 des Segments [a ; b ], dann ist M \u003d f (x 0 ) ein lokales Maximum der Funktion f (x), denn in diesem Fall gibt es eine Umgebung des Punktes x 0, so dass die Werte ​​von f (x ) für alle Punkte aus dieser Nachbarschaft nicht

größer als f (x 0 ) .

Der größte Wert der M-Funktion f (x) kann auch an den Enden des Segments erfolgen[a;b]. Um den größten Wert von M kontinuierlich auf der Funktion f (x) des Segments [a ; b] zu finden, müssen Sie daher alle Maxima der Funktion im Intervall (a ; b) und die Werte f finden (x) an den Enden des Segments [a ; b] und wählen Sie

darunter die größte Zahl. Anstatt uns darauf zu beschränken, die Werte des kleinsten Wertes m einer kontinuierlichen zu finden

Forschung zur maximal möglichen Funktion an kritischen Stellen. auf dem Segment [a;b] der Funktion f(x) sein wird

die kleinste Zahl unter allen Minima der Funktion f ( x ) im Intervall ( a ; b ) und den Werten f ( a ) und f ( b ) .