So konstruieren Sie einen Diederwinkel. Diederwinkel senkrecht zur Ebene

„Diederwinkel“ – Ermitteln Sie den Abstand vom Punkt B zur Ebene. Winkel C ist spitz. Das Dreieck ABC ist stumpf. Winkel C ist stumpf. Abstand von einem Punkt zu einer Linie. Im Tetraeder DАВС sind alle Kanten gleich. Der Winkel zwischen den geneigten. Abstand zwischen geneigten Sockeln. Die linearen Winkel eines Diederwinkels sind gleich. Algorithmus zur Konstruktion eines linearen Winkels.

„Diederwinkelgeometrie“ – Winkel RSV – linear für einen Diederwinkel mit Kante AC. Finden (siehe) die Kante und Flächen des Diederwinkels. Das Modell kann entweder voluminös oder faltbar sein. Schnitt eines Diederwinkels durch eine Ebene senkrecht zur Kante. Kanten. Die Linie CP steht senkrecht auf der Kante CA (nach dem Satz der drei Senkrechten). Winkel RKV – linear für einen Diederwinkel mit RSAV.

„Dreiflächiger Winkel“ – Zeichen der Gleichheit der dreiflächigen Winkel. Gegeben: Оabc – Dreieckswinkel; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lektion 6. Konsequenzen. 1) Zur Berechnung des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene gilt die Formel: Formel der drei Kosinuswerte. . Gegeben sei ein Dreieckswinkel Oabc. Dreieckiger Winkel. Satz. Bei einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Ebenenwinkel an der Spitze weniger als 120°.

„Dreiflächige und polyedrische Winkel“ – Dreiflächige Winkel des Dodekaeders. Trieder- und Tetraederwinkel des rhombischen Dodekaeders. Tetraederwinkel des Oktaeders. Dreiflächige Ecken eines Tetraeders. Polyederwinkel messen. Aufgabe. Polyederwinkel. Fünfeckige Winkel des Ikosaeders. Vertikale Polyederwinkel. Dreieckige Ecke einer Pyramide. Sei SA1…An ein konvexer n-facettierter Winkel.

„Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene“ – Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A...F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Geraden AC1 und der Ebene ADE1. Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A...F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Geraden AA1 und der Ebene ACE1. Der Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene. Bestimmen Sie im regulären 6. Prisma A...F1, dessen Kanten gleich 1 sind, den Winkel zwischen der Geraden AB1 und der Ebene ADE1.

„Polyederwinkel“ – Konvexe Polyederwinkel. Polyederwinkel. Abhängig von der Anzahl der Flächen sind Polyederwinkel dreiflächig, tetraedrisch, fünfflächig usw. C) Ikosaeder. Die beiden Ebenenwinkel eines Dreieckswinkels betragen 70° und 80°. Somit, ? ASB+ ? BSC+ ? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

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In der Geometrie werden zwei zum Studium von Figuren verwendet. wichtige Eigenschaften: Längen der Seiten und Winkel zwischen ihnen. Bei räumlichen Figuren kommen zu diesen Merkmalen Diederwinkel hinzu. Schauen wir uns an, was es ist, und beschreiben wir auch die Methode zur Bestimmung dieser Winkel am Beispiel einer Pyramide.

Das Konzept des Diederwinkels

Jeder weiß, dass zwei sich schneidende Linien mit dem Scheitelpunkt an ihrem Schnittpunkt einen bestimmten Winkel bilden. Dieser Winkel kann mit einem Winkelmesser oder gemessen werden trigonometrische Funktionen um es zu berechnen. Ein Winkel, der durch zwei rechte Winkel gebildet wird, heißt linear.

Stellen wir uns das jetzt mal vor dreidimensionaler Raum Es gibt zwei Ebenen, die sich in einer geraden Linie schneiden. Sie sind im Bild dargestellt.

Ein Diederwinkel ist der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen. Genau wie linear wird es in Grad oder Bogenmaß gemessen. Wenn wir zu irgendeinem Punkt auf der Linie, entlang der sich die Ebenen schneiden, zwei in diesen Ebenen liegende Senkrechte wiederherstellen, dann ist der Winkel zwischen ihnen der gewünschte Dieder. Der einfachste Weg, diesen Winkel zu bestimmen, ist die Verwendung der Ebenengleichungen in Gesamtansicht.

Gleichung der Ebenen und Formel für den Winkel zwischen ihnen

Die Gleichung einer beliebigen Ebene im Raum wird im Allgemeinen wie folgt geschrieben:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Dabei sind x, y, z die Koordinaten der zur Ebene gehörenden Punkte, die Koeffizienten A, B, C, D sind einige bekannte Zahlen. Der Vorteil dieser Gleichung zur Berechnung von Diederwinkeln besteht darin, dass sie explizit die Koordinaten des Richtungsvektors der Ebene enthält. Wir werden es mit n¯ bezeichnen. Dann:

Der Vektor n¯ steht senkrecht zur Ebene. Winkel zwischen zwei Ebenen gleich Winkel zwischen ihrem n 1 ¯ und n 2 ¯. Aus der Mathematik ist bekannt, dass der Winkel, den zwei Vektoren bilden, eindeutig aus ihrem Skalarprodukt bestimmt wird. Dies ermöglicht es uns, eine Formel zur Berechnung des Diederwinkels zwischen zwei Ebenen zu schreiben:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Wenn wir die Koordinaten der Vektoren ersetzen, wird die Formel explizit geschrieben:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Das Vorzeichen des Moduls im Zähler dient lediglich der Bestimmung scharfe Ecke, da der Diederwinkel immer kleiner oder gleich 90 ° ist.

Pyramide und ihre Ecken

Eine Pyramide ist eine Figur, die aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht. Hier ist n eine ganze Zahl, die der Anzahl der Seiten des Polygons entspricht, das die Basis der Pyramide bildet. Diese räumliche Figur ist ein Polyeder oder Polyeder, da sie aus flachen Flächen (Seiten) besteht.

Es gibt zwei Arten von Pyramidenpolyedern:

zwischen der Basis und der Seite (Dreieck);
zwischen den beiden Seiten.

Wenn wir eine regelmäßige Pyramide betrachten, sind die genannten Winkel dafür nicht schwer zu bestimmen. Dazu sollten Sie anhand der Koordinaten von drei bekannten Punkten eine Ebenengleichung erstellen und dann die im obigen Absatz angegebene Formel für den Winkel φ verwenden.

Nachfolgend geben wir ein Beispiel, in dem wir zeigen, wie man Diederwinkel an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide ermittelt.

Viereckig und der Winkel an seiner Basis

Nehmen wir an, wir hätten eine regelmäßige Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die Seitenlänge des Quadrats beträgt a, die Höhe der Figur beträgt h. Lassen Sie uns den Winkel zwischen der Basis der Pyramide und ihrer Seite ermitteln.

Platzieren wir den Ursprung des Koordinatensystems in der Mitte des Quadrats. Dann sind die Koordinaten der in der Abbildung gezeigten Punkte A, B, C, D gleich:

A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);

Betrachten wir die Flugzeuge ACB und ADB. Offensichtlich ist der Richtungsvektor n 1 ¯ für die Ebene ACB gleich:

Um den Richtungsvektor n 2 ¯ der ADB-Ebene zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor: Wir finden zwei beliebige Vektoren, die dazu gehören, zum Beispiel AD¯ und AB¯, und berechnen dann deren Vektorprodukt. Das Ergebnis ergibt die Koordinaten n 2 ¯. Wir haben:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Da die Multiplikation und Division eines Vektors durch eine Zahl seine Richtung nicht ändert, transformieren wir das resultierende n 2 ¯, indem wir seine Koordinaten durch -a dividieren, und erhalten:

Wir haben die Richtungsvektoren n 1 ¯ und n 2 ¯ für die Basisebenen ACB und Seitenebene ADB definiert. Es bleibt die Formel für den Winkel φ zu verwenden:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Lassen Sie uns den resultierenden Ausdruck transformieren und wie folgt umschreiben:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Wir haben eine Formel für den Diederwinkel an der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide erhalten. Wenn Sie die Höhe der Figur und die Länge ihrer Seite kennen, können Sie den Winkel φ berechnen. Für die Cheops-Pyramide beispielsweise, deren Basisseite 230,4 Meter beträgt und deren Anfangshöhe 146,5 Meter betrug, beträgt der Winkel φ 51,8 °.

Sie können den Flächenwinkel einer viereckigen regelmäßigen Pyramide auch mit der geometrischen Methode bestimmen. Dazu genügt es, ein rechtwinkliges Dreieck zu betrachten, das aus der Höhe h, der halben Grundlänge a/2 und dem Apothem eines gleichschenkligen Dreiecks besteht.

Diederwinkel. Linearer Winkel Diederwinkel. Ein Diederwinkel ist eine Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die nicht zur selben Ebene gehören und eine gemeinsame Grenze haben – die Gerade a. Die einen Diederwinkel bildenden Halbebenen werden als Flächen bezeichnet, und die gemeinsame Grenze dieser Halbebenen wird als Kante des Diederwinkels bezeichnet. Der lineare Winkel eines Diederwinkels ist ein Winkel, dessen Seiten die Strahlen sind, entlang derer die Flächen des Diederwinkels von einer Ebene senkrecht zur Kante des Diederwinkels geschnitten werden. Jeder Diederwinkel hat eine beliebige Anzahl linearer Winkel: Durch jeden Punkt einer Kante kann man eine Ebene senkrecht zu dieser Kante zeichnen; Die Strahlen, entlang derer diese Ebene die Flächen eines Diederwinkels schneidet, bilden lineare Winkel.

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich. Beweisen wir, dass, wenn die Diederwinkel, die durch die Ebene der Basis der Pyramide KABC und die Ebenen ihrer Seitenflächen gebildet werden, gleich sind, die Basis der vom Scheitelpunkt K gezogenen Senkrechten der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises im Dreieck ABC ist.

Nachweisen. Konstruieren wir zunächst lineare Winkel mit gleichen Diederwinkeln. Per Definition muss die Ebene eines linearen Winkels senkrecht zur Kante des Diederwinkels stehen. Daher muss die Kante eines Diederwinkels senkrecht zu den Seiten des linearen Winkels stehen. Wenn KO senkrecht zur Basisebene steht, können wir OR senkrecht AC, OR senkrecht SV, OQ senkrecht AB zeichnen und dann die Punkte P, Q, R MIT Punkt K verbinden. Somit erstellen wir eine Projektion der geneigten RK, QK , RK, sodass die Kanten AC, NE, AB senkrecht zu diesen Projektionen stehen. Folglich stehen diese Kanten senkrecht zu den geneigten Kanten selbst. Und daher stehen die Ebenen der Dreiecke ROK, QOK, ROK senkrecht zu den entsprechenden Kanten des Diederwinkels und bilden die gleichen linearen Winkel, die in der Bedingung erwähnt werden. Rechtwinklige Dreiecke ROK, QOK, ROK sind kongruent (da sie einen gemeinsamen Schenkel OK haben und die diesem Schenkel gegenüberliegenden Winkel gleich sind). Daher gilt OR = OR = OQ. Wenn wir einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius OP zeichnen, dann stehen die Seiten des Dreiecks ABC senkrecht zu den Radien OP, OR und OQ und sind daher tangential zu diesem Kreis.

Rechtwinkligkeit von Ebenen. Die Alpha- und Beta-Ebenen heißen senkrecht, wenn der lineare Winkel eines der an ihrem Schnittpunkt gebildeten Diederwinkel gleich 90 ist. Zeichen der Rechtwinkligkeit zweier Ebenen Wenn eine der beiden Ebenen durch eine Linie verläuft, die senkrecht zur anderen Ebene steht, dann stehen diese Ebenen senkrecht.

Die Abbildung zeigt ein rechteckiges Parallelepiped. Seine Grundflächen sind die Rechtecke ABCD und A1B1C1D1. Und die Seitenrippen AA1 BB1, CC1, DD1 stehen senkrecht zu den Basen. Daraus folgt, dass AA1 senkrecht zu AB steht, d. h. die Seitenfläche ist ein Rechteck. Somit können wir die Eigenschaften eines rechteckigen Parallelepipeds begründen: In einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel. Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechte Winkel.

Satz Das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen. Wenden wir uns noch einmal der Abbildung zu und beweisen, dass AC12 = AB2 + AD2 + AA12. Da die Kante CC1 senkrecht zur Basis ABCD steht, ist der Winkel ACC1 rechtwinklig. Aus rechtwinkliges Dreieck ACC1 unter Verwendung des Satzes des Pythagoras erhalten wir AC12=AC2+CC12. Aber AC ist eine Diagonale des Rechtecks ABCD, also AC2 = AB2 + AD2. Außerdem ist CC1 = AA1. Daher AC12= AB2+AD2+AA12 Der Satz ist bewiesen.

Konzept des Diederwinkels

Um das Konzept eines Diederwinkels einzuführen, erinnern wir uns zunächst an eines der Axiome der Stereometrie.

Jede Ebene kann in zwei Halbebenen der in dieser Ebene liegenden Geraden $a$ geteilt werden. In diesem Fall liegen Punkte, die in derselben Halbebene liegen, auf einer Seite der Geraden $a$, und Punkte, die in verschiedenen Halbebenen liegen, liegen auf derselben Seite. verschiedene Seiten von der Geraden $a$ (Abb. 1).

Bild 1.

Das Prinzip der Konstruktion eines Diederwinkels basiert auf diesem Axiom.

Definition 1

Die Figur heißt Diederwinkel, wenn sie aus einer Geraden und zwei Halbebenen dieser Geraden besteht, die nicht zur gleichen Ebene gehören.

In diesem Fall werden die Halbebenen als Diederwinkel bezeichnet Kanten, und die gerade Linie, die die Halbebenen trennt, ist Diederkante(Abb. 1).

Abbildung 2. Diederwinkel

Gradmaß des Diederwinkels

Definition 2

Wählen wir einen beliebigen Punkt $A$ auf der Kante. Der Winkel zwischen zwei Geraden, die in verschiedenen Halbebenen liegen, senkrecht zu einer Kante stehen und sich im Punkt $A$ schneiden, wird genannt linearer Diederwinkel(Abb. 3).

Figur 3.

Offensichtlich hat jeder Diederwinkel unendlich viele lineare Winkel.

Satz 1

Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Nachweisen.

Betrachten wir zwei lineare Winkel $AOB$ und $A_1(OB)_1$ (Abb. 4).

Figur 4.

Da die Strahlen $OA$ und $(OA)_1$ in derselben Halbebene $\alpha $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Da die Strahlen $OB$ und $(OB)_1$ in derselben Halbebene $\beta $ liegen und senkrecht auf derselben Geraden stehen, sind sie gleichgerichtet. Somit

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Aufgrund der Willkür der Wahl der linearen Winkel. Alle linearen Winkel eines Diederwinkels sind einander gleich.

Der Satz ist bewiesen.

Definition 3

Das Gradmaß eines Diederwinkels ist das Gradmaß des linearen Winkels eines Diederwinkels.

Beispielprobleme

Beispiel 1

Gegeben seien zwei nicht senkrechte Ebenen $\alpha $ und $\beta $, die sich entlang der Geraden $m$ schneiden. Der Punkt $A$ gehört zur Ebene $\beta$. $AB$ steht senkrecht zur Linie $m$. $AC$ ist senkrecht zur Ebene $\alpha $ (Punkt $C$ gehört zu $\alpha $). Beweisen Sie, dass der Winkel $ABC$ ein linearer Winkel eines Diederwinkels ist.

Nachweisen.

Zeichnen wir ein Bild entsprechend den Bedingungen des Problems (Abb. 5).

Abbildung 5.

Um dies zu beweisen, erinnern Sie sich an den folgenden Satz

Satz 2: Eine gerade Linie, die durch die Basis einer geneigten Linie verläuft, steht senkrecht dazu, senkrecht zu ihrer Projektion.

Da $AC$ senkrecht zur Ebene $\alpha $ steht, ist Punkt $C$ die Projektion von Punkt $A$ auf die Ebene $\alpha $. Daher ist $BC$ eine Projektion des schrägen $AB$. Nach Satz 2 steht $BC$ senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Dann erfüllt der Winkel $ABC$ alle Anforderungen zur Definition eines linearen Diederwinkels.

Beispiel 2

Der Diederwinkel beträgt $30^\circ$. Auf einer der Flächen liegt ein Punkt $A$, der sich in einem Abstand von $4$ cm von der anderen Fläche befindet. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt $A$ zur Kante des Diederwinkels.

Lösung.

Schauen wir uns Abbildung 5 an.

Gemäß der Bedingung gilt $AC=4\cm$.

Durch die Definition des Gradmaßes eines Diederwinkels gilt, dass der Winkel $ABC$ gleich $30^\circ$ ist.

Das Dreieck $ABC$ ist ein rechtwinkliges Dreieck. Per Definition der Sinus eines spitzen Winkels

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TEXTTRANSKRIPT DER LEKTION:

In der Planimetrie sind die Hauptobjekte Linien, Strecken, Strahlen und Punkte. Strahlen, die von einem Punkt ausgehen, bilden eine ihrer geometrischen Formen – einen Winkel.

Wir wissen, dass der lineare Winkel in Grad und Bogenmaß gemessen wird.

Bei der Stereometrie wird den Objekten eine Ebene hinzugefügt. Eine Figur, die aus einer Geraden a und zwei Halbebenen mit einer gemeinsamen Grenze a besteht, die in der Geometrie nicht zur gleichen Ebene gehören, wird als Diederwinkel bezeichnet. Halbebenen sind die Flächen eines Diederwinkels. Die Gerade a ist eine Kante eines Diederwinkels.

Ein Diederwinkel kann wie ein linearer Winkel benannt, gemessen und konstruiert werden. Das müssen wir in dieser Lektion herausfinden.

Lassen Sie uns den Diederwinkel im ABCD-Tetraedermodell ermitteln.

Ein Diederwinkel mit der Kante AB heißt CABD, wobei die Punkte C und D zu verschiedenen Flächen des Winkels gehören und die Kante AB in der Mitte heißt

Um uns herum gibt es viele Objekte mit Elementen in Form eines Diederwinkels.

In vielen Städten sind in Parks spezielle Bänke zur Versöhnung aufgestellt. Die Bank besteht aus zwei schiefen Ebenen, die zur Mitte hin zusammenlaufen.

Beim Hausbau werden die sogenannten Satteldach. Bei diesem Haus ist das Dach in Form eines Diederwinkels von 90 Grad ausgeführt.

Der Diederwinkel wird auch in Grad oder Bogenmaß gemessen, aber wie man ihn misst.

Interessant ist, dass die Dächer der Häuser auf den Dachsparren ruhen. Und die Sparrenummantelung bildet zwei Dachschrägen in einem bestimmten Winkel.

Übertragen wir das Bild auf die Zeichnung. Um in der Zeichnung einen Diederwinkel zu finden, markiert man auf seiner Kante Punkt B. Von diesem Punkt aus werden zwei Strahlen BA und BC senkrecht zur Kante des Winkels gezeichnet. Der von diesen Strahlen gebildete Winkel ABC wird linearer Diederwinkel genannt.

Das Gradmaß eines Diederwinkels ist gleich dem Gradmaß seines linearen Winkels.

Lassen Sie uns den Winkel AOB messen.

Das Gradmaß eines gegebenen Diederwinkels beträgt sechzig Grad.

Für einen Diederwinkel können unendlich viele lineare Winkel gezeichnet werden; es ist wichtig zu wissen, dass sie alle gleich sind.

Betrachten wir zwei lineare Winkel AOB und A1O1B1. Die Strahlen OA und O1A1 liegen auf derselben Fläche und stehen senkrecht zur Geraden OO1, sind also gleichgerichtet. Die Strahlen OB und O1B1 sind ebenfalls gemeinsam gerichtet. Daher ist der Winkel AOB gleich dem Winkel A1O1B1 als Winkel mit gleichgerichteten Seiten.

Ein Diederwinkel ist also durch einen linearen Winkel gekennzeichnet, und lineare Winkel sind spitz, stumpf und rechtwinklig. Betrachten wir Modelle von Diederwinkeln.

Ein stumpfer Winkel liegt vor, wenn sein linearer Winkel zwischen 90 und 180 Grad beträgt.

Ein rechter Winkel, wenn sein linearer Winkel 90 Grad beträgt.

Ein spitzer Winkel, wenn sein linearer Winkel 0 bis 90 Grad beträgt.

Lassen Sie uns eine der wichtigen Eigenschaften eines linearen Winkels beweisen.

Die Ebene des linearen Winkels steht senkrecht zur Kante des Diederwinkels.

Der Winkel AOB sei der lineare Winkel eines gegebenen Diederwinkels. Konstruktionsbedingt stehen die Strahlen AO und OB senkrecht zur Geraden a.

Die Ebene AOB verläuft durch zwei Schnittlinien AO und OB gemäß dem Satz: Eine Ebene geht durch zwei Schnittlinien, und zwar nur durch eine.

Die Linie a steht senkrecht auf zwei Schnittlinien, die in dieser Ebene liegen, was bedeutet, dass die Gerade a, basierend auf der Rechtwinkligkeit der Linie und der Ebene, senkrecht auf der Ebene AOB steht.

Um Probleme zu lösen, ist es wichtig, einen linearen Winkel eines gegebenen Diederwinkels konstruieren zu können. Konstruieren Sie einen linearen Winkel eines Diederwinkels mit der Kante AB für das Tetraeder ABCD.

Es handelt sich um einen Diederwinkel, der zum einen durch die Kante AB, eine Fläche ABD und die zweite Fläche ABC gebildet wird.

Hier ist eine Möglichkeit, es zu bauen.

Zeichnen wir eine Senkrechte vom Punkt D zur Ebene ABC. Markieren Sie Punkt M als Basis der Senkrechten. Denken Sie daran, dass bei einem Tetraeder die Basis der Senkrechten mit dem Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises an der Basis des Tetraeders zusammenfällt.

Zeichnen wir eine geneigte Linie vom Punkt D senkrecht zur Kante AB und markieren Sie Punkt N als Basis der geneigten Linie.

Im Dreieck DMN ist die Strecke NM die Projektion der geneigten DN auf die Ebene ABC. Nach dem Satz der drei Senkrechten steht die Kante AB senkrecht zur Projektion NM.

Das bedeutet, dass die Seiten des Winkels DNM senkrecht zur Kante AB stehen, was bedeutet, dass der konstruierte Winkel DNM der gewünschte lineare Winkel ist.

Betrachten wir ein Beispiel für die Lösung eines Problems zur Berechnung eines Diederwinkels.

Das gleichschenklige Dreieck ABC und das regelmäßige Dreieck ADB liegen nicht in derselben Ebene. Das Segment CD steht senkrecht zur Ebene ADB. Finden Sie den Diederwinkel DABC, wenn AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Der Diederwinkel von DABC ist gleich seinem linearen Winkel. Lassen Sie uns diesen Winkel aufbauen.

Zeichnen wir das geneigte CM senkrecht zur Kante AB, da das Dreieck ACB gleichschenklig ist, dann fällt Punkt M mit der Mitte der Kante AB zusammen.

Die Gerade CD steht senkrecht auf der Ebene ADB, also senkrecht auf der in dieser Ebene liegenden Geraden DM. Und das Segment MD ist eine Projektion des geneigten CM auf die Ebene ADV.

Die Gerade AB steht konstruktionsbedingt senkrecht zum geneigten CM, das heißt nach dem Satz der drei Senkrechten steht sie senkrecht zur Projektion MD.

Es ergeben sich also zwei Senkrechte CM und DM zur Kante AB. Dies bedeutet, dass sie einen linearen Winkel CMD des Diederwinkels DABC bilden. Und alles was wir tun müssen, ist es aus dem CDM des rechtwinkligen Dreiecks zu finden.

Das Segment SM ist also der Median und die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks ACB, dann ist das Bein SM nach dem Satz des Pythagoras gleich 4 cm.

Aus dem rechtwinkligen Dreieck DMB ist nach dem Satz des Pythagoras das Bein DM gleich zwei Wurzeln aus drei.

Der Kosinus eines Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Verhältnis des angrenzenden Schenkels MD zur Hypotenuse CM und entspricht drei Wurzeln aus drei mal zwei. Das bedeutet, dass der Winkel CMD 30 Grad beträgt.