Примерни решения за диференциране. Производна на сложна функция

Как да намерим производната, как да вземем производната?В този урок ще научим как да намираме производни на функции. Но преди да изучавате тази страница, силно препоръчвам да се запознаете с методически материал Горещи формули за училищен курс по математика. Справочникът може да бъде отворен или изтеглен от страницата Математически формули и таблици. Също така от там ще ни трябва Таблица с производни, по-добре е да го разпечатате; ще трябва често да го разглеждате не само сега, но и офлайн.

Яжте? Да започваме. Имам две новини за вас: добра и много добра. Добрата новина е следната: за да се научите как да намирате производни, не е нужно да знаете и разбирате какво е производно. Освен това е по-целесъобразно да се усвои дефиницията на производната на функция, математическото, физическото, геометричното значение на производната по-късно, тъй като висококачественото изучаване на теорията, според мен, изисква изучаването на редица други теми, както и малко практически опит.
И сега нашата задача е да овладеем технически същите тези производни. Много добри новиние, че да се научиш да вземаш производни не е толкова трудно; има доста ясен алгоритъм за решаване (и обяснение) на тази задача; интегралите или границите, например, са по-трудни за овладяване.

Препоръчвам следния ред на изучаване на темата:: Първо, тази статия. След това трябва да прочетете най-важния урок Производна на сложна функция. Тези два основни урока ще подобрят вашите умения от пълна нула. Освен това можете да се запознаете с по-сложни производни в статията Комплексни производни. Логаритмична производна. Ако летвата е твърде висока, първо прочетете нещото Най-прости типови задачи с производни. В допълнение към новия материал, урокът обхваща други, по-прости видове производни и е чудесна възможност да подобрите техниката си на диференциране. Освен това в тестовеПочти винаги има задачи за намиране на производни на функции, които са зададени неявно или параметрично. Има и такъв урок: Производни на неявни и параметрично дефинирани функции.

Ще се опитам в достъпна форма, стъпка по стъпка, да ви науча как да намирате производни на функции. Цялата информация е представена подробно, с прости думи.

Всъщност, нека веднага да разгледаме един пример:

Пример 1

Намерете производната на функция

Решение:

Това е най-простият пример, моля, намерете го в таблицата с производни елементарни функции. Сега нека да разгледаме решението и да анализираме какво се е случило? И се случи следното: имахме функция, която в резултат на решението се превърна във функция.

Казано съвсем просто, за да намерите производната на функция, трябва определени правилапревърнете го в друга функция. Погледнете отново таблицата с производни - там функциите се превръщат в други функции. Единственото изключение е експоненциалната функция, която се превръща в себе си. Операцията за намиране на производната се нарича диференциация .

Наименования: Производната се означава с или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО!Забравяне да поставите черта (където е необходимо) или да нарисувате допълнителна черта (където не е необходимо) - ГОЛЯМА ГРЕШКА!Една функция и нейната производна са две различни функции!

Нека се върнем към нашата таблица с производни. От тази таблица е желателно запаметявам: правила за диференциране и производни на някои елементарни функции, особено:

производна на константата:
, където е постоянно число;

производна на степенна функция:
, в частност: , , .

Защо да помним? Това знание е основно знание за производните. И ако не можете да отговорите на въпроса на учителя „Каква е производната на число?“, тогава обучението ви в университета може да приключи за вас (аз лично познавам двама реални случаиот живота). Освен това това са най-често срещаните формули, които трябва да използваме почти всеки път, когато попаднем на производни.

В действителност простите таблични примери са рядкост; обикновено при намиране на производни първо се използват правила за диференциране, а след това таблица с производни на елементарни функции.

В тази връзка преминаваме към разглеждане правила за диференциране:

1) Постоянно число може (и трябва) да бъде извадено от знака за производна

Къде е постоянно число (константа)

Пример 2

Намерете производната на функция

Нека да разгледаме таблицата с производни. Производната на косинуса е там, но имаме .

Време е да използваме правилото, изваждаме постоянния множител от знака на производната:

Сега преобразуваме нашия косинус според таблицата:

Е, препоръчително е да „срешете“ резултата малко - поставете знака минус на първо място, като в същото време се отървете от скобите:

2) Производната на сбора е равна на сбора на производните

Пример 3

Намерете производната на функция

Нека решим. Както вероятно вече сте забелязали, първата стъпка, която винаги се изпълнява при намиране на производна, е да поставим целия израз в скоби и да поставим просто число горе вдясно:

Нека приложим второто правило:

Моля, обърнете внимание, че за диференциране всички корени и степени трябва да бъдат представени във формуляра и ако са в знаменателя, тогава ги преместете нагоре. Как да направите това е обсъдено в моите учебни материали.

Сега нека си припомним първото правило за диференциране - вземаме постоянните множители (числа) извън знака за производна:

Обикновено по време на решението тези две правила се прилагат едновременно (за да не се пренаписва отново дълъг израз).

Всички функции, разположени под щрихите, са елементарни таблични функции, използвайки таблицата, която извършваме трансформацията:

Можете да оставите всичко както е, тъй като няма повече удари и производната е намерена. Изрази като този обаче обикновено опростяват:

Препоръчително е да представите всички степени от типа отново под формата на корени; степените с отрицателни показатели трябва да бъдат нулирани в знаменателя. Въпреки че не е нужно да правите това, няма да е грешка.

Пример 4

Намерете производната на функция

Опитайте се да решите този примерсамостоятелно (отговор в края на урока). Желаещите могат и да ползват интензивен курсв pdf формат, което е особено подходящо, ако имате много малко време на ваше разположение.

3) Производна на произведението на функциите

Изглежда, че аналогията предполага формулата ...., но изненадата е, че:

Това е необичайно правило (както всъщност и други)следва от производни определения. Но засега ще спрем теорията - сега е по-важно да се научите как да решавате:

Пример 5

Намерете производната на функция

Тук имаме произведението на две функции в зависимост от .
Първо прилагаме нашето странно правило и след това трансформираме функциите, като използваме производната таблица:

Труден? Съвсем не, съвсем достъпно дори за чайник.

Пример 6

Намерете производната на функция

Тази функция съдържа сумата и произведението на две функции - квадратен тричлени логаритъм. От училище помним, че умножението и делението имат предимство пред събирането и изваждането.

Тук е същото. ПЪРВОизползваме правилото за диференциране на продукта:

Сега за скобата използваме първите две правила:

В резултат на прилагането на правилата за диференциране под щрихите оставаме само с елементарни функции; използвайки таблицата с производни, ние ги превръщаме в други функции:

Готов.

С известен опит в намирането на производни, простите производни не изглежда необходимо да се описват толкова подробно. По принцип обикновено се решават устно и веднага се записва това .

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение(отговор в края на урока)

4) Производна на частни функции

В тавана се отвори люк, не се тревожете, това е грешка.
Но това е суровата реалност:

Пример 8

Намерете производната на функция

Какво липсва тук – сбор, разлика, произведение, дроб…. С какво да започна?! Има съмнения, няма съмнения, но ТАКА ИЛИ ИНАЧЕПърво начертайте скоби и поставете черта горе вдясно:

Сега разглеждаме израза в скоби, как можем да го опростим? В този случай забелязваме фактор, който според първото правило е препоръчително да се постави извън знака на производната.

Намирането на производната на математическа функция се нарича диференциране. Намирането на производната на математическа функция е често срещан проблем във висшата математика. Можете да говорите по различни начини: да намерите производната, да изчислите производната, да диференцирате функция, да вземете производната, но това са едни и същи понятия. Има, разбира се, сложни задачи, в които намирането на производната е само един от компонентите на проблема. В услугата на нашия уебсайт имате възможност да изчислявате производната онлайн както от елементарни, така и от сложни функции, които нямат аналитично решение. Производната онлайн в нашата услуга може да бъде намерена от почти всяка математическа функция, дори и най-сложната, която други услуги не могат да разрешат вместо вас. И полученият отговор винаги е 100% правилен и елиминира грешки. Можете да видите как протича процесът на намиране на дериват на нашия уебсайт, като използвате конкретни примери. Примерите са разположени вдясно от бутона Решение. Изберете която и да е функция от списъка с примери, тя автоматично ще бъде вмъкната в полето за функция и след това щракнете върху бутона „Решение“. Ще видите решение стъпка по стъпка, вашата производна ще бъде намерена по същия начин. Предимства на решаването на производни онлайн. Дори и да знаете как да намерите производни, процесът може да отнеме много време и усилия. Сайтът на услугата е създаден, за да ви спести от досадни и дълги изчисления, в които също може да допуснете грешка. Изчисляваме производната онлайн с едно натискане на бутона „Решение“ след въвеждане на посочената функция. Сайтът е идеален и за тези, които искат да тестват уменията си в намирането на производната на математическа функция и да се уверят, че независимото им решение е правилно или да намерят грешка, допусната в него. За да направите това, просто трябва да сравните отговора си с резултата от изчислението на онлайн услугата. Ако не искате да използвате производни таблици, които отнемат много време за намиране на желаната функция, тогава използвайте нашата услуга вместо производни таблици за намиране на производната. Основните предимства на нашия сайт в сравнение с други подобни услуги са, че изчислението става много бързо (средно 5 секунди) и не е необходимо да плащате нищо за него - услугата е абсолютно безплатна. Няма да е необходимо да се регистрирате, да въвеждате имейл или личните си данни. Всичко, което трябва да направите, е да влезете дадена функцияи щракнете върху бутона „Решение“. Какво е производна. Производната на функция е основно понятие в математиката и математическия анализ. Обратното на този процес е интегрирането, тоест намирането на функция от известна производна. Казано по-просто, диференцирането е действие върху функция, а производната е резултат от такова действие. За да се изчисли производната на функция в определена точка, аргументът x се заменя с числова стойност и изразът се изчислява. Производната е обозначена с просто число вдясно горен ъгълнад функцията. Щрихът може да бъде и обозначение на конкретна функция. За да намерите производната на елементарна функция, ще трябва да знаете таблицата за производни или винаги да я имате под ръка, което може да не е много удобно, както и да знаете правилата за диференциране, затова препоръчваме да използвате нашата услуга, където производната е изчислен онлайн, просто трябва да въведете функцията в полето, предвидено за това. Аргументът трябва да бъде променливата x, тъй като диференцирането се извършва по отношение на нея. Ако трябва да изчислите втората производна, можете да диференцирате получения отговор. Как да изчислим деривата онлайн. Таблици с производни на елементарни функции са създадени отдавна и можете лесно да ги намерите, така че изчисляването на производната на елементарна (проста) математическа функция е доста проста работа. Когато обаче трябва да намерите производната на сложна математическа функция, това вече не е тривиална задача и ще изисква много усилия и време. Можете да се отървете от безсмислени и дълги изчисления, ако използвате нашия онлайн услуга. Благодарение на него производната ще бъде изчислена за секунди.

Първо ниво

Производна на функция. Изчерпателно ръководство (2019)

Нека си представим прав път, минаващ през хълмиста местност. Тоест върви нагоре и надолу, но не завива надясно или наляво. Ако оста е насочена хоризонтално по протежение на пътя и вертикално, тогава линията на пътя ще бъде много подобна на графиката на някаква непрекъсната функция:

Оста е определено ниво на нулева надморска височина; в живота ние използваме морското ниво като него.

Докато се движим напред по такъв път, ние също се движим нагоре или надолу. Можем също така да кажем: когато аргументът се промени (движение по абсцисната ос), стойността на функцията се променя (движение по ординатната ос). Сега нека помислим как да определим „стръмността“ на нашия път? Каква стойност може да бъде това? Много е просто: колко ще се промени височината, когато се движите напред на определено разстояние. Наистина, на различни участъци от пътя, движейки се напред (по оста x) с един километър, ще се издигаме или падаме с различни количестваметра спрямо морското равнище (по ординатната ос).

Нека обозначим напредък (прочетете „делта x“).

Гръцката буква (делта) обикновено се използва като префикс в математиката, което означава "промяна". Тоест, това е промяна в количеството, - промяна; тогава какво е? Точно така, промяна в големината.

Важно: изразът е едно цяло, една променлива. Никога не отделяйте "делта" от "х" или друга буква! Това е, например,.

И така, ние се придвижихме напред, хоризонтално, с. Ако сравним линията на пътя с графиката на функцията, тогава как ще означим издигането? Разбира се,. Тоест, докато вървим напред, се издигаме по-високо.

Стойността е лесна за изчисляване: ако в началото сме били на височина и след преместване сме се озовали на височина, тогава. Ако крайната точка е по-ниска от началната, тя ще бъде отрицателна - това означава, че не се изкачваме, а слизаме.

Да се върнем към "стръмнина": това е стойност, която показва колко (стръмно) се увеличава височината, когато се движите напред с една единица разстояние:

Да приемем, че на някакъв участък от пътя, при движение напред с километър, пътят се издига с километър. Тогава наклонът на това място е равен. И ако пътят, докато се движи напред с m, падна с km? Тогава наклонът е равен.

Сега нека погледнем върха на един хълм. Ако вземете началото на участъка на половин километър преди върха и края на половин километър след него, можете да видите, че височината е почти същата.

Тоест, според нашата логика се оказва, че наклонът тук е почти равен на нула, което явно не е вярно. Само на разстояние от километри много може да се промени. Необходимо е да се вземат предвид по-малки площи за по-адекватна и точна оценка на стръмността. Например, ако измервате промяната във височината, докато се движите с един метър, резултатът ще бъде много по-точен. Но дори тази точност може да не ни е достатъчна - в крайна сметка, ако има стълб по средата на пътя, можем просто да го подминем. Какво разстояние да изберем тогава? сантиметър? Милиметър? По-малко е по-добре!

IN Истински животИзмерването на разстояния до най-близкия милиметър е повече от достатъчно. Но математиците винаги се стремят към съвършенство. Следователно концепцията е измислена безкрайно малък, тоест абсолютната стойност е по-малка от всяко число, което можем да назовем. Например, казвате: една трилионна! Колко по-малко? И разделяте това число на - и ще бъде още по-малко. И така нататък. Ако искаме да напишем, че дадено количество е безкрайно малко, пишем така: (четем „х клони към нула“). Много е важно да се разбере че това число не е нула!Но много близо до него. Това означава, че можете да разделите по него.

Концепцията, противоположна на безкрайно малкото, е безкрайно голямо (). Вероятно вече сте го срещали, когато сте работили върху неравенства: това число е по модул по-голямо от всяко число, за което можете да се сетите. Ако излезете с възможно най-голямото число, просто го умножете по две и ще получите още по-голямо число. А безкрайността е дори по-голяма от това, което се случва. Всъщност безкрайно голямото и безкрайно малкото са обратни едно на друго, тоест at, и обратното: at.

Сега да се върнем на нашия път. Идеално изчисленият наклон е наклонът, изчислен за безкрайно малък сегмент от пътя, тоест:

Отбелязвам, че при безкрайно малко преместване промяната във височината също ще бъде безкрайно малка. Но нека ви напомня, че безкрайно малко не означава равен на нула. Ако разделите безкрайно малки числа едно на друго, можете да получите съвсем обикновено число, например . Тоест една малка стойност може да бъде точно пъти по-голяма от друга.

За какво е всичко това? Пътят, стръмнината... Не ходим на автомобилно рали, но учим математика. И в математиката всичко е абсолютно същото, само се нарича по различен начин.

Понятие за производна

Производната на функция е отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента.

Постепеннов математиката те наричат промяна. Извиква се степента, до която аргументът () се променя, докато се движи по оста увеличение на аргументаи се обозначава Колко се е променила функцията (височината) при движение напред по оста с разстояние се нарича увеличение на функциятаи е обозначен.

И така, производната на функция е съотношението към кога. Производната обозначаваме със същата буква като функцията, само че с проста буква горе вдясно: или просто. И така, нека напишем формулата за производна, използвайки тези обозначения:

Както и в аналогията с пътя, тук при нарастване на функцията производната е положителна, а при намаляване е отрицателна.

Може ли производната да е равна на нула? Със сигурност. Например, ако се движим по равен хоризонтален път, стръмността е нула. И това е вярно, височината изобщо не се променя. Така е и с производната: производната на постоянна функция (константа) е равна на нула:

тъй като увеличението на такава функция е равно на нула за всяка.

Нека си спомним примера на върха на хълма. Оказа се, че е възможно да се подредят краищата на сегмента различни страниотгоре, така че височината в краищата да е еднаква, т.е. сегментът да е успореден на оста:

Но големите сегменти са знак за неточно измерване. Ще повдигнем нашия сегмент нагоре успоредно на себе си, след което дължината му ще намалее.

В крайна сметка, когато сме безкрайно близо до върха, дължината на сегмента ще стане безкрайно малка. Но в същото време тя остава успоредна на оста, тоест разликата във височините в нейните краища е равна на нула (не клони към, но е равна). Така че производното

Това може да се разбере по следния начин: когато стоим на самия връх, едно малко изместване наляво или надясно променя височината ни незначително.

Има и чисто алгебрично обяснение: вляво от върха функцията нараства, а вдясно намалява. Както разбрахме по-рано, когато една функция расте, производната е положителна, а когато намалява, тя е отрицателна. Но се променя плавно, без скокове (тъй като пътят никъде не променя рязко наклона си). Следователно трябва да има между отрицателни и положителни стойности. Ще бъде там, където функцията нито нараства, нито намалява - в точката на върха.

Същото важи и за дъното (областта, където функцията отляво намалява, а отдясно се увеличава):

Още малко за увеличенията.

Така че променяме аргумента на величина. Променяме от каква стойност? В какво се превърна (аргументът) сега? Можем да изберем всяка точка и сега ще танцуваме от нея.

Помислете за точка с координата. Стойността на функцията в него е равна. След това правим същото увеличение: увеличаваме координатата с. Какъв е аргументът сега? Много лесно: . Каква е стойността на функцията сега? Където отива аргументът, отива и функцията: . Какво ще кажете за увеличаване на функцията? Нищо ново: това все още е сумата, с която функцията се е променила:

Практикувайте намирането на увеличения:

Намерете увеличението на функцията в точка, когато увеличението на аргумента е равно на.
Същото важи и за функцията в точка.

Решения:

IN различни точкипри едно и също увеличение на аргумента увеличението на функцията ще бъде различно. Това означава, че производната във всяка точка е различна (обсъдихме това в самото начало - стръмността на пътя е различна в различните точки). Следователно, когато пишем производна, трябва да посочим в кой момент:

Силова функция.

Степенна функция е функция, при която аргументът е до известна степен (логичен, нали?).

Нещо повече - във всякаква степен: .

Най-простият случай е, когато показателят е:

Нека намерим производната му в точка. Нека си припомним дефиницията на производна:

Така аргументът се променя от на. Колко е нарастването на функцията?

Увеличението е това. Но функция във всяка точка е равна на своя аргумент. Ето защо:

Производната е равна на:

Производната на е равна на:

б) Сега помислете квадратична функция (): .

Сега нека си припомним това. Това означава, че стойността на увеличението може да бъде пренебрегната, тъй като е безкрайно малка и следователно незначителна на фона на другия член:

И така, измислихме друго правило:

в) Продължаваме логическия ред: .

Този израз може да бъде опростен по различни начини: отворете първата скоба, като използвате формулата за съкратено умножение на куба на сбора, или разложете на множители целия израз, като използвате формулата за разликата на кубовете. Опитайте се да го направите сами, като използвате някой от предложените методи.

И така, получих следното:

И отново нека си припомним това. Това означава, че можем да пренебрегнем всички термини, съдържащи:

Получаваме: .

г) Подобни правила могат да бъдат получени за големи мощности:

д) Оказва се, че това правило може да се обобщи за степенна функция с произволен показател, дори не цяло число:

(2)

Правилото може да се формулира с думите: „степента се изнася напред като коефициент и след това се намалява с .“

Ще докажем това правило по-късно (почти в самия край). Сега нека да разгледаме няколко примера. Намерете производната на функциите:

(по два начина: чрез формула и чрез дефиницията на производна - чрез изчисляване на нарастването на функцията);

. Вярвате или не, това е мощностна функция. Ако имате въпроси като „Как е това? Къде е дипломата?“, помнете темата „“!
Да, да, коренът също е степен, само дробна: .
Значи нашите Корен квадратен- това е просто степен с индикатор:
.
Търсим производната, използвайки наскоро научената формула:
Ако в този момент пак стане неясно повторете темата “”!!! (за степен с отрицателен показател)
. Сега степента:
А сега през дефиницията (забравихте ли още?):
;
.
Сега, както обикновено, пренебрегваме термина, съдържащ:
.
. Комбинация от предишни случаи: .

Тригонометрични функции.

Тук ще използваме един факт от висшата математика:

С израз.

Ще научите доказателството през първата година на института (и за да стигнете до там, трябва да издържите добре Единния държавен изпит). Сега просто ще го покажа графично:

Виждаме, че когато функцията не съществува - точката от графиката се изрязва. Но колкото по-близо до стойността, толкова по-близо е функцията до това.

Освен това можете да проверите това правило с помощта на калкулатор. Да, да, не се срамувайте, вземете калкулатор, все още не сме на Единния държавен изпит.

И така, нека опитаме: ;

Не забравяйте да превключите калкулатора си в режим на радиани!

и т.н. Виждаме, че колкото по-малко, толкова по-близка стойностотношение към

а) Разгледайте функцията. Както обикновено, нека намерим увеличението му:

Нека превърнем разликата на синусите в произведение. За целта използваме формулата (запомнете темата „”): .

Сега производното:

Да направим замяна: . Тогава за безкрайно малко също е безкрайно малко: . Изразът за приема формата:

И сега си спомняме това с израза. И също така, какво ще стане, ако едно безкрайно малко количество може да бъде пренебрегнато в сумата (тоест at).

И така, получаваме следното правило: производната на синуса е равна на косинуса:

Това са основни („таблични“) производни. Ето ги в един списък:

По-късно ще добавим още няколко към тях, но тези са най-важните, тъй като се използват най-често.

практика:

Намерете производната на функцията в точка;
Намерете производната на функцията.

Решения:

Първо, нека намерим производната в общ изгледи след това заменете стойността му:
;
.
Тук имаме нещо подобно на степенна функция. Нека се опитаме да я доведем
нормален изглед:
.
Страхотно, сега можете да използвате формулата:
.
.
. Еееееее….. Какво е това????

Добре, прав си, все още не знаем как да намерим такива производни. Тук имаме комбинация от няколко вида функции. За да работите с тях, трябва да научите още няколко правила:

Експонента и натурален логаритъм.

В математиката има функция, чиято производна за всяка стойност е равна на стойността на самата функция в същото време. Нарича се „експонента“ и е експоненциална функция

Основата на тази функция е константа - тя е безкрайна десетичен знак, тоест ирационално число (като). Нарича се „число на Ойлер“, поради което се обозначава с буква.

И така, правилото:

Много лесен за запомняне.

Е, нека не отиваме далеч, нека веднага разгледаме обратната функция. Коя функция е обратна на експоненциалната функция? Логаритъм:

В нашия случай основата е числото:

Такъв логаритъм (т.е. логаритъм с основа) се нарича „естествен“ и ние използваме специална нотация за него: пишем вместо това.

На какво е равно? Разбира се, .

Производната на естествения логаритъм също е много проста:

Примери:

Намерете производната на функцията.
Каква е производната на функцията?

Отговори: Изложител и натурален логаритъм- функциите са уникално прости по отношение на производни. Експоненциалните и логаритмичните функции с всяка друга основа ще имат различна производна, която ще анализираме по-късно, след това нека да преминем през правилатадиференциация.

Правила за диференциране

Правила на какво? Пак нов мандат, пак?!...

Диференциацияе процесът на намиране на производната.

Това е всичко. Как иначе можете да наречете този процес с една дума? Не производна... Математиците наричат диференциала същото нарастване на функция при. Този термин идва от латинския differentia - разлика. Тук.

Когато извличаме всички тези правила, ще използваме две функции, например и. Ще ни трябват и формули за техните увеличения:

Има общо 5 правила.

Константата се изважда от знака за производна.

Ако - някакво постоянно число (константа), тогава.

Очевидно това правило работи и за разликата: .

Нека го докажем. Нека бъде или по-просто.

Примери.

Намерете производните на функциите:

в точка;
в точка;
в точка;
в точката.

Решения:

(производната е една и съща във всички точки, тъй като е линейна функция, помните ли?);

Производно на продукта

Тук всичко е подобно: нека въведем нова функция и да намерим нейното увеличение:

Производна:

Примери:

Намерете производните на функциите и;
Намерете производната на функцията в точка.

Решения:

Производна на експоненциална функция

Сега знанията ви са достатъчни, за да научите как да намирате производната на всяка експоненциална функция, а не само на експоненти (забравили ли сте вече какво е това?).

И така, къде е някакво число.

Вече знаем производната на функцията, така че нека се опитаме да намалим нашата функция до нова основа:

За това ще използваме просто правило: . Тогава:

Е, проработи. Сега опитайте да намерите производната и не забравяйте, че тази функция е сложна.

Се случи?

Ето, проверете сами:

Формулата се оказа много подобна на производната на експонента: както беше, остава същата, само се появи фактор, който е просто число, но не и променлива.

Примери:
Намерете производните на функциите:

Отговори:

Това е просто число, което не може да се изчисли без калкулатор, тоест не може да се запише в по-прост вид. Затова го оставяме в този вид в отговора.

Производна на логаритмична функция

Тук е подобно: вече знаете производната на естествения логаритъм:

Следователно, за да намерите произволен логаритъм с различна основа, например:

Трябва да намалим този логаритъм до основата. Как се променя основата на логаритъм? Надявам се, че помните тази формула:

Само сега вместо това ще напишем:

Знаменателят е просто константа (постоянно число, без променлива). Производната се получава много просто:

Производни на експоненциални и логаритмични функции почти никога не се срещат в Единния държавен изпит, но няма да е излишно да ги знаете.

Производна на сложна функция.

Какво е "сложна функция"? Не, това не е логаритъм и не е арктангенс. Тези функции могат да бъдат трудни за разбиране (въпреки че ако намирате логаритъма за труден, прочетете темата „Логаритми“ и ще се оправите), но от математическа гледна точка думата „комплексен“ не означава „труден“.

Представете си малка конвейерна лента: двама души седят и извършват някакви действия с някакви предмети. Например, първият увива шоколадово блокче в обвивка, а вторият го завързва с панделка. Резултатът е съставен обект: шоколадово блокче, увито и завързано с панделка. За да изядете блокче шоколад, трябва да направите обратните стъпки обратен ред.

Нека създадем подобен математически конвейер: първо ще намерим косинуса на число и след това ще повдигнем на квадрат полученото число. И така, дадено ни е число (шоколад), аз намирам неговия косинус (обвивка), а след това вие повдигате на квадрат полученото (завързвате го с панделка). Какво стана? функция. Това е пример сложна функция: когато, за да намерим нейната стойност, извършваме първото действие директно с променливата и след това второ действие с резултата от първото.

Можем лесно да направим същите стъпки в обратен ред: първо го повдигате на квадрат, а аз след това търся косинуса на полученото число: . Лесно е да се досетите, че резултатът почти винаги ще бъде различен. Важна характеристикасложни функции: когато редът на действията се промени, функцията се променя.

С други думи, сложна функция е функция, чийто аргумент е друга функция: .

За първия пример,.

Втори пример: (същото нещо). .

Действието, което извършваме последно, ще бъде извикано "външна" функция, а първо извършеното действие - съотв "вътрешна" функция(това са неофициални имена, използвам ги само за да обясня материала на прост език).

Опитайте се да определите сами коя функция е външна и коя вътрешна:

Отговори:Разделянето на вътрешни и външни функции е много подобно на промяната на променливи: например във функция

Какво действие ще извършим първо? Първо, нека изчислим синуса и едва след това го кубираме. Това означава, че това е вътрешна функция, но външна.
И първоначалната функция е тяхната композиция: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .
Вътрешен: ; външен: .
Преглед: .

Променяме променливите и получаваме функция.

Е, сега ще извлечем нашето шоколадово блокче и ще потърсим производната. Процедурата винаги е обратна: първо търсим производната на външната функция, след това умножаваме резултата по производната на вътрешната функция. Във връзка с оригиналния пример изглежда така:

Друг пример:

И така, нека най-накрая формулираме официалното правило:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Изглежда просто, нали?

Нека проверим с примери:

Решения:

1) Вътрешен: ;

Външен: ;

2) Вътрешен: ;

(Само не се опитвайте да го отрежете досега! Нищо не излиза изпод косинуса, помните ли?)

3) Вътрешен: ;

Външен: ;

Веднага става ясно, че това е сложна функция на три нива: в крайна сметка това вече е сложна функция сама по себе си и ние също извличаме корена от нея, тоест извършваме третото действие (поставяме шоколада в обвивка и с панделка в куфарчето). Но няма причина да се страхувате: ние все пак ще „разопаковаме“ тази функция в същия ред, както обикновено: от края.

Тоест, първо диференцираме корена, след това косинуса и едва след това израза в скоби. И след това умножаваме всичко.

В такива случаи е удобно действията да се номерират. Тоест нека си представим това, което знаем. В какъв ред ще извършим действия за изчисляване на стойността на този израз? Да разгледаме един пример:

Колкото по-късно се извърши действието, толкова по-„външна“ ще бъде съответната функция. Последователността на действията е същата като преди:

Тук гнезденето обикновено е 4-степенно. Да определим хода на действие.

1. Радикален израз. .

2. Корен. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Събираме всичко заедно:

ПРОИЗВОДНО. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Производна на функция- отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента за безкрайно малко увеличение на аргумента:

Основни производни:

Правила за диференциация:

Константата се изважда от знака за производна:

Производна на сумата:

Производно на продукта:

Производна на коефициента:

Производна на сложна функция:

Алгоритъм за намиране на производната на сложна функция:

Дефинираме „вътрешната“ функция и намираме нейната производна.
Дефинираме „външната“ функция и намираме нейната производна.
Умножаваме резултатите от първа и втора точка.

Приложение

Решаване на производната на сайта за консолидиране на материала, обхванат от студенти и ученици. Изчисляването на производната на функция за няколко секунди не изглежда трудно, ако използвате нашата онлайн услуга за решаване на проблеми. Водя подробен анализВсеки трети ученик ще може да учи задълбочено по време на практически урок. Често се свързваме с нас от отдела на съответния отдел за популяризиране на математиката в образователните институции в страната. В този случай как да не споменем решаването на производната онлайн за затворено пространствочислови последователности. На много богати хора е позволено да изразят своето недоумение. Но междувременно математиците не седят неподвижни и работят много. Производният калкулатор ще приеме промени във входните параметри въз основа на линейни характеристики главно поради върховната сума на низходящите позиции на кубовете. Резултатът е неизбежен като повърхността. Като първоначални данни, онлайн дериватът елиминира необходимостта от предприемане на ненужни стъпки. С изключение на измислената домакинска работа. В допълнение към факта, че решаването на производни онлайн е необходим и важен аспект от изучаването на математика, учениците често не помнят проблеми от миналото. Ученикът, тъй като е мързеливо същество, разбира това. Но студентите са смешни хора! Или го направете според правилата, или изведете функцията в наклонена равнинаможе да придаде ускорение на материална точка. Нека насочим някъде вектора на низходящия пространствен лъч. В искания отговор намирането на производната изглежда като абстрактно теоретично направление поради нестабилността на математическата система. Нека мислим за числова връзка като последователност от неизползвани опции. Комуникационният канал беше попълнен с пета линия по намаляващ вектор от точката на затворената бифуркация на куба. В равнината на извитите пространства, решаването на производната онлайн ни води до заключение, което накара най-великите умове на планетата да се замислят за това през миналия век. В хода на събитията в областта на математиката основно пет важни фактори, което помага за подобряване на позицията за избор на променлива. Така че законът за точките гласи, че онлайн дериватът не се изчислява подробно във всеки случай, като единственото изключение е лоялно прогресивен момент. Прогнозата ни доведе до нов етап на развитие. Имаме нужда от резултати. В линията на математическия наклон, който е преминал под повърхността, калкулаторът на производната на режима се намира в зоната на пресичане на продуктите на комплекта за огъване. Остава да се анализира диференциацията на функцията в нейната независима точка близо до околността на епсилона. Всеки може да провери това на практика. В крайна сметка ще има какво да решите следващ етаппрограмиране. Студентът се нуждае от онлайн производната както винаги, независимо от въображаемото изследване, което се практикува. Оказва се, че решението на производната онлайн, умножена по константа, не променя общата посока на движение на материалната точка, а характеризира увеличаването на скоростта по права линия. В този смисъл ще бъде полезно да използвате нашия калкулатор за производни и да изчислите всички стойности на функцията върху целия набор от нейната дефиниция. Няма нужда да се изучават силовите вълни на гравитационното поле. Решаването на производни онлайн в никакъв случай няма да покаже наклона на изходящия лъч, но само в редки случаи, когато това е наистина необходимо, студентите могат да си го представят. Нека да проучим принципала. Стойността на най-малкия ротор е предвидима. Приложете към резултата линии, гледащи надясно, които описват топката, но онлайн калкулаторпроизводни, това е основата за фигури със специална сила и нелинейна зависимост. Докладът на проекта по математика е готов. Лични характеристики: разликата между най-малките числа и производната на функция по ординатната ос ще доведе до вдлъбнатината на същата функция до височината. Има посока - има извод. По-лесно е теорията да се приложи на практика. Студентите имат предложение относно момента на започване на обучението. Има нужда от отговор на учител. Отново, както при предишната позиция, математическата система не се регулира въз основа на действие, което ще помогне да се намери производната. Подобно на долната полулинейна версия, онлайн производната ще посочи подробно идентифицирането на решението според изроден условен закон. Идеята за изчисляване на формули току-що беше представена. Линейното диференциране на функция отклонява истината на решението към просто излагане на неуместни положителни вариации. Значението на знаците за сравнение ще се разглежда като непрекъснато прекъсване на функцията по оста. Това е важността на най-съзнателното заключение според студента, в което онлайн производната е нещо различно от лоялен пример за математически анализ. Радиусът на извита окръжност в евклидовото пространство, напротив, даде на калкулатора за производни естествено представяне на обмена на решаващи проблеми за стабилност. Най-добър методнамерени. Беше по-лесно да преместя задачата на ниво нагоре. Нека приложимостта на пропорцията на независимата разлика доведе до решението на производните онлайн. Разтворът се върти около абсцисната ос, описвайки фигурата на кръг. Изход има и той се основава на теоретично подкрепени изследвания от студенти, от които всички учат и дори в тези моменти има производна на функцията. Намерихме начин за напредък и учениците го потвърдиха. Можем да си позволим да намерим производната, без да надхвърляме неестествения подход за трансформиране на математическата система. Левият знак за пропорционалност нараства с геометрична последователност като математическо представянеонлайн калкулатор за производни поради неизвестното обстоятелство на линейните фактори върху безкрайната ос y. Математиците от цял свят са доказали изключителността на производствен процес. Яжте най-малък квадратвътре в кръга според описанието на теорията. Отново, онлайн дериватът ще изрази подробно нашето предположение за това какво би могло да повлияе на теоретично усъвършенстваното мнение на първо място. Имаше мнения от различен характер от анализирания доклад, който предоставихме. Специално внимание може да не се случи на студентите от нашите факултети, но не и на умните и технологично напреднали математици, за които диференцирането на функция е само извинение. Механичното значение на производното е много просто. Повдигащата сила се изчислява като онлайн производна за възходящо спускащи се постоянни пространства във времето. Очевидно производният калкулатор е строг процес за описване на проблема с израждането на изкуствена трансформация като аморфно тяло. Първата производна показва промяна в движението на материална точка. триизмерно пространствоочевидно се наблюдава в контекста на специално обучени технологии за решаване на производни онлайн; всъщност това е във всеки колоквиум по темата за математическа дисциплина. Втората производна характеризира промяната в скоростта на материална точка и определя ускорението. Меридианният подход, основан на използването на афинна трансформация, води до ново нивопроизводна на функция в точка от областта на дефиниране на тази функция. Онлайн дериватният калкулатор не може да съществува без числа и символни обозначения в някои случаи за правилния изпълним момент, в допълнение към трансформируемото подреждане на нещата в задачата. Изненадващо, има второ ускорение на материалната точка; това характеризира промяната в ускорението. След кратко време ще започнем да изучаваме решаването на производната онлайн, но веднага щом бъде достигнат определен крайъгълен камък в знанието, нашият ученик ще спре този процес. Най-доброто средствода установяваш контакти означава да общуваш на живо тема по математика. Има принципи, които не могат да бъдат нарушавани при никакви обстоятелства, колкото и трудна да е задачата. Полезно е да намерите деривата онлайн навреме и без грешки. Това ще доведе до нова ситуация математически израз. Системата е стабилна. Физическото значение на производното не е толкова популярно, колкото механичното. Малко вероятно е някой да си спомни как онлайн производната изобразява подробно в равнината очертанията на линиите на функцията в нормалата от триъгълника, съседен на абсцисната ос. Човекът заслужава основна роля в изследванията на миналия век. Нека диференцираме функцията в точки както от областта на дефиниция, така и в безкрайност в три елементарни етапа. Ще бъде в писанесамо в областта на научните изследвания, но може да заеме мястото на главния вектор в математиката и теорията на числата, веднага щом това, което се случи, свърже онлайн калкулатора за производни с проблема. Ако имаше причина, щеше да има причина да се създаде уравнение. Много е важно да имате предвид всички входни параметри. Най-доброто не винаги се приема директно; зад това се крие колосален брой от най-добрите работещи умове, които знаеха как се изчислява онлайн производната в космоса. Оттогава изпъкналостта се счита за свойство на непрекъсната функция. Все пак е по-добре първо да поставите проблема с решаването на деривати онлайн възможно най-скоро. Така решението ще бъде пълно. Освен неизпълнените стандарти, това не се счита за достатъчно. Първоначално почти всеки студент предлага да предложи прост метод за това как производната на функция причинява спорен алгоритъм за увеличаване. По посока на възходящия лъч. Това има смисъл като обща ситуация. Преди това началото на завършването на специфичен математическа операция, но днес ще е обратното. Може би решаването на производната онлайн ще повдигне отново въпроса и ще приемем общо мнение, за да го запазим по време на дискусията на срещата на учителите. Надяваме се на разбиране от всички страни на участниците в срещата. Логическият смисъл се крие в описанието на производния калкулатор в резонанса на числата за последователността на представяне на мисълта на проблема, на който през миналия век беше отговорено от великите учени по света. Ще ви помогне да извлечете сложна променлива от трансформиран израз и да намерите производната онлайн, за да извършите масивно действие от същия тип. Истината е в пъти по-добра от предположенията. Най-ниската стойност в тенденцията. Резултатът няма да закъснее при използване на уникална услуга за прецизно определяне, за която същността на деривата е описана онлайн в детайли. Косвено, но по същество, както каза един мъдър човек, беше създаден онлайн калкулатор за деривати по искане на много студенти от различни градове на съюза. Ако има разлика, тогава защо да решавате два пъти. Даденият вектор лежи от същата страна като нормалата. В средата на миналия век диференциацията на функцията изобщо не се възприема, както днес. Благодарение на напредъка се появи онлайн математиката. С течение на времето учениците забравят да отдават дължимото внимание на математическите предмети. Решаването на производната онлайн ще предизвика нашата теза с право въз основа на прилагането на теория, подкрепена от практически знания. Тя ще надхвърли съществуващата стойност на коефициента на представяне и ще напишем формулата в ясна форма за функцията. Случва се, че трябва незабавно да намерите дериват онлайн, без да използвате калкулатор, но винаги можете да прибягвате до ученически трик и все пак да използвате услуга като уебсайт. Така ученикът ще спести много време за преписване на примери от груба тетрадка в чиста форма. Ако няма противоречия, тогава използвайте услугата стъпка по стъпка решениетакива сложни примери.

Дадени са примери за изчисляване на производни по формулата за производна на сложна функция.

Тук даваме примери за изчисляване на производни на следните функции:
; ; ; ; .

Ако една функция може да бъде представена като сложна функция в следната форма:
,
тогава неговата производна се определя по формулата:
.
В примерите по-долу ще запишем тази формула, както следва:
.
Където .
Тук индексите или , разположени под знака за производна, означават променливите, по които се извършва диференциацията.

Обикновено в таблиците с производни се дават производни на функции от променливата x. Въпреки това, x е формален параметър. Променливата x може да бъде заменена с всяка друга променлива. Следователно, когато диференцираме функция от променлива, ние просто променяме в таблицата с производни променливата x на променливата u.

Прости примери

Пример 1

Намерете производната на сложна функция
.

Решение

Нека напишем дадената функция в еквивалентна форма:
.
В таблицата на производните намираме:
;
.

Според формулата за производна на сложна функция имаме:
.
Тук .

Отговор

Пример 2

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константата 5 от знака за производна и от таблицата с производни намираме:
.

.
Тук .

Отговор

Пример 3

Намерете производната
.

Решение

Изваждаме константа -1 за знака на производната и от таблицата на производните намираме:
;
От таблицата на производните намираме:
.

Прилагаме формулата за производна на сложна функция:
.
Тук .

Отговор

По-сложни примери

В по-сложни примери прилагаме правилото за диференциране на сложна функция няколко пъти. В този случай изчисляваме производната от края. Тоест, ние разделяме функцията на нейните съставни части и намираме производните на най-простите части, използвайки таблица с производни. Ние също използваме правила за диференциране на суми, продукти и фракции. След това правим замествания и прилагаме формулата за производната на сложна функция.