Definicja linii krzyżujących się. Skrzyżowane linie
Wykład: Linie przecinające się, równoległe i ukośne; prostopadłość linii
Przecinające się linie
Jeśli na płaszczyźnie znajduje się kilka linii prostych, prędzej czy później przecinają się one arbitralnie lub pod kątem prostym, albo będą równoległe. Przyjrzyjmy się każdej sprawie.
Linie przecinające się to te linie, które mają co najmniej jeden punkt przecięcia.
Możesz zapytać, dlaczego przynajmniej jedna linia nie może przecinać się z inną linią dwa lub trzy razy. Masz rację! Ale linie mogą się całkowicie pokrywać. W tym przypadku będzie nieskończona liczba punktów wspólnych.
Równoległość
Równoległy można nazwać te linie, które nigdy się nie przecinają, nawet w nieskończoności.
Innymi słowy, równoległe to te, które nie mają jednego wspólnego punktu. Należy pamiętać, że ta definicja obowiązuje tylko wtedy, gdy linie leżą na tej samej płaszczyźnie, ale jeśli nie mają wspólnych punktów, znajdując się w różnych płaszczyznach, to uważa się je za przecinające się.
Przykłady linii równoległych w życiu: dwie przeciwległe krawędzie ekranu monitora, linie w notebookach, a także wiele innych części rzeczy, które mają kwadratowe, prostokątne i inne kształty.
Gdy chcą wykazać na piśmie, że jedna prosta jest równoległa do drugiej, stosuje się następującą notację a||b. Ten zapis mówi, że linia a jest równoległa do linii b.
Studiując ten temat, ważne jest, aby zrozumieć jeszcze jedno stwierdzenie: przez jakiś punkt na płaszczyźnie, który nie należy do danej linii, można narysować pojedynczą linię równoległą. Ale uwaga, znowu korekta jest w samolocie. Jeśli weźmiemy pod uwagę przestrzeń trójwymiarową, możliwe jest narysowanie nieskończonej liczby linii, które się nie przecinają, ale będą się przecinać.
Opisane powyżej stwierdzenie nosi nazwę aksjomat linii równoległych.
Prostopadłość
Linie bezpośrednie można wywoływać tylko wtedy, gdy prostopadły jeśli przecinają się pod kątem 90 stopni.
W przestrzeni przez pewien punkt na linii można narysować nieskończoną liczbę prostopadłych linii. Jeśli jednak mówimy o płaszczyźnie, to przez jeden punkt na linii można narysować pojedynczą prostopadłą linię.
Skrzyżowane linie. Sieczna
Jeśli niektóre linie przecinają się w pewnym punkcie pod dowolnym kątem, można je nazwać krzyżowanie.
Wszelkie linie skosu mają kąty pionowe i sąsiednie.
Jeśli kąty utworzone przez dwie przecinające się linie mają jedną wspólną stronę, nazywane są sąsiednimi:
Sąsiednie kąty sumują się do 180 stopni.
TEKSTOWE WYJAŚNIENIE LEKCJI:
Znasz już dwa przypadki wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni:
1. przecinające się linie;
2. linie równoległe.
Spójrzmy na ich definicje.
Definicja. Linie w przestrzeni nazywane są przecinającymi się, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i mają jeden wspólny punkt
Definicja. Linie w przestrzeni nazywane są równoległymi, jeśli leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.
Wspólną cechą tych definicji jest to, że linie leżą na tej samej płaszczyźnie.
Nie zawsze tak jest w kosmosie. Poradzimy sobie z kilkoma płaszczyznami i nie co dwie linie będą leżeć na tej samej płaszczyźnie.
Na przykład krawędzie sześcianu ABCDA1B1C1D1
AB i A1D1 leżą w różnych płaszczyznach.
Definicja. Dwie linie nazywane są przecinającymi się, jeśli nie ma takiej płaszczyzny, która przechodziłaby przez te linie. Z definicji jasno wynika, że te linie nie przecinają się i nie są równoległe.
Udowodnijmy twierdzenie, które wyraża znak ukośnych linii.
Twierdzenie (znak linii skośnych).
Jeśli jedna z linii leży na pewnej płaszczyźnie, a druga linia przecina tę płaszczyznę w punkcie nienależącym do tej linii, to te linie są skośne.
Linia AB leży w płaszczyźnie α. Linia CD przecina płaszczyznę α w punkcie C nie na linii AB.
Udowodnij, że linie AB i DC przecinają się.
Dowód
Dowód zostanie przeprowadzony przez sprzeczność.
Powiedzmy, że AB i CD leżą w tej samej płaszczyźnie, oznaczmy to przez β.
Wtedy płaszczyzna β przechodzi przez prostą AB i punkt C.
Zgodnie z wnioskiem z aksjomatów, płaszczyznę można narysować przez prostą AB i punkt C nie leżący na niej, a ponadto tylko jeden.
Ale taki samolot już mamy - samolot α.
Dlatego płaszczyzny β i α pokrywają się.
Ale to niemożliwe, ponieważ linia CD przecina α, ale nie leży w nim.
Doszliśmy do sprzeczności, stąd nasze założenie jest błędne. AB i CD leżą w
różne płaszczyzny i przecinają się.
Twierdzenie zostało udowodnione.
Możliwe są więc trzy sposoby wzajemnego ułożenia linii w przestrzeni:
A) Linie przecinają się, to znaczy mają tylko jeden wspólny punkt.
B) Linie są równoległe, tj. leżą na tej samej płaszczyźnie i nie mają wspólnych punktów.
C) Linie przecinają się, tj. nie leżeć w tej samej płaszczyźnie.
Rozważ inne twierdzenie o liniach skośnych
Twierdzenie. Przez każdą z dwóch przecinających się linii przechodzi płaszczyzna równoległa do drugiej linii, a ponadto tylko jedna.
AB i CD - linie przecinające się
Wykazać, że istnieje płaszczyzna α taka, że prosta AB leży w płaszczyźnie α, a prosta CD jest równoległa do płaszczyzny α.
Dowód
Udowodnijmy istnienie takiego samolotu.
1) Narysuj linię AE przez punkt A równolegle do CD.
2) Ponieważ linie AE i AB przecinają się, można przez nie przeciągnąć płaszczyznę. Oznacz to przez α.
3) Ponieważ prosta CD jest równoległa do AE, a AE leży w płaszczyźnie α, to prosta CD ∥ płaszczyzna α (z twierdzenia o prostopadłości prostej i płaszczyzny).
Płaszczyzna α jest pożądaną płaszczyzną.
Udowodnijmy, że płaszczyzna α jako jedyna spełnia warunek.
Każda inna płaszczyzna przechodząca przez linię AB będzie przecinać AE, a więc i równoległą do niej linię CD. Oznacza to, że każda inna płaszczyzna przechodząca przez AB przecina linię CD, dlatego nie jest do niej równoległa.
Dlatego samolot α jest wyjątkowy. Twierdzenie zostało udowodnione.
Twierdzenie. Jeśli jedna linia leży na danej płaszczyźnie, a inna linia przecina tę płaszczyznę w punkcie, który nie należy do pierwszej linii, to te dwie linie przecinają się. Znak przecinających się linii Dowód. Niech linia a leży w płaszczyźnie, a linia b przecina płaszczyznę w punkcie B nie należącym do linii a. Jeśli proste a i b leżą na tej samej płaszczyźnie, to na tej płaszczyźnie leżałby również punkt B. Ponieważ przez prostą przechodzi tylko jedna płaszczyzna i punkt poza tą linią, ta płaszczyzna musi być płaszczyzną. Ale wtedy linia b leżałaby w płaszczyźnie, co jest sprzeczne z warunkiem. Dlatego linie a i b nie leżą na tej samej płaszczyźnie, tj. krzyżować.
Ile par ukośnych linii zawiera krawędzie zwykłego trójkątnego pryzmatu? Rozwiązanie: Dla każdej krawędzi bazowej są trzy przecinające się z nią krawędzie. Dla każdej krawędzi bocznej są dwie przecinające się z nią krawędzie. Dlatego pożądaną liczbą par ukośnych linii jest Ćwiczenie 5
Ile jest par ukośnych linii, które zawierają krawędzie regularnego sześciokątnego pryzmatu? Rozwiązanie: Każda krawędź bazowa uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Każda krawędź boczna uczestniczy w 8 parach przecinających się linii. Dlatego pożądaną liczbą par ukośnych linii jest Ćwiczenie 6
AG.40. Odległość między dwiema przecinającymi się liniami
We współrzędnych 
FMP.3. PEŁNY PRZYROST
funkcje kilku zmiennych - przyrost uzyskiwany przez funkcję, gdy wszystkie argumenty otrzymują (na ogół niezerowe) przyrosty. Dokładniej, niech funkcja f będzie zdefiniowana w sąsiedztwie punktu
n-wymiarowa przestrzeń zmiennych x 1,. . ., x str. Przyrost
funkcja f w punkcie x (0) , gdzie
nazywa pełny przyrost, jeśli jest rozpatrywany jako funkcja n możliwych przyrostów D x 1,. . ., D x n argumenty x 1 , . .., xp, pod warunkiem, że punkt x (0) + Dx należy do dziedziny funkcji f. Wraz z liniowymi przyrostami funkcji rozważamy przyrosty cząstkowe D x k f funkcja f w punkcie x (0) w zmiennej x k, tj. takie przyrosty Df, dla których Dx yj =0, j=1, 2, . . ., k- 1,k+1,. . ., n, k - ustalone (k=1, 2, ..., n).
FMP.4. Odp .: Częściowy przyrost funkcji z \u003d (x, y) w odniesieniu do x jest różnicą z częściowym przyrostem w odniesieniu do
A: Pochodna cząstkowa względem x funkcji z \u003d (x, y) jest granicą stosunku przyrostu częściowego do przyrostu Ax, gdy ten ostatni dąży do zera:
Inne oznaczenia: Podobnie dla zmiennych
noe ty. 
Zauważając, że jest to określone przy stałej y, i - przy stałej x możemy sformułować regułę: pochodna cząstkowa względem x funkcji z \u003d (x, y) jest zwykłą pochodną względem x, obliczoną zgodnie z założenie, że y \u003d const. Podobnie, aby obliczyć pochodną cząstkową względem y, należy wziąć pod uwagę x = const. Zatem zasady obliczania pochodnych cząstkowych są takie same jak w przypadku funkcji jednej zmiennej.
FMP.5. Ciągłość funkcji. Wyznaczanie ciągłości funkcji
Funkcja , nazywana jest ciągłą w punkcie , jeśli spełniony jest jeden z warunków równoważnych:
2) dla dowolnego ciągu ( x n) wartości, zbieżne w n→ ∞ do punktu x 0 , odpowiednia sekwencja ( f(x n)) wartości funkcji są zbieżne dla n→ ∞ do f(x 0);
3) lub f(x) - f(x 0) → 0 dla x - x 0 → 0;
4) taki, że lub, co jest tożsame,
f: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]f(x 0) - ε , f(x 0) + ε [.
Z definicji ciągłości funkcji f w punkcie x 0 wynika z tego, że
Jeśli funkcja f ciągła w każdym punkcie przedziału ] a, b[, a następnie funkcja f nazywa ciągły w tym przedziale.
FMP.6. W analizie matematycznej pochodna cząstkowa- jedno z uogólnień pojęcia pochodnej na przypadek funkcji wielu zmiennych.
Jawnie pochodna cząstkowa funkcji f definiuje się następująco:
Wykres funkcji z = x² + xy + tak². Pochodna cząstkowa w punkcie (1, 1, 3) przy stałej tak odpowiada kątowi nachylenia linii stycznej równoległej do płaszczyzny xz.
Fragmenty wykresu pokazane powyżej przez samolot tak= 1
Zauważ, że notacja powinna być rozumiana jako cały symbol, w przeciwieństwie do zwykłej pochodnej funkcji jednej zmiennej, którą można przedstawić jako iloraz różnic funkcji i argumentu. Jednak pochodna cząstkowa może być również reprezentowana jako iloczyn różniczki, ale w tym przypadku konieczne jest wskazanie, o którą zmienną funkcja jest inkrementowana: , gdzie dxf jest różniczką cząstkową funkcji f względem zmiennej x. Często niezrozumienie faktu integralności symbolu jest przyczyną błędów i nieporozumień, takich jak np. skrót w wyrażeniu. (Szczegóły patrz Fikhtengolts, „Kurs rachunku różniczkowego i całkowego”).
Geometrycznie pochodna cząstkowa jest pochodną wzdłuż kierunku jednej z osi współrzędnych. Pochodna cząstkowa funkcji f w punkcie wzdłuż współrzędnej x k jest równa pochodnej względem kierunku, w którym stoi jednostka k-te miejsce.
LA 76) Syst. ur-tion nazywa się Cramera, jeśli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych.
LA 77-78) Syst. nazywa się jointem, jeśli ma co najmniej jedno rozwiązanie, a w przeciwnym razie niekompatybilne.
LA 79-80) System przegubów. jest określane jako określone, jeśli ma tylko jedno rozwiązanie, a nieokreślone w przeciwnym razie.
LA 81) ... wyznacznik układu Cramera był różny od zera
LA 169) Aby system był spójny, konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy był równy rządowi macierzy rozszerzonej = .
LA 170) Jeżeli wyznacznik układu Cramera jest różny od zera, to układ jest zdefiniowany, a jego rozwiązanie można znaleźć za pomocą wzorów 
LA 171) 1. Znaleźć rozwiązanie układu równań Cramera metodą macierzową; 2. Napiszmy system w postaci macierzowej ; 3. Oblicz wyznacznik układu korzystając z jego własności: 4. Następnie zapisz macierz odwrotną A-1; 5. Dlatego
LA 172) Jednorodny układ równań liniowych AX = 0. Jednorodny układ jest zawsze niesprzeczny, ponieważ ma co najmniej jedno rozwiązanie
LA 173) Jeżeli przynajmniej jeden z wyznaczników , , nie jest równy zeru, to wszystkie rozwiązania układu (1) będą określone wzorami , , , gdzie t jest dowolną liczbą. Każde indywidualne rozwiązanie uzyskuje się przy określonej wartości t.
LA 174) Zbiór rozwiązań jest jednorodny. systemy nazywane są podstawowymi systemami rozwiązań, jeżeli: 1) są liniowo niezależne; 2) dowolne rozwiązanie układu jest kombinacją liniową rozwiązań.
AG118. Ogólne równanie samolotu to…
Równanie płaszczyzny widoku nazywa się ogólne równanie samolotu.
AG119.Jeżeli płaszczyznę a opisuje się równaniem Ax+D=0, to...
PR 10.Co to jest wartość nieskończenie mała i jakie są jej główne właściwości?
OL 11. Co nazywa się nieskończenie dużym? Jaki jest jej związek
z nieskończenie małymi?
PR12.K Jaką relację ograniczającą nazywamy pierwszą godną uwagi granicą? Pierwszą godną uwagi granicą jest relacja graniczna
OL 13 Jaką relację ograniczającą nazywamy drugą godną uwagi granicą?
OL 14 Jakie znasz pary równoważnych funkcji?
CR64 Czym jest szereg harmoniczny? Pod jakim warunkiem się zbiega?
Seria gatunków nazywa się harmoniczny.
CR 65.Jaka jest suma nieskończenie malejącej progresji?
CH66. Jakie stwierdzenie oznacza pierwsze twierdzenie o porównaniu?
Niech będą dwa dodatnie wiersze
Jeżeli przynajmniej od pewnego momentu (powiedzmy dla ) zachodzi następująca nierówność: , to zbieżność szeregu implikuje zbieżność szeregu lub, co jest tym samym, rozbieżność szeregu wynika z rozbieżności szeregu. seria.
CR67. Jakie stwierdzenie oznacza drugie twierdzenie o porównaniu?
Udawajmy, że . Jeśli istnieje limit
wtedy obie serie zbiegają się lub rozchodzą w tym samym czasie.
CR 45 Sformułuj wymagane kryterium zbieżności szeregu.
Jeśli szereg ma sumę skończoną, nazywa się go zbieżnym.
CR 29 Szereg harmoniczny to szereg postaci…. Zbiega się, gdy
Seria gatunków nazywa się harmoniczny. W ten sposób szereg harmoniczny zbiega się i rozbiega w .
AG 6. Uporządkowany układ liniowo niezależnych wektorów leżących na danej prostej (w danej płaszczyźnie, w przestrzeni) nazywamy bazą na tej prostej (na tej płaszczyźnie, w przestrzeni), jeśli jakikolwiek wektor leżący na danej prostej (w daną płaszczyznę, przestrzeń) ) można przedstawić jako liniową kombinację wektorów tego liniowo niezależnego układu.
Dowolna para wektorów niewspółliniowych leżących w danej płaszczyźnie tworzy bazę na tej płaszczyźnie.
AG 7. Uporządkowany układ liniowo niezależnych wektorów leżących na danej prostej (w danej płaszczyźnie, w przestrzeni) nazywamy bazą na tej prostej (na tej płaszczyźnie, w przestrzeni), jeśli jakikolwiek wektor leżący na danej prostej (w daną płaszczyznę, przestrzeń) ) można przedstawić jako liniową kombinację wektorów tego liniowo niezależnego układu.
Dowolna trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych tworzy bazę w przestrzeni.
AG 8, Współczynniki rozwinięcia wektora względem bazy nazywamy współrzędnymi tego wektora w danej bazie. Aby znaleźć współrzędne wektora o zadanym początku i końcu należy odjąć współrzędne jego początku od współrzędnych końca wektora: if , , then .
AG 9.a) Skonstruujmy wektor (wektor o początku w punkcie i końcu w punkcie nazywamy wektor promienia punktu ).
AG 10. Nie, ponieważ miara radiana kąta między dwoma wektorami jest zawsze zawarta między i
AG 11. Skalar to dowolna liczba rzeczywista. Produkt kropkowy dwa wektory i nazywana jest liczbą równą iloczynowi ich modułów i cosinusowi kąta między nimi.
ZR 12. możemy obliczyć odległość między punktami, wektory bazowe, kąt między wektorami.
AG 13. Iloczyn krzyżowy wektora przez wektor jest trzecim wektorem, który ma następujące właściwości:
Jego długość to 
Wektor jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej wektory i
