Jak rozłożyć kwadratowy trójmian na czynniki: formuła. Kwadratowy trójmian i jego pierwiastki

Wśród różnych wyrażeń, które są brane pod uwagę w algebrze, ważne miejsce są sumami jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Suma jednomianów nazywa się wielomianem. Warunki w wielomianie nazywane są członkami wielomianu. Jednomiany są również określane jako wielomiany, biorąc pod uwagę jednomian jako wielomian składający się z jednego elementu.

Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.

Wszystkie terminy przedstawiamy w postaci jednomianów standardowy widok:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

W wynikowym wielomianie podajemy podobne wyrazy:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszyscy członkowie są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywamy wielomiany postaci standardowej.

Za stopień wielomianu standardowej formie mają największe uprawnienia swoich członków. Tak więc dwumian \(12a^2b - 7b \) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6 \) ma drugi stopień.

Zwykle wyrazy wielomianów postaci standardowej zawierających jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności jej wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) w wielomian w postaci standardowej.

Czasami elementy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy są przeciwieństwem nawiasów, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:

Jeżeli przed nawiasami stawiamy znak +, to wyrazy w nawiasach piszemy tymi samymi znakami.

Jeżeli przed nawiasami stawia się znak „-”, to wyrazy w nawiasach pisze się znakami przeciwnymi.

Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu

Korzystając z rozdzielczej własności mnożenia, można przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego z wyrazów wielomianu.

Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy z wyrazów wielomianu.

Wielokrotnie używaliśmy tej zasady do mnożenia przez sumę.

Produkt wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego składnika jednego wielomianu i każdego składnika drugiego.

Zwykle stosuj następującą zasadę.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, musisz pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.

Skrócone wzory mnożenia. Kwadraty sumy, różnicy i różnicy

Niektóre wyrażenia w przekształceniach algebraicznych muszą być rozpatrywane częściej niż inne. Być może najbardziej powszechnymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i kwadrat różnicy. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się być niepełne, więc na przykład \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy a i b. Jednak kwadrat sumy aib nie jest tak powszechny, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość złożone wyrażenia.

Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) łatwo przekonwertować (uprościć) na wielomiany postaci standardowej, w rzeczywistości spotkałeś się już z takim zadaniem przy mnożeniu wielomianów :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Uzyskane tożsamości są przydatne do zapamiętania i zastosowania bez obliczeń pośrednich. Pomagają w tym krótkie sformułowania werbalne.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - suma do kwadratu jest równa sumie kwadraty i podwójny produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy to suma kwadratów bez podwajania iloczynu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.

Te trzy tożsamości pozwalają w przekształceniach zamienić ich lewe części na prawe i odwrotnie – prawe części na lewe. Najtrudniejszą rzeczą w tym przypadku jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, jakie zmienne a i b są w nich zastąpione. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.

Wielomian to konstrukcja algebraiczna reprezentująca sumę lub różnicę elementów. Wiele gotowych wzorów dotyczy dwumianów, jednak bardziej chodzi o wyprowadzanie nowych dla konstrukcji. wysoki porządek nie ma sprawy. Dozwolone jest, powiedzmy, budowanie trójmian V kwadrat .

Instrukcja

1. Wielomian jest główną reprezentacją rozwiązywania równań algebraicznych i przedstawiania funkcji potęgowych, rozsądnych i innych. Ta struktura obejmuje najczęściej spotykany w szkole kurs przedmiotu kwadrat równanie.

2. Często, gdy masywna ekspresja staje się lżejsza, konieczne staje się budowanie trójmian V kwadrat. Nie ma na to gotowej formuły, ale sposobów jest kilka. Powiedzmy sobie wyobrazić kwadrat trójmian oraz jako iloczyn 2 identycznych wyrażeń.

3. Rozważ przykład: podbij do kwadrat trójmian 3 razy? + 4 x - 8.

4. Zmienić wpis (3 x? + 4 x - 8)? przez (3 x? + 4 x - 8) (3 x? + 4 x - 8) i skorzystaj z reguły mnożenia wielomianów, która polega na kolejnym obliczaniu iloczynów. Najpierw pomnóż pierwszy składnik pierwszego nawiasu przez dowolny wyraz drugiego, potem zrób to samo z drugim i wreszcie z trzecim: (3 x? + 4 x - 8) (3 x? + 4 x - 8) \u003d 3 x ? (3 x? + 4 x - 8) + 4 x (3 x? + 4 x - 8) - 8 (3 x? + 4 x - 8) \u003d 9 x ^ 4 + 12 x? - 24x? + 12 razy? + 16x? – 32x – 24x? – 32x + 64 = 9x^4 + 24x? - 32 razy? - 64 x + 64.

5. Możesz dojść do tego samego wyniku, jeśli pamiętasz, że w wyniku pomnożenia 2 trójmian ov pozostaje sumą sześciu elementów, z których trzy są kwadrat ami dowolnego terminu, a pozostałe trzy - przez ich różne iloczyny parami w formie podwójnej. Ta elementarna formuła wygląda po prostu tak: (a + b + c)? = a? + b? + c? + 2 za b + 2 za do + 2 b do.

6. Zastosuj to do swojego przykładu: (3 x? + 4 x - 8)? = (3x? + 4x + (-8))? =(3x?)? + (4x)? + (-8)? + 2 (3 x?) (4 x) + 2 (3 x?) (-8) + 2 (4 x) (-8) = 9 x^4 + 16 x? + 64 + 24x? - 48x? – 64x = 9x^4 + 24x? - 32 razy? - 64 x + 64.

7. Jak widać, wynik jest taki sam i wymagał mniej manipulacji. Jest to niezwykle ważne, gdy jednomiany same w sobie są trudnymi konstrukcjami. Ta metoda dotyczy trójmian oraz dowolny stopień i dowolną liczbę zmiennych.

Podczas rozwiązywania problemów arytmetycznych i algebraicznych czasami wymagane jest skonstruowanie frakcja V kwadrat. Wszystkim łatwiej jest to zrobić, kiedy frakcja dziesiętny - dość zwykły kalkulator. Jeśli jednak frakcja zwykły lub mieszany, to przy podbiciu takiej liczby do kwadrat mogą pojawić się pewne trudności.

Będziesz potrzebować

kalkulator, komputer, aplikacja excel.

Instrukcja

1. Aby skonstruować ułamek dziesiętny frakcja V kwadrat, weź kalkulator inżynierski, wpisz na nim ten, który jest wbudowany kwadrat frakcja i naciśnij klawisz potęgowania. W większości kalkulatorów ten przycisk jest oznaczony jako „x?”. W standardowym kalkulatorze Windows podbicie do kwadrat wygląda jak „x^2”. Powiedzmy kwadrat ułamek dziesiętny 3,14 będzie równy: 3,14? = 9,8596.

2. Wbudować się kwadrat dziesiętny frakcja na zwykłym (księgowym) kalkulatorze pomnóż tę liczbę przez siebie. Nawiasem mówiąc, w niektórych modelach kalkulatorów prawdopodobieństwo podniesienia liczby do kwadrat nawet jeśli nie ma specjalnego przycisku. Dlatego wcześniej przeczytaj instrukcje dotyczące konkretnego kalkulatora. Czasami przykłady „przebiegłego” potęgowania podane są na tylnej okładce lub na pudełku kalkulatora. Powiedzmy, na wielu kalkulatorach do podnoszenia liczby do kwadrat wystarczy nacisnąć przyciski „x” i „=”.

3. Do erekcji w kwadrat ułamek zwykły (składający się z licznika i mianownika), podnieś do kwadrat osobno licznik i mianownik tego ułamka. To znaczy użyj następującej reguły: (h / s)? = h? /s?, gdzie h to licznik ułamka, s to mianownik ułamka.Przykład: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Jeśli wzniesiony w kwadrat frakcja- mieszany (składa się z części całkowitej i zwykłego ułamka), a następnie z góry doprowadź go do zwykłej postaci. To znaczy zastosuj następującą formułę: (c h / z)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / з?, gdzie ц jest częścią całkowitą ułamka mieszanego.Przykład: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Jeśli wzniesiony w kwadrat zwykłe (nie dziesiętne) ułamki są wprowadzane w sposób ciągły, a następnie użyj MS Excel. Aby to zrobić, wprowadź następującą formułę do jednej z komórek tabeli: \u003d STOPIEŃ (A2; 2) gdzie A2 to adres komórki, do której zostanie wprowadzona podnoszona wartość kwadrat frakcja.W celu poinformowania programu, że wprowadzona liczba powinna być traktowana jako normalna frakcja yu (tj. nie konwertuj go na dziesiętny), wpisz przed frakcja cyfra „0” i znak „spacja”. Oznacza to, że aby wprowadzić, powiedzmy, ułamek 2/3, należy wpisać: „0 2/3” (i nacisnąć Enter). W takim przypadku w wierszu wprowadzania zostanie wyświetlona dziesiętna reprezentacja wprowadzonego ułamka. Wartość i reprezentacja frakcji w klatce zostaną zachowane w oryginalnej formie. Dodatkowo w przypadku zastosowania funkcji matematycznych, których argumentami są ułamki zwykłe, wynik również zostanie przedstawiony jako ułamek. w konsekwencji kwadrat ułamek 2/3 będzie reprezentowany jako 4/9.

Łamigłówki matematyczne są czasami tak uzależniające, że chcesz nauczyć się je tworzyć, a nie tylko je rozwiązywać. Prawdopodobnie najbardziej ekscytującą rzeczą dla początkujących jest stworzenie magicznego kwadratu, czyli kwadratu o bokach nxn, wpisanych w liczby rzeczywiste od 1 do n2, tak aby suma liczb wzdłuż poziomych, pionowych i przekątnych kwadratu była identyczna i równa się jednej liczbie.

Instrukcja

1. Zanim utworzysz swój kwadrat, dowiedz się, że nie ma magicznych kwadratów drugiego rzędu. Tak naprawdę istnieje tylko jeden magiczny kwadrat trzeciego rzędu, resztę jego pochodnych uzyskuje się za pomocą obrotu lub odbicia głównego kwadratu wzdłuż osi symetrii. Im większy porządek, tym większe dopuszczalne kwadraty magiczne tego rzędu.

2. Poznaj podstawy budowania. Zasady konstruowania różnych magicznych kwadratów dzielą się na trzy grupy w zależności od kolejności kwadratu, a mianowicie może być nieparzysty, równy dwukrotności lub poczwórnej liczbie nieparzystej. Obecnie nie ma uniwersalnej metodologii konstruowania wszystkich kwadratów, chociaż rozpowszechnione są różne schematy.

3. Zdobyć przewagę program komputerowy. Pobierz odpowiednią aplikację i wprowadź żądane wartości kwadratu (2-3), program sam generuje niezbędne kombinacje cyfrowe.

4. Zbuduj kwadrat samodzielnie. Weź macierz n x n i skonstruuj w niej schodkowy romb. W nim wypełnij wszystkie kwadraty po lewej stronie i na każdej przekątnej sekwencją liczb nieparzystych.

5. Określ wartość środkowej komórki O. W rogach magicznego kwadratu umieść następujące liczby: prawa górna komórka to O-1, lewa dolna komórka to O + 1, prawa dolna komórka to O-n, a górna lewa komórka to O + n. Wypełnij puste komórki w narożnych trójkątach, stosując raczej prymitywne zasady: w rzędach od lewej do prawej liczby rosną o n + 1, aw kolumnach od góry do dołu liczby rosną o n-1.

6. Znalezienie wszystkich kwadratów rzędu n uzyskuje się tylko dla n \ le 4, dlatego fascynujące są osobne procedury konstruowania kwadratów magicznych o n > 4. Każdemu łatwiej jest obliczyć rzut takiego kwadratu nieparzystego rzędu. Użyj specjalnej formuły, w której musisz prymitywnie umieścić niezbędne dane, aby uzyskać pożądany wynik. Powiedzmy, że stała kwadratu zbudowanego zgodnie ze schematem na ryc. 1 oblicza się ze wzoru: S = 6a1 +105b, gdzie a1 to pierwszy element progresji, b to różnica progresji.

7. Dla kwadratu pokazanego na ryc. 2, wzór: S=6*1+105*2=216

8. Ponadto istnieją algorytmy konstruowania kwadratów pandiagonalnych i doskonałych kwadratów magicznych. Użyj specjalnych programów do budowy tych modeli.

Notatka!
Magiczne lub magiczne kwadraty przyciągały matematyków od najdawniejszych czasów, ale do dziś nie ma prezentacji wszystkich dopuszczalnych kwadratów. Najłatwiejszy magiczny kwadrat według starego Chińska legenda został przedstawiony na grzbiecie dużego świętego żółwia.

„Równanie” w matematyce to zapis, który zawiera pewne operacje matematyczne lub algebraiczne i koniecznie zawiera znak równości. Częściej jednak reprezentacja ta oznacza nie tożsamość w agregacie, a jedynie jego lewą stronę. W związku z tym zadanie wzniesienia równania V kwadrat raczej wszyscy zakładają użycie tej operacji tylko dla jednomianu lub wielomianu po lewej stronie równości.

Instrukcja

1. Pomnóż równanie przez siebie - jest to operacja podnoszenia do drugiego stopnia, czyli w kwadrat. Jeśli wyrażenie początkowe zawiera zmienne w jakimkolwiek stopniu, wykładnik należy podwoić. Powiedzmy (4*x?)? = (4*x?)*(4*x?) = 16*x?. Jeśli wskaźników liczbowych obecnych w równaniu nie można pomnożyć w umyśle, użyj kalkulatora, kalkulatora online lub zrób to na papierze, „w kolumnie”.

2. Jeśli wyrażenie początkowe zawiera kilka dodanych lub odjętych zmiennych ze wskaźnikami numerycznymi (czyli jest wielomianem), to operację mnożenia trzeba będzie przeprowadzić zgodnie z odpowiednimi zasadami. Oznacza to, że cały termin należy pomnożyć równania- pomnożona przez cały wyraz równania-mnożnik, a następnie uprość wynikowe wyrażenie. Fakt, że w twoim przypadku oba równania identyczny, niczego w tej regule nie zmienia. Powiedzmy, że wbudujemy kwadrat jeśli wymagane jest równanie x? + 4-3 * x, to całą operację można zapisać w postaci: (x? + 4-3 * x)? = (x?+4-3*x)*(x?+4-3*x) = x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x?. Otrzymane wyrażenie należy uprościć iw miarę możliwości ułożyć wyrazy potęgowe w malejącej kolejności wykładnika: x?+4*x?-3*x? + 4*x?+16-12*x – 3*x?-12*x+9*x? =x? – 6*x? + 25*x? – 24*x + 16.

3. Formuły konstrukcyjne w kwadrat niektóre szczególnie popularne wyrażenia lepiej zapamiętać. W szkole są one zwykle umieszczane na liście zwanej „skróconymi wzorami mnożenia”. Zawiera w szczególności wzory na podniesienie sumy 2 zmiennych (x + y) do drugiej potęgi? = x?+2*x*y+y?, ich różnice (x-y)? = x?-2*x*y+y?, sumy 3 wyrazów (x+y+z)? = x?+y?+z?+2*x*y+2*y*z+2*x*z i różnica 3 wyrazów (x-y-z)? = x?+y?+z?-2*x*y+2*x*y-2*z.

Powiązane wideo

Metoda podświetlania kwadratu dwumianu służy do ułatwienia wyrażeń masywnych, a także do rozwiązywania równań kwadratowych. W praktyce najczęściej łączy się ją z innymi technikami, w tym faktoryzacją, grupowaniem itp.

Instrukcja

1. Sposób wyboru pełnego kwadratu dwumianu polega na wykorzystaniu 2 wzorów na skrócone mnożenie wielomianów. Formuły te są szczególnymi przypadkami dwumianu Newtona dla drugiego stopnia i pozwalają uprościć żądane wyrażenie, tak aby możliwe było przeprowadzenie dalszej redukcji lub faktoryzacji: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. Zgodnie z tą metodą wymagane jest wyodrębnienie kwadratów 2 jednomianów i sumy/różnicy ich iloczynu podwójnego z początkowego wielomianu. Użycie tej metody ma sens, jeśli najwyższy stopień wyrazów jest nie mniejszy niż 2. Wyobraź sobie, że masz zadanie rozłożyć na czynniki następujące wyrażenie o malejącym stopniu: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. Aby rozwiązać problem, musisz użyć metody wyboru pełnego kwadratu. Okazuje się, że wyrażenie składa się z 2 jednomianów ze zmiennymi parzystego stopnia. W konsekwencji dowolne z nich można oznaczać przez m i n:m = 2 y²; n = z2.

4. Teraz musimy sprowadzić początkowe wyrażenie do postaci (m + n)². Dokładniej zawiera kwadraty tych terminów, ale brakuje mu podwójnego iloczynu. Musisz dodać to nienaturalnie, a następnie odjąć: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. W otrzymanym wyrażeniu widać wzór na różnicę kwadratów: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Okazuje się, że metoda składa się z 2 etapów: wyboru jednomianów pełnego kwadratu m i n, dodawania i odejmowania ich iloczynu podwójnego. Metodę wyodrębniania pełnego kwadratu dwumianu można stosować nie tylko samodzielnie, ale także w połączeniu z innymi metodami: wzięciem w nawias czynnika uniwersalnego, zastąpieniem zmiennej, grupowaniem terminów itp.

7. Przykład 2. Wybierz pełny kwadrat w wyrażeniu: 4 y² + 2 y z + z² Rozwiązanie 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z)² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. Metoda służy do wyszukiwania korzeni równanie kwadratowe. Lewa strona równanie jest trójmianem postaci ay? + b y + c, gdzie a, b i c to jakieś liczby, a a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2 a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a)) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Obliczenia te prowadzą do reprezentacji dyskryminatora, który jest równy (b? - 4 a c)/(4 a), a pierwiastki równania to: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ±? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

Istnieje kilka sposobów rozwiązania kwadrat równania, zwłaszcza dobrze znane - wyizolować z trójmian kwadrat dwumianowy. Metoda ta prowadzi do obliczenia dyskryminatora i zapewnia jednoczesne poszukiwanie obu pierwiastków.

Instrukcja

1. Równanie algebraiczne drugiego stopnia nazywa się równaniem kwadratowym. Klasyczną postacią lewej strony tego równania jest wielomian a x? + b x + do. Aby wyprowadzić wzór na rozwiązanie, należy dokonać wyboru trójmian kwadrat dwumianowy. Można to zrobić na dwa sposoby. Przenieś wolnego członka z do prawa strona ze znakiem minus: a x? + bx = -c.

2. Pomnóż obie strony równania przez 4 a: 4 a? X? + 4 za b x = -4 za do.

3. Dodaj wyrażenie b?:4 a? X? + 4 za b x + b? = -4 za c + b?.

4. Najwyraźniej po lewej stronie pojawiła się rozwinięta forma kwadratu dwumianu, składająca się z wyrazów 2 a x i b. Zegnij podany trójmian do pełnego kwadratu: (2 a x + b)? =b? – 4 ac? 2 za x + b \u003d ±? (b? - 4 za c)

5. Gdzie: x1,2 = (-b ± ? (b? - 4 a c)) / 2 a. Różnica pod pierwiastkiem nazywana jest dyskryminatorem, a wzór jest dobrze znany do rozwiązywania podobnych równań.

6. Druga metoda implikuje wybór podwójnego iloczynu elementów z jednomianu pierwszego stopnia. Te. konieczne jest ustalenie z sumy postaci b x, jakie współczynniki można zastosować dla pełnego kwadratu. Ta metoda lepiej zobaczyć na przykładzie: x? + 4 x + 13 = 0

7. Spójrz na jednomian 4 x. Najwyraźniej można to przedstawić jako 2 (2 x), tj. dwukrotność iloczynu x i 2. W związku z tym konieczne jest wybranie kwadratu sumy (x + 2). Aby dopełnić obraz, brakuje wyrazu 4, który można wziąść z wyrazu swobodnego: x? + 4x + 4 - 9? (x + 2)? = 9

8. Weźmy pierwiastek kwadratowy: x + 2 = ±3 ? x1 = 1; x2 = -5.

9. Metoda wyodrębniania kwadratu dwumianu jest szeroko stosowana w celu ułatwienia masowania wyrażenia algebraiczne na równi z innymi metodami: grupowaniem, podstawieniem zmiennych, wyjęciem czynnika uniwersalnego z nawiasu itp. Idealny kwadrat jest jedną ze wzorów na mnożenie zredukowane i szczególnym przypadkiem dwumianu Newtona.

Umiejętność mentalnego liczenia kwadratów liczb może być przydatna w różnych sytuacjach życiowych, na przykład do szybkiej oceny transakcji inwestycyjnych, do obliczania powierzchni i objętości oraz w wielu innych przypadkach. Ponadto umiejętność liczenia kwadratów w głowie może służyć jako demonstracja twoich zdolności intelektualnych. W tym artykule przeanalizujemy metody i algorytmy, które pozwalają nauczyć się tej umiejętności.

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy

Jeden z najłatwiejszych sposobów budowania liczby dwucyfrowe kwadrat to technika oparta na wykorzystaniu wzorów kwadratu sumy i kwadratu różnicy:

Aby użyć tej metody, musisz rozłożyć liczbę dwucyfrową na sumę wielokrotności 10 i liczby mniejszej niż 10. Na przykład:

37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Prawie wszystkie techniki podniesienia do kwadratu (opisane poniżej) opierają się na wzorach sumy do kwadratu i różnicy do kwadratu. Wzory te umożliwiły zidentyfikowanie szeregu algorytmów, które upraszczają podnoszenie do kwadratu w niektórych szczególnych przypadkach.

Plac blisko znanego placu

Jeśli liczba, którą podwyższamy do kwadratu, jest zbliżona do liczby, którą znamy do kwadratu, możemy zastosować jedną z czterech technik prostego liczenia w pamięci:

jeszcze 1:

Metodologia: do kwadratu liczby o jeden mniejszej dodaj samą liczbę i liczbę o jeden mniejszą.

31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

1 mniej:

Metodologia: od kwadratu liczby jeden więcej odejmij samą liczbę i liczbę jeszcze jeden.

19 2 = 20 2 - 19 - 20 = 400 - 39 = 361
24 2 = 25 2 - 24 - 25 = 625 - 25 - 24 = 576

2 więcej

Metodologia: do kwadratu liczby o 2 mniejszej dodaj dwukrotność sumy samej liczby i liczby o 2 mniejszej.

22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

2 mniej

Metodologia: od kwadratu liczby 2 więcej odejmij podwójną sumę samej liczby i liczby 2 więcej.

48 2 = 50 2 - 2*(50+48) = 2500 - 196 = 2 304
98 2 = 100 2 - 2*(100+98) = 10 000 - 396 = 9 604

Wszystkie te techniki można łatwo udowodnić, wyprowadzając algorytmy ze wzorów sumy kwadratów i różnic do kwadratów (które omówiono powyżej).

Kwadrat liczb kończących się na 5

Do kwadratu liczb kończących się na 5. Algorytm jest prosty. Liczbę do ostatnich pięciu pomnóż przez tę samą liczbę plus jeden. Do pozostałej liczby dodajemy 25.

15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Dotyczy to również bardziej złożonych przykładów:

155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Kwadratowe liczby bliskie 50

Policz kwadraty liczb, które są w środku zakres od 40 do 60, może być bardzo w prosty sposób. Algorytm jest następujący: dodajemy (lub odejmujemy) do 25 tyle, o ile liczba jest większa (lub mniejsza) od 50. Mnożymy tę sumę (lub różnicę) przez 100. Do tego iloczynu dodajemy kwadrat różnicy między liczba jest podniesiona do kwadratu i pięćdziesiąt. Zobacz, jak działa algorytm na przykładach:

44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Trzycyfrowy kwadrat liczbowy

Podnoszenie do kwadratu liczb trzycyfrowych można wykonać za pomocą jednego ze skróconych wzorów mnożenia:

Nie można powiedzieć, że ta metoda jest wygodna do liczenia ustnego, ale w szczególności trudne przypadki można przyjąć:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Szkolenie

Jeśli chcesz poprawić swoje umiejętności w zakresie tematu tej lekcji, możesz skorzystać z następującej gry. Na otrzymane punkty ma wpływ poprawność udzielonych odpowiedzi oraz czas poświęcony na zaliczenie. Należy pamiętać, że liczby są za każdym razem inne.

Rozważmy teraz podnoszenie dwumianu do kwadratu i stosując arytmetyczny punkt widzenia będziemy mówić o kwadracie sumy, tj. (a + b)² i kwadracie różnicy dwóch liczb, tj. (a - b)² .

Ponieważ (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

wtedy znajdujemy: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², tj.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Warto zapamiętać ten wynik zarówno w postaci powyższej równości, jak i słownie: kwadrat sumy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę i drugą liczbę, plus kwadrat drugiej liczby.

Znając ten wynik możemy od razu napisać np.:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Przyjrzyjmy się drugiemu z przykładów. Musimy podnieść do kwadratu sumę dwóch liczb: pierwsza liczba to 3ab, druga to 1. Powinno się okazać: 1) kwadrat pierwszej liczby, czyli (3ab)², który jest równy 9a²b²; 2) iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę i drugą, tj. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) kwadrat drugiej liczby, tj. 1² \u003d 1 - wszystkie te trzy wyrazy należy dodać do siebie.

W ten sam sposób otrzymujemy wzór na podniesienie do kwadratu różnicy dwóch liczb, czyli dla (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

to znaczy kwadrat różnicy dwóch liczb jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę i drugą plus kwadrat drugiej liczby.

Znając ten wynik, możemy od razu wykonać podnoszenie do kwadratu dwumianów reprezentujących z arytmetycznego punktu widzenia różnicę dwóch liczb.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 itd.

Wyjaśnijmy drugi przykład. Tutaj mamy w nawiasach różnicę dwóch liczb: pierwszej liczby 5ab 3 i drugiej liczby 3a 2 b. Wynik powinien być: 1) kwadratem pierwszej liczby, tj. (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) iloczynem dwóch przez pierwszą i drugą liczbę, tj. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 i 3) kwadrat drugiej liczby, tj. (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; pierwszy i trzeci wyraz należy przyjąć z plusem, a drugi z minusem, otrzymujemy 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Aby wyjaśnić czwarty przykład, zauważmy tylko, że 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... wykładnik należy pomnożyć przez 2 i 2) iloczyn dwóch przez pierwszą liczbę i przez drugą = 2 ∙ za n-1 ∙ za = 2a n .

Jeśli przyjmiemy punkt widzenia algebry, to obie równości: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² i 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² wyrażają to samo, a mianowicie: kwadrat dwumianu jest równy kwadratowi pierwszego wyrazu plus iloczyn liczby (+2) razy pierwszy wyraz i drugi plus kwadrat drugiego wyrazu. Jest to jasne, ponieważ nasze równości można zapisać jako:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

W niektórych przypadkach wygodnie jest interpretować uzyskane równości w następujący sposób:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Tutaj dwumian jest podniesiony do kwadratu, którego pierwszy wyraz = -4a, a drugi = -3b. Następnie otrzymujemy (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² i na koniec:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Byłoby również możliwe uzyskanie i zapamiętanie wzoru na podniesienie kwadratu trójmianu, czteromianu i ogólnie dowolnego wielomianu. Jednak tego nie zrobimy, ponieważ rzadko musimy korzystać z tych wzorów, a jeśli potrzebujemy podnieść do kwadratu dowolny wielomian (poza dwumianem), to sprowadzimy sprawę do mnożenia. Na przykład:

31. Zastosuj otrzymane 3 równości, a mianowicie:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

do arytmetyki.

Niech to będzie 41 ∙ 39. Wtedy możemy to przedstawić w postaci (40 + 1) (40 - 1) i sprowadzić sprawę do pierwszej równości - otrzymujemy 40² - 1 lub 1600 - 1 = 1599. Dzięki temu łatwo jest wykonywać mnożenia, takie jak 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 itd.

Niech to będzie 41 ∙ 41; to to samo co 41² lub (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Również 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Jeśli potrzebujesz 37 ∙ 37, to jest równe (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Takie mnożenie (lub podnoszenie do kwadratu liczb dwucyfrowych) jest łatwe do wykonania w umyśle, przy pewnych umiejętnościach.

Podczas rozwiązywania problemów arytmetycznych i algebraicznych czasami wymagane jest zbudowanie frakcja V kwadrat. Najłatwiej to zrobić kiedy frakcja dziesiętny - wystarczy zwykły kalkulator. Jeśli jednak frakcja zwykły lub mieszany, to przy podbiciu takiej liczby do kwadrat mogą pojawić się pewne trudności.

Będziesz potrzebować

kalkulator, komputer, aplikacja excel.

Instrukcja

Aby podnieść ułamek dziesiętny frakcja V kwadrat, weź inżynierską, wybierz, że jest wbudowana kwadrat frakcja i naciśnij klawisz potęgowania. W większości kalkulatorów ten przycisk jest oznaczony jako „x²”. W standardowym kalkulatorze Windows podbicie do kwadrat wygląda jak „x^2”. Na przykład, kwadrat ułamek dziesiętny 3,14 będzie równy: 3,14² = 9,8596.

podnieść do kwadrat dziesiętny frakcja na zwykłym (księgowym) kalkulatorze pomnóż tę liczbę przez siebie. Nawiasem mówiąc, w niektórych modelach kalkulatorów można podnieść liczbę do kwadrat nawet jeśli nie ma dedykowanego przycisku. Dlatego najpierw przeczytaj instrukcje dotyczące konkretnego kalkulatora. Czasami „podstępne” potęgi są podane na tylnej okładce lub na kalkulatorze. Na przykład na wielu kalkulatorach do podnoszenia liczby do kwadrat wystarczy nacisnąć przyciski „x” i „=”.

Do erekcji w kwadrat ułamek zwykły (składający się z licznika i mianownika), podnieś do kwadrat osobno licznik i mianownik tego ułamka. To znaczy użyj następującej reguły: (h / z)² = h² / z², gdzie h to licznik ułamka, z to mianownik ułamka. Przykład: (3/4)² = 3² / 4² = 9 /16.

Jeśli wzniesiony w kwadrat frakcja- mieszany (składa się z części całkowitej i ułamka zwykłego), a następnie najpierw doprowadź go do zwykły wygląd. To znaczy zastosuj następującą formułę: (ts h / s)² \u003d ((ts * s + h) / s) ² \u003d (ts * s + h) ² / s², gdzie ts jest całkowitą częścią ułamek mieszany Przykład: (3 2/5)² = ((3*5+2) / 5)² = (3*5+2)² / 5² = 17² / 5² = 289/25 = 11 14/25.

jeśli w kwadrat(nie) ułamki są stałe, to użyj MS Excel. Aby to zrobić, wprowadź następującą formułę do jednej z tabel: \u003d STOPIEŃ (A2; 2) gdzie A2 to adres komórki, do której zostanie wprowadzona podnoszona wartość kwadrat frakcja.Aby powiedzieć programowi, że wprowadzona liczba powinna być traktowana jako frakcja yu (tj. nie konwertuj go na dziesiętny), wpisz przed frakcja cyfra „0” i znak „spacja”. Oznacza to, że aby wprowadzić na przykład ułamek 2/3, należy wpisać: „0 2/3” (i nacisnąć Enter). W takim przypadku w wierszu wprowadzania zostanie wyświetlona dziesiętna reprezentacja wprowadzonego ułamka. Wartość i reprezentacja ułamka bezpośrednio w zostaną zachowane w oryginalnej formie. Ponadto w przypadku korzystania z funkcji matematycznych, których argumentami są ułamki, wynik będzie również reprezentowany jako ułamek. Stąd kwadrat ułamek 2/3 będzie reprezentowany jako 4/9.