Siatki węzłów. Metoda węzłów w zadaniu B5 Dla siatki potrójnych płaskich węzłów

Istnieje cudowna formuła, która pozwala liczyć obszar wielokąta na siatce współrzędnych prawie bez błędów. To nawet nie jest formuła, to rzeczywistość twierdzenie. Na pierwszy rzut oka może się to wydawać skomplikowane. Ale wystarczy rozwiązać kilka zadań - a zrozumiesz, jak fajna jest ta funkcja. Więc śmiało!

Zacznijmy od nowej definicji:

Węzłem stosu współrzędnych jest dowolny punkt leżący na przecięciu pionowych i poziomych linii tej siatki.

Przeznaczenie:

Na pierwszym zdjęciu węzły w ogóle nie są zaznaczone. Drugi ma 4 węzły. Wreszcie na trzecim obrazie zaznaczono wszystkie 16 węzłów.

Co to ma wspólnego z problemem B5? Faktem jest, że wierzchołki wielokąta w takich problemach Zawsze leżeć w węzłach siatki. W konsekwencji działa dla nich następujące twierdzenie:

Twierdzenie. Rozważ wielokąt na siatce współrzędnych, którego wierzchołki leżą w węzłach tej siatki. Wtedy obszar wielokąta wynosi:

gdzie n to liczba węzłów wewnątrz danego wielokąta, k to liczba węzłów leżących na jego granicy (węzłów granicznych).

Jako przykład rozważ zwykły trójkąt na siatce współrzędnych i spróbuj zaznaczyć węzły wewnętrzne i graniczne.

Pierwsze zdjęcie przedstawia zwykły trójkąt. Na drugim rysunku zaznaczono jego wewnętrzne węzły, których liczba wynosi n = 10. Na trzecim rysunku zaznaczono węzły leżące na granicy, jest ich łącznie k = 6.

Być może wielu czytelników nie rozumie, jak policzyć liczby n i k. Zacznij od węzłów wewnętrznych. Tutaj wszystko jest oczywiste: malujemy trójkąt ołówkiem i sprawdzamy, ile węzłów jest zacienionych.

W przypadku węzłów granicznych jest to trochę bardziej skomplikowane. granica wielokąta - zamknięta linia przerywana, która przecina siatkę współrzędnych w wielu punktach. Najprościej jest zaznaczyć jakiś punkt "startowy", a potem obejść resztę.

Węzłami granicznymi będą tylko te punkty na polilinii, w których jednocześnie się przecinają trzy linie:

1. Właściwie przerywana linia;
2. Pozioma linia siatki;
3. pionowa linia.

Zobaczmy, jak to wszystko działa w rzeczywistych problemach.

Zadanie. Znajdź obszar trójkąta, jeśli rozmiar komórki wynosi 1 x 1 cm:

Najpierw zaznaczmy węzły leżące wewnątrz trójkąta, a także na jego granicy:

Okazuje się, że jest tylko jeden węzeł wewnętrzny: n = 1. Jest sześć węzłów granicznych: trzy pokrywają się z wierzchołkami trójkąta, a trzy kolejne leżą po bokach. Razem k = 6.

Teraz obliczamy pole za pomocą wzoru:

To wszystko! Problem rozwiązany.

Zadanie. Znajdź obszar czworoboku przedstawiony na papierze w kratkę o wielkości komórki 1 cm na 1 cm Podaj odpowiedź w centymetrach kwadratowych.

Ponownie zaznaczamy węzły wewnętrzne i graniczne. Wewnętrznych węzłów jest n = 2. Węzły graniczne: k = 7, w tym 4 wierzchołki czworoboku, a 3 kolejne leżą po bokach.

Pozostaje zastąpić liczby n i k we wzorze obszaru:

Zwróć uwagę na ostatni przykład. Problem ten został faktycznie zaproponowany w pracy diagnostycznej w 2012 roku. Jeśli pracujesz zgodnie ze standardowym schematem, będziesz musiał wykonać wiele dodatkowych konstrukcji. A metodą węzłów wszystko rozwiązuje się prawie ustnie.

Ważna uwaga dotycząca obszarów

Ale formuła to nie wszystko. Przepiszmy trochę formułę, umieszczając wyrazy po prawej stronie do wspólnego mianownika. Otrzymujemy:

Liczby n i k to liczba węzłów, zawsze są to liczby całkowite. Zatem cały licznik jest również liczbą całkowitą. Dzielimy to przez 2, co implikuje ważny fakt:

Pole jest zawsze wyrażone liczba całkowita lub ułamek. Co więcej, na końcu ułamka zawsze jest „pięć dziesiątych”: 10,5; 17,5 itd.

Zatem pole w zadaniu B5 jest zawsze wyrażone jako liczba całkowita lub ułamek postaci ***.5. Jeśli odpowiedź jest inna, oznacza to, że gdzieś popełniono błąd. Miej to na uwadze, gdy będziesz przystępować do prawdziwego egzaminu z matematyki!

Są lekkie, ażurowe, z wyraźnym wzorem węzła oczek tylko wtedy, gdy są wykonane z równej i gładkiej nici (nie strzępią się): jest to sznurowa żyłka wędkarska, nici lniane i mocno skręcona wełna. Poprzez zmniejszanie lub zwiększanie odległości między węzłami, sieci są oplatane wokół obiektów trójwymiarowych, dokładnie powtarzając ich kształt. Ale przede wszystkim monotonna, dyskretna faktura siatki służy jako tło dla głównego wzoru.

Istnieją pewne zasady tkania sieci:

• im większe odstępy między nitkami zawieszonymi na podstawie, tym delikatniejsza siatka;
• liczba nitek zawieszonych na osnowie musi być wielokrotnością liczby nitek w jednym węźle;
• nitki guzowate i robocze sęków utkane w szachownicę zmieniają miejsca po każdym rzędzie, dzięki czemu zużywają się równomiernie;
• liczba rzędów jest liczona od bocznej krawędzi siatki (od góry do dołu) wzdłuż skrajnych węzłów, biorąc pod uwagę, że węzły rzędów nieparzystych znajdują się na samej krawędzi, a parzyste są przesunięte głębiej;
• liczba wiszących nitek zależy od motywu wykroju (motywem jest pewna liczba supełków powtarzających się rytmicznie we wykroju).

Siatka prostych węzłów (ryc. 164, a).

Końce wiszących nici do tkania siatki powinny być 2 razy dłuższe niż wysokość gotowego produktu. Możesz pracować od prawej do lewej i od lewej do prawej.

Przymocuj 4 nitki o długości 1 m do podstawy w odległości 2-3 cm od siebie, składając je na pół (wyszło 8 nitek).

1. rząd - cofając się od podstawy o 1 cm, zawiąż jeden lewy prosty węzeł na każdej parze nici (ryc. 164, b) i przypnij je szpilką do połowy - okazało się, że 4 węzły (ryc. 164, c) ).

2. rząd - odłóż skrajną lewą nić i na następnych 2 (1 nić z węzłów 1. rzędu) zawiąż lewy prosty węzeł, schodząc z 1. rzędu o 2-3 cm, a następnie na każdych kolejnych 2 nitkach splataj węzły , umieszczając je na tym samym poziomie co pierwszy węzeł. Ostatni prawy wątek pozostał wolny. Powstały 3 węzły, które są przesunięte w stosunku do węzłów pierwszego rzędu.

Te węzły są również przypięte do poduszki.

3-ci rząd - włóż 1 skrajnie wolną nitkę i 2-3 cm poniżej 2-go rzędu zawiąż prosty supeł na każdej parze nici. Powstały 4 supełki (jak w 1. rzędzie).

4-ty rząd - splot jak 2-gi, starając się zachować równe odległości między rzędami.

Ryc. 164, 165 i 166:

Aby siatka nie ślizgała się po poduszce, nie zapomnij przypiąć węzłów szpilkami - pomoże to uniknąć przekrzywionych rzędów. Upewnij się, że luźne nitki wzdłuż krawędzi siatki są tego samego rozmiaru we wszystkich rzędach.

Siatkę można utkać w kółko, jeśli zawiążesz końce osnowy. W tym przypadku nie ma wolnych nici, ponieważ wszystkie nici biorą udział w tkaniu każdego rzędu.

Siatka splecionych prostych węzłów (ryc. 165, a).

W tym wzorze 2 proste węzły są zawiązywane na co 2 nitki, przeplatając je ze sobą: najpierw prawy prosty węzeł jest zawiązany (nie ciasno) na lewej nitce, następnie prawa nić jest wciągana w pętlę luźnego węzła (ryc. 165, b) i zawiązać lewy prosty węzeł, zaciskając prawy. Oba węzły muszą przeplatać się symetrycznie (ryc. 165, c) - takie przeplatanie nazywa się „węzłem miłości”.

Siatka węzłów krawata (ryc. 166).

Liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 2. Ich długość powinna być 2 razy większa od wysokości siatki.

Siatki z węzłów ormiańskich.

Obliczenia dla zestawu nici są takie same jak w poprzedniej siatce, jeśli węzły są zawiązane na 2 nitkach (ryc. 167, a). Inna wersja wzoru (ryc. 167, b): węzły w nieparzystych rzędach wykonuje się na 3 nitkach, w parzystych - na 2. Liczbę końców wiszących nici w tym wzorze należy podzielić przez 3. Ich długość wynosi nie to samo (ryc. 168): krótkie nici mają równą wysokość siatki, długie powinny być 2 razy większe.

Schemat 167-168:

Siatki węzłów pętelkowych.

Są ażurowe lub gęstsze w zależności od liczby węzłów w każdym łączu: im mniej węzłów, tym gęstsza siatka.

Siatka pojedynczych węzłów prawych

(gęsty - ryc. 169). Liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 2, ich długość powinna być 2 razy większa od wysokości siatki.

Schemat 169-172:

Do siatki potrójnych jednostronnych węzłów

(wszystkie 3 prawe) - ryc. 170, liczba końców nitek wiszących jest wielokrotnością 4. Długość nitek nieparzystych powinna być równa wysokości siatki, parzystych - 2,5 razy dłuższa.

Ażurowa siatka z połączenia węzłów prawej i lewej pętli

(ryc. 171) są wykonane z nitek 2,5 razy dłuższych niż ich wysokość, ich liczba powinna być podzielna przez 2.

Ażurowa siatka z kwadratowymi komórkami

(ryc. 172) są utkane z łańcuchów „węży”, z których każdy składa się z 4-6 pętli. „Węże” są połączone w pary podwójnym płaskim węzłem. Liczba końcówek nitek wiszących do siatki jest wielokrotnością 4, ich długość musi być 3 razy większa od wysokości siatki.

Siatki z węzłów „frywolitki”.

Węzły w nich są wiązane pojedynczą nitką (ryc. 173, a) i podwójną nitką (ryc. 173, b). Długość wiszących nici w tych dwóch siatkach powinna być 3 razy większa od wysokości siatki. Liczba końców dla pierwszej siatki musi być podzielna przez 2, dla drugiej - przez 4.

Schemat 173-176:

Siatka-siatka z węzłów „frywolitki” (ryc. 174).

Tkana jest poprzez naprzemienne węzły frywolitki prawy i lewy: w rzędach nieparzystych co 2 nitki zawiązujemy lewym węzłem, w parzystych rzędach prawe węzły zawiązujemy na te same węzły, wykorzystując nitki robocze z przeciwległego węzła poprzedniego rzędu . W tym przypadku węzły nie są ułożone we wzór szachownicy, ale w pionowych rzędach, jeden pod drugim. Liczba końców nitek wiszących jest wielokrotnością 2 plus 1 dla symetrii, nitki zawiązane muszą być równe długości oczka, nitki robocze muszą być 2,5 razy dłuższe.

Siatki z węzłów powtórzeń.

Są tkane za pomocą ukośnych i pionowych węzłów rypsowych.

Podczas tkania siatki z dużymi komórkami (ryc. 175, a) co 2 nitki wykonuje się nieparzyste rzędy, wiążąc je ukośnymi węzłami od lewej do prawej (prawa nić w lewej ręce jest zawiązana, lewa nić w prawej ręka pracuje). W parzystych rzędach zmieniają się funkcje nici: węzły z poprzedniego rzędu zaczynają działać. Węzły są wykonywane od prawej do lewej.

Jeśli węzły siatki są umieszczone blisko siebie, wówczas powierzchnia tkania jest dokładnie zarezerwowana (ryc. 175, b). Ta siatka nazywa się tweed i boucle. Liczba końców wiszących nitek musi być podzielna przez 2, a ich długość musi być 4 razy większa od wysokości siatki.

Tkanie siatki z trójkątnymi komórkami z pionowych węzłów rep

(Ryc. 176) jest podobny do tkania poziomej bridy z pionowych węzłów rep (patrz ryc. 38, c).

Końce wiszących nici powinny mieć taką samą długość jak oczko, ich liczba powinna być podzielna przez 2. Przed pracą wszystkie nici są podzielone na 2 - guzkowe, aw 1. rzędzie z dodatkową nitką jako roboczą wątek, do każdej pary wątków wstawiany jest jeden pionowy wątek rep (od prawej do lewej). W następnym rzędzie zawiązane nici są ponownie rozmieszczone we wzór szachownicy, a każda para zawiązanych nici jest pleciona od lewej do prawej. Nić roboczą do tkania można przyciąć w razie potrzeby.

Siatki płaskich węzłów.

Są bardzo popularne w tkaniu. Jedne przypominają koronkę, inne, bardzo gęste, mają misterny splot nitek.

Tkana jest gęsta siatka pojedynczych płaskich węzłów, wiążących węzły blisko siebie. Siatka może być rzadsza i wytłoczona (ryc. 177), jeśli każde ogniwo jest utkane z kilku węzłów (powinno ich być wystarczająco dużo, aby gajówka mogła obrócić się na krawędzi).

Liczba końcówek wiszących nitek dla obu siatek jest wielokrotnością 4. Długość końców dla pierwszej siatki powinna być 3-krotna, a dla drugiej 5-krotna jej wysokość.

Schemat 177-180:

Siatka podwójnych płaskich sęków - „szachownica” (ryc. 178)

Ma wyraźniejszą teksturę, jeśli poprzeczki wszystkich węzłów znajdują się po jednej stronie. Liczba końców wiszących nitek jest wielokrotnością 4. Ich długość powinna być 4 razy większa od wysokości siatki.

Konstrukcja podwójnego płaskiego węzła pozwala utkać siatkę bez zwisających nitek na osnowie. Zamiast tego stosuje się szpilki: nici są składane na pół, przypinane pętelką do poduszki, a na co 4 z nich zawiązywane są podwójne płaskie węzły (ryc. 179).

Technikę tę stosuje się przy tkaniu odzieży, szali, tj. gdy potrzebna jest elastyczna krawędź.

Do tkania siatki sparowanych podwójnych płaskich węzłów na 6 nitkach

(ryc. 180) końce wiszących nici powinny być 3 razy dłuższe niż wysokość siatki, a ich liczba powinna być podzielna przez 6. Najpierw na środkowych 4 nitkach (2, 3, 4 i 5), a robotnicy zdejmują nitki (2 i 5), następnie zawiązują drugi supeł na tych samych zawiązanych (3 i 4) wolnych nitkach (1 i 6). Rozpoczynając i kończąc następny rząd, pierwsze i ostatnie 3 nici są przenoszone na boki, środkowe nici są redystrybuowane na szóstki.

Na tej samej zasadzie tkana jest siatka podwójnych płaskich węzłów połączonych 3 (ryc. 181). Liczba końców wiszących nitek jest wielokrotnością 8, ich długość powinna być 2-3 razy większa od wysokości siatki.

Siatka ażurowych mierników (ryc. 182) jest wykonywana na tej samej liczbie nici co poprzednia, ale nici są redystrybuowane po zawiązaniu 2 grup po 3 węzły na tych samych guzowatych w odstępie między grupami 0,5 cm.

Schemat 181-184:

W siatce podwójnych płaskich sęków - "polotnianka"

(ryc. 183) - węzły nie są ułożone naprzemiennie, ale jeden pod drugim. Ilość końcówek wiszących nitek jest wielokrotnością 4, ich długość powinna być 3 razy większa od wysokości siatki.

Grid-merezhka

(ryc. 184) wykonuje się poprzez skrzyżowanie nici roboczych w każdym rzędzie. Długość nici roboczych jest 4-6 razy dłuższa niż nici sferoidalnych, długość nitek sferoidalnych jest równa wysokości oczek. Liczba końców nitek zawieszonych na podstawie powinna być podzielna przez 4. Upewnij się, że splot nitek roboczych jest wszędzie taki sam: na prawo od lewej.

Do siatek z dużymi komórkami podwójnych płaskich węzłów

(ryc. 185) liczba końców nitek wiszących jest wielokrotnością 6 plus 4 nitki dla symetrii wzoru, długość nitek zawiązanych (2, 3, 5 i 6) powinna być równa wysokości siatka, nitki robocze (1. i 4.) są 2 razy dłuższe.

Schemat 185-188

Do siatki potrójnych płaskich węzłów

(ryc. 186) liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 4, ich długość powinna być 4-krotnością wysokości siatki.

Dla siatki płaskich złożonych węzłów

(ryc. 187) liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 6, ich długość powinna być 4-krotnością wysokości siatki.

Do siatki z „muchami”

(ryc. 188) liczba końców wiszących nici powinna być podzielna przez 4, ich długość powinna być 3,5-4 razy większa od wysokości siatki. „Mucha” jest tkana z 4 nitek (1. i 4. - robotnice, 2. i 3. - wiązane): najpierw zawiązany jest lewy pojedynczy płaski węzeł, następnie prawy prosty węzeł jest zawiązany na 2 wiązane (ryc. 189, a ) a pod nimi - podwójny płaski węzeł z lewą poprzeczką (ryc. 189, b). Jeśli „muchy” są wykonywane na grubych nitkach, zamiast podwójnego płaskiego węzła zawiązany jest prawy pojedynczy płaski węzeł (ryc. 189, c).

Schemat 189-191

Siatka chińskich węzłów (ryc. 190).

Liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 2, ich długość powinna być 3 razy większa od wysokości oczka (patrz technika wiązania węzłów na ryc. 139, a, b). Jeśli zawiesisz nici, zmieniając je kolorami, nieparzyste rzędy siatki będą miały dwukolorowe sęki, a parzyste rzędy będą jednego koloru (ryc. 191).

Siatka sęków „Josephine” (ryc. 192).

Lepiej jest wykonać to z wiązek nici lub pojedynczych, ale grubych nici. Liczba końców wiszących nitek jest wielokrotnością 2, ich długość musi być 4 razy większa od wysokości siatki.

Schemat 192-193:

Siatka warkoczy (ryc. 193).

Jest to dość skomplikowane w wykonaniu, ponieważ podczas tkania trudno jest zachować tę samą odległość między warkoczami. Liczba końców wiszących nici jest wielokrotnością 2, ich długość powinna być 4-5 razy większa od wysokości siatki.

Geometryczne fragmenty siatki.

Rytm węzłów siatki można łatwo przebudować na kształty geometryczne: sześciokąty (ryc. 194, a), trójkąty (ryc. 194, b), romby (ryc. 194, c).

Technika ich tkania jest bardzo prosta. Na przykład, jeśli tkany jest trójkąt, to na początku i na końcu każdego nowego rzędu 2 skrajne nici nie są dziane, a wtedy w rzędzie będzie o 1 węzeł mniej niż w poprzednim. Więc splot, aż pozostanie tylko 1 supeł. W przypadku tkania trójkąta rozkład węzłów w rzędach jest oznaczony liczbami, na przykład 3, 2, 1. Jeśli wykonywany jest romb, zaczynają się one od 1 węzła: 1 podwójny płaski węzeł jest zawiązany na 4 środkowych nitkach, nici są rozmieszczone pod nim o 2 i dodając 2 kolejne wolne od krawędzi, zawiąż pod pierwszym węzłem 2 podwójne płaskie w szachownicę. W kolejnych rzędach również się dołączają

2 nitki w lewo i w prawo, w wyniku czego płótno rozszerza się po każdym rzędzie o 1 węzeł. Po ukończeniu górnej połowy rombu utkaj dolną. Liczba sęków w rzędach: 1,2, 3,2, 1.

Przykład innego rozkładu węzłów w rzędach 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 - zgodnie z tą relacją romby są tkane z ormiańskiego (ryc. 195, a), ukośnego rep (ryc. 195, b) i pionierskie węzły (ryc. 195, c) oraz z płaskich łańcuchów (ryc. 195, d).

Schemat 194 - 195

Węzły siatki układają się harmonijnie w poziomie

(ryc. 196, a) i pionowe (ryc. 196, b) linie zygzakowate. Bardziej wygodne jest utkanie poziomego z oddzielnymi narożnikami, a następnie połączenie ich węzłem za pomocą nici sąsiednich fragmentów. Rogi są splatane w ten sposób: najpierw zawiązany jest górny centralny węzeł, następnie nici pod nim są dzielone równo (na przykład po 2) i wysyłane 2 w lewo, 2 w prawo. Pod pierwszym węzłem po lewej stronie zawiązujemy nowy węzeł, używając 2 lewych nitek z pierwszego węzła i 2 wolnych nitek po lewej stronie. W ten sam sposób zawiąż węzeł po prawej stronie. Następnie utkaj kolejny 1 węzeł z prawej i lewej strony, używając 2 wolnych nitek i 2 nitek z poprzedniego węzła. Więc splot po przekątnej do pożądanego rozmiaru rogu z górą na górze. Łącząc 2 rogi z wierzchołkami skierowanymi w przeciwnych kierunkach, uzyskuje się romb, którego środek jest wypełniony wolnymi nitkami (ryc. 197, a). Zgodnie z tą samą zasadą tkany jest sześciokąt (ryc. 197, b).

Schemat 196-199

Gęstsza ukośna linia sęków

(ryc. 198) uzyskuje się, jeśli dla każdego nowego węzła użyj 3 nici z poprzedniego węzła (1 guzowaty, 2 pracowników) i 1 wolny.

Odbiór połączenia siatki z fragmentami innych wzorów.

Monotonna sieć siatki służy do tworzenia nowych wzorów. Na siatkach różne tkane fragmenty wydają się bardziej wypukłe, wypukłe i wyraziste. W jaki sposób kombinacje łańcuchów, węzłów i innych elementów są wplecione w siatkę? Zapoznaj się z tymi technikami na przykładzie siatki „szachownicy” pośrodku ze wspólnym podwójnym płaskim węzłem (ryc. 199, a).

Najpierw rysowany jest szkic nowego wzoru i określany jest rozmiar i położenie węzła. Z reguły jest on wprowadzany do rombu z wolnych wątków roboczych (ryc. 199, b). Siatka jest tkana do góry rombu, następnie nie wiąże się węzłów w miejscu zaznaczenia rombu: najpierw 1 węzeł (góra rombu), w następnym rzędzie kolejne 2 supełki w szachownicę, następnie 3 supełki i tak dalej, aż do uzyskania pożądanej szerokości rombu. Następnie zawiązuje się wspólny węzeł. Im więcej nitek pozostanie na węzeł, tym jest on skuteczniejszy (podczas wiązania nie przekrzywiaj go: środek węzła powinien pokrywać się ze środkiem rombu). Wyprostuj nici pod węzłem i utkaj dolną połowę rombu, stopniowo włączając 2 skrajne nitki ze wspólnego węzła do pracy.