Jak skonstruować kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny prostopadły do ​​płaszczyzny

„Kąt dwuścienny” - Znajdź odległość punktu B od płaszczyzny. Kąt C jest ostry. Trójkąt ABC jest rozwarty. Kąt C jest rozwarty. Odległość punktu od linii. W czworościanie DАВС wszystkie krawędzie są równe. Kąt między nachylonymi. Odległość między nachylonymi podstawami. Kąty liniowe kąta dwuściennego są równe. Algorytm konstruowania kąta liniowego.

„Geometria kąta dwuściennego” - kąt RSV - liniowy dla kąta dwuściennego z krawędzią AC. Znajdź (zobacz) krawędź i ściany kąta dwuściennego. Model może być obszerny lub składany. Przekrój kąta dwuściennego przez płaszczyznę prostopadłą do krawędzi. Krawędzie. linia CP jest prostopadła do krawędzi CA (z twierdzenia o trzech prostopadłych). kąt RKV - liniowy dla kąta dwuściennego z RSAV.

„Kąt trójścienny” - Znaki równości kątów trójściennych. Dane: Оabc – kąt trójkątny; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lekcja 6. Konsekwencje. 1) Do obliczenia kąta między prostą a płaszczyzną stosuje się wzór: Wzór trzech cosinusów. . Biorąc pod uwagę kąt trójścienny Oabc. Kąt trójkątny. Twierdzenie. W regularnej piramidzie trójkątnej kąt płaszczyzny przy wierzchołku jest mniejszy niż 120°.

„Kąty trójścienne i wielościenne” - Trójścienne kąty dwunastościanu. Kąty trójścienne i czworościenne dwunastościanu rombowego. Kąty czworościenne ośmiościanu. Trójścienne narożniki czworościanu. Pomiar kątów wielościennych. Zadanie. Kąty wielościenne. Kąty pięciokątne dwudziestościanu. Pionowe kąty wielościenne. Trójkątny róg piramidy. Niech SA1…An będzie kątem wypukłym o n-fasetach.

„Kąt między prostą a płaszczyzną” - W szóstym pryzmacie foremnym A...F1, którego krawędzie są równe 1, znajdź kąt między prostą AC1 a płaszczyzną ADE1. W szóstym pryzmacie foremnym A...F1, którego krawędzie są równe 1, znajdź kąt pomiędzy prostą AA1 i płaszczyzną ACE1. Kąt między linią prostą a płaszczyzną. W szóstym pryzmacie foremnym A...F1, którego krawędzie są równe 1, znajdź kąt pomiędzy prostą AB1 i płaszczyzną ADE1.

„Kąt wielościenny” - wypukłe kąty wielościenne. Kąty wielościenne. W zależności od liczby ścian kąty wielościenne są trójścienne, czworościenne, pięciościenne itp. C) dwudziestościan. Dwa kąty płaskie kąta trójściennego wynoszą 70° i 80°. Stąd, ? ASB+? BSC+? ASC< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

W sumie odbyło się 9 prezentacji

W geometrii do badania figur używa się dwóch. ważne cechy: długości boków i kąty między nimi. W przypadku figur przestrzennych do tych cech dodawane są kąty dwuścienne. Spójrzmy, co to jest, a także opisz metodę określania tych kątów na przykładzie piramidy.

Pojęcie kąta dwuściennego

Każdy wie, że dwie przecinające się linie tworzą pewien kąt z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia. Kąt ten można zmierzyć za pomocą kątomierza lub funkcje trygonometryczne to obliczyć. Kąt utworzony przez dwa kąty proste nazywa się liniowym.

Teraz wyobraźmy sobie to przestrzeń trójwymiarowa Istnieją dwie płaszczyzny, które przecinają się w linii prostej. Są pokazane na zdjęciu.

Kąt dwuścienny to kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami. Podobnie jak liniowa, jest mierzona w stopniach lub radianach. Jeśli w dowolnym punkcie linii, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny, przywrócimy dwie prostopadłe leżące w tych płaszczyznach, wówczas kąt między nimi będzie pożądanym dwuścienem. Najłatwiejszym sposobem określenia tego kąta jest skorzystanie z równań płaszczyzny ogólna perspektywa.

Równanie płaszczyzn i wzór na kąt między nimi

Równanie dowolnej płaszczyzny w przestrzeni zwykle zapisuje się w następujący sposób:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Tutaj x, y, z są współrzędnymi punktów należących do płaszczyzny, współczynniki A, B, C, D to pewne znane liczby. Wygoda tej równości przy obliczaniu kątów dwuściennych polega na tym, że wyraźnie zawiera ona współrzędne wektora kierunkowego płaszczyzny. Oznaczymy to n¯. Następnie:

Wektor n¯ jest prostopadły do ​​płaszczyzny. Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami równy kątowi pomiędzy ich n 1 ¯ i n 2 ¯. Z matematyki wiadomo, że kąt utworzony przez dwa wektory jest jednoznacznie wyznaczany na podstawie ich iloczynu skalarnego. Pozwala nam to napisać wzór na obliczenie kąta dwuściennego między dwiema płaszczyznami:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Jeśli podstawimy współrzędne wektorów, wzór zostanie zapisany jawnie:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Znak modułu w liczniku służy jedynie do określenia ostry róg, ponieważ kąt dwuścienny jest zawsze mniejszy lub równy 90 o.

Piramida i jej rogi

Piramida to figura utworzona przez jeden n-kąt i n trójkątów. Tutaj n jest liczbą całkowitą równą liczbie boków wielokąta będącego podstawą piramidy. Ta figura przestrzenna jest wielościanem lub wielościanem, ponieważ składa się z płaskich powierzchni (boków).

Wielościany piramidalne mogą być dwojakiego rodzaju:

• między podstawą a bokiem (trójkąt);
• pomiędzy obiema stronami.

Jeśli rozważamy regularną piramidę, wówczas nazwane dla niej kąty nie są trudne do określenia. W tym celu korzystając ze współrzędnych trzech znanych punktów należy utworzyć równanie płaszczyzn, a następnie skorzystać ze wzoru podanego w powyższym akapicie na kąt φ.

Poniżej podajemy przykład, w którym pokazujemy, jak znaleźć kąty dwuścienne u podstawy regularnej piramidy czworokątnej.

Czworokątny i kąt u jego podstawy

Załóżmy, że mamy daną piramidę foremną o podstawie kwadratowej. Długość boku kwadratu wynosi a, wysokość figury wynosi h. Znajdźmy kąt między podstawą piramidy a jej bokiem.

Umieśćmy początek układu współrzędnych na środku kwadratu. Wtedy współrzędne punktów A, B, C, D pokazanych na rysunku będą równe:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

Rozważmy płaszczyzny ACB i ADB. Oczywiście wektor kierunkowy n 1 ¯ dla płaszczyzny ACB będzie równy:

Aby wyznaczyć wektor kierunkowy n 2 ¯ płaszczyzny ADB, postępujemy w następujący sposób: znajdujemy dowolne dwa należące do niej wektory, na przykład AD¯ i AB¯, a następnie obliczamy ich iloczyn wektorowy. Jego wynik da współrzędne n 2 ¯. Mamy:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Ponieważ mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę nie zmienia jego kierunku, wynikowe n 2 ¯ przekształcamy, dzieląc jego współrzędne przez -a, otrzymujemy:

Zdefiniowaliśmy wektory kierunkowe n 1 ¯ i n 2 ¯ dla płaszczyzn bazowych ACB i płaszczyzny bocznej ADB. Pozostaje skorzystać ze wzoru na kąt φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Przekształćmy powstałe wyrażenie i przepiszemy je w następujący sposób:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Otrzymaliśmy wzór na kąt dwuścienny u podstawy foremnej piramidy czworokątnej. Znając wysokość figury i długość jej boku, możesz obliczyć kąt φ. Na przykład dla piramidy Cheopsa, której bok podstawy wynosi 230,4 m, a wysokość początkowa wynosiła 146,5 m, kąt φ będzie równy 51,8 o.

Kąt dwuścienny czworokątnej regularnej piramidy można również określić za pomocą metody geometrycznej. Aby to zrobić, wystarczy rozważyć trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość h, połowę długości podstawy a/2 i apotem trójkąta równoramiennego.

Kąt dwuścienny. Kąt liniowy kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego boki są promieniami, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; Promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego, tworzą kąty liniowe.

Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa CABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są równe, to podstawa prostopadłej wyprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Dowód. Przede wszystkim skonstruujmy kąty liniowe z równych kątów dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadłe do płaszczyzny bazowej, to możemy narysować OR prostopadłą AC, OR prostopadłą SV, OQ prostopadłą AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R Z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnego RK, QK , RK tak, aby krawędzie AC, NE, AB były prostopadłe do tych rzutów. W związku z tym krawędzie te są prostopadłe do samych nachylonych. I dlatego płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, które są wymienione w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są przystające (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwne do tej nogi są równe). Zatem OR = OR = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.

Prostopadłość płaszczyzn. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu jest równy 90. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, wówczas te płaszczyzny są prostopadłe.

Rysunek przedstawia równoległościan prostokątny. Jego podstawą są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A żebra boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób możemy uzasadnić właściwości prostokątnego równoległościanu: W prostokątnym równoległościanie wszystkie sześć ścian jest prostokątami. W prostopadłościanie prostokątnym wszystkie sześć ścian jest prostokątami. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne równoległościanu prostokątnego są kątami prostymi.

Twierdzenie Kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów. Wróćmy do rysunku i udowodnijmy, że AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, kąt ACC1 jest prosty. Z trójkąt prostokątny ACC1 korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy AC12=AC2+CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2 + AD2. Ponadto CC1 = AA1. Zatem AC12= AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.

Pojęcie kąta dwuściennego

Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, przypomnijmy najpierw jeden z aksjomatów stereometrii.

Każdą płaszczyznę można podzielić na dwie półpłaszczyzny prostej $a$ leżącej w tej płaszczyźnie. W tym przypadku punkty leżące w tej samej półpłaszczyźnie leżą po jednej stronie prostej $a$, a punkty leżące w różnych półpłaszczyznach znajdują się po tej samej stronie. różne strony od prostej $a$ (ryc. 1).

Obrazek 1.

Na tym aksjomacie opiera się zasada konstruowania kąta dwuściennego.

Definicja 1

Postać nazywa się kąt dwuścienny, jeżeli składa się z prostej i dwóch półpłaszczyzn tej prostej, które nie należą do tej samej płaszczyzny.

W tym przypadku nazywane są półpłaszczyznami kąta dwuściennego krawędzie, a linia prosta oddzielająca półpłaszczyzny to krawędź dwuścienna(ryc. 1).

Rysunek 2. Kąt dwuścienny

Stopień miary kąta dwuściennego

Definicja 2

Wybierzmy dowolny punkt $A$ na krawędzi. Kąt pomiędzy dwiema prostymi leżącymi w różnych półpłaszczyznach, prostopadłymi do krawędzi i przecinającymi się w punkcie $A$ nazywa się liniowy kąt dwuścienny(ryc. 3).

Rysunek 3.

Oczywiście każdy kąt dwuścienny ma nieskończoną liczbę kątów liniowych.

Twierdzenie 1

Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Dowód.

Rozważmy dwa kąty liniowe $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (rys. 4).

Rysunek 4.

Ponieważ promienie $OA$ i $(OA)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\alpha $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Ponieważ promienie $OB$ i $(OB)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\beta $ i są prostopadłe do tej samej prostej, to są one współkierunkowe. Stąd

\[\kąt AOB=\kąt A_1(OB)_1\]

Ze względu na dowolność wyboru kątów liniowych. Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja 3

Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia kąta liniowego kąta dwuściennego.

Przykłady problemów

Przykład 1

Dano nam dwie nieprostopadłe płaszczyzny $\alpha $ i $\beta $, które przecinają się na prostej $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\beta$. $AB$ jest prostopadłe do prostej $m$. $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $ (punkt $C$ należy do $\alpha $). Udowodnić, że kąt $ABC$ jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Dowód.

Narysujmy obraz zgodnie z warunkami problemu (ryc. 5).

Rysunek 5.

Aby to udowodnić, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie

Twierdzenie 2: Linia prosta przechodząca przez podstawę pochyłej jest do niej prostopadła, prostopadła do jej rzutu.

Ponieważ $AC$ jest prostopadłe do płaszczyzny $\alpha $, to punkt $C$ jest rzutem punktu $A$ na płaszczyznę $\alpha $. Dlatego $BC$ jest rzutem skośnego $AB$. Zgodnie z Twierdzeniem 2, $BC$ jest prostopadłe do krawędzi kąta dwuściennego.

Wówczas kąt $ABC$ spełnia wszystkie warunki definicji liniowego kąta dwuściennego.

Przykład 2

Kąt dwuścienny wynosi $30^\circ$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, który znajduje się w odległości $4$ cm od drugiej ściany. Znajdź odległość od punktu $A$ do krawędzi kąta dwuściennego.

Rozwiązanie.

Spójrzmy na rysunek 5.

Według warunku mamy $AC=4\cm$.

Z definicji miary stopnia kąta dwuściennego wynika, że ​​kąt $ABC$ jest równy $30^\circ$.

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta ostrego

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TRANSKRYPT TEKSTOWY LEKCJI:

W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, półproste i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden ze swoich geometrycznych kształtów - kąt.

Wiemy, że kąt liniowy mierzy się w stopniach i radianach.

W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które w geometrii nie należą do tej samej płaszczyzny, nazywa się kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny są ścianami kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.

Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć i skonstruować. Tego właśnie musimy się dowiedzieć na tej lekcji.

Znajdźmy kąt dwuścienny w modelu czworościanu ABCD.

Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywa się środkiem

Wokół nas znajduje się całkiem sporo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.

W wielu miastach w parkach instalowane są specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w formie dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.

Przy budowie domów stosuje się tzw dach dwuspadowy. W tym domu dach wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.

Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.

Ciekawostką jest fakt, że dachy domów opierają się na krokwiach. A poszycie krokwi tworzy dwie połacie dachowe pod danym kątem.

Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznaczamy punkt B. Z tego punktu poprowadzono dwa promienie BA i BC prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywa się liniowym kątem dwuściennym.

Stopień miary kąta dwuściennego jest równy stopniowi jego kąta liniowego.

Zmierzmy kąt AOB.

Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.

Dla kąta dwuściennego można narysować nieskończoną liczbę kątów liniowych; ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.

Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są współkierunkowe. Belki OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.

Zatem kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważmy modele kątów dwuściennych.

Kąt rozwarty występuje wtedy, gdy jego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.

Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.

Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy wynosi od 0 do 90 stopni.

Udowodnimy jedną z ważnych właściwości kąta liniowego.

Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.

Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste i tylko jedną.

Linia a jest prostopadła do dwóch przecinających się linii leżących w tej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​biorąc pod uwagę prostopadłość tej linii i płaszczyzny, prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.

Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność skonstruowania kąta liniowego zadanego kąta dwuściennego. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.

Mówimy o kącie dwuściennym, który tworzą najpierw krawędź AB, jedna ściana ABD, a druga ściana ABC.

Oto jeden ze sposobów jego zbudowania.

Narysujmy prostopadłą z punktu D do płaszczyzny ABC. Zaznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego u podstawy czworościanu.

Narysujmy linię ukośną od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznaczmy punkt N jako podstawę linii ukośnej.

W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutem nachylonej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.

Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że ​​skonstruowany kąt DNM jest pożądanym kątem liniowym.

Rozważmy przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.

Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do ​​płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten kąt.

Narysujmy pochyłą CM prostopadle do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, wówczas punkt M będzie pokrywał się ze środkiem krawędzi AB.

Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, czyli jest prostopadła do prostej DM leżącej w tej płaszczyźnie. Natomiast odcinek MD jest rzutem nachylonego CM na płaszczyznę ADV.

Prosta AB jest konstrukcyjnie prostopadła do nachylonej CM, co oznacza, zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych, że jest prostopadła do rzutu MD.

Zatem do krawędzi AB znajdują się dwie prostopadłe CM i DM. Oznacza to, że tworzą kąt liniowy CMD kąta dwuściennego DABC. I wszystko, co musimy zrobić, to znaleźć to z trójkąta prostokątnego CDM.

Zatem odcinek SM to mediana i wysokość trójkąta równoramiennego ACB, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa ramię SM wynosi 4 cm.

Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.

Cosinus kąta w trójkącie prostokątnym jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzy razy dwa. Oznacza to, że kąt CMD wynosi 30 stopni.