Stående elastiske bølger i en ringkropp. stående bølger

Kapittel 7

Bølger. bølgeligning

I tillegg til bevegelsene vi allerede har vurdert, er det på nesten alle områder av fysikk en annen type bevegelse - bølger. Et særtrekk ved denne bevegelsen, som gjør den unik, er at det ikke er materiepartiklene som forplanter seg i bølgen, men endringer i deres tilstand (perturbasjoner).

Forstyrrelser som forplanter seg i rommet over tid kalles bølger . Bølger er mekaniske og elektromagnetiske.

elastiske bølgerer forplantende forstyrrelser av det elastiske mediet.

En forstyrrelse av et elastisk medium er ethvert avvik av partiklene i dette mediet fra likevektsposisjonen. Forstyrrelser oppstår som et resultat av deformasjon av mediet på noen av dets steder.

Totaliteten av alle punkter der bølgen har nådd på et gitt tidspunkt danner en overflate som kalles bølgefront .

I henhold til formen på fronten er bølgene delt inn i sfæriske og plane. Retning utbredelsen av bølgefronten bestemmes vinkelrett på bølgefronten, kalt stråle . For en sfærisk bølge er strålene en radialt divergerende stråle. For en plan bølge er en stråle en stråle av parallelle linjer.

I enhver mekanisk bølge eksisterer to typer bevegelse samtidig: oscillasjoner av partiklene i mediet og forplantningen av en forstyrrelse.

En bølge der oscillasjonene til partiklene i mediet og forplantningen av forstyrrelsen skjer i samme retning kalles langsgående (fig.7.2 en).

En bølge der partiklene i mediet oscillerer vinkelrett på utbredelsesretningen av forstyrrelser kalles tverrgående (Fig. 7.2 b).

I en langsgående bølge representerer forstyrrelser en kompresjon (eller sjeldneri) av mediet, og i en tverrbølge er de forskyvninger (skjær) av noen lag av mediet i forhold til andre. Langsgående bølger kan forplante seg i alle medier (i flytende, faste og gassformige), mens tverrgående bølger bare kan forplante seg i faste.

Hver bølge forplanter seg med en viss hastighet . Under bølgehastighet υ forstå forplantningshastigheten til forstyrrelsen. Hastigheten til en bølge bestemmes av egenskapene til mediet som denne bølgen forplanter seg i. I faste stoffer er hastigheten til langsgående bølger større enn hastigheten til tverrbølger.

Bølgelengdeλ er avstanden som en bølge forplanter seg over i en tid som er lik svingeperioden i kilden. Siden hastigheten til bølgen er en konstant verdi (for et gitt medium), er avstanden tilbakelagt av bølgen lik produktet av hastigheten og tiden for dens forplantning. Altså bølgelengden

Det følger av ligning (7.1) at partikler separert fra hverandre med et intervall λ oscillerer i samme fase. Så kan vi gi følgende definisjon av bølgelengden: bølgelengden er avstanden mellom to nærmeste punkter som svinger i samme fase.

La oss utlede ligningen til en plan bølge, som lar oss bestemme forskyvningen av et hvilket som helst punkt på bølgen til enhver tid. La bølgen forplante seg langs strålen fra kilden med en viss hastighet v.

Kilden eksiterer enkle harmoniske oscillasjoner, og forskyvningen av et hvilket som helst punkt på bølgen til enhver tid bestemmes av ligningen

S = Asinωt (7, 2)

Da vil punktet til mediet, som er i avstand x fra kilden til bølgen, også utføre harmoniske svingninger, men med en tidsforsinkelse med en verdi, dvs. tiden det tar for vibrasjonene å forplante seg fra kilden til det punktet. Forskyvningen av svingepunktet i forhold til likevektsposisjonen til enhver tid vil bli beskrevet ved relasjonen

Dette er planbølgeligningen. Denne bølgen er preget av følgende parametere:

· S - forskyvning fra posisjonen til likevektspunktet til det elastiske mediet, som oscillasjonen har nådd;

· ω - syklisk frekvens av oscillasjoner generert av kilden, med hvilken punktene til mediet også svinger;

· υ - bølgeutbredelseshastighet (fasehastighet);

x – avstand til det punktet på mediet der svingningen har nådd og hvis forskyvning er lik S;

· t – tid regnet fra begynnelsen av svingninger;

Ved å introdusere bølgelengden λ i uttrykk (7. 3), kan planbølgeligningen skrives som følger:

(7. 4)

Bølgeinterferens. stående bølger. Stående bølgeligning

Stående bølger dannes som et resultat av interferens av to motsatte planbølger med samme frekvens ω og amplitude A.

Tenk deg at det ved punktet S er en vibrator, hvorfra en plan bølge forplanter seg langs strålen SO. Etter å ha nådd hindringen ved punkt O, vil bølgen bli reflektert og gå i motsatt retning, dvs. to bevegelige plane bølger forplanter seg langs strålen: fremover og bakover. Disse to bølgene er koherente, siden de genereres av den samme kilden og, overlagret på hverandre, vil forstyrre hverandre.

Den oscillerende tilstanden til mediet som oppstår som følge av interferens kalles en stående bølge.

La oss skrive ligningen for direkte og bakovergående bølge:

rett - ; omvendt -

hvor S 1 og S 2 er forskyvningen av et vilkårlig punkt på strålen SO. Tatt i betraktning formelen for sinus av summen, er den resulterende forskyvningen lik

Dermed har ligningen for stående bølge formen

Faktoren cosωt viser at alle punkter i mediet på SO-strålen utfører enkle harmoniske svingninger med en frekvens. Uttrykket kalles amplituden til den stående bølgen. Som du kan se, bestemmes amplituden av posisjonen til punktet på SO(x)-strålen.

Maksimal verdi amplituder vil ha poeng for hvilke

Eller (n = 0, 1, 2,...)

hvorfra, eller (4.70)

antinoder av en stående bølge .

Minimumsverdi, lik null, vil ha de punktene som

Eller (n=0, 1, 2,...)

hvorfra eller (4.71)

Punkter med slike koordinater kalles stående bølgenoder . Ved å sammenligne uttrykk (4.70) og (4.71), ser vi at avstanden mellom naboantinoder og nabonoder er lik λ/2.

På figuren viser den heltrukne linjen forskyvningen av de oscillerende punktene til mediet på et tidspunkt, den stiplede kurven viser posisjonen til de samme punktene gjennom T / 2. Hvert punkt svinger med en amplitude bestemt av avstanden fra vibratoren (x).

I motsetning til en vandrebølge er det ingen energioverføring i en stående bølge. Energi går ganske enkelt fra potensial (med maksimal forskyvning av punktene til mediet fra likevektsposisjonen) til kinetisk (når punktene passerer gjennom likevektsposisjonen) innenfor grensene mellom nodene som forblir ubevegelige.

Alle punkter i en stående bølge innenfor grensene mellom nodene svinger i samme fase, og på motsatte sider av noden - i motfase.

Stående bølger oppstår for eksempel i en streng som er strukket i begge ender når tverrgående vibrasjoner eksiteres i den. Dessuten, på festestedene, er det noder av en stående bølge.

Hvis det etableres en stående bølge i en luftsøyle som er åpen i den ene enden (lydbølge), så dannes en antinode i den åpne enden, og en knute dannes i motsatt ende.

Lyd. Doppler effekten

Langsgående elastiske bølger som forplanter seg i gass, væske og faste stoffer er usynlige. Men under visse forhold kan de bli hørt. Så hvis vi eksiterer vibrasjoner av en lang stållinjal, klemt fast i en skrustikke, vil vi ikke høre bølgene som genereres av den. Men hvis vi forkorter den utstikkende delen av linjalen og derved øker frekvensen av svingningene, så vil vi finne at linjalen vil begynne å lyde.

Elastiske bølger som forårsaker auditive sensasjoner hos mennesker kalles lydbølger eller rett og slett lyd.

Det menneskelige øret er i stand til å oppfatte elastiske mekaniske bølger med en frekvens ν fra 16 Hz til 20 000 Hz. Elastiske bølger med frekvensen ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20000 Hz - ultralyd.

Frekvenser i området fra 16 Hz til 20000 Hz kalles lyd. Enhver kropp (fast, flytende eller gassformet) som svinger med lydfrekvensen skaper en lydbølge i miljøet.

I gasser og væsker forplanter lydbølger seg i form av langsgående kompresjon og sjeldne bølger. Komprimeringen og sjeldneriet av mediet, som oppstår som et resultat av vibrasjoner fra lydkilden (strenger, stemmegaffelben, stemmebånd, etc.), når etter en stund det menneskelige øret og tvinger trommehinnen til å lage tvungne vibrasjoner, forårsake visse auditive sensasjoner hos en person.

Lydbølger kan ikke forplante seg i et vakuum fordi det ikke er noe å vibrere der. Dette kan verifiseres ved et enkelt eksperiment. Hvis vi plasserer en elektrisk bjelle under glasskuppelen til en luftpumpe, ettersom luften pumpes ut, vil vi oppdage at lyden blir svakere og svakere til den stopper helt.

lyd i gasser. Det er kjent at under et tordenvær ser vi først et lynglimt og først da hører vi torden. Denne forsinkelsen oppstår fordi lydhastigheten i luft er mye mindre enn lysets hastighet. Lydhastigheten i luft ble først målt av den franske forskeren Marin Mersen i 1646. Ved en temperatur på +20ºС er den lik 343 m/s, dvs. 1235 km/t

Lydens hastighet avhenger av temperaturen på mediet. Den øker med økende temperatur og avtar med synkende temperatur.

Lydens hastighet er ikke avhengig av tettheten til gassen som denne lyden forplanter seg i. Det avhenger imidlertid av massen til molekylene. Jo større massen av gassmolekyler er, desto lavere er lydhastigheten i den. Altså ved en temperatur

0 ºС er lydhastigheten i hydrogen 1284 m/s, og i karbondioksid - 259 m/s.

Lyd i væsker. Lydhastigheten i væsker er generelt høyere enn lydhastigheten i gasser. Lydens hastighet i vann ble først målt i 1826. Forsøkene ble utført ved Genfersjøen i Sveits. På den ene båten satte de fyr på krutt og slo samtidig på klokken, senket i vannet. Lyden av denne klokken, ved hjelp av et spesielt horn, også senket ned i vannet, ble fanget på en annen båt, som lå i en avstand på 14 km fra den første. Lydhastigheten i vann ble bestemt ut fra tidsforskjellen mellom lysglimt og lydsignalets ankomst. Ved en temperatur på 8 ºС viste det seg å være lik 1435m/s.

I væsker avtar lydhastigheten generelt med økende temperatur. Vann er et unntak fra denne regelen. I den øker lydhastigheten med økende temperatur og når et maksimum ved en temperatur på 74 ºС, og med en ytterligere økning i temperaturen synker den.

Det må sies at det menneskelige øret ikke "fungerer" godt under vann. Mesteparten av lyden i dette tilfellet reflekteres fra trommehinnen og forårsaker derfor ikke auditive sensasjoner. Det var dette som på en gang ga grunn til våre forfedre til å betrakte undervannsverdenen som en "verden av stillhet". Derav uttrykket "stum som en fisk." Men til og med Leonardo da Vinci foreslo å lytte til undervannslyder ved å legge øret til en åre senket ned i vannet. Ved å bruke denne metoden kan du sørge for at fisken faktisk er ganske pratsom.

Lyd i faste stoffer. Lydhastigheten i faste stoffer er enda høyere enn i væsker. Bare her bør det tas i betraktning at både langsgående og tverrgående bølger kan forplante seg i faste stoffer. Hastigheten på disse bølgene er, som vi vet, annerledes. For eksempel i stål forplanter tverrbølger seg med en hastighet på 3300 m/s, og langsgående bølger med en hastighet på 6100 m/s. Det faktum at lydhastigheten i et fast stoff er større enn i luft kan verifiseres som følger. Hvis vennen din treffer den ene enden av skinnen og du legger øret i den andre enden, vil to treff høres. Lyden vil nå øret ditt først gjennom skinnen og deretter gjennom luften.

Jorden har god ledningsevne. Derfor, i gamle dager, under en beleiring, ble det plassert "hørere" i festningsmurene, som ved lyden som ble overført av jorden kunne avgjøre om fienden gravde til veggene eller ikke. Å legge øret til bakken gjorde det også mulig å oppdage tilnærmingen til fiendens kavaleri.

I tillegg til hørbare lyder forplanter seg infralydbølger i jordskorpen, som det menneskelige øret ikke lenger oppfatter. Slike bølger kan oppstå under jordskjelv.

Kraftige infrasoniske bølger som forplanter seg både i bakken og i luften oppstår under vulkanutbrudd og eksplosjoner av atombomber. Luftvirvler i atmosfæren, lastutslipp, kanonskudd, vind, flytende bølgetopper, fungerende motorer til jetfly osv. kan også tjene som kilder til infralyd.

Ultralyd oppfattes heller ikke av det menneskelige øret. Noen dyr, som flaggermus og delfiner, kan imidlertid sende ut og fange det. I teknologien brukes spesielle enheter for å produsere ultralyd.

Et oscillerende legeme plassert i et elastisk medium er en kilde til vibrasjoner som forplanter seg fra det i alle retninger. Prosessen med forplantning av oscillasjoner i et medium kalles bølge.

Når en bølge forplanter seg, beveger ikke partiklene i mediet seg sammen med bølgen, men svinger rundt deres likevektsposisjoner. Sammen med bølgen fra partikkel til partikkel overføres bare tilstanden til oscillerende bevegelse og dens energi. Derfor er hovedegenskapen til alle bølger, uavhengig av deres natur, overføring av energi uten overføring av materie.

Bølger er tverrgående (oscillasjoner forekommer i et plan vinkelrett på forplantningsretningen), og langsgående (konsentrasjon og sjeldne partiklene i mediet skjer i forplantningsretningen).

Når to identiske bølger med like amplituder og perioder forplanter seg mot hverandre, så oppstår stående bølger når de er overlagret. Stående bølger kan oppnås ved refleksjon fra hindringer. La oss si at emitteren sender en bølge til en hindring (hendende bølge). Bølgen som reflekteres fra den vil bli lagt over den hendende bølgen. Ligningen for stående bølge kan fås ved å legge til den innfallende bølgeligningen

(Et svært viktig tilfelle av interferens observeres når to motsatte plane bølger med samme amplitude er overlagret. Den resulterende oscillerende prosessen kalles en stående bølge. Praktisk talt stående bølger oppstår når de reflekteres fra hindringer.)

Denne ligningen kalles bølgeligningen. Enhver funksjon som tilfredsstiller denne ligningen beskriver en bølge.
bølgeligning kalt et uttrykk som gir partiskhet svingende punkt som en funksjon av dens koordinater ( x, y, z) og tid t.

Denne funksjonen må være periodisk både med hensyn til tid og koordinater (en bølge er en forplantende oscillasjon, derav en periodisk repeterende bevegelse). I tillegg svinger punkter atskilt med en avstand l på samme måte.

- dette er planbølgeligning.
Ligning (5.2.3) vil ha samme form hvis svingningene forplanter seg langs aksen y eller z
Generelt planbølgeligning er skrevet slik:

Uttrykk (5.2.3) og (5.2.4) er vandrebølgeligninger .

Ligning (5.2.3) beskriver en bølge som forplanter seg i økningsretningen x. En bølge som forplanter seg i motsatt retning har formen:

La oss introdusere bølgenummer , eller i vektorform:

hvor er bølgevektoren og er normalen til bølgeoverflaten.

Siden da . Herfra. Deretter planbølgeligning vil bli skrevet slik:

sfærisk bølgeligning:

hvor MEN er lik amplituden i en avstand fra kilden lik enhet.

BØLGEVEKTOR- vektor k, som bestemmer forplantningsretningen og den romlige perioden til en flat monokromatisk. bølger

hvor - konstant amplitude og fase av bølgen, - sirkulær frekvens, r er radiusvektoren. V. modul kalt bølgenummer k= , hvor - romlig periode eller bølgelengde. I retning V. c. den raskeste endringen i bølgens fase skjer, så den tas som forplantningsretningen. Hastigheten til fasen i denne retningen, eller fasehastigheten, bestemmes gjennom bølgetallet .. in.

6.1 Stående bølger i et elastisk medium

I henhold til superposisjonsprinsippet, når flere bølger forplanter seg samtidig i et elastisk medium, oppstår deres superposisjon, og bølgene forstyrrer ikke hverandre: oscillasjonene til partiklene i mediet er vektorsummen av svingningene som partiklene ville lage under forplantningen av hver av bølgene separat.

Bølger som skaper oscillasjoner av mediet, faseforskjellene mellom disse er konstante ved hvert punkt i rommet, kalles sammenhengende.

Når man legger til sammenhengende bølger, oppstår fenomenet innblanding, som består i at på noen punkter i rommet styrker bølgene hverandre, og på andre punkter svekkes de. Et viktig tilfelle av interferens observeres når to motsatte planbølger med samme frekvens og amplitude er overlagret. De resulterende oscillasjonene kalles stående bølge. Oftest oppstår stående bølger når en vandrebølge reflekteres fra en hindring. I dette tilfellet gir den innfallende bølgen og bølgen som reflekteres mot den, lagt sammen, en stående bølge.

Vi får ligningen for stående bølge. La oss ta to plane harmoniske bølger som forplanter seg mot hverandre langs aksen X og har samme frekvens og amplitude:

hvor - fasen av oscillasjoner av punktene til mediet under passasjen av den første bølgen;

- fasen av oscillasjoner av punktene til mediet under passasjen av den andre bølgen.

Faseforskjell på hvert punkt på aksen X nettverket vil ikke være avhengig av tid, dvs. vil være konstant:

Derfor vil begge bølgene være sammenhengende.

Oscillasjonen av partiklene i mediet som følge av tilsetningen av de betraktede bølgene vil være som følger:

Vi transformerer summen av cosinusene til vinklene i henhold til regelen (4.4) og får:

Ved å omorganisere faktorene får vi:

For å forenkle uttrykket velger vi opprinnelsen slik at faseforskjellen og tidens opprinnelse, slik at summen av fasene er lik null: .

Da vil ligningen for summen av bølgene ha formen:

Ligning (6.6) kalles stående bølgeligning. Det kan sees av det at frekvensen til den stående bølgen er lik frekvensen til den reisebølgen, og amplituden, i motsetning til den reisebølgen, avhenger av avstanden fra opprinnelsen:

. (6.7)

Med hensyn til (6.7), har ligningen for stående bølge formen:

. (6.8)

Dermed oscillerer punktene til mediet med en frekvens som faller sammen med frekvensen til den vandrebølgen, og med en amplitude en, avhengig av posisjonen til punktet på aksen X. Følgelig endres amplituden i henhold til cosinusloven og har sine egne maksima og minima (fig. 6.1).

For å visualisere plasseringen av minima og maksima for amplituden, erstatter vi, i henhold til (5.29), bølgetallet med dets verdi:

Deretter tar uttrykk (6.7) for amplituden formen

(6.10)

Fra dette blir det klart at forskyvningsamplituden er maksimal kl , dvs. på punkter hvis koordinater tilfredsstiller betingelsen:

, (6.11)

hvor

Herfra får vi koordinatene til punktene der forskyvningsamplituden er maksimal:

; (6.12)

Punktene der amplituden til mediets oscillasjoner er maksimal kalles bølge antinoder.

Bølgeamplituden er null på punktene hvor . Koordinatene til slike punkter, kalt bølge knuter, tilfredsstiller betingelsen:

, (6.13)

hvor

Fra (6.13) kan man se at koordinatene til nodene har verdiene:

, (6.14)

På fig. 6.2 viser et omtrentlig bilde av en stående bølge, plasseringen av noder og antinoder er markert. Det kan sees at de tilstøtende nodene og antinodene til forskyvningen er adskilt fra hverandre med samme avstand.

Finn avstanden mellom tilstøtende antinoder og noder. Fra (6.12) får vi avstanden mellom antinodene:

(6.15)

Avstanden mellom nodene er hentet fra (6.14):

(6.16)

Fra relasjonene (6.15) og (6.16) oppnådd, kan det sees at avstanden mellom nabonoder, så vel som mellom naboantinoder, er konstant og lik; noder og antinoder forskyves i forhold til hverandre ved (fig. 6.3).

Fra definisjonen av bølgelengden kan vi skrive et uttrykk for lengden på den stående bølgen: den er lik halvparten av lengden på den vandrebølgen:

La oss skrive, under hensyntagen til (6.17), uttrykk for koordinatene til noder og antinoder:

, (6.18)

, (6.19)

Multiplikatoren , som bestemmer amplituden til den stående bølgen, endrer fortegn når den passerer gjennom nullverdien, som et resultat av at fasen til oscillasjonene på motsatte sider av noden er forskjellig med . Følgelig svinger alle punkter som ligger på forskjellige sider av noden i anti-fase. Alle punkter mellom nabonoder svinger i fase.

Nodene deler betinget mediet inn i autonome regioner der harmoniske svingninger oppstår uavhengig. Det er ingen overføring av bevegelse mellom regionene, og derfor er det ingen energiflyt mellom regionene. Det vil si at det ikke er noen overføring av forstyrrelser langs aksen. Derfor kalles bølgen stående.

Så en stående bølge dannes fra to motsatt rettede vandrebølger med like frekvenser og amplituder. Umov-vektorene til hver av disse bølgene er like i modul og motsatte i retning, og når de legges til gir de null. Derfor overfører ikke en stående bølge energi.

6.2 Eksempler på stående bølger

6.2.1 Stående bølge i en streng

Tenk på en lengdestreng L, festet i begge ender (fig. 6.4).

La oss plassere aksen langs strengen X slik at venstre ende av strengen har koordinaten x=0, og høyre x=L. Vibrasjoner forekommer i strengen, beskrevet av ligningen:

La oss skrive ned grensebetingelsene for den betraktede strengen. Siden endene er faste, så på punkter med koordinater x=0 og x=L uten å nøle:

(6.22)

La oss finne ligningen for strengvibrasjoner basert på de skrevne grensebetingelsene. Vi skriver ligning (6.20) for venstre ende av strengen, og tar i betraktning (6.21):

Forholdet (6.23) gjelder til enhver tid t i to tilfeller:

1. . Dette er mulig hvis det ikke er vibrasjoner i strengen (). Denne saken har ingen interesse, og vi vil ikke vurdere den.

2. . Her er fasen. Dette tilfellet vil tillate oss å få ligningen for strengvibrasjoner.

La oss erstatte den oppnådde faseverdien i grensebetingelsen (6.22) for høyre ende av strengen:

. (6.25)

Gitt at

, (6.26)

fra (6.25) får vi:

Igjen dukker det opp to tilfeller hvor relasjon (6.27) er tilfredsstilt. Tilfellet når det ikke er vibrasjoner i strengen (), vil vi ikke vurdere.

I det andre tilfellet må likheten gjelde:

og dette er bare mulig når sinusargumentet er et multiplum av et heltall:

Vi forkaster verdien, fordi i dette tilfellet vil det bety enten null strenglengde ( L=0) eller wave-nytt nummer k=0. Med tanke på forholdet (6.9) mellom bølgetallet og bølgelengden er det klart at for at bølgetallet skal være lik null, må bølgelengden være uendelig, og dette vil bety fravær av svingninger.

Det kan sees fra (6.28) at bølgetallet under vibrasjoner av en streng festet i begge ender bare kan ta visse diskrete verdier:

Med hensyn til (6.9), skriver vi (6.30) som:

hvorfra vi utleder uttrykket for de mulige bølgelengdene i strengen:

Med andre ord, over lengden på strengen L må være et heltall n halv bølge:

De tilsvarende oscillasjonsfrekvensene kan bestemmes fra (5.7):

Her er fasehastigheten til bølgen, som ifølge (5.102) avhenger av den lineære tettheten til strengen og strengspenningskraften:

Ved å erstatte (6.34) med (6.33), får vi et uttrykk som beskriver de mulige vibrasjonsfrekvensene til strengen:

, (6.36)

Frekvenser kalles naturlige frekvenser strenger. frekvens (når n = 1):

(6.37)

kalt grunnleggende frekvens(eller hovedtone) strenger. Frekvenser fastsatt kl n>1 kalt overtoner eller harmoniske. Det harmoniske tallet er n-1. For eksempel frekvens:

tilsvarer den første harmoniske, og frekvensen:

tilsvarer den andre harmoniske, og så videre. Siden en streng kan representeres som et diskret system med et uendelig antall frihetsgrader, er hver harmonisk mote strengvibrasjoner. I det generelle tilfellet er strengvibrasjoner en superposisjon av moduser.

Hver harmonisk har sin egen bølgelengde. For hovedtonen (med n= 1) bølgelengde:

for henholdsvis første og andre harmoniske (kl n= 2 og n= 3) bølgelengdene vil være:

Figur 6.5 viser flere vibrasjonsmoduser utført av en streng.

Dermed realiserer en streng med faste ender et eksepsjonelt tilfelle innenfor rammen av klassisk fysikk - et diskret spektrum av oscillasjonsfrekvens (eller bølgelengder). En elastisk stang med en eller begge fastklemte ender oppfører seg på samme måte, og det samme gjør svingninger i luftsøylen i rør, som vil bli diskutert i etterfølgende avsnitt.

6.2.2 Påvirkning av startforhold på bevegelse

kontinuerlig streng. Fourieranalyse

Vibrasjoner av en streng med fastklemte ender, i tillegg til et diskret spekter av vibrasjonsfrekvenser, har en viktigere egenskap: den spesifikke formen for vibrasjoner av en streng avhenger av metoden for eksitering av vibrasjoner, dvs. fra opprinnelige forhold. La oss vurdere mer detaljert.

Ligning (6.20), som beskriver én modus for en stående bølge i en streng, er en spesiell løsning av differensialbølgeligningen (5.61). Siden vibrasjonen til en streng består av alle mulige moduser (for en streng - et uendelig antall), så består den generelle løsningen av bølgeligningen (5.61) av et uendelig antall spesielle løsninger:

, (6.43)

hvor Jeg er oscillasjonsmodusnummeret. Uttrykk (6.43) er skrevet under hensyntagen til at endene på strengen er faste:

og tar også hensyn til frekvensforbindelsen Jeg modus og dens bølgenummer:

(6.46)

Her – bølgetall Jeg mote;

er bølgenummeret til den første modusen;

La oss finne verdien av startfasen for hver oscillasjonsmodus. For dette, på den tiden t=0 la oss gi strengen en form beskrevet av funksjonen f 0 (x), uttrykket som vi får fra (6.43):

. (6.47)

På fig. 6.6 viser et eksempel på formen til en streng beskrevet av min funksjon f 0 (x).

På tidspunktet t=0 strengen er fortsatt i ro, dvs. hastigheten til alle punktene er lik null. Fra (6.43) finner vi et uttrykk for hastigheten til strengpunktene:

og ved å erstatte det t=0, får vi et uttrykk for hastigheten til punktene på strengen i det første øyeblikket:

. (6.49)

Siden hastigheten i det første øyeblikket er lik null, vil uttrykket (6.49) være lik null for alle punktene i strengen, hvis . Det følger av dette at startfasen for alle moduser også er null (). Med dette i tankene har uttrykk (6.43), som beskriver bevegelsen til strengen, formen:

, (6.50)

og uttrykket (6.47), som beskriver den opprinnelige formen til strengen, ser slik ut:

. (6.51)

En stående bølge i en streng er beskrevet av en funksjon som er periodisk på intervallet , hvor er lik to strenglengder (fig. 6.7):

Dette kan sees fra det faktum at periodisiteten på intervallet betyr:

Følgelig

som bringer oss til uttrykk (6.52).

Det er kjent fra matematisk analyse at enhver periodisk funksjon kan utvides med høy nøyaktighet til en Fourier-serie:

, (6.57)

hvor , , er Fourier-koeffisientene.

Hvis flere bølger samtidig forplanter seg i mediet, så viser oscillasjonene til partiklene i mediet seg å være den geometriske summen av svingningene som partiklene ville gjort under forplantningen av hver av bølgene separat. Følgelig overlapper bølgene hverandre uten å forstyrre hverandre. Denne uttalelsen kalles prinsippet for superposisjon av bølger. Prinsippet om superposisjon sier at bevegelsen forårsaket av utbredelsen av flere bølger på en gang er igjen en viss bølgeprosess. En slik prosess er for eksempel lyden av et orkester. Det oppstår fra den samtidige eksitasjonen av lydvibrasjoner i luften av individuelle musikkinstrumenter. Det er bemerkelsesverdig at når bølger legges over hverandre, kan spesielle fenomener oppstå. De kalles effektene av addisjon eller, som de sier, superposisjonen av bølger. Blant disse effektene er de viktigste interferens og diffraksjon.

Interferens er et fenomen med tidsstabil omfordeling av energien til svingninger i rommet, som et resultat av at svingninger forsterkes noen steder og svekkes andre steder. Dette fenomenet oppstår når man legger til bølger med en faseforskjell som vedvarer over tid, de såkalte koherente bølgene. Interferensen av et stort antall bølger kalles ofte diffraksjon. Det er ingen grunnleggende forskjell mellom interferens og diffraksjon. Naturen til disse fenomenene er den samme. Vi vil begrense oss til å diskutere bare én svært viktig interferenseffekt, som er dannelsen av stående bølger.

En nødvendig betingelse for dannelsen av stående bølger er tilstedeværelsen av grenser som reflekterer bølgene som faller inn på dem. Stående bølger dannes som et resultat av tillegg av innfallende og reflekterte bølger. Fenomener av denne typen er ganske vanlige. Så hver tone i lyden til et musikkinstrument begeistres av en stående bølge. Denne bølgen dannes enten i en streng (strengeinstrumenter) eller i en luftsøyle (blåseinstrumenter). De reflekterende grensene i disse tilfellene er festepunktene til strengen og overflatene til de indre hulrommene til blåseinstrumenter.

Hver stående bølge har følgende egenskaper. Hele området i rommet der bølgen er opphisset kan deles inn i celler på en slik måte at svingninger er helt fraværende ved cellegrensene. Punktene som ligger på disse grensene kalles nodene til den stående bølgen. Fasene til oscillasjonene ved de indre punktene i hver celle er de samme. Oscillasjoner i naboceller gjøres mot hverandre, det vil si i antifase. Innenfor en celle varierer amplituden til oscillasjonene i rommet og når noen steder sin maksimale verdi. Punktene der dette observeres kalles antinodene til den stående bølgen. Til slutt er en karakteristisk egenskap ved stående bølger diskretiteten til deres frekvensspektrum. I en stående bølge kan oscillasjoner bare oppstå med strengt definerte frekvenser, og overgangen fra en av dem til en annen skjer i et hopp.

Tenk på et enkelt eksempel på en stående bølge. Anta at en streng med begrenset lengde strekkes langs aksen ; dens ender er stivt festet, og den venstre enden er ved opprinnelsen til koordinatene. Da blir koordinaten til høyre ende . La oss begeistre en bølge i en streng

,

sprer seg fra venstre til høyre. Bølgen vil bli reflektert fra høyre ende av strengen. La oss anta at dette skjer uten energitap. I dette tilfellet vil den reflekterte bølgen ha samme amplitude og samme frekvens som den innfallende bølgen. Derfor bør den reflekterte bølgen ha formen:

Dens fase inneholder en konstant som bestemmer faseendringen ved refleksjon. Siden refleksjon skjer i begge ender av strengen og uten tap av energi, vil bølger med samme frekvens samtidig forplante seg i strengen. Derfor bør interferens oppstå når du legger til. La oss finne den resulterende bølgen.

Dette er ligningen for stående bølge. Det følger av det at på hvert punkt av strengen oppstår vibrasjoner med en frekvens. I dette tilfellet er amplituden til oscillasjonene i et punkt lik

.

Siden endene av strengen er faste, er det ingen vibrasjoner der. Det følger av vilkåret at . Så vi ender opp med:

.

Det er nå klart at på punkter hvor , er det ingen svingninger i det hele tatt. Disse punktene er nodene til den stående bølgen. På samme sted, hvor oscillasjonsamplituden er maksimal, er den lik to ganger verdien av amplituden til de tilførte oscillasjonene. Disse punktene er antinodene til den stående bølgen. Utseendet til antinoder og knuter er nettopp interferensen: noen steder forsterkes svingningene, mens andre forsvinner. Avstanden mellom en nabonode og en antinode er funnet fra den åpenbare tilstanden: . Fordi da. Derfor er avstanden mellom tilstøtende noder .

Det kan sees av ligningen for stående bølge at faktoren når den passerer gjennom null, skifter den fortegn. I samsvar med dette avviker fasen av oscillasjoner på forskjellige sider av noden med . Dette betyr at punktene som ligger på motsatte sider av noden oscillerer i motfase. Alle punkter innelukket mellom to nabonoder oscillerer i samme fase.

Når man legger til de innfallende og reflekterte bølgene, er det således mulig å oppnå mønsteret av bølgebevegelsen som ble karakterisert tidligere. I dette tilfellet er cellene som ble diskutert i det endimensjonale tilfellet segmenter innelukket mellom nabonoder og har lengde .

Til slutt, la oss sørge for at bølgen vi har vurdert, bare kan eksistere ved strengt definerte oscillasjonsfrekvenser. La oss bruke det faktum at det ikke er vibrasjoner i høyre ende av strengen, det vil si . Derfor viser det seg at . Denne likheten er mulig hvis , hvor er et vilkårlig positivt heltall.