C 14 aritmetisk kvadratrot. Rotformler
Fakta 1.
\(\bullet\) Ta et ikke-negativt tall \(a\) (dvs. \(a\geqslant 0\) ). Deretter (aritmetikk) kvadratrot fra tallet \(a\) kalles et slikt ikke-negativt tall \(b\), når vi kvadrerer det får vi tallet \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(samme som )\quad a=b^2\] Det følger av definisjonen at \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Disse begrensningene er viktig tilstand eksistens kvadratrot Og de bør huskes!
Husk at et hvilket som helst tall når det er kvadratisk gir et ikke-negativt resultat. Det vil si \(100^2=10000\geqslant 0\) og \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Hva er \(\sqrt(25)\)? Vi vet at \(5^2=25\) og \((-5)^2=25\) . Siden vi per definisjon må finne et ikke-negativt tall, er ikke \(-5\) egnet, derav \(\sqrt(25)=5\) (siden \(25=5^2\) ).
Å finne verdien \(\sqrt a\) kalles å ta kvadratroten av tallet \(a\) , og tallet \(a\) kalles rotuttrykket.
\(\bullet\) Basert på definisjonen, uttrykkene \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) osv. gir ikke mening.
Fakta 2.
For raske beregninger vil det være nyttig å lære seg tabellen med kvadrater naturlige tall fra \(1\) til \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]
Fakta 3.
Hva kan gjøres med kvadratrøtter?
\(\kule\) Sum eller forskjell kvadratrøtter IKKE LIK med kvadratroten av summen eller differansen, dvs. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Derfor, hvis du for eksempel trenger å beregne \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , må du først finne verdiene \(\sqrt(25)\) og \(\sqrt (49)\ ) og deretter legge dem sammen. Følgelig \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Hvis verdiene\(\sqrt a\) eller \(\sqrt b\) ikke kan bli funnet når du legger til \(\sqrt a+\sqrt b\), blir ikke et slikt uttrykk videre konvertert og forblir som det er. For eksempel, i summen \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kan vi finne \(\sqrt(49)\) - dette er \(7\) , men \(\sqrt 2\) kan ikke være konvertert på noen måte, det er derfor \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Videre kan dette uttrykket dessverre ikke forenkles på noen måte.\(\bullet\) Produktet/kvotienten av kvadratrøtter er lik kvadratroten av produktet/kvotienten, dvs. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (forutsatt at begge deler av likestillingene gir mening)
Eksempel: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\);
\(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\);
\(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Ved å bruke disse egenskapene er det praktisk å finne kvadratrøttene til store tall ved å faktorisere dem.
Tenk på et eksempel. Finn \(\sqrt(44100)\) . Siden \(44100:100=441\) , deretter \(44100=100\cdot 441\) . I henhold til delbarhetskriteriet er tallet \(441\) delelig med \(9\) (siden summen av sifrene er 9 og er delelig med 9), derfor \(441:9=49\) , det vil si \(441=9\ cdot 49\) .
Dermed fikk vi: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] La oss se på et annet eksempel: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) La oss vise hvordan du legger inn tall under kvadratrottegnet ved å bruke eksempelet på uttrykket \(5\sqrt2\) (forkortelse for uttrykket \(5\cdot \sqrt2\) ). Siden \(5=\sqrt(25)\) , da \
Merk også at f.eks.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .
Hvorfor det? La oss forklare med eksempel 1). Som du allerede har forstått, kan vi på en eller annen måte ikke konvertere tallet \(\sqrt2\) . Tenk deg at \(\sqrt2\) er et tall \(a\) . Følgelig er uttrykket \(\sqrt2+3\sqrt2\) ikke annet enn \(a+3a\) (ett tall \(a\) pluss tre til av de samme tallene \(a\) ). Og vi vet at dette er lik fire slike tall \(a\) , det vil si \(4\sqrt2\) .
Fakta 4.
\(\bullet\) Det sies ofte «kan ikke trekke ut roten» når det ikke er mulig å kvitte seg med tegnet \(\sqrt () \ \) til roten (radikal) når man finner verdien av et tall. For eksempel kan du rote tallet \(16\) fordi \(16=4^2\) , så \(\sqrt(16)=4\) . Men å trekke ut roten fra tallet \(3\) , det vil si å finne \(\sqrt3\) , er det umulig, fordi det ikke er noe slikt tall som kvadrert vil gi \(3\) .
Slike tall (eller uttrykk med slike tall) er irrasjonelle. For eksempel tall \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) etc. er irrasjonelle.
Også irrasjonelle er tallene \(\pi\) (tallet "pi", omtrent lik \(3,14\) ), \(e\) (dette tallet kalles Euler-tallet, omtrent lik \(2) ,7\) ) osv.
\(\bullet\) Vær oppmerksom på at et hvilket som helst tall vil være enten rasjonelt eller irrasjonelt. Og sammen alle rasjonelle og alle irrasjonelle tall danne et sett kalt sett med reelle (reelle) tall. Dette settet er merket med bokstaven \(\mathbb(R)\) .
Dette betyr at alle tallene vi kjenner i dag kalles reelle tall.
Fakta 5.
\(\bullet\) Modulen til et reelt tall \(a\) er et ikke-negativt tall \(|a|\) lik avstanden fra punktet \(a\) til \(0\) på det reelle tall linje. For eksempel er \(|3|\) og \(|-3|\) lik 3, siden avstandene fra punktene \(3\) og \(-3\) til \(0\) er samme og lik \(3 \) .
\(\bullet\) Hvis \(a\) er et ikke-negativt tall, så \(|a|=a\) .
Eksempel: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Hvis \(a\) er et negativt tall, så \(|a|=-a\) .
Eksempel: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
De sier at for negative tall "spiser" modulen minus, og positive tall, så vel som tallet \(0\) , forlater modulen uendret.
MEN denne regelen gjelder kun for tall. Hvis du har en ukjent \(x\) (eller en annen ukjent) under modultegnet, for eksempel \(|x|\) , som vi ikke vet om den er positiv, lik null eller negativ, så bli kvitt modulen vi ikke kan. I dette tilfellet forblir dette uttrykket slik: \(|x|\) . \(\bullet\) Følgende formler holder: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst(levert ) a\geqslant 0\] Følgende feil blir ofte gjort: de sier at \(\sqrt(a^2)\) og \((\sqrt a)^2\) er det samme. Dette gjelder bare når \(a\) er et positivt tall eller null. Men hvis \(a\) er et negativt tall, er dette ikke sant. Det er nok å se på et slikt eksempel. La oss ta tallet \(-1\) i stedet for \(a\). Så \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , men uttrykket \((\sqrt (-1))^2\) eksisterer ikke i det hele tatt (fordi det er umulig under rottegnet sett inn negative tall!).
Derfor gjør vi oppmerksom på at \(\sqrt(a^2)\) ikke er lik \((\sqrt a)^2\) ! Eksempel: 1) \(\sqrt(\venstre(-\sqrt2\høyre)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), fordi \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Siden \(\sqrt(a^2)=|a|\) , deretter \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (uttrykket \(2n\) angir et partall)
Det vil si at når man trekker ut roten fra et tall som er i en viss grad, halveres denne graden.
Eksempel:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (merk at hvis modulen ikke er satt, så viser det seg at roten av tallet er lik \(-25 \) ; men vi husker , som, per definisjon av roten, dette ikke kan være: når vi trekker ut roten, bør vi alltid få et positivt tall eller null)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (siden ethvert tall i partall er ikke-negativt)
Fakta 6.
Hvordan sammenligne to kvadratrøtter?
\(\bullet\) Sant for kvadratrøtter: hvis \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) sammenlign \(\sqrt(50)\) og \(6\sqrt2\) . Først transformerer vi det andre uttrykket til \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Dermed, siden \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Mellom hvilke heltall er \(\sqrt(50)\) ?
Siden \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , og \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Sammenlign \(\sqrt 2-1\) og \(0,5\) . Anta \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((legg til en på begge sider))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kvadrat begge deler))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Vi ser at vi har fått en feil ulikhet. Derfor var vår antagelse feil og \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Merk at det å legge til et visst tall på begge sider av ulikheten ikke påvirker fortegnet. Å multiplisere/dele begge sider av en ulikhet med et positivt tall endrer heller ikke fortegn, men å multiplisere/dele med et negativt tall reverserer tegnet på ulikheten!
Begge sider av en ligning/ulikhet kan KUN kvadreres HVIS begge sider er ikke-negative. For eksempel, i ulikheten fra forrige eksempel, kan du kvadrat begge sider, i ulikheten \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\) Merk at \[\begin(justert) &\sqrt 2\ca. 1,4\\ &\sqrt 3\ca. 1,7 \end(aligned)\]Å vite den omtrentlige betydningen av disse tallene vil hjelpe deg når du sammenligner tall! \(\bullet\) For å trekke ut roten (hvis den er trukket ut) fra et stort tall som ikke er i rutetabellen, må du først bestemme mellom hvilke "hundrevis" den er, deretter mellom hvilke "tiere", og bestemmer deretter det siste sifferet i dette nummeret. La oss vise hvordan det fungerer med et eksempel.
Ta \(\sqrt(28224)\) . Vi vet at \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) og så videre. Merk at \(28224\) er mellom \(10\,000\) og \(40\,000\) . Derfor er \(\sqrt(28224)\) mellom \(100\) og \(200\) .
La oss nå bestemme mellom hvilke "tiere" tallet vårt er (det vil for eksempel være mellom \(120\) og \(130\) ). Vi vet også fra rutetabellen at \(11^2=121\) , \(12^2=144\) osv., deretter \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Så vi ser at \(28224\) er mellom \(160^2\) og \(170^2\) . Derfor er tallet \(\sqrt(28224)\) mellom \(160\) og \(170\) .
La oss prøve å bestemme det siste sifferet. La oss huske hvilke ensifrede tall ved kvadrating gir på slutten \ (4 \) ? Disse er \(2^2\) og \(8^2\) . Derfor vil \(\sqrt(28224)\) ende på enten 2 eller 8. La oss sjekke dette. Finn \(162^2\) og \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Derfor \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!
For å løse eksamen i matematikk tilstrekkelig, er det først og fremst nødvendig å studere det teoretiske materialet, som introduserer en rekke teoremer, formler, algoritmer, etc. Ved første øyekast kan det virke som om dette er ganske enkelt. Men å finne en kilde der teorien for Unified State Examination i matematikk presenteres enkelt og forståelig for elever med et hvilket som helst treningsnivå, er faktisk en ganske vanskelig oppgave. Skolebøker kan ikke alltid holdes for hånden. Og å finne de grunnleggende formlene for eksamen i matematikk kan være vanskelig selv på Internett.
Hvorfor er det så viktig å studere teori i matematikk, ikke bare for de som tar eksamen?
- Fordi det utvider horisonten din. Studiet av teoretisk stoff i matematikk er nyttig for alle som ønsker å få svar på en lang rekke spørsmål knyttet til kunnskap om verden. Alt i naturen er ordnet og har en klar logikk. Det er nettopp dette som gjenspeiles i vitenskapen, der det er mulig å forstå verden.
- Fordi det utvikler intellektet. Å studere referansemateriale til eksamen i matematikk, samt å løse ulike problemer, lærer en person å tenke og resonnere logisk, å formulere tanker riktig og tydelig. Han utvikler evnen til å analysere, generalisere, trekke konklusjoner.
Vi inviterer deg til personlig å vurdere alle fordelene ved vår tilnærming til systematisering og presentasjon av pedagogisk materiale.
Hva er en kvadratrot?
Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Dette konseptet er veldig enkelt. Naturlig, vil jeg si. Matematikere prøver å finne en reaksjon for hver handling. Det er addisjon og det er subtraksjon. Det er multiplikasjon og det er divisjon. Det er kvadrating ... Så det er også trekke ut kvadratroten! Det er alt. denne handlingen ( tar kvadratroten) i matematikk er merket med dette ikonet:
Selve ikonet kalles det vakre ordet " radikal".
Hvordan trekke ut roten? Det er bedre å vurdere eksempler.
Hva er kvadratroten av 9? Og hvilket tall i annen gir oss 9? 3 kvadrat gir oss 9! De:
Hva er kvadratroten av null? Ikke noe problem! Hvilket tall med null i annen gir? Ja, selv gir han null! Midler:
Fanget hva er en kvadratrot? Så vurderer vi eksempler:
Svar (i uorden): 6; en; fire; 9; 5.
Besluttet? Virkelig, det er mye enklere!
Men... Hva gjør en person når han ser en oppgave med røtter?
En person begynner å lengte ... Han tror ikke på enkelheten og lettheten til røttene. Selv om han ser ut til å vite hva er kvadratrot...
Dette er fordi en person har ignorert flere viktige punkter når han studerer røttene. Så tar disse motene brutalt hevn på prøver og eksamener ...
Punkt én. Røtter må gjenkjennes av synet!
Hva er kvadratroten av 49? Sju? Ikke sant! Hvordan visste du at det var syv? Kvadrat syv og fikk 49? Riktig! Vær oppmerksom på at trekke ut roten av 49 måtte vi gjøre omvendt operasjon - rute 7! Og pass på at vi ikke går glipp av. Eller de kan savne...
Der ligger vanskeligheten rotutvinning. Kvadring et hvilket som helst nummer er mulig uten problemer. Multipliser tallet med seg selv i en kolonne - og det er alt. Men for rotutvinning det finnes ingen så enkel og problemfri teknologi. Redegjøre plukke opp svar og sjekk det for truffet i kvadrat.
Denne komplekse kreative prosessen - å velge et svar - er sterkt forenklet hvis du huske kvadrater av populære tall. Som en multiplikasjonstabell. Hvis for eksempel du trenger å multiplisere 4 med 6 - du legger ikke de fire 6 ganger, gjør du? Svaret dukker umiddelbart opp 24. Selv om ikke alle har det, ja ...
For gratis og vellykket arbeid med røtter er det nok å kjenne kvadratene til tall fra 1 til 20. Dessuten, der og tilbake. De. du bør enkelt kunne navngi både, for eksempel, 11 i kvadrat og kvadratroten av 121. For å oppnå denne memoreringen er det to måter. Den første er å lære rutetabellen. Dette vil hjelpe mye med eksempler. Det andre er å løse flere eksempler. Det er flott å huske rutetabellen.
Og ingen kalkulatorer! Kun for verifisering. Ellers vil du senke farten nådeløst under eksamen ...
Så, hva er kvadratrot Og hvordan trekke ut røtter– Jeg synes det er forståelig. La oss nå finne ut FRA HVA du kan trekke dem ut fra.
Punkt to. Root, jeg kjenner deg ikke!
Hvilke tall kan du ta kvadratrøtter fra? Ja, nesten alle. Det er lettere å forstå hva det er forbudt trekke dem ut.
La oss prøve å beregne denne roten:
For å gjøre dette, må du plukke opp et tall som kvadrat vil gi oss -4. Vi velger.
Hva er ikke valgt? 2 2 gir +4. (-2) 2 gir +4 igjen! Det er det ... Det er ingen tall som, når de kvadreres, vil gi oss et negativt tall! Selv om jeg kjenner tallene. Men jeg vil ikke fortelle deg det.) Gå på college og finn ut av det selv.
Den samme historien vil være med et hvilket som helst negativt tall. Derav konklusjonen:
Et uttrykk der et negativt tall er under kvadratrottegnet - gir ikke mening! Dette er en forbudt operasjon. Like forbudt som å dele med null. Ha dette i bakhodet! Eller med andre ord:
Du kan ikke trekke ut kvadratrøtter fra negative tall!
Men av alt det andre - du kan. For eksempel er det mulig å beregne
Ved første øyekast er dette veldig vanskelig. Plukk opp brøker, men kvadrat opp ... Ikke bekymre deg. Når vi tar for oss egenskapene til røttene, vil slike eksempler reduseres til samme tabell med kvadrater. Livet blir lettere!
Ok brøker. Men vi møter fortsatt uttrykk som:
Det er greit. Alt det samme. Kvadratroten av to er tallet som, når det kvadreres, vil gi oss en toer. Bare tallet er helt ujevnt ... Her er det:
Interessant nok tar denne brøken aldri slutt... Slike tall kalles irrasjonelle. I kvadratrøtter er dette det vanligste. Det er forresten derfor uttrykk med røtter kalles irrasjonell. Det er klart at det er upraktisk å skrive en så uendelig brøk hele tiden. Derfor, i stedet for en uendelig brøk, lar de det være slik:
Hvis du, når du løser eksempelet, får noe som ikke kan trekkes ut, for eksempel:
så lar vi det være sånn. Dette vil være svaret.
Du må tydelig forstå hva som står under ikonene
Selvfølgelig, hvis roten av tallet er tatt glatt, du må gjøre det. Svaret på oppgaven i skjemaet, for eksempel
ganske fullstendig svar.
Og selvfølgelig må du vite de omtrentlige verdiene fra minnet:
Denne kunnskapen hjelper mye for å vurdere situasjonen i komplekse oppgaver.
Punkt tre. Den mest utspekulerte.
Hovedforvirringen i arbeidet med røttene kommer bare av denne kjepphest. Det er han som gir selvtillit ... La oss håndtere denne kjepphest ordentlig!
Til å begynne med trekker vi igjen kvadratroten av deres fire. Hva, har jeg allerede fått deg med denne roten?) Ingenting, nå blir det interessant!
Hvilket tall vil gi i kvadratet av 4? Vel, to, to - jeg hører misfornøyde svar ...
Ikke sant. To. Men også minus to vil gi 4 i rute ... I mellomtiden, svaret
riktig og svaret
groveste feil. Som dette.
Så hva er greia?
Faktisk, (-2) 2 = 4. Og under definisjonen av kvadratroten av fire minus to ganske passende ... Dette er også kvadratroten av fire.
Men! I skolekurset i matematikk er det vanlig å vurdere kvadratrøtter bare ikke-negative tall! Dvs null og alt positivt. Til og med et spesielt begrep ble laget: fra nummeret en- dette er ikke-negativ nummer hvis kvadrat er en. Negative resultater når du trekker ut den aritmetiske kvadratroten blir ganske enkelt forkastet. På skolen, alle kvadratrøtter - aritmetikk. Selv om det ikke er spesifikt nevnt.
Ok, det er forståelig. Det er enda bedre å ikke rote rundt med negative resultater... Det er ikke forvirring ennå.
Forvirringen begynner når man løser andregradsligninger. For eksempel må du løse følgende ligning.
Ligningen er enkel, vi skriver svaret (som lært):
Dette svaret (helt riktig, forresten) er bare en forkortet notasjon to svar:
Stopp stopp! Litt høyere skrev jeg at kvadratroten er et tall bestandig ikke-negativ! Og her er ett av svarene - negativ! Uorden. Dette er det første (men ikke det siste) problemet som forårsaker mistillit til røttene ... La oss løse dette problemet. La oss skrive ned svarene (rent for å forstå!) slik:
Parentesen endrer ikke essensen i svaret. Jeg skilte bare med parentes tegn fra rot. Nå ser man tydelig at selve roten (i parentes) fortsatt er et ikke-negativt tall! Og tegnene er resultatet av å løse ligningen. Når alt kommer til alt, når vi løser en ligning, må vi skrive alle x, som, når den settes inn i den opprinnelige ligningen, vil gi riktig resultat. Roten av fem (positiv!) passer for vår ligning med både pluss og minus.
Som dette. Hvis du bare ta kvadratroten fra alt du bestandig få en ikke-negativ resultat. For eksempel:
Fordi det - aritmetisk kvadratrot.
Men hvis du løser en annengradsligning som:
deretter bestandig det viser seg to svar (med pluss og minus):
Fordi det er løsningen på en ligning.
Håp, hva er kvadratrot du har rett med poengene dine. Nå gjenstår det å finne ut hva som kan gjøres med røttene, hva er deres egenskaper. Og hva er motene og undervannsboksene ... unnskyld meg, steiner!)
Alt dette - i de neste leksjonene.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)
du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.
Matematikk ble født da en person ble bevisst på seg selv og begynte å posisjonere seg som en autonom enhet av verden. Ønsket om å måle, sammenligne, beregne hva som omgir deg er det som ligger til grunn for en av våre dagers grunnleggende vitenskaper. Til å begynne med var dette deler av elementær matematikk, som gjorde det mulig å assosiere tall med deres fysiske uttrykk, senere begynte konklusjonene å bli presentert bare teoretisk (på grunn av deres abstrakthet), men etter en stund, som en vitenskapsmann sa det, " matematikk nådde taket av kompleksitet når alle tall." Konseptet "kvadratrot" dukket opp på et tidspunkt da det lett kunne støttes av empiriske data, og gikk utover beregningsplanet.
Hvordan det hele startet
Den første omtalen av roten, som for tiden er betegnet som √, ble registrert i skriftene til de babylonske matematikerne, som la grunnlaget for moderne aritmetikk. Selvfølgelig så de litt ut som den nåværende formen - forskerne fra disse årene brukte først klumpete tabletter. Men i det andre årtusen f.Kr. e. de kom opp med en omtrentlig regneformel som viste hvordan man tar kvadratroten. Bildet nedenfor viser en stein som babylonske forskere hugget utdataprosessen √2 på, og den viste seg å være så riktig at avviket i svaret bare ble funnet i tiende desimal.
I tillegg ble roten brukt hvis det var nødvendig å finne siden av en trekant, forutsatt at de to andre var kjent. Vel, når du løser andregradsligninger, er det ingen unnslippe fra å trekke ut roten.
Sammen med de babylonske verkene ble gjenstanden for artikkelen også studert i det kinesiske verket "Matematikk i ni bøker", og de gamle grekerne kom til den konklusjonen at ethvert tall som roten ikke er hentet fra uten en rest gir et irrasjonelt resultat .
Opprinnelsen til dette begrepet er assosiert med den arabiske representasjonen av tallet: gamle forskere trodde at kvadratet til et vilkårlig tall vokser fra roten, som en plante. På latin høres dette ordet ut som radix (man kan spore et mønster - alt som har en "rot" semantisk belastning er konsonant, enten det er reddik eller isjias).
Forskere fra påfølgende generasjoner plukket opp denne ideen og utpekte den som Rx. For eksempel, på 1400-tallet, for å indikere at kvadratroten er hentet fra et vilkårlig tall a, skrev de R 2 a. "Flåtten" √, kjent for det moderne utseendet, dukket opp først på 1600-tallet takket være Rene Descartes.
Dagene våre
Matematisk er kvadratroten av y tallet z hvis kvadrat er y. Med andre ord er z 2 =y ekvivalent med √y=z. Imidlertid er denne definisjonen bare relevant for den aritmetiske roten, siden den innebærer en ikke-negativ verdi av uttrykket. Med andre ord, √y=z, der z er større enn eller lik 0.
Generelt, som er gyldig for å bestemme den algebraiske roten, kan verdien av uttrykket være enten positiv eller negativ. På grunn av det faktum at z 2 =y og (-z) 2 =y, har vi: √y=±z eller √y=|z|.
På grunn av det faktum at kjærligheten til matematikk bare har økt med utviklingen av vitenskapen, er det forskjellige manifestasjoner av kjærlighet til det, ikke uttrykt i tørre beregninger. For eksempel, sammen med slike interessante begivenheter som Pi-dagen, feires også helligdagene til kvadratroten. De feires ni ganger på hundre år, og bestemmes etter følgende prinsipp: tallene som angir dagen og måneden i rekkefølge må være kvadratroten av året. Så neste gang vil denne høytiden feires 4. april 2016.
Egenskaper til kvadratroten på feltet R
Nesten alle matematiske uttrykk har et geometrisk grunnlag, denne skjebnen gikk ikke forbi og √y, som er definert som siden av en firkant med området y.
Hvordan finne roten til et tall?
Det finnes flere beregningsalgoritmer. Den enkleste, men samtidig ganske tungvinte, er den vanlige aritmetiske beregningen, som er som følger:
1) fra tallet hvis rot vi trenger, trekkes oddetall etter tur - inntil resten av utgangen er mindre enn den subtraherte eller til og med er lik null. Antall trekk vil etter hvert bli ønsket antall. For eksempel beregne kvadratroten av 25:
Det neste oddetall er 11, resten er: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
For slike tilfeller er det en utvidelse av Taylor-serien:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , hvor n tar verdier fra 0 til
+∞, og |y|≤1.
Grafisk representasjon av funksjonen z=√y
Tenk på en elementær funksjon z=√y i feltet til reelle tall R, der y er større enn eller lik null. Diagrammet hennes ser slik ut:
Kurven vokser fra origo og krysser nødvendigvis punktet (1; 1).
Egenskaper til funksjonen z=√y på feltet til reelle tall R
1. Definisjonsdomenet til den vurderte funksjonen er intervallet fra null til pluss uendelig (null er inkludert).
2. Verdiområdet til den vurderte funksjonen er intervallet fra null til pluss uendelig (null er igjen inkludert).
3. Funksjonen tar minimumsverdien (0) kun ved punktet (0; 0). Det er ingen maksimumsverdi.
4. Funksjonen z=√y er verken partall eller oddetall.
5. Funksjonen z=√y er ikke periodisk.
6. Det er bare ett skjæringspunkt for grafen til funksjonen z=√y med koordinataksene: (0; 0).
7. Skjæringspunktet for grafen til funksjonen z=√y er også nullpunktet til denne funksjonen.
8. Funksjonen z=√y vokser kontinuerlig.
9. Funksjonen z=√y tar bare positive verdier, derfor opptar grafen dens første koordinatvinkel.
Alternativer for å vise funksjonen z=√y
I matematikk, for å lette beregningen av komplekse uttrykk, brukes noen ganger kraftformen for å skrive kvadratroten: √y=y 1/2. Dette alternativet er praktisk, for eksempel ved å heve en funksjon til en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Denne metoden er også en god representasjon for differensiering med integrasjon, siden kvadratroten takket være den representeres av en vanlig potensfunksjon.
Og i programmering er erstatningen for symbolet √ kombinasjonen av bokstaver sqrt.
Det er verdt å merke seg at i dette området er kvadratroten etterspurt, da den er en del av de fleste geometriske formlene som er nødvendige for beregninger. Selve tellealgoritmen er ganske komplisert og er basert på rekursjon (en funksjon som kaller seg selv).
Kvadratroten i det komplekse feltet C
I det store og hele var det emnet for denne artikkelen som stimulerte oppdagelsen av feltet komplekse tall C, siden matematikere ble hjemsøkt av spørsmålet om å få en jevn gradsrot fra et negativt tall. Slik så den imaginære enheten i ut, som er preget av en veldig interessant egenskap: kvadratet er -1. Takket være dette fikk andregradsligninger og med en negativ diskriminant en løsning. I C, for kvadratroten, er de samme egenskapene relevante som i R, det eneste er at restriksjonene på rotuttrykket fjernes.
Elevene spør alltid: «Hvorfor kan jeg ikke bruke kalkulator på en matteeksamen? Hvordan trekke ut kvadratroten av et tall uten kalkulator? La oss prøve å svare på dette spørsmålet.
Hvordan trekke ut kvadratroten av et tall uten hjelp av en kalkulator?
Handling kvadratrotutvinning det motsatte av kvadrating.
√81= 9 9 2 =81
Hvis vi tar kvadratroten av et positivt tall og kvadrerer resultatet, får vi samme tall.
Fra små tall som er eksakte kvadrater av naturlige tall, for eksempel 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, kan kvadratrøtter trekkes ut verbalt. Vanligvis lærer de på skolen en tabell med kvadrater med naturlige tall opp til tjue. Når du kjenner denne tabellen, er det enkelt å trekke ut kvadratrøttene fra tallene 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Fra tall større enn 400 kan du trekke ut ved å bruke utvalgsmetoden ved å bruke noen tips. La oss prøve et eksempel for å vurdere denne metoden.
Eksempel: Trekk ut roten til tallet 676.
Vi legger merke til at 20 2 \u003d 400, og 30 2 \u003d 900, som betyr 20< √676 < 900.
Nøyaktige kvadrater av naturlige tall ender på 0; en; fire; 5; 6; 9.
Tallet 6 er gitt av 4 2 og 6 2 .
Så hvis roten er hentet fra 676, er den enten 24 eller 26.
Det gjenstår å sjekke: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Svar: √676 = 26 .
Mer eksempel: √6889 .
Siden 80 2 \u003d 6400, og 90 2 \u003d 8100, deretter 80< √6889 < 90.
Tallet 9 er gitt av 3 2 og 7 2, deretter er √6889 enten 83 eller 87.
Sjekk: 83 2 = 6889.
Svar: √6889 = 83 .
Hvis du synes det er vanskelig å løse med seleksjonsmetoden, kan du faktorisere rotuttrykket.
For eksempel, finn √893025.
La oss faktorisere tallet 893025, husk at du gjorde det i sjette klasse.
Vi får: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Mer eksempel: √20736. La oss faktorisere tallet 20736:
Vi får √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Factoring krever selvfølgelig kunnskap om delebarhetskriterier og factoringferdigheter.
Og til slutt er det kvadratrotregel. La oss se på denne regelen med et eksempel.
Beregn √279841.
For å trekke ut roten til et flersifret heltall, deler vi det fra høyre til venstre i ansikter som inneholder 2 sifre hver (det kan være ett siffer i venstre ytterside). Skriv slik 27'98'41
For å få det første sifferet av roten (5), trekker vi ut kvadratroten av det største eksakte kvadratet i den første venstre siden (27).
Deretter trekkes kvadratet av det første sifferet av roten (25) fra den første flaten og neste side (98) tilskrives (revet) differansen.
Til venstre for det mottatte tallet 298 skriver de dobbeltsifferet til roten (10), deler med det tallet på alle tiere av det tidligere oppnådde tallet (29/2 ≈ 2), opplev kvotienten (102 ∙ 2 = 204 skal ikke være mer enn 298) og skriv (2) etter det første sifferet i roten.
Deretter trekkes den resulterende kvotienten 204 fra 298, og den neste fasetten (41) blir tilskrevet (revet) til differansen (94).
Til venstre for det resulterende tallet 9441 skriver de dobbeltproduktet av sifrene i roten (52 ∙ 2 = 104), del med dette produktet tallet på alle tiere av tallet 9441 (944/104 ≈ 9), erfaring kvotienten (1049 ∙ 9 = 9441) skal være 9441 og skriv den ned (9) etter det andre sifferet i roten.
Vi fikk svaret √279841 = 529.
På samme måte trekke ut røttene av desimaler. Bare det radikale tallet må deles inn i ansikter slik at kommaet står mellom ansiktene.
Eksempel. Finn verdien √0,00956484.
Bare husk at hvis desimalbrøken har et oddetall desimaler, trekkes ikke kvadratroten nøyaktig ut fra den.
Så nå har du sett tre måter å trekke ut roten på. Velg den som passer deg best og øv deg. For å lære hvordan du løser problemer, må du løse dem. Og hvis du har spørsmål, meld deg på leksjonene mine.
nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.
I denne artikkelen vil vi introdusere begrepet roten til et tall. Vi vil handle sekvensielt: vi starter med kvadratroten, fra den vil vi gå videre til beskrivelsen av kuberoten, etter det vil vi generalisere begrepet rot ved å definere roten til n-te grad. Samtidig vil vi introdusere definisjoner, notasjon, gi eksempler på røtter og gi nødvendige forklaringer og kommentarer.
Kvadratrot, aritmetisk kvadratrot
For å forstå definisjonen av roten til et tall, og kvadratroten spesielt, må man ha . På dette tidspunktet vil vi ofte møte andre potens av et tall - kvadratet av et tall.
La oss begynne med kvadratrotdefinisjoner.
Definisjon
Kvadratroten av a er tallet hvis kvadrat er a .
For å bringe eksempler på kvadratrøtter, ta flere tall, for eksempel 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , og kvadrere dem, får vi tallene 25 , 0.09 , 0.09 og 0 henholdsvis (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2=0,3 0,3=0,09 og 02=00=0). I henhold til definisjonen ovenfor er 5 kvadratroten av 25, −0,3 og 0,3 er kvadratrøttene av 0,09, og 0 er kvadratroten av null.
Det skal bemerkes at ikke for noe tall eksisterer en , hvis kvadrat er lik a . For ethvert negativt tall a er det nemlig ikke noe reelt tall b hvis kvadrat er lik a. Faktisk er likheten a=b 2 umulig for enhver negativ a , siden b 2 er et ikke-negativt tall for enhver b . På denne måten, på settet med reelle tall er det ingen kvadratrot av et negativt tall. Med andre ord, på settet med reelle tall, er kvadratroten av et negativt tall ikke definert og har ingen betydning.
Dette fører til et logisk spørsmål: "Finnes det en kvadratrot av a for enhver ikke-negativ a"? Svaret er ja. Begrunnelsen for dette faktum kan betraktes som en konstruktiv metode som brukes for å finne verdien av kvadratroten.
Da oppstår følgende logiske spørsmål: "Hva er antallet av alle kvadratrøtter av et gitt ikke-negativt tall a - en, to, tre eller enda mer"? Her er svaret på det: hvis a er null, så er den eneste kvadratroten av null null; hvis a er et positivt tall, så er antallet kvadratrøtter fra tallet a lik to, og røttene er . La oss underbygge dette.
La oss starte med tilfellet a=0 . La oss først vise at null faktisk er kvadratroten av null. Dette følger av den åpenbare likheten 0 2 =0·0=0 og definisjonen av kvadratroten.
La oss nå bevise at 0 er den eneste kvadratroten av null. La oss bruke den motsatte metoden. La oss anta at det er et tall b som ikke er null, som er kvadratroten av null. Da må betingelsen b 2 =0 være oppfylt, noe som er umulig, siden for enhver ikke-null b verdien av uttrykket b 2 er positiv. Vi har kommet til en motsetning. Dette beviser at 0 er den eneste kvadratroten av null.
La oss gå videre til tilfeller der a er et positivt tall. Ovenfor sa vi at det alltid er en kvadratrot av et ikke-negativt tall, la b være kvadratroten av a. La oss si at det er et tall c , som også er kvadratroten av a . Da, ved definisjonen av kvadratroten, er likhetene b 2 =a og c 2 =a gyldige, hvorav det følger at b 2 −c 2 =a−a=0, men siden b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c), deretter (b−c) (b+c)=0 . Den resulterende likheten i kraft egenskaper ved handlinger med reelle tall bare mulig når b−c=0 eller b+c=0 . Dermed er tallene b og c like eller motsatte.
Hvis vi antar at det er et tall d, som er en annen kvadratrot av tallet a, så bevises det ved å resonnere som de allerede er gitt at d er lik tallet b eller tallet c. Så antallet kvadratrøtter av et positivt tall er to, og kvadratrøttene er motsatte tall.
For å gjøre det lettere å jobbe med kvadratrøtter, er den negative roten "atskilt" fra den positive. For dette formålet introduserer den definisjon av aritmetisk kvadratrot.
Definisjon
Aritmetisk kvadratrot av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik a .
For den aritmetiske kvadratroten av tallet a, aksepteres notasjonen. Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet. Det kalles også det radikales tegn. Derfor kan du delvis høre både "root" og "radikal", som betyr samme objekt.
Tallet under det aritmetiske kvadratrottegnet kalles rotnummer, og uttrykket under rottegnet - radikalt uttrykk, mens begrepet «radikalt tall» ofte erstattes med «radikalt uttrykk». For eksempel, i notasjonen er tallet 151 et radikalt tall, og i notasjonen er uttrykket a et radikalt uttrykk.
Ved lesing blir ordet «aritmetikk» ofte utelatt, for eksempel leses oppføringen som «kvadratroten av syv komma tjueni hundredeler». Ordet «aritmetikk» uttales kun når de vil understreke at vi snakker om den positive kvadratroten av et tall.
I lys av den introduserte notasjonen følger det av definisjonen av den aritmetiske kvadratroten at for ethvert ikke-negativt tall a .
Kvadratrøttene til et positivt tall a skrives ved å bruke det aritmetiske kvadratrottegnet som og . For eksempel er kvadratrøttene av 13 og . Den aritmetiske kvadratroten av null er null, det vil si. For negative tall a, vil vi ikke legge betydning til oppføringene før vi studerer komplekse tall. For eksempel er uttrykkene og meningsløse.
Ut fra definisjonen av en kvadratrot bevises egenskaper ved kvadratrøtter, som ofte brukes i praksis.
For å konkludere med dette underavsnittet, legger vi merke til at kvadratrøttene til et tall er løsninger på formen x 2 =a med hensyn til variabelen x .
terningrot av
Definisjon av terningroten av tallet a er gitt på lignende måte som definisjonen av kvadratroten. Bare det er basert på konseptet med en kube av et tall, ikke et kvadrat.
Definisjon
Terningsroten til en et tall hvis terning er lik a kalles.
La oss ta med eksempler på kuberøtter. For å gjøre dette, ta flere tall, for eksempel 7 , 0 , −2/3 , og kube dem: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Så, basert på definisjonen av terningroten, kan vi si at tallet 7 er terningroten av 343, 0 er terningroten av null, og −2/3 er terningroten av −8/27.
Det kan vises at terningroten av tallet a, i motsetning til kvadratroten, alltid eksisterer, og ikke bare for ikke-negativ a, men også for et hvilket som helst reelt tall a. For å gjøre dette kan du bruke samme metode som vi nevnte da vi studerte kvadratroten.
Dessuten er det bare én terningrot av et gitt tall a. La oss bevise den siste påstanden. For å gjøre dette, vurdere tre tilfeller separat: a er et positivt tall, a=0 og a er et negativt tall.
Det er lett å vise at for positiv a, kan ikke terningroten til a være verken negativ eller null. Faktisk, la b være terningroten til a , så kan vi per definisjon skrive likheten b 3 =a . Det er klart at denne likheten ikke kan være sann for negativ b og for b=0, siden b 3 =b·b·b i disse tilfellene vil være henholdsvis et negativt tall eller null. Så terningroten av et positivt tall a er et positivt tall.
Anta nå at det i tillegg til tallet b er en mer terningrot fra tallet a, la oss betegne det c. Så c 3 =a. Derfor er b 3 −c 3 =a−a=0 , men b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 + b c+c 2)(dette er den forkortede multiplikasjonsformelen forskjell på terninger), hvorfra (b-c) (b 2 + b c + c 2) = 0 . Den resulterende likheten er bare mulig når b−c=0 eller b 2 +b c+c 2 =0 . Fra den første likheten har vi b=c , og den andre likheten har ingen løsninger, siden dens venstre side er et positivt tall for eventuelle positive tall b og c som summen av tre positive ledd b 2 , b c og c 2 . Dette beviser unikheten til kuberoten til et positivt tall a.
For a=0 er den eneste terningsroten av a null. Faktisk, hvis vi antar at det er et tall b , som er en ikke-null terningrot av null, så må likheten b 3 =0 holde, noe som bare er mulig når b=0 .
For negativ a kan man argumentere tilsvarende tilfellet for positiv a . Først viser vi at terningroten av et negativt tall ikke kan være lik verken et positivt tall eller null. For det andre antar vi at det er en andre terningrot av et negativt tall og viser at den nødvendigvis vil falle sammen med den første.
Så det er alltid en terningrot av et gitt reelt tall a, og bare ett.
La oss gi definisjon av aritmetisk terningrot.
Definisjon
Aritmetisk terningrot av et ikke-negativt tall a et ikke-negativt tall hvis terning er lik a kalles.
Den aritmetiske kuberoten av et ikke-negativt tall a er betegnet som , tegnet kalles tegnet til den aritmetiske kuberoten, tallet 3 i denne notasjonen kalles rotindikator. Nummeret under rottegnet er rotnummer, er uttrykket under rottegnet radikalt uttrykk.
Selv om den aritmetiske kuberoten er definert kun for ikke-negative tall a, er det også praktisk å bruke oppføringer der negative tall står under det aritmetiske kubrottegnet. Vi vil forstå dem som følger: , hvor a er et positivt tall. For eksempel, 
.
Vi vil snakke om egenskapene til kuberøtter i den generelle artikkelen egenskaper til røtter.
Å beregne verdien av en terningrot kalles å trekke ut en terningrot, denne handlingen er omtalt i artikkelen trekke ut røtter: metoder, eksempler, løsninger.
For å konkludere med dette underavsnittet, sier vi at terningsroten til a er en løsning av formen x 3 =a.
N-te rot, aritmetisk rot av n
Vi generaliserer begrepet rot fra et tall - vi introduserer bestemmelse av den n-te roten for n.
Definisjon
n-te rot av en er et tall hvis n-te potens er lik a.
Fra denne definisjonen er det klart at roten til den første graden fra tallet a er tallet a selv, siden når vi studerte graden med en naturlig indikator, tok vi en 1 = a.
Ovenfor tok vi for oss spesielle tilfeller av roten av n-te grad for n=2 og n=3 - kvadratroten og kuberoten. Det vil si at kvadratroten er roten av andre grad, og kuberoten er roten av tredje grad. For å studere røttene til den n-te graden for n=4, 5, 6, ..., er det praktisk å dele dem inn i to grupper: den første gruppen - røttene til jevne grader (det vil si for n=4, 6 , 8, ...), den andre gruppen - røttene odde grader (det vil si for n=5, 7, 9, ... ). Dette skyldes det faktum at røttene til partallsgrader ligner kvadratroten, og røttene til odde grader ligner kubikkroten. La oss håndtere dem etter tur.
La oss starte med røttene, hvis potenser er partallene 4, 6, 8, ... Som vi allerede har sagt, ligner de kvadratroten av tallet a. Det vil si at roten til en jevn grad fra tallet a eksisterer bare for ikke-negativ a. Dessuten, hvis a=0, så er roten av a unik og lik null, og hvis a>0, så er det to røtter av en partall grad fra tallet a, og de er motsatte tall.
La oss begrunne den siste påstanden. La b være en rot av en jevn grad (vi betegner det som 2·m, der m er et naturlig tall) fra a. Anta at det er et tall c - ytterligere 2 m rot av a . Da er b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Men vi kjenner til formen b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2), deretter (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +...+c 2 m−2)=0. Av denne likheten følger det at b−c=0 , eller b+c=0 , eller b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. De to første likhetene betyr at tallene b og c er like eller b og c er motsatte. Og den siste likheten er bare gyldig for b=c=0 , siden dens venstre side inneholder et uttrykk som er ikke-negativt for enhver b og c som summen av ikke-negative tall.
Når det gjelder røttene til n-te grad for oddetall n, ligner de på kuberoten. Det vil si at roten til en hvilken som helst oddetall fra tallet a eksisterer for et hvilket som helst reelt tall a, og for et gitt tall a er det unikt.
Det unike til roten av oddegrad 2·m+1 fra tallet a er bevist i analogi med beviset for unikheten til terningroten fra en . Bare her i stedet for likestilling a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) en likhet på formen b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m). Uttrykket i siste parentes kan skrives om som b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m−2 + c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). For eksempel, for m=2 har vi b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Når a og b begge er positive eller begge negative, er produktet deres et positivt tall, så er uttrykket b 2 +c 2 +b·c , som står i parentes for den høyeste graden av hekking, positivt som summen av positive tall. Nå går vi suksessivt til uttrykkene i parentes for de tidligere hekkegradene, og sørger for at de også er positive som summene av positive tall. Som et resultat får vi at likheten b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +... +c 2 m)=0 kun mulig når b−c=0 , det vil si når tallet b er lik tallet c .
Det er på tide å forholde seg til notasjonen av røttene til den n-te graden. For dette er det gitt bestemmelse av den aritmetiske roten av n-te grad.
Definisjon
Den aritmetiske roten av den n-te graden av et ikke-negativt tall a et ikke-negativt tall kalles, hvis n-te potens er lik a.
