Parametrisk ligning av en rett linje på et plan. Parametriske ligninger Ligning av en rett linje i en parametrisk form i rommet

Sørg for å lese denne paragrafen! Parametriske ligninger er selvfølgelig ikke alfa og omega for romlig geometri, men arbeidsmauren til mange problemer. Dessuten brukes denne typen ligninger ofte uventet, og jeg vil si, elegant.

Hvis punktet som tilhører linjen og retningsvektoren til denne linjen er kjent, er de parametriske ligningene til denne linjen gitt av systemet:

Jeg snakket om selve konseptet med parametriske ligninger i timene Ligning av en rett linje på et plan og Derivert av en parametrisk definert funksjon.

Alt er enklere enn en dampet kålrot, så du må krydre oppgaven:

Eksempel 7

Beslutning: Linjene er gitt ved kanoniske ligninger og på det første trinnet bør man finne et punkt som tilhører linjen og dens retningsvektor.

a) Fjern punktet og retningsvektoren fra ligningene: . Du kan velge et annet punkt (hvordan du gjør dette er beskrevet ovenfor), men det er bedre å ta det mest åpenbare. Forresten, for å unngå feil, bytt alltid koordinatene inn i ligningene.

La oss komponere de parametriske ligningene til denne rette linjen:

Det praktiske med parametriske ligninger er at med deres hjelp er det veldig enkelt å finne andre punkter på linjen. La oss for eksempel finne et punkt hvis koordinater, for eksempel, tilsvarer verdien av parameteren:

Og dermed:

b) Tenk på de kanoniske ligningene . Valget av et punkt her er enkelt, men lumsk: (pass på så du ikke blander sammen koordinatene!!!). Hvordan trekke ut en guidevektor? Du kan argumentere for hva denne rette linjen er parallell med, eller du kan bruke et enkelt formelt triks: proporsjonen er "y" og "z", så vi skriver retningsvektoren , og setter null i det gjenværende rommet: .

Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen:

c) La oss skrive om likningene i formen , det vil si at "Z" kan være hva som helst. Og hvis noen, så la for eksempel . Dermed hører punktet til denne linjen. For å finne retningsvektoren bruker vi følgende formelle teknikk: i startligningene er det "x" og "y", og i retningsvektoren på disse stedene skriver vi nuller: . På det resterende stedet legger vi enhet: . I stedet for én vil et hvilket som helst tall, bortsett fra null, gjøre det.

Vi skriver de parametriske ligningene til den rette linjen:

For trening:

Eksempel 8

Skriv parametriske ligninger for følgende linjer:

Løsninger og svar på slutten av leksjonen. Svarene dine kan avvike litt fra mine svar, faktum er det parametriske ligninger kan skrives på mer enn én måte. Det er viktig at retningsvektorene dine og mine er kollineære, og at punktet ditt "passer" med ligningene mine (vel, eller omvendt, mitt poeng med ligningene dine).

Hvordan kan du ellers definere en rett linje i rommet? Jeg vil gjerne finne på noe med normalvektoren. Tallet vil imidlertid ikke fungere, for en mellomromslinje kan normale vektorer se i helt forskjellige retninger.

En annen metode er allerede nevnt i leksjonen Planligning og i begynnelsen av denne artikkelen.

VINKEL MELLOM FLY

La oss vurdere to plan α 1 og α 2 gitt henholdsvis av ligningene:

Under vinkel mellom to plan mener vi en av de dihedrale vinklene som dannes av disse planene. Det er åpenbart at vinkelen mellom normalvektorene og planene α 1 og α 2 er lik en av de indikerte tilstøtende dihedrale vinklene eller . Så . Fordi og , deretter

Eksempel. Bestem vinkelen mellom planene x+2y-3z+4=0 og 2 x+3y+z+8=0.

Tilstand for parallellitet til to plan.

To plan α 1 og α 2 er parallelle hvis og bare hvis deres normalvektorer og er parallelle, og dermed .

Så to plan er parallelle med hverandre hvis og bare hvis koeffisientene ved de tilsvarende koordinatene er proporsjonale:

eller

Betingelse for vinkelrett av plan.

Det er klart at to plan er vinkelrette hvis og bare hvis deres normale vektorer er vinkelrette, og derfor, eller .

Og dermed, .

Eksempler.

DIREKTE I ROMMET.

VEKTORLIGNING DIREKTE.

PARAMETRISKE LIGNINGER DIREKTE

Posisjonen til en rett linje i rommet bestemmes fullstendig ved å spesifisere noen av dens faste punkter M 1 og en vektor parallelt med denne linjen.

En vektor parallell med en rett linje kalles veiledning vektoren til denne linjen.

Så la det rette l går gjennom et punkt M 1 (x 1 , y 1 , z 1) liggende på en rett linje parallelt med vektoren.

Tenk på et vilkårlig poeng M(x,y,z) på en rett linje. Det kan sees av figuren at .

Vektorene og er kollineære, så det er et slikt tall t, hva , hvor er multiplikatoren t kan ta hvilken som helst numerisk verdi avhengig av posisjonen til punktet M på en rett linje. Faktor t kalles en parameter. Angir radiusvektorene til punktene M 1 og M henholdsvis gjennom og , får vi . Denne ligningen kalles vektor rettlinjeligning. Den viser at hver parameterverdi t tilsvarer radiusvektoren til et punkt M liggende på en rett linje.

Vi skriver denne ligningen på koordinatform. Legg merke til det , og herfra

De resulterende ligningene kalles parametrisk rettlinjeligninger.

Ved endring av parameter t koordinatene endres x, y og z og prikk M beveger seg i en rett linje.

KANONISKE LIGNINGER DIREKTE

La være M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - et punkt som ligger på en rett linje l, og er retningsvektoren. Igjen, ta et vilkårlig punkt på en rett linje M(x,y,z) og vurdere vektoren.

Det er klart at vektorene og er kollineære, så deres respektive koordinater må være proporsjonale, derfor

– kanonisk rettlinjeligninger.

Merknad 1. Merk at de kanoniske ligningene til linjen kan fås fra de parametriske ligningene ved å eliminere parameteren t. Faktisk, fra de parametriske ligningene vi får eller .

Eksempel. Skriv ligningen til en rett linje på en parametrisk måte.

Betegn , derfor x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Merknad 2. La linjen være vinkelrett på en av koordinataksene, for eksempel aksen Okse. Da er retningsvektoren til linjen vinkelrett Okse, derfor, m=0. Følgelig tar de parametriske ligningene til den rette linjen formen

Eliminering av parameteren fra ligningene t, får vi ligningene til den rette linjen i formen

Men også i dette tilfellet er vi enige om å formelt skrive de kanoniske ligningene til den rette linjen i skjemaet . Således, hvis nevneren til en av brøkene er null, betyr dette at linjen er vinkelrett på den tilsvarende koordinataksen.

Tilsvarende de kanoniske ligningene tilsvarer en rett linje vinkelrett på aksene Okse og Oy eller parallell akse Oz.

Eksempler.

GENERELLE LIGNINGER EN DIREKTE LINJE SOM EN LINJE FOR AVSkjærING AV TO FLY

Gjennom hver rett linje i rommet går et uendelig antall plan. Hvilke som helst to av dem, kryssende, definerer det i rommet. Derfor er likningene til to slike plan, sett sammen, likningene til denne linjen.

Generelt, alle to ikke-parallelle plan gitt av de generelle ligningene

bestemme deres skjæringslinje. Disse ligningene kalles generelle ligninger rett.

Eksempler.

Konstruer en rett linje gitt ved ligninger

For å konstruere en linje er det nok å finne to av punktene. Den enkleste måten er å velge skjæringspunktene for linjen med koordinatplanene. For eksempel skjæringspunktet med flyet xOy vi får fra likningene til en rett linje, forutsatt z= 0:

Når vi løser dette systemet, finner vi poenget M 1 (1;2;0).

På samme måte, forutsatt y= 0, får vi skjæringspunktet for linjen med planet xOz:

Fra de generelle ligningene til en rett linje kan man gå videre til dens kanoniske eller parametriske ligninger. For å gjøre dette, må du finne et poeng M 1 på linjen og retningsvektoren til linjen.

Punktkoordinater M 1 får vi fra dette ligningssystemet, og gir en av koordinatene en vilkårlig verdi. For å finne retningsvektoren, merk at denne vektoren må være vinkelrett på begge normalvektorene og . Derfor, for retningsvektoren til den rette linjen l du kan ta kryssproduktet av normale vektorer:

Eksempel. Gi de generelle ligningene for den rette linjen til den kanoniske formen.

Finn et punkt på en rett linje. For å gjøre dette velger vi vilkårlig en av koordinatene, for eksempel, y= 0 og løs ligningssystemet:

Normalvektorene til planene som definerer linjen har koordinater Derfor vil retningsvektoren være rett

. Derfor, l: .

VINKEL MELLOM RETTIGHETER

hjørne mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.

La to rette linjer gis i rommet:

Åpenbart kan vinkelen φ mellom linjene tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da i henhold til formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorene får vi

Et av underelementene til emnet "Ligningen til en rett linje på et plan" er spørsmålet om å kompilere parametriske ligninger av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem. Artikkelen nedenfor diskuterer prinsippet for å kompilere slike ligninger for visse kjente data. La oss vise hvordan man går fra parametriske ligninger til ligninger av en annen form; La oss analysere løsningen av typiske problemer.

En bestemt linje kan defineres ved å spesifisere et punkt som tilhører den linjen og en retningsvektor for linjen.

Anta at vi får et rektangulært koordinatsystem O x y . Og også den rette linjen a er gitt, som indikerer punktet M 1 som ligger på den (x 1, y 1) og retningsvektoren til den gitte rette linjen a → = (a x , a y) . Vi gir en beskrivelse av den gitte linjen a ved hjelp av ligninger.

Vi bruker et vilkårlig punkt M (x, y) og får en vektor M1M →; beregne koordinatene fra koordinatene til start- og sluttpunktene: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . La oss beskrive resultatet: linjen er gitt av et sett med punkter M (x, y), går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og har en retningsvektor a → = (a x , a y) . Det spesifiserte settet definerer en rett linje bare når vektorene M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) og a → = (a x , a y) er kollineære.

Det er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for kollineariteten til vektorer, som i dette tilfellet for vektorene M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) og a → = (a x , a y) kan skrives som en ligning:

M 1 M → = λ · a → , hvor λ er et reelt tall.

Definisjon 1

Ligningen M 1 M → = λ · a → kalles den vektorparametriske ligningen til linjen.

I koordinatform ser det slik ut:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Likningene til det resulterende systemet x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ kalles parametriske likninger av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem. Essensen av navnet er som følger: koordinatene til alle punktene på en rett linje kan bestemmes av parametriske ligninger på et plan av formen x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ når det itereres over alle reelle verdier av parameteren λ

I henhold til ovenstående bestemmer de parametriske ligningene til en rett linje på planet x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ en rett linje som er gitt i et rektangulært koordinatsystem, går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og har en ledevektor a → = (a x , a y) . Derfor, hvis koordinatene til et bestemt punkt på den rette linjen og koordinatene til dens retningsvektor er gitt, er det mulig å umiddelbart skrive ned de parametriske ligningene til den gitte rette linjen.

Eksempel 1

Det er nødvendig å komponere parametriske ligninger av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem, hvis punktet M 1 (2, 3) som tilhører det og dets retningsvektor er gitt a → = (3, 1).

Beslutning

Basert på de første dataene får vi: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. De parametriske ligningene vil se slik ut:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

La oss illustrere tydelig:

Svar: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Det bør bemerkes: hvis vektoren a → = (a x , a y) fungerer som en retningsvektor for den rette linjen a, og punktene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2) tilhører denne linjen, så kan den bestemmes ved å sette parametriske ligninger på formen : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , samt dette alternativet: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

For eksempel får vi en retningsvektor av en rett linje a → \u003d (2, - 1), samt punktene M 1 (1, - 2) og M 2 (3, - 3) som tilhører denne linjen. Da bestemmes den rette linjen av parametriske ligninger: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ eller x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Vær også oppmerksom på følgende faktum: if a → = (a x , a y) er retningsvektoren til den rette linjen a , så vil en hvilken som helst av vektorene også være dens retningsvektor μ a → = (μ a x , μ a y) , hvor μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Dermed kan en rett linje a på et plan i et rektangulært koordinatsystem defineres ved parametriske ligninger: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ for en hvilken som helst ikke-null verdi av μ.

Anta at linjen a er gitt av de parametriske ligningene x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Deretter a → = (2 , - 5) - retningsvektor for denne linjen. Og også hvilken som helst av vektorene μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 vil bli retningsvektoren for den gitte rette linjen. For klarhet, vurder en spesifikk vektor - 2 · a → = (- 4 , 10), den tilsvarer verdien μ = - 2 . I dette tilfellet kan den gitte rette linjen også bestemmes av de parametriske ligningene x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Overgang fra parametriske ligninger for en rett linje på et plan til andre ligninger for en gitt rett linje og omvendt

Ved å løse noen problemer er bruken av parametriske ligninger ikke det beste alternativet, da blir det nødvendig å oversette de parametriske ligningene til en rett linje til ligninger av en rett linje av en annen type. La oss se hvordan du gjør det.

Parametriske likninger av den rette linjen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vil tilsvare den kanoniske likningen til den rette linjen på planet x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Vi løser hver av de parametriske ligningene med hensyn til parameteren λ, setter likhetstegn mellom de riktige delene av de oppnådde likhetene og oppnår den kanoniske ligningen til den gitte rette linjen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

I dette tilfellet bør det ikke være flaut om en x eller en y vil være lik null.

Eksempel 2

Det er nødvendig å utføre overgangen fra de parametriske ligningene til den rette linjen x = 3 y = - 2 - 4 · λ til den kanoniske ligningen.

Beslutning

Vi skriver de gitte parametriske ligningene i følgende form: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Vi uttrykker parameteren λ i hver av ligningene: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Vi setter likhetstegn mellom de riktige delene av ligningssystemet og får den nødvendige kanoniske ligningen for en rett linje i planet:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Svar: x - 3 0 = y + 2 - 4

I tilfelle det er nødvendig å skrive ned ligningen til den rette linjen på formen A x + B y + C = 0 , mens de parametriske ligningene til den rette linjen på planet er gitt, er det først nødvendig å lage overgang til den kanoniske ligningen, og deretter til den generelle ligningen for den rette linjen. La oss skrive ned hele sekvensen av handlinger:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Eksempel 3

Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til en rett linje hvis de parametriske ligningene som definerer den er gitt: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Beslutning

Først, la oss gjøre overgangen til den kanoniske ligningen:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Den resulterende andelen er identisk med likheten - 3 · (x + 1) = 2 · y. La oss åpne parentesene og få den generelle ligningen for den rette linjen: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Svar: 3x + 2y + 3 = 0

Etter handlingslogikken ovenfor, for å oppnå en ligning av en rett linje med en helning, en ligning av en rett linje i segmenter eller en normal ligning av en rett linje, er det nødvendig å oppnå den generelle ligningen for en rett linje , og fra den til å gjennomføre en videre overgang.

Tenk nå på den omvendte handlingen: skriv de parametriske ligningene til en rett linje for en annen gitt form av ligningene til denne rette linjen.

Den enkleste overgangen: fra den kanoniske ligningen til de parametriske. La formens kanoniske ligning gis: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Vi tar hver av relasjonene til denne likheten lik parameteren λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

La oss løse de resulterende ligningene for variablene x og y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Eksempel 4

Det er nødvendig å skrive ned de parametriske ligningene til den rette linjen hvis den kanoniske ligningen til den rette linjen på planet er kjent: x - 2 5 = y - 2 2

Beslutning

La oss likestille delene av den kjente ligningen til parameteren λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Fra den oppnådde likheten får vi de parametriske ligningene til den rette linjen: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Svar: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Når det er nødvendig å gjøre en overgang til parametriske ligninger fra en gitt generell ligning av en rett linje, en ligning av en rett linje med en helning eller en ligning av en rett linje i segmenter, er det nødvendig å bringe den opprinnelige ligningen til kanonisk, og foreta deretter overgangen til parametriske ligninger.

Eksempel 5

Det er nødvendig å skrive ned de parametriske ligningene til den rette linjen med den kjente generelle ligningen til denne rette linjen: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Beslutning

Vi transformerer den gitte generelle ligningen til en ligning av den kanoniske formen:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Vi likestiller begge deler av likheten til parameteren λ og oppnår de nødvendige parametriske ligningene for den rette linjen:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Svar: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Eksempler og problemer med parametriske ligninger for en rett linje på et plan

La oss vurdere de vanligste typene problemer ved å bruke parametriske ligninger av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem.

I oppgaver av den første typen er koordinatene til punktene gitt, enten de tilhører en rett linje beskrevet av parametriske ligninger eller ikke.

Løsningen av slike problemer er basert på følgende faktum: tallene (x, y) bestemt fra de parametriske ligningene x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ for en reell verdi λ er koordinatene til en punkt som tilhører den rette linjen, som er beskrevet disse parametriske ligningene.

Eksempel 6

Det er nødvendig å bestemme koordinatene til et punkt som ligger på en rett linje gitt av de parametriske ligningene x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ for λ = 3 .

Beslutning

Vi erstatter den kjente verdien λ = 3 i de gitte parametriske ligningene og beregner de ønskede koordinatene: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Svar: 1 1 2 , 5

Følgende problem er også mulig: la et punkt M 0 (x 0, y 0) gis på et plan i et rektangulært koordinatsystem og det er nødvendig å bestemme om dette punktet tilhører linjen beskrevet av de parametriske ligningene x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

For å løse et slikt problem, er det nødvendig å erstatte koordinatene til et gitt punkt i de kjente parametriske ligningene til en rett linje. Hvis det er bestemt at en slik verdi av parameteren λ = λ 0 er mulig, der begge parametriske ligningene vil være sanne, så tilhører det gitte punktet den gitte rette linjen.

Eksempel 7

Poeng M 0 (4, - 2) og N 0 (- 2, 1) er gitt. Det er nødvendig å bestemme om de tilhører den rette linjen definert av de parametriske ligningene x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Beslutning

Vi erstatter koordinatene til punktet M 0 (4, - 2) i de gitte parametriske ligningene:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Vi konkluderer med at punktet M 0 tilhører en gitt linje, fordi tilsvarer verdien λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Det er åpenbart at det ikke er noen slik parameter λ som punktet N 0 vil tilsvare. Den gitte linjen går med andre ord ikke gjennom punktet N 0 (- 2 , 1) .

Svar: punktet M 0 tilhører en gitt linje; punktet N 0 hører ikke til den gitte linjen.

I problemer av den andre typen er det nødvendig å komponere parametriske ligninger av en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem. Det enkleste eksemplet på et slikt problem (med kjente koordinater for punktet til linjen og retningsvektoren) ble vurdert ovenfor. La oss nå se på eksempler der du først må finne koordinatene til retningsvektoren, og deretter skrive ned de parametriske ligningene.

Eksempel 8

Punkt M 1 1 2, 2 3 er gitt. Det er nødvendig å komponere parametriske ligninger av en rett linje som går gjennom dette punktet og en parallell rett linje x 2 \u003d y - 3 - 1.

Beslutning

I henhold til tilstanden til problemet er den rette linjen, ligningen som vi må komme foran, parallell med den rette linjen x 2 \u003d y - 3 - 1. Så, som en retningsvektor for en rett linje som går gjennom et gitt punkt, er det mulig å bruke retningsvektoren til en rett linje x 2 = y - 3 - 1, som vi skriver i formen: a → = (2, - 1) . Nå er alle nødvendige data kjent for å komponere de ønskede parametriske ligningene:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Svar: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ.

Eksempel 9

Punkt M 1 (0, - 7) er gitt. Det er nødvendig å skrive de parametriske ligningene til en rett linje som går gjennom dette punktet vinkelrett på den rette linjen 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Beslutning

Som retningsvektor for den rette linjen, som ligningen må være sammensatt av, er det mulig å ta normalvektoren til den rette linjen 3 x - 2 y - 5 = 0 . Koordinatene er (3 , - 2) . Vi skriver de nødvendige parametriske ligningene til den rette linjen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Svar: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

I problemer av den tredje typen kreves det en overgang fra parametriske ligninger av en gitt rett linje til andre typer ligninger som bestemmer den. Vi vurderte løsningen av slike eksempler ovenfor, vi vil gi en til.

Eksempel 10

Gitt en rett linje på et plan i et rektangulært koordinatsystem, definert av de parametriske ligningene x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Det er nødvendig å finne koordinatene til en normal vektor for denne linjen.

Beslutning

For å bestemme de ønskede koordinatene til normalvektoren, vil vi gjøre overgangen fra parametriske ligninger til den generelle ligningen:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Koeffisientene til variablene x og y gir oss de nødvendige koordinatene til normalvektoren. Dermed har normalvektoren til linjen x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ koordinatene 1 , 3 4 .

Svar: 1 , 3 4 .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

De parametriske ligningene til en rett linje er elementært hentet fra den kanoniske ligningen til denne rette linjen, som har formen . La oss ta som parameter verdien som venstre og høyre del av den kanoniske ligningen kan multipliseres med.

Siden en av nevnerne nødvendigvis er forskjellig fra null, og den tilsvarende telleren kan ta på seg alle verdier, er området til parameteren hele aksen til reelle tall: .

Vi vil motta eller endelig

Ligninger (1) er de ønskede parametriske ligningene til den rette linjen. Disse ligningene tillater mekanisk tolkning. Hvis vi antar at parameteren er tiden målt fra et første øyeblikk, så bestemmer de parametriske ligningene bevegelsesloven til et materialpunkt i en rett linje med konstant hastighet (slik bevegelse skjer ved treghet).

Eksempel 1 Komponer på et plan de parametriske ligningene til en rett linje som går gjennom et punkt og har en retningsvektor.

Beslutning. Vi erstatter dataene til punktet og retningsvektoren i (1) og får:

Ofte i oppgaver kreves det å transformere de parametriske ligningene til en rett linje til andre typer ligninger, og fra ligninger av andre typer for å oppnå parametriske ligninger for en rett linje. La oss se på noen få slike eksempler. Å transformere de parametriske ligningene til en rett linje til generell ligning av en rett linje først skal de reduseres til den kanoniske formen, og deretter fra den kanoniske ligningen for å få den generelle ligningen for den rette linjen

Eksempel 2 Skriv ligningen til en rett linje

generelt.

Beslutning. Først bringer vi de parametriske ligningene til den rette linjen til den kanoniske ligningen:

Ytterligere transformasjoner bringer ligningen til den generelle formen:

Det er noe vanskeligere å konvertere en generell likning til parametriske likninger av en rett linje, men det kan også lages en klar algoritme for denne handlingen. Først kan vi transformere den generelle ligningen til helningsligning og finn fra den koordinatene til et punkt som tilhører linjen, og gir en av koordinatene en vilkårlig verdi. Når koordinatene til punktet og retningsvektoren er kjent (fra den generelle ligningen), kan de parametriske ligningene til den rette linjen skrives.

Eksempel 3 Skriv likningen til en rett linje i form av parametriske likninger.

Beslutning. Vi bringer den generelle ligningen til en rett linje inn i en ligning med en helning:

Vi finner koordinatene til et punkt som hører til linjen. Gi en av koordinatene til punktet en vilkårlig verdi

Fra ligningen av en rett linje med en helning får vi en annen koordinat til punktet:

Dermed kjenner vi punktet og retningsvektoren . Vi erstatter dataene deres i (1) og får de ønskede parametriske ligningene for den rette linjen:

Eksempel 4 Finn helningen til en rett linje gitt av parametriske ligninger

Beslutning. De parametriske ligningene til en rett linje må først konverteres til den kanoniske, deretter til den generelle og til slutt til helningsligningen.

Dermed er helningen til en gitt rett linje:

Eksempel 5 Lag parametriske ligninger av en rett linje som går gjennom et punkt og en vinkelrett linje

Likning i de kanoniske ligningene til den rette linjen hver av brøkene til en eller annen parameter t:

Vi får ligninger som uttrykker gjeldende koordinater til hvert punkt på den rette linjen gjennom parameteren t.

dermed har de parametriske ligningene til den rette linjen formen:

Ligninger av en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

La to punkter M 1 (x1,y1,z1) og M 2 (x2,y2,z2). Ligningene til en rett linje som går gjennom to gitte punkter oppnås på samme måte som en lignende ligning på et plan. Derfor gir vi umiddelbart formen til denne ligningen.

En rett linje i skjæringspunktet mellom to plan. Generell ligning av en rett linje i rommet.

Hvis vi vurderer to ikke-parallelle plan, vil skjæringspunktet deres være en rett linje.

Hvis normalvektorene og ikke-kollineær.

Nedenfor, når vi vurderer eksempler, vil vi vise en måte å transformere slike rettlinjede ligninger til kanoniske ligninger.

5.4 Vinkel mellom to rette linjer. Tilstand for parallellitet og perpendikularitet av to linjer.

En vinkel mellom to rette linjer i rommet er en av vinklene som dannes av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.

La to linjer gis ved deres kanoniske ligninger.

For vinkelen mellom to rette linjer vil vi ta vinkelen mellom retningsvektorene.

Betingelsen for vinkelretthet til to rette linjer reduseres til tilstanden vinkelrett på retningsvektorene deres og, det vil si til lik null av skalarproduktet: eller i koordinatform: .

Tilstanden for parallellitet til to linjer reduseres til tilstanden parallellitet til retningsvektorene deres og

5.5 Innbyrdes arrangement av en rett linje og et plan.

La ligningene til den rette linjen gis:

og fly. Vinkelen mellom linjen og planet vil være hvilken som helst av de to tilstøtende vinklene som dannes av linjen og dens projeksjon på planet (Figur 5.5).

Figur 5.5

Hvis linjen er vinkelrett på planet, er retningsvektoren til linjen og normalvektoren til planet kollineære. Dermed reduseres tilstanden for perpendikularitet til en rett linje og et plan til tilstanden til kollineære vektorer

Når det gjelder parallellitet mellom en rett linje og et plan, er deres vektorer angitt ovenfor gjensidig vinkelrett. Derfor reduseres tilstanden for parallellitet til en rett linje og et plan til tilstanden for vinkelrett til vektorene; de. deres punktprodukt er null eller i koordinatform: .

Nedenfor er eksempler på å løse problemer knyttet til temaet i kapittel 5.

Eksempel 1:

Skriv en ligning for et plan som går gjennom punkt A (1,2,4) vinkelrett på den rette linjen gitt av ligningen:

Beslutning:

Vi bruker ligningen til et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Som et punkt tar vi punktet A (1,2,4), som flyet passerer gjennom tilstanden.

Når vi kjenner de kanoniske ligningene til linjen, kjenner vi vektoren parallelt med linjen.

På grunn av det faktum at linjen etter betingelsen er vinkelrett på det ønskede planet, kan retningsvektoren tas som normalvektoren til planet.

Dermed får vi ligningen til planet i formen:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Eksempel 2:

Finn på flyet 4x-7y+5z-20=0 et punkt P hvor OP gjør like vinkler med koordinataksene.

Beslutning:

La oss lage en skjematisk tegning. (Figur 5.6)

på

Figur 5.6

Det tomme punktet Р har koordinater. Siden vektoren lager de samme vinklene med koordinataksene, er retningscosinusene til denne vektoren lik hverandre

La oss finne projeksjonene til vektoren:

da er retningscosinusene til denne vektoren lett å finne.

Fra likheten til retningskosinusene følger likheten:

x p \u003d y p \u003d z p

siden punktet P ligger på planet, blir det en identitet ved å erstatte koordinatene til dette punktet i planets likning.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Henholdsvis: y r=10; z s=10.

Dermed har det ønskede punktet P koordinatene P (10; 10; 10)

Eksempel 3:

Gitt to punkter A (2, -1, -2) og B (8, -7,5). Finn ligningen til planet som går gjennom punktet B, vinkelrett på segmentet AB.

Beslutning:

For å løse problemet bruker vi ligningen til et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Som punkt bruker vi punkt B (8, -7,5), og som vektor vinkelrett på planet vektor. La oss finne projeksjonene til vektoren:

da får vi ligningen til planet i formen:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Eksempel 4:

Finn ligningen til et plan parallelt med OY-aksen og som går gjennom punktene K(1,-5,1) og M(3,2,-2).

Beslutning:

Siden planet er parallelt med OY-aksen, vil vi bruke den ufullstendige ligningen til planet.

Axe+Cz+D=0

På grunn av at punktene K og M ligger på flyet, får vi to forhold.

La oss uttrykke koeffisientene A og C fra disse betingelsene i form av D.

Vi erstatter de funnet koeffisientene i den ufullstendige ligningen til planet:

siden , så reduserer vi D:

Eksempel 5:

Finn ligningen til et plan som går gjennom tre punkter M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Beslutning:

La oss bruke ligningen til et plan som går gjennom 3 gitte punkter.

erstatte koordinatene til punktene M, K, R som den første, andre og tredje, får vi:

utvide determinanten langs 1. linje.

Eksempel 6:

Finn ligningen til planet som går gjennom punktene M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) og vinkelrett på planet 3x+5y-7z-21=0

Beslutning:

La oss lage en skjematisk tegning (Figur 5.7)

Figur 5.7

Vi betegner det gitte planet P 2 og det ønskede planet P 2. . Fra ligningen til et gitt plan Р 1 bestemmer vi projeksjonene til vektoren vinkelrett på planet Р 1.

Vektoren kan flyttes til planet P 2 ved hjelp av parallell translasjon, siden, i henhold til problemets tilstand, er planet P 2 vinkelrett på planet P 1, noe som betyr at vektoren er parallell med planet P 2 .

La oss finne projeksjonene til vektoren som ligger i planet Р 2:

nå har vi to vektorer og ligger i planet R 2 . Det er klart at vektoren er lik vektorproduktet til vektorene og vil være vinkelrett på planet P 2, siden den er vinkelrett på og derfor normalvektoren til planet P 2.

Vektorene og er gitt av deres projeksjoner, derfor:

Deretter bruker vi ligningen til et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på vektoren. Som et punkt kan du ta hvilket som helst av punktene M 1 eller M 2, for eksempel M 1 (8, -3,1); Som en normalvektor til planet Р 2 tar vi .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Eksempel 7:

En rett linje er definert av skjæringspunktet mellom to plan. Finn de kanoniske ligningene til linjen.

Beslutning:

Vi har en ligning i formen:

Må finne et poeng x 0, y 0, z 0) som den rette linjen og retningsvektoren passerer gjennom.

Vi velger en av koordinatene vilkårlig. For eksempel, z=1, da får vi et system med to ligninger med to ukjente:

Dermed har vi funnet et punkt som ligger på ønsket linje (2,0,1).

Som retningsvektor for den ønskede rette linjen tar vi kryssproduktet av vektorene og , som er normale vektorer siden , som betyr parallelt med ønsket linje.

Dermed har retningsvektoren til den rette linjen projeksjoner. Ved å bruke ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt parallelt med en gitt vektor:

Så den ønskede kanoniske ligningen har formen:

Eksempel 8:

Finn koordinatene til skjæringspunktet til en linje og fly 2x+3y+3z-8=0

Beslutning:

La oss skrive den gitte ligningen til en rett linje i en parametrisk form.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

hvert punkt på den rette linjen tilsvarer en enkelt verdi av parameteren t. For å finne parameteren t som tilsvarer skjæringspunktet mellom linjen og planet, erstatter vi uttrykket med likningen til planet x, y, z via parameter t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

deretter koordinatene til ønsket punkt

ønsket skjæringspunkt har koordinater (1;1;1).

Eksempel 9:

Finn ligningen til et plan som går gjennom parallelle linjer.

La oss lage en skjematisk tegning (Figur 5.9)

Figur 5.9

Fra de gitte linjelikningene bestemmer vi projeksjonene til retningsvektorene til disse linjene. Vi finner projeksjonene til vektoren som ligger i planet P, og tar punktene og fra de kanoniske ligningene til linjene M 1 (1, -1,2) og M 2 (0,1, -2).