Bestem lengden og retningens cosinus til perpendikulæren. Retningskosinus til vektorer

La en vektor gis. Enhetsvektor i samme retning som (vektor vektor ) finnes ved formelen:

.

La aksen danner vinkler med koordinataksene
.Retning cosinus av aksen cosinusene til disse vinklene kalles: Hvis retning gitt av enhetsvektor , så fungerer retningscosinusene som dens koordinater, dvs.:

.

Retningskosinusene er relatert av relasjonen:

Hvis retning gitt av en vilkårlig vektor , finn deretter enhetsvektoren til denne vektoren og sammenlign den med uttrykket for enhetsvektoren , få:

Skalært produkt

Prikk produkt
to vektorer og kalt et tall som er lik produktet av lengdene deres ved cosinus til vinkelen mellom dem:
.

Det skalære produktet har følgende egenskaper:

Derfor,
.

Den geometriske betydningen av skalarproduktet: prikkprodukt av vektor og enhetsvektor lik projeksjonen av vektoren i den retningen som er bestemt , dvs.
.

Fra definisjonen av skalarproduktet følger følgende tabell over multiplikasjon av orts
:

.

Hvis vektorene er gitt ved deres koordinater
og
, dvs.
,
, så multipliserer vi disse vektorene skalært og bruker multiplikasjonstabellen for orts, får vi uttrykket for skalarproduktet
gjennom koordinatene til vektorene:

.

vektor produkt

Kryssprodukt av en vektorper vektor kalt vektor , hvis lengde og retning bestemmes av forholdene:

Vektorproduktet har følgende egenskaper:

Det følger av de tre første egenskapene at vektormultiplikasjonen av en sum av vektorer med summen av vektorer følger de vanlige reglene for polynommultiplikasjon. Det er bare nødvendig å sikre at rekkefølgen på multiplikatorene ikke endres.

De grunnleggende enhetsvektorene multipliseres som følger:

Hvis en
og
, og tar i betraktning egenskapene til vektorproduktet til vektorer, kan vi utlede en regel for å beregne koordinatene til vektorproduktet fra koordinatene til faktorvektorene:

Hvis vi tar hensyn til reglene for multiplikasjon av orts oppnådd ovenfor, da:

En mer kompakt form for å skrive et uttrykk for å beregne koordinatene til vektorproduktet til to vektorer kan konstrueres hvis vi introduserer konseptet med en matrisedeterminant.

Tenk på et spesielt tilfelle når vektorene og tilhører flyet
, dvs. de kan representeres som
og
.

Hvis koordinatene til vektorene er skrevet i form av en tabell som følger:
, så kan vi si at en kvadratisk matrise av andre orden er dannet av dem, dvs. størrelse
, bestående av to rader og to kolonner. Hver kvadratmatrise er tildelt et tall som beregnes ut fra elementene i matrisen i henhold til visse regler og kalles determinanten. Determinanten til en annenordens matrise er lik forskjellen mellom produktene til elementene i hoveddiagonalen og den sekundære diagonalen:

.

I dette tilfellet:

Den absolutte verdien av determinanten er dermed lik arealet til parallellogrammet bygget på vektorene og som på sidene.

Hvis vi sammenligner dette uttrykket med vektorproduktformelen (4.7), så:

Dette uttrykket er en formel for å beregne determinanten til en tredjeordens matrise fra den første raden.

Og dermed:

Tredje ordens matrisedeterminant beregnes som følger:

og er den algebraiske summen av seks ledd.

Formelen for å beregne determinanten til en matrise av tredje orden er lett å huske hvis du bruker regelSarrus, som er formulert som følger:

Hvert ledd er produktet av tre elementer plassert i forskjellige kolonner og forskjellige rader i matrisen;

Plusstegnet har produktene av elementer som danner trekanter med en side parallell med hoveddiagonalen;

Minustegnet gis til produktene av elementene som hører til sekundærdiagonalen og til de to produktene av elementene som danner trekanter med sider parallelle med sekundærdiagonalen.

Kosinus for vektorretning.

Retning cosinus av vektoren a er cosinusene til vinklene som vektoren danner med de positive halvaksene til koordinatene.

For å finne retningscosinusene til vektoren a, er det nødvendig å dele de tilsvarende koordinatene til vektoren med modulen til vektoren.

Eiendom: Summen av kvadratene til retningscosinusene er lik en.

Så i tilfelle et flyproblem retning cosinus av vektoren a = (ax; ay) finnes av formlene:

Et eksempel på beregning av retningscosinusene til en vektor:

Finn retningscosinusene til vektoren a = (3; 4).

Løsning: |a| =

Så inn tilfelle av et romlig problem retning cosinus av vektoren a = (ax; ay; az) finnes av formlene:

Et eksempel på beregning av retningscosinusene til en vektor

Finn retningscosinusene til vektoren a = (2; 4; 4).

Løsning: |a| =

"Hvordan finne retningskosinusene til en vektor"

Angi med alfa, beta og gamma vinklene som dannes av vektoren a med den positive retningen til koordinataksene (se fig. 1). Cosinusene til disse vinklene kalles retningskosinusene til vektoren a.

Siden koordinatene a i det kartesiske rektangulære koordinatsystemet er lik projeksjonene av vektoren på koordinataksene, så er a1 = |a|cos(alfa), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Derfor: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Dessuten, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Så cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Det bør bemerkes hovedegenskapen til retningskosinus. Summen av kvadratene av retningscosinusene til vektoren er lik en. Faktisk, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Første vei

Eksempel: gitt: vektor a=(1, 3, 5). Finn dens retning cosinus. Beslutning. I samsvar med det vi fant, skriver vi ut: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Dermed kan svaret skrives i følgende form: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Andre vei

Når du skal finne retningscosinusene til vektoren a, kan du bruke teknikken for å bestemme cosinusene til vinkler ved hjelp av skalarproduktet. I dette tilfellet mener vi vinklene mellom a og retningsenhetsvektorene til de rektangulære kartesiske koordinatene i, j og k. Koordinatene deres er henholdsvis (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Det skal huskes at skalarproduktet av vektorer er definert som følger.

Hvis vinkelen mellom vektorene er φ, så er skalarproduktet av to vinder (per definisjon) et tall som er lik produktet av modulene til vektorene med cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Så, hvis b=i, så (a, i) = |a||i|cos(alfa), eller a1 = |a|cos(alfa). Videre utføres alle handlinger på samme måte som metode 1, tatt i betraktning koordinatene j og k.

dette er cosinusene til vinklene som vektoren lager med de positive halvaksene til koordinatene. Retningscosinusene definerer retningen til vektoren unikt. Hvis en vektor har lengde 1, er retningscosinusene lik dens koordinater. Generelt, for en vektor med koordinater ( en; b; c) retning cosinus er like:

hvor a, b, g er vinklene som dannes av vektoren med aksene x, y, z hhv.

21) Dekomponering av en vektor i form av vektorer. Orten til koordinataksen er betegnet med , aksene - ved , aksene - med (fig. 1).

For enhver vektor som ligger i planet, skjer følgende dekomponering:

Hvis vektoren er lokalisert i rommet, så har utvidelsen i form av enhetsvektorer av koordinataksene formen:

22)Prikk produkt to ikke-null vektorer og tallet lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus av vinkelen mellom dem kalles:

23) Vinkel mellom to vektorer

Hvis vinkelen mellom to vektorer er spiss, er punktproduktet deres positivt; hvis vinkelen mellom vektorene er stump, så er skalarproduktet til disse vektorene negativt. Skalarproduktet av to ikke-null vektorer er null hvis og bare hvis disse vektorene er ortogonale.

24) Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet til to vektorer.

Betingelsen for vinkelrett til vektorer
Vektorer er vinkelrette hvis og bare hvis deres indre produkt er 0. To vektorer a(xa;ya) og b(xb;yb) er gitt. Disse vektorene vil være vinkelrette hvis uttrykket xaxb + yayb = 0.

25) Vektorprodukt av to vektorer.

Et vektorprodukt av to ikke-kollineære vektorer er en vektor c=a×b som tilfredsstiller følgende betingelser: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vektorene a, b, c danner den høyre trippelen av vektorer.

26) Kollineære og koplanære vektorer..

Vektorer er kollineære hvis abscissen til den første vektoren er relatert til abscissen til den andre på samme måte som ordinaten til den første er til ordinaten til den andre. To vektorer er gitt en (xa;ja) og b (xb;yb). Disse vektorene er kollineære if x a = xb og y a = yb, hvor R.

Vektorer −→ en,−→b og −→ c kalt koplanar hvis det finnes et plan som de er parallelle med.

27) Blandet produkt av tre vektorer. Blandet produkt av vektorer- skalarprodukt av vektor a og vektorprodukt av vektor b og c. Finn det blandede produktet av vektorene a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Beslutning:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Avstanden mellom to punkter på et plan. Avstanden mellom to gitte punkter er lik kvadratroten av summen av kvadrerte forskjeller til de samme koordinatene til disse punktene.

29) Inndelingen av segmentet i denne forbindelse. Hvis punktet M(x; y) ligger på en rett linje som går gjennom to gitte punkter ( , ) og ( , ), og det er gitt en relasjon der punktet M deler segmentet , så bestemmes koordinatene til punktet M etter formlene

Hvis punktet M er midtpunktet til segmentet, bestemmes dets koordinater av formlene

30-31. Helning av en rett linje kalles tangenten til helningen til denne rette linjen. Helningen til en rett linje er vanligvis angitt med bokstaven k. Da per definisjon

Linjeligning med stigning har formen hvor k- vinkelkoeffisienten til den rette linjen, b er et reelt tall. Ligningen av en rett linje med en helning kan sette enhver rett linje som ikke er parallell med aksen Oy(for en rett linje parallelt med y-aksen er helningen ikke definert).

33. Generell ligning av en rett linje på et plan. Skriv ligning det er generell ligning av en rett linje Oksy. Avhengig av verdiene til konstantene A, B og C, er følgende spesielle tilfeller mulig:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linjen går gjennom origo

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - linjen er parallell med okseaksen

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linjen er parallell med Oy-aksen

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - den rette linjen faller sammen med Oy-aksen

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - den rette linjen faller sammen med okseaksen

34.Ligning av en rett linje i segmenter på et plan i et rektangulært koordinatsystem Oksy har formen hvor en og b er noen reelle tall som ikke er null. Dette navnet er ikke tilfeldig, siden de absolutte verdiene av tall en og b lik lengdene på segmentene som den rette linjen skjærer av på koordinataksene Okse og Oy henholdsvis (segmenter telles fra origo). Således gjør ligningen av en rett linje i segmenter det enkelt å bygge denne rette linjen i en tegning. For å gjøre dette, merk punkter med koordinater og i et rektangulært koordinatsystem på planet, og bruk en linjal for å forbinde dem med en rett linje.

35. Normalligningen til en rett linje har formen

hvor er avstanden fra den rette linjen til origo;  er vinkelen mellom normalen til den rette linjen og aksen.

Normalligningen kan fås fra den generelle ligningen (1) ved å multiplisere den med normaliseringsfaktoren , tegnet på  er motsatt av tegnet på , slik at .

Cosinusene til vinklene mellom linjen og koordinataksene kalles retningscosinus,  er vinkelen mellom linjen og aksen,  er mellom linjen og aksen:

Dermed kan normalligningen skrives som

Avstand fra punkt til rett bestemmes av formelen

36. Avstanden mellom et punkt og en linje beregnes ved hjelp av følgende formel:

hvor x 0 og y 0 er koordinatene til punktet, og A, B og C er koeffisientene fra den generelle ligningen til linjen

37. Å bringe den generelle ligningen for en rett linje til en normal. Ligningen og planet skiller seg i denne sammenheng ikke fra hverandre på annet enn antall ledd i likningene og rommets dimensjon. Derfor vil jeg først si alt om flyet, og på slutten vil jeg ta forbehold om den rette linjen.
La den generelle ligningen til planet gis: Ax + By + Cz + D = 0.
;. vi får systemet: g;Mc=cosb, MB=cosaLa oss bringe det til normal form. For å gjøre dette multipliserer vi begge deler av ligningen med normaliseringsfaktoren M. Vi får: Max + Mvu + MSz + MD = 0. I dette tilfellet, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa får vi systemet:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Legger vi alle likningene til systemet, får vi M*(A2 + B2 + C2) = 1 Nå gjenstår det bare å uttrykke M herfra for å vite med hvilken normaliseringsfaktor den opprinnelige generelle likningen må multipliseres for å bringe den til normalen form:
M \u003d - + 1 / ROT KV A2 + B2 + C2
MD må alltid være mindre enn null, derfor tas tegnet til tallet M motsatt av tegnet til tallet D.
Med ligningen til en rett linje er alt det samme, bare begrepet C2 skal ganske enkelt fjernes fra formelen for M.

38.Den generelle ligningen til flyet i rommet kalles en formlikning

hvor EN 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

I tredimensjonalt rom i et kartesisk koordinatsystem beskrives et hvilket som helst plan med en ligning av 1. grad (lineær ligning). Omvendt definerer enhver lineær ligning et plan.

40.Ligning av et plan i segmenter. I et rektangulært koordinatsystem Oxyz i tredimensjonalt rom, en formlikning , hvor en, b og c andre reelle tall enn null kalles planligning i segmenter. Absolutte verdier av tall en, b og c lik lengdene på segmentene som planet skjærer av på koordinataksene Okse, Oy og Oz henholdsvis regnet fra opprinnelsen. Talltegn en, b og c viser i hvilken retning (positiv eller negativ) segmentene er plottet på koordinataksene

41) Normal ligning for planet.

Normalligningen til et plan er dets ligning, skrevet på skjemaet

hvor , , er retningscosinusene til normalen til planet, f.eks

p er avstanden fra origo til planet. Når du beregner retningscosinusene til normalen, bør det tas i betraktning at den er rettet fra opprinnelsen til planet (hvis flyet passerer gjennom opprinnelsen, er valget av den positive retningen til normalen likegyldig).

42) Avstand fra et punkt til et fly.La planet være gitt av ligningen og gitt et poeng. Da bestemmes avstanden fra et punkt til et plan av formelen

Bevis. Avstanden fra et punkt til et plan er per definisjon lengden på perpendikulæren som faller fra et punkt til et plan

Vinkel mellom planene

La flyene og være gitt av likningene og henholdsvis. Det kreves å finne vinkelen mellom disse planene.

Planene, som skjærer hverandre, danner fire dihedriske vinkler: to stumpe og to spisse eller fire rette, og begge stumpe vinkler er like hverandre, og begge spisse er også like med hverandre. Vi vil alltid se etter en spiss vinkel. For å bestemme verdien tar vi et punkt på skjæringslinjen mellom planene og på dette punktet i hver av

plan tegner vi perpendikulære til skjæringslinjen.

Eiendom:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definisjon av lineære operasjoner

summen av to ikke-kollineære vektorer og kalles vektoren som kommer fra den vanlige opprinnelsen til vektorene langs diagonalen til parallellogrammet bygget på disse vektorene

Forskjellen mellom vektorer og kalles summen av en vektor og en vektor motsatt vektoren: . Koble til begynnelsen av vektorene og , så er vektoren rettet fra slutten av vektoren til slutten av vektoren.

arbeid vektor til et tall kalles en vektor med modul, og for og for. Geometrisk betyr multiplikasjon med et tall å "strekke" vektoren med en faktor på 1, mens retningen holdes ved og endres til motsatt ved .

Fra reglene ovenfor for å legge til vektorer og multiplisere dem med et tall, følger de åpenbare utsagnene:

1. (tillegg er kommutativt);

2. (tillegg er assosiativt);

3. (eksistensen av en nullvektor);

4. (eksistensen av den motsatte vektoren);

5. (tillegg er assosiativt);

6. (multiplikasjon med et tall er distributiv);

7. (vektoraddisjon er distributiv);

c) skalært produkt og dets hovedegenskaper

Prikk produkt av to vektorer som ikke er null kalles tallet som er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem. Hvis minst én av de to vektorene er null, er vinkelen mellom dem ikke definert, og skalarproduktet anses å være null. Skalarproduktet av vektorer og er betegnet

, hvor og er lengdene til vektorene og henholdsvis, og er vinkelen mellom vektorene og .

Skalarproduktet av en vektor med seg selv kalles et prikkfirkant.

Egenskaper til skalarproduktet.

For alle vektorer og følgende er sanne: punktproduktegenskaper:

kommutativitetsegenskapen til skalarproduktet;

fordelingseiendom eller ;

assosiativ eiendom eller , hvor er et vilkårlig reelt tall;

skalarkvadraten til en vektor er alltid ikke-negativ, og hvis og bare hvis vektoren er null.

D) vektorprodukt og dets egenskaper

vektor produkt vektor a til vektor b kalles vektor c, hvis lengde er numerisk lik arealet av parallellogrammet bygget på vektorene a og b, vinkelrett på planet til disse vektorene og rettet slik at den minste rotasjonen fra a til b rundt vektor c er mot klokken, sett fra endevektoren c

Formler for å beregne kryssproduktet til vektorer

vektor produkt to vektorer a = (a x ; a y ; a z ) og b = (b x ; b y ; b z ) i kartesiske koordinater er en vektor hvis verdi kan beregnes ved hjelp av følgende formler:

• Kryssproduktet av to ikke-null vektorer a og b er null hvis og bare hvis vektorene er kollineære.
• Vektoren c, som er lik kryssproduktet til vektorene a og b som ikke er null, er vinkelrett på disse vektorene.
• a × b = -b × a
• (ka) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Ligning av en rett linje på et plan

A) ligningen av en rett linje med en helning

Helning av en rett linje kalles tangenten til helningen til denne rette linjen.

Helningen til en rett linje er vanligvis angitt med bokstaven k. Da per definisjon.

Hvis linjen er parallell med y-aksen, så eksisterer ikke stigningen (i dette tilfellet sies stigningen også å gå til uendelig).

En positiv helning på en rett linje indikerer en økning i funksjonsgrafen, en negativ helning indikerer en nedgang. Ligningen av en rett linje med en helning har formen y=kx+b, der k er helningen til linjen, b er et reelt tall. Ligningen for en rett linje med en helning kan spesifisere enhver rett linje som ikke er parallell med Oy-aksen (for en rett linje parallelt med y-aksen er helningen ikke definert).

B) typer rettlinjeligninger

Ligningen kalt den generelle ligningen for en rett linje på overflaten.

Enhver ligning av første grad med to variabler x og y snill , hvor MEN, PÅ og Med er noen reelle tall, og MEN og PÅ samtidig ikke lik null, definerer en rett linje i et rektangulært koordinatsystem Oksy på planet, og enhver rett linje på planet er gitt ved en formlikning .

Rettlinjeligning , hvor en og b noen andre reelle tall enn null kalles ligning av en rett linje i segmenter. Dette navnet er ikke tilfeldig, siden de absolutte verdiene av tall en og b lik lengdene på segmentene som den rette linjen skjærer av på koordinataksene Okse og Oy henholdsvis (segmenter telles fra origo).

Rettlinjeligning , hvor x og y er variabler, og k og b er noen reelle tall, kalt ligning av en rett linje med en helning (k- vinkelkoeffisient)

Kanonisk ligning av en rett linje i et plan i et rektangulært kartesisk koordinatsystem Oksy har formen , hvor og er noen reelle tall, og og er ikke lik null på samme tid.

Det er åpenbart at den rette linjen, definert av den kanoniske ligningen til den rette linjen, går gjennom punktet. På sin side er tallene og , som står i nevnerne til brøkene, koordinatene til retningsvektoren til denne linjen. Dermed den kanoniske ligningen til linjen i rektangulært koordinatsystem Oksy på planet tilsvarer en rett linje som går gjennom punktet og har en retningsvektor.

Parametriske ligninger av en rett linje på et plan ser ut som , hvor og er noen reelle tall, og og er ikke lik null på samme tid, og er en parameter som tar noen reelle verdier.

Parametriske ligninger av en rett linje etablerer et implisitt forhold mellom abscissen og ordinatene til punktene til en rett linje ved å bruke en parameter (derav navnet på denne typen rettlinjeligninger).

Et tallpar , som beregnes av de parametriske ligningene til den rette linjen for en reell verdi av parameteren , er koordinatene til et punkt på den rette linjen. For eksempel når vi har , det vil si at punktet med koordinater ligger på en rett linje.

Det skal bemerkes at koeffisientene og ved parameteren i de parametriske ligningene til den rette linjen er koordinatene til retningsvektoren til denne rette linjen

Ligning av en linje som går gjennom to punkter

La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så ligningen til en rett linje som går gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På planet er den rette linjeligningen skrevet ovenfor forenklet:

hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1 hvis x 1 = x 2.

Brøk = k kalles helningsfaktor rett.

C) beregne vinkelen mellom to linjer

hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som

.

To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem. De rette linjene Ax + Vy + C \u003d 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 er parallelle når koeffisientene A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB er proporsjonale. Hvis også С 1 = λС, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

D) forhold for parallellitet og perpendikularitet av to linjer

Betingelser for parallellitet av to linjer:

a) Hvis linjene er gitt av ligninger med en helning, så er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet likheten til deres helninger:

k 1 = k 2 .

b) For det tilfellet når linjene er gitt ved likninger i generell form (6), er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet at koeffisientene ved de tilsvarende strømkoordinatene i deres likninger er proporsjonale, dvs.

Betingelser for vinkelrett på to linjer:

a) I tilfellet når linjene er gitt ved likning (4) med en helning, er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres perpendikularitet at deres helninger er gjensidige i størrelse og motsatte i fortegn, dvs.

Denne betingelsen kan også skrives i skjemaet

k 1 k 2 = -1.

b) Hvis ligningene til rette linjer er gitt i generell form (6), så er betingelsen for deres perpendikularitet (nødvendig og tilstrekkelig) å oppfylle likheten

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0.

Funksjonsgrense

A) sekvensgrense

Begrepet grense ble brukt av Newton i andre halvdel av 1600-tallet og av matematikere på 1700-tallet, som Euler og Lagrange, men de forsto grensen intuitivt. De første strenge definisjonene av grensen for en sekvens ble gitt av Bolzano i 1816 og av Cauchy i 1821.

Nummeret ringes opp grensen for den numeriske sekvensen, hvis sekvensen er uendelig liten, det vil si at alle dens elementer, fra noen, er mindre enn et positivt tall tatt på forhånd.

I tilfelle en numerisk sekvens har en grense i form av et reelt tall, kalles den konvergerende til dette nummeret. Ellers kalles sekvensen avvikende . Hvis den dessuten er ubegrenset, antas dens grense å være lik uendelig.

I tillegg, hvis alle elementer i en ubegrenset sekvens, med utgangspunkt i et tall, har et positivt fortegn, så sier vi at grensen for en slik sekvens er lik pluss uendelig .

Hvis elementene i en ubegrenset sekvens, med utgangspunkt i et tall, har et negativt fortegn, sier de at grensen for en slik sekvens er lik minus uendelig .

B) funksjonsgrense

Funksjonsgrense (funksjonsgrense) på et gitt punkt, begrensende for definisjonsdomenet til en funksjon, er en slik verdi som verdien av funksjonen som vurderes tenderer til når argumentet tenderer til et gitt punkt.

Funksjonsgrense er en generalisering av begrepet grensen til en sekvens: i utgangspunktet ble grensen for en funksjon i et punkt forstått som grensen for en sekvens av elementer i rekkevidden til funksjonen, sammensatt av bilder av punkter i en sekvens av elementer av domenet til funksjonen, konvergerende til et gitt punkt (grensen som vurderes); hvis en slik grense eksisterer, sies funksjonen å konvergere til den angitte verdien; hvis en slik grense ikke eksisterer, sies funksjonen å divergere.

Funksjonsgrense- et av de grunnleggende begrepene i matematisk analyse. Verdien kalles grense (grenseverdi) av en funksjon i et punkt , hvis for en sekvens av punkter som konvergerer til , men ikke inneholder som ett av dens elementer (det vil si i et punktert nabolag ), konvergerer sekvensen av verdier til funksjonen til .

Verdien kalles grense (grenseverdi) av en funksjon ved punktet , hvis for et positivt tall tatt på forhånd er det et positivt tall som tilsvarer det slik at for alle argumenter som tilfredsstiller betingelsen , er ulikheten tilfredsstilt.

C) to bemerkelsesverdige grenser

· Første bemerkelsesverdige grense:

Konsekvenser

·

·

·

· Andre bemerkelsesverdige grense:

Konsekvenser

1.

2.

3.

4.

5. for,

6.

D) uendelig små og uendelig store funksjoner

Funksjon y=f(x) kalt uendelig liten på x→a eller når x→∞ hvis eller , dvs. En infinitesimal funksjon er en funksjon hvis grense ved et gitt punkt er null.

hvis funksjon y=f(x) representert kl x→a som summen av et konstant tall b og uendelig liten α(x): f(x)=b+ α(x) deretter .

Omvendt, hvis , da f(x)=b+α(x), hvor øks) er uendelig liten kl x→a.

Konsekvens 1. Hvis og , da .

Konsekvens 2. Hvis c= const, da.

Hvis funksjonen f(x) er uendelig stor kl x→a, deretter funksjon 1 /f(x) er uendelig liten kl x→a.

Hvis funksjonen f(x)- uendelig liten kl x→a(eller x→∞) og forsvinner ikke, da y= 1/f(x) er en uendelig funksjon. de enkleste egenskapene til uendelig små og uendelig store funksjoner kan skrives ved å bruke følgende betingede relasjoner: EN≠ 0

D) avsløring av usikkerheter. L'Hopitals regel

hovedtyper av usikkerhet: null delt på null ( 0 til 0), uendelig delt på uendelig, null ganger uendelig, uendelig minus uendelig, en i uendelig potens, null i null, uendelig til null.

L'Hopitals regel veldig mye brukt til grenseberegninger når det er en usikkerhet av formen null delt på null, uendelig delt på uendelig.

Disse typer usikkerhet er redusert til null ganger uendelig og uendelig minus uendelig.

Hvis og hvis fungerer f(x) og g(x) er differensierbare i et nabolag av punktet, da

I tilfelle usikkerheten ikke forsvinner etter bruk av L'Hopital-regelen, kan den brukes på nytt.

Beregning av derivater

A) regelen for differensiering av en kompleks funksjon

La er kompleks funksjon , hvor funksjonen er et mellomargument. La oss vise hvordan du finner den deriverte av en kompleks funksjon, og kjenne den deriverte for funksjonen (vi vil betegne den med ) og den deriverte for funksjonen .

Teorem 1. Hvis en funksjon har en derivert i et punkt x, og funksjonen har en derivert i punktet (), deretter den komplekse funksjonen i punktet x har en derivert , og = .

Ellers er den deriverte av en kompleks funksjon lik produktet av den deriverte av den gitte funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet med den deriverte av det mellomliggende argumentet.

B) differensiering av en funksjon gitt parametrisk

La funksjonen gis i parametrisk form, det vil si på formen:

hvor funksjonene og er definert og kontinuerlig over et visst intervall av parameteren. La oss finne forskjellene fra høyre og venstre del av hver av likhetene:

For å finne den andre deriverte utfører vi følgende transformasjoner:

C) konseptet med den logaritmiske deriverte av en funksjon

Den logaritmiske deriverte av en positiv funksjon kalles derivert. Siden , da, i henhold til regelen for differensiering av en kompleks funksjon, får vi følgende relasjon for den logaritmiske deriverte:

.

Ved å bruke den logaritmiske deriverte er det praktisk å beregne den ordinære deriverte i tilfeller der logaritmen forenkler funksjonens form.

Essensen av en slik differensiering er som følger: først blir logaritmen til den gitte funksjonen funnet, og først da beregnes den deriverte fra den. La noen funksjon bli gitt. Vi tar logaritmen til venstre og høyre side av dette uttrykket:

Og så, ved å uttrykke ønsket derivat, har vi som et resultat:

D) derivert av den inverse funksjonen

Hvis y=f(x) og x=g(y) er et par av gjensidig inverse funksjoner, og funksjonen y=f(x) har en derivert f"(x), så er den deriverte av den inverse funksjonen g"( x)=1/f" (x).

Dermed er derivatene av gjensidig inverse funksjoner resiproke. Formel for den deriverte av den inverse funksjonen:

E) derivert av en implisitt funksjon

Hvis funksjonen til en variabel er beskrevet av ligningen y=f(x), hvor variabelen y er på venstre side, mens høyre side kun avhenger av argumentet x, så sier vi at funksjonen er gitt eksplisitt. For eksempel er følgende funksjoner eksplisitt definert:

y= synd x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.

I mange oppgaver kan funksjonen imidlertid gis implisitt, dvs. i form av en ligning

F(x,y)=0.

for å finne den deriverte y′( x) av en implisitt definert funksjon, er det ikke nødvendig å konvertere den til en eksplisitt form. For dette, å kjenne ligningen F(x,y)=0, bare gjør følgende:

Først må du skille begge sider av ligningen med hensyn til variabelen x, antar at y er en differensierbar funksjon x og bruke regelen for å beregne den deriverte av en kompleks funksjon. I dette tilfellet vil den deriverte av null (på høyre side) også være lik null.
Kommentar: Hvis høyresiden ikke er null, dvs. den implisitte ligningen har formen

f(x,y)=g(x,y),

så skiller vi venstre og høyre side av ligningen.

Løs den resulterende ligningen med hensyn til den deriverte y′( x).

Konseptet med et derivat

A) definisjon av et derivat

Funksjonsderiverte differensiering integrering.

y xx

Derivatdefinisjon

Vurder funksjonen f(x x 0. Deretter funksjonen f(x) er en differensierbar på punktet x 0 og henne derivat bestemmes av formelen

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Funksjonsderiverte- et av matematikkens grunnleggende begreper, og i matematisk analyse inntar den deriverte sammen med integralet en sentral plass. Prosessen med å finne den deriverte kalles differensiering. Den inverse operasjonen - gjenopprettingen av en funksjon fra en kjent derivert - kalles integrering.

Den deriverte av en funksjon på et tidspunkt karakteriserer endringshastigheten til funksjonen på det punktet. Et estimat av endringshastigheten kan fås ved å beregne forholdet mellom funksjonsendringen Δ y til den tilsvarende endringen i argumentet Δ x. I definisjonen av derivatet er et slikt forhold vurdert i grensen under betingelsen Δ x→0. La oss gå videre til en mer streng formulering:

Derivatdefinisjon

Vurder funksjonen f(x), hvis domene inneholder et åpent intervall rundt punktet x 0. Deretter funksjonen f(x) er en differensierbar på punktet x 0 og henne derivat bestemmes av formelen

f′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) den geometriske betydningen av den deriverte

Den deriverte av funksjonen beregnet for en gitt verdi er lik tangenten til vinkelen dannet av den positive retningen til aksen og den positive retningen til tangenten tegnet til grafen til denne funksjonen i punktet med abscissen:

Hvis en funksjon har en endelig derivert i et punkt, kan den i et nabolag tilnærmes med en lineær funksjon

Funksjonen kalles tangenten til punktet Tall.

D) tabell over deriverte av de enkleste elementære funksjonene

Def. 1.5.6. Retning kosinus vektor en la oss kalle cosinusene til de vinklene som denne vektoren danner med basisvektorene, henholdsvis, Jeg , j , k .

Kosinus for vektorretning en = (X, på, z) finnes av formlene:

Summen av kvadratene til retningscosinusene er lik en:

Kosinus for vektorretning en er koordinatene til dens ort: .

La basisvektorene Jeg , j , k trukket fra et felles punkt O. Vi vil anta at ortene setter de positive retningene til aksene Åh, OU, Oz. poengsamling O (opprinnelse) og en ortonormal basis Jeg , j , k kalt Kartesisk rektangulært koordinatsystem i rommet. La være MEN er et vilkårlig punkt i rommet. Vektor en = OA= x Jeg + y j + z k kalt radius vektor poeng MEN, koordinatene til denne vektoren ( x, y, z) kalles også punktkoordinater MEN(symbol: MEN(x, y, z)). Koordinatakser Åh, OU, Oz også kalt henholdsvis aksen abscisse, akse ordinere, akse søknad.

Hvis vektoren er gitt av koordinatene til startpunktet PÅ 1 (x 1 , y 1 , z 1) og sluttpunkt PÅ 2 (x 2 , y 2 , z 2), så er koordinatene til vektoren lik forskjellen mellom koordinatene til slutten og begynnelsen: (siden ).

Kartesiske rektangulære koordinatsystemer på planet og på linjen er definert på nøyaktig samme måte med tilsvarende kvantitative (i henhold til dimensjon) endringer.

Løsning av typiske oppgaver.

Eksempel 1 Finn lengden og retningens cosinus til en vektor en = 6Jeg – 2j -3k .

Beslutning. Vektorlengde: . Retning cosinus: .

Eksempel 2 Finn vektorkoordinater en , danner like spisse vinkler med koordinataksene, hvis lengden på denne vektoren er lik .

Beslutning. Siden , og deretter erstatte inn i formel (1.6), får vi . Vektor en danner skarpe vinkler med koordinataksene, så orto . Derfor finner vi koordinatene til vektoren .

Eksempel 3 Tre ikke-koplanare vektorer er gitt e 1 = 2Jeg – k , e 2 = 3Jeg + 3j , e 3 = 2Jeg + 3k . Dekomponer vektor d = Jeg + 5j - 2k basis e 1 , e 2 , e 3 .