Nevn de omtrentlige metodene for å studere ikke-lineære systemer. Analyse av ikke-lineære automatiske kontrollsystemer

• Metode for harmonisk linearisering i design av ikke-lineære automatiske kontrollsystemer.[Djv-10.7M] Redigert av Yu.I. Topcheeva. Forfatterteamet.
  (Moskva: Mashinostroenie Publishing House, 1970. - Serien "Ulinear Automatic Control Systems")
  Skanning: AAW, prosessering, Djv-format: Ilya Sytnikov, 2014
• SAMMENDRAG:
  Forord (5).
  Kapittel I. Teoretisk grunnlag for metoden for harmonisk linearisering (EP Popov) (13).
  Kapittel II. En ny form for harmonisk linearisering for kontrollsystemer med ikke-lineære hysteresekarakteristikk (E.I. Khlypalo) (58).
  Kapittel III. Metode for harmonisk linearisering basert på estimering av følsomheten til en periodisk løsning for høyere harmoniske og små parametere (A.A. Vavilov) (88).
  Kapittel IV. Bestemmelse av amplitude- og fasefrekvenskarakteristikk for ikke-lineære systemer (Yu.I. Topcheev) (117).
  Kapittel V. Omtrentlig frekvensmetoder for å analysere kvaliteten på ikke-lineære kontrollsystemer (Yu.I. Topcheev) (171).
  Kapittel VI. Øke nøyaktigheten til den harmoniske lineariseringsmetoden (VV Pavlov) (186).
  Kapittel VII. Anvendelse av metoden for harmonisk linearisering på diskrete ikke-lineære kontrollsystemer (S.M. Fedorov) (219).
  Kapittel VIII. Anvendelse av den asymptotiske metoden til N.M. Krylov og N.N. Bogolyubov i analysen av ikke-lineære kontrollsystemer (A.D. Maksimov) (236).
  Kapittel IX. Anvendelse av harmonisk linearisering på ikke-lineære selvjusterende kontrollsystemer (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Kapittel X. Anvendelse av metoden for harmonisk linearisering på ikke-lineære automatiske systemer med endelige automater (M.V. Starikova) (306).
  Kapittel XI. En tilnærmet metode for å studere oscillerende prosesser og glidemoduser i automatiske systemer med variabel struktur (M.V. Starikova) (390).
  Kapittel XII. Omtrentlig studie av et pulsrelékontrollsystem (M.V. Starikova) (419).
  Kapittel XIII. Bestemmelse av oscillerende prosesser i komplekse ikke-lineære systemer med ulike initialavvik (M.V. Starikova) (419).
  Kapittel XIV. Anvendelse av metoden for harmonisk linearisering på systemer med periodiske ikke-lineariteter (LI Semenko) (444).
  Kapittel XV. Anvendelse av metoden for harmonisk linearisering på systemer med to ikke-lineariteter (VM Khlyamov) (467).
  Kapittel XVI. Amplitude-fase-karakteristikk av relémekanismer med DC- og AC-motorer, oppnådd ved metoden for harmonisk linearisering (VV Tsvetkov) (485).
  Søknader (518).
  Litteratur (550).
  Alfabetisk indeks (565).

Utgivers notat: Denne boken er en del av en serie monografier om ikke-lineære automatiske kontrollsystemer.
Den skisserer systematisk, i tilstrekkelig detalj, teorien om ikke-lineære automatiske kontrollsystemer, basert på metoden for harmonisk linearisering. Hovedoppmerksomheten rettes mot det teoretiske grunnlaget for den harmoniske lineariseringsmetoden og dens praktiske anvendelser på kontinuerlige, diskrete, selvjusterende systemer, samt systemer med endelige automater og en avstembar struktur. Metoder for å øke nøyaktigheten til den harmoniske lineariseringsmetoden ved å ta hensyn til påvirkningen av høyere harmoniske er vurdert. De foreslåtte metodene er illustrert med en rekke eksempler.
Boken er ment for forskere, ingeniører, lærere og hovedfagsstudenter ved høyere utdanningsinstitusjoner som arbeider med spørsmål om automatisk kontroll.

Tenk på et kjemisk-teknologisk objekt, hvis inngang mottar et tilfeldig signal og(/), og utgangen er en tilfeldig prosess på(/). Når man bruker korrelasjonsmetoder for å identifisere lineære objekter med konstante parametere, antas det vanligvis (eller et testsignal er spesielt valgt på denne måten) at tilfeldige funksjoner og T) og på (t) er stasjonære og stasjonært koblet i vid forstand, det vil si at deres matematiske forventninger er konstante, og auto- og krysskorrelasjonsfunksjoner er funksjoner av ikke to, men ett argument som er lik deres forskjell.

Ved identifisering av ikke-lineære dynamiske systemer, betingelsene for normaliteten til sannsynlighetstetthetene til funksjoner og T) og y(t) og deres felles sannsynlighetstettheter er som regel ikke tilfredsstilt, det vil si at egenskapene til objektet bestemmes under forhold når de felles sannsynlighetstetthetene til funksjonene og T) og på(/) er ikke gaussiske.

Derfor er den betingede sannsynlighetstettheten til funksjonen y(t) relativt og T) vil også være ikke-Gaussisk. Regresjonen av den tilfeldige utdatavariabelen med hensyn til den tilfeldige inngangsfunksjonen for gitte verdier av argumentene er generelt ikke-lineær, og korrelasjonen av funksjoner og(0 og på (t) heteroskedastisk.

For identifisering av ikke-lineære objekter er derfor ikke lenger nok korrelasjonsmetoder som opererer med matematiske forventninger og korrelasjonsfunksjoner til tilfeldige prosesser. Feilen ved å løse problemet med å identifisere et ikke-lineært objekt ved hjelp av korrelasjonsmetodene som brukes for lineære systemer er jo større, jo sterkere er regresjonen av funksjoner y(t) relativt og T) skiller seg fra lineær og jo større er ujevnheten i den matematiske forventningen til betingede varianser.

Oppgaven med å identifisere ikke-lineære objekter som opererer under forhold med tilfeldige forstyrrelser er et veldig komplekst matematisk problem, som for tiden er under utvikling og fortsatt er langt fra fullført. Likevel er det allerede nå mulig å nevne en rekke metoder som, selv om de ikke kan betraktes som uttømmende, likevel gir en ganske god tilnærmet løsning på problemet med å identifisere ikke-lineære objekter med statistiske metoder. Disse metodene inkluderer: 1) metoder basert på bruk av spredning og gjensidig spredningsfunksjoner av tilfeldige prosesser; 2) metoden for linearisering av ikke-lineær regresjon i områdene homoskedastisitet av den matematiske forventningen om funksjonens betingede varians y(t) relativt og T) 3) Wiener-tilnærmingen til identifisering av ikke-lineære systemer; 4) en metode for å identifisere ikke-lineære systemer basert på bruken av apparatet til betingede Markov-prosesser.

La oss kort gjennomgå hver av disse metodene.

1. Hvis avhengigheten mellom verdiene til tilfeldige funksjoner og(0 og på (t) ikke-lineær, så kan korrelasjonskoeffisienten mellom verdiene til en tilfeldig funksjon ikke lenger tjene som et godt nok kriterium for å måle nærheten til forholdet mellom dem. Derfor for å karakterisere forholdet mellom og og på er brukt

spredningsforhold, som er bestemt gjennom spredningsfunksjoner (2, 3].

Gjensidig spredningsfunksjon 0 yU (*, m) for reelle tilfeldige funksjoner y(t) og og T) og autodispersiv (spredning) funksjon G „ K (*, m) for en tilfeldig prosess og(m) bestemmes av relasjonene

hvor M( ) - matematisk forventningssymbol; M.

Basert på verdiene fastsatt ovenfor n ui, t| Storbritannia og R du kan bygge et spesielt TV-kriterium for å teste hypotesen om lineariteten til forholdet mellom signalene du og jeg:

hvor P- antall eksperimenter; til- antall intervaller i korrelasjonstabellen. Ved å bruke TV-kriteriet, la oss sjekke hypotesen om lineariteten til forholdet mellom y t og og T for objektet omtalt i §6.4. Funksjon

N(m), bygget på inngangs- og utgangsimplementeringene til systemet, er vist i fig. 8.2. I dette tilfellet er problemet med identifikasjon redusert til søket etter ukjente parametere for objektet, som er koeffisientene til operatøren i Hilbert-rommet. Signalet ved systeminngangen er dekomponert i en serie Laguerre-underfunksjoner:

med koeffisienter

Ris. 8.3.

Ris. 8.4.

Her P Laguerre-funksjonen g n (t) er konstruert som et produkt av Laguerre-polynomet l n (t) per utstiller:

Legg merke til at Laplace-bildet av Laguerre-polynomene basert på (8.19) har formen

Dette viser at de nødvendige Laguerre-koeffisientene kan oppnås ved å sende signalet og T) gjennom en kjede av lineære dynamiske lenker (se fig. 8.3).

Operatøren for et ikke-lineært system er representert som en utvidelse når det gjelder Ermnt-polynomer:

som er ortogonale på den reelle aksen - oo t. Hermite-funksjonene er konstruert fra Hermite-polynomene:

ved hjelp av hvilken overgangsoperatøren fra Laguerre-koeffisientene til inngangssignalet til utgangssignalet skrives som

Relasjon (8.20) er gyldig for ethvert ikke-lineært objekt og kan brukes som grunnlag for identifikasjon. Identifikasjonsteknikken blir kraftig forenklet hvis et spesielt signal i form av Gaussisk hvit støy påføres inngangen. I dette tilfellet er Laguerre-funksjonene ukorrelerte Gaussiske tilfeldige prosesser med like varianser. I dette tilfellet vil bestemmelsen av koeffisientene ... til reduserer til å finne krysskorrelasjonsfunksjonen til systemutgangen og hermitepolynomene:

Definisjon av koeffisienter b(j... til fullfører løsningen av identifiseringsproblemet. Det generelle beregningsskjemaet er vist i fig. 8.4.

Ved løsning av problemer med å identifisere kjemisk-teknologiske objekter har den vurderte metoden begrenset anvendelse av en rekke årsaker. Sistnevnte inkluderer for eksempel vanskelighetene som oppstår ved overgangen fra koeffisientene b tj k til de teknologiske parametrene til objektet. Metoden egner seg ikke for ikke-stasjonære systemer. Vanskeligheter med å implementere denne prosedyren i modusen for normal drift av objektet reduserer også effektiviteten til metoden. Til slutt er behovet for å avkorte alle operasjoner knyttet til passasjer til grensen og erstatning av serier med endelige summer kilder til ytterligere beregningsfeil.

4. En annen mulig tilnærming til å konstruere optimale filtre for ikke-lineære systemer er basert på bruken av apparatet til betingede Markov-prosesser. Vurder essensen av denne tilnærmingen på et spesifikt eksempel.

EKSEMPEL La det nyttige signalet være en rektangulær puls

tidspunktet for forekomsten av hvilken t på segmentet 0 x T må bestemmes. Pulshøyde En 0 og dens varighet h antas å være kjent. Signalet til objektet og (t)=s(*)+m> (*) er summen av den nyttige komponenten s(0 og hvit støy w(*), som er beskrevet av sannsynlighetsintegralen )