Finn to forskjellige fellespunkter på flyene. Plan i verdensrommet - nødvendig informasjon

Spørsmål 7.

To plan i rommet kan enten være innbyrdes parallelle, og i et spesielt tilfelle sammenfallende med hverandre, eller krysse hverandre. Gjensidig vinkelrette plan er et spesielt tilfelle av kryssende plan og vil bli diskutert nedenfor.

parallelle plan. Planene er parallelle hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan. Ved løsning av ulike oppgaver er det ofte nødvendig å trekke et plan β gjennom et gitt punkt A, parallelt med et gitt plan α.

På fig. 81 planet α er gitt av to kryssende rette linjer a og b. Det ønskede planet β er definert av linjene a1 og b1, henholdsvis parallelt med a og b og som går gjennom det gitte punktet A1.

Kryssende fly. Skjæringslinjen mellom to plan er en rett linje, for konstruksjonen som det er nok å bestemme to punkter som er felles for begge planene, eller ett punkt og retningen til skjæringslinjen til planene.

Før vi vurderer konstruksjonen av en skjæringslinje mellom to plan, la oss analysere et viktig og hjelpeproblem: finn punktet K for skjæringspunktet mellom en linje i generell posisjon med et projisert plan.

La for eksempel gitt en rett linje a og et horisontalt utstikkende plan α (fig. 82). Da må den horisontale projeksjonen K1 av det ønskede punktet samtidig ligge på den horisontale projeksjonen α1 av planet α og på den horisontale projeksjonen a1 av den rette linjen a, dvs. i skjæringspunktet a1 med α1 (fig. 83). Frontprojeksjonen K2 av punktet K er plassert på linjen til projeksjonsforbindelsen og på frontprojeksjonen a2 av den rette linjen a.

Og la oss nå analysere et av de spesielle tilfellene av kryssende fly, når en av dem projiserer.

På fig. 84 viser planet i generell posisjon, gitt av trekanten ABC, og det horisontalt projiserte planet a. La oss finne to felles punkter for disse to planene. Det er klart at disse fellespunktene for planene ∆ABC og α vil være skjæringspunktene mellom sidene AB og BC i trekanten ABC med det projiserte planet α. Konstruksjonen av slike punkter D og E både på en romlig tegning (fig. 84) og på et diagram (fig. 85) forårsaker ikke vanskeligheter etter eksemplet diskutert ovenfor.

Ved å koble projeksjonene med samme navn til punktene D og E, får vi projeksjonene av skjæringslinjen mellom planet ∆ ABC og planet α.

Således faller den horisontale projeksjonen D1E1 av skjæringslinjen til de gitte planene sammen med den horisontale projeksjonen av det projiserte planet α - med dets horisontale spor α1.

Vurder nå den generelle saken. La to plan med generell posisjon α og β gis i rommet (fig. 86). For å konstruere skjæringslinjen deres, er det nødvendig, som nevnt ovenfor, å finne to punkter som er felles for begge planene.

For å bestemme disse punktene, krysses de gitte planene av to hjelpeplan. Som slike fly er det mer hensiktsmessig å ta de projiserte planene og spesielt nivåplanene. På fig. 86 skjærer det første hjelpenivåplanet γ hvert av disse planene langs horisontalene h og h1, som definerer punktet 1 som er felles for planene α og β. Dette punktet bestemmes av skjæringspunktet mellom horisontalene h2 og h3, langs hvilke hjelpeplanet δ skjærer hvert av disse planene.

La to fly gis

Det første planet har en normalvektor (A 1; B 1; C 1), det andre planet (A 2; B 2; C 2).

Hvis planene er parallelle, så er vektorene og kollineære, dvs. = l for et tall l. Så

─ tilstanden for parallellisme til flyet.

Tilstand for sammenfall av fly:

,

siden i dette tilfellet, multipliserer vi den andre ligningen med l = , får vi den første ligningen.

Hvis parallellitetsbetingelsen ikke er oppfylt, så krysser planene hverandre. Spesielt hvis planene er vinkelrette, så er vektorene også vinkelrette. Derfor er deres skalarprodukt lik 0, dvs. = 0, eller

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 \u003d 0.

Dette er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at planene skal være vinkelrette.

Vinkel mellom to plan.

Vinkel mellom to plan

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

er vinkelen mellom deres normale vektorer og , så

cosj = =
.

rett linje i rommet.

Vektorparametrisk ligning for en rett linje.

Definisjon. Retning vektor rett Enhver vektor som ligger på en linje eller parallelt med den kalles.

Komponer ligningen for en rett linje som går gjennom punktet M 0 (x 0; y 0; z 0) og har en retningsvektor = (a 1; a 2; a 3).

Sett til side fra punktet M 0 vektoren . La M(x; y; z) være et vilkårlig punkt på den gitte linjen, og ─ dens radius-vektor for punktet М 0 . Deretter , , Derfor . Denne ligningen kalles vektor-parametrisk ligning for en rett linje.

Parametriske ligninger for en rett linje.

I den vektorparametriske ligningen til den rette linjen vil gå til koordinatrelasjonene (x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + (a 1; a 2; a 3) t. Herfra får vi parametriske ligninger for den rette linjen

x \u003d x 0 + a 1 t,

y = y 0 + a 2 t, (4)

Kanoniske ligninger av en rett linje.

Fra ligning (4) uttrykker vi t:

t = , t = , t = ,

hvor vi kommer kanoniske ligninger av linjen

= = (5)

Ligning av en rett linje som går gjennom to gitte punkter.

La to punkter M 1 (x 1; y 1; z 1) og M 2 (x 2; y 2; z 2) gis. Som retningsvektor for den rette linjen kan du ta vektoren = (x 2 - x 1; y 2 ​​- y 1; z 2 - z 1). Siden linjen går gjennom punktet M 1 (x 1; y 1; z 1), vil dens kanoniske ligninger i samsvar med (5) bli skrevet i formen

(6)

Vinkel mellom to linjer.

Tenk på to rette linjer med retningsvektorer = (a 1; a 2; a 3) og .

Vinkelen mellom linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres, altså

cosj = =
(7)

Betingelsen for vinkelrett på linjer:

a 1 i 1 + a 2 i 2 + a 3 i 3 = 0.

Tilstanden til parallelle linjer:

jeg,

. (8)

Gjensidig arrangement av linjer i rommet.

La det gis to linjer
og
.

Det er klart at linjene ligger i samme plan hvis og bare hvis vektorene , og koplanar, dvs.

= 0 (9)

Hvis i (9) de to første radene er proporsjonale, så er linjene parallelle. Hvis alle tre linjene er proporsjonale, så faller linjene sammen. Hvis betingelse (9) er oppfylt og de to første radene ikke er proporsjonale, så krysser linjene.

Hvis
¹ 0, så er linjene skjeve.

Problemer på en rett linje og et plan i rommet.

En rett linje er skjæringspunktet mellom to plan.

La to fly gis

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0

Hvis flyene ikke er parallelle, brytes betingelsen

.

La for eksempel ¹ .

La oss finne ligningen til den rette linjen som planene skjærer.

Som retningsvektor for den ønskede rette linjen kan vi ta vektoren

= × = =
.

For å finne et punkt som tilhører ønsket linje, fikser vi en verdi

z = z 0 og løse systemet

,

vi får verdiene \u200b\u200bx \u003d x 0, y \u003d y 0. Så det ønskede punktet er M (x 0; y 0; z 0).

Nødvendig ligning

.

Gjensidig arrangement av en rett linje og et plan.

La den rette linjen x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t gis

og fly

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0.

For å finne vanlige punkter på en linje og et plan, er det nødvendig å løse systemet med deres ligninger

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Hvis A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, så har systemet en unik løsning

t = t 0 = -
.

I dette tilfellet skjærer linjen og planet i et enkelt punkt M 1 (x 1; y 1; z 1), hvor

x 1 \u003d x 0 + a 1 t 0, y 1 \u003d y 0 + a 2 t 0, z 1 \u003d z 0 + a 3 t 0.

Hvis A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, så har ikke linjen og planet fellespunkter , dvs. er parallelle.

Hvis A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 \u003d 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 \u003d 0, så tilhører linjen planet.

Vinkelen mellom en linje og et plan.

To plan i rommet kan enten være innbyrdes parallelle eller kryssende.

Planene er parallelle hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan.

Valget av sidene til trekantene er vilkårlig, siden bare ved konstruksjon kan man bestemme nøyaktig hvilken side av hvilken trekant som faktisk vil skjære planet til en annen. Valget av hjelpeplanet er også vilkårlig, siden linjen i generell posisjon, som er alle sidene ∆ ABC og ∆ DEF, kan være innelukket i et horisontalt eller frontalt projisert plan.

1. Å bygge et poeng M brukt horisontalt utstikkende hjelpeplan F (F AB triangel ABC (AB Î F).

2. Vi bygger skjæringslinjen (på tegningen er den gitt av punktene 1 og 2) til hjelpeplanet F (F 2) og planet ∆ DEF.

Ett poeng funnet Mønsket skjæringslinje.

4. Å bygge et poeng N horisontalt projeksjonsplan brukt R (R 2) hvori partiet er innesluttet EF triangel DEF.

Konstruksjonen er lik de forrige.

5. Bestemme synligheten av elementer på flyet P 2 er laget med frontalt konkurrerende poeng 1=2 og 5=2.

Punkt 5 (5О AB) er plassert lenger fra aksen X enn punkt 1 (1О D.F.), så på flyet P 2-delt trekant ABC, plassert mot punkt 1, dekker en del av trekanten DEF plassert fra skjæringslinjen mot punkt 5.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å bestå eksamen i matematikk med 60-65 poeng. Fullstendig alle oppgavene 1-13 i ProfilBRUK i matematikk. Også egnet for å bestå Grunnleggende BRUK i matematikk. Skal du bestå eksamen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedende kurs til eksamen for 10.-11. trinn, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av eksamen i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Examination, og verken en hundrepoengsstudent eller en humanist kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske løsninger, feller og hemmeligheter til eksamen. Alle relevante oppgaver i del 1 fra Bank of FIPI-oppgaver er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene i USE-2018.

Kurset inneholder 5 store emner, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av eksamensoppgaver. Tekstproblemer og sannsynlighetsteori. Enkel og lett å huske problemløsningsalgoritmer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer BRUK-oppgaver. Stereometri. Utspekulerte triks for å løse, nyttige jukseark, utvikling av romlig fantasi. Trigonometri fra bunnen av - til oppgave 13. Forståelse i stedet for å stappe. Visuell forklaring av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for å løse komplekse oppgaver i 2. del av eksamen.

To plan i rommet kan enten være innbyrdes parallelle, i et spesielt tilfelle sammenfallende med hverandre, eller krysse hverandre. Gjensidig vinkelrette plan er et spesielt tilfelle av kryssende plan.

1. Parallelle fly. Planene er parallelle hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan.

Denne definisjonen er godt illustrert av oppgaven, gjennom punkt B, å tegne et plan parallelt med planet gitt av to kryssende rette linjer ab (fig. 61).

Oppgave. Gitt: et plan i generell posisjon gitt av to kryssende rette linjer ab og punkt B.

Det kreves gjennom punkt B å tegne et plan parallelt med planet ab og sette det med to kryssende linjer c og d.

I henhold til definisjonen, hvis to kryssende linjer i ett plan er henholdsvis parallelle med to kryssende linjer i et annet plan, så er disse planene parallelle med hverandre.

For å tegne parallelle linjer på diagrammet, er det nødvendig å bruke egenskapen til parallell projeksjon - projeksjonene av parallelle linjer er parallelle med hverandre

d//a, с//b Þ d1//a1,с1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3,с3//b3.

Figur 61. Parallelle plan

2. Kryssende plan, et spesielt tilfelle - gjensidig vinkelrette plan. Skjæringslinjen for to plan er en rett linje, for konstruksjonen av hvilken det er nok å bestemme de to punktene som er felles for begge planene, eller ett punkt og retningen til skjæringslinjen for planene.

Tenk på konstruksjonen av skjæringslinjen mellom to plan, når ett av dem rager ut (fig. 62).

Oppgave. Gitt: planet i generell posisjon er gitt av trekanten ABC, og det andre planet projiserer horisontalt a.

Det er nødvendig å konstruere en skjæringslinje av fly.

Løsningen på problemet er å finne to punkter som er felles for disse planene som en rett linje kan trekkes gjennom. Planet definert av trekanten ABC kan representeres som rette linjer (AB), (AC), (BC). Skjæringspunktet for linjen (AB) med planet a - punkt D, linje (AC) -F. Segmentet definerer skjæringslinjen for planene. Siden a er et horisontalt projeksjonsplan, faller projeksjonen D1F1 sammen med sporet til planet aP1, så det gjenstår bare å konstruere de manglende projeksjonene på P2 og P3.

Figur 62. Skjæring av et plan med generell posisjon med et horisontalt utstikkende plan

La oss gå videre til den generelle saken. La to generiske plan a(m,n) og b (ABC) gis i rommet (fig.63)

Figur 63. Skjæring av plan i generell posisjon

Tenk på sekvensen for å konstruere skjæringslinjen for planene a(m//n) og b(ABC). I analogi med forrige oppgave, for å finne skjæringslinjen til disse planene, tegner vi hjelpesekantplanene g og d. La oss finne skjæringslinjene for disse planene med planene som vurderes. Plan g skjærer plan a langs en rett linje (12), og plan b - langs en rett linje (34). Punkt K - skjæringspunktet for disse linjene tilhører samtidig tre plan a, b og g, og er dermed et punkt som tilhører skjæringslinjen for plan a og b. Planet d skjærer planene a og b langs linjene (56) og (7C), henholdsvis, skjæringspunktet M befinner seg samtidig i de tre planene a, b, d og tilhører den rette skjæringslinjen til fly a og b. Dermed er det funnet to punkter som tilhører skjæringslinjen til planene a og b - en rett linje (KM).

En viss forenkling i å konstruere skjæringslinjen for plan kan oppnås hvis hjelpesekantplanene trekkes gjennom de rette linjene som definerer planet.

Gjensidig vinkelrette plan. Det er kjent fra stereometri at to plan er gjensidig perpendikulære hvis ett av dem går gjennom en perpendikulær på det andre. Gjennom punktet A kan du tegne et sett med plan vinkelrett på det gitte planet a (f, h). Disse planene danner en bunt av fly i rommet, hvis akse er vinkelrett som faller fra punktet A til planet a. For å tegne et plan vinkelrett på planet gitt av to kryssende linjer hf fra punkt A, er det nødvendig å tegne en rett linje n vinkelrett på planet hf fra punkt A (den horisontale projeksjonen n er vinkelrett på den horisontale projeksjonen av horisontal h, frontalprojeksjonen n er vinkelrett på frontalprojeksjonen av frontal f). Ethvert plan som går gjennom linjen n vil være vinkelrett på planet hf, derfor, for å sette planet gjennom punktene A, trekker vi en vilkårlig linje m. Planet gitt av to kryssende rette linjer mn vil være vinkelrett på planet hf (Fig.64).

Figur 64. Gjensidig vinkelrette plan