Skildring av naturlige tall med prikker på en talllinje. Modulus av tall (absolutt verdi av tall), definisjoner, eksempler, egenskaper
Vi vet allerede at settet med reelle tall $R$ dannes av rasjonelle og irrasjonelle tall.
Rasjonale tall kan alltid representeres som desimaler (endelig eller uendelig periodisk).
Irrasjonelle tall skrives som uendelige, men ikke-gjentakende desimaler.
Settet med reelle tall $R$ inkluderer også elementene $-\infty $ og $+\infty $, for hvilke ulikhetene $-\infty
Vurder måter å representere reelle tall på.
Vanlige brøker
Vanlige brøker skrives med to naturlige tall og en horisontal brøkstrek. Brøkstreken erstatter faktisk divisjonstegnet. Tallet under linjen er nevneren (divisor), tallet over linjen er telleren (delbar).
Definisjon
En brøk kalles egen hvis telleren er mindre enn nevneren. Omvendt kalles en brøk uegentlig hvis telleren er større enn eller lik nevneren.
For vanlige brøker er det enkle, praktisk talt åpenbare, sammenligningsregler ($m$,$n$,$p$ er naturlige tall):
- av to brøker med samme nevnere, er den med den største telleren større, dvs. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
- av to brøker med samme tellere, er den med den minste nevneren større, dvs. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ for $ m
- en egenbrøk er alltid mindre enn én; uekte brøk er alltid større enn én; en brøk hvis teller er lik nevneren er lik en;
- Enhver uekte brøk er større enn en hvilken som helst egenbrøk.
Desimaltall
Notasjonen av et desimaltall (desimalbrøk) har formen: heltallsdel, desimaltegn, brøkdel. Desimalnotasjonen til en vanlig brøk kan fås ved å dele "vinkelen" til telleren med nevneren. Dette kan resultere i enten en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk.
Definisjon
Brøksifrene kalles desimaler. I dette tilfellet kalles det første sifferet etter desimaltegnet for tiendedelssifferet, det andre - hundredelerssifferet, det tredje - tusendelssifferet osv.
Eksempel 1
Vi bestemmer verdien av desimaltallet 3,74. Vi får: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Desimaltallet kan avrundes. I dette tilfellet må du angi sifferet som avrundingen utføres til.
Avrundingsregelen er som følger:
- alle sifre til høyre for dette sifferet erstattes med nuller (hvis disse sifrene er før desimaltegnet) eller forkastet (hvis disse sifrene er etter desimaltegnet);
- hvis det første sifferet etter det gitte sifferet er mindre enn 5, endres ikke sifferet til dette sifferet;
- hvis det første sifferet etter det gitte sifferet er 5 eller mer, økes sifferet til dette sifferet med én.
Eksempel 2
- La oss runde av tallet 17302 til nærmeste tusen: 17000.
- La oss runde av tallet 17378 til nærmeste hundre: 17400.
- La oss runde tallet 17378.45 til tiere: 17380.
- La oss runde av tallet 378.91434 til nærmeste hundredel: 378.91.
- La oss runde av tallet 378.91534 til nærmeste hundredel: 378.92.
Konvertering av et desimaltall til en vanlig brøk.
Sak 1
Et desimaltall er en avsluttende desimal.
Konverteringsmetoden er vist i følgende eksempel.
Eksempel 2
Vi har: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Reduser til en fellesnevner og få:
Brøken kan reduseres: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Tilfelle 2
Et desimaltall er et uendelig tilbakevendende desimal.
Transformasjonsmetoden er basert på det faktum at den periodiske delen av en periodisk desimalbrøk kan betraktes som summen av medlemmer av en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
Eksempel 4
$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,74$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$.
Eksempel 5
$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,08$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$.
Summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon beregnes med formelen $s=\frac(a)(1-q) $, der $a$ er det første leddet og $q$ er nevneren for progresjonen $ \venstre (0
Eksempel 6
La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,\left(72\right)$ til en vanlig.
Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,72$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11)$. Så $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.
Eksempel 7
La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,5\venstre(3\høyre)$ til en vanlig.
Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,03$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30)$.
Så $0,5\venstre(3\høyre)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Reelle tall kan representeres av punkter på tallinjen.
I dette tilfellet kaller vi den numeriske aksen en uendelig linje der origo (punkt $O$), positiv retning (angitt med en pil) og skala (for å vise verdier) er valgt.
Mellom alle reelle tall og alle punkter på den numeriske aksen er det en en-til-en-korrespondanse: hvert punkt tilsvarer et enkelt tall, og omvendt tilsvarer hvert tall et enkelt punkt. Derfor er settet med reelle tall kontinuerlig og uendelig på samme måte som tallaksen er kontinuerlig og uendelig.
Noen delmengder av settet med reelle tall kalles numeriske intervaller. Elementene i et numerisk intervall er tall $x\i R$ som tilfredsstiller en viss ulikhet. La $a\in R$, $b\in R$ og $a\le b$. I dette tilfellet kan typene mellomrom være som følger:
- Intervall $\venstre(a,\; b\høyre)$. På samme tid $ a
- Segment $\left$. Dessuten $a\le x\le b$.
- Halvsegmenter eller halvintervaller $\left$. Samtidig $ a \le x
- Uendelige spenn, f.eks. $a
Av stor betydning er også et slags intervall, kalt nabolaget til et punkt. Nabolaget til et gitt punkt $x_(0) \in R$ er et vilkårlig intervall $\left(a,\; b\right)$ som inneholder dette punktet i seg selv, dvs. $a 0$ - 10. radius.
Den absolutte verdien av tallet
Den absolutte verdien (eller modulen) til et reelt tall $x$ er et ikke-negativt reelt tall $\left|x\right|$, definert av formelen: $\left|x\right|=\venstre\(\ begynne(matrise)(c) (\; \; x\; \; (\rm på)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm på)\; \; x
Geometrisk betyr $\left|x\right|$ avstanden mellom punktene $x$ og 0 på den reelle aksen.
Egenskaper for absolutte verdier:
- det følger av definisjonen at $\venstre|x\høyre|\ge 0$, $\venstre|x\høyre|=\venstre|-x\høyre|$;
- for modulen til summen og for modulen til differansen av to tall, ulikhetene $\venstre|x+y\høyre|\le \venstre|x\høyre|+\venstre|y\høyre|$, $\ venstre|x-y\høyre|\le \venstre|x\høyre|+\venstre|y\høyre|$ og også $\venstre|x+y\høyre|\ge \venstre|x\høyre|-\venstre|y \høyre|$,$\ venstre|x-y\høyre|\ge \venstre|x\høyre|-\venstre|y\høyre|$;
- modulen til produktet og modulen til kvotienten av to tall tilfredsstiller likhetene $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ og $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\venstre|x\høyre|)(\venstre|y\høyre|) $.
Basert på definisjonen av den absolutte verdien for et vilkårlig tall $a>0$, kan man også etablere ekvivalensen til følgende ulikhetspar:
- hvis $ \venstre|x\høyre|
- hvis $\left|x\right|\le a$ så $-a\le x\le a$;
- hvis $\left|x\right|>a$ så enten $xa$;
- hvis $\left|x\right|\ge a$, så enten $x\le -a$ eller $x\ge a$.
Eksempel 8
Løs ulikheten $\venstre|2\cdot x+1\høyre|
Denne ulikheten tilsvarer ulikhetene $-7
Herfra får vi: $-8
En talllinje, en tallakse, er en linje der reelle tall er avbildet. På den rette linjen er origo valgt - punktet O (punkt O representerer 0) og punktet L, som representerer enheten. Punktet L står vanligvis til høyre for punktet O. Segmentet OL kalles enhetssegmentet.
Punktene til høyre for punkt O representerer positive tall. Prikker til venstre for prikken. Å, skildre negative tall. Hvis punktet X representerer et positivt tall x, så er avstanden OX = x. Hvis punktet X representerer et negativt tall x, så er avstanden OX = - x.
Tallet som viser posisjonen til et punkt på en rett linje kalles koordinaten til dette punktet.
Punkt V vist på figuren har en koordinat på 2, og punkt H har en koordinat på -2,6.
Modulen til et reelt tall er avstanden fra origo til punktet som tilsvarer dette tallet. Angi modulen til tallet x, så: | x |. Tydeligvis, | 0 | = 0.
Hvis tallet x er større enn 0, så | x | = x, og hvis x er mindre enn 0, så | x | = - x. På disse egenskapene til modulen er løsningen av mange ligninger og ulikheter med modulen basert.
Eksempel: Løs ligning | x - 3 | = 1.
Løsning: Vurder to tilfeller - det første tilfellet, når x -3 > 0, og det andre tilfellet, når x - 3 0.
1. x - 3 > 0, x > 3.
I dette tilfellet | x - 3 | = x - 3.
Ligningen har formen x - 3 \u003d 1, x \u003d 4. 4\u003e 3 - tilfredsstiller den første betingelsen.
2. x -3 0, x 3.
I dette tilfellet | x - 3 | = - x + 3
Ligningen har formen x + 3 \u003d 1, x \u003d - 2. -2 3 - tilfredsstiller den andre betingelsen.
Svar: x = 4, x = -2.
Numeriske uttrykk.
Et numerisk uttrykk er en samling av ett eller flere tall og funksjoner koblet sammen med aritmetiske operatorer og parenteser.
Eksempler på numeriske uttrykk: 
Verdien av et numerisk uttrykk er et tall.
Operasjoner i numerisk uttrykk utføres i følgende rekkefølge:
1. Handlinger i parentes.
2. Beregning av funksjoner.
3. Eksponentiering
4. Multiplikasjon og divisjon.
5. Addisjon og subtraksjon.
6. Operasjoner av samme type utføres fra venstre til høyre.
Så verdien av det første uttrykket vil være selve tallet 12,3
For å beregne verdien av det andre uttrykket, vil vi utføre handlingene i følgende rekkefølge:
1. Utfør handlingene i parentes i følgende rekkefølge - først hever vi 2 til tredje potens, og trekker deretter 11 fra det resulterende tallet:
3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)
2. Multipliser 3 med 4:
3 4 + (-3) = 12 + (-3)
3. Utfør operasjonene sekvensielt fra venstre til høyre:
12 + (-3) = 9.
Et uttrykk med variabler er en samling av ett eller flere tall, variabler og funksjoner koblet sammen med aritmetiske operatorer og parenteser. Verdiene til uttrykk med variabler avhenger av verdiene til variablene som er inkludert i den. Sekvensen av operasjoner her er den samme som for numeriske uttrykk. Noen ganger er det nyttig å forenkle uttrykk med variabler ved å utføre ulike handlinger - parenteser, utvidelse av parenteser, gruppering, reduksjon av brøker, reduksjon av lignende osv. For å forenkle uttrykk brukes ofte forskjellige formler, for eksempel forkortede multiplikasjonsformler, egenskaper til forskjellige funksjoner, etc.
Algebraiske uttrykk.
Et algebraisk uttrykk er en eller flere algebraiske størrelser (tall og bokstaver) forbundet med tegn på algebraiske operasjoner: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, samt ekstrahering av roten og heving til en heltallspotens (dessverre må roten og eksponenten nødvendigvis være heltall) og tegn på rekkefølgen til disse handlingene (vanligvis parenteser av ulike slag). Antall verdier inkludert i det algebraiske uttrykket må være endelig.
Et eksempel på et algebraisk uttrykk:
"Algebraisk uttrykk" er et syntaktisk begrep, det vil si at noe er et algebraisk uttrykk hvis og bare hvis det følger visse grammatiske regler (se Formell grammatikk ). Hvis bokstavene i et algebraisk uttrykk regnes som variabler, får det algebraiske uttrykket betydningen av en algebraisk funksjon.
nr. 1. Egenskaper til rasjonelle tall.
orden . For alle rasjonelle tall og det er en regel som lar deg identifisere mellom dem en og bare en av de tre relasjoner: "", "" eller "". Denne regelen kalles bestillingsregel og er formulert som følger: to positive tall er forbundet med samme relasjon som to heltall; to ikke-positive tall og er relatert av samme relasjon som to ikke-negative tall og; hvis plutselig ikke negativ, men negativ, da.
summering av brøker
Tilleggsoperasjon
.
summeringsregel, som setter dem i korrespondanse med et eller annet rasjonelt tall. I dette tilfellet blir selve nummeret oppringt sum
tall u betegnes, og prosessen med å finne et slikt tall kalles summering. Summeringsregelen har følgende form: 
.
multiplikasjonsoperasjon
.
For alle rasjonelle tall og det er en såkalt multiplikasjonsregel, som setter dem i korrespondanse med et eller annet rasjonelt tall. I dette tilfellet blir selve nummeret oppringt arbeid
tallene ii er betegnet, og prosessen med å finne et slikt tall kalles også multiplikasjon. Multiplikasjonsregelen er som følger: 
.
Transitivitet ordre relasjoner. For enhver trippel av rasjonelle tall, og hvis mindre og mindre, så mindre, og hvis lik og lik, så lik.
kommutativitet addisjon. Fra en endring i stedene for rasjonelle termer, endres ikke summen.
Assosiativitet addisjon. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall legges til i, påvirker ikke resultatet.
Tilgjengelighetnull . Det er et rasjonelt tall 0 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det summeres.
Tilstedeværelsen av motsatte tall. Ethvert rasjonelt tall har et motsatt rasjonelt tall, som, når det summeres, gir 0.
Kommutativitet av multiplikasjon. Ved å endre stedene for rasjonelle faktorer, endres ikke produktet.
Assosiativitet av multiplikasjon. Rekkefølgen som tre rasjonelle tall multipliseres i påvirker ikke resultatet.
Tilgjengelighetenheter . Det er et rasjonelt tall 1 som bevarer hvert annet rasjonelt tall når det multipliseres.
Tilgjengelighetgjensidige tall . Ethvert rasjonelt tall som ikke er null har et inverst rasjonelt tall, multiplikasjon med som gir 1.
distributivitet multiplikasjon med hensyn til addisjon. Multiplikasjonsoperasjonen er i samsvar med addisjonsoperasjonen gjennom distribusjonsloven:
Kobling av ordrerelasjonen med driften av tillegg. Det samme rasjonelle tallet kan legges til venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet.
Forbindelse av ordensrelasjonen med operasjonen av multiplikasjon. Venstre og høyre side av en rasjonell ulikhet kan multipliseres med det samme positive rasjonelle tallet.
Arkimedes aksiom . Uansett det rasjonelle tallet, kan du ta så mange enheter at summen deres vil overstige.
nr. 2. Modulus til et reelt tall.
Definisjon . Modulen til et ikke-negativt reelt tall x er selve tallet: | x | = x; modulen til et negativt reelt tall x er det motsatte tallet: I x | = - x.
Kort fortalt er det skrevet slik:
2. Den geometriske betydningen av modulen til et reelt tall
La oss gå tilbake til mengden R av reelle tall og dens geometriske modeller- nummer linje. Vi markerer to punkter a og b på linjen (to reelle tall a og b), angir med (a, b) avstanden mellom punktene a og b (- bokstaven i det greske alfabetet "ro"). Denne avstanden er lik b - a, hvis b > a (fig. 101), er den lik a - b, hvis a > b (fig. 102), til slutt er den null hvis a = b.
Alle tre tilfellene er dekket av én formel:
b) Ligning | x + 3,2 | = 2 omskriv i formen | x - (- 3,2) | \u003d 2 og videre (x, - 3.2) \u003d 2. Det er to punkter på koordinatlinjen som fjernes fra punktet - 3.2 i en avstand lik 2. Dette er punkter - 5.2 og - 1.2 (fig. . 104). Så ligningen har to rot: -5,2 og -1,2.
№4.SETT MED REELLE NUMMER
Foreningen av settet med rasjonelle tall og settet med irrasjonelle tall kalles settet gyldig (eller materiale ) tall . Settet med reelle tall er angitt med symbolet R. Åpenbart, .
Reelle tall vises på numerisk akse
Åh prikker (fig.). 
I dette tilfellet tilsvarer hvert reelt tall et bestemt punkt på den numeriske aksen, og hvert punkt på aksen tilsvarer et bestemt reelt tall.
Derfor kan du i stedet for ordene "reelt tall" si "punkt".
nr. 5. tallhull.
|
Gap type |
geometriske bilder |
Betegnelse |
Å skrive ved å bruke ulikheter |
|
Intervall |
| ||
|
| |||
|
Halvt intervall |
| ||
|
Halvt intervall |
| ||
|
| |||
|
| |||
|
åpen stråle |
| ||
|
åpen stråle |
|
nr. 6. Numerisk funksjon.
La et tallsett gis Hvis hvert nummer er tildelt et enkelt nummer y, så sier vi det på settet D numerisk funksjon :
|
y = f (x), |
Masse av D kalt funksjonsomfang og betegnet D (f (x)). Settet med alle elementer f (x), hvor kalles funksjonsområde og betegnet E (f (x)).
Antall x ringer ofte funksjonsargument eller en uavhengig variabel, og tallet y- avhengig variabel eller faktisk, funksjon variabel x. Tallet som tilsvarer verdien kalles funksjonsverdi på et punkt og angir eller
For å angi en funksjon f, må du spesifisere:
1) dets definisjonsdomene D (f (x));
2) spesifiser regelen f, ifølge hvilken hver verdi er assosiert med en verdi y = f (x).
№7. invers funksjon,
Invers funksjon
Hvis rollene til argument og funksjon er reversert, da x blir en funksjon av y. I dette tilfellet snakker man om en ny funksjon kalt invers funksjon. Anta at vi har en funksjon:
v = u 2 ,
hvor u- argument, a v- funksjon. Hvis vi snur rollene deres, får vi det u som en funksjon v :
Hvis vi betegner argumentet i begge funksjonene som x , og funksjonen gjennom y, så har vi to funksjoner:
hver av dem er det motsatte av den andre.
EKSEMPLER. Disse funksjonene er omvendt til hverandre:
1) synd x og arcsin x, siden hvis y= synd x, deretter x= Arcsin y;
2) cos x og Arccos x, siden hvis y= cos x, deretter x= Arccos y;
3) brunfarge x og Arctan x, siden hvis y= brun x, deretter x= Arktan y;
4) e x og ln x, siden hvis y= e x, deretter x=ln y.
Inverse trigonometriske funksjoner- matematiske funksjoner som er inverse til trigonometriske funksjoner. Inverse trigonometriske funksjoner inkluderer vanligvis seks funksjoner:
arcsine(symbol: arcsin)
bue cosinus(symbol: arccos)
buetangens(betegnelse: arctg; i utenlandsk litteratur arctan)
buetangens(betegnelse: arcctg; i utenlandsk litteratur arccotan)
arcscanant(symbol: arcsec)
arccosecant(betegnelse: arccosec; i utenlandsk litteratur arccsc)
№8. Grunnleggende elementære funksjoner. Elementære funksjoner
Det er verdt å merke seg at de inverse trigonometriske funksjonene har flere verdier (uendelig betydelige), når man arbeider med dem, brukes de såkalte hovedverdiene.
№9. Komplekse tall
er skrevet som: a+ bi. Her en og b – reelle tall, a Jeg – imaginær enhet, dvs. Jeg 2 = –1. Antall en kalt abscisse, a b – ordinere komplekst tall a+ b.i. To komplekse tall a+ bi og en – bi kalt konjugerer komplekse tall.
Reelle tall kan representeres av punkter på en rett linje, som vist på figuren, hvor punkt A representerer tallet 4, og punkt B representerer tallet -5. De samme tallene kan også representeres av segmentene OA, OB, og tar ikke bare hensyn til deres lengde, men også deres retning.
Hvert punkt M på tallinjen viser et reelt tall (rasjonelt hvis segmentet OM er målbart med en lengdeenhet, og irrasjonelt hvis det er inkommensurabelt). Dermed er det ikke plass på tallinjen for komplekse tall.
Men komplekse tall kan representeres på tallplanet. For å gjøre dette velger vi et rektangulært koordinatsystem på planet, med samme skala på begge akser.
Komplekst tall a + b i representert ved punktet M, der abscissen x er lik abscissen en komplekst tall, og ordinaten til y er lik ordinaten b komplekst tall.
I denne artikkelen vil vi analysere i detalj den absolutte verdien av et tall. Vi vil gi ulike definisjoner av modulen til et tall, introdusere notasjon og gi grafiske illustrasjoner. I dette tilfellet tar vi for oss ulike eksempler på å finne modulen til et tall per definisjon. Etter det viser og begrunner vi hovedegenskapene til modulen. På slutten av artikkelen vil vi snakke om hvordan modulen til et komplekst tall bestemmes og finnes.
Sidenavigering.
Tallmodul - definisjon, notasjon og eksempler
Først introduserer vi modulbetegnelse. Modulen til tallet a vil bli skrevet som , det vil si at til venstre og til høyre for tallet vil vi sette vertikale linjer som danner tegnet til modulen. La oss gi et par eksempler. For eksempel kan modulo -7 skrives som ; modul 4,125 skrives som , og modul skrives som .
Den følgende definisjonen av modulen refererer til, og derfor, til, og til heltall, og til rasjonelle og irrasjonelle tall, med hensyn til de konstituerende delene av settet med reelle tall. Vi vil snakke om modulen til et komplekst tall i.
Definisjon.
Modulus av a er enten tallet a selv, hvis a er et positivt tall, eller tallet −a, det motsatte av tallet a, hvis a er et negativt tall, eller 0, hvis a=0 .
Den uttrykte definisjonen av modulen til et tall er ofte skrevet i følgende form 
, betyr denne notasjonen at hvis a>0 , hvis a=0 , og hvis a<0
.
Posten kan representeres i en mer kompakt form 
. Denne notasjonen betyr at hvis (a er større enn eller lik 0 ), og hvis a<0
.
Det er også rekord 
. Her bør tilfellet når a=0 forklares separat. I dette tilfellet har vi , men −0=0 , siden null regnes som et tall som er motsatt av seg selv.
La oss ta med eksempler på å finne modulen til et tall med en gitt definisjon. La oss for eksempel finne moduler med tallene 15 og . La oss begynne med å finne. Siden tallet 15 er positivt, er dets modul per definisjon lik dette tallet selv, det vil si . Hva er modulen til et tall? Siden er et negativt tall, er modulen lik tallet motsatt tallet, det vil si tallet 
. På denne måten, .
Som konklusjon av dette avsnittet gir vi en konklusjon som er veldig praktisk å bruke i praksis når man skal finne modulen til et tall. Fra definisjonen av modulen til et tall følger det at modulen til et tall er lik tallet under fortegnet for modulen, uavhengig av fortegn, og fra eksemplene diskutert ovenfor er dette veldig tydelig synlig. Det stemte utsagnet forklarer hvorfor modulen til et tall også kalles den absolutte verdien av tallet. Så modulen til et tall og den absolutte verdien til et tall er en og samme.
Modulus av et tall som en avstand
Geometrisk kan modulen til et tall tolkes som avstand. La oss ta med bestemmelse av modulen til et tall i form av avstand.
Definisjon.
Modulus av a er avstanden fra origo på koordinatlinjen til punktet som tilsvarer tallet a.
Denne definisjonen er i samsvar med definisjonen av modulen til et tall gitt i første ledd. La oss forklare dette punktet. Avstanden fra origo til punktet som tilsvarer et positivt tall er lik dette tallet. Null tilsvarer origo, så avstanden fra origo til punktet med koordinat 0 er null (ingen enkelt segment og ingen segment som utgjør noen brøkdel av enhetssegmentet må utsettes for å komme fra punkt O til punktet med koordinat 0). Avstanden fra origo til et punkt med negativ koordinat er lik tallet motsatt koordinaten til det gitte punktet, siden den er lik avstanden fra origo til punktet hvis koordinat er motsatt tall.
For eksempel er modulen til tallet 9 9, siden avstanden fra origo til punktet med koordinat 9 er ni. La oss ta et annet eksempel. Punktet med koordinat −3,25 er i en avstand på 3,25 fra punktet O, altså 
.
Den lydde definisjonen av modulen til et tall er et spesialtilfelle av å definere modulen for forskjellen til to tall.
Definisjon.
Differansemodul for to tall a og b er lik avstanden mellom punktene på koordinatlinjen med koordinatene a og b .
Det vil si at hvis punkter på koordinatlinjen A(a) og B(b) er gitt, så er avstanden fra punkt A til punkt B lik modulen til differansen mellom tallene a og b. Hvis vi tar punkt O (referansepunkt) som punkt B, vil vi få definisjonen av modulen til tallet gitt i begynnelsen av dette avsnittet.
Bestemme modulen til et tall gjennom den aritmetiske kvadratroten
Noen ganger funnet bestemmelse av modulen gjennom den aritmetiske kvadratroten.
La oss for eksempel beregne modulene til tallene -30 og basert på denne definisjonen. Vi har . På samme måte beregner vi modulen til to tredjedeler: 
.
Definisjonen av modulen til et tall i form av den aritmetiske kvadratroten er også i samsvar med definisjonen gitt i første ledd i denne artikkelen. La oss vise det. La a være et positivt tall, og la −a være negativt. Deretter 
og 
, hvis a=0 , da 
.
Modulegenskaper
Modulen har en rekke karakteristiske resultater - modulegenskaper. Nå vil vi gi de viktigste og mest brukte av dem. Når vi underbygger disse egenskapene, vil vi stole på definisjonen av modulen til et tall når det gjelder avstand.
La oss starte med den mest åpenbare modulegenskapen − Modulen til et tall kan ikke være et negativt tall. I bokstavelig form har denne egenskapen formen for et hvilket som helst tall a . Denne egenskapen er veldig enkel å rettferdiggjøre: Modulen til et tall er avstanden, og avstanden kan ikke uttrykkes som et negativt tall.
La oss gå videre til neste egenskap i modulen. Modulen til et tall er lik null hvis og bare hvis dette tallet er null. Modulen til null er null per definisjon. Null tilsvarer origo, ingen andre punkt på koordinatlinjen tilsvarer null, siden hvert reelt tall er assosiert med et enkelt punkt på koordinatlinjen. Av samme grunn tilsvarer et hvilket som helst annet tall enn null et annet punkt enn origo. Og avstanden fra origo til et annet punkt enn punktet O er ikke lik null, siden avstanden mellom to punkter er lik null hvis og bare hvis disse punktene faller sammen. Resonnementet ovenfor beviser at bare nullmodulen er lik null.
Gå videre. Motstående tall har like moduler, det vil si for et hvilket som helst tall a . Faktisk er to punkter på koordinatlinjen, hvis koordinater er motsatte tall, i samme avstand fra origo, noe som betyr at modulene med motsatte tall er like.
Den neste modulegenskapen er: modulen til produktet av to tall er lik produktet av modulene til disse tallene, det er, . Per definisjon er modulen til produktet av tallene a og b enten a b hvis , eller −(a b) hvis . Det følger av reglene for multiplikasjon av reelle tall at produktet av modulene til tallene a og b er lik enten a b , , eller −(a b) , if , som beviser den betraktede egenskapen.
Modulen til kvotienten for å dele a med b er lik kvotienten for å dele modulen til a med modulen til b, det er, . La oss rettferdiggjøre denne egenskapen til modulen. Siden kvotienten er lik produktet, så . I kraft av den tidligere eiendommen har vi 
. Det gjenstår bare å bruke likheten , som er gyldig på grunn av definisjonen av modulen til tallet.
Følgende modulegenskap er skrevet som en ulikhet: 
, a , b og c er vilkårlige reelle tall. Den skriftlige ulikheten er ikke annet enn trekantulikhet. For å gjøre dette klart, la oss ta punktene A(a), B(b) , C(c) på koordinatlinjen, og vurdere den degenererte trekanten ABC, hvis toppunkter ligger på samme linje. Per definisjon er differansmodulen lik lengden på segmentet AB, - lengden på segmentet AC, og - lengden på segmentet CB. Siden lengden på en side av en trekant ikke overstiger summen av lengdene til de to andre sidene, vil ulikheten 
, derfor gjelder ulikheten også.
Ulikheten som nettopp er påvist er mye mer vanlig i formen 
. Den skriftlige ulikheten betraktes vanligvis som en egen egenskap til modulen med formuleringen: " Modulen til summen av to tall overstiger ikke summen av modulene til disse tallene". Men ulikheten følger direkte av ulikheten , hvis vi setter −b i stedet for b i den, og tar c=0 .
Kompleks tallmodul
La oss gi bestemmelse av modulen til et komplekst tall. La oss bli gitt komplekst tall, skrevet i algebraisk form , hvor x og y er noen reelle tall, som representerer henholdsvis den reelle og imaginære delen av et gitt komplekst tall z, og er en imaginær enhet.
Definisjon.
Modulen til et komplekst tall z=x+i y kalles den aritmetiske kvadratroten av summen av kvadratene til de reelle og imaginære delene av et gitt komplekst tall.
Modulen til et komplekst tall z er betegnet som , da kan den lydede definisjonen av modulen til et komplekst tall skrives som 
.
Denne definisjonen lar deg beregne modulen til ethvert komplekst tall i algebraisk notasjon. La oss for eksempel beregne modulen til et komplekst tall. I dette eksemplet er den reelle delen av det komplekse tallet , og den imaginære delen er minus fire. Så, ved definisjonen av modulen til et komplekst tall, har vi 
.
Den geometriske tolkningen av modulen til et komplekst tall kan gis i form av avstand, analogt med den geometriske tolkningen av modulen til et reelt tall.
Definisjon.
Kompleks tallmodul z er avstanden fra opprinnelsen til det komplekse planet til punktet som tilsvarer tallet z i det planet.
I følge Pythagoras teorem er avstanden fra punktet O til punktet med koordinater (x, y) funnet som , derfor, , hvor . Derfor stemmer den siste definisjonen av modulen til et komplekst tall med den første.
Denne definisjonen lar deg også umiddelbart angi hva modulen til et komplekst tall z er, hvis det er skrevet i trigonometrisk form som 
eller i eksponentiell form. Her . For eksempel modulen til et komplekst tall 
er 5, og modulen til det komplekse tallet er .
Det kan også sees at produktet av et komplekst tall og dets komplekse konjugat gir summen av kvadratene til de reelle og imaginære delene. Egentlig, . Den resulterende likheten lar oss gi enda en definisjon av modulen til et komplekst tall.
Definisjon.
Kompleks tallmodul z er den aritmetiske kvadratroten av produktet av dette tallet og dets komplekse konjugat, det vil si .
Avslutningsvis merker vi at alle egenskapene til modulen formulert i den tilsvarende underseksjonen også er gyldige for komplekse tall.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. etc. Matematikk. 6. klasse: lærebok for utdanningsinstitusjoner.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: lærebok for 8 celler. utdanningsinstitusjoner.
- Lunts G.L., Elsgolts L.E. Funksjoner av en kompleks variabel: en lærebok for universiteter.
- Privalov I.I. Introduksjon til teorien om funksjoner til en kompleks variabel.
Vi vet allerede at settet med reelle tall $R$ dannes av rasjonelle og irrasjonelle tall.
Rasjonale tall kan alltid representeres som desimaler (endelig eller uendelig periodisk).
Irrasjonelle tall skrives som uendelige, men ikke-gjentakende desimaler.
Settet med reelle tall $R$ inkluderer også elementene $-\infty $ og $+\infty $, for hvilke ulikhetene $-\infty
Vurder måter å representere reelle tall på.
Vanlige brøker
Vanlige brøker skrives med to naturlige tall og en horisontal brøkstrek. Brøkstreken erstatter faktisk divisjonstegnet. Tallet under linjen er nevneren (divisor), tallet over linjen er telleren (delbar).
Definisjon
En brøk kalles egen hvis telleren er mindre enn nevneren. Omvendt kalles en brøk uegentlig hvis telleren er større enn eller lik nevneren.
For vanlige brøker er det enkle, praktisk talt åpenbare, sammenligningsregler ($m$,$n$,$p$ er naturlige tall):
- av to brøker med samme nevnere, er den med den største telleren større, dvs. $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
- av to brøker med samme tellere, er den med den minste nevneren større, dvs. $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ for $ m
- en egenbrøk er alltid mindre enn én; uekte brøk er alltid større enn én; en brøk hvis teller er lik nevneren er lik en;
- Enhver uekte brøk er større enn en hvilken som helst egenbrøk.
Desimaltall
Notasjonen av et desimaltall (desimalbrøk) har formen: heltallsdel, desimaltegn, brøkdel. Desimalnotasjonen til en vanlig brøk kan fås ved å dele "vinkelen" til telleren med nevneren. Dette kan resultere i enten en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk.
Definisjon
Brøksifrene kalles desimaler. I dette tilfellet kalles det første sifferet etter desimaltegnet for tiendedelssifferet, det andre - hundredelerssifferet, det tredje - tusendelssifferet osv.
Eksempel 1
Vi bestemmer verdien av desimaltallet 3,74. Vi får: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Desimaltallet kan avrundes. I dette tilfellet må du angi sifferet som avrundingen utføres til.
Avrundingsregelen er som følger:
- alle sifre til høyre for dette sifferet erstattes med nuller (hvis disse sifrene er før desimaltegnet) eller forkastet (hvis disse sifrene er etter desimaltegnet);
- hvis det første sifferet etter det gitte sifferet er mindre enn 5, endres ikke sifferet til dette sifferet;
- hvis det første sifferet etter det gitte sifferet er 5 eller mer, økes sifferet til dette sifferet med én.
Eksempel 2
- La oss runde av tallet 17302 til nærmeste tusen: 17000.
- La oss runde av tallet 17378 til nærmeste hundre: 17400.
- La oss runde tallet 17378.45 til tiere: 17380.
- La oss runde av tallet 378.91434 til nærmeste hundredel: 378.91.
- La oss runde av tallet 378.91534 til nærmeste hundredel: 378.92.
Konvertering av et desimaltall til en vanlig brøk.
Sak 1
Et desimaltall er en avsluttende desimal.
Konverteringsmetoden er vist i følgende eksempel.
Eksempel 2
Vi har: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.
Reduser til en fellesnevner og få:
Brøken kan reduseres: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.
Tilfelle 2
Et desimaltall er et uendelig tilbakevendende desimal.
Transformasjonsmetoden er basert på det faktum at den periodiske delen av en periodisk desimalbrøk kan betraktes som summen av medlemmer av en uendelig avtagende geometrisk progresjon.
Eksempel 4
$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,74$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$.
Eksempel 5
$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,08$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$.
Summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon beregnes med formelen $s=\frac(a)(1-q) $, der $a$ er det første leddet og $q$ er nevneren for progresjonen $ \venstre (0
Eksempel 6
La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,\left(72\right)$ til en vanlig.
Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,72$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11)$. Så $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.
Eksempel 7
La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,5\venstre(3\høyre)$ til en vanlig.
Det første medlemmet av progresjonen er $a=0,03$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30)$.
Så $0,5\venstre(3\høyre)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)(30) ) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.
Reelle tall kan representeres av punkter på tallinjen.
I dette tilfellet kaller vi den numeriske aksen en uendelig linje der origo (punkt $O$), positiv retning (angitt med en pil) og skala (for å vise verdier) er valgt.
Mellom alle reelle tall og alle punkter på den numeriske aksen er det en en-til-en-korrespondanse: hvert punkt tilsvarer et enkelt tall, og omvendt tilsvarer hvert tall et enkelt punkt. Derfor er settet med reelle tall kontinuerlig og uendelig på samme måte som tallaksen er kontinuerlig og uendelig.
Noen delmengder av settet med reelle tall kalles numeriske intervaller. Elementene i et numerisk intervall er tall $x\i R$ som tilfredsstiller en viss ulikhet. La $a\in R$, $b\in R$ og $a\le b$. I dette tilfellet kan typene mellomrom være som følger:
- Intervall $\venstre(a,\; b\høyre)$. På samme tid $ a
- Segment $\left$. Dessuten $a\le x\le b$.
- Halvsegmenter eller halvintervaller $\left$. Samtidig $ a \le x
- Uendelige spenn, f.eks. $a
Av stor betydning er også et slags intervall, kalt nabolaget til et punkt. Nabolaget til et gitt punkt $x_(0) \in R$ er et vilkårlig intervall $\left(a,\; b\right)$ som inneholder dette punktet i seg selv, dvs. $a 0$ - 10. radius.
Den absolutte verdien av tallet
Den absolutte verdien (eller modulen) til et reelt tall $x$ er et ikke-negativt reelt tall $\left|x\right|$, definert av formelen: $\left|x\right|=\venstre\(\ begynne(matrise)(c) (\; \; x\; \; (\rm på)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm på)\; \; x
Geometrisk betyr $\left|x\right|$ avstanden mellom punktene $x$ og 0 på den reelle aksen.
Egenskaper for absolutte verdier:
- det følger av definisjonen at $\venstre|x\høyre|\ge 0$, $\venstre|x\høyre|=\venstre|-x\høyre|$;
- for modulen til summen og for modulen til differansen av to tall, ulikhetene $\venstre|x+y\høyre|\le \venstre|x\høyre|+\venstre|y\høyre|$, $\ venstre|x-y\høyre|\le \venstre|x\høyre|+\venstre|y\høyre|$ og også $\venstre|x+y\høyre|\ge \venstre|x\høyre|-\venstre|y \høyre|$,$\ venstre|x-y\høyre|\ge \venstre|x\høyre|-\venstre|y\høyre|$;
- modulen til produktet og modulen til kvotienten av to tall tilfredsstiller likhetene $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ og $\left |\frac(x)( y) \right|=\frac(\venstre|x\høyre|)(\venstre|y\høyre|) $.
Basert på definisjonen av den absolutte verdien for et vilkårlig tall $a>0$, kan man også etablere ekvivalensen til følgende ulikhetspar:
- hvis $ \venstre|x\høyre|
- hvis $\left|x\right|\le a$ så $-a\le x\le a$;
- hvis $\left|x\right|>a$ så enten $xa$;
- hvis $\left|x\right|\ge a$, så enten $x\le -a$ eller $x\ge a$.
Eksempel 8
Løs ulikheten $\venstre|2\cdot x+1\høyre|
Denne ulikheten tilsvarer ulikhetene $-7
Herfra får vi: $-8
