Diskriminerende med negativ verdi. Høyere ordens diskriminant

I det moderne samfunnet kan evnen til å operere med ligninger som inneholder en kvadratisk variabel være nyttig på mange aktivitetsområder og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Dette kan bevises ved utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og missiler. Ved hjelp av slike beregninger bestemmes banene for bevegelsen til forskjellige kropper, inkludert romobjekter. Løsningseksempler andregradsligninger brukes ikke bare i økonomiske prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på campingturer, på sportsarrangementer, i butikker når du handler og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i komponentfaktorer

Graden av en ligning bestemmes av maksimalverdien til graden av variabelen som det gitte uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik likning en annengradsligning.

Hvis vi snakker i formlerspråket, kan disse uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side av uttrykket består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (fri komponent, det vil si et vanlig tall). Alt dette er lik 0 på høyre side. I tilfellet når et slikt polynom ikke har en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, der verdien av variablene ikke er vanskelig å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser slik ut at det er to ledd i uttrykket på høyre side, nærmere bestemt ax 2 og bx, er det lettest å finne x ved å sette variabelen i parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Videre blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet reduseres til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer resulterer i 0 bare hvis en av dem null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt, tatt som opprinnelsen. Her tar den matematiske notasjonen følgende skjema: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved å erstatte de nødvendige verdiene, likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som har gått fra øyeblikket kroppen reiser seg til øyeblikket den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene og mer vanskelige saker. Tenk på eksempler med løsning av andregradsligninger av denne typen.

X2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratisk trinomium er ferdig. Først transformerer vi uttrykket og dekomponerer det til faktorer. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x + 1), (x-3) og (x + 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -en; 3.

Trekker ut kvadratroten

En annen sak ufullstendig ligning den andre orden er et uttrykk uttrykt i bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er bygget opp av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og etter det, fra begge deler av likestillingen, Kvadratrot. Det skal bemerkes at i dette tilfellet er det vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene er likheter som ikke inneholder begrepet c i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden viser seg å være negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av arealet av land

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i antikken, fordi utviklingen av matematikk i disse fjerne tider i stor grad skyldtes behovet for å bestemme arealene og omkretsen til tomter med størst nøyaktighet.

Vi bør også vurdere eksempler med løsning av kvadratiske ligninger satt sammen på grunnlag av problemer av denne typen.

Så la oss si at det er et rektangulært stykke land, hvis lengde er 16 meter mer enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet, hvis det er kjent at området er 612 m 2.

For å komme i gang, vil vi først lage den nødvendige ligningen. Vi betegner med x bredden på seksjonen, så vil lengden være (x + 16). Det følger av det som er skrevet at arealet bestemmes av uttrykket x (x + 16), som, i henhold til tilstanden til problemet vårt, er 612. Dette betyr at x (x + 16) \u003d 612.

Løsningen av komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er nettopp det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side av den fortsatt inneholder to faktorer, er produktet av dem ikke lik 0 i det hele tatt, så andre metoder brukes her.

Diskriminerende

Først og fremst gjør vi de nødvendige transformasjonene, da utseende dette uttrykket vil se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Det betyr at vi har fått et uttrykk i form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c=-612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger gjennom diskriminanten. Her gjøres nødvendige beregninger i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpeverdien gjør det ikke bare mulig å finne de ønskede verdiene i andreordens ligning, den bestemmer tallet alternativer. I tilfelle D>0 er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Dette indikerer at problemet vårt har et svar. Hvis du vet, må løsningen av kvadratiske ligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi størrelsen på tomten ikke kan måles i negative verdier, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18+16=34, og omkretsen 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter studiet av kvadratiske ligninger. Eksempler og en detaljert løsning av flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

La oss flytte alt til venstre side likhet, vil vi gjøre en transformasjon, det vil si at vi får formen til ligningen, som vanligvis kalles standarden, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ved å legge til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D = 49 - 48 = 1. Så ligningen vår vil ha to røtter. Vi beregner dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre 1.

2) Nå skal vi løse gåter av et annet slag.

La oss finne ut om det i det hele tatt er røtter x 2 - 4x + 5 = 1 her? For å få et uttømmende svar, bringer vi polynomet til den tilsvarende kjente formen og beregner diskriminanten. I dette eksemplet er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi essensen av problemet ikke ligger i dette i det hele tatt. I dette tilfellet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, noe som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger gjennom formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten trekkes ut fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved hjelp av Vietas teorem. Den er oppkalt etter en mann som levde i Frankrike på 1500-tallet og hadde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at summen av røttene til ligningen er lik -p=b/a, og produktet deres tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ved å bruke Vieta-teoremet vil dette gi oss følgende: summen av røttene er -7, og deres produkt er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha foretatt en sjekk vil vi sørge for at disse verdiene til variablene virkelig passer inn i uttrykket.

Graf og ligning av en parabel

Begrepene en andregradsfunksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. En slik avhengighet, tegnet i form av en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er vist i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved formelen som nettopp er gitt x 0 = -b / 2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til parabelens toppunkt som tilhører y-aksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til parabelen med abscisseaksen

Det er mange eksempler på løsning av andregradsligninger, men det er også generelle mønstre. La oss vurdere dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis y 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til en parabel kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når du kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å plotte.

Fra historien

Ved hjelp av ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, i gamle dager, gjorde ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealet av geometriske former. De gamle trengte slike beregninger for grandiose funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn foreslår, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Det skjedde fire århundrer før vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger fundamentalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjente med andre finesser av de kjente for enhver student i vår tid.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon, tok vismannen fra India, Baudhayama, opp løsningen av kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra kom. Riktignok var andreordens ligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. I tillegg til ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeid av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.

Diskriminanten, så vel som kvadratiske ligninger, begynner å bli studert i algebrakurset i klasse 8. Du kan løse en andregradsligning gjennom diskriminanten og bruke Vieta-setningen. Metodikken for å studere kvadratiske ligninger, så vel som diskriminantformelen, er ganske mislykket innpodet i skolebarn, som mye i ekte utdanning. Derfor går skoleårene, utdanning på 9-11 trinn erstatter "høyere utdanning" og alle leter igjen etter - "Hvordan løser du en andregradsligning?", "Hvordan finner du røttene til en ligning?", "Hvordan finner du diskriminanten?" og...

Diskriminerende formel

Diskriminanten D til den andregradsligningen a*x^2+bx+c=0 er D=b^2–4*a*c.
Røttene (løsningene) til den kvadratiske ligningen avhenger av tegnet til diskriminanten (D):
D>0 - ligningen har 2 forskjellige reelle røtter;
D=0 - ligningen har 1 rot (2 sammenfallende røtter):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formelen for å beregne diskriminant er ganske enkel, så mange nettsteder tilbyr en online diskriminant kalkulator. Vi har ikke funnet ut av denne typen skript ennå, så hvem som vet hvordan man implementerer dette, vennligst skriv til e-posten Denne e-postadressen er beskyttet mot spambotter. Du må ha JavaScript aktivert for å se. .

Generell formel for å finne røttene til en kvadratisk ligning:

Røttene til ligningen finnes av formelen
Hvis koeffisienten til variabelen i kvadratet er paret, er det tilrådelig å beregne ikke diskriminanten, men dens fjerde del
I slike tilfeller er røttene til ligningen funnet av formelen

Den andre måten å finne røtter på er Vietas teorem.

Teoremet er formulert ikke bare for andregradsligninger, men også for polynomer. Du kan lese dette på Wikipedia eller andre elektroniske ressurser. Men for å forenkle, se på den delen av den som gjelder de reduserte kvadratiske ligningene, det vil si ligninger av formen (a=1)
Essensen av Vieta-formlene er at summen av røttene til ligningen er lik koeffisienten til variabelen, tatt med motsatt fortegn. Produktet av røttene til ligningen er lik frileddet. Formlene til Vietas teorem har en notasjon.
Utledningen av Vieta-formelen er ganske enkel. La oss skrive andregradsligningen i form av primfaktorer
Som du kan se, er alt genialt enkelt på samme tid. Det er effektivt å bruke Vieta-formelen når forskjellen i modulo røttene eller forskjellen i modulen til røttene er 1, 2. For eksempel har følgende ligninger, ifølge Vieta teoremet, røtter




Opptil 4 ligningsanalyser skal se slik ut. Produktet av røttene til ligningen er 6, så røttene kan være verdiene (1, 6) og (2, 3) eller par med motsatt fortegn. Summen av røttene er 7 (koeffisienten til variabelen med motsatt fortegn). Herfra konkluderer vi med at løsningene av kvadratisk ligning er lik x=2; x=3.
Det er lettere å velge røttene til ligningen blant divisorene til frileddet, og korrigere fortegnet deres for å oppfylle Vieta-formlene. I begynnelsen virker dette vanskelig å gjøre, men med øvelse på en rekke andregradsligninger vil denne teknikken være mer effektiv enn å beregne diskriminanten og finne røttene til kvadratisk ligning på klassisk måte.
Som du kan se, er skoleteorien om å studere diskriminanten og måter å finne løsninger på ligningen blottet for praktisk mening - "Hvorfor trenger skolebarn en andregradsligning?", "Hva er den fysiske betydningen av diskriminanten?".

La oss prøve å finne ut av det hva beskriver diskriminanten?

I løpet av algebra studerer de funksjoner, skjemaer for å studere funksjoner og plotte funksjoner. Av alle funksjonene er et viktig sted okkupert av en parabel, hvis ligning kan skrives i formen
Så den fysiske betydningen av den kvadratiske ligningen er nullene til parablen, det vil si skjæringspunktene for grafen til funksjonen med abscisseaksen Ox
Jeg ber deg huske egenskapene til parablene som er beskrevet nedenfor. Tiden vil komme for å ta eksamener, prøver eller opptaksprøver, og du vil være takknemlig for referansematerialet. Tegnet til variabelen i kvadratet tilsvarer om grenene til parabelen på grafen vil gå opp (a>0),

eller en parabel med grener ned (a<0) .

Toppen av parabelen ligger midt mellom røttene

Den fysiske betydningen av diskriminanten:

Hvis diskriminanten er større enn null (D>0), har parablen to skjæringspunkter med okseaksen.
Hvis diskriminanten er lik null (D=0), berører parabelen øverst x-aksen.
Og det siste tilfellet når diskriminanten mindre enn null(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ufullstendige andregradsligninger

Jeg håper at etter å ha studert denne artikkelen, vil du lære hvordan du finner røttene til en komplett kvadratisk ligning.

Ved hjelp av diskriminanten løses kun komplette andregradsligninger, for å løse ufullstendige andregradsligninger brukes andre metoder som du finner i artikkelen "Løse ufullstendige andregradsligninger".

Hvilke andregradsligninger kalles komplette? den ligninger av formen ax 2 + b x + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c ikke er lik null. Så for å løse den komplette kvadratiske ligningen, må du beregne diskriminanten D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Avhengig av hvilken verdi diskriminanten har, vil vi skrive ned svaret.

Hvis diskriminanten er et negativt tall (D< 0),то корней нет.

Hvis diskriminanten er null, så x \u003d (-b) / 2a. Når diskriminanten er et positivt tall (D > 0),

deretter x 1 = (-b - √D)/2a, og x 2 = (-b + √D)/2a.

For eksempel. løse ligningen x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Svar: 2.

Løs ligning 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Svar: ingen røtter.

Løs ligning 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Svar: - 3,5; en.

Så la oss forestille oss løsningen av komplette kvadratiske ligninger etter skjemaet i figur 1.

Disse formlene kan brukes til å løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning. Du må bare være forsiktig ligningen ble skrevet som et polynom standard visning

en x 2 + bx + c, ellers kan du gjøre en feil. For eksempel, når du skriver ligningen x + 3 + 2x 2 = 0, kan du feilaktig bestemme at

a = 1, b = 3 og c = 2. Deretter

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 og så har ligningen to røtter. Og dette er ikke sant. (Se eksempel 2 løsning ovenfor).

Derfor, hvis ligningen ikke er skrevet som et polynom av standardformen, må først hele andregradsligningen skrives som et polynom av standardformen (monomialet med den største eksponenten skal være i første omgang, dvs. en x 2 , da med mindre – bx, og deretter friperioden Med.

Når du løser den ovennevnte andregradsligningen og den andregradsligningen med en jevn koeffisient for andre ledd, kan andre formler også brukes. La oss bli kjent med disse formlene. Hvis koeffisienten i hele andregradsligningen med det andre leddet er partall (b = 2k), kan ligningen løses ved å bruke formlene vist i diagrammet i figur 2.

En fullstendig andregradsligning kalles redusert hvis koeffisienten ved x 2 er lik enhet og ligningen tar formen x 2 + px + q = 0. En slik ligning kan gis for å løse, eller fås ved å dele alle koeffisientene til ligningen med koeffisienten en står ved x 2 .

Figur 3 viser et diagram over løsningen av det reduserte kvadratet
ligninger. Tenk på eksempelet på bruken av formlene som er diskutert i denne artikkelen.

Eksempel. løse ligningen

3x 2 + 6x - 6 = 0.

La oss løse denne ligningen ved å bruke formlene vist i figur 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Svar: -1 - √3; –1 + √3

Du kan se at koeffisienten ved x i denne ligningen er et partall, det vil si b \u003d 6 eller b \u003d 2k, hvorfra k \u003d 3. La oss så prøve å løse ligningen ved å bruke formlene vist i figurdiagrammet D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Svar: -1 - √3; –1 + √3. Når vi legger merke til at alle koeffisientene i denne andregradsligningen er delbare med 3 og dividerer, får vi den reduserte andregradsligningen x 2 + 2x - 2 = 0. Vi løser denne likningen ved å bruke formlene for den reduserte andregradslikningen
ligninger figur 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Svar: -1 - √3; –1 + √3.

Som du kan se, når vi løser denne ligningen ved hjelp av forskjellige formler, fikk vi det samme svaret. Derfor, etter å ha mestret formlene vist i diagrammet i figur 1, kan du alltid løse en hvilken som helst komplett kvadratisk ligning.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Blant hele løpet av skolepensum for algebra er et av de mest omfangsrike emnene temaet kvadratiske ligninger. I dette tilfellet forstås en andregradsligning som en ligning av formen ax 2 + bx + c \u003d 0, der a ≠ 0 (det lyder: en multiplikasjon med x i andre pluss være x pluss ce er lik null, hvor a er ikke lik null). I dette tilfellet er hovedplassen okkupert av formlene for å finne diskriminanten til en kvadratisk ligning av den angitte typen, som forstås som et uttrykk som lar deg bestemme tilstedeværelsen eller fraværet av røtter i en kvadratisk ligning, samt deres nummer (hvis noen).

Formel (ligning) for diskriminanten til en andregradsligning

Den generelt aksepterte formelen for diskriminanten til en kvadratisk ligning er som følger: D \u003d b 2 - 4ac. Ved å beregne diskriminanten ved hjelp av den angitte formelen kan man ikke bare bestemme tilstedeværelsen og antall røtter til en kvadratisk ligning, men også velge en metode for å finne disse røttene, som det er flere av, avhengig av typen kvadratisk ligning.

Hva betyr det hvis diskriminanten er null \ Formel for røttene til en kvadratisk ligning hvis diskriminanten er null

Diskriminanten, som følger av formelen, er angitt latinsk bokstav D. I tilfellet når diskriminanten er lik null, bør det konkluderes med at den andregradsligningen på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0, bare har én rot, som beregnes ved hjelp av en forenklet formel . Denne formelen gjelder bare når diskriminanten er null og ser slik ut: x = –b/2a, hvor x er roten til andregradsligningen, b og a er de tilsvarende variablene til andregradsligningen. For å finne roten til en kvadratisk ligning, er det nødvendig å dele den negative verdien av variabelen b med to ganger verdien av variabelen a. Det resulterende uttrykket vil være løsningen av en andregradsligning.

Løse en andregradsligning gjennom diskriminanten

Hvis, når man beregner diskriminanten ved hjelp av formelen ovenfor, oppnås en positiv verdi (D er større enn null), så har kvadratisk ligning to røtter, som beregnes ved hjelp av følgende formler: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Oftest beregnes ikke diskriminanten separat, men rotuttrykket i form av en diskriminantformel erstattes ganske enkelt med verdien D, som roten trekkes ut fra. Hvis variabelen b har en jevn verdi, kan du også bruke følgende formler for å beregne røttene til en kvadratisk ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, der a ≠ 0: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, hvor k = b/2.

I noen tilfeller, for den praktiske løsningen av kvadratiske ligninger, kan du bruke Vieta-teoremet, som sier at for summen av røttene til en kvadratisk ligning av formen x 2 + px + q \u003d 0, verdien x 1 + x 2 \u003d -p vil være sann, og for produktet av røttene til den spesifiserte ligningen - uttrykk x 1 x x 2 = q.

Kan diskriminanten være mindre enn null?

Når du beregner verdien av diskriminanten, kan du støte på en situasjon som ikke faller inn under noen av de beskrevne tilfellene - når diskriminanten har en negativ verdi (det vil si mindre enn null). I dette tilfellet er det generelt akseptert at en kvadratisk ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor a ≠ 0, ikke har noen reelle røtter, derfor vil løsningen være begrenset til å beregne diskriminanten, og formlene ovenfor. for røttene til den kvadratiske ligningen vil ikke gjelde i dette tilfellet vil. Samtidig står det i svaret til andregradsligningen at «ligningen har ingen reelle røtter».

Forklaringsvideo:

Med dette matematikkprogrammet kan du løse andregradsligningen.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men viser også løsningsprosessen på to måter:
- ved å bruke diskriminanten
- ved å bruke Vieta-teoremet (hvis mulig).

Dessuten vises svaret nøyaktig, ikke omtrentlig.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\), vises svaret i denne formen:

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få matte- eller algebraleksene dine gjort så raskt som mulig? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

På denne måten kan du drive egen opplæring og/eller opplæring av dine yngre brødre eller søstre, samtidig som utdanningsnivået innen oppgavefeltet som skal løses økes.

Hvis du ikke er kjent med reglene for å angi et kvadratisk polynom, anbefaler vi at du gjør deg kjent med dem.

Regler for å angi et kvadratisk polynom

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Tall kan legges inn som heltall eller brøker.
Dessuten kan brøktall angis ikke bare i form av en desimal, men også i form av en vanlig brøk.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
I desimalbrøker kan brøkdelen skilles fra heltallet med enten et punktum eller et komma.
For eksempel kan du gå inn desimaler så: 2,5x - 3,5x^2

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.

Nevneren kan ikke være negativ.

Når du legger inn en numerisk brøk, skilles telleren fra nevneren med et divisjonstegn: /
Heltallsdelen er atskilt fra brøken med et og-tegnet: &
Inngang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Når du legger inn et uttrykk du kan bruke parentes. I dette tilfellet, når du løser en kvadratisk ligning, blir det introduserte uttrykket først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven, ikke ble lastet inn, og programmet fungerer kanskje ikke.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Fordi Det er mange som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Kvadratisk ligning og dens røtter. Ufullstendige andregradsligninger

Hver av ligningene
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
har formen
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tall.
I den første ligningen a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den andre a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Slike ligninger kalles andregradsligninger.

Definisjon.
kvadratisk ligning det kalles en ligning av formen ax 2 +bx+c=0, der x er en variabel, a, b og c er noen tall, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er koeffisientene til andregradsligningen. Tallet a kalles den første koeffisienten, tallet b er den andre koeffisienten og tallet c er skjæringspunktet.

I hver av likningene på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a \neq 0 \), er den største potensen til variabelen x en kvadrat. Derav navnet: andregradsligning.

Merk at en kvadratisk ligning også kalles en ligning av andre grad, siden venstre side er et polynom av andre grad.

En annengradsligning der koeffisienten ved x 2 er lik 1 kalles redusert andregradsligning. For eksempel er de gitte kvadratiske ligningene ligningene
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i andregradsligningen ax 2 +bx+c=0 er minst én av koeffisientene b eller c lik null, kalles en slik ligning ufullstendig andregradsligning. Så ligningene -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 er ufullstendige andregradsligninger. I den første av dem er b=0, i den andre c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Ufullstendige kvadratiske ligninger er av tre typer:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Vurder løsningen av ligninger for hver av disse typene.

For å løse en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c=0 for \ (c \ neq 0 \) overfører du frileddet til høyre side og deler begge sider av likningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Høyrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), deretter \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0 \), så har ligningen to røtter.

Hvis \(-\frac(c)(a) For å løse en ufullstendig andregradsligning på formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \), faktoriser venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrise)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Derfor har en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) alltid to røtter.

En ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 \u003d 0 tilsvarer ligningen x 2 \u003d 0 og har derfor en enkelt rot 0.

Formelen for røttene til en kvadratisk ligning

La oss nå vurdere hvordan andregradsligninger løses der både koeffisientene til de ukjente og det frie leddet ikke er null.

Vi løser den andregradsligningen i generell form og som et resultat får vi formelen til røttene. Deretter kan denne formelen brukes for å løse enhver annengradsligning.

Løs den andregradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved å dele begge delene med a, får vi den ekvivalente reduserte andregradsligningen
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Vi transformerer denne ligningen ved å fremheve kvadratet til binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\høyre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Høyrepil \)

Rotuttrykket kalles diskriminant av en andregradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - skilletegn). Det er betegnet med bokstaven D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nå, ved å bruke notasjonen til diskriminanten, omskriver vi formelen for røttene til den kvadratiske ligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er åpenbart at:
1) Hvis D>0, så har den andregradsligningen to røtter.
2) Hvis D=0, så har den andregradsligningen én rot \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, avhengig av verdien av diskriminanten, kan andregradsligningen ha to røtter (for D > 0), en rot (for D = 0) eller ingen røtter (for D Når du løser en andregradsligning med denne formelen , anbefales det å gjøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med null;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lik null, bruk rotformelen, hvis diskriminanten er negativ, skriv ned at det ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Den gitte andregradsligningen ax 2 -7x+10=0 har røttene 2 og 5. Summen av røttene er 7, og produktet er 10. Vi ser at summen av røttene er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet. Enhver redusert kvadratisk ligning som har røtter har denne egenskapen.

Summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

De. Vietas teorem sier at røttene x 1 og x 2 av den reduserte kvadratiske ligningen x 2 +px+q=0 har egenskapen:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)