Parametrische vergelijking van een rechte lijn op een vlak. Parametrische vergelijkingen Vergelijking van een rechte lijn in een parametrische vorm in de ruimte

Lees dan zeker deze paragraaf! Parametrische vergelijkingen zijn natuurlijk niet de alfa en omega van ruimtelijke geometrie, maar de werkende mier van veel problemen. Bovendien wordt dit soort vergelijkingen vaak onverwacht, en ik zou zeggen, elegant toegepast.

Als het punt dat bij de lijn hoort en de richtingsvector van deze lijn bekend zijn, dan worden de parametervergelijkingen van deze lijn gegeven door het systeem:

Ik had het in de lessen over het concept van parametrische vergelijkingen Vergelijking van een rechte lijn in een vlak en Afgeleide van een parametrisch gedefinieerde functie.

Alles is eenvoudiger dan een gestoomde raap, dus je moet de taak wat pittiger maken:

Voorbeeld 7

Beslissing: De lijnen worden gegeven door canonieke vergelijkingen en in de eerste fase zou men een punt moeten vinden dat bij de lijn en zijn richtingsvector hoort.

a) Verwijder het punt en de richtingsvector uit de vergelijkingen: . Je kunt een ander punt kiezen (hoe je dit doet staat hierboven beschreven), maar het is beter om het meest voor de hand liggende te nemen. Trouwens, om fouten te voorkomen, vervang je altijd de coördinaten in de vergelijkingen.

Laten we de parametrische vergelijkingen van deze rechte lijn opstellen:

Het gemak van parametrische vergelijkingen is dat het met hun hulp heel gemakkelijk is om andere punten van de lijn te vinden. Laten we bijvoorbeeld een punt zoeken waarvan de coördinaten overeenkomen met de waarde van de parameter :

Dus:

b) Beschouw de canonieke vergelijkingen . De keuze van een punt is hier eenvoudig, maar verraderlijk: (pas op dat u de coördinaten niet door elkaar haalt!!!). Hoe trek je een gidsvector uit? Je kunt speculeren waar deze lijn parallel aan loopt, of je kunt een eenvoudige formele truc gebruiken: de verhouding is "Y" en "Z", dus we schrijven de richtingsvector en plaatsen nul in de resterende ruimte: .

We stellen de parametrische vergelijkingen van de rechte lijn op:

c) Laten we de vergelijkingen herschrijven in de vorm , dat wil zeggen, "Z" kan van alles zijn. En zo ja, laat dan bijvoorbeeld . Het punt hoort dus bij deze lijn. Om de richtingsvector te vinden, gebruiken we de volgende formele techniek: in de beginvergelijkingen zijn er "x" en "y", en in de richtingsvector op deze plaatsen schrijven we nullen: . Op de resterende plaats zetten we eenheid: . In plaats van één is elk getal, behalve nul, voldoende.

We schrijven de parametervergelijkingen van de rechte lijn:

Voor training:

Voorbeeld 8

Schrijf parametrische vergelijkingen voor de volgende lijnen:

Oplossingen en antwoorden aan het einde van de les. Uw antwoorden kunnen enigszins afwijken van mijn antwoorden, het feit is dat: parametrische vergelijkingen kunnen op meer dan één manier worden geschreven. Het is belangrijk dat uw en mijn richtingsvectoren collineair zijn, en dat uw punt "past" met mijn vergelijkingen (nou ja, of omgekeerd, mijn punt met uw vergelijkingen).

Hoe kun je anders een rechte lijn in de ruimte definiëren? Ik zou graag iets willen bedenken met de normale vector. Het getal zal echter niet werken, voor een ruimtelijn kunnen normale vectoren in totaal verschillende richtingen kijken.

Een andere methode is al genoemd in de les vlak vergelijking en aan het begin van dit artikel.

HOEK TUSSEN VLIEGTUIGEN

Laten we twee vlakken α 1 en α 2 beschouwen die respectievelijk door de vergelijkingen worden gegeven:

Onder hoek tussen twee vlakken bedoelen we een van de tweevlakshoeken gevormd door deze vlakken. Het is duidelijk dat de hoek tussen de normaalvectoren en de vlakken α 1 en α 2 gelijk is aan één van de aangegeven aangrenzende tweevlakshoeken of . Dus . Omdat en , dan

Voorbeeld. Bepaal de hoek tussen vlakken x+2ja-3z+4=0 en 2 x+3ja+z+8=0.

Voorwaarde van parallellisme van twee vlakken.

Twee vlakken α 1 en α 2 zijn evenwijdig als en slechts dan als hun normaalvectoren en evenwijdig zijn, en dus .

Twee vlakken zijn dus evenwijdig aan elkaar dan en slechts dan als de coëfficiënten op de corresponderende coördinaten evenredig zijn:

Voorwaarde van loodrechtheid van vlakken.

Het is duidelijk dat twee vlakken loodrecht staan dan en slechts dan als hun normaalvectoren loodrecht staan, en dus of .

Dus, .

Voorbeelden.

DIRECT IN DE RUIMTE.

VECTOR VERGELIJKING DIRECT.

PARAMETRISCHE VERGELIJKINGEN DIRECT

De positie van een rechte lijn in de ruimte wordt volledig bepaald door een van de vaste punten op te geven M 1 en een vector evenwijdig aan deze lijn.

Een vector evenwijdig aan een rechte lijn heet begeleiden de vector van deze lijn.

Dus laat het rechte ik gaat door een punt M 1 (x 1 , ja 1 , z 1) liggend op een rechte lijn evenwijdig aan de vector .

Overweeg een willekeurig punt M(x,y,z) op een rechte lijn. Uit de figuur blijkt dat: .

De vectoren en zijn collineair, dus er is zo'n getal t, wat , waar is de vermenigvuldiger t kan elke numerieke waarde aannemen, afhankelijk van de positie van het punt M op een rechte lijn. Factor t wordt een parameter genoemd. De straalvectoren van punten aanduiden M 1 en M respectievelijk, door en krijgen we . Deze vergelijking heet vector rechte lijn vergelijking. Het laat zien dat elke parameterwaarde t komt overeen met de straalvector van een bepaald punt M op een rechte lijn liggen.

We schrijven deze vergelijking in coördinatenvorm. Let erop dat , en vanaf hier

De resulterende vergelijkingen worden genoemd parametrisch rechte lijn vergelijkingen.

Bij het wijzigen van de parameter: t coördinaten veranderen x, ja en z en punt M beweegt in een rechte lijn.

CANONISCHE VERGELIJKINGEN DIRECT

laten zijn M 1 (x 1 , ja 1 , z 1) - een punt dat op een rechte lijn ligt ik, en is de richtingsvector. Nogmaals, neem een willekeurig punt op een rechte lijn M(x,y,z) en beschouw de vector .

Het is duidelijk dat de vectoren en collineair zijn, dus hun respectievelijke coördinaten moeten evenredig zijn, vandaar

– canoniek rechte lijn vergelijkingen.

Opmerking 1. Merk op dat de canonieke vergelijkingen van de lijn kunnen worden verkregen uit de parametervergelijkingen door de parameter te elimineren t. Inderdaad, uit de parametervergelijkingen die we verkrijgen of .

Voorbeeld. Schrijf de vergelijking van een rechte lijn op een parametrische manier.

aanduiden , Vandaar x = 2 + 3t, ja = –1 + 2t, z = 1 –t.

Opmerking 2. Laat de lijn loodrecht staan op een van de coördinaatassen, bijvoorbeeld de as Os. Dan is de richtingsvector van de lijn loodrecht Os, Vandaar, m=0. Bijgevolg nemen de parametervergelijkingen van de rechte lijn de vorm aan:

De parameter uit de vergelijkingen elimineren t, verkrijgen we de vergelijkingen van de rechte lijn in de vorm

Maar ook in dit geval komen we overeen om de canonieke vergelijkingen van de rechte lijn formeel te schrijven in de vorm . Dus als de noemer van een van de breuken nul is, betekent dit dat de lijn loodrecht staat op de corresponderende coördinatenas.

Evenzo zijn de canonieke vergelijkingen komt overeen met een rechte lijn loodrecht op de assen Os en Oy of parallelle as Ozo.

Voorbeelden.

ALGEMENE VERGELIJKINGEN EEN DIRECTE LIJN ALS EEN ONDERSCHEPPINGSLIJN VAN TWEE VLIEGTUIGEN

Door elke rechte lijn in de ruimte gaat een oneindig aantal vlakken. Elke twee ervan, die elkaar kruisen, definiëren het in de ruimte. Daarom zijn de vergelijkingen van twee van dergelijke vlakken, samen beschouwd, de vergelijkingen van deze lijn.

In het algemeen zijn twee niet-parallelle vlakken gegeven door de algemene vergelijkingen

hun snijlijn bepalen. Deze vergelijkingen worden genoemd algemene vergelijkingen Rechtdoor.

Voorbeelden.

Construeer een rechte lijn gegeven door vergelijkingen

Om een lijn te construeren, volstaat het om twee van zijn punten te vinden. De eenvoudigste manier is om de snijpunten van de lijn met de coördinaatvlakken te kiezen. Bijvoorbeeld het snijpunt met het vlak xOy we verkrijgen uit de vergelijkingen van een rechte lijn, ervan uitgaande dat z= 0:

Als we dit systeem oplossen, vinden we het punt: M 1 (1;2;0).

Evenzo, ervan uitgaande dat ja= 0, we krijgen het snijpunt van de lijn met het vlak xOz:

Vanuit de algemene vergelijkingen van een rechte lijn kan men overgaan tot zijn canonieke of parametrische vergelijkingen. Om dit te doen, moet je een punt vinden M 1 op de lijn en de richtingsvector van de lijn.

Punt coördinaten M 1 verkrijgen we uit dit stelsel vergelijkingen, waardoor een van de coördinaten een willekeurige waarde krijgt. Merk op dat deze vector loodrecht op beide normaalvectoren moet staan om de richtingsvector te vinden en . Daarom, voor de richtingsvector van de rechte lijn ik je kunt het uitwendige product van normale vectoren nemen:

Voorbeeld. Geef de algemene vergelijkingen van de rechte lijn naar de canonieke vorm.

Zoek een punt op een rechte lijn. Om dit te doen, kiezen we willekeurig een van de coördinaten, bijvoorbeeld ja= 0 en los het stelsel vergelijkingen op:

De normaalvectoren van de vlakken die de lijn definiëren, hebben coördinaten Daarom zal de richtingsvector recht zijn

. Vandaar, ik: .

HOEK TUSSEN RECHTEN

hoek tussen rechte lijnen in de ruimte noemen we elk van de aangrenzende hoeken gevormd door twee rechte lijnen getrokken door een willekeurig punt evenwijdig aan de gegevens.

Laat in de ruimte twee rechte lijnen worden gegeven:

Het is duidelijk dat de hoek φ tussen de lijnen kan worden genomen als de hoek tussen hun richtingsvectoren en . Omdat , dan krijgen we volgens de formule voor de cosinus van de hoek tussen de vectoren

Een van de subitems van het onderwerp "De vergelijking van een rechte lijn op een vlak" is de kwestie van het opstellen van parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem. In het onderstaande artikel wordt het principe besproken van het opstellen van dergelijke vergelijkingen voor bepaalde bekende gegevens. Laten we laten zien hoe we van parametrische vergelijkingen naar vergelijkingen met een andere vorm kunnen gaan; Laten we de oplossing van typische problemen analyseren.

Een bepaalde lijn kan worden gedefinieerd door een punt op te geven dat bij die lijn hoort en een richtingsvector voor de lijn.

Stel dat we een rechthoekig coördinatenstelsel O x y krijgen. En ook de rechte lijn a wordt gegeven, die het punt M 1 aangeeft dat erop ligt (x 1, y 1) en de richtingsvector van de gegeven rechte lijn een → = (a x , een y) . We geven een beschrijving van de gegeven lijn a met behulp van vergelijkingen.

We gebruiken een willekeurig punt M (x, y) en krijgen een vector M 1 M →; bereken zijn coördinaten uit de coördinaten van het begin- en eindpunt: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Laten we het resultaat beschrijven: de lijn wordt gegeven door een reeks punten M (x, y), gaat door het punt M 1 (x 1, y 1) en heeft een richtingsvector een → = (a x , een y) . De gespecificeerde verzameling definieert alleen een rechte lijn als de vectoren M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) en a → = (a x , a y) collineair zijn.

Er is een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de collineariteit van vectoren, die in dit geval voor de vectoren M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) en a → = (a x , a y) te schrijven is als een vergelijking:

M 1 M → = λ · a → , waarbij λ een reëel getal is.

Definitie 1

De vergelijking M 1 M → = λ · a → wordt de vectorparametrische vergelijking van de lijn genoemd.

In coördinaatvorm ziet het er als volgt uit:

M 1 M → = λ een → ⇔ x - x 1 = λ een x y - y 1 = λ een y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

De vergelijkingen van het resulterende systeem x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ heten parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel. De essentie van de naam is als volgt: de coördinaten van alle punten van de lijn kunnen worden bepaald door parametrische vergelijkingen in het vlak van de vorm x = x 1 + a x y = y 1 + a y λ bij iteratie over alle reële waarden van de parameter λ

Volgens het bovenstaande bepalen de parametervergelijkingen van een rechte lijn in het vlak x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ een rechte lijn die wordt gegeven in een rechthoekig coördinatensysteem, gaat door het punt M 1 (x 1, y 1) en heeft een gidsvector een → = (a x , een y) . Daarom, als de coördinaten van een bepaald punt van de rechte lijn en de coördinaten van zijn richtingsvector zijn gegeven, dan is het mogelijk om onmiddellijk de parametervergelijkingen van de gegeven rechte lijn op te schrijven.

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om parametrische vergelijkingen op te stellen van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel, als het punt M 1 (2, 3) dat erbij hoort en de richtingsvector ervan wordt gegeven een → = (3 , 1) .

Beslissing

Op basis van de initiële gegevens krijgen we: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. De parametervergelijkingen zien er als volgt uit:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Laten we het duidelijk illustreren:

Antwoord: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Opgemerkt moet worden: als de vector a → = (a x , a y) dient als richtingsvector van de rechte a, en de punten M 1 (x 1, y 1) en M 2 (x 2, y 2) bij deze lijn horen, dan kan deze worden bepaald door parametrische vergelijkingen in te stellen van de vorm : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , evenals deze optie: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

We krijgen bijvoorbeeld een richtingsvector van een rechte lijn a → \u003d (2, - 1), evenals de punten M 1 (1, - 2) en M 2 (3, - 3) die bij deze lijn horen. Vervolgens wordt de rechte lijn bepaald door parametervergelijkingen: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ of x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Er moet ook aandacht worden besteed aan het volgende feit: als een → = (a x , een y) is de richtinggevende vector van de rechte lijn a , dan zal elk van de vectoren ook de richtinggevende vector zijn μ a → = (μ a x , μ a y) , waarbij μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Dus een rechte lijn a op een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem kan worden gedefinieerd door parametervergelijkingen: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ voor elke waarde van μ die verschilt van nul.

Stel dat de rechte a wordt gegeven door de parametervergelijkingen x = 3 + 2 y = - 2 - 5 λ . Dan een → = (2 , - 5) - richtingsvector van deze lijn. En ook elk van de vectoren μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 wordt de richtingsvector voor de gegeven rechte lijn. Beschouw voor de duidelijkheid een specifieke vector - 2 · a → = (- 4 , 10) , deze komt overeen met de waarde μ = - 2 . In dit geval kan de gegeven rechte lijn ook worden bepaald door de parametervergelijkingen x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Overgang van parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak naar andere vergelijkingen van een gegeven rechte lijn en vice versa

Bij het oplossen van sommige problemen is het gebruik van parametrische vergelijkingen niet de meest optimale optie, dan wordt het noodzakelijk om de parametrische vergelijkingen van een rechte lijn te vertalen in vergelijkingen van een rechte lijn van een ander type. Laten we eens kijken hoe het te doen.

Parametrische vergelijkingen van de rechte x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ zullen overeenkomen met de canonieke vergelijking van de rechte lijn op het vlak x - x 1 a x = y - y 1 a y .

We lossen elk van de parametervergelijkingen op met betrekking tot de parameter λ, stellen de juiste delen van de verkregen gelijkheden gelijk en verkrijgen de canonieke vergelijking van de gegeven rechte lijn:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + een y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 een y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 een y

In dit geval zou het niet gênant moeten zijn als een x of een y gelijk is aan nul.

Voorbeeld 2

Het is noodzakelijk om de overgang uit te voeren van de parametervergelijkingen van de rechte lijn x = 3 y = - 2 - 4 · λ naar de canonieke vergelijking.

Beslissing

We schrijven de gegeven parametervergelijkingen in de volgende vorm: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

We drukken de parameter λ uit in elk van de vergelijkingen: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

We stellen de juiste delen van het stelsel vergelijkingen gelijk en verkrijgen de vereiste canonieke vergelijking van een rechte lijn in het vlak:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Antwoord: x - 3 0 = y + 2 - 4

In het geval dat het nodig is om de vergelijking van de rechte lijn van de vorm A x + B y + C = 0 op te schrijven, terwijl de parametervergelijkingen van de rechte lijn op het vlak worden gegeven, is het noodzakelijk om eerst de overgang naar de canonieke vergelijking en vervolgens naar de algemene vergelijking van de rechte lijn. Laten we de hele reeks acties opschrijven:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + een y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 een y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 een y ⇔ ⇔ een y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Voorbeeld 3

Het is noodzakelijk om de algemene vergelijking van een rechte lijn op te schrijven als de parametrische vergelijkingen die hem definiëren zijn gegeven: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Beslissing

Laten we eerst de overgang maken naar de canonieke vergelijking:

x = - 1 + 2 y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

De resulterende verhouding is identiek aan de gelijkheid - 3 · (x + 1) = 2 · y. Laten we de haakjes openen en de algemene vergelijking van de rechte lijn krijgen: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Antwoord: 3x + 2y + 3 = 0

Volgens de bovenstaande logica van acties, om een vergelijking van een rechte lijn met een helling, een vergelijking van een rechte lijn in segmenten of een normaalvergelijking van een rechte lijn te verkrijgen, is het noodzakelijk om de algemene vergelijking van een rechte lijn te verkrijgen , en van daaruit een verdere transitie door te voeren.

Beschouw nu de omgekeerde actie: het schrijven van de parametrische vergelijkingen van een rechte lijn voor een andere gegeven vorm van de vergelijkingen van deze rechte lijn.

De gemakkelijkste overgang: van de canonieke vergelijking naar de parametrische. Laat de canonieke vergelijking van de vorm worden gegeven: x - x 1 a x = y - y 1 a y . We nemen elk van de relaties van deze gelijkheid gelijk aan de parameter λ:

x - x 1 een x = y - y 1 een y = λ ⇔ λ = x - x 1 een x λ = y - y 1 een y

Laten we de resulterende vergelijkingen voor de variabelen x en y oplossen:

x = x 1 + een x λ y = y 1 + een y λ

Voorbeeld 4

Het is noodzakelijk om de parametervergelijkingen van de rechte lijn op te schrijven als de canonieke vergelijking van de rechte lijn op het vlak bekend is: x - 2 5 = y - 2 2

Beslissing

Laten we de delen van de bekende vergelijking gelijkstellen aan de parameter λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Uit de verkregen gelijkheid verkrijgen we de parametervergelijkingen van de rechte: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2

Antwoord: x = 2 + 5 y = 2 + 2 λ

Wanneer het nodig is om een overgang te maken naar parametervergelijkingen van een gegeven algemene vergelijking van een rechte lijn, een vergelijking van een rechte lijn met een helling of een vergelijking van een rechte lijn in segmenten, is het noodzakelijk om de oorspronkelijke vergelijking naar de canonieke, en maak vervolgens de overgang naar parametrische vergelijkingen.

Voorbeeld 5

Het is noodzakelijk om de parametervergelijkingen van de rechte lijn op te schrijven met de bekende algemene vergelijking van deze rechte: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Beslissing

We transformeren de gegeven algemene vergelijking in een vergelijking van de canonieke vorm:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

We stellen beide delen van de gelijkheid gelijk aan de parameter λ en verkrijgen de vereiste parametervergelijkingen van de rechte lijn:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Antwoord: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Voorbeelden en problemen met parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak

Laten we eens kijken naar de meest voorkomende soorten problemen met behulp van parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatensysteem.

In problemen van het eerste type worden de coördinaten van punten gegeven, ongeacht of ze behoren tot een rechte lijn beschreven door parametervergelijkingen.

De oplossing van dergelijke problemen is gebaseerd op het volgende feit: de getallen (x, y) bepaald uit de parametervergelijkingen x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ voor een reële waarde λ zijn de coördinaten van een punt behorend bij de rechte lijn, die deze parametervergelijkingen beschrijft.

Voorbeeld 6

Het is noodzakelijk om de coördinaten te bepalen van een punt dat op een rechte lijn ligt, gegeven door de parametervergelijkingen x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ voor λ = 3 .

Beslissing

We vervangen de bekende waarde λ = 3 in de gegeven parametervergelijkingen en berekenen de gewenste coördinaten: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Antwoord: 1 1 2 , 5

Het volgende probleem is ook mogelijk: laat een punt M 0 (x 0, y 0) gegeven zijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel en het is nodig om te bepalen of dit punt behoort tot de lijn beschreven door de parametervergelijkingen x = x 1 + een x y = y 1 + een y λ .

Om zo'n probleem op te lossen, is het noodzakelijk om de coördinaten van een bepaald punt in de bekende parametervergelijkingen van een rechte lijn te vervangen. Als wordt vastgesteld dat een dergelijke waarde van de parameter λ = λ 0 mogelijk is, waarin beide parametervergelijkingen waar zijn, dan hoort het gegeven punt bij de gegeven rechte.

Voorbeeld 7

Punten M 0 (4, - 2) en N 0 (- 2, 1) zijn gegeven. Het is noodzakelijk om te bepalen of ze behoren tot de rechte lijn gedefinieerd door de parametervergelijkingen x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ.

Beslissing

We vervangen de coördinaten van het punt M 0 (4, - 2) in de gegeven parametervergelijkingen:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

We concluderen dat het punt M 0 bij een gegeven rechte hoort, omdat komt overeen met de waarde λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Het is duidelijk dat er niet zo'n parameter λ is waarmee het punt N 0 zal corresponderen. Met andere woorden, de gegeven lijn gaat niet door het punt N 0 (- 2 , 1) .

Antwoord: punt M 0 hoort bij een gegeven lijn; het punt N 0 behoort niet tot de gegeven lijn.

Bij problemen van het tweede type is het nodig om parametrische vergelijkingen op te stellen van een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel. Het eenvoudigste voorbeeld van een dergelijk probleem (met bekende coördinaten van het punt van de lijn en richtingsvector) werd hierboven beschouwd. Laten we nu eens kijken naar voorbeelden waarin u eerst de coördinaten van de richtingsvector moet vinden en vervolgens de parametervergelijkingen moet opschrijven.

Voorbeeld 8

Punt M 1 1 2 , 2 3 wordt gegeven. Het is noodzakelijk om parametrische vergelijkingen op te stellen van een rechte lijn die door dit punt gaat en een parallelle rechte lijn x 2 \u003d y - 3 - 1.

Beslissing

Volgens de toestand van het probleem is de rechte lijn, waarvan we de vergelijking moeten zien, evenwijdig aan de rechte lijn x 2 \u003d y - 3 - 1. Als richtvector van een rechte lijn die door een bepaald punt gaat, is het dan mogelijk om de richtvector van een rechte lijn x 2 = y - 3 - 1 te gebruiken, die we in de vorm schrijven: a → = (2, - 1) . Nu zijn alle benodigde gegevens bekend om de gewenste parametervergelijkingen samen te stellen:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Antwoord: x = 1 2 + x y = 2 3 - .

Voorbeeld 9

Punt M 1 (0, - 7) wordt gegeven. Het is noodzakelijk om de parametervergelijkingen te schrijven van een rechte lijn die door dit punt loodrecht op de rechte 3 x – 2 y – 5 = 0 gaat.

Beslissing

Als richtingsvector van de rechte, waarvan de vergelijking moet worden samengesteld, is het mogelijk om de normaalvector van de rechte 3 x - 2 y - 5 = 0 te nemen. De coördinaten zijn (3 , - 2) . We schrijven de vereiste parametrische vergelijkingen van de rechte lijn:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Antwoord: x = 3 y = - 7 - 2 λ

Bij problemen van het derde type is het nodig om een overgang te maken van parametrische vergelijkingen van een gegeven rechte lijn naar andere typen vergelijkingen die het bepalen. We hebben de oplossing van dergelijke voorbeelden hierboven overwogen, we zullen er nog een geven.

Voorbeeld 10

Gegeven een rechte lijn op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel, gedefinieerd door de parametervergelijkingen x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Het is noodzakelijk om de coördinaten van een normaalvector van deze lijn te vinden.

Beslissing

Om de gewenste coördinaten van de normaalvector te bepalen, maken we de overgang van parametervergelijkingen naar de algemene vergelijking:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 x + 3 4 y - 1 4 = 0

De coëfficiënten van de variabelen x en y geven ons de vereiste coördinaten van de normaalvector. Dus de normaalvector van de lijn x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ heeft coördinaten 1 , 3 4 .

Antwoord: 1 , 3 4 .

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

De parametervergelijkingen van een rechte lijn worden elementair verkregen uit de canonieke vergelijking van deze rechte lijn, die de vorm heeft. Laten we als parameter de waarde nemen waarmee de linker en rechter delen van de canonieke vergelijking kunnen worden vermenigvuldigd.

Aangezien een van de noemers noodzakelijkerwijs verschilt van nul en de bijbehorende teller alle waarden kan aannemen, is het bereik van de parameter de gehele as van reële getallen: .

We zullen ontvangen of uiteindelijk

Vergelijkingen (1) zijn de gewenste parametervergelijkingen van de rechte lijn. Deze vergelijkingen maken mechanische interpretatie mogelijk. Als we aannemen dat de parameter de tijd is gemeten vanaf een beginmoment, dan bepalen de parametervergelijkingen de bewegingswet van een materieel punt in een rechte lijn met een constante snelheid (een dergelijke beweging vindt plaats door traagheid).

voorbeeld 1 Stel op een vlak de parametervergelijkingen op van een rechte lijn die door een punt gaat en een richtingsvector heeft.

Beslissing. We vervangen de gegevens van het punt en de richtingsvector in (1) en krijgen:

Vaak is het bij taken vereist om de parametrische vergelijkingen van een rechte lijn om te zetten in andere typen vergelijkingen, en uit vergelijkingen van andere typen om parametrische vergelijkingen van een rechte lijn te verkrijgen. Laten we een paar van dergelijke voorbeelden bekijken. Om de parametervergelijkingen van een rechte lijn om te zetten in: algemene vergelijking van een rechte lijn eerst moeten ze worden teruggebracht tot de canonieke vorm, en vervolgens van de canonieke vergelijking om de algemene vergelijking van de rechte lijn te verkrijgen

Voorbeeld 2 Schrijf de vergelijking van een rechte lijn

in het algemeen.

Beslissing. Eerst brengen we de parametrische vergelijkingen van de rechte lijn naar de canonieke vergelijking:

Verdere transformaties brengen de vergelijking in de algemene vorm:

Het is wat lastiger om een algemene vergelijking om te zetten in parametrische vergelijkingen van een rechte lijn, maar voor deze actie kan ook een duidelijk algoritme worden opgesteld. Ten eerste kunnen we de algemene vergelijking omzetten in hellingsvergelijking en vind daaruit de coördinaten van een punt dat bij de lijn hoort, en geef een van de coördinaten een willekeurige waarde. Als de coördinaten van het punt en de richtingsvector bekend zijn (uit de algemene vergelijking), kunnen de parametervergelijkingen van de rechte lijn worden geschreven.

Voorbeeld 3 Schrijf de vergelijking van een rechte lijn in de vorm van parametervergelijkingen.

Beslissing. We brengen de algemene vergelijking van een rechte lijn in een vergelijking met een helling:

We vinden de coördinaten van een punt dat bij de lijn hoort. Geef een van de coördinaten van het punt een willekeurige waarde

Uit de vergelijking van een rechte lijn met een helling verkrijgen we een andere coördinaat van het punt:

We kennen dus de punt- en richtingsvector. We vervangen hun gegevens in (1) en verkrijgen de gewenste parametrische vergelijkingen van de rechte lijn:

Voorbeeld 4 Vind de helling van een rechte lijn gegeven door parametrische vergelijkingen

Beslissing. De parametervergelijkingen van een rechte lijn moeten eerst worden omgezet in de canonieke, dan in de algemene en tenslotte in de hellingsvergelijking.

Dus de helling van een gegeven rechte lijn:

Voorbeeld 5 Stel parametrische vergelijkingen op van een rechte lijn die door een punt en een loodrechte lijn gaat

In de canonieke vergelijkingen van de rechte lijn elk van de breuken gelijkstellen aan een of andere parameter t:

We verkrijgen vergelijkingen die de huidige coördinaten van elk punt van de rechte lijn uitdrukken via de parameter t.

dus de parametervergelijkingen van de rechte lijn hebben de vorm:

Vergelijkingen van een rechte die door twee gegeven punten gaat.

Laat twee punten M 1 (x1,y1,z1) en M 2 (x2,y2,z2). De vergelijkingen van een rechte lijn die door twee gegeven punten gaat, worden op dezelfde manier verkregen als een vergelijkbare vergelijking in een vlak. Daarom geven we meteen de vorm van deze vergelijking.

Een rechte lijn op het snijpunt van twee vlakken. Algemene vergelijking van een rechte lijn in de ruimte.

Als we twee niet-parallelle vlakken beschouwen, dan is hun snijpunt een rechte lijn.

Als de normaalvectoren en niet-collineair.

Hieronder zullen we bij het beschouwen van voorbeelden een manier laten zien om dergelijke lineaire vergelijkingen om te zetten in canonieke vergelijkingen.

5.4 Hoek tussen twee rechte lijnen. Voorwaarde van parallellisme en loodrechtheid van twee lijnen.

Een hoek tussen twee rechte lijnen in de ruimte is een van de hoeken die worden gevormd door twee rechte lijnen die door een willekeurig punt evenwijdig aan de gegevens worden getrokken.

Laat twee lijnen worden gegeven door hun canonieke vergelijkingen.

Voor de hoek tussen twee rechte lijnen nemen we de hoek tussen de richtingsvectoren.

De voorwaarde van loodrechtheid van twee rechte lijnen wordt teruggebracht tot de voorwaarde van loodrechtheid van hun richtingsvectoren en, dat wil zeggen, tot de gelijkheid tot nul van het scalaire product: of in coördinaatvorm: .

De voorwaarde van parallellisme van twee lijnen wordt gereduceerd tot de voorwaarde van parallellisme van hun richtingsvectoren en

5.5 Onderlinge rangschikking van een rechte lijn en een vlak.

Laat de vergelijkingen van de rechte lijn worden gegeven:

en vliegtuigen. De hoek tussen de lijn en het vlak is een van de twee aangrenzende hoeken die worden gevormd door de lijn en zijn projectie op het vlak (Figuur 5.5).

Afbeelding 5.5

Als de lijn loodrecht op het vlak staat, zijn de richtingsvector van de lijn en de normaalvector op het vlak collineair. Dus de voorwaarde van loodrechtheid van een rechte lijn en een vlak wordt gereduceerd tot de voorwaarde van collineaire vectoren

In het geval van parallellisme van een rechte lijn en een vlak, staan de hierboven aangegeven vectoren onderling loodrecht op elkaar. Daarom wordt de voorwaarde van parallellisme van een rechte lijn en een vlak gereduceerd tot de voorwaarde van loodrechtheid van de vectoren; die. hun puntproduct is nul of in coördinaatvorm: .

Hieronder staan voorbeelden van het oplossen van problemen met betrekking tot het onderwerp van hoofdstuk 5.

Voorbeeld 1:

Schrijf een vergelijking voor een vlak door punt A (1,2,4) loodrecht op de rechte lijn die door de vergelijking wordt gegeven:

Beslissing:

We gebruiken de vergelijking van een vlak dat door een bepaald punt loodrecht op een gegeven vector gaat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Als punt nemen we het punt A (1,2,4), waardoor het vlak langs de voorwaarde gaat.

Als we de canonieke vergelijkingen van de lijn kennen, kennen we de vector evenwijdig aan de lijn.

Vanwege het feit dat, door de voorwaarde, de lijn loodrecht staat op het gewenste vlak, kan de richtingsvector worden genomen als de normaalvector van het vlak.

We verkrijgen dus de vergelijking van het vlak in de vorm:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Voorbeeld 2:

Zoek in het vliegtuig 4x-7y+5z-20=0 een punt P waarvoor OP gelijke hoeken maakt met de coördinaatassen.

Beslissing:

Laten we een schematische tekening maken. (Figuur 5.6)

Bij

Afbeelding 5.6

Het lege punt Р heeft coördinaten. Omdat de vector dezelfde hoeken maakt met de coördinaatassen, zijn de richtingscossinussen van deze vector gelijk aan elkaar

Laten we de projecties van de vector zoeken:

dan zijn de richtingscosinus van deze vector gemakkelijk te vinden.

Uit de gelijkheid van de richtingscosinus volgt de gelijkheid:

x p \u003d y p \u003d z p

aangezien het punt P op het vlak ligt, verandert het vervangen van de coördinaten van dit punt in de vergelijking van het vlak in een identiteit.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Respectievelijk: y r=10; z p=10.

Het gewenste punt P heeft dus coördinaten P (10; 10; 10)

Voorbeeld 3:

Gegeven twee punten A (2, -1, -2) en B (8, -7,5). Zoek de vergelijking van het vlak dat door het punt B gaat, loodrecht op het segment AB.

Beslissing:

Om het probleem op te lossen, gebruiken we de vergelijking van een vlak dat door een bepaald punt loodrecht op een gegeven vector gaat.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Als punt gebruiken we punt B (8, -7,5), en als vector loodrecht op het vlak vector. Laten we de projecties van de vector zoeken:

dan krijgen we de vergelijking van het vlak in de vorm:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Voorbeeld 4:

Zoek de vergelijking van een vlak evenwijdig aan de OY-as en door de punten K(1,-5,1) en M(3,2,-2).

Beslissing:

Omdat het vlak evenwijdig is aan de OY-as, zullen we de onvolledige vergelijking van het vlak gebruiken.

Ax+Cz+D=0

Doordat de punten K en M op het vlak liggen, krijgen we twee voorwaarden.

Laten we uit deze voorwaarden de coëfficiënten A en C uitdrukken in termen van D.

We vervangen de gevonden coëfficiënten in de onvolledige vergelijking van het vlak:

sinds , dan verminderen we D:

Voorbeeld 5:

Vind de vergelijking van een vlak dat door drie punten gaat M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Beslissing:

Laten we de vergelijking gebruiken van een vlak dat door 3 gegeven punten gaat.

door de coördinaten van de punten M, K, R te vervangen door de eerste, tweede en derde, krijgen we:

breid de determinant uit langs de 1e lijn.

Voorbeeld 6:

Zoek de vergelijking van het vlak dat door de punten M 1 (8, -3,1) gaat; M 2 (4,7,2) en loodrecht op het vlak 3x+5y-7z-21=0

Beslissing:

Laten we een schematische tekening maken (Figuur 5.7)

Afbeelding 5.7

We duiden het gegeven vlak P 2 en het gewenste vlak P 2 aan. Uit de vergelijking van een gegeven vlak Р 1 bepalen we de projecties van de vector loodrecht op het vlak Р 1.

De vector kan worden verplaatst naar het vlak P 2 door middel van parallelle translatie, aangezien, afhankelijk van de toestand van het probleem, het vlak P 2 loodrecht staat op het vlak P 1, wat betekent dat de vector evenwijdig is aan het vlak P 2 .

Laten we de projecties zoeken van de vector die in het vlak 2 ligt:

nu hebben we twee vectoren en liggen in het vlak R 2 . Het is duidelijk dat de vector gelijk is aan het vectorproduct van de vectoren en loodrecht op het vlak P 2 zal staan, aangezien hij loodrecht staat op en dus zijn normaalvector op het vlak P2 is.

De vectoren en worden gegeven door hun projecties, dus:

Vervolgens gebruiken we de vergelijking van een vlak dat door een bepaald punt loodrecht op de vector gaat. Als punt kun je elk van de punten M 1 of M 2 nemen, bijvoorbeeld M 1 (8, -3.1); Als normaalvector naar het vlak Р 2 nemen we .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Voorbeeld 7:

Een rechte lijn wordt gedefinieerd door het snijpunt van twee vlakken. Zoek de canonieke vergelijkingen van de lijn.

Beslissing:

We hebben een vergelijking in de vorm:

Moet een punt vinden x 0, y 0, z 0) waardoor de rechte lijn en richtingsvector passeren.

We kiezen willekeurig een van de coördinaten. Bijvoorbeeld, z=1, dan krijgen we een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden:

We hebben dus een punt gevonden dat op de gewenste lijn ligt (2,0,1).

Als richtingsvector van de gewenste rechte lijn nemen we het uitwendige product van vectoren en , die normaalvectoren zijn sinds , wat betekent parallel aan de gewenste lijn.

De richtingsvector van de rechte lijn heeft dus projecties . Met behulp van de vergelijking van een rechte lijn die door een gegeven punt evenwijdig aan een gegeven vector gaat:

Dus de gewenste canonieke vergelijking heeft de vorm:

Voorbeeld 8:

Vind de coördinaten van het snijpunt van een lijn en vliegtuig 2x+3j+3z-8=0

Beslissing:

Laten we de gegeven vergelijking van een rechte lijn in een parametrische vorm schrijven.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

elk punt van de rechte lijn komt overeen met een enkele waarde van de parameter t. Om de parameter te vinden: t corresponderend met het snijpunt van de lijn en het vlak, vervangen we de uitdrukking in de vergelijking van het vlak x, y, z via parameter t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

dan de coördinaten van het gewenste punt

het gewenste snijpunt heeft coördinaten (1;1;1).

Voorbeeld 9:

Zoek de vergelijking van een vlak dat door evenwijdige lijnen gaat.

Laten we een schematische tekening maken (Figuur 5.9)

Afbeelding 5.9

Uit de gegeven vergelijkingen van lijnen en bepalen we de projecties van de richtingsvectoren van deze lijnen. We vinden de projecties van de vector die in het vlak P liggen, en nemen de punten en uit de canonieke vergelijkingen van de lijnen M 1 (1, -1,2) en M 2 (0,1, -2).