Bepaal de lengte en richting cosinus van de loodlijn. Richting cosinus van vectoren

Laat een vector worden gegeven. Eenheidsvector in dezelfde richting als (vector vector ) wordt gevonden door de formule:

.

Laat de as vormt hoeken met de coördinaatassen
.Richting cosinus van de as de cosinus van deze hoeken heten: Als richting gegeven door eenheidsvector , dan dienen de richtingscosinus als coördinaten, d.w.z.:

.

De richtingscosinus zijn gerelateerd door de relatie:

Als richting gegeven door een willekeurige vector , zoek dan de eenheidsvector van deze vector en vergelijk deze met de uitdrukking voor de eenheidsvector , krijgen:

Scalair product

Punt product
twee vectoren en een getal genoemd dat gelijk is aan het product van hun lengtes door de cosinus van de hoek ertussen:
.

Het scalaire product heeft de volgende eigenschappen:

Vandaar,
.

De geometrische betekenis van het scalaire product: puntproduct van vector en eenheidsvector gelijk aan de projectie van de vector in de bepaalde richting , d.w.z.
.

Uit de definitie van het scalaire product volgt de volgende tabel van vermenigvuldiging van orts
:

.

Als de vectoren worden gegeven door hun coördinaten
en
, d.w.z.
,
, dan, door deze vectoren scalair te vermenigvuldigen en de vermenigvuldigingstabel van orts te gebruiken, verkrijgen we de uitdrukking voor het scalaire product
door de coördinaten van de vectoren:

.

vectorproduct

Kruisproduct van een vectorper vector genaamd vector , waarvan de lengte en richting wordt bepaald door de voorwaarden:

Het vectorproduct heeft de volgende eigenschappen:

Uit de eerste drie eigenschappen volgt dat de vectorvermenigvuldiging van een som van vectoren met een som van vectoren voldoet aan de gebruikelijke regels voor polynoomvermenigvuldiging. Het is alleen nodig om ervoor te zorgen dat de volgorde van de vermenigvuldigers niet verandert.

De basiseenheidsvectoren worden als volgt vermenigvuldigd:

Als een
en
, dan kunnen we, rekening houdend met de eigenschappen van het vectorproduct van vectoren, een regel afleiden voor het berekenen van de coördinaten van het vectorproduct uit de coördinaten van de factorvectoren:

Als we rekening houden met de hierboven verkregen regels voor vermenigvuldiging van orts, dan:

Een compactere vorm van het schrijven van een uitdrukking voor het berekenen van de coördinaten van het vectorproduct van twee vectoren kan worden geconstrueerd als we het concept van een matrixdeterminant introduceren.

Overweeg een speciaal geval wanneer de vectoren en behoren tot het vliegtuig
, d.w.z. ze kunnen worden weergegeven als
en
.

Als de coördinaten van de vectoren als volgt in de vorm van een tabel worden geschreven:
, dan kunnen we zeggen dat daaruit een vierkante matrix van de tweede orde wordt gevormd, d.w.z. maat
, bestaande uit twee rijen en twee kolommen. Elke vierkante matrix krijgt een getal toegewezen dat volgens bepaalde regels wordt berekend uit de elementen van de matrix en de determinant wordt genoemd. De determinant van een tweede-orde matrix is ​​gelijk aan het verschil tussen de producten van de elementen van de hoofddiagonaal en de secundaire diagonaal:

.

In dit geval:

De absolute waarde van de determinant is dus gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gebouwd op de vectoren en als aan de zijkanten.

Als we deze uitdrukking vergelijken met de vectorproductformule (4.7), dan:

Deze uitdrukking is een formule voor het berekenen van de determinant van een derde-ordematrix uit de eerste rij.

Dus:

Derde orde matrix determinant wordt als volgt berekend:

en is de algebraïsche som van zes termen.

De formule voor het berekenen van de determinant van een matrix van de derde orde is gemakkelijk te onthouden als je regelSarrus, die als volgt is geformuleerd:

Elke term is het product van drie elementen in verschillende kolommen en verschillende rijen van de matrix;

Het plusteken heeft de producten van elementen die driehoeken vormen met een zijde evenwijdig aan de hoofddiagonaal;

Het minteken wordt gegeven aan de producten van de elementen die tot de secundaire diagonaal behoren en aan de twee producten van de elementen die driehoeken vormen met een zijde evenwijdig aan de secundaire diagonaal.

Vector richting cosinus.

Richting cosinus van de vector a zijn de cosinuslijnen van de hoeken die de vector vormt met de positieve halve assen van coördinaten.

Om de richtingscosinus van de vector a te vinden, is het noodzakelijk om de corresponderende coördinaten van de vector te delen door de module van de vector.

Eigendom: De som van de kwadraten van de richtingscosinus is gelijk aan één.

Dus in het geval van een vliegtuigprobleem richting cosinus van de vector a = (ax; ay) worden gevonden door de formules:

Een voorbeeld van het berekenen van de richtingscosinus van een vector:

Zoek de richtingscosinus van de vector a = (3; 4).

Oplossing: |a| =

dus binnen geval van een ruimtelijk probleem richting cosinussen van de vector a = (ax; ay; az) worden gevonden door de formules:

Een voorbeeld van het berekenen van de richtingscosinus van een vector

Zoek de richtingscosinus van de vector a = (2; 4; 4).

Oplossing: |a| =

"Hoe de richtingscosinus van een vector te vinden"

Geef met alfa, bèta en gamma de hoeken aan die gevormd worden door de vector a met de positieve richting van de coördinaatassen (zie Fig. 1). De cosinussen van deze hoeken worden richtingscosinussen van de vector a genoemd.

Aangezien de coördinaten a in het cartesiaanse rechthoekige coördinatenstelsel gelijk zijn aan de projecties van de vector op de coördinaatassen, is a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Vandaar: cos (alpha)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Bovendien, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Dus cos(alpha)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Opgemerkt moet worden de belangrijkste eigenschap van richtingscosinus. De som van de kwadraten van de richtingscosinus van de vector is gelijk aan één. Inderdaad, cos^2(alpha)+cos^2(bèta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

eerste manier

Voorbeeld: gegeven: vector a=(1, 3, 5). Vind de richting cosinus. Beslissing. In overeenstemming met wat we hebben gevonden, schrijven we: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Het antwoord kan dus in de volgende vorm worden geschreven: (cos(alpha), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

tweede manier

Wanneer u de richtingscosinus van de vector a vindt, kunt u de techniek gebruiken om de cosinuslijnen van hoeken te bepalen met behulp van het scalaire product. In dit geval bedoelen we de hoeken tussen a en de richtingseenheidsvectoren van de rechthoekige Cartesiaanse coördinaten i, j en k. Hun coördinaten zijn respectievelijk (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Er moet aan worden herinnerd dat het scalaire product van vectoren als volgt wordt gedefinieerd.

Als de hoek tussen de vectoren φ is, dan is het scalaire product van twee winden (per definitie) een getal gelijk aan het product van de modules van de vectoren door cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Dan, als b=i, dan (a, i) = |a||i|cos(alpha), of a1 = |a|cos(alpha). Verder worden alle acties op dezelfde manier uitgevoerd als methode 1, rekening houdend met de coördinaten j en k.

dit zijn de cosinuslijnen van de hoeken die de vector maakt met de positieve halve assen van coördinaten. De richtingscosinus bepaalt op unieke wijze de richting van de vector. Als een vector lengte 1 heeft, dan zijn de richtingscosinussen gelijk aan de coördinaten. In het algemeen geldt voor een vector met coördinaten ( a; b; c) richting cosinus zijn gelijk:

waarbij a, b, g de hoeken zijn gevormd door de vector met de assen x, ja, z respectievelijk.

21) Ontbinding van een vector in termen van vectoren. De orth van de coördinatenas wordt aangegeven door , de assen - door , de assen - door (Fig. 1).

Voor elke vector die in het vlak ligt, vindt de volgende ontleding plaats:

Als de vector zich in de ruimte bevindt, dan heeft de expansie in eenheidsvectoren van de coördinaatassen de vorm:

22)Punt product twee vectoren die niet nul zijn en het getal gelijk aan het product van de lengtes van deze vectoren en de cosinus van de hoek ertussen heet:

23) Hoek tussen twee vectoren

Als de hoek tussen twee vectoren scherp is, dan is hun puntproduct positief; als de hoek tussen de vectoren stomp is, dan is het scalaire product van deze vectoren negatief. Het scalaire product van twee vectoren die niet nul zijn, is nul als en slechts dan als deze vectoren orthogonaal zijn.

24) De voorwaarde van parallellisme en loodrechtheid van twee vectoren.

De voorwaarde van loodrechtheid van vectoren
Vectoren staan ​​loodrecht dan en slechts dan als hun inproduct nul is.Er zijn twee vectoren a(xa;ya) en b(xb;yb) gegeven. Deze vectoren staan ​​loodrecht als de uitdrukking xaxb + yayb = 0.

25) Vectorproduct van twee vectoren.

Een vectorproduct van twee niet-collineaire vectoren is een vector c=a×b die aan de volgende voorwaarden voldoet: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Vectoren a, b, c vormen het rechter drietal van vectoren.

26) Collineaire en coplanaire vectoren..

Vectoren zijn collineair als de abscis van de eerste vector op dezelfde manier gerelateerd is aan de abscis van de tweede als de ordinaat van de eerste aan de ordinaat van de tweede. a (xa;ja) en b (xb;yb). Deze vectoren zijn collineair als x a = xb en ja = yb, waar R.

Vectoren −→ a,−→b en −→ c genaamd coplanair als er een vlak bestaat waaraan ze evenwijdig zijn.

27) Gemengd product van drie vectoren. Gemengd product van vectoren- scalair product van vector a en vectorproduct van vectoren b en c. Vind het gemengde product van vectoren a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).

Beslissing:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) De afstand tussen twee punten op een vlak. De afstand tussen twee gegeven punten is gelijk aan de vierkantswortel van de som van de gekwadrateerde verschillen van dezelfde coördinaten van deze punten.

29) De indeling van het segment in dit opzicht. Als het punt M(x; y) op een rechte lijn ligt die door twee gegeven punten ( , ) en ( , ), en de relatie wordt gegeven waarin het punt M het segment verdeelt, dan worden de coördinaten van het punt M bepaald volgens de formules

Als het punt M het middelpunt van het segment is, dan worden de coördinaten bepaald door de formules

30-31. Helling van een rechte lijn wordt de tangens van de helling van deze rechte lijn genoemd. De helling van een rechte lijn wordt meestal aangegeven met de letter k. Dan per definitie

Lijnvergelijking met helling heeft de vorm waar k- hoekcoëfficiënt van de rechte lijn, b is een reëel getal. De vergelijking van een rechte lijn met een helling kan elke rechte lijn instellen die niet evenwijdig is aan de as Oy(voor een rechte lijn evenwijdig aan de y-as is de helling niet gedefinieerd).

33. Algemene vergelijking van een rechte lijn op een vlak. Typ vergelijking er is algemene vergelijking van een rechte lijn Oxy. Afhankelijk van de waarden van de constanten A, B en C zijn de volgende bijzondere gevallen mogelijk:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - de lijn gaat door de oorsprong

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Ox-as

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - de lijn is evenwijdig aan de Oy-as

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Oy-as

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - de rechte lijn valt samen met de Ox-as

34.Vergelijking van een rechte lijn in segmenten op een vlak in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxy heeft de vorm waar a en b zijn enkele niet-nul reële getallen. Deze naam is niet toevallig, aangezien de absolute waarden van getallen a en b gelijk aan de lengtes van de segmenten die de rechte lijn afsnijdt op de coördinaatassen Os en Oy respectievelijk (segmenten worden geteld vanaf de oorsprong). De vergelijking van een rechte lijn in segmenten maakt het dus gemakkelijk om deze rechte lijn in een tekening te bouwen. Om dit te doen, markeert u punten met coördinaten en in een rechthoekig coördinatensysteem op het vlak en gebruikt u een liniaal om ze te verbinden met een rechte lijn.

35. De normaalvergelijking van een rechte lijn heeft de vorm

waar is de afstand van de rechte lijn tot de oorsprong;  is de hoek tussen de normaal op de rechte lijn en de as.

De normaalvergelijking kan worden verkregen uit de algemene vergelijking (1) door deze te vermenigvuldigen met de normalisatiefactor , het teken van  is tegengesteld aan het teken van , zodat .

De cosinuslijnen van de hoeken tussen de lijn en de coördinaatassen worden richtingscosinus genoemd,  is de hoek tussen de lijn en de as,  is tussen de lijn en de as:

Dus de normaalvergelijking kan worden geschreven als

Afstand vanaf punt recht doen wordt bepaald door de formule

36. De afstand tussen een punt en een lijn wordt berekend met de volgende formule:

waarbij x 0 en y 0 de coördinaten van het punt zijn, en A, B en C de coëfficiënten zijn van de algemene vergelijking van de lijn

37. De algemene vergelijking van een rechte lijn naar een normale brengen. De vergelijking en het vlak verschillen in deze context in niets anders van elkaar dan het aantal termen in de vergelijkingen en de afmeting van de ruimte. Daarom zal ik eerst alles over het vliegtuig zeggen en aan het einde een reservering maken over de rechte lijn.
Laat de algemene vergelijking van het vlak worden gegeven: Ax + By + Cz + D = 0.
;. we krijgen het systeem: g;Mc=cosb, MB=cosaLaten we het naar de normale vorm brengen. Om dit te doen, vermenigvuldigen we beide delen van de vergelijking met de normalisatiefactor M. We krijgen: Max + Mvu + MSz + MD = 0. In dit geval, МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa krijgen we het systeem:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Als we alle vergelijkingen van het stelsel bij elkaar optellen, krijgen we M*(A2 + B2 + C2) = 1 Nu rest alleen nog M van hier uit te drukken om te weten met welke normaliserende factor de oorspronkelijke algemene vergelijking moet worden vermenigvuldigd om deze normaal te maken formulier:
M \u003d - + 1 / WORTEL KV A2 + B2 + C2
MD moet altijd kleiner zijn dan nul, daarom wordt het teken van het getal M tegenover het teken van het getal D genomen.
Met de vergelijking van een rechte lijn is alles hetzelfde, alleen de term C2 moet gewoon worden verwijderd uit de formule voor M.

38.De algemene vergelijking van het vlak in de ruimte heet een vergelijking van de vorm

waar EEN 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

In een driedimensionale ruimte in een Cartesiaans coördinatensysteem wordt elk vlak beschreven door een vergelijking van de 1e graad (lineaire vergelijking). Omgekeerd definieert elke lineaire vergelijking een vlak.

40.Vergelijking van een vlak in segmenten. In een rechthoekig coördinatenstelsel Oxyz in driedimensionale ruimte, een vergelijking van de vorm , waar a, b en c andere reële getallen dan nul worden genoemd vlakvergelijking in segmenten. Absolute waarden van getallen a, b en c gelijk aan de lengtes van de segmenten die het vlak afsnijdt op de coördinaatassen Os, Oy en Ozo respectievelijk, geteld vanaf de oorsprong. Cijferteken a, b en c geeft aan in welke richting (positief of negatief) de segmenten op de coördinaatassen zijn uitgezet

41) Normaalvergelijking van het vlak.

De normaalvergelijking van een vlak is de vergelijking, geschreven in de vorm

waarbij , , de richtingscosinus zijn van de normaal van het vlak, e

p is de afstand van de oorsprong tot het vlak. Bij het berekenen van de richtingscosinus van de normaal, moet er rekening mee worden gehouden dat deze van de oorsprong naar het vlak is gericht (als het vlak door de oorsprong gaat, is de keuze van de positieve richting van de normaal onverschillig).

42) Afstand van een punt tot een vlak.Laat het vlak worden gegeven door de vergelijking en een punt gegeven. Dan wordt de afstand van een punt tot een vlak bepaald door de formule

Bewijs. De afstand van een punt tot een vlak is per definitie de lengte van de loodlijn die van een punt naar een vlak valt

Hoek tussen vlakken

Laat de vlakken en worden gegeven door de vergelijkingen en respectievelijk. Het is nodig om de hoek tussen deze vlakken te vinden.

De vlakken, die elkaar kruisen, vormen vier tweevlakshoeken: twee stompe en twee scherpe of vier rechte, en beide stompe hoeken zijn gelijk aan elkaar, en beide scherp zijn ook gelijk aan elkaar. We zoeken altijd naar een scherpe hoek. Om de waarde ervan te bepalen, nemen we een punt op de snijlijn van de vlakken en op dit punt in elk van

vlakken tekenen we loodlijnen op de snijlijn.

Eigendom:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

b) definitie van lineaire bewerkingen

de som van twee niet-collineaire vectoren en wordt de vector genoemd afkomstig van de gemeenschappelijke oorsprong van de vectoren langs de diagonaal van het parallellogram dat op deze vectoren is gebouwd

Het verschil van vectoren en heet de som van een vector en een vector tegenovergesteld aan de vector: . Verbind het begin van de vectoren en , dan wordt de vector gericht van het einde van de vector naar het einde van de vector .

het werk vector naar een getal heet een vector met module , en for en for . Geometrisch gezien betekent vermenigvuldigen met een getal het "uitrekken" van de vector met een factor 1, terwijl de richting op wordt gehouden en verandert naar het tegenovergestelde op .

Uit de bovenstaande regels voor het optellen van vectoren en vermenigvuldigen met een getal, volgen de voor de hand liggende uitspraken:

1. (optellen is commutatief);

2. (toevoeging is associatief);

3. (bestaan ​​van een nulvector);

4. (bestaan ​​van de tegenovergestelde vector);

5. (toevoeging is associatief);

6. (vermenigvuldigen met een getal is distributief);

7. (vectoroptelling is distributief);

c) scalair product en zijn belangrijkste eigenschappen

Punt product van twee vectoren die niet nul zijn, wordt het getal genoemd dat gelijk is aan het product van de lengtes van deze vectoren en de cosinus van de hoek ertussen. Als ten minste één van de twee vectoren nul is, is de hoek ertussen niet gedefinieerd en wordt het scalaire product als nul beschouwd. Het scalaire product van vectoren en wordt aangeduid met

, waar en zijn de lengtes van de vectoren en respectievelijk, en is de hoek tussen de vectoren en .

Het scalaire product van een vector met zichzelf wordt een stipvierkant genoemd.

Eigenschappen van het scalaire product.

Voor alle vectoren en het volgende geldt: punt producteigenschappen:

commutativiteitseigenschap van het scalaire product;

distributiviteitseigenschap of ;

associatief eigendom of , waar is een willekeurig reëel getal;

het scalaire kwadraat van een vector is altijd niet-negatief, en alleen als de vector nul is.

D) vectorproduct en zijn eigenschappen

vectorproduct vector a naar vector b wordt vector c genoemd, waarvan de lengte numeriek gelijk is aan het gebied van het parallellogram gebouwd op vectoren a en b, loodrecht op het vlak van deze vectoren en zo gericht dat de minste rotatie van a naar b rond vector c is tegen de klok in, gezien vanaf het einde vector c

Formules voor het berekenen van het uitwendige product van vectoren

vectorproduct twee vectoren a = (a x ; a y ; a z ) en b = (b x ; b y ; b z ) in Cartesiaanse coördinaten is een vector waarvan de waarde kan worden berekend met behulp van de volgende formules:

• Het uitwendig product van twee vectoren die niet nul zijn a en b is nul als en slechts als de vectoren collineair zijn.
• De vector c, die gelijk is aan het uitwendige product van niet-nul vectoren a en b, staat loodrecht op deze vectoren.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Vergelijking van een rechte lijn in een vlak

A) de vergelijking van een rechte lijn met een helling

Helling van een rechte lijn wordt de tangens van de helling van deze rechte lijn genoemd.

De helling van een rechte lijn wordt meestal aangegeven met de letter k. Dan per definitie.

Als de lijn evenwijdig is aan de y-as, bestaat de helling niet (in dit geval wordt ook gezegd dat de helling naar oneindig gaat).

Een positieve helling van een rechte lijn geeft een toename van zijn functiegrafiek aan, een negatieve helling geeft een afname aan. De vergelijking van een rechte lijn met een helling heeft de vorm y=kx+b, waarbij k de helling van de lijn is, en b een reëel getal is. De vergelijking van een rechte lijn met een helling kan worden gebruikt om elke rechte lijn te specificeren die niet evenwijdig is aan de Oy-as (voor een rechte lijn evenwijdig aan de y-as is de helling niet gedefinieerd).

B) soorten lineaire vergelijkingen

De vergelijking genaamd de algemene vergelijking van een rechte lijn op oppervlak.

Elke vergelijking van de eerste graad met twee variabelen x en ja vriendelijk , waar MAAR, BIJ en Met zijn enkele reële getallen, en MAAR en BIJ tegelijkertijd niet gelijk aan nul, definieert een rechte lijn in een rechthoekig coördinatenstelsel Oxy op het vlak, en elke rechte lijn op het vlak wordt gegeven door een vergelijking van de vorm .

Rechte-lijnvergelijking , waarbij a en b sommige andere reële getallen dan nul worden genoemd vergelijking van een rechte lijn in segmenten. Deze naam is niet toevallig, aangezien de absolute waarden van getallen a en b gelijk aan de lengtes van de segmenten die de rechte lijn afsnijdt op de coördinaatassen Os en Oy respectievelijk (segmenten worden geteld vanaf de oorsprong).

Rechte-lijnvergelijking , waarbij x en ja zijn variabelen, en k en b zijn enkele reële getallen, genaamd vergelijking van een rechte lijn met een helling (k- hoekcoëfficiënt)

Canonieke vergelijking van een rechte lijn in een vlak in een rechthoekig Cartesisch coördinatenstelsel Oxy heeft de vorm , waar en enkele reële getallen zijn, en en niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul.

Het is duidelijk dat de rechte lijn, gedefinieerd door de canonieke vergelijking van de rechte lijn, door het punt gaat. Op hun beurt zijn de getallen en , die in de noemers van de breuken staan, de coördinaten van de richtingsvector van deze lijn. Dus de canonieke vergelijking van de lijn in rechthoekig coördinatenstelsel Oxy op het vlak komt overeen met een rechte lijn die door het punt gaat en een richtingsvector heeft.

Parametrische vergelijkingen van een rechte lijn op een vlak ziet eruit als , waar en enkele reële getallen zijn, en en niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, en is een parameter die alle reële waarden aanneemt.

Parametrische vergelijkingen van een rechte lijn leggen een impliciete relatie tussen de abscis en de ordinaat van de punten van een rechte lijn met behulp van een parameter (vandaar de naam van dit type rechte-lijnvergelijkingen).

Een paar getallen, die worden berekend door de parametrische vergelijkingen van de rechte lijn voor een reële waarde van de parameter, zijn de coördinaten van een punt op de rechte lijn. Wanneer we bijvoorbeeld , dat wil zeggen, het punt met coördinaten ligt op een rechte lijn.

Opgemerkt moet worden dat de coëfficiënten en bij de parameter in de parametervergelijkingen van de rechte lijn de coördinaten zijn van de richtingsvector van deze rechte lijn

Vergelijking van een lijn die door twee punten gaat

Laat twee punten M 1 (x 1, y 1, z 1) en M 2 (x 2, y 2, z 2) in de ruimte worden gegeven, dan is de vergelijking van een rechte die door deze punten gaat:

Als een van de noemers gelijk is aan nul, moet de corresponderende teller gelijk worden gesteld aan nul. Op het vlak is de hierboven geschreven lineaire vergelijking vereenvoudigd:

als x 1 ≠ x 2 en x = x 1 als x 1 = x 2.

Breuk = k heet hellingsfactor Rechtdoor.

C) de hoek tussen twee lijnen berekenen

als twee lijnen worden gegeven y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dan wordt de scherpe hoek tussen deze lijnen gedefinieerd als

.

Twee lijnen zijn evenwijdig als k 1 = k 2 . Twee lijnen staan ​​loodrecht op elkaar als k 1 = -1/ k 2 .

Stelling. De rechte lijnen Ax + Vy + C \u003d 0 en A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 zijn evenwijdig als de coëfficiënten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB proportioneel zijn. Als ook С 1 = λС, dan vallen de lijnen samen. De coördinaten van het snijpunt van twee lijnen worden gevonden als oplossing van het stelsel vergelijkingen van deze lijnen.

D) voorwaarden van parallellisme en loodrechtheid van twee lijnen

Voorwaarden voor parallellisme van twee lijnen:

a) Als de lijnen worden gegeven door vergelijkingen met een helling, dan is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun parallellisme de gelijkheid van hun hellingen:

k 1 = k 2 .

b) Voor het geval dat de lijnen worden gegeven door vergelijkingen in algemene vorm (6), is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun parallellisme dat de coëfficiënten op de corresponderende stroomcoördinaten in hun vergelijkingen proportioneel zijn, d.w.z.

Voorwaarden voor loodrechtheid van twee lijnen:

a) In het geval dat de lijnen worden gegeven door vergelijkingen (4) met een helling, is de noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor hun loodrechtheid dat hun hellingen wederkerig zijn in grootte en tegengesteld in teken, d.w.z.

Deze voorwaarde kan ook worden geschreven in de vorm

k 1 k 2 = -1.

b) Als de vergelijkingen van rechte lijnen in algemene vorm (6) worden gegeven, dan is de voorwaarde voor hun loodrechtheid (noodzakelijk en voldoende) om aan de gelijkheid te voldoen

EEN 1 EEN 2 + B 1 B 2 = 0.

Functielimiet

A) sequentielimiet

Het concept van een limiet werd gebruikt door Newton in de tweede helft van de 17e eeuw en door wiskundigen van de 18e eeuw, zoals Euler en Lagrange, maar zij begrepen de limiet intuïtief. De eerste strikte definities van de limiet van een reeks werden gegeven door Bolzano in 1816 en door Cauchy in 1821.

Het nummer wordt gebeld de limiet van de numerieke reeks, als de rij oneindig klein is, d.w.z. alle elementen, beginnend bij enkele, zijn kleiner dan enig positief getal dat vooraf is genomen.

In het geval dat een numerieke reeks een limiet heeft in de vorm van een reëel getal, wordt deze genoemd convergerend naar dit nummer. Anders wordt de reeks genoemd uiteenlopend . Als het bovendien onbeperkt is, wordt aangenomen dat de limiet gelijk is aan oneindig.

Bovendien, als alle elementen van een onbegrensde reeks, beginnend met een getal, een positief teken hebben, dan zeggen we dat de limiet van zo'n reeks gelijk is aan plus oneindig .

Als de elementen van een onbeperkte reeks, beginnend met een getal, een negatief teken hebben, dan zeggen ze dat de limiet van zo'n reeks gelijk is aan min oneindig .

B) functielimiet:

Functielimiet (functielimiet) op een bepaald punt, beperkend voor het domein van de definitie van een functie, is zo'n waarde waarnaar de waarde van de betreffende functie neigt wanneer het argument naar een bepaald punt neigt.

Functielimiet is een generalisatie van het concept van de limiet van een reeks: aanvankelijk werd de limiet van een functie op een punt begrepen als de limiet van een reeks elementen van het bereik van de functie, samengesteld uit afbeeldingen van punten van een reeks elementen van het domein van de functie, convergerend naar een bepaald punt (de limiet waarop wordt beschouwd); als zo'n limiet bestaat, wordt gezegd dat de functie convergeert naar de gespecificeerde waarde; als zo'n limiet niet bestaat, dan zou de functie divergeren.

Functielimiet- een van de basisconcepten van wiskundige analyse. De waarde heet begrenzing (grenswaarde) van een functie op een punt , als voor een reeks punten die convergeren naar , maar niet bevatten als een van zijn elementen (dat wil zeggen in een geperforeerde buurt ), de reeks waarden van de functie convergeert naar .

De waarde heet begrenzing (grenswaarde) van een functie op het punt , als voor elk positief getal dat vooraf is genomen, er een positief getal is dat daarmee overeenkomt, zodat voor alle argumenten die aan de voorwaarde voldoen, aan de ongelijkheid wordt voldaan.

C) twee opmerkelijke limieten

· Eerste opmerkelijke limiet:

Gevolgen

·

·

·

· Tweede opmerkelijke grens:

Gevolgen

1.

2.

3.

4.

5. voor ,

6.

D) oneindig kleine en oneindig grote functies

Functie y=f(x) genaamd oneindig klein Bij x→a of wanneer x→∞ als of , d.w.z. Een oneindig kleine functie is een functie waarvan de limiet op een bepaald punt nul is.

als functie y=f(x) representatief bij x→a als een som van een constant getal b en oneindig klein α(x): f(x)=b+ α(x) dan .

Omgekeerd, als, dan f(x)=b+α(x), waar bijl) is oneindig klein in x→a.

Gevolg 1. Als en , dan .

Gevolg 2. Indien c= const, dan.

Als de functie f(x) is oneindig groot bij x→a, dan functie 1 /f(x) is oneindig klein in x→a.

Als de functie f(x)- oneindig klein bij x→a(of x→∞) en verdwijnt niet, dan y= 1/f(x) is een oneindige functie. de eenvoudigste eigenschappen van oneindig kleine en oneindig grote functies kunnen worden geschreven met behulp van de volgende voorwaardelijke relaties: EEN≠ 0

D) openbaarmaking van onzekerheden. De regel van L'Hopital

belangrijkste soorten onzekerheden: nul gedeeld door nul ( 0 tot 0), oneindig gedeeld door oneindig, nul maal oneindig, oneindig min oneindig, één tot de macht oneindig, nul tot de macht nul, oneindig tot de macht nul.

De regel van L'Hopital zeer veel gebruikt voor limiet berekeningen wanneer er een onzekerheid is van de vorm nul gedeeld door nul, oneindig gedeeld door oneindig.

Dit soort onzekerheden worden teruggebracht tot nul maal oneindig en oneindig min oneindig.

Als en als functies f(x) en g(x) differentieerbaar zijn in een buurt van het punt , dan

In het geval dat de onzekerheid niet verdwijnt na toepassing van de L'Hopital-regel, kan deze opnieuw worden toegepast.

Berekening van derivaten

A) de regel van differentiatie van een complexe functie

laten we complexe functie , waarbij de functie een tussenargument is. We zullen laten zien hoe we de afgeleide van een complexe functie kunnen vinden, wetende de afgeleide voor de functie (we zullen het aanduiden met ) en de afgeleide voor de functie .

Stelling 1. Als een functie een afgeleide heeft op een punt x, en de functie heeft een afgeleide in het punt (), dan is de complexe functie in het punt x heeft een afgeleide , en = .

Anders is de afgeleide van een complexe functie gelijk aan het product van de afgeleide van de gegeven functie met betrekking tot het tussenliggende argument door de afgeleide van het tussenliggende argument.

B) differentiatie van een functie die parametrisch wordt gegeven

Laat de functie worden gegeven in parametrische vorm, dat wil zeggen in de vorm:

waar de functies en zijn gedefinieerd en continu over een bepaald interval van de parameter. Laten we de verschillen van de rechter en linker delen van elk van de gelijkheden zoeken:

Om de tweede afgeleide te vinden, voeren we de volgende transformaties uit:

C) het concept van de logaritmische afgeleide van een functie

De logaritmische afgeleide van een positieve functie wordt afgeleide genoemd. Aangezien , dan, volgens de regel van differentiatie van een complexe functie, krijgen we de volgende relatie voor de logaritmische afgeleide:

.

Met behulp van de logaritmische afgeleide is het handig om de gewone afgeleide te berekenen in gevallen waarin de logaritme de vorm van de functie vereenvoudigt.

De essentie van een dergelijke differentiatie is als volgt: eerst wordt de logaritme van de gegeven functie gevonden en pas daarna wordt de afgeleide ervan berekend. Laat een functie worden gegeven. We nemen de logaritme van de linker- en rechterkant van deze uitdrukking:

En dan, als we de gewenste afgeleide uitdrukken, hebben we als resultaat:

D) afgeleide van de inverse functie

Als y=f(x) en x=g(y) een paar onderling inverse functies zijn, en de functie y=f(x) heeft een afgeleide f"(x), dan is de afgeleide van de inverse functie g"( x)=1/f" (x).

Dus de afgeleiden van wederzijds inverse functies zijn reciproke. Formule voor de afgeleide van de inverse functie:

E) afgeleide van een impliciete functie

Als de functie van één variabele wordt beschreven door de vergelijking ja=f(x), waarbij de variabele ja is aan de linkerkant, terwijl de rechterkant alleen afhangt van het argument x, dan zeggen we dat de functie gegeven is uitdrukkelijk. De volgende functies zijn bijvoorbeeld expliciet gedefinieerd:

ja=zonde x,ja=x 2+2x+5,ja=lncos x.

In veel taken kan de functie echter worden gegeven impliciet, d.w.z. in de vorm van een vergelijking

F(x,ja)=0.

om de afgeleide te vinden ja′( x) van een impliciet gedefinieerde functie, hoeft deze niet naar een expliciete vorm te worden geconverteerd. Hiervoor, de vergelijking kennen F(x,ja)=0, doe gewoon het volgende:

Eerst moet je beide kanten van de vergelijking onderscheiden met betrekking tot de variabele x, in de veronderstelling dat ja is een differentieerbare functie x en het gebruik van de regel voor het berekenen van de afgeleide van een complexe functie. In dit geval is de afgeleide van nul (aan de rechterkant) ook gelijk aan nul.
Commentaar: Als de rechterkant niet nul is, d.w.z. de impliciete vergelijking heeft de vorm

f(x,ja)=g(x,ja),

dan differentiëren we de linker- en rechterkant van de vergelijking.

Los de resulterende vergelijking op met betrekking tot de afgeleide ja′( x).

Het concept van een afgeleide

A) definitie van een derivaat

Functie afgeleide differentiatie integratie.

ja xx

Afgeleide definitie

Overweeg de functie: f(x x 0. Dan de functie f(x) is een differentieerbaar bij het punt x 0 en haar derivaat wordt bepaald door de formule

f′( x 0)=limΔ x→0Δ jaΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

Functie afgeleide- een van de basisbegrippen van de wiskunde, en in de wiskundige analyse neemt de afgeleide samen met de integraal een centrale plaats in. Het proces van het vinden van de afgeleide heet differentiatie. De inverse operatie - het herstellen van een functie uit een bekende afgeleide - heet integratie.

De afgeleide van een functie op een bepaald punt karakteriseert de veranderingssnelheid van de functie op dat punt. Een schatting van de veranderingssnelheid kan worden verkregen door de verhouding van de functieverandering te berekenen Δ ja naar de overeenkomstige wijziging in het argument Δ x. In de definitie van het derivaat wordt een dergelijke verhouding in de limiet beschouwd onder de voorwaarde Δ x→0. Laten we overgaan tot een meer rigoureuze formulering:

Afgeleide definitie

Overweeg de functie: f(x), waarvan het domein een open interval rond het punt bevat x 0. Dan de functie f(x) is een differentieerbaar bij het punt x 0 en haar derivaat wordt bepaald door de formule

f′( x 0)=limΔ x→0Δ jaΔ x=limΔ x→0f(x 0+Δ x)−f(x 0)Δ x.

B) de geometrische betekenis van de afgeleide

De afgeleide van de functie berekend voor een gegeven waarde is gelijk aan de raaklijn van de hoek gevormd door de positieve richting van de as en de positieve richting van de raaklijn getrokken aan de grafiek van deze functie op het punt met de abscis:

Als een functie een eindige afgeleide heeft in een punt, dan kan deze in een buurt worden benaderd door een lineaire functie

De functie wordt de raaklijn aan in het punt Getal genoemd.

D) tabel met afgeleiden van de eenvoudigste elementaire functies

zeker 1.5.6. Richting cosinus vector a laten we de cosinus van die hoeken noemen die deze vector vormt met respectievelijk de basisvectoren, i , j , k .

Vector richting cosinus a = (X, Bij, z) worden gevonden door de formules:

De som van de kwadraten van de richtingscosinus is gelijk aan één:

Vector richting cosinus a zijn de coördinaten van zijn orth: .

Laat de basisvectoren i , j , k getrokken vanuit een gemeenschappelijk punt O. We nemen aan dat de orts de positieve richtingen van de assen bepalen Oh, OU, Ozo. puntenverzameling O (oorsprong) en een orthonormale basis i , j , k genaamd Cartesisch rechthoekig coördinatenstelsel in de ruimte. laten zijn MAAR is een willekeurig punt in de ruimte. Vector a = OA= x i + ja j + z k genaamd straal vector punten MAAR, de coördinaten van deze vector ( x, ja, z) worden ook puntcoördinaten genoemd MAAR(symbool: MAAR(x, ja, z)). Coördinaatassen Oh, OU, Ozo ook wel respectievelijk de as genoemd abscis, as ordinaat, as solliciteren.

Als de vector wordt gegeven door de coördinaten van zijn startpunt BIJ 1 (x 1 , ja 1 , z 1) en eindpunt BIJ 2 (x 2 , ja 2 , z 2), dan zijn de coördinaten van de vector gelijk aan het verschil tussen de coördinaten van het einde en het begin: (aangezien ).

Cartesiaanse rechthoekige coördinatenstelsels op het vlak en op de lijn worden op precies dezelfde manier gedefinieerd met bijbehorende kwantitatieve (volgens dimensie) veranderingen.

Oplossing van typische taken.

voorbeeld 1 Vind de lengte en richting cosinus van een vector a = 6i – 2j -3k .

Beslissing. Vectorlengte: . Richting cosinus: .

Voorbeeld 2 Vind vectorcoördinaten a , die gelijke scherpe hoeken vormen met de coördinaatassen, als de lengte van deze vector gelijk is aan .

Beslissing. Aangezien , dan substitueren in formule (1.6), krijgen we . Vector a vormt scherpe hoeken met de coördinaatassen, dus de ortho . Daarom vinden we de coördinaten van de vector .

Voorbeeld 3 Er worden drie niet-coplanaire vectoren gegeven e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Ontbind vector d = i + 5j - 2k basis e 1 , e 2 , e 3 .