Noem de geschatte methoden voor het bestuderen van niet-lineaire systemen. Analyse van niet-lineaire automatische controlesystemen

• Methode voor harmonische linearisatie bij het ontwerp van niet-lineaire automatische besturingssystemen.[Djv-10.7M] Bewerkt door Yu.I. Topcheeva. Het team van auteurs.
  (Moskou: Mashinostroenie Publishing House, 1970. - Serie "Niet-lineaire automatische besturingssystemen")
  Scan: AAW, verwerking, Djv-formaat: Ilya Sytnikov, 2014
• SAMENVATTING:
  Voorwoord (5).
  Hoofdstuk I. Theoretische grondslagen van de harmonische linearisatiemethode (EP Popov) (13).
  Hoofdstuk II. Een nieuwe vorm van harmonische linearisatie voor besturingssystemen met niet-lineaire hysteresiskarakteristieken (E.I. Khlypalo) (58).
  Hoofdstuk III. Methode voor harmonische linearisatie op basis van de schatting van de gevoeligheid van de periodieke oplossing voor hogere harmonischen en kleine parameters (A.A. Vavilov) (88).
  Hoofdstuk IV. Bepaling van amplitude- en fasefrequentiekarakteristieken van niet-lineaire systemen (Yu.I. Topcheev) (117).
  Hoofdstuk V. Benaderende frequentiemethoden voor het analyseren van de kwaliteit van niet-lineaire controlesystemen (Yu.I. Topcheev) (171).
  Hoofdstuk VI. Verhogen van de nauwkeurigheid van de harmonische linearisatiemethode (VV Pavlov) (186).
  Hoofdstuk VII. Toepassing van de methode van harmonische linearisatie op discrete niet-lineaire regelsystemen (S.M. Fedorov) (219).
  Hoofdstuk VIII. Toepassing van de asymptotische methode van N.M. Krylov en N.N. Bogolyubov in de analyse van niet-lineaire controlesystemen (AD Maksimov) (236).
  Hoofdstuk IX. Toepassing van harmonische linearisatie op niet-lineaire zelfinstellende regelsystemen (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Hoofdstuk X. Toepassing van de methode van harmonische linearisatie op niet-lineaire automatische systemen met eindige automaten (M.V. Starikova) (306).
  Hoofdstuk XI. Een benaderende methode voor het bestuderen van oscillerende processen en glijdende modi in automatische systemen met een variabele structuur (M.V. Starikova) (390).
  Hoofdstuk XII. Geschatte studie van een pulsrelaisbesturingssysteem (M.V. Starikova) (419).
  Hoofdstuk XIII. Bepaling van oscillerende processen in complexe niet-lineaire systemen met verschillende initiële afwijkingen (M.V. Starikova) (419).
  Hoofdstuk XIV. Toepassing van de methode van harmonische linearisatie op systemen met periodieke niet-lineariteiten (LI Semenko) (444).
  Hoofdstuk XV. Toepassing van de methode van harmonische linearisatie op systemen met twee niet-lineariteiten (VM Khlyamov) (467).
  Hoofdstuk XVI. Amplitude-fasekarakteristieken van relaismechanismen met gelijkstroom- en wisselstroommotoren, verkregen door de methode van harmonische linearisatie (VV Tsvetkov) (485).
  Toepassingen (518).
  Literatuur (550).
  Alfabetische index (565).

Opmerking van de uitgever: Dit boek maakt deel uit van een reeks monografieën over niet-lineaire automatische controlesystemen.
Het schetst systematisch, in voldoende detail, de theorie van niet-lineaire automatische controlesystemen, gebaseerd op de methode van harmonische linearisatie. De belangrijkste aandacht gaat uit naar de theoretische grondslagen van de harmonische linearisatiemethode en de praktische toepassingen ervan op continue, discrete, zelfinstellende systemen, evenals systemen met eindige automaten en een afstembare structuur. Er worden methoden overwogen om de nauwkeurigheid van de harmonische linearisatiemethode te vergroten door rekening te houden met de invloed van hogere harmonischen. De voorgestelde methoden worden geïllustreerd met talrijke voorbeelden.
Het boek is bedoeld voor wetenschappers, ingenieurs, docenten en afgestudeerde studenten van instellingen voor hoger onderwijs die zich bezighouden met kwesties van automatische besturing.

Laten we een chemisch-technologisch object beschouwen waarvan de ingang een willekeurig signaal ontvangt en(/), en de uitvoer is een willekeurig proces Bij(/). Bij het gebruik van correlatiemethoden om lineaire objecten met constante parameters te identificeren, wordt meestal aangenomen (of wordt een testsignaal speciaal op deze manier geselecteerd) dat willekeurige functies en (t) en Bij (t) zijn stationair en stationair gekoppeld in brede zin, d.w.z. hun wiskundige verwachtingen zijn constant, en auto- en kruiscorrelatiefuncties zijn functies van niet twee, maar één argument dat gelijk is aan hun verschil.

Bij het identificeren van niet-lineaire dynamische systemen, de voorwaarden voor de normaliteit van de waarschijnlijkheidsdichtheden van functies en (t) en j(t) en hun gezamenlijke waarschijnlijkheidsdichtheden worden in de regel niet vervuld, d.w.z. de kenmerken van het object worden bepaald onder omstandigheden waarin de gezamenlijke waarschijnlijkheidsdichtheden van de functies en (t) en Bij(/) zijn niet Gaussiaans.

Daarom is de voorwaardelijke kansdichtheid van de functie j(t) naar verhouding en (t) zal ook niet-Gaussiaans zijn. De regressie van de willekeurige uitvoervariabele ten opzichte van de willekeurige invoerfunctie voor gegeven waarden van de argumenten is over het algemeen niet-lineair en de correlatie van functies en(0 en Bij (t) heteroscedastisch.

Dus voor de identificatie van niet-lineaire objecten zijn correlatiemethoden die werken met wiskundige verwachtingen en correlatiefuncties van willekeurige processen niet langer voldoende. De fout bij het oplossen van het probleem van het identificeren van een niet-lineair object door de correlatiemethoden die worden gebruikt voor lineaire systemen is hoe groter, hoe sterker de regressie van functies j(t) naar verhouding en (t) verschilt van lineair en hoe groter de oneffenheid van de wiskundige verwachting van voorwaardelijke varianties.

De taak om niet-lineaire objecten te identificeren die werken onder omstandigheden van willekeurige verstoringen is een zeer complex wiskundig probleem, dat momenteel in ontwikkeling is en nog lang niet is voltooid. Desalniettemin is het zelfs nu mogelijk om een ​​aantal methoden te noemen die, hoewel ze niet als volledig kunnen worden beschouwd, niettemin een redelijk goede benadering bieden voor het probleem van het identificeren van niet-lineaire objecten door statistische methoden. Deze methoden omvatten: 1) methoden gebaseerd op het gebruik van dispersie en wederzijdse dispersiefuncties van willekeurige processen; 2) de methode van linearisatie van niet-lineaire regressie op het gebied van homoscedasticiteit van de wiskundige verwachting van de voorwaardelijke variantie van de functie j(t) naar verhouding en (t) 3) de Wiener-benadering voor de identificatie van niet-lineaire systemen; 4) een methode voor het identificeren van niet-lineaire systemen op basis van het gebruik van het apparaat van voorwaardelijke Markov-processen.

Laten we elk van deze methoden kort bekijken.

1. Als de afhankelijkheid tussen de waarden van willekeurige functies en(0 en Bij (t) niet-lineair, dan kan de correlatiecoëfficiënt tussen de waarden van een willekeurige functie niet langer dienen als een voldoende criterium voor het meten van de nabijheid van de relatie daartussen. Daarom, om de relatie tussen en en Bij worden gebruikt

dispersie relaties, die worden bepaald door dispersie functies: (2, 3].

Wederzijdse spreidingsfunctie: 0 yU (*, m) voor echte willekeurige functies j(t) en en (t) en autodispersieve (dispersie) functie G „ K (*, m) voor een willekeurig proces en(m) worden bepaald door de relaties

waar M( ) - wiskundig verwachtingssymbool; M.

Op basis van de hierboven bepaalde waarden nee, t| VK en R je kunt een speciaal tv-criterium bouwen om de hypothese over de lineariteit van de relatie tussen de signalen te testen jij en ik:

waar P- aantal experimenten; tot- aantal intervallen in de correlatietabel. Laten we met behulp van het TV-criterium de hypothese over de lineariteit van de relatie tussen y t en en t voor het in §6.4 besproken object. Functie

N(m), gebouwd op de invoer- en uitvoerimplementaties van het systeem, wordt getoond in Fig. 8.2. In dit geval wordt het identificatieprobleem teruggebracht tot het zoeken naar onbekende parameters van het object, de coëfficiënten van de operator in de Hilbertruimte. Het signaal aan de systeemingang wordt ontleed in een reeks Laguerre-subfuncties:

met coëfficiënten

Rijst. 8.3.

Rijst. 8.4.

Hier P de Laguerre-functie gn (t) is geconstrueerd als een product van de Laguerre polynoom ln (t) per exposant:

Merk op dat het Laplace-beeld van de Laguerre-polynomen gebaseerd op (8.19) de vorm heeft

Dit toont aan dat de benodigde Laguerre-coëfficiënten kunnen worden verkregen door het signaal door te geven en (t) door een ketting van lineaire dynamische schakels (zie Fig. 8.3).

De operator van een niet-lineair systeem wordt weergegeven als een uitbreiding in termen van Ermnt-polynomen:

die orthogonaal zijn op de reële as - oo t. De Hermite-functies zijn opgebouwd uit de Hermite-polynomen:

met behulp waarvan de overgangsoperator van de Laguerre-coëfficiënten van het ingangssignaal naar het uitgangssignaal wordt geschreven als

Relatie (8.20) is geldig voor elk niet-lineair object en kan worden gebruikt als basis voor zijn identificatie. De identificatietechniek wordt sterk vereenvoudigd als een speciaal signaal in de vorm van Gaussiaanse witte ruis op de ingang wordt toegepast. In dit geval zijn de Laguerre-functies ongecorreleerde Gaussiaanse willekeurige processen met gelijke varianties. In dit geval is de bepaling van de coëfficiënten ... tot reduceert tot het vinden van de kruiscorrelatiefunctie van de systeemuitvoer en de Hermite-polynomen:

Definitie van coëfficiënten b(j... tot voltooit de oplossing van het identificatieprobleem. Het algemene rekenschema wordt getoond in Fig. 8.4.

Bij het oplossen van problemen bij het identificeren van chemisch-technologische objecten is de overwogen methode om een ​​aantal redenen beperkt toepasbaar. Deze laatste omvatten bijvoorbeeld de moeilijkheden die zich voordoen bij de overgang van de coëfficiënten b tj k aan de technologische parameters van het object. De methode is niet geschikt voor niet-stationaire systemen. Moeilijkheden bij het implementeren van deze procedure in de modus van normale werking van het object verminderen ook de effectiviteit van de methode. Ten slotte zijn de noodzaak om alle bewerkingen die verband houden met passages tot het uiterste af te kappen en de vervanging van reeksen door eindige sommen bronnen van extra rekenfouten.

4. Een andere mogelijke benadering voor het construeren van optimale filters voor niet-lineaire systemen is gebaseerd op het gebruik van het apparaat van voorwaardelijke Markov-processen. Overweeg de essentie van deze benadering aan de hand van een specifiek voorbeeld.

VOORBEELD Laat het bruikbare signaal een rechthoekige puls zijn

het moment van optreden waarvan t op het segment 0 x T moet worden bepaald. Pulshoogte een 0 en de duur h worden verondersteld bekend te zijn. Het signaal naar het object en (t)=s(*)+m> (*) is de som van de nuttige component s(0 en witte ruis met wie(*), die wordt beschreven door de kansintegraal )