Lineaire tweevlakshoekdefinitie. Tweevlakshoeken en formule om ze te berekenen

Tweevlakshoek. Lineaire tweevlakshoek. Een tweevlakshoek is een figuur gevormd door twee halve vlakken die niet tot hetzelfde vlak behoren en een gemeenschappelijke grens hebben: rechte lijn a. De halve vlakken die een tweevlakshoek vormen, worden de vlakken genoemd, en de gemeenschappelijke grens van deze halve vlakken wordt een rand van de tweevlakshoek genoemd. De lineaire hoek van een tweevlakshoek is een hoek waarvan de zijden de stralen zijn waarlangs de vlakken van de tweevlakshoek worden doorsneden door een vlak loodrecht op de rand van de tweevlakshoek. Elke tweevlakshoek heeft een willekeurig aantal lineaire hoeken: door elk punt van de rand kan men een vlak loodrecht op deze rand tekenen; De stralen waarlangs dit vlak de vlakken van een tweevlakshoek snijdt, vormen lineaire hoeken.

Alle lineaire hoeken van een tweevlakshoek zijn gelijk aan elkaar. Laten we bewijzen dat als de tweevlakshoeken gevormd door het vlak van de basis van de piramide KABC en de vlakken van zijn zijvlakken gelijk zijn, de basis van de loodlijn getrokken vanuit hoekpunt K het middelpunt is van de ingeschreven cirkel in driehoek ABC.

Bewijs. Laten we eerst lineaire hoeken met gelijke tweevlakshoeken construeren. Per definitie moet het vlak van een lineaire hoek loodrecht staan ​​op de rand van de tweevlakshoek. Daarom moet de rand van een tweevlakshoek loodrecht staan ​​op de zijden van de lineaire hoek. Als KO loodrecht staat op het basisvlak, dan kunnen we OR loodrecht AC tekenen, OR loodrecht SV, OQ loodrecht AB, en dan de punten P, Q, R verbinden met punt K. We zullen dus een projectie construeren van hellend RK, QK , RK zodat de randen AC, NE, AB loodrecht op deze projecties staan. Bijgevolg staan ​​deze randen loodrecht op de hellende randen zelf. En daarom staan ​​de vlakken van driehoeken ROK, QOK, ROK loodrecht op de corresponderende randen van de tweevlakshoek en vormen ze die gelijke lineaire hoeken die in de voorwaarde worden vermeld. Rechte driehoeken ROK, QOK, ROK zijn congruent (aangezien ze een gemeenschappelijk been OK hebben en de hoeken tegenover dit been gelijk zijn). Daarom OF = OF = OQ. Als we een cirkel tekenen met middelpunt O en straal OP, dan staan ​​de zijden van driehoek ABC loodrecht op de stralen OP, OR en OQ en raken ze dus aan deze cirkel.

Loodrechtheid van vlakken. De alfa- en bètavlakken worden loodrecht genoemd als de lineaire hoek van een van de tweevlakshoeken gevormd op hun snijpunt gelijk is aan 90. Tekenen van loodrechtheid van twee vlakken Als een van de twee vlakken door een lijn gaat die loodrecht op het andere vlak staat, dan staan ​​deze vlakken loodrecht.

De figuur toont een rechthoekig parallellepipedum. De bases zijn rechthoeken ABCD en A1B1C1D1. En de zijribben AA1 BB1, CC1, DD1 staan ​​loodrecht op de basis. Hieruit volgt dat AA1 loodrecht op AB staat, dat wil zeggen dat het zijvlak een rechthoek is. We kunnen dus de eigenschappen van een rechthoekig parallellepipedum rechtvaardigen: in een rechthoekig parallellepipedum zijn alle zes vlakken rechthoeken. In een rechthoekig parallellepipedum zijn alle zes vlakken rechthoeken. Alle tweevlakshoeken van een rechthoekig parallellepipedum zijn rechte hoeken. Alle tweevlakshoeken van een rechthoekig parallellepipedum zijn rechte hoeken.

Stelling Kwadraat van de diagonaal van een rechthoekig parallellepipedum gelijk aan de som vierkanten van de drie dimensies. Laten we opnieuw naar de figuur kijken en bewijzen dat AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Omdat rand CC1 loodrecht staat op de basis ABCD, is hoek ACC1 recht. Uit de rechthoekige driehoek ACC1 verkrijgen we, met behulp van de stelling van Pythagoras, AC12 = AC2 + CC12. Maar AC is een diagonaal van rechthoek ABCD, dus AC2 = AB2 + AD2. Bovendien is CC1 = AA1. Daarom AC12= AB2+AD2+AA12 De stelling is bewezen.

Doel van de les: introductie van het concept van de tweevlakshoek en zijn lineaire hoek.

Taken:

Educatief: taken over de toepassing van deze concepten overwegen, de constructieve vaardigheid ontwikkelen om de hoek tussen vlakken te vinden;

Ontwikkelingsgericht: ontwikkeling creatief denken studenten, persoonlijke zelfontwikkeling van studenten, ontwikkeling van de spraak van studenten;

Educatief: cultuur onderwijs mentale arbeid, communicatieve cultuur, reflectieve cultuur.

Lestype: les in het leren van nieuwe kennis

Lesmethoden: verklarend en illustratief

Apparatuur: computer, interactief whiteboard.

Literatuur:

Geometrie. Groepen 10-11: leerboek. voor 10-11 klassen. algemeen onderwijs instellingen: basis en profiel. niveaus / [L. S. Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev, enz.] - 18e druk. – M.: Onderwijs, 2009. – 255 p.

Lesplan:

Organisatorisch moment (2 min)

Kennis bijwerken (5 min)

Nieuw materiaal leren (12 min)

Versterking van geleerde stof (21 min)

Huiswerk (2 min)

Samenvattend (3 min)

Lesvoortgang:

1. Organisatorisch moment.

Inclusief de leraar die de klas begroet, de ruimte klaarmaakt voor de les en afwezigheden controleert.

2. Actualiseren van basiskennis.

Docent: In de laatste les schreef je zelfstandig werk. Over het algemeen is het werk goed geschreven. Laten we het nu een beetje herhalen. Hoe heet een hoek in een vlak?

Student: Een hoek op een vlak is een figuur gevormd door twee stralen die uit één punt komen.

Docent: Hoe wordt de hoek tussen lijnen in de ruimte genoemd?

Student: De hoek tussen twee snijdende lijnen in de ruimte is de kleinste van de hoeken die worden gevormd door de stralen van deze lijnen met het hoekpunt op het snijpunt.

Student: De hoek tussen elkaar snijdende lijnen is de hoek tussen respectievelijk snijdende lijnen evenwijdig aan de gegevens.

Docent: Hoe heet de hoek tussen een rechte lijn en een vlak?

Student: De hoek tussen een rechte lijn en een vlakElke hoek tussen een rechte lijn en de projectie ervan op dit vlak wordt genoemd.

3. Nieuw materiaal bestuderen.

Docent: In stereometrie wordt, naast dergelijke hoeken, een ander type hoek overwogen: tweevlakshoeken. Je raadt waarschijnlijk al wat het onderwerp van de les van vandaag is, dus open je notitieboekje en noteer de datum van vandaag en het onderwerp van de les.

Schrijf op het bord en in notitieboekjes:

10.12.14.

Tweevlakshoek.

Docent : Om het concept van een tweevlakshoek te introduceren, moet eraan worden herinnerd dat elke rechte lijn die in een bepaald vlak wordt getrokken, dit vlak in twee halve vlakken verdeelt(Afb. 1, a)

Docent : Laten we ons voorstellen dat we het vlak langs een rechte lijn hebben gebogen, zodat twee halve vlakken met een grens niet langer in hetzelfde vlak liggen (Fig. 1, b). Het resulterende cijfer is de tweevlakshoek. Een tweevlakshoek is een figuur gevormd door een rechte lijn en twee halve vlakken met een gemeenschappelijke grens die niet tot hetzelfde vlak behoren. De halve vlakken die een tweevlakshoek vormen, worden de vlakken genoemd. Een tweevlakshoek heeft twee zijden, vandaar de naam tweevlakshoek. De rechte lijn - de gemeenschappelijke grens van de halve vlakken - wordt de rand van de tweevlakshoek genoemd. Schrijf de definitie in je notitieboekje.

Een tweevlakshoek is een figuur gevormd door een rechte lijn en twee halve vlakken met een gemeenschappelijke grens die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Docent : In het dagelijks leven komen we vaak objecten tegen die de vorm hebben van een tweevlakshoek. Geef voorbeelden.

Student : Half geopende map.

Student : De muur van de kamer is samen met de vloer.

Student : Zadeldaken gebouwen.

Docent : Rechts. En er zijn een groot aantal van dergelijke voorbeelden.

Docent : Zoals je weet, worden hoeken in een vlak gemeten in graden. Je hebt waarschijnlijk een vraag: hoe worden tweevlakshoeken gemeten? Dit gebeurt als volgt.Laten we een punt op de rand van de tweevlakshoek markeren en vanaf dit punt op elk vlak een straal loodrecht op de rand tekenen. De hoek gevormd door deze stralen wordt de lineaire hoek van de tweevlakshoek genoemd. Maak een tekening in je notitieboekjes.

Schrijf op het bord en in notitieboekjes.

OVER ∈ een, JSC ⊥ een, VO ⊥ A, SABD– tweevlakshoek,∠ AOB– lineaire hoek van de tweevlakshoek.

Docent : Alle lineaire hoeken van een tweevlakshoek zijn gelijk. Maak nog een tekening zoals deze.

Docent : Laten we het bewijzen. Beschouw twee lineaire hoeken AOB enPQR. Stralen OA enQPliggen op hetzelfde vlak en staan ​​loodrechtOK, wat betekent dat ze mede worden geregisseerd. Op dezelfde manier zijn de stralen OB enQRmede geregisseerd. Middelen,∠ AOB= ∠ PQR(zoals hoeken met uitgelijnde zijden).

Docent : Welnu, het antwoord op onze vraag is hoe de tweevlakshoek wordt gemeten.De graadmaat van een tweevlakshoek is de graadmaat van zijn lineaire hoek. Teken de afbeeldingen van een scherpe, rechte en stompe tweevlakshoek opnieuw uit het leerboek op pagina 48.

4. Consolidatie van het bestudeerde materiaal.

Docent : Maak tekeningen voor de taken.

№ 1 . Gegeven: Δabc, AC = BC, AB ligt in het vlakα, CD ⊥ α, C∉ α. Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoekCABD.

Student : Oplossing:C.M. ⊥ AB, gelijkstroom ⊥ AB.∠ CMD - gezocht.

№ 2. Gegeven: Δabc, ∠ C= 90°, BC ligt in het vlakα, JSC⊥ α, A∈ α.

Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoekABCO.

Student : Oplossing:AB ⊥ BC, JSC⊥ BC betekent OS⊥ Zon.∠ ACO - gezocht.

№ 3 . Gegeven: Δabc, ∠ C = 90°, AB ligt in het vlakα, CD⊥ α, C∉ α. Bouwenlineaire tweevlakshoekDABC.

Student : Oplossing: CK ⊥ AB, gelijkstroom ⊥ AB,Weet niet ⊥ AB betekent∠ DKC - gezocht.

№ 4 . Gegeven:DABC- tetraëder,DOEN⊥ abcConstrueer de lineaire hoek van de tweevlakshoekABCD.

Student : Oplossing:DM ⊥ zon,DOEN ⊥ VS betekent OM⊥ Zon;∠ OMD - gezocht.

5. Samenvattend.

Docent: Wat heb je vandaag in de klas geleerd?

Studenten : Wat wordt de tweevlakshoek genoemd, lineaire hoek, hoe wordt de tweevlakshoek gemeten.

Docent : Wat herhaalden ze?

Studenten : Wat een hoek op een vlak wordt genoemd; hoek tussen rechte lijnen.

6. Huiswerk.

Schrijf op het bord en in uw agenda: paragraaf 22, nr. 167, nr. 170.

Concept van tweevlakshoek

Laten we, om het concept van een tweevlakshoek te introduceren, eerst een van de axioma's van stereometrie in herinnering brengen.

Elk vlak kan worden verdeeld in twee halve vlakken van de lijn $a$ die in dit vlak liggen. In dit geval bevinden de punten die in hetzelfde halve vlak liggen zich aan dezelfde kant van de rechte lijn $a$, en de punten die in verschillende halve vlakken liggen, bevinden zich aan dezelfde kant. verschillende kanten van de rechte lijn $a$ (Fig. 1).

Figuur 1.

Het principe van het construeren van een tweevlakshoek is gebaseerd op dit axioma.

Definitie 1

Het figuur heet tweevlakshoek, als deze bestaat uit een lijn en twee halve vlakken van deze lijn die niet tot hetzelfde vlak behoren.

In dit geval worden de halve vlakken van de tweevlakshoek genoemd randen, en de rechte lijn die de halve vlakken scheidt is tweevlakshoek(Afb. 1).

Figuur 2. Tweevlakshoek

Graadmaat voor tweevlakshoek

Definitie 2

Laten we een willekeurig punt $A$ op de rand kiezen. De hoek tussen twee rechte lijnen die in verschillende halve vlakken liggen, loodrecht op een rand staan ​​en elkaar snijden in punt $A$, wordt genoemd lineaire tweevlakshoek(Afb. 3).

Figuur 3.

Het is duidelijk dat elke tweevlakshoek een oneindig aantal lineaire hoeken heeft.

Stelling 1

Alle lineaire hoeken van één tweevlakshoek zijn gelijk aan elkaar.

Bewijs.

Laten we twee lineaire hoeken $AOB$ en $A_1(OB)_1$ bekijken (Fig. 4).

Figuur 4.

Omdat de stralen $OA$ en $(OA)_1$ in hetzelfde halfvlak $\alpha $ liggen en loodrecht op dezelfde rechte lijn staan, zijn ze codirectioneel. Omdat de stralen $OB$ en $(OB)_1$ in hetzelfde halfvlak $\beta $ liggen en loodrecht op dezelfde rechte lijn staan, zijn ze codirectioneel. Vandaar

\[\hoek AOB=\hoek A_1(OB)_1\]

Vanwege de willekeur van de keuze van lineaire hoeken. Alle lineaire hoeken van één tweevlakshoek zijn gelijk aan elkaar.

De stelling is bewezen.

Definitie 3

De graadmaat van een tweevlakshoek is de graadmaat van de lineaire hoek van een tweevlakshoek.

Voorbeelden van problemen

Voorbeeld 1

Laten we twee niet-loodrechte vlakken $\alpha $ en $\beta $ geven die elkaar snijden langs de rechte lijn $m$. Punt $A$ behoort tot het vlak $\beta$. $AB$ staat loodrecht op lijn $m$. $AC$ staat loodrecht op het vlak $\alpha $ (punt $C$ hoort bij $\alpha $). Bewijs dat hoek $ABC$ een lineaire hoek is van een tweevlakshoek.

Bewijs.

Laten we een afbeelding maken op basis van de omstandigheden van het probleem (Fig. 5).

Figuur 5.

Om dit te bewijzen, herinnert u zich de volgende stelling

Stelling 2: Een rechte lijn die door de basis van een hellend vlak loopt, staat er loodrecht op, loodrecht op de projectie ervan.

Omdat $AC$ loodrecht staat op het vlak $\alpha $, is punt $C$ de projectie van punt $A$ op het vlak $\alpha $. Daarom is $BC$ een projectie van de schuine $AB$. Volgens Stelling 2 staat $BC$ loodrecht op de rand van de tweevlakshoek.

Hoek $ABC$ voldoet dan aan alle vereisten voor het definiëren van een lineaire tweevlakshoek.

Voorbeeld 2

De tweevlakshoek is $30^\circ$. Op een van de vlakken ligt een punt $A$, dat zich op een afstand van $4$ cm van het andere vlak bevindt. Bereken de afstand vanaf het punt $A$ tot de rand van de tweevlakshoek.

Oplossing.

Laten we naar figuur 5 kijken.

Per voorwaarde hebben we $AC=4\cm$.

Volgens de definitie van de graadmaat van een tweevlakshoek geldt dat de hoek $ABC$ gelijk is aan $30^\circ$.

Driehoek $ABC$ is rechthoekige driehoek. Per definitie van de sinus van een scherpe hoek

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Deze les is bedoeld voor zelfstudie onderwerp "Tweevlakshoek". In deze les raken de leerlingen vertrouwd met een van de belangrijkste geometrische vormen, de tweevlakshoek. Ook in de les zullen we leren hoe we de lineaire hoek van het beschouwde kunnen bepalen geometrische figuur en wat is de tweevlakshoek aan de basis van de figuur.

Laten we herhalen wat een hoek op een vlak is en hoe deze wordt gemeten.

Rijst. 1. Vliegtuig

Laten we het vlak α bekijken (Fig. 1). Vanaf punt OVER er komen twee stralen uit - OB En OA.

Definitie. Een figuur gevormd door twee stralen die uit één punt komen, wordt een hoek genoemd.

Hoek wordt gemeten in graden en radialen.

Laten we onthouden wat een radiaal is.

Rijst. 2. Radiaal

Als we een centrale hoek hebben waarvan de booglengte gelijk is aan de straal, dan wordt zo’n centrale hoek een hoek van 1 radiaal genoemd. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Relatie tussen radialen en graden.

blij.

We snappen het, ik ben blij. (). Dan,

Definitie. Tweevlakshoek een figuur gevormd door een rechte lijn wordt genoemd A en twee halve vlakken met een gemeenschappelijke grens A, die niet tot hetzelfde vlak behoren.

Rijst. 3. Halfvlakken

Laten we twee halfvlakken α en β bekijken (Fig. 3). Hun gemeenschappelijke grens is A. Deze figuur wordt een tweevlakshoek genoemd.

Terminologie

Halfvlakken α en β zijn de vlakken van een tweevlakshoek.

Direct A is een rand van een tweevlakshoek.

Op een gemeenschappelijke rand A tweevlakshoek, kies een willekeurig punt OVER(Afb. 4). In het halfvlak α vanaf het punt OVER de loodlijn herstellen OA naar een rechte lijn A. Vanaf hetzelfde punt OVER in het tweede halfvlak β construeren we een loodlijn OB naar de rand A. Ik heb een hoek AOB, die de lineaire hoek van de tweevlakshoek wordt genoemd.

Rijst. 4. Tweevlakshoekmeting

Laten we de gelijkheid van alle lineaire hoeken bewijzen voor een gegeven tweevlakshoek.

Laten we een tweevlakshoek nemen (Fig. 5). Laten we een punt kiezen OVER en periode O 1 op een rechte lijn A. Laten we een lineaire hoek construeren die overeenkomt met het punt OVER, d.w.z. we tekenen twee loodlijnen OA En OB in vlakken α en β respectievelijk naar de rand A. We snappen de hoek AOB- lineaire hoek van de tweevlakshoek.

Rijst. 5. Illustratie van bewijs

Vanaf punt O 1 laten we twee loodlijnen tekenen OA 1 En OB 1 naar de rand A in respectievelijk vlakken α en β en we verkrijgen de tweede lineaire hoek A 1 O 1 B 1.

Stralen O 1 EEN 1 En OA codirectioneel, omdat ze in hetzelfde halve vlak liggen en evenwijdig aan elkaar zijn als twee loodlijnen op dezelfde lijn A.

Zo ook stralen Ongeveer 1 op 1 En OB zijn mede-geregisseerd, wat betekent ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 als hoeken met zijden in dezelfde richting, wat moest worden bewezen.

Het vlak van de lineaire hoek staat loodrecht op de rand van de tweevlakshoek.

Bewijzen: A ⊥ AOB.

Rijst. 6. Illustratie van bewijs

Bewijs:

OA ⊥ A door constructie, OB ⊥ A door constructie (Fig. 6).

Wij vinden dat de lijn A loodrecht op twee snijdende lijnen OA En OB uit vliegtuig AOB, wat betekent dat het recht is A loodrecht op het vlak OAV, wat bewezen moest worden.

Een tweevlakshoek wordt gemeten aan de hand van de lineaire hoek. Dit betekent dat als er zoveel graden radialen in een lineaire hoek zitten, er hetzelfde aantal graden radialen in de tweevlakshoek zit. In overeenstemming hiermee worden de volgende soorten tweevlakshoeken onderscheiden.

Acuut (Fig. 6)

Een tweevlakshoek is scherp als de lineaire hoek ervan scherp is, d.w.z. .

Recht (Fig. 7)

Een tweevlakshoek is recht als de lineaire hoek 90° - Stomp is (Fig. 8)

Een tweevlakshoek is stomp als de lineaire hoek stomp is, d.w.z. .

Rijst. 7. Rechte hoek

Rijst. 8. Stompe hoek

Voorbeelden van het construeren van lineaire hoeken in reële figuren

abcD- tetraëder.

1. Construeer een lineaire hoek van een tweevlakshoek met een rand AB.

Rijst. 9. Illustratie voor het probleem

Bouw:

We hebben het over een tweevlakshoek, die wordt gevormd door de rand AB en randen ABD En abc(Afb. 9).

Laten we een directe maken DN loodrecht op het vlak abc, N- de basis van de loodlijn. Laten we een hellend teken tekenen DM loodrecht op een rechte lijn AB,M- hellende basis. Door de stelling van drie loodlijnen concluderen we dat de projectie van een schuine lijn is NM ook loodrecht op de lijn AB.

Dat wil zeggen, vanaf het punt M twee loodlijnen op de rand werden hersteld AB aan twee kanten ABD En abc. We hebben de lineaire hoek DMN.

Merk dat op AB, een rand van een tweevlakshoek, loodrecht op het vlak van de lineaire hoek, dat wil zeggen het vlak DMN. Het probleem is opgelost.

Opmerking. De tweevlakshoek kan als volgt worden aangegeven: Dabc, Waar

AB- rand en punten D En MET liggen aan verschillende kanten van de hoek.

2. Construeer een lineaire hoek van een tweevlakshoek met een rand AC.

Laten we een loodlijn tekenen DN naar het vliegtuig abc en geneigd DN loodrecht op een rechte lijn AC. Met behulp van de drie loodrechte stelling vinden we dat НN- schuine projectie DN naar het vliegtuig ABC, ook loodrecht op de lijn AC.DNH- lineaire hoek van een tweevlakshoek met een rand AC.

In een tetraëder Dabc alle randen zijn gelijk. Punt M- midden van de rib AC. Bewijs dat de hoek DMV- lineaire tweevlakshoek JIJD, dat wil zeggen een tweevlakshoek met een rand AC. Een van zijn gezichten is ACD, seconde - DIA(Afb. 10).

Rijst. 10. Illustratie voor het probleem

Oplossing:

Driehoek ADC- gelijkzijdig, DM- mediaan, en dus hoogte. Middelen, DM ⊥ AC. Zo ook driehoek AINC- gelijkzijdig, INM- mediaan, en dus hoogte. Middelen, VM ⊥ AC.

Vanaf het punt dus M ribben AC tweevlakshoek herstelde twee loodlijnen DM En VM naar deze rand in de vlakken van de tweevlakshoek.

Dus, ∠ DMIN is de lineaire hoek van de tweevlakshoek, wat bewezen moest worden.

We hebben dus de tweevlakshoek gedefinieerd, de lineaire hoek van de tweevlakshoek.

In de volgende les zullen we kijken naar de loodrechtheid van lijnen en vlakken, daarna zullen we leren wat een tweevlakshoek is aan de basis van figuren.

Referentielijst over het onderwerp "Tweevlakshoek", "Tweevlakshoek aan de basis van geometrische figuren"

1. Geometrie. Groepen 10-11: leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ill.
2. Geometrie. 10e leerjaar: leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs met diepgaande en gespecialiseerde studie van wiskunde /E. V. Potoskuev, L.I. Zvalich. - 6e editie, stereotype. - M.: Trap, 2008. - 233 p.: ill.

1. Yaklass.ru ().
2. E-wetenschap.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Huiswerk over het onderwerp "Tweevlakshoek", het bepalen van de tweevlakshoek aan de basis van figuren

Geometrie. Groepen 10-11: leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs (basis- en gespecialiseerd niveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e druk, gecorrigeerd en uitgebreid - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

Taken 2, 3 p.

Wat is een lineaire tweevlakshoek? Hoe het te bouwen?

abcD- tetraëder. Construeer een lineaire hoek van een tweevlakshoek met een rand:

A) IND B) DMET.

abcD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kubus Construeer de lineaire hoek van de tweevlakshoek Een 1ABC met rib AB. Bepaal de graadmaat.

Terug Vooruit

Aandacht! Diavoorbeelden zijn alleen voor informatieve doeleinden en vertegenwoordigen mogelijk niet alle kenmerken van de presentatie. Als u geïnteresseerd bent in dit werk, download dan de volledige versie.

Lesdoelen: het concept van een tweevlakshoek en zijn lineaire hoek introduceren;

Lesvoortgang

I. Organisatorisch moment.

Informeer over het onderwerp van de les, formuleer de doelstellingen van de les.

II. Kennis van leerlingen bijwerken (dia 2, 3).

1. Voorbereiding op het bestuderen van nieuw materiaal.

Hoe heet een hoek in een vlak?

Hoe wordt de hoek tussen lijnen in de ruimte genoemd?

Hoe heet de hoek tussen een rechte lijn en een vlak?

Geef de drie loodrechte stelling

III. Nieuw materiaal leren.

• Het concept van tweevlakshoek.

Een figuur gevormd door twee halve vlakken die door een rechte lijn MN gaan, wordt een tweevlakshoek genoemd (dia 4).

Halve vlakken zijn vlakken, rechte lijn MN is een rand van een tweevlakshoek.

Welke objecten in het dagelijks leven hebben de vorm van een tweevlakshoek? (Dia 5)

• De hoek tussen de vlakken АСН en СНD is de tweevlakshoek АСНD, waarbij СН een rand is. De punten A en D liggen op de vlakken van deze hoek. Hoek AFD is de lineaire hoek van de tweevlakshoek ACHD (dia 6).

• Algoritme voor het construeren van een lineaire hoek (dia 7).

1 manier. Neem op de rand een willekeurig punt O en teken loodlijnen naar dit punt (PO DE, KO DE) om de hoek ROK te verkrijgen - lineair.

Methode 2. Neem in een halfvlak punt K en laat er twee loodlijnen van naar een ander halfvlak en een rand (KO en KR) vallen, en vervolgens volgens de inverse TTP-stelling PODE

• Alle lineaire hoeken van een tweevlakshoek zijn gelijk (dia 8). Bewijs: stralen OA en O 1 A 1 zijn co-gericht, stralen OB en O 1 B 1 zijn ook co-gericht, hoeken BOA en B 1 O 1 A 1 zijn gelijk als hoeken met co-gerichte zijden.

• De graadmaat van een tweevlakshoek is de graadmaat van zijn lineaire hoek (dia 9).

IV. Consolidatie van het bestudeerde materiaal.

• Problemen oplossen (mondeling aan de hand van kant-en-klare tekeningen).

(Dia's 10-12)

1. RAVS – piramide; hoek ACB is gelijk aan 90°, rechte lijn PB staat loodrecht op vlak ABC. Bewijs dat hoek RSV een lineaire hoek is van een tweevlakshoek

2. RAVS - piramide; AB = BC, D is het midden van het lijnstuk AC, rechte lijn PB staat loodrecht op het vlak ABC. Bewijs dat hoek PDB een lineaire hoek is van een tweevlakshoek met kant AC.

• 3. PABCD – piramide; rechte lijn PB staat loodrecht op vlak ABC, BC staat loodrecht op DC. Bewijs dat hoek RKB een lineaire hoek is van een tweevlakshoek met zijde CD.

Taken voor het construeren van een lineaire hoek (dia's 13-14).

1. Construeer een lineaire hoek van een tweevlakshoek met een rand AC, als in de piramide RABC het vlak ABC een regelmatige driehoek is, O het snijpunt is van de medianen, de rechte lijn PO loodrecht staat op het vlak ABC

2. Gegeven een ruit ABCD. Rechte RS staat loodrecht op vlak ABCD.

• Construeer de lineaire hoek van een tweevlakshoek met zijde ВD en de lineaire hoek van een tweevlakshoek met zijde AD.

Computationele taak. (Dia 15)

In parallellogram ABCD is hoek ADC gelijk aan 120 0, AD = 8 cm,

DC = 6 cm, rechte RS staat loodrecht op vlak ABC, RS = 9 cm.

Zoek de grootte van de tweevlakshoek met rand AD en de oppervlakte van het parallellogram.

V. Huiswerk (dia 16).

Blz. 22, nr. 168, 171.

1. Gebruikte literatuur:
2. Geometrie 10-11 LSAtanasyan.