Het volume van een vierhoekige piramide. geometrische figuren

piramides

Beschouw een willekeurig vlak α, een willekeurig convex n-gon EEN 1 EEN 2 ... Een , gelegen in dit vlak, en een punt S dat niet in het vlak α ligt.

Definitie 1. Piramide ( n - steenkoolpiramide) noem de figuur gevormd door de segmenten die het punt S verbinden met alle punten van de veelhoek EEN 1 EEN 2 ... Een (Figuur 1) .

Opmerking 1. Bedenk dat de polygoon EEN 1 EEN 2 ... Een bestaat uit een gesloten onderbroken lijn EEN 1 EEN 2 ... Een en het deel van het vlak dat erdoor wordt begrensd.

Definitie 2.

Tetraëders. regelmatige tetraëders

Definitie 5. Een willekeurige driehoekige piramide wordt een tetraëder genoemd.

Uitspraak. Voor elke regelmatige driehoekige piramide staan ​​tegenoverliggende randen paarsgewijs loodrecht.

Een bewijs. Beschouw een regelmatige driehoekige piramide SABC en een paar van zijn tegenoverliggende randen, zoals AC en BS. Laat D het middelpunt van de rand AC aangeven. Aangezien de segmenten BD en SD medianen zijn in gelijkbenige driehoeken ABC en ASC, staan ​​BD en SD loodrecht op de rand AC (figuur 4).

waarbij de letter D het middelpunt van de rand AC aangeeft (Fig. 6).

Aan de hand van de stelling van Pythagoras uit de driehoek BSO vinden we

Antwoorden.

Formules voor volume, laterale en totale oppervlakte van een piramide

We introduceren de volgende notatie:

Dan is het volgende waar: formules voor het berekenen van het volume, de oppervlakte van de laterale en volledige oppervlakte van de piramide:

vierhoekige piramide Een veelvlak wordt een veelvlak genoemd waarvan de basis een vierkant is en alle zijvlakken zijn identieke gelijkbenige driehoeken.

Dit veelvlak heeft veel verschillende eigenschappen:

• Zijn laterale ribben en aangrenzende tweevlakshoeken zijn aan elkaar gelijk;
• De gebieden van de zijvlakken zijn hetzelfde;
• Aan de basis van een regelmatige vierhoekige piramide ligt een vierkant;
• De hoogte die vanaf de top van de piramide valt, snijdt met het snijpunt van de diagonalen van de basis.

Al deze eigenschappen maken het gemakkelijk te vinden. Vaak is het echter ook nodig om het volume van het veelvlak te berekenen. Gebruik hiervoor de formule voor het volume van een vierhoekige piramide:

Dat wil zeggen, het volume van de piramide is gelijk aan een derde van het product van de hoogte van de piramide en het gebied van de basis. Omdat het gelijk is aan het product van zijn gelijke zijden, voeren we onmiddellijk de formule voor het vierkante gebied in de volume-uitdrukking in.
Overweeg een voorbeeld van het berekenen van het volume van een vierhoekige piramide.

Geef een vierhoekige piramide met aan de basis een vierkant met zijde a = 6 cm Het zijvlak van de piramide is b = 8 cm Bepaal het volume van de piramide.

Om het volume van een gegeven veelvlak te vinden, hebben we de lengte van de hoogte nodig. Daarom zullen we het vinden door de stelling van Pythagoras toe te passen. Laten we eerst de lengte van de diagonaal berekenen. In de blauwe driehoek is dit de hypotenusa. Het is ook de moeite waard om te onthouden dat de diagonalen van het vierkant gelijk aan elkaar zijn en in tweeën zijn verdeeld op het snijpunt:


Nu vinden we uit de rode driehoek de hoogte die we nodig hebben h. Het zal gelijk zijn aan:

Vervang de vereiste waarden en vind de hoogte van de piramide:

Nu we de hoogte kennen, kunnen we alle waarden in de formule vervangen door het volume van de piramide en de vereiste waarde berekenen:

Dit is hoe we, met een paar eenvoudige formules, in staat waren om het volume van een regelmatige vierhoekige piramide te berekenen. Vergeet niet dat deze waarde wordt gemeten in kubieke eenheden.

Hier wordt basisinformatie verzameld over de piramides en gerelateerde formules en concepten. Ze worden allemaal bestudeerd met een docent wiskunde ter voorbereiding op het examen.

Beschouw een vlak, een polygoon erin liggend en een punt S die er niet in ligt. Verbind S met alle hoekpunten van de veelhoek. Het resulterende veelvlak wordt een piramide genoemd. De segmenten worden laterale randen genoemd. De veelhoek wordt de basis genoemd en het punt S wordt de top van de piramide genoemd. Afhankelijk van het getal n wordt de piramide driehoekig (n=3), vierhoekig (n=4), vijfhoekig (n=5) enzovoort genoemd. alternatieve naam driehoekige piramide - tetraëder. De hoogte van een piramide is de loodlijn getrokken van de top naar het basisvlak.

Een piramide heet correct als regelmatige veelhoek, en de basis van de hoogte van de piramide (de basis van de loodlijn) is het middelpunt.

Commentaar van de docent:
Verwar het concept van "gewone piramide" en "gewone tetraëder" niet. In een regelmatige piramide zijn de zijranden niet noodzakelijk gelijk aan de randen van de basis, maar in een regelmatige tetraëder zijn alle 6 randen van de randen gelijk. Dit is zijn definitie. Het is gemakkelijk te bewijzen dat de gelijkheid impliceert dat het middelpunt P van de veelhoek met een hoogtebasis, dus een regelmatige tetraëder is een regelmatige piramide.

Wat is een apothema?
Het apothema van een piramide is de hoogte van zijn zijvlak. Als de piramide regelmatig is, zijn alle apothema's gelijk. Het omgekeerde is niet waar.

Docent wiskunde over zijn terminologie: werken met piramides is voor 80% opgebouwd uit twee soorten driehoeken:
1) Met apothema SK en hoogte SP
2) Met de zijrand SA en de projectie PA

Om verwijzingen naar deze driehoeken te vereenvoudigen, is het handiger voor een wiskundeleraar om de eerste ervan te noemen apothemisch, en ten tweede ribben. Helaas vind je deze terminologie in geen van de leerboeken terug en moet de docent deze eenzijdig introduceren.

Piramide volume formule:
1), waar is het gebied van de basis van de piramide, en is de hoogte van de piramide
2) , waar is de straal van de ingeschreven bol, en is het totale oppervlak van de piramide.
3) , waarbij MN de afstand is van twee elkaar kruisende randen, en het gebied van het parallellogram dat wordt gevormd door de middelpunten van de vier resterende randen.

Piramide Hoogte Basiseigenschap:

Punt P (zie afbeelding) valt samen met het middelpunt van de ingeschreven cirkel aan de basis van de piramide als aan een van de volgende voorwaarden is voldaan:
1) Alle apothema's zijn gelijk
2) Alle zijvlakken zijn gelijk hellend naar de basis
3) Alle apothema's zijn even geneigd tot de hoogte van de piramide
4) De hoogte van de piramide is gelijk hellend naar alle zijvlakken

Commentaar van de wiskundeleraar: merk op dat alle items door één zijn verenigd gemeenschappelijk bezit: op de een of andere manier doen zijvlakken overal mee (apothemen zijn hun elementen). Daarom kan de docent een minder nauwkeurige, maar handiger formulering voor het onthouden bieden: het punt P valt samen met het middelpunt van de ingeschreven cirkel, de basis van de piramide, als er gelijke informatie is over de zijvlakken. Om het te bewijzen, volstaat het om aan te tonen dat alle apothemische driehoeken gelijk zijn.

Het punt P valt samen met het middelpunt van de omgeschreven cirkel nabij de basis van de piramide, als een van de drie voorwaarden waar is:
1) Alle zijranden zijn gelijk
2) Alle zijribben hellen gelijkelijk naar de basis toe
3) Alle zijribben zijn gelijk hellend ten opzichte van de hoogte

Wanneer een persoon het woord "piramide" hoort, herinnert hij zich onmiddellijk de majestueuze Egyptische structuren. De oude stenen reuzen zijn echter slechts een van de vertegenwoordigers van de piramideklasse. In dit artikel bekijken we vanuit geometrisch oogpunt de eigenschappen van een regelmatige vierhoekige piramide.

Wat is een piramide in het algemeen?

In de meetkunde wordt het opgevat als een driedimensionale figuur, die kan worden verkregen door alle hoekpunten van een platte veelhoek te verbinden met één enkel punt dat in een ander vlak ligt dan deze veelhoek. Onderstaande figuur toont 4 cijfers die voldoen aan deze definitie.

We zien dat de eerste figuur een driehoekige basis heeft, de tweede een vierhoekige. De laatste twee worden weergegeven door een vijf- en zeshoekige basis. Echter zijvlak Alle piramides worden gevormd door driehoeken. Hun aantal is exact gelijk aan het aantal zijden of hoekpunten van de veelhoek aan de basis.

Een speciaal type piramides, die in perfecte symmetrie van andere vertegenwoordigers van de klasse verschillen, zijn regelmatige piramides. Om de afbeelding correct te laten zijn, moet aan de volgende twee voorwaarden worden voldaan:

• de basis moet een regelmatige veelhoek zijn;
• het zijvlak van de figuur moet bestaan ​​uit gelijke gelijkbenige driehoeken.

Merk op dat de tweede verplichte voorwaarde kan worden vervangen door een andere: de loodlijn die vanaf de bovenkant van de piramide naar de basis wordt getrokken (het snijpunt van de zijdriehoeken) moet deze basis in zijn geometrische middelpunt snijden.

Laten we nu verder gaan met het onderwerp van het artikel en bekijken welke eigenschappen van een regelmatige vierhoekige piramide het kenmerken. Laten we eerst in de figuur laten zien hoe deze figuur eruit ziet.

De basis is een vierkant. De zijden stellen 4 identieke gelijkbenige driehoeken voor (ze kunnen ook gelijkzijdig zijn met een bepaalde verhouding tussen de lengte van de zijde van het vierkant en de hoogte van de figuur). De hoogte die vanaf de top van de piramide wordt verlaagd, snijdt het vierkant in het midden (het snijpunt van de diagonalen).

Deze piramide heeft 5 vlakken (een vierkant en vier driehoeken), 5 hoekpunten (waarvan er vier bij de basis horen) en 8 randen. van de vierde orde, die door de hoogte van de piramide gaat, vertaalt deze in zichzelf door 90o te draaien.

Piramides van Egypte in Giza zijn regelmatig vierhoekig.

Vier fundamentele lineaire parameters:

Laten we beginnen met de overweging van de wiskundige eigenschappen van een regelmatige vierhoekige piramide met de formules voor hoogte, lengte van de zijkant van de basis, zijkant en apothema. Laten we meteen zeggen dat al deze grootheden aan elkaar gerelateerd zijn, dus het is voldoende om er slechts twee te kennen om de resterende twee ondubbelzinnig te berekenen.

Stel dat de hoogte h van de piramide en de lengte a van de zijde van de vierkante basis bekend zijn, dan is de zijrand b gelijk aan:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Nu geven we de formule voor de lengte a b van het apothema (de hoogte van de driehoek, verlaagd naar de zijkant van de basis):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Het is duidelijk dat de zijrand b altijd groter is dan het apothema a b .

Beide uitdrukkingen kunnen worden gebruikt om alle vier lineaire kenmerken te bepalen als de andere twee parameters bekend zijn, bijvoorbeeld a b en h.

Oppervlakte en volume van een figuur

Dit zijn nog twee belangrijke eigenschappen van een regelmatige vierhoekige piramide. De basis van de figuur heeft het volgende gebied:

Elke leerling kent deze formule. Het gebied van het zijoppervlak, dat wordt gevormd door vier identieke driehoeken, kan als volgt worden bepaald door het apothema a b van de piramide:

Als a b onbekend is, dan kan deze bepaald worden met de formules uit de vorige alinea door de hoogte h of de rand b.

Het totale oppervlak van de beschouwde figuur is de som van de gebieden S o en S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Het berekende gebied van alle vlakken van de piramide wordt in de onderstaande afbeelding weergegeven als zijn zwaai.

De beschrijving van de eigenschappen van een regelmatige vierhoekige piramide is niet compleet als u de formule voor het bepalen van het volume niet in overweging neemt. Deze waarde voor de beschouwde piramide wordt als volgt berekend:

Dat wil zeggen, V is gelijk aan het derde deel van het product van de hoogte van de figuur en het gebied van de basis.

Eigenschappen van een regelmatige afgeknotte vierhoekige piramide

Je kunt dit figuur uit de originele piramide halen. Hiervoor moet je knippen bovenste deel vliegtuig piramides. De figuur die onder het snijvlak achterblijft, wordt een afgeknotte piramide genoemd.

Het is het gemakkelijkst om de kenmerken van een afgeknotte piramide te bestuderen als de bases evenwijdig aan elkaar zijn. In dit geval zullen de onderste en bovenste basen vergelijkbare polygonen zijn. Omdat in een vierhoekige rechter piramide de basis is een vierkant, dan zal de sectie die tijdens het snijden wordt gevormd ook een vierkant zijn, maar van een kleinere afmeting.

Het zijoppervlak van de afgeknotte figuur wordt niet gevormd door driehoeken, maar door gelijkbenige trapezoïden.

Een van de belangrijke eigenschappen van deze piramide is het volume, dat wordt berekend met de formule:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Hier is h de afstand tussen de basissen van de figuur, S o1, S o2 zijn de gebieden van de onderste en bovenste basis.