Perbandingan fungsi sangat kecil dan besar tak terhingga. Fungsi tak terhingga Kesetaraan yang luar biasa dalam 12 perbandingan fungsi sangat kecil

Apa fungsi kecil tak terbatas?

Namun, suatu fungsi dapat menjadi sangat kecil hanya pada titik tertentu. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1, fungsinya sangat kecil hanya di titik 0.

Gambar 1. Fungsi yang sangat kecil

Jika limit hasil bagi dua fungsi menghasilkan 1, fungsi-fungsi tersebut dikatakan ekivalen sangat kecil ketika x mendekati a.

\[\mathop(\lim )\limits_(x\ke a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Definisi

Jika fungsi f(x), g(x) sangat kecil untuk $x > a$, maka:

• Fungsi f(x) disebut orde lebih tinggi yang sangat kecil terhadap g(x) jika kondisi berikut dipenuhi:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\ke a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
• Fungsi f(x) disebut sangat kecil berorde n terhadap g(x) jika berbeda dari 0 dan limitnya berhingga:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\ke a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]

Contoh 1

Fungsi $y=x^3$ adalah orde tertinggi yang sangat kecil untuk x>0, dibandingkan dengan fungsi y=5x, karena limit rasionya adalah 0, ini dijelaskan oleh fakta bahwa fungsi $y=x ^3$ cenderung bernilai nol lebih cepat:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\ke 0 )x=0\]

Contoh 2

Fungsi y=x2-4 dan y=x2-5x+6 adalah sangat kecil dengan orde yang sama untuk x>2, karena limit rasionya tidak sama dengan 0:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ ke 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2 ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]

Sifat-sifat dari infinitesimal ekuivalen

1. Selisih dari dua infinitsimal ekivalen adalah infinitsimal orde yang lebih tinggi terhadap masing-masingnya.
2. Jika kita membuang orde yang lebih tinggi yang sangat kecil dari jumlah beberapa orde yang berbeda sangat kecil, maka bagian yang tersisa, yang disebut bagian utama, setara dengan seluruh jumlah.

Ini mengikuti dari properti pertama bahwa infinitesimal setara dapat menjadi kira-kira sama dengan kesalahan relatif kecil yang sewenang-wenang. Oleh karena itu, tanda digunakan baik untuk menyatakan ekuivalensi dari infinitesimal maupun untuk menuliskan persamaan perkiraan dari nilai-nilainya yang cukup kecil.

Ketika menemukan limit, sangat sering diperlukan untuk menggunakan perubahan fungsi ekivalen untuk kecepatan dan kemudahan perhitungan. Tabel dari infinitesimal ekuivalen disajikan di bawah ini (Tabel 1).

Kesetaraan dari infinitesimal yang diberikan dalam tabel dapat dibuktikan berdasarkan persamaan:

\[\mathop(\lim )\limits_(x\ke a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]

Tabel 1

Contoh 3

Mari kita buktikan ekivalensi dari ln(1+x) dan x yang sangat kecil.

Bukti:

1. Tentukan limit perbandingan besaran
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
2. Untuk melakukan ini, kami menggunakan properti logaritma:
\[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
3. Mengetahui bahwa fungsi logaritma kontinu dalam domain definisinya, Anda dapat menukar tanda limit dan fungsi logaritmik:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ Baik)\]
4. Karena x adalah nilai yang sangat kecil, limitnya cenderung ke 0. Jadi:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\ke 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ kanan)=\ln e=1\]

(menerapkan batas luar biasa kedua)

Seperti yang telah ditunjukkan, jumlah, perbedaan, dan produk dari fungsi sangat kecil adalah sangat kecil, tetapi hal yang sama tidak dapat dikatakan tentang hasil bagi: membagi satu sangat kecil dengan yang lain dapat memberikan hasil yang berbeda.

Misalnya, jika a(x) = 2x, p(x) = 3x, maka

Jika a (x) \u003d x 2, P (n;) \u003d x 3, maka

Adalah bijaksana untuk memperkenalkan aturan untuk membandingkan fungsi yang sangat kecil menggunakan terminologi yang sesuai.

Biarkan di X -» sebuah fungsi a(x) dan p(.v) sangat kecil. Kemudian varian perbandingan berikut ini dibedakan, tergantung pada nilainya Dengan batas poin sebuah hubungan mereka:

• 1. Jika Dengan= I, maka a(x) dan P(x) ekivalen infinitesimals: a(x) - p(x).
• 2. Jika Dengan= 0, maka a(x) adalah orde terkecil yang lebih tinggi dari p(x) (atau memiliki orde kekecilan yang lebih tinggi).
• 3. Jika Dengan = d* 0 (d- nomor), maka Oh) dan P(x) adalah infinitesimal dengan orde yang sama.

Seringkali tidak cukup untuk mengetahui bahwa satu sangat kecil dalam kaitannya dengan yang lain adalah sangat kecil dari orde kekecilan yang lebih tinggi, kita juga harus memperkirakan besarnya orde ini. Oleh karena itu, aturan berikut digunakan.

4. Jika Mm - - =d*0, maka a(x) adalah orde ke-n yang sangat kecil terhadap

duduk P(x). Dalam hal ini, gunakan simbol oh oh kecil"): a(x) = o(P(x)).

Kami mencatat bahwa aturan analog untuk membandingkan fungsi sangat kecil berlaku untuk x -> oo, X-» -oo, X-> +">, serta dalam kasus batas satu sisi di x -" sebuah kiri dan kanan.

Satu properti penting berikut dari aturan perbandingan:

maka limit lim juga ada 1 , dan kedua batas ini sama.

Dalam beberapa kasus, asersi yang terbukti menyederhanakan perhitungan limit dan membuat estimasi.

Mari kita lihat beberapa contoh.

1. fungsi dosa X dan X pada X-» 0 setara dengan sangat kecil berdasarkan limit (8.11), t.s. pada X -> 0 dosa X ~ X.

Memang, kami memiliki:

• 2. fungsi dosa kx dan dosa X adalah, sebagai q: -> 0, sangat kecil dari orde yang sama, karena
• 3. Fungsi a(x) = cos ah- karena bx (a * b) berada pada X-» 0 sangat kecil dari orde kedua kekecilan sehubungan dengan v sangat kecil, karena

Contoh 7. Temukan lim

*-+° x + x"

Larutan. Sejak dosa kx ~ kx dan X + x 2 ~ X:

Perbandingan fungsi yang sangat besar

Untuk fungsi yang sangat besar, aturan perbandingan serupa juga terjadi, dengan satu-satunya perbedaan bahwa untuk mereka, alih-alih istilah "urutan kecil", istilah "urutan pertumbuhan" digunakan.

Mari kita jelaskan apa yang telah dikatakan dengan contoh.

1. Fungsi f(x) = (2 + x)/x dan g(x) = 2/x pada X-» 0 setara dengan besar tak terhingga, karena

Data Fungsi /(X) dan #(*) memiliki urutan pertumbuhan yang sama.

2. Bandingkan urutan pertumbuhan fungsi f(x) = 2x?+ aku dan g(x)= x 3 + X pada X-> mengapa kami menemukan batas rasio mereka:

Dari sini dapat disimpulkan bahwa fungsi g(x) memiliki orde pertumbuhan yang lebih tinggi daripada fungsi /(x).

3. Besar tak hingga x -» °o fungsi / (x) \u003d 3x 3 + X dan #(x) = x 3 - 4x 2 memiliki orde pertumbuhan yang sama, karena

4. Fungsi / (x) \u003d x 3 + 2x + 3 sangat besar untuk x - "

orde ketiga sehubungan dengan fungsi yang sangat besar g(x) = x - I, karena

Membiarkan sebuah(x) dan b(x) – bm berfungsi di x® sebuah (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Pertimbangkan batas rasio mereka di x® sebuah.

1. Jika = b dan b- nomor akhir b 0, maka fungsi sebuah(x), b(x) disebut sangat kecil satu urutan besarnya pada x® sebuah.

2. Jika = 0, maka sebuah(x) disebut sangat kecil urutan yang lebih tinggi , bagaimana b(x) pada x® sebuah. Jelas, dalam hal ini = .

3. Jika sebuah(x) – bm urutan lebih tinggi dari b(x), dan = b¹ 0 ( b- nomor akhir kÎ N ), kemudian sebuah(x) disebut sangat kecil k-urutan dibandingkan dengan b(x) pada x® sebuah.

4. Jika tidak ada (tidak terbatas atau tidak terbatas), maka sebuah(x), b(x) disebut tak tertandingi b.m. pada x® sebuah.

5. Jika = 1, maka sebuah(x), b(x) disebut setara b.m. pada x® sebuah, yang dilambangkan sebagai berikut: sebuah(x) ~ b(x) pada x® sebuah.

Contoh 1. sebuah(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .

Jelas bahwa pada x® 1 fungsi sebuah(x), b(x) adalah b.m. Untuk membandingkannya, kami menemukan batas rasio mereka di x® 1:

Kesimpulan: sebuah(x b(x) pada x® 1.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa = (pastikan!), dari mana berikut ini sebuah(x) – bm Urutan ke-3 kekecilan, dibandingkan dengan b(x) pada x® 1.

Contoh 2. Fungsi sebuah 1 (x) = 4x, sebuah 2 (x) = x 2 , sebuah 3 (x) = sin x, sebuah 4 (x) = tg x sangat kecil untuk x® 0. Bandingkan mereka:

0, , = 1, = .

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa sebuah 2 (x) = x 2 - b.m. urutan lebih tinggi dari sebuah 1 (x) dan sebuah 3 (x) (pada x® 0), sebuah 1 (x) dan sebuah 3 (x) – bm satu pesanan, sebuah 3 (x) dan sebuah 4 (x) adalah setara b.m., yaitu dosa x~tg x pada x® 0.

Teorema 1. Membiarkan sebuah(x) ~ sebuah 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) pada x® sebuah. Jika ada , maka ada dan , dan = .

Bukti. = 1, = 1,

= = .

Teorema ini mempermudah pencarian limit.

Contoh 3.

Berdasarkan batas luar biasa pertama dari sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3x pada x® 0, jadi

Teorema 2. Fungsi yang sangat kecil sebuah(x) dan b(x) setara (untuk x® sebuah) jika dan hanya jika sebuah(x) – b(x) adalah b.m. urutan lebih tinggi dari sebuah(x) dan b(x) (pada x® sebuah).

Bukti

Membiarkan sebuah(x) ~ b(x) pada x® sebuah. Kemudian = = 0, yaitu perbedaan sebuah(x) – b(x sebuah(x) di at x® sebuah(mirip dengan b(x)).

Membiarkan sebuah(x) – b(x) – bm urutan lebih tinggi dari sebuah(x) dan b(x), kami akan menunjukkan bahwa sebuah(x) ~ b(x) pada x® sebuah:

= = + = 1,

Uji

Disiplin: Matematika tingkat tinggi

Topik: Batas. Perbandingan infinitesimal

1. Batas urutan nomor

2. Batas fungsi

3. Batas luar biasa kedua

4. Perbandingan besaran-besaran yang sangat kecil

literatur

1. Batas urutan nomor

Solusi dari banyak masalah matematika dan terapan mengarah ke urutan angka yang diberikan dengan cara tertentu. Mari kita cari tahu beberapa properti mereka.

Definisi 1.1. Jika setiap bilangan asli

Berdasarkan Definisi 1, jelas bahwa barisan numerik selalu mengandung jumlah elemen yang tidak terbatas. Studi tentang berbagai urutan numerik menunjukkan bahwa ketika jumlahnya meningkat, anggotanya berperilaku berbeda. Mereka dapat bertambah atau berkurang tanpa batas, mereka dapat terus-menerus mendekati angka tertentu atau tidak menunjukkan keteraturan sama sekali.

Definisi 1.2. Nomor

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen. Dalam hal ini, tulis

Jelas, untuk memperjelas pertanyaan tentang konvergensi barisan numerik, perlu untuk memiliki kriteria yang hanya akan didasarkan pada sifat-sifat elemennya.

Teorema 1.1.(Teorema Cauchy tentang konvergensi barisan numerik). Agar barisan numerik konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk sembarang bilangan

Bukti. Membutuhkan. Diketahui barisan bilangan

Oleh karena itu berikut ini

Kecukupan. Mengingat bahwa

Mari kita ambil sewenang-wenang

Oleh karena itu berikut ini