Konsep himpunan bagian. hubungan inklusi

Pelajaran dan presentasi tentang topik: "Set dan himpunan bagian, contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 9
Buku teks multimedia untuk kelas 9 "Aljabar dalam 10 menit"
Buku teks elektronik untuk siswa di kelas 7-9 "Aljabar yang Dapat Dimengerti"

Himpunan dan himpunan bagian

Jadi apa itu banyak?
Himpunan berhubungan dengan cabang khusus dari teori himpunan matematika. Himpunan merupakan salah satu konsep utama dan fundamental. Itu tidak memiliki definisi, tetapi mari kita coba memahami apa itu himpunan? Himpunan adalah kumpulan dari elemen yang berbeda, mereka dapat dihitung, dikelompokkan. Contoh himpunan adalah huruf-huruf abjad – himpunan yang terdiri dari 33 unsur. Banyak apel di pohon - tentu saja jumlah apel di pohon, dan itu bisa dihitung dan diberi nomor. Ada banyak contoh himpunan. Cobalah untuk membuat contoh sendiri.
Dalam matematika, himpunan dilambangkan dengan kurung kurawal (,). Misalnya, himpunan lima huruf pertama dari alfabet Inggris akan dilambangkan seperti ini: (A, B, C, D, E). Jika Anda menulis set ini dalam urutan yang berbeda, itu tidak akan berubah.
Matematika adalah subjek yang sangat menarik sehingga kita memiliki konsep himpunan kosong dan himpunan tak hingga. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen tunggal, dilambangkan tanpa tanda kurung dan menggunakan simbol . Himpunan tak hingga, mungkin jelas dari namanya, adalah himpunan di mana jumlah elemen tak terbatas, misalnya, himpunan semua bilangan.
Himpunan dapat dideskripsikan dengan kata-kata yang berbeda, misalnya (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) adalah himpunan bilangan genap dua angka. Elipsis digunakan ketika ada banyak elemen dan sulit untuk menuliskan semuanya, tetapi pada saat yang sama, catatan himpunan harus dapat dipahami, dan dari itu dapat ditentukan jenis himpunan apa ini.
$ \(x|-2

Ada sebutan khusus untuk set. Misalnya, untuk himpunan bilangan asli. Teman-teman, apakah Anda ingat bagaimana himpunan ini dilambangkan?
Tanda khusus $ϵ$ digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu elemen termasuk dalam himpunan. Tulis $2 \(2,4,6,8... \)$. Bunyinya seperti ini: "Dua milik himpunan bilangan genap."

Contoh.
Beberapa himpunan terdiri dari akar-akar persamaan $x^3+3x^2+2x=0$. Temukan elemen-elemen dari himpunan ini dan buatlah daftar semua kemungkinan pengaturan untuk elemen-elemen tersebut.

Larutan.
Mari kita selesaikan persamaannya, keluarkan x dari tanda kurung:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Kemudian solusi dari persamaan kita: $x=0;-2;-1$ - ini adalah elemen dari himpunan yang diinginkan.
Mari kita tuliskan opsi yang memungkinkan untuk pengaturan elemen:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Contoh.
Menjelaskan kumpulan data.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10 \) \\ b) \(1,8,27,64 ... \)$
Larutan.
a) Himpunan bilangan asli dari 1 sampai 10.
b) Himpunan semua nilai kubus bilangan asli.

Contoh.
Setelah menyelesaikan pertidaksamaan, tulis solusinya sebagai interval numerik:

A) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
Larutan.
a) $x^2+1>0$ lebih besar dari nol untuk semua x. Kemudian interval numerik akan ditulis dalam bentuk: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

Subset

Jangan lupa bahwa himpunan kosong juga merupakan subset dari himpunan kita. Kemudian kita mendapatkan bahwa kita memiliki 3+3+1+1=8 himpunan bagian.

Tugas untuk solusi independen

Definisi:

Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek yang disebut elemen-elemennya.

Jika sebuah X- sebuah elemen dari himpunan M, maka dilambangkan: x M ( x - milik M), jika tidak, maka x M; Himpunan yang tidak memiliki elemen disebut kosong dan dilambangkan dengan

Himpunan yang berisi semua elemen yang dipertimbangkan disebut universal atau universum dan dilambangkan dengan -

. Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang sama disebut sama dan dilambangkan dengan A = B.

Jika salah satu anggota himpunan B adalah anggota himpunan A, maka himpunan B disebut himpunan bagian dari himpunan A (bagian dari himpunan A) dan dinotasikan B A; Oleh karena itu, setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri.

Menurut definisi, himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sembarang himpunan. Itu. Setiap himpunan A memiliki dua himpunan bagian:

Mereka disebut himpunan bagian tak wajar dari himpunan A. Setiap himpunan B dari himpunan A yang bukan merupakan himpunan bagian tak wajar dari A (yaitu, mereka berbeda dari A dan ) dan disebut himpunan bagian sejati dari himpunan bagian A. Himpunan satu elemen a dilambangkan dengan (a).

Contoh: A = (1;2;3) maka himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri merupakan himpunan bagian tak wajar dari A.

Himpunan: (1), (2), (3), (1; 2), (1; 3), (2; 3) disebut himpunan bagian sejati dari himpunan A. Himpunan semua himpunan A disebut himpunan bagiannya. boolean dan dilambangkan - 2 A; B A, berarti B A, B A. Dalam hal ini, B dikatakan benar-benar termasuk dalam A atau B adalah himpunan bagian diri dari A;

Dalam kasus B A, B = A, dikatakan bahwa B bukan penyertaan ketat dalam A, yaitu, B adalah himpunan bagian tak wajar dari A.

Simbol logika dasar

XP(x) adalah quantifier umum (artinya “untuk setiap x,

XP(x) adalah quantifier eksistensial (artinya "ada x yang dimiliki oleh P(x)".)

P Q adalah sebuah implikasi (“Dari P mengikuti Q”)

- kesetaraan ("jika dan hanya kemudian")

P Q – konjungsi (“P dan Q”)

P Q – disjungsi (“P atau Q”)

Bukan R atau - negasi dari R

:= - simbol penugasan (“menempatkan”)

def – (“ditetapkan menurut definisi”)

Dengan menggunakan simbol-simbol ini, Anda dapat menulis:

1) (A = B) (( x A x B) ( x ∈ B x A)

2) (A B) ( x/x A x B)

3) (A = B) (B A A⊂ B)

Menentukan set

Pencacahan unsur: M: = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ; ...; a n )

atau properti karakteristik P(x)

(predikat): M: = ( x | P(x) )

Sebagai contoh:

1) B = ( x N | x< 3} означает, что В= { 1; 2}

2) A =( x N | x +1=5) artinya A = (4)

3) B = ( N | M5) atau (5;10;15…)

itu. ( x | P(x) ) berarti bahwa himpunan elemen x dari himpunan memiliki properti P(x)

4) M = ( x N | x 3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Operasi pada set

Operasi berikut pada set dipertimbangkan:

sepuluh. Kesatuan himpunan A dan B

kamu

A B = ( x/x A atau x B) – yaitu. terdiri dari unsur-unsur yang termasuk paling sedikit satu himpunan A atau B.

dua puluh . Irisan himpunan A dan B.

A∩B = (x/x A dan x B) – yaitu, terdiri dari unsur-unsur yang termasuk dalam A dan B secara bersamaan.

3. Selisih himpunan A dan B

A/B = (x/x A dan x B) – yaitu. terdiri dari unsur-unsur A yang bukan milik B.

4º. Beda simetris A dan B (atau jumlah ring A dan B)

A B = (x/x A dan x B) (x/x B dan x A) atau (A\B B\A)

5º. Melengkapi A ke alam semesta

= U\A = (x|x Uux dan x A)

Setel produk

Perkalian langsung (Cartesian) dari dua himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut, di mana elemen I dari himpunan A, elemen II dari himpunan B, yaitu A×B = ((a, c)/a A v B)

Contoh: A \u003d (2; 5; 7; 9) dan B \u003d (2; 4; 7),

Maka A×B = ((2.2) ; (2.4) ; (2.7) ; (5.2) ; (5.4) ; (5.7) ; (7.2) ; (7 ,4) ;(7.7) ;(9.2) ;(9.4 );(9.7))

A∩B=(2,7); A∪B=(2,4,5,7,9); A/B=(5.9); B/A=(4); =(4,5,9)

Unsur-unsur himpunan A × B disebut titik; Dalam suatu pasangan (x, y), absisnya adalah x dan ordinatnya adalah y dari titik yang bersesuaian dengan pasangan ini.

Himpunan titik pada bidang adalah produk langsung dari bentuk R×R=R 2 , di mana R adalah himpunan bilangan real.

R2 disebut Persegi Cartesian di R.

Elemen teori graf

"Dibawah banyak kita memahami penyatuan menjadi satu kesatuan objek tertentu yang cukup dapat dibedakan dari intuisi atau pemikiran kita" - ini adalah bagaimana Georg Cantor, pendiri teori himpunan, menggambarkan konsep "set".
Premis dasar teori himpunan Cantor bermuara pada hal berikut:
1° Himpunan dapat terdiri dari objek-objek yang dapat dibedakan.
2° Suatu himpunan secara unik ditentukan oleh himpunan objek-objek penyusunnya.
3° Setiap properti mendefinisikan satu set objek yang memiliki properti ini.

Jika x adalah objek, P adalah properti, P(x) adalah sebutan yang x memiliki properti P, maka (x|P(x)) menunjukkan seluruh kelas objek yang memiliki properti P. Objek yang membentuk a kelas atau himpunan disebut elemen kelas atau himpunan.

Syarat " banyak" digunakan sebagai sinonim untuk konsep totalitas, koleksi, kumpulan beberapa elemen. Jadi, kita dapat berbicara tentang:
a) banyak lebah dalam sarang,
b) satu set titik pada segmen,
c) himpunan simpul bujur sangkar atau himpunan sisi dan diagonalnya,
d) banyak siswa di kelas, dll.
Dalam contoh di atas, dalam kasus a), c)-d), himpunan yang bersesuaian terdiri dari sejumlah objek tertentu, himpunan seperti itu disebut terakhir. Himpunan titik segmen (contoh b)) tidak dapat dihitung, oleh karena itu himpunan tersebut disebut tak berujung. Himpunan yang tidak mengandung unsur disebut kosong banyak.

Bentuk paling sederhana dari himpunan adalah pencacahan elemen-elemennya, misalnya A=(4, 7, 13) (kumpulan A terdiri dari tiga elemen — bilangan bulat 4, 7, 13). Bentuk penugasan lain yang sering digunakan adalah menentukan sifat-sifat elemen himpunan, misalnya A = (x| x^2 4) adalah himpunan bilangan x yang memenuhi kondisi yang ditentukan.

Himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C, ...., dan unsur-unsurnya dengan huruf kecil: a, b, c, ... Penulisan a A (baca: a milik A) atau A a (baca: A mengandung a) artinya , bahwa a adalah anggota dari himpunan A. Himpunan kosong dilambangkan dengan .

Jika setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A, maka himpunan B disebut himpunan bagian himpunan A (dilambangkan B A atau A B).

Setiap himpunan adalah himpunan bagiannya sendiri (ini adalah himpunan bagian "terluas" dari himpunan). Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan mana pun (ini adalah himpunan bagian "tersempit"). Setiap subset lain dari himpunan A berisi setidaknya satu elemen dari himpunan A, tetapi tidak semua elemennya. Subset seperti itu disebut subset benar atau tepat. Untuk himpunan bagian sejati dari himpunan A, digunakan notasi B A atau A B. Jika B A dan A B, yaitu setiap anggota himpunan B adalah milik A, dan pada saat yang sama setiap anggota A milik B, maka A dan B , jelas, terdiri dari unsur-unsur yang sama dan, oleh karena itu, bertepatan. Dalam hal ini, tanda persamaan himpunan digunakan: A = B. (Simbol , , , , , disebut simbol inklusi).

Secara geometris, himpunan biasanya digambarkan sebagai beberapa himpunan titik pada bidang. Dalam setiap masalah yang berarti, seseorang biasanya mempertimbangkan himpunan bagian dari beberapa himpunan U "terbesar", yang disebut himpunan universal. Jadi, dalam gambar. Gambar 1 menunjukkan himpunan semesta U dan dua himpunan bagiannya, himpunan A dan B, B A. 1 dipanggil diagram Euler-Venn.

Dalam matematika, konsep himpunan adalah salah satu hal yang mendasar, mendasar, tetapi tidak ada definisi tunggal tentang himpunan. Salah satu definisi himpunan yang paling mapan adalah sebagai berikut: himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dan berbeda yang dapat dianggap sebagai keseluruhan. Pencipta teori himpunan, matematikawan Jerman Georg Cantor (1845-1918), mengatakan: "Satu himpunan adalah banyak hal yang kita pikirkan secara keseluruhan."

Sudahkah Anda makan siang hari ini? Sekarang rahasia yang mengerikan akan terungkap. Makan malam adalah satu set. Yaitu, banyak hidangan yang dikandungnya. Di dalamnya (sebagai aturan) tidak ada hidangan yang identik, dan di set semua elemen harus berbeda. Dan, jika untuk makan siang Anda memiliki salad yang sama dengan untuk sarapan, maka salad ini adalah gabungan dari set "Makan Siang" dan "Sarapan".

Lihatlah sebuah buku yang tergeletak di atas meja atau berdiri di atas rak. Halamannya banyak. Semua halaman di dalamnya berbeda satu sama lain, setidaknya berdasarkan angka.

Bagaimana dengan jalan tempat Anda tinggal? Ini adalah kumpulan dari banyak objek yang berbeda, tetapi ada banyak rumah yang terletak di jalan ini. Oleh karena itu, himpunan rumah adalah himpunan bagian dari himpunan "Jalan".

Jadi, kami telah mempertimbangkan tidak hanya contoh himpunan, tetapi juga contoh operasi pada himpunan - persimpangan, serta hubungan penyertaan subset dalam himpunan. Semua konsep ini akan dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

Namun untuk saat ini, satu lagi contoh pertimbangan praktis himpunan.

Sebagai tipe data, set telah terbukti sangat nyaman untuk memprogram situasi kehidupan yang kompleks, karena set dapat secara akurat memodelkan objek dunia nyata dan secara kompak menampilkan hubungan logis yang kompleks. Set digunakan dalam bahasa pemrograman Pascal dan kami akan menganalisis salah satu contoh solusi di bawah ini.

Contoh 0 (Pascal). Ada satu set produk yang dijual di beberapa toko di kota. Tentukan: produk apa yang tersedia di semua toko di kota; berbagai produk di kota.

Larutan. Kami mendefinisikan tipe data dasar Makanan (produk), dapat mengambil nilai yang sesuai dengan nama produk (misalnya, hleb). Kami mendeklarasikan jenis himpunan, itu mendefinisikan semua himpunan bagian yang terdiri dari kombinasi nilai tipe dasar, yaitu Makanan (produk). Dan kami membentuk himpunan bagian: toko "Solnyshko", "Veterok", "Spark", serta himpunan bagian turunan: MinFood (produk yang tersedia di semua toko), MaxFood (satu set lengkap produk di kota). Selanjutnya, kami menulis operasi untuk mendapatkan himpunan bagian turunan. Subset MinFood diperoleh sebagai hasil dari perpotongan himpunan bagian Solnyshko, Veterok dan Ogonyok dan mencakup elemen-elemen dari himpunan bagian ini yang termasuk dalam masing-masing himpunan bagian ini (dalam Pascal, operasi perpotongan himpunan dilambangkan dengan tanda bintang: A * B * C, notasi matematika dari persimpangan set diberikan di bawah ini). Subset MaxFood diperoleh dengan menggabungkan subset yang sama dan termasuk elemen yang termasuk dalam semua subset (dalam Pascal, operasi penggabungan set dilambangkan dengan tanda plus: A + B + C, notasi matematika dari gabungan set diberikan di bawah).

Kode PASCAL

Toko Program; jenis Makanan=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Toko = set makanan; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Toko; Mulailah Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; akhir.

Apa itu set?

Objek yang membentuk himpunan - objek intuisi atau intelek kita - bisa sangat berbeda sifatnya. Dalam contoh di paragraf pertama, kami berurusan dengan set yang mencakup satu set produk. Set dapat terdiri, misalnya, dari semua huruf alfabet Rusia. Dalam matematika, himpunan bilangan dipelajari, misalnya terdiri dari semua:

Bilangan asli 0, 1, 2, 3, 4, ...

bilangan prima

bilangan bulat genap

dll. (set numerik utama dibahas dalam materi ini).

Benda-benda yang membentuk suatu himpunan disebut unsur-unsurnya. Kita dapat mengatakan bahwa himpunan adalah "kantong elemen". Ini sangat penting: dalam himpunan tidak ada elemen yang identik.

Himpunan bisa terbatas atau tidak terbatas. Himpunan berhingga adalah himpunan yang memiliki bilangan asli yaitu jumlah elemennya. Misalnya, himpunan lima bilangan bulat ganjil non-negatif pertama adalah himpunan berhingga. Himpunan yang tidak berhingga disebut tak hingga. Misalnya, himpunan semua bilangan asli adalah himpunan tak terbatas.

Jika sebuah M- mengatur, dan sebuah- elemennya, lalu tulis: sebuah∈M, yang berarti " sebuah milik himpunan M".

Dari contoh pertama (nol) di Pascal dengan produk yang ada di berbagai toko:

hleb∈VETEROK ,

yang artinya: elemen "hleb" termasuk dalam kumpulan produk yang ada di toko "VETEROK".

Ada dua cara utama untuk mendefinisikan himpunan: enumerasi dan deskripsi.

Himpunan dapat didefinisikan dengan mendaftar semua elemennya, misalnya:

VETEROK = {hleb, pak, minyak} ,

SEBUAH = {7 , 14 , 28 } .

Suatu enumerasi hanya dapat mendefinisikan suatu himpunan berhingga. Meskipun Anda dapat melakukannya dengan deskripsi. Tetapi himpunan tak terbatas hanya dapat didefinisikan dengan deskripsi.

Metode berikut digunakan untuk mendeskripsikan himpunan. Membiarkan p(x) - beberapa pernyataan yang menjelaskan sifat-sifat variabel x, yang jangkauannya adalah himpunan M. Kemudian melalui M = {x | p(x)} menunjukkan himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen yang pernyataannya p(x) adalah benar. Ungkapan ini berbunyi seperti ini: M, terdiri dari semua seperti x, Apa p(x) ".

Misalnya, entri

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Contoh 6 Menurut survei 100 pembeli pasar yang membeli buah jeruk, jeruk dibeli oleh 29 pembeli, lemon - 30 pembeli, jeruk keprok - 9, hanya jeruk keprok - 1, jeruk dan lemon - 10, lemon dan jeruk keprok - 4, ketiganya jenis buah - 3 pembeli. Berapa banyak pelanggan yang tidak membeli buah jeruk yang terdaftar di sini? Berapa banyak pembeli yang hanya membeli lemon?

Operasi produk himpunan kartesius

Untuk mendefinisikan operasi penting lainnya pada set - Produk Cartesian dari himpunan kami memperkenalkan konsep himpunan terurut dengan panjang n.

Panjang suatu himpunan adalah bilangan n komponennya. Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang diambil dalam urutan ini dilambangkan . Di mana saya i () komponen yang ditetapkan adalah .

Sekarang definisi ketat akan mengikuti, yang mungkin tidak langsung jelas, tetapi setelah definisi ini akan ada gambar yang akan memperjelas cara mendapatkan produk himpunan Cartesian.

Produk Cartesian (langsung) dari himpunan disebut himpunan yang dilambangkan dan terdiri dari semua itu dan hanya set panjang itu n, saya-i komponen yang dimiliki .

dimiliki $SEBUAH$, juga milik $B$. Definisi formal:

$(A\; \backslash subset\; B)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash di\; A\; \backslash Panah\; kanan\; x\; \backslash di\; B).$

Banyak $B$ ditelepon superset set $SEBUAH$, jika $SEBUAH$- himpunan bagian $B$.

Ada dua simbol untuk himpunan bagian:

Kedua sistem notasi menggunakan simbol $\backslash subset$ makna yang berbeda, yang dapat menyebabkan kebingungan. Pada artikel ini, kita akan menggunakan notasi terbaru.

Apa $B$ disebut superset $SEBUAH$, sering ditulis $B\; \backslash mengecewakan\; A$.

Himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan $SEBUAH$ dilambangkan $\backslash matematika(P)(A)$ dan disebut boolean.

subset sendiri

Set apa saja $B$ adalah subsetnya sendiri. Jika kita ingin mengecualikan $B$ dari pertimbangan, kami menggunakan gagasan memiliki

Banyak $SEBUAH$ adalah himpunan bagian yang tepat dari himpunan $B$, jika $A\backslash subset\; B$ dan $A\; \backslash ne\; B$.

Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan apa pun. Jika, sebagai tambahan, kami ingin mengecualikan himpunan kosong dari pertimbangan, kami menggunakan gagasan tidak sepele himpunan bagian, yang didefinisikan sebagai berikut:

Banyak $SEBUAH$ adalah subset nontrivial dari himpunan $B$, jika $SEBUAH$ adalah bagiannya sendiri $B$ dan $Sebuah\; \backslash ne\backslash varnothing$.

Contoh

• Set $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Set $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; rusa\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ adalah himpunan bagian dari himpunan $\backslash (\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; rusa\; \backslash )$
• Membiarkan $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, kemudian $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Membiarkan $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Kemudian $B\; \backslash bagian\; A,\backslash ;\; C\backslash tidak\backslash subset\; A$.

Properti

Relasi subset memiliki sejumlah properti.

• Relasi himpunan bagian adalah relasi orde parsial:
  • Relasi himpunan bagian adalah refleksif: $B\backslash subset\; B$
  • Relasi himpunan bagian adalah antisimetris: $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\; \backslash dan\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; A)\; \backslash Leftrightarrow\; (A\; =\; B)$
  • Relasi himpunan bagian adalah transitif: $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\backslash dan\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; C)\; \backslash Panah\; kanan\; (A\; \backslash subset\; C)$
• Himpunan kosong adalah himpunan bagian dari himpunan lainnya, jadi himpunan tersebut merupakan himpunan terkecil terhadap relasi himpunan bagian: $\backslash varnothing\; \backslash subset\; B$
• Untuk setiap dua set $SEBUAH$ dan $B$ pernyataan berikut ekuivalen:
  • $A\backslash subsetB.$
  • $A\backslash cap\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash cup\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash complement)\; \backslash subset\; A^(\backslash complement).$

Subset dari Himpunan Hingga

Jika himpunan aslinya berhingga, maka himpunan tersebut memiliki jumlah himpunan bagian yang berhingga. Yaitu, di $n$-set elemen ada $2^n$ himpunan bagian (termasuk kosong). Untuk memverifikasi ini, cukup untuk dicatat bahwa setiap elemen dapat dimasukkan atau tidak termasuk dalam subset, yang berarti bahwa jumlah total subset akan menjadi $n$-kali lipat produk dua. Jika kita mempertimbangkan hanya himpunan bagian $n$-elemen set dari $k\backslash le\; n$ unsur-unsur, maka jumlahnya dinyatakan dengan koefisien binomial $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Untuk memverifikasi fakta ini, Anda dapat memilih elemen subset secara berurutan. Elemen pertama dapat dipilih $n$ cara, yang kedua $n-1$ cara, dan seterusnya, dan akhirnya $k$-elemen dapat dipilih $n-k+1$ cara. Jadi kita mendapatkan urutan $k$ elemen, dan tepat $k!$ urutan tersebut sesuai dengan satu subset. Jadi ada segalanya $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash dots(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ himpunan bagian seperti itu.

Tulis ulasan pada artikel "Subset"

Catatan

literatur

• Vereshchagin N.K., Shen A. Kuliah tentang logika matematika dan teori algoritma. Bagian 1. Awal dari teori himpunan - edisi ke-3, stereotip. - L.: MTsNMO, 2008. - 128 hal. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Kutipan yang mencirikan Subset

Kutuzov mundur ke Wina, menghancurkan jembatan di sungai Inn (di Braunau) dan Traun (di Linz). Pada 23 Oktober, pasukan Rusia menyeberangi Sungai Enns. Gerobak, artileri, dan pasukan Rusia di tengah hari membentang melalui kota Enns, di sepanjang sisi jembatan ini dan itu.