Grafik fungsi logaritma 2 ke basis x. Apa itu logaritma? Solusi logaritma

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil nomor dari garis bawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan kekuatan yang Anda miliki untuk meningkatkan dua untuk mendapatkan nomor ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Basis a logaritma dari argumen x adalah pangkat di mana angka a harus dinaikkan untuk mendapatkan angka x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya adalah apa yang sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi mari kita tambahkan baris baru ke tabel kita:

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menentukan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada segmen. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka-angka seperti itu disebut irasional: angka-angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung di mana dasarnya dan di mana argumennya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah derajat, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah pangkalan yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada murid-murid saya pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat oleh eksponen rasional, yang definisi logaritma dikurangi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun masih merupakan satu unit. Karena itu, pertanyaan “kepada apa seseorang harus dibangkitkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b x > 0, a > 0, a 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 = 1, karena 0,5 = 2 1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ dari logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun masalah. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik ikut bermain, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan kemungkinan basis terkecil lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik untuk menyingkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata irasional, ini akan terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja pada contoh spesifik:

Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 5 25 = b (5 1) b = 5 2 5 b = 5 2 b = 2;
3. Menerima jawaban: 2.

Sebuah tugas. Hitung logaritma:

Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 2b = 6 b = 3;
3. Menerima jawaban: 3.

Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 b = 0;
3. Menerima tanggapan: 0.

Sebuah tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Ini mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Sebuah catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Sangat sederhana - hanya menguraikannya menjadi faktor prima. Dan jika faktor-faktor tersebut tidak dapat dikumpulkan dalam suatu derajat dengan indikator yang sama, maka bilangan asli bukanlah derajat yang eksak.

Sebuah tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari bilangan tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; empat belas.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 adalah derajat yang tepat, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan merupakan pangkat eksak karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat yang tepat;
35 \u003d 7 5 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan gelar yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan sebutan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Sebutan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan sebutan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga benar untuk desimal.

logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki notasi sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini adalah logaritma natural.

Logaritma natural dari argumen x adalah logaritma ke basis e , yaitu. kekuatan yang nomor e harus dinaikkan untuk mendapatkan nomor x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi yang nomor e? Ini adalah bilangan irasional, nilai eksaknya tidak dapat ditemukan dan ditulis. Ini hanya angka pertama:
e = 2.718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Logaritma bilangan positif b ke basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian sehingga a c = b: log a b = c a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma dari angka non-positif tidak ditentukan. Juga, basis logaritma harus bilangan positif, tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita kuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 adalah 2.

Identitas logaritma dasar

Penting bahwa domain definisi bagian kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri didefinisikan hanya untuk b>0, a>0 dan a 1. Ruas kanan didefinisikan untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan "identitas" logaritma dasar dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan DPV.

Dua konsekuensi yang jelas dari definisi logaritma

Memang, ketika menaikkan angka a ke pangkat pertama, kami mendapatkan angka yang sama, dan ketika menaikkannya ke pangkat nol, kami mendapatkan satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

Log a b c = log a b log a c (a > 0, a 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat memecahkan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik. Ketika digunakan "dari kiri ke kanan", ODZ menyempit, dan ketika berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma produk atau hasil bagi, ODZ mengembang.

Memang, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x) , kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Ada penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat menyebabkan hilangnya solusi. Masalah serupa ada untuk rumus (6).

Derajat dapat diambil dari tanda logaritma

Dan sekali lagi saya ingin meminta akurasi. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Sisi kiri persamaan jelas didefinisikan untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Mengambil kekuatan dari logaritma, kami kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini tidak hanya berlaku untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap.

Rumus untuk pindah ke pangkalan baru

Itu kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama konversi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus untuk pindah ke basis baru sangat aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis c baru, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1 Hitung: lg2 + lg50.
Larutan. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Kami menggunakan rumus untuk jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2 Hitung: lg125/lg5.
Larutan. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Kami menggunakan rumus transisi basis baru (8).

Tabel rumus yang berkaitan dengan logaritma

(dari bahasa Yunani - "kata", "hubungan" dan - "angka") angka b dengan alasan sebuah(log b) disebut bilangan seperti itu c, dan b= sebuah c, yaitu, log b=c dan b=ac setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a 1, b > 0.

Dengan kata lain logaritma angka b dengan alasan sebuah dirumuskan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini diperoleh perhitungan x= log b, setara dengan menyelesaikan persamaan a x =b.

Sebagai contoh:

log 2 8 = 3 karena 8=2 3 .

Kami mencatat bahwa formulasi logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk segera menentukan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah kekuatan basis tertentu. Memang, perumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan Dengan. Juga jelas bahwa topik logaritma terkait erat dengan topik derajat bilangan.

Perhitungan logaritma disebut logaritma. Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor ditransformasikan menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah ditransformasikan menjadi produk faktor.

Cukup sering, logaritma real dengan basis 2 (biner), bilangan e Euler e 2,718 (logaritma natural) dan 10 (desimal) digunakan.

Pada tahap ini, perlu dipertimbangkan contoh logaritma log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Dan entri lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, karena yang pertama angka negatif ditempatkan di bawah tanda logaritma, di yang kedua - angka negatif di basis, dan di ketiga - dan angka negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Kondisi untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara terpisah kondisi a > 0, a 1, b > 0. definisi logaritma. Mari kita pertimbangkan mengapa pembatasan ini diambil. Ini akan membantu kita dengan persamaan bentuk x = log b, yang disebut identitas logaritma dasar, yang secara langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Ambil syaratnya a≠1. Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, maka persamaan x=log b hanya bisa ada ketika b=1, tetapi log 1 1 akan berupa bilangan real apa pun. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kami mengambil a≠1.

Mari kita buktikan perlunya kondisi a>0. Pada a=0 menurut rumusan logaritma, hanya bisa ada bila b=0. Dan kemudian sesuai log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang tidak nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang tidak nol adalah nol. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kondisi a≠0. Dan kapan sebuah<0 kita harus menolak analisis nilai-nilai rasional dan irasional dari logaritma, karena eksponen dengan eksponen rasional dan irasional didefinisikan hanya untuk basis non-negatif. Karena alasan inilah kondisi a>0.

Dan syarat terakhir b>0 mengikuti dari ketidaksetaraan a>0, karena x=log b, dan nilai derajat dengan basis positif sebuah selalu positif.

Fitur logaritma.

logaritma dicirikan oleh khas fitur, yang menyebabkan penggunaannya secara luas untuk sangat memudahkan perhitungan yang melelahkan. Dalam transisi "ke dunia logaritma", perkalian ditransformasikan menjadi penambahan yang jauh lebih mudah, pembagian menjadi pengurangan, dan peningkatan ke pangkat dan akar ditransformasikan masing-masing menjadi perkalian dan pembagian dengan eksponen.

Rumusan logaritma dan tabel nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh matematikawan Skotlandia John Napier. Tabel logaritmik, diperbesar dan dirinci oleh ilmuwan lain, banyak digunakan dalam perhitungan ilmiah dan teknik, dan tetap relevan sampai kalkulator elektronik dan komputer mulai digunakan.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

LOGARITMA
bilangan yang menyederhanakan banyak operasi aritmatika kompleks. Menggunakan logaritma mereka alih-alih angka dalam perhitungan memungkinkan untuk mengganti perkalian dengan operasi penjumlahan yang lebih sederhana, pembagian dengan pengurangan, menaikkan pangkat dengan perkalian, dan mengekstraksi akar dengan pembagian. Gambaran umum. Logaritma dari suatu bilangan adalah eksponen di mana bilangan lain, yang disebut basis logaritma, harus dinaikkan untuk mendapatkan bilangan yang diberikan. Misalnya, logaritma basis 10 dari 100 adalah 2. Dengan kata lain, 10 harus dikuadratkan untuk mendapatkan 100 (102 = 100). Jika n adalah bilangan tertentu, b adalah basis, dan l adalah logaritma, maka bl = n. Bilangan n disebut juga antilogaritma dengan basis b dari bilangan l. Misalnya, antilogaritma dari 2 hingga basis 10 adalah 100. Ini dapat ditulis sebagai logb n = l dan antilogb l = n. Sifat-sifat utama logaritma:

Setiap bilangan positif selain satu dapat digunakan sebagai basis logaritma, tetapi sayangnya, ternyata jika b dan n adalah bilangan rasional, maka dalam kasus yang jarang ada bilangan rasional l sedemikian rupa sehingga bl = n. Namun, dimungkinkan untuk mendefinisikan bilangan irasional l, misalnya, sehingga 10l = 2; bilangan irasional l ini dapat didekati dengan bilangan rasional dengan akurasi yang diperlukan. Ternyata pada contoh di atas, l kira-kira sama dengan 0,3010, dan nilai perkiraan logaritma basis 10 dari angka 2 ini dapat ditemukan dalam tabel empat digit logaritma desimal. Logaritma basis 10 (atau logaritma desimal) sering digunakan dalam perhitungan sehingga disebut logaritma biasa dan ditulis sebagai log2 = 0,3010 atau log2 = 0,3010, menghilangkan indikasi eksplisit dari basis logaritma. Logaritma ke basis e, bilangan transendental yang kira-kira sama dengan 2,71828, disebut logaritma natural. Mereka ditemukan terutama dalam karya-karya tentang analisis matematika dan aplikasinya ke berbagai ilmu pengetahuan. Logaritma natural juga ditulis tanpa secara eksplisit menunjukkan basis, tetapi menggunakan notasi khusus ln: misalnya, ln2 = 0,6931, karena e0.6931 = 2.
Lihat juga NOMOR e . Menggunakan tabel logaritma biasa. Logaritma biasa dari suatu angka adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan 10 untuk mendapatkan angka yang diberikan. Karena 100 = 1, 101 = 10, dan 102 = 100, kita langsung mendapatkan bahwa log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, dan seterusnya. untuk meningkatkan pangkat bilangan bulat 10. Demikian pula, 10-1 = 0,1, 10-2 = 0,01 dan karenanya log0.1 = -1, log0.01 = -2, dan seterusnya. untuk semua pangkat bilangan bulat negatif 10. Logaritma biasa dari bilangan yang tersisa diapit di antara logaritma pangkat bilangan bulat terdekat dari 10; log2 harus diapit antara 0 dan 1, log20 antara 1 dan 2, dan log0.2 antara -1 dan 0. Jadi, logaritma memiliki dua bagian, bilangan bulat dan desimal yang diapit antara 0 dan 1. Bagian bilangan bulat disebut karakteristik logaritma dan ditentukan oleh bilangan itu sendiri, bagian pecahan disebut mantissa dan dapat ditemukan dari tabel. Juga, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritma dari 2 adalah 0,3010, jadi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Demikian pula, log0.2 = log(2e10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Dengan mengurangkan, kita mendapatkan log0.2 = - 0,6990. Namun, lebih mudah untuk merepresentasikan log0.2 sebagai 0,3010 - 1 atau sebagai 9,3010 - 10; aturan umum juga dapat dirumuskan: semua angka yang diperoleh dari angka tertentu dengan mengalikan dengan kekuatan 10 memiliki mantissa yang sama sama dengan mantissa dari angka yang diberikan. Di sebagian besar tabel, mantisa angka mulai dari 1 hingga 10 diberikan, karena mantissa dari semua angka lainnya dapat diperoleh dari yang diberikan dalam tabel. Sebagian besar tabel memberikan logaritma hingga empat atau lima tempat desimal, meskipun ada tabel tujuh digit dan tabel dengan lebih banyak tempat desimal. Mempelajari cara menggunakan tabel seperti itu paling mudah dengan contoh. Untuk mencari log3.59, pertama-tama, perhatikan bahwa angka 3.59 berada di antara 100 dan 101, jadi karakteristiknya adalah 0. Kami menemukan angka 35 pada tabel (di sebelah kiri) dan bergerak sepanjang baris ke kolom yang memiliki angka 9 di atas; perpotongan kolom dan baris 35 ini adalah 5551, jadi log3,59 = 0,5551. Untuk menemukan mantissa angka dengan empat angka penting, Anda perlu menggunakan interpolasi. Dalam beberapa tabel, interpolasi difasilitasi oleh bagian proporsional yang diberikan dalam sembilan kolom terakhir di sisi kanan setiap halaman tabel. Temukan sekarang log736.4; bilangan 736,4 terletak di antara 102 dan 103, sehingga sifat logaritmanya adalah 2. Pada tabel tersebut kita menemukan baris di sebelah kirinya adalah 73 dan kolom 6. Di persimpangan baris ini dan kolom ini adalah angka 8669. Di antara bagian linier kita menemukan kolom 4. Di persimpangan baris 73 dan kolom 4 adalah angka 2. Menambahkan 2 ke 8669, kita mendapatkan mantissa - itu sama ke 8671. Jadi, log736.4 = 2, 8671.
logaritma natural. Tabel dan sifat-sifat logaritma natural mirip dengan tabel dan sifat-sifat logaritma biasa. Perbedaan utama antara keduanya adalah bahwa bagian bilangan bulat dari logaritma natural tidak signifikan dalam menentukan posisi titik desimal, dan oleh karena itu perbedaan antara mantissa dan karakteristik tidak memainkan peran khusus. Logaritma natural bilangan 5.432; 54,32 dan 543,2 berturut-turut adalah 1,6923; 3.9949 dan 6.2975. Hubungan antara logaritma ini menjadi jelas jika kita mempertimbangkan perbedaan di antara mereka: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; angka terakhir tidak lain adalah logaritma natural dari angka 10 (ditulis seperti ini: ln10); log543.2 - log5.432 = 4.6052; angka terakhir adalah 2ln10. Tapi 543.2 = 10*54.32 = 102*5.432. Jadi, dengan logaritma natural dari suatu bilangan a, seseorang dapat menemukan logaritma natural dari bilangan-bilangan yang sama dengan hasil kali bilangan a dan pangkat apa pun dari n dari bilangan 10, jika ln10 dikalikan dengan n ditambahkan ke lna, yaitu. ln(a*10n) = lna + nln10 = lna + 2.3026n. Misalnya, ln0.005432 = ln(5.432*10-3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3*2.3026) = - 5.2155. Oleh karena itu, tabel logaritma natural, seperti tabel logaritma biasa, biasanya hanya berisi logaritma angka dari 1 hingga 10. Dalam sistem logaritma natural, seseorang dapat berbicara tentang antilogaritma, tetapi lebih sering berbicara tentang fungsi eksponensial atau eksponensial. . Jika x = lny, maka y = ex, dan y disebut eksponen dari x (untuk kemudahan tipografi, y = exp x sering ditulis). Eksponen memainkan peran antilogaritma dari bilangan x. Menggunakan tabel desimal dan logaritma natural, Anda dapat membuat tabel logaritma dalam basis apa pun selain 10 dan e. Jika logb a = x, maka bx = a, maka logc bx = logc a atau xlogc b = logc a, atau x = logc a/logc b = logb a. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus inversi dari tabel logaritma ke basis c, seseorang dapat membuat tabel logaritma ke basis b lainnya. Faktor 1/logc b disebut modulus transisi dari basis c ke basis b. Tidak ada yang mencegah, misalnya, menggunakan rumus inversi, atau transisi dari satu sistem logaritma ke sistem lainnya, untuk menemukan logaritma natural dari tabel logaritma biasa atau membuat transisi terbalik. Misalnya, log105.432 = log 5,432/log 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 x 0,4343 = 0,7350. Bilangan 0,4343, yang dengannya logaritma natural dari suatu bilangan tertentu harus dikalikan untuk memperoleh logaritma biasa, adalah modulus transisi ke sistem logaritma biasa.
Meja khusus. Logaritma awalnya diciptakan untuk menggunakan properti mereka logab = loga + logb dan loga/b = loga - logb untuk mengubah produk menjadi jumlah dan hasil bagi menjadi perbedaan. Dengan kata lain, jika loga dan logb diketahui, maka dengan bantuan penjumlahan dan pengurangan kita dapat dengan mudah menemukan logaritma hasil kali dan hasil bagi. Namun, dalam astronomi, seringkali diperlukan untuk menemukan log(a + b) atau log(a - b) yang diberikan nilai loga dan logb. Tentu saja, pertama-tama mungkin untuk menemukan a dan b dari tabel logaritma, kemudian melakukan penambahan atau pengurangan yang ditunjukkan dan, sekali lagi mengacu pada tabel, menemukan logaritma yang diperlukan, tetapi prosedur seperti itu akan membutuhkan tiga kunjungan ke tabel . Z. Leonelli pada tahun 1802 menerbitkan tabel yang disebut. Logaritma Gaussian - logaritma penambahan jumlah dan perbedaan - yang memungkinkan untuk membatasi diri pada satu sumber daya ke tabel. Pada tahun 1624, I. Kepler mengusulkan tabel logaritma proporsional, yaitu logaritma bilangan a/x, di mana a adalah konstanta positif. Tabel ini digunakan terutama oleh para astronom dan navigator. Logaritma proporsional untuk a = 1 disebut logaritma dan digunakan dalam perhitungan ketika Anda harus berurusan dengan produk dan hasil bagi. Logaritma bilangan n sama dengan logaritma kebalikan bilangan; itu. colog = log1/n = - logn. Jika log2 = 0,3010, maka colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Keuntungan menggunakan logaritma adalah ketika menghitung nilai logaritma dari ekspresi seperti pq/r, jumlah rangkap tiga dari desimal positif logp + logq + colog adalah lebih mudah ditemukan daripada jumlah campuran dan selisih logp + logq - logr.
Cerita. Prinsip yang mendasari setiap sistem logaritma telah dikenal sejak lama dan dapat ditelusuri kembali ke matematika Babilonia kuno (sekitar 2000 SM). Pada masa itu, interpolasi antara nilai tabular pangkat bilangan bulat positif digunakan untuk menghitung bunga majemuk. Jauh kemudian, Archimedes (287-212 SM) menggunakan kekuatan 108 untuk menemukan batas atas jumlah butir pasir yang dibutuhkan untuk memenuhi seluruh alam semesta yang diketahui pada saat itu. Archimedes menarik perhatian pada properti eksponen yang mendasari efektivitas logaritma: produk dari kekuatan sesuai dengan jumlah eksponen. Pada akhir Abad Pertengahan dan awal New Age, matematikawan semakin mulai merujuk pada hubungan antara deret geometri dan aritmatika. M. Stiefel dalam esainya Arithmetic of Integers (1544) memberikan tabel pangkat positif dan negatif dari bilangan 2:

Stiefel memperhatikan bahwa jumlah dua angka di baris pertama (baris eksponen) sama dengan eksponen dua, yang sesuai dengan produk dari dua angka yang sesuai di baris bawah (baris eksponen). Berkaitan dengan tabel ini, Stiefel merumuskan empat aturan yang setara dengan empat aturan modern untuk operasi pangkat atau empat aturan untuk operasi logaritma: jumlah di baris atas sesuai dengan produk di baris bawah; pengurangan di baris atas sesuai dengan pembagian di baris bawah; perkalian di baris atas sesuai dengan eksponensial di baris bawah; pembagian di baris atas sesuai dengan ekstraksi akar di baris bawah. Rupanya, aturan yang mirip dengan Stiefel membuat J. Napier secara resmi memperkenalkan sistem logaritma pertama dalam Deskripsi tabel menakjubkan logaritma, yang diterbitkan pada 1614. Namun pemikiran Napier telah disibukkan dengan masalah mengubah produk menjadi jumlah sejak lebih dari Sepuluh tahun sebelum publikasi karyanya, Napier menerima berita dari Denmark bahwa di observatorium Tycho Brahe asistennya memiliki metode untuk mengubah produk menjadi jumlah. Metode yang disebutkan dalam komunikasi Napier didasarkan pada penggunaan rumus trigonometri jenis

Oleh karena itu tabel Napier terutama terdiri dari logaritma fungsi trigonometri. Meskipun konsep basis tidak secara eksplisit dimasukkan dalam definisi yang diusulkan oleh Napier, angka yang setara dengan basis sistem logaritma dalam sistemnya dimainkan oleh angka (1 - 10-7)ґ107, kira-kira sama dengan 1/e . Terlepas dari Napier dan hampir bersamaan dengannya, sebuah sistem logaritma, dengan tipe yang sangat mirip, ditemukan dan diterbitkan oleh J. Burgi di Praha, yang menerbitkan Tabel Perkembangan Aritmatika dan Geometri pada tahun 1620. Ini adalah tabel antilogaritma dalam basis (1 + 10-4)*10 4, perkiraan yang cukup baik untuk angka e. Dalam sistem Napier, logaritma dari angka 107 diambil sebagai nol, dan saat angka berkurang, logaritma meningkat. Ketika G. Briggs (1561-1631) mengunjungi Napier, keduanya sepakat bahwa akan lebih mudah menggunakan angka 10 sebagai basis dan menganggap logaritma satu sama dengan nol. Kemudian, seiring bertambahnya angka, logaritma mereka akan meningkat. Jadi kita mendapatkan sistem modern dari logaritma desimal, sebuah tabel yang diterbitkan Briggs dalam karyanya Logarithmic Arithmetic (1620). Logaritma ke basis e, meskipun tidak persis seperti yang diperkenalkan oleh Napier, sering disebut non-Pier. Istilah "karakteristik" dan "mantissa" diusulkan oleh Briggs. Logaritma pertama, karena alasan historis, menggunakan aproksimasi untuk angka 1/e dan e. Agak kemudian, gagasan logaritma natural dikaitkan dengan studi area di bawah hiperbola xy = 1 (Gbr. 1). Pada abad ke-17 telah ditunjukkan bahwa area yang dibatasi oleh kurva ini, sumbu x dan ordinat x = 1 dan x = a (dalam Gambar 1 area ini ditutupi dengan titik-titik yang lebih tebal dan lebih jarang) meningkat secara eksponensial ketika a meningkat secara eksponensial. Ketergantungan inilah yang muncul dalam aturan untuk tindakan pada eksponen dan logaritma. Ini memberi alasan untuk menyebut logaritma Napier "logaritma hiperbolik".

fungsi logaritma. Ada suatu masa ketika logaritma dianggap semata-mata sebagai alat perhitungan, tetapi pada abad ke-18, terutama karena karya Euler, konsep fungsi logaritma terbentuk. Grafik fungsi seperti itu y = lnx, yang ordinatnya meningkat dalam deret aritmatika, sedangkan absisnya meningkat dalam deret geometri, ditunjukkan pada Gambar. 2a. Grafik fungsi invers, atau eksponensial (eksponensial) y = ex, yang ordinatnya meningkat secara eksponensial, dan absis - aritmatika, masing-masing ditunjukkan pada Gambar. 2b. (Kurva y = logx dan y = 10x serupa bentuknya dengan kurva y = lnx dan y = ex.) Definisi alternatif dari fungsi logaritma juga telah diusulkan, misalnya,

Berkat karya Euler, hubungan antara logaritma dan fungsi trigonometri dalam bidang kompleks menjadi diketahui. Dari identitas eix = cos x + i sin x (di mana sudut x diukur dalam radian), Euler menyimpulkan bahwa setiap bilangan real bukan nol memiliki banyak logaritma natural yang tak terhingga; semuanya kompleks untuk bilangan negatif, dan semuanya kecuali satu untuk bilangan positif. Karena eix = 1 tidak hanya untuk x = 0, tetapi juga untuk x = ± 2kp, di mana k adalah sembarang bilangan bulat positif, sembarang bilangan 0 ± 2kpi dapat diambil sebagai logaritma natural dari bilangan 1; dan, demikian pula, logaritma natural dari -1 adalah bilangan kompleks dalam bentuk (2k + 1)pi, di mana k adalah bilangan bulat. Pernyataan serupa juga berlaku untuk logaritma umum atau sistem logaritma lainnya. Selain itu, definisi logaritma dapat digeneralisasi menggunakan identitas Euler untuk memasukkan logaritma kompleks dari bilangan kompleks. Definisi alternatif dari fungsi logaritma disediakan oleh analisis fungsional. Jika f(x) adalah fungsi kontinu dari bilangan real x yang memiliki tiga sifat berikut: f(1) = 0, f(b) = 1, f(uv) = f(u) + f(v), maka f(x ) didefinisikan sebagai logaritma dari bilangan x ke basis b. Definisi ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan definisi yang diberikan di awal artikel ini.
Aplikasi. Logaritma awalnya hanya digunakan untuk menyederhanakan perhitungan, dan aplikasi ini masih menjadi salah satu yang paling penting. Perhitungan produk, hasil bagi, kekuatan dan akar difasilitasi tidak hanya oleh ketersediaan luas tabel logaritma yang diterbitkan, tetapi juga dengan menggunakan apa yang disebut. aturan geser - alat komputasi, yang prinsipnya didasarkan pada sifat-sifat logaritma. Penggaris dilengkapi dengan skala logaritmik, mis. jarak dari angka 1 ke sembarang angka x dipilih menjadi log x; dengan menggeser satu skala relatif terhadap yang lain, dimungkinkan untuk memplot jumlah atau perbedaan logaritma, yang memungkinkan untuk membaca produk atau sebagian dari angka yang sesuai langsung dari skala. Untuk mengambil keuntungan dari penyajian angka dalam bentuk logaritmik memungkinkan apa yang disebut. kertas logaritmik untuk ploting (kertas dengan skala logaritmik tercetak di sepanjang kedua sumbu koordinat). Jika suatu fungsi memenuhi hukum pangkat bentuk y = kxn, maka grafik logaritmiknya tampak seperti garis lurus, karena log y = log k + n log x adalah persamaan linear pada log y dan log x. Sebaliknya, jika grafik logaritmik dari beberapa ketergantungan fungsional berbentuk garis lurus, maka ketergantungan ini adalah hukum pangkat. Kertas semi-logaritmik (sumbu y pada skala logaritmik dan absis pada skala seragam) berguna ketika fungsi eksponensial perlu diidentifikasi. Persamaan bentuk y = kbrx muncul setiap kali kuantitas, seperti populasi, bahan radioaktif, atau saldo bank, berkurang atau meningkat pada tingkat yang sebanding dengan populasi saat ini, bahan radioaktif, atau uang. Jika ketergantungan seperti itu diterapkan pada kertas semi-logaritmik, maka grafiknya akan terlihat seperti garis lurus. Fungsi logaritma muncul sehubungan dengan berbagai bentuk alami. Bunga dalam perbungaan bunga matahari berbaris dalam spiral logaritmik, cangkang moluska Nautilus, tanduk domba gunung dan paruh burung beo dipelintir. Semua bentuk alami ini adalah contoh kurva yang dikenal sebagai spiral logaritmik karena persamaannya dalam koordinat kutub adalah r = aebq, atau lnr = lna + bq. Kurva seperti itu digambarkan oleh titik bergerak, jarak dari kutub yang tumbuh secara eksponensial, dan sudut yang dijelaskan oleh vektor jari-jarinya tumbuh aritmatika. Di mana-mana kurva seperti itu, dan akibatnya dari fungsi logaritmik, diilustrasikan dengan baik oleh fakta bahwa itu terjadi di daerah yang jauh dan sangat berbeda seperti kontur cam eksentrik dan lintasan serangga tertentu yang terbang menuju cahaya.

Ensiklopedia Collier. - Masyarakat Terbuka. 2000 .

Lihat apa itu "LOGARIFM" di kamus lain:

- (Yunani, dari hubungan logos, dan bilangan aritmos). Banyaknya barisan aritmatika sesuai dengan banyaknya barisan geometri. Kamus kata-kata asing termasuk dalam bahasa Rusia. Chudinov A.N., 1910. LOGARIFM Yunani, dari logos, relasi, ... ... Kamus kata-kata asing dari bahasa Rusia

Angka N yang diberikan pada basis a adalah eksponen pangkat y yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan N; jadi, N = ay. Logaritma biasanya dilambangkan dengan logaN. Logaritma dengan basis e? 2.718... disebut natural dan dilambangkan dengan lnN.… … Kamus Ensiklopedis Besar

- (dari rasio logo Yunani dan nomor aritmos) angka N di basis a (O ... Ensiklopedia Modern