Fungsi diferensial dan turunan parsial untuk boneka. Turunan parsial, diferensial total FNP

Biarkan fungsi didefinisikan dalam beberapa domain (terbuka) D poin
ruang dimensi, dan
adalah titik di daerah ini, yaitu
D.

Kenaikan sebagian dari suatu fungsi banyak variabel untuk setiap variabel disebut kenaikan yang akan diterima fungsi jika kita memberikan kenaikan pada variabel ini, dengan asumsi bahwa semua variabel lain memiliki nilai konstan.

Misalnya, kenaikan sebagian fungsi atas variabel akan

Turunan parsial terhadap variabel bebas pada intinya
dari fungsi disebut batas (jika ada) dari hubungan kenaikan parsial
berfungsi untuk menambah
variabel sambil berusaha
ke nol:

Turunan parsial dilambangkan dengan salah satu simbol:

;
.

Komentar. Indeks di bawah ini dalam notasi ini hanya menunjukkan dari variabel mana turunan diambil, dan tidak terkait dengan titik mana
turunan ini dihitung.

Perhitungan turunan parsial bukanlah hal yang baru dibandingkan dengan perhitungan turunan biasa, hanya perlu diingat bahwa ketika mendiferensiasikan suatu fungsi terhadap suatu variabel, semua variabel lainnya dianggap sebagai konstanta. Mari kita tunjukkan ini dengan contoh.

Contoh 1Temukan Turunan Parsial dari Fungsi
.

Larutan. Saat menghitung turunan parsial dari suatu fungsi
dengan argumen pertimbangkan fungsinya sebagai fungsi dari satu variabel saja , yaitu percaya itu memiliki nilai tetap. di tetap fungsi
adalah fungsi kekuatan argumen . Menurut rumus untuk membedakan fungsi daya, kita memperoleh:

Demikian pula, ketika menghitung turunan parsial kita asumsikan bahwa nilainya tetap , dan perhatikan fungsinya
sebagai fungsi eksponensial dari argumen . Hasilnya, kita mendapatkan:

Contoh 2. Htemukan turunan parsial dan fungsi
.

Larutan. Saat menghitung turunan parsial terhadap fungsi yang diberikan kami akan mempertimbangkan sebagai fungsi dari satu variabel , dan ekspresi yang mengandung , akan menjadi faktor konstan, yaitu
bertindak sebagai faktor konstan dengan fungsi daya (
). Membedakan ekspresi ini sehubungan dengan , kita mendapatkan:

Sekarang, sebaliknya, fungsinya dianggap sebagai fungsi dari satu variabel , sedangkan ekspresi yang mengandung , bertindak sebagai koefisien
(
).Membedakan sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi trigonometri, kami memperoleh:

Contoh 3 Hitung Turunan Parsial dari suatu Fungsi
pada intinya
.

Larutan. Kami pertama-tama menemukan turunan parsial dari fungsi ini pada titik sewenang-wenang
domain definisinya. Saat menghitung turunan parsial terhadap percaya itu
bersifat permanen.

saat membedakan dengan akan permanen
:

dan ketika menghitung turunan parsial sehubungan dengan dan oleh , sama, akan konstan, masing-masing,
dan
, yaitu:

Sekarang kita menghitung nilai turunan ini pada titik
, mengganti nilai variabel tertentu ke dalam ekspresinya. Hasilnya, kita mendapatkan:

11. Diferensial parsial dan total suatu fungsi

Jika sekarang ke peningkatan pribadi
menerapkan teorema Lagrange pada kenaikan hingga sehubungan dengan variabel , kemudian, menghitung kontinu, kita memperoleh hubungan berikut:

di mana
,
adalah kuantitas yang sangat kecil.

Diferensial Parsial suatu Fungsi menurut variabel disebut bagian linier utama dari kenaikan parsial
, sama dengan produk turunan parsial terhadap variabel ini dan kenaikan variabel ini, dan dilambangkan

Jelas, diferensial parsial berbeda dari kenaikan parsial dengan orde yang lebih tinggi yang sangat kecil.

Peningkatan fungsi penuh banyak variabel disebut kenaikannya, yang akan diterimanya ketika kita memberikan kenaikan ke semua variabel bebas, mis.

dimana semua orang
, tergantung pada dan bersama-sama dengan mereka cenderung nol.

Dibawah diferensial variabel bebas setuju maksudnya sewenang-wenang kenaikan
dan beri label
. Dengan demikian, ekspresi diferensial parsial akan berbentuk:

Misalnya, diferensial parsial pada didefinisikan seperti ini:

diferensial penuh
fungsi dari banyak variabel disebut bagian linier utama dari total increment
sama dengan, yaitu jumlah semua diferensial parsialnya:

Jika fungsi
memiliki turunan parsial kontinu

pada intinya
, lalu dia terdiferensiasi pada suatu titik tertentu.

Untuk cukup kecil untuk fungsi terdiferensiasi
ada persamaan perkiraan

yang dapat digunakan untuk perhitungan perkiraan.

Contoh 4Temukan diferensial penuh dari suatu fungsi
tiga variabel
.

Larutan. Pertama-tama, kami menemukan turunan parsial:

Memperhatikan bahwa mereka kontinu untuk semua nilai
, kita menemukan:

Untuk diferensial fungsi beberapa variabel, semua teorema tentang sifat-sifat diferensial adalah benar, yang telah dibuktikan untuk kasus fungsi satu variabel, misalnya: jika dan adalah fungsi kontinu dari variabel
, yang memiliki turunan parsial kontinu terhadap semua variabel, dan dan adalah konstanta arbitrer, maka:

(6)

Kerja Praktek 2

"Diferensial Fungsi"

Tujuan pelajaran: Belajar memecahkan contoh dan masalah pada topik tertentu.

Soal teori (tingkat awal):

1. Penggunaan turunan untuk mempelajari fungsi hingga ekstrem.

2. Diferensial suatu fungsi, arti geometris dan fisisnya.

3. Diferensial total suatu fungsi dari beberapa variabel.

4. Keadaan tubuh sebagai fungsi dari banyak variabel.

5. Perkiraan perhitungan.

6. Mencari turunan parsial dan diferensial total.

7. Contoh penggunaan konsep ini dalam farmakokinetik, mikrobiologi, dll.

(Latihan mandiri)

1. menjawab pertanyaan tentang topik pelajaran;

2. memecahkan contoh.

Contoh

Tentukan diferensial dari fungsi-fungsi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Menggunakan turunan untuk mempelajari fungsi

Kondisi fungsi y = f(x) meningkat pada segmen [a, b]

Kondisi penurunan fungsi y=f(x) pada segmen [a, b]

Kondisi untuk fungsi maksimum y=f(x) pada x= a

f"(a)=0 dan f""(a)<0

Jika untuk x \u003d a turunan f "(a) \u003d 0 dan f "(a) \u003d 0, maka perlu untuk menyelidiki f "(x) di sekitar titik x \u003d a. Fungsi y \u003d f (x) untuk x \u003d a memiliki maksimum , jika ketika melewati titik x \u003d dan turunan f "(x) berubah tanda dari "+" menjadi "-", dalam hal minimum - dari "-" ke "+" Jika f "(x) tidak berubah tanda saat melewati titik x = a, maka pada titik ini fungsi tidak memiliki ekstrem

Diferensial fungsi.

Diferensial variabel independen sama dengan kenaikannya:

Diferensial fungsi y=f(x)

Diferensial jumlah (selisih) dua fungsi y=u±v

Diferensial hasil kali dua fungsi y=uv

Diferensial hasil bagi dua fungsi y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Peningkatan fungsi

y \u003d f (x + x) - f (x) dy f "(x) x

di mana x: adalah kenaikan argumen.

Perkiraan perhitungan nilai fungsi:

f(x + x) f(x) + f "(x) x

Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

Diferensial digunakan untuk menghitung kesalahan absolut dan relatif dalam pengukuran tidak langsung u \u003d f (x, y, z.). Kesalahan mutlak dari hasil pengukuran

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Kesalahan relatif dari hasil pengukuran

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

DIFERENSIAL FUNGSI.

Diferensial fungsi sebagai bagian utama dari kenaikan fungsi dan. Konsep diferensial suatu fungsi erat kaitannya dengan konsep turunan. Biarkan fungsinya f(x) kontinu untuk nilai yang diberikan X dan memiliki turunan

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), dari mana fungsi bertambah Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, di mana a(Dx) ® 0 pada Dx® 0. Mari kita tentukan orde dari infinitesimal f¢(x)Dx Dx.:

Oleh karena itu, sangat kecil f¢(x)Dx dan Dx memiliki orde yang sama, yaitu f¢(x)Dx = O.

Mari kita tentukan orde dari infinitesimal a(Dх)D sehubungan dengan sangat kecil Dx:

Oleh karena itu, yang sangat kecil a(Dх)D memiliki urutan kekecilan yang lebih tinggi daripada yang sangat kecil Dx, itu adalah a(Dx)Dx = o.

Jadi, kenaikan yang sangat kecil Df fungsi terdiferensiasi dapat direpresentasikan dalam bentuk dua istilah: sangat kecil f¢(x)Dx dari orde kekecilan yang sama dengan Dx dan sangat kecil a(Dх)D orde kekecilan yang lebih tinggi dibandingkan dengan infinitesimal Dx. Artinya dalam persamaan Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx pada Dx® 0 istilah kedua cenderung nol "lebih cepat" dari yang pertama, yaitu. a(Dx)Dx = o.

istilah pertama f¢(x)Dx, linier terhadap Dx, ditelepon diferensial fungsi f(x) pada intinya X dan menunjukkan dy atau df(baca "de game" atau "de ef"). Jadi,

dy = df = f¢(x)Dx.

Arti analitik dari diferensial terletak pada kenyataan bahwa diferensial suatu fungsi adalah bagian utama dari kenaikan fungsi Df, linier terhadap kenaikan argumen Dx. Diferensial suatu fungsi berbeda dari kenaikan suatu fungsi dengan salah satu dari orde terkecil yang lebih tinggi daripada Dx. Betulkah, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx atau Df = df + a(Dx)Dx . Diferensial argumen dx sama dengan kenaikannya dx: dx = dx.

Contoh. Hitung nilai diferensial suatu fungsi f(x) = x 3 + 2x, Kapan X bervariasi dari 1 hingga 1.1.

Larutan. Mari kita cari ekspresi umum untuk diferensial fungsi ini:

Mengganti nilai dx=Dx=1.1–1= 0.1 dan x=1 ke dalam rumus terakhir, kita mendapatkan nilai diferensial yang diinginkan: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATIF DAN DIFERENSIAL PARSIAL.

Turunan parsial dari orde pertama. Turunan parsial orde pertama dari fungsi z = f(x,y ) dengan argumen X pada titik yang dipertimbangkan (x; y) disebut batas

jika itu ada.

Turunan parsial dari suatu fungsi z = f(x, y) dengan argumen X dilambangkan dengan salah satu simbol berikut:

Demikian pula, turunan parsial terhadap pada dilambangkan dan didefinisikan dengan rumus:

Karena turunan parsial adalah turunan biasa dari suatu fungsi dari satu argumen, tidaklah sulit untuk menghitungnya. Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan semua aturan diferensiasi yang dipertimbangkan sejauh ini, dengan mempertimbangkan dalam setiap kasus argumen mana yang diambil sebagai "bilangan konstan" dan yang berfungsi sebagai "variabel diferensiasi".

Komentar. Untuk menemukan turunan parsial, misalnya, sehubungan dengan argumen x – df/dx, itu cukup untuk menemukan turunan biasa dari fungsi f(x,y), dengan asumsi yang terakhir adalah fungsi dari satu argumen X, sebuah pada- permanen; mencari df/dy- dan sebaliknya.

Contoh. Temukan nilai turunan parsial dari suatu fungsi f(x,y) = 2x2 + y2 pada intinya P(1;2).

Larutan. Perhitungan f(x,y) fungsi argumen tunggal X dan menggunakan aturan diferensiasi, kami menemukan

Pada intinya P(1;2) nilai turunan

Mempertimbangkan f(x; y) sebagai fungsi dari satu argumen y, kami menemukan

Pada intinya P(1;2) nilai turunan

TUGAS PEKERJAAN MANDIRI SISWA:

Tentukan diferensial dari fungsi-fungsi berikut:

Selesaikan tugas-tugas berikut:

1. Berapa luas persegi dengan sisi x = 10 cm berkurang jika sisinya dikurangi 0,01 cm?

2. Persamaan gerak tubuh diberikan: y=t 3 /2+2t 2 , di mana s dinyatakan dalam meter, t dalam detik. Tentukan lintasan s yang ditempuh benda dalam t=1,92 s dari awal gerakan.

LITERATUR

1. Lobotskaya N.L. Dasar-dasar Matematika Tinggi - M.: "Higher School", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematika dalam biologi dan kedokteran. Per. dari bahasa Inggris. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Kumpulan masalah dalam fisika medis dan biologi - M.: "Higher School", 1987. C16-20.

turunan pribadi fungsi z = f(x, y dengan variabel x turunan dari fungsi ini disebut pada nilai konstan dari variabel y, dilambangkan atau z "x.

turunan pribadi fungsi z = f(x, y) dengan variabel y disebut turunan terhadap y pada nilai konstan variabel y; itu dilambangkan atau z "y.

Turunan parsial dari suatu fungsi beberapa variabel terhadap satu variabel didefinisikan sebagai turunan dari fungsi ini terhadap variabel yang bersesuaian, asalkan variabel lainnya dianggap konstan.

diferensial penuh fungsi z = f(x, y) di suatu titik M(X, y) disebut ekspresi

Dimana dan dihitung pada titik M(x, y), dan dx = , dy = y.

Contoh 1

Hitunglah diferensial total dari fungsi tersebut.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 pada titik M (1; 2)

Larutan:

1) Temukan turunan parsial:

2) Hitung nilai turunan parsial pada titik M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Pertanyaan untuk pengendalian diri:

1. Apa yang disebut dengan antiturunan? Sebutkan sifat-sifat antiturunan!

2. Apa yang disebut integral tak tentu?

3. Sebutkan sifat-sifat integral tak tentu.

4. Buat daftar rumus integrasi dasar.

5. Metode integrasi apa yang Anda ketahui?

6. Apa inti dari rumus Newton-Leibniz?

7. Berikan definisi integral tertentu.

8. Apa inti dari menghitung integral tentu dengan metode substitusi?

9. Apa inti dari metode menghitung integral tertentu per bagian?

10. Fungsi apa yang disebut fungsi dua variabel? Bagaimana penunjukannya?

11. Fungsi apa yang disebut fungsi tiga variabel?

12. Himpunan apa yang disebut domain dari suatu fungsi?

13. Dengan bantuan pertidaksamaan apa seseorang dapat mendefinisikan daerah tertutup D pada sebuah bidang?

14. Apa yang disebut turunan parsial dari fungsi z \u003d f (x, y) terhadap variabel x? Bagaimana penunjukannya?

15. Apa yang disebut turunan parsial dari fungsi z \u003d f (x, y) terhadap variabel y? Bagaimana penunjukannya?

16. Ekspresi apa yang disebut diferensial total dari suatu fungsi?

Topik 1.2 Persamaan diferensial biasa.

Masalah yang mengarah ke persamaan diferensial. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Solusi umum dan pribadi. Persamaan diferensial homogen orde pertama. Persamaan linier homogen orde kedua dengan koefisien konstan.

Pelajaran praktis No. 7 "Menemukan solusi umum dan khusus untuk persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan" *

Pelajaran Praktikum No.8 "Persamaan Diferensial Linier dan Homogen"

Pelajaran praktis No. 9 "Penyelesaian persamaan diferensial orde 2 dengan koefisien konstan" *

L4, bab 15, hlm. 243 - 256

Pedoman

salinan

1 KULIAH N Diferensial total, turunan parsial, dan diferensial orde yang lebih tinggi Diferensial total Diferensial parsial Turunan parsial dari orde yang lebih tinggi Diferensial orde tinggi 4 Turunan fungsi kompleks 4 Diferensial total Diferensial parsial Jika suatu fungsi z=f(,) terdiferensialkan, maka totalnya diferensial dz sama dengan dz= a +B () z z Perhatikan bahwa A=, B =, kami menulis rumus () dalam bentuk berikut z z dz= + () Kami memperluas konsep fungsi diferensial ke variabel bebas, pengaturan diferensial variabel bebas sama dengan kenaikannya: d= ; d= Setelah itu, rumus diferensial total dari fungsi tersebut akan berbentuk z z dz= d + d () d + d n variabel, maka du= d (d =) = Ekspresi d z=f (,)d (4) disebut diferensial parsial dari fungsi z=f(,) terhadap variabel; ekspresi d z=f (,)d (5) disebut diferensial parsial dari fungsi z=f(,) terhadap variabel. Dari rumus (), (4) dan (5) bahwa diferensial total dari fungsi adalah jumlah dari diferensial parsialnya: dz=d z+d z pertambahan z= z z + + (,) + (,) berbeda dari bagian liniernya dz= z z + hanya dengan jumlah suku terakhir α + , yang pada 0 dan 0 adalah orde yang sangat kecil dari suku bagian linier Oleh karena itu untuk dz 0, bagian linier dari kenaikan fungsi terdiferensiasi disebut bagian utama dari kenaikan fungsi dan rumus perkiraan z dz digunakan, yang akan semakin akurat, semakin kecil nilai absolut dari peningkatan argumen,97 Contoh Hitung kira-kira arctg(),0

2 Solusi Pertimbangkan fungsi f(,)=arctg() Menggunakan rumus f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, kita mendapatkan arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] atau + + arctg() arctg() () + () Misalkan =, =, maka =-0,0, =0,0, Oleh karena itu, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0.0 = arctan 0.0 = + 0.0 + () + () = 0.05 0.0 0.75 4 Dapat ditunjukkan bahwa error yang dihasilkan dari penerapan rumus aproksimasi z dz tidak melebihi angka = M (+), dimana M adalah nilai terbesar dari nilai mutlak turunan parsial kedua f (,), f (,), f (,) ketika argumen berubah dari ke + dan dari ke + Turunan parsial orde lebih tinggi Jika fungsi u =f (, z) memiliki turunan parsial terhadap salah satu variabel di beberapa domain (terbuka) D, maka turunan yang ditemukan, yang merupakan fungsi dari z, dapat, pada gilirannya, memiliki turunan parsial di beberapa titik (0, 0 , z 0) terhadap variabel yang sama atau variabel lainnya Untuk fungsi asli u=f(, z), turunan ini akan menjadi turunan parsial orde kedua Jika turunan pertama diambil, mis. ep, in, maka turunannya terhadap, z dinotasikan sebagai berikut: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = atau u, u, u z z z Turunan dari orde ketiga, keempat, dan seterusnya ditentukan dengan cara yang sama Perhatikan bahwa turunan parsial orde tinggi diambil terhadap berbagai variabel, misalnya ; disebut turunan parsial campuran Contoh u= 4 z, maka, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z fungsi f(,) didefinisikan dalam domain (terbuka) D,) dalam domain ini ada turunan pertama f dan f, serta turunan campuran kedua f dan f, dan akhirnya,) turunan terakhir ini f dan f, sebagai fungsi dari u, kontinu di beberapa titik (0, 0) dari daerah D Kemudian pada titik ini f (0, 0)=f (0, 0) Bukti Pertimbangkan ekspresi

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, di mana, adalah bukan-nol, misalnya, positif, dan, apalagi, sangat kecil sehingga D berisi seluruh persegi panjang [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= dan karena itu kontinu Dengan fungsi ini f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) ekspresi W, yang sama dengan W= dapat ditulis ulang sebagai: (0 +) (0) W= jadi: W=ϕ (0 + , 0 f (0 + , 0) (0 + )= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Kita melihat bahwa du juga merupakan fungsi dari, Jika kita mengasumsikan adanya turunan parsial kontinu orde kedua untuk u, maka du akan memiliki turunan parsial kontinu orde pertama dan kita dapat membicarakan diferensial total dari diferensial ini du , d(du), yang disebut diferensial orde kedua (atau diferensial kedua) dari u; itu dilambangkan dengan d u Kami menekankan bahwa kenaikan d, d, d dianggap konstan dan tetap sama ketika berpindah dari satu diferensial ke yang berikutnya (selain itu, d, d akan menjadi nol) Jadi, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d atau d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Demikian pula, diferensial orde ketiga d u didefinisikan, dan seterusnya.Jika fungsi u memiliki turunan parsial kontinu dari semua orde hingga dan termasuk yang ke-n, maka keberadaan Diferensial ke-n dijamin Tapi ekspresinya menjadi semakin kompleks Kita bisa menyederhanakan notasinya Mari kita hilangkan "huruf u" dalam ekspresi diferensial pertama Kemudian, notasinya menjadi simbolis: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, yang harus dipahami sebagai berikut: pertama, "polinomial" dalam tanda kurung secara formal dipangkatkan menurut aturan aljabar, maka semua suku yang dihasilkan “dikalikan” dengan u (yang dijumlahkan dengan n pada pembilangnya di) , dan hanya setelah itu semua simbol mengembalikan nilainya sebagai turunan dan diferensial u d) d u pada variabel t dalam beberapa interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Sebagai tambahan, sebagai t perubahan, titik (, z) tidak melampaui daerah D Substitusi nilai, dan z ke fungsi u, kita mendapatkan fungsi kompleks: u=f(ϕ(t), (t), (t)) Misalkan u memiliki turunan parsial kontinu u, u dan u z dalam dan z dan bahwa t, t dan z t ada Maka adalah mungkin untuk membuktikan keberadaan turunan dari fungsi kompleks dan menghitungnya Kami memberikan variabel t beberapa kenaikan t , maka, dan z akan menerima kenaikan masing-masing, dan z, fungsi u akan menerima kenaikan u Mari kita nyatakan kenaikan fungsi u dalam bentuk: (ini dapat dilakukan, karena kita mengasumsikan adanya turunan parsial kontinu u, u dan u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, di mana , , 0 at, z 0 Kita bagi keduanya bagian dari persamaan pada t, kita peroleh u z z = u + u + uz + + + t t t t t t t 4

5 Mari kita biarkan kenaikan t mendekati nol: maka, z akan cenderung nol, karena fungsi, z dari t kontinu (kita asumsikan adanya turunan t, t, z t), dan oleh karena itu, , , juga cenderung nol Dalam limit kita peroleh u t =u t +u t +u z z t () Kita melihat bahwa di bawah asumsi yang dibuat, turunan dari fungsi kompleks memang ada.Jika kita menggunakan notasi diferensial, maka du d d dz () akan terlihat seperti , z dalam beberapa variabel t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Selain keberadaan dan kontinuitas turunan parsial dari fungsi f(, z), kita asumsikan di sini keberadaan turunan fungsi, z sehubungan dengan t dan v Kasus ini tidak berbeda secara signifikan dari yang telah dipertimbangkan, karena ketika menghitung turunan parsial dari suatu fungsi dari dua variabel, kami memperbaiki salah satu variabel, dan kami yang tersisa dengan fungsi hanya satu variabel, rumus () akan sama z, dan () harus ditulis ulang sebagai: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Contoh u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Fungsi beberapa variabel Dalam banyak pertanyaan tentang geometri ilmu alam dan disiplin ilmu lainnya, kita harus berurusan dengan fungsi dua tiga variabel atau lebih Contoh: Luas segitiga S a h di mana a adalah alasnya

13. Turunan Parsial Orde Lebih Tinggi Misalkan = memiliki dan didefinisikan pada D O. Fungsi dan juga disebut turunan parsial orde pertama suatu fungsi atau turunan parsial pertama suatu fungsi. dan secara umum

Definisi Aplikasi turunan Membiarkan dan menjadi nilai-nilai argumen, dan f) dan f) - ((nilai-nilai yang sesuai dari fungsi f () Selisihnya disebut kenaikan argumen, dan selisihnya adalah kenaikan fungsi pada segmen,

Latihan praktis DIFERENSIASI FUNGSI KOMPLEKS DAN IMPLISIT Diferensiasi fungsi kompleks Diferensiasi fungsi implisit yang diberikan oleh satu persamaan Sistem yang diberikan secara implisit dan parametrik

FUNGSI GANDA VARIABEL Fungsi satu variabel bebas tidak mencakup semua ketergantungan yang ada di alam. Oleh karena itu, wajar untuk memperluas konsep ketergantungan fungsional yang terkenal dan memperkenalkan

6 Fungsi implisit 6.1 Definisi, latar belakang

1. Konsep dasar. Fungsi dari beberapa variabel. Kami akan mempelajari fungsi beberapa variabel menggunakan contoh fungsi dua dan tiga variabel, karena semua definisi ini dan hasil yang diperoleh

2.2.7. Penerapan diferensial untuk perkiraan perhitungan. Diferensial fungsi y = bergantung pada x dan merupakan bagian utama dari kenaikan x. Anda juga dapat menggunakan rumus: dy d Kemudian kesalahan mutlak:

Kuliah 9. Derivatif dan diferensial dari orde yang lebih tinggi, sifat-sifatnya. Titik ekstrem dari fungsi. teorema Fermat dan Rolle. Biarkan fungsi y terdiferensialkan pada beberapa segmen [b]. Dalam hal ini, turunannya

5 Titik di mana F F F atau setidaknya salah satu dari turunan ini tidak ada disebut titik tunggal permukaan Pada titik tersebut, permukaan mungkin tidak memiliki bidang singgung Definisi Normal terhadap permukaan

INTEGRAL PASTI. Jumlah Integral dan Integral Pasti Misalkan suatu fungsi y = f() didefinisikan pada ruas [, b ], dimana< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE PERTAMA Konsep dasar Persamaan diferensial adalah persamaan yang fungsi tak diketahuinya masuk di bawah tanda turunan atau diferensial.

6. Diferensial suatu fungsi 1. Definisi dan makna geometrik DEFINISI. Suatu fungsi y = f(x) disebut terdiferensial di suatu titik x 0 jika kenaikannya pada titik tersebut dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu

Kuliah Bab Fungsi beberapa variabel Konsep dasar Beberapa fungsi beberapa variabel sudah diketahui Mari berikan beberapa contoh Untuk menghitung luas segitiga, diketahui rumus Heron S

~ 1 ~ FUNGSI GANDA VARIABEL 3 Fungsi dua variabel, domain definisi, cara menentukan dan makna geometris. Definisi: z f, disebut fungsi dari dua variabel, jika setiap pasangan nilai,

Persamaan diferensial orde pertama diselesaikan sehubungan dengan turunan Teorema keberadaan dan keunikan untuk solusi Dalam kasus umum, persamaan diferensial orde pertama memiliki bentuk F ()

Kuliah 3 Ekstrem dari suatu fungsi beberapa variabel Misalkan suatu fungsi dari beberapa variabel u = f (x, x) didefinisikan dalam domain D, dan titik x (x, x) = termasuk dalam domain ini Fungsi u = f ( x, x) memiliki

Modul Topik Deret dan Deret Fungsi Sifat Kekonvergenan Seragam Deret dan Deret Deret Daya Kuliah Definisi Deret dan Deret Fungsi Berseragam

9 Turunan dan Diferensial 91 Rumus dan Definisi Dasar Penyelesaian Masalah Definisi Misalkan fungsi y f () didefinisikan pada beberapa f (Δ) f () y tetangga titik Batas relasi untuk Δ , jika

1 Topik 1. Persamaan diferensial orde pertama 1.0. Definisi dasar dan teorema Persamaan diferensial orde pertama: variabel bebas; y = y() adalah fungsi yang diinginkan; y = y () turunannya.

Kuliah 8 Diferensiasi fungsi kompleks Pertimbangkan fungsi kompleks t t t f di mana t t t t t t t f t t t t t t t t

UNIVERSITAS TEKNIS PENERBANGAN SIPIL NEGARA MOSKOW V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan Diferensial Orde Pertama Definisi Hubungan di mana variabel yang tidak diketahui dan fungsinya berada di bawah tanda turunan atau diferensial disebut

6 Soal-soal yang mengarah pada konsep turunan Biarkan suatu titik material bergerak lurus dalam satu arah menurut hukum s f (t), di mana t adalah waktu dan s adalah lintasan yang ditempuh titik dalam waktu t Perhatikan momen tertentu

Kuliah 3. Integral tak tentu. Antiturunan dan integral tak tentu Dalam kalkulus diferensial, masalah diselesaikan: untuk fungsi tertentu f () temukan turunannya (atau diferensial). Kalkulus integral

1 Kuliah 7 Turunan dan Diferensial Orde Tinggi Abstrak: Konsep fungsi terdiferensiasi diperkenalkan, interpretasi geometrik dari diferensial pertama diberikan dan invariansnya dibuktikan

Fungsi beberapa argumen Konsep fungsi untuk setiap elemen x dari himpunan X menurut beberapa hukum y \u003d f (x) dikaitkan dengan nilai tunggal variabel y dari himpunan Y ke setiap pasangan angka

Disusun oleh VPBelkin 1 Kuliah 1 Fungsi beberapa variabel 1 Konsep dasar Ketergantungan \u003d f (1, n) variabel pada variabel 1, n disebut fungsi dari n argumen 1, n Berikut ini akan dibahas

PERSAMAAN DIFERENSIAL Konsep umum Persamaan diferensial memiliki banyak aplikasi dan sangat beragam dalam mekanika, fisika, astronomi, teknologi, dan cabang matematika yang lebih tinggi lainnya (misalnya,

I Definisi fungsi beberapa variabel Domain definisi Ketika mempelajari banyak fenomena, seseorang harus berurusan dengan fungsi dari dua atau lebih variabel independen. Misalnya, suhu tubuh pada saat tertentu

Kuliah 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange dan teorema L'Hospital

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Kuliah 4 Diferensiasi fungsi kompleks Diferensiasi implisit Ingat aturan diferensiasi untuk fungsi satu variabel, juga disebut aturan rantai (lihat

Bagian Kalkulus diferensial fungsi satu dan beberapa variabel Fungsi argumen real Bilangan real Bilangan bulat positif disebut bilangan asli Tambahkan ke bilangan asli

Lokakarya: “Diferensiabilitas dan Diferensial Fungsi” Jika fungsi y f () memiliki turunan hingga di suatu titik, maka kenaikan fungsi pada titik ini dapat direpresentasikan sebagai: y (,) f () () (), dimana

Kuliah Persamaan Diferensial Orde th Jenis utama persamaan diferensial orde th dan solusinya Persamaan diferensial adalah salah satu cara matematika yang paling umum

TOPIK 1 FUNGSI DERIVATIF FUNGSI DIFERENSIAL PROGRAM PERTANYAAN: 11 Sambungan fungsional Batas fungsi 1 Turunan fungsi 1 Fisika mekanik dan makna geometris turunan 14 Dasar

LEMBAGA PENDIDIKAN OTONOM NEGARA FEDERAL LEMBAGA PENDIDIKAN OTONOM NEGARA FEDERAL

DISIPLIN Mata kuliah "Matematika Tinggi", semester Bentuk korespondensi studi TOPIK Matriks Aljabar

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferensiabilitas fungsi beberapa variabel. Diferensiabilitas suatu fungsi di suatu titik. Kondisi yang cukup untuk diferensiasi dalam hal turunan parsial. Diferensiasi kompleks

Bab 4 Limit Fungsi 4 1 KONSEP BATAS FUNGSI Bab ini berfokus pada konsep limit suatu fungsi. Didefinisikan apa limit suatu fungsi di tak hingga, dan kemudian limit pada suatu titik, limit

KULIAH 23 TRANSFORMASI KANONIK. TEOREMA LIOUVILLE TENTANG KONSERVASI VOLUME FASA. FUNGSI PEMBANGKIT TRANSFORMASI GRATIS Kami terus mempelajari transformasi kanonik. Mari kita ingat yang utama dulu

Departemen MIPA

55 berada pada nilai infinitesimal dari orde kekecilan yang lebih tinggi dibandingkan dengan n (,), di mana () + (), maka dapat direpresentasikan dalam bentuk Peano n R, Contoh Tulis rumus Taylor untuk n dengan

Topik Integral tentu Integral tentu Soal-soal yang mengarah pada konsep integral tentu Soal menghitung luas trapesium lengkung Dalam sistem koordinat Oxy, diberikan trapesium lengkung,

5 Deret pangkat 5 Deret pangkat: definisi, daerah konvergensi Deret fungsi berbentuk (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) disebut deret pangkat Bilangan

Deret Numerik Barisan numerik Opr Barisan numerik adalah fungsi numerik yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli x - anggota umum dari barisan x =, x =, x =, x =,

Persamaan Diferensial Kuliah 4 Persamaan Diferensial Total. Faktor integral Dosen Anna Igorevna Sherstneva 9. Persamaan Diferensial Total Persamaan d + d = 14 disebut persamaan

Fakultas Metalurgi Jurusan Matematika Tinggi

Analisis matematis Bagian: Fungsi beberapa variabel Topik: Diferensiabilitas FNP (akhir. Turunan parsial dan diferensial FNP kompleks. Diferensiasi fungsi implisit Dosen Rozhkova S.V.

(Teorema Fermat - Teorema Darboux - Teorema Rolle - Teorema Lagrange teorema nilai rata-rata - interpretasi geometris dari teorema nilai rata-rata - Teorema Cauchy - rumus kenaikan hingga - aturan L'Hopital

Bab 4 Teorema dasar kalkulus diferensial Pengungkapan ketidakpastian Teorema dasar kalkulus diferensial Teorema Fermat (Pierre Fermat (6-665) matematikawan Prancis) Jika fungsi y f

Kuliah 7 PERHITUNGAN DIFERENSIAL FUNGSI SATU VARIABEL 1 Konsep turunan suatu fungsi

Kementerian Pendidikan Republik Belarus Vitebsk State Technological University Topik. "Baris" Departemen Matematika Teoritis dan Terapan. dikembangkan oleh Assoc. E.B. Dunina. Utama

Kuliah 3 Deret Taylor dan Maclaurin Penerapan deret pangkat Perluasan fungsi menjadi deret pangkat Deret Taylor dan Maclaurin Untuk aplikasi, penting untuk dapat memperluas fungsi yang diberikan ke dalam deret pangkat, fungsi-fungsi itu

58 Integral tentu Biarkan fungsi ( ) diberikan pada interval. Kami akan mempertimbangkan fungsi kontinu, meskipun ini tidak perlu. Kami memilih bilangan arbitrer pada interval, 3, n-, memenuhi kondisi:

Persamaan diferensial orde tinggi. Konev V.V. Garis besar kuliah. Daftar Isi 1. Konsep dasar 1 2. Persamaan yang memungkinkan reduksi orde 2 3. Persamaan diferensial linier orde tinggi

Kuliah 20 TEOREMA TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS. Misalkan y = f(u) dan u= u(x). Kami mendapatkan fungsi y tergantung pada argumen x: y = f(u(x)). Fungsi terakhir disebut fungsi fungsi atau fungsi kompleks.

Diferensiasi fungsi implisit Pertimbangkan fungsi (,) = C (C = const) Persamaan ini mendefinisikan fungsi implisit () Misalkan kita telah menyelesaikan persamaan ini dan menemukan ekspresi eksplisit = () Sekarang kita dapat

Institut Penerbangan Moskow (Universitas Riset Nasional) Departemen Matematika Tinggi Batasan Derivatif Fungsi beberapa variabel Panduan dan opsi kontrol

KERJA LABORATORIUM 7 FUNGSI UMUM I. KONSEP DAN TEOREMA DASAR Dilambangkan dengan D himpunan semua fungsi hingga variabel nyata yang terdiferensiasi tak terhingga. dia

Bab 3. Penyelidikan fungsi dengan bantuan turunan 3.1. Ekstrem dan monotonisitas Pertimbangkan fungsi y = f () yang didefinisikan pada beberapa interval I R. Dikatakan memiliki maksimum lokal di titik

Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai N.E. Bauman Fakultas Ilmu Dasar Jurusan Pemodelan Matematika .Н. Kanatnikov,

Pedoman dan varian RGR pada topik Fungsi beberapa variabel untuk mahasiswa Desain khusus. Jika kuantitas ditentukan secara unik dengan menetapkan nilai kuantitas dan tidak tergantung satu sama lain,

Universitas Teknik Negeri Moskow dinamai N.E. Bauman Fakultas Ilmu Dasar Jurusan Pemodelan Matematika .Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

PETUNJUK METODOLOGI UNTUK TUGAS PERHITUNGAN PADA KURSUS MATEMATIKA TINGGI "DERI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DERI GANDA INTEGRAL" BAGIAN III TEMA DERI Daftar Isi Deret Numerik Konvergensi dan divergensi

Batas fungsi. Definisi Batas Urutan Angka. Barisan numerik tak hingga (atau hanya barisan numerik) adalah fungsi f f (, yang didefinisikan pada himpunan semua

Kuliah 19 DERIVATIF DAN APLIKASINYA. DEFINISI DERIVATIF. Misalkan kita memiliki beberapa fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada suatu interval. Untuk setiap nilai argumen x dari interval ini, fungsi y=f(x)

Kalkulus diferensial fungsi beberapa variabel Fungsi beberapa variabel Suatu besaran disebut fungsi variabel n jika setiap titik M n milik suatu himpunan X ditetapkan

KULIAH N 7. Kekuatan

Kuliah 3 Teorema keberadaan dan keunikan untuk solusi persamaan skalar Pernyataan masalah Hasil utama Perhatikan masalah Cauchy d f () d =, () =

Badan Federal untuk Pendidikan Universitas Negeri Geodesi dan Kartografi Moskow (MIIGAiK) PETUNJUK DAN TUGAS METODOLOGI UNTUK PEKERJAAN INDEPENDEN pada kursus MATEMATIKA TINGGI

Turunan parsial fungsi dua variabel.
Konsep dan contoh solusi

Dalam pelajaran ini, kita akan melanjutkan pengenalan kita dengan fungsi dua variabel dan mempertimbangkan, mungkin, tugas tematik yang paling umum - menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua, serta diferensial total dari fungsi. Siswa paruh waktu, sebagai suatu peraturan, menghadapi turunan parsial pada tahun pertama di semester kedua. Apalagi menurut pengamatan saya, tugas mencari turunan parsial hampir selalu ditemukan dalam ujian.

Untuk mempelajari materi berikut secara efektif, Anda diperlukan dapat lebih atau kurang percaya diri menemukan turunan "biasa" dari suatu fungsi dari satu variabel. Anda dapat mempelajari cara menangani turunan dengan benar dalam pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? dan Turunan dari fungsi majemuk. Kami juga membutuhkan tabel turunan dari fungsi dasar dan aturan diferensiasi, akan lebih mudah jika tersedia dalam bentuk cetak. Anda dapat menemukan bahan referensi di halaman Rumus dan tabel matematika.

Mari kita ulangi konsep fungsi dua variabel dengan cepat, saya akan mencoba membatasi diri saya seminimal mungkin. Sebuah fungsi dari dua variabel biasanya ditulis sebagai , dengan variabel yang disebut Variabel independen atau argumen.

Contoh: - fungsi dari dua variabel.

Kadang-kadang notasi digunakan. Ada juga tugas di mana surat itu digunakan sebagai pengganti surat.

Dari sudut pandang geometris, fungsi dua variabel paling sering merupakan permukaan ruang tiga dimensi (bidang, silinder, bola, paraboloid, hiperboloid, dll.). Tetapi, pada kenyataannya, ini sudah lebih merupakan geometri analitis, dan kami memiliki agenda analisis matematis, yang guru universitas saya tidak pernah biarkan saya tulis adalah "kuda" saya.

Kami beralih ke pertanyaan menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua. Saya punya kabar baik bagi Anda yang telah minum beberapa cangkir kopi dan ingin materi yang sulit dibayangkan: turunan parsial hampir sama dengan turunan "biasa" dari fungsi satu variabel.

Untuk turunan parsial, semua aturan turunan dan tabel turunan fungsi dasar valid. Hanya ada beberapa perbedaan kecil yang akan kita ketahui sekarang:

... ya, omong-omong, untuk topik ini saya memang membuat buku pdf kecil, yang akan memungkinkan Anda untuk "mengisi tangan Anda" hanya dalam beberapa jam. Tetapi, dengan menggunakan situs ini, Anda, tentu saja, juga akan mendapatkan hasilnya - mungkin sedikit lebih lambat:

Contoh 1

Menemukan turunan parsial dari orde pertama dan kedua dari suatu fungsi

Pertama, kita cari turunan parsial dari orde pertama. Ada dua dari mereka.

Notasi:
atau - turunan parsial terhadap "x"
atau - turunan parsial terhadap "y"

Mari kita mulai dengan . Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "x", maka variabel tersebut dianggap konstan (bilangan konstan).

Komentar atas tindakan yang diambil:

(1) Hal pertama yang kita lakukan ketika mencari turunan parsial adalah menyimpulkan semua fungsi dalam tanda kurung di bawah tanda hubung dengan subskrip.

Perhatian penting! Langganan JANGAN KEHILANGAN dalam perjalanan solusi. Dalam hal ini, jika Anda menggambar "goresan" di suatu tempat di luar, maka guru, setidaknya, dapat meletakkannya di sebelah tugas (segera menggigit bagian dari skor karena kurangnya perhatian).

(2) Gunakan aturan diferensiasi , . Untuk contoh sederhana seperti ini, kedua aturan dapat diterapkan dalam langkah yang sama. Perhatikan suku pertama: karena dianggap sebagai konstanta, dan setiap konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan, lalu kita keluarkan dari tanda kurung. Artinya, dalam situasi ini, itu tidak lebih baik dari nomor biasa. Sekarang mari kita lihat istilah ketiga: di sini, sebaliknya, tidak ada yang bisa diambil. Karena itu adalah konstanta, itu juga konstan, dan dalam pengertian ini tidak lebih baik daripada istilah terakhir - "tujuh".

(3) Kami menggunakan turunan tabular dan .

(4) Kami menyederhanakan, atau, seperti yang saya suka katakan, "menggabungkan" jawabannya.

Sekarang . Ketika kita menemukan turunan parsial terhadap "y", maka variabeldianggap konstan (bilangan konstan).

(1) Kami menggunakan aturan diferensiasi yang sama , . Pada suku pertama kita keluarkan konstanta di luar tanda turunannya, pada suku kedua tidak ada yang bisa dihilangkan karena sudah merupakan konstanta.

(2) Kami menggunakan tabel turunan dari fungsi dasar. Ubah mental dalam tabel semua "X" menjadi "Y". Artinya, tabel ini sama-sama valid untuk (dan memang untuk hampir semua huruf). Secara khusus, rumus yang kami gunakan terlihat seperti ini: dan .

Apa yang dimaksud dengan turunan parsial?

Pada intinya, turunan parsial orde pertama menyerupai turunan "biasa":

- ini fungsi, yang mencirikan tingkat perubahan fungsi dalam arah sumbu dan masing-masing. Jadi, misalnya, fungsi mencirikan kecuraman "pendakian" dan "lereng" permukaan dalam arah sumbu absis, dan fungsi memberitahu kita tentang "relief" dari permukaan yang sama dalam arah sumbu ordinat.

! Catatan : di sini mengacu pada petunjuk yang sejajar sumbu koordinat.

Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita pertimbangkan titik tertentu dari bidang dan menghitung nilai fungsi ("tinggi") di dalamnya:
- dan sekarang bayangkan Anda ada di sini (DI SANGAT PERMUKAAN).

Kami menghitung turunan parsial sehubungan dengan "x" pada titik tertentu:

Tanda negatif dari turunan "X" memberitahu kita tentang menurun berfungsi pada suatu titik dalam arah sumbu-x. Dengan kata lain, jika kita membuat kecil-kecil (kecil sekali) langkah menuju ujung sumbu (sejajar dengan sumbu ini), kemudian menuruni kemiringan permukaan.

Sekarang kita mengetahui sifat "medan" dalam arah sumbu y:

Turunan terhadap "y" adalah positif, oleh karena itu, pada suatu titik di sepanjang sumbu, fungsi meningkat. Jika cukup sederhana, maka di sini kita menunggu pendakian yang menanjak.

Selain itu, turunan parsial pada suatu titik mencirikan tingkat perubahan fungsi ke arah yang relevan. Semakin besar nilai yang dihasilkan modulo- semakin curam permukaannya, dan sebaliknya, semakin dekat ke nol, semakin rata permukaannya. Jadi, dalam contoh kita, "kemiringan" pada arah sumbu absis lebih curam daripada "gunung" pada arah sumbu ordinat.

Tapi itu adalah dua jalur pribadi. Cukup jelas bahwa dari titik di mana kita berada, (dan secara umum dari titik mana pun dari permukaan yang diberikan) kita bisa bergerak ke arah lain. Dengan demikian, ada minat untuk menyusun "bagan navigasi" umum yang akan memberi tahu kita tentang "lanskap" permukaan. jika memungkinkan di setiap titik ruang lingkup fungsi ini dalam semua cara yang tersedia. Saya akan membicarakan ini dan hal-hal menarik lainnya di salah satu pelajaran berikutnya, tetapi untuk sekarang mari kita kembali ke sisi teknis dari masalah ini.

Kami mensistematisasikan aturan dasar yang diterapkan:

1) Ketika kita membedakan dengan , maka variabel dianggap konstan.

2) Ketika diferensiasi dilakukan menurut, maka dianggap konstan.

3) Aturan dan tabel turunan dari fungsi dasar berlaku dan berlaku untuk variabel apa pun (atau variabel lainnya) yang berkaitan dengan diferensiasi yang dilakukan.

Langkah dua. Kami menemukan turunan parsial dari orde kedua. Ada empat dari mereka.

Notasi:
atau - turunan kedua terhadap "x"
atau - turunan kedua terhadap "y"
atau - Campuran turunan "x oleh y"
atau - Campuran turunan "Y dengan X"

Tidak ada masalah dengan turunan kedua. Secara sederhana, turunan kedua adalah turunan dari turunan pertama.

Untuk kenyamanan, saya akan menulis ulang turunan parsial orde pertama yang sudah ditemukan:

Pertama kita cari turunan campurannya:

Seperti yang Anda lihat, semuanya sederhana: kami mengambil turunan parsial dan membedakannya lagi, tetapi dalam kasus ini, sudah dengan "y".

Demikian pula:

Dalam contoh praktis, Anda dapat fokus pada persamaan berikut::

Jadi, melalui turunan campuran orde kedua, sangat mudah untuk memeriksa apakah kita telah menemukan turunan parsial orde pertama dengan benar.

Kami menemukan turunan kedua sehubungan dengan "x".
Tidak ada penemuan, kami mengambil dan bedakan dengan "X" lagi:

Demikian pula:

Perlu dicatat bahwa ketika menemukan , Anda perlu menunjukkan perhatian yang meningkat, karena tidak ada persamaan ajaib untuk mengujinya.

Turunan kedua juga menemukan aplikasi praktis yang luas, khususnya, mereka digunakan dalam masalah menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel. Tapi semuanya ada waktunya:

Contoh 2

Hitung turunan parsial orde pertama dari fungsi di titik . Cari turunan dari orde kedua.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran). Jika Anda kesulitan membedakan akar, kembali ke pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? Secara umum, Anda akan segera belajar bagaimana menemukan turunan serupa dengan cepat.

Kami mengisi tangan kami dengan contoh yang lebih kompleks:

Contoh 3

Periksa itu . Tulislah diferensial total dari orde pertama.

Solusi: Kami menemukan turunan parsial dari orde pertama:

Perhatikan subskrip: di sebelah "X" tidak dilarang untuk menulis dalam tanda kurung bahwa itu adalah konstanta. Tanda ini bisa sangat berguna bagi pemula untuk mempermudah menavigasi solusi.

Komentar lebih lanjut:

(1) Kami mengambil semua konstanta di luar tanda turunan. Dalam hal ini, dan , dan, karenanya, produk mereka dianggap bilangan konstan.

(2) Jangan lupa bagaimana membedakan akar dengan benar.

(1) Kami mengambil semua konstanta dari tanda turunan, dalam hal ini konstanta adalah .

(2) Di bawah prima, kita memiliki produk dari dua fungsi, oleh karena itu, kita perlu menggunakan aturan diferensiasi produk .

(3) Jangan lupa bahwa itu adalah fungsi kompleks (walaupun yang paling sederhana dari yang kompleks). Kami menggunakan aturan yang sesuai: .

Sekarang kita temukan turunan campuran dari orde kedua:

Artinya semua perhitungan sudah benar.

Mari kita tuliskan diferensial total. Dalam konteks tugas yang sedang dipertimbangkan, tidak masuk akal untuk mengatakan apa diferensial total dari fungsi dua variabel. Adalah penting bahwa perbedaan ini sangat sering perlu dituliskan dalam masalah-masalah praktis.

Diferensial Orde Pertama Total fungsi dari dua variabel memiliki bentuk:

Pada kasus ini:

Artinya, dalam rumus Anda hanya perlu dengan bodohnya mengganti turunan parsial yang sudah ditemukan dari orde pertama. Ikon diferensial dalam situasi ini dan situasi serupa, jika memungkinkan, paling baik ditulis dalam pembilang:

Dan atas permintaan berulang dari pembaca, diferensial penuh dari orde kedua.

Ini terlihat seperti ini:

HATI-HATI cari turunan "satu huruf" dari orde ke-2:

dan tulis "monster", dengan hati-hati "melampirkan" kotak, produk dan tidak lupa menggandakan turunan campuran:

Tidak apa-apa jika sesuatu tampak sulit, Anda selalu dapat kembali ke turunan nanti, setelah Anda mengambil teknik diferensiasi:

Contoh 4

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi . Periksa itu . Tulislah diferensial total dari orde pertama.

Pertimbangkan serangkaian contoh dengan fungsi kompleks:

Contoh 5

Temukan turunan parsial dari fungsi orde pertama.

Larutan:

Contoh 6

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .
Tuliskan diferensial totalnya.

Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran). Saya tidak akan memposting solusi lengkap karena cukup sederhana.

Cukup sering, semua aturan di atas diterapkan dalam kombinasi.

Contoh 7

Menemukan turunan parsial orde pertama dari suatu fungsi .

(1) Kami menggunakan aturan untuk membedakan jumlah

(2) Suku pertama dalam hal ini dianggap konstan, karena tidak ada ekspresi yang bergantung pada "x" - hanya "y". Anda tahu, selalu menyenangkan ketika pecahan bisa diubah menjadi nol). Untuk suku kedua, kami menerapkan aturan diferensiasi produk. Omong-omong, dalam pengertian ini, tidak ada yang akan berubah jika sebuah fungsi diberikan sebagai gantinya - penting bahwa di sini hasil kali dua fungsi, yang masing-masing tergantung pada "X", dan oleh karena itu, Anda perlu menggunakan aturan diferensiasi produk. Untuk suku ketiga, kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

(1) Pada suku pertama, baik pembilang dan penyebutnya mengandung "y", oleh karena itu, Anda perlu menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi: . Istilah kedua HANYA bergantung pada "x", yang berarti dianggap konstan dan berubah menjadi nol. Untuk suku ketiga, kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks.

Bagi para pembaca yang dengan berani mencapai hampir akhir pelajaran, saya akan memberi tahu Anda sebuah anekdot Mekhmatov lama untuk detente:

Suatu kali turunan jahat muncul di ruang fungsi dan bagaimana ia membedakan semua orang. Semua fungsi tersebar ke segala arah, tidak ada yang mau berbelok! Dan hanya satu fungsi yang tidak luput dari manapun. Derivatif mendekatinya dan bertanya:

"Kenapa kamu tidak lari dariku?"

- Ha. Tapi saya tidak peduli, karena saya "e pangkat x", dan Anda tidak dapat melakukan apa pun untuk saya!

Di mana turunan jahat dengan senyum berbahaya menjawab:

- Di sinilah Anda salah, saya akan membedakan Anda dengan "y", jadi jadilah nol untuk Anda.

Siapa yang mengerti lelucon, dia menguasai turunan, setidaknya untuk "troika").

Contoh 8